I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

Átírás

1 I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető. A valószíűségszámítás kereté belül véletle tömegjeleségekkel foglalkozuk. Ilye például a kockadobás eredméye, radioaktív próbába bekövetkező bomlások között eltelt idő, stb. Elemi eseméy: egy adott kísérlet lehetséges kimeetelei (ω). Eze lehetséges kimeetelek értékét valószíűségi változóak evezzük. Eseméytér: adott kísérlet összes lehetséges kimeeteleiek halmaza (Ω). Eseméy: a kísérlettel kapcsolatba megfogalmazható bármely jeleség, az eseméytér valamely részhalmaza (lati agy betűvel jelöljük). Biztos eseméy: olya eseméy, amely a kísérlet sorá midig bekövetkezik. Lehetetle eseméy: olya eseméy, amely a kísérlet sorá soha em következik be. A valószíűség fogalma: Ha egy kísérlet A kimeeteléek valószíűsége p, akkor ha a kísérletet agyo sokszor elvégezzük, azt várjuk, hogy a kimeetelek p háyadába az A kimeetel valósul meg. Ez a valószíűség gyakorisággal (frekveciával) megadott értelmezése. I.. Valószíűségi változó. Eloszlásfüggvéy Diszkrét valószíűségi változó. Diszkrét eloszlásfüggvéy Legye X egy véletleszerű változó, amely adott kísérlet kimeeteléek értékét jeleti. Feltételezzük, hogy a kísérletek véges sok kimeetele lehetséges, tehát az Ω eseméytér diszkrét véges halmaz (X összes lehetséges értékeiek halmaza). Az X valószíűségi változó eloszlásfüggvéye egy Ω értelmezési tartomáyú valós értékkészletű m függvéy, amely eleget tesz az alábbi követelméyekek: 1. m ( ω) 0, ahol ω Ω. m ( ω) = 1. ω Ω Legye E egy tetszőleges részhalmaza Ω-ak, akkor az E eseméy valószíűsége E) szám úgy, hogy: E) = m(ω) ω E 115

2 Folytoos valószíűségi változó. Az eloszlásfüggvéy értelmezése Tekitsük a következő esetet: véletleszerűe rámutatuk egy X potra a [0, 1] itervallumból. Háyféle kimeetele lehet eek a kísérletek? Milye tulajdoságai vaak ebbe az esetbe az eseméytérek? Köye belátható, hogy a kísérletek megszámlálhatatla végtele sok kimeetele lehetséges, és az eseméytér éppe az Ω = [0, 1] valós itervallum. Látható tehát, hogy az X folytoos véletleszerű változó, eloszlásfüggvéyét ezért más godolatmeet alapjá kell megadi. Ebbe az esetbe em értelmezett a valószíűségek az a meghatározása, hogy egy adott kimeetel valószíűsége egyelő lee a kedvező esetek számáak és az összes próbálkozások számáak háyadosával. Az eloszlásfüggvéyt a következőképpe értelmezzük folytoos valószíűségi változók eseté: P ([ x, x + dx]) f ( x) dx, ahol [x, x+dx]) aak valószíűsége, hogy a változó az [x, x+dx] itervallumba essék, f(x) az eloszlásfüggvéy. Az eloszlásfüggvéy tulajdoságai: 1. f ( x) 0, x R b. P ( a X b) = f ( x) dx, a, b R a 3. f ( x) dx = 1 (az eloszlásfüggvéy egységre ormált). Ω 3. Műveletek eseméyekkel, összetett eseméyek Eseméyekkel úgy végzük műveleteket, mit halmazokkal, ezért a továbbiakba halmazelméleti jelöléseket foguk haszáli. Legye A és B két halmaz. Értelmezzük a következő műveleteket: A B = { x x A x B}, A B = { x x A x B}, A B = { x x A x B}, A = { x x Ω x A}. A1. ábra Halmazokkal végzett műveletek 116

3 Eseméyekkel végzett műveletek legfotosabb tulajdoságai: Legye Ω eseméytér, A, B eseméyek. 1. P ( A) 0, A Ω.. P ( Ω) = A B) = A) + B) A B) 4. A) = 1 A), A Ω Tekitsük a dobókockával való dobást mit véletleszerű folyamatot, és keressük az ezzel kapcsolatos külöböző eseméyek valószíűségét. Ebbe az esetbe az eseméytér véges, 6 elemet tartalmaz, az elemek a kocka lapjai levő potok számát jelölik.: Ω = {1,,3,4,5,6} Feltételezzük, hogy a dobókocka em cikelt, vagyis bármely lap ugyaolya valószíűséggel jeletkezik. Az eloszlásfüggvéy így: 1 m ( i) =, i = 1,,, 6. 6 Tekitsük azt az E eseméyt, hogy páros számot dobuk, vagyis E = {, 4, 6}. Ekkor P ( E) = m() + m(4) + m(6) = + + = Keressük aak valószíűségét, hogy e dobjuk egyest vagy hatost. Legye F = {1, 6}. 1 P ( F ) = 1 F) = 1 =. 3 3 Adjuk meg aak valószíűségét, hogy párost dobuk vagy hárommal oszthatót. Legye a két eseméy: E = {, 4, 6}, F = {3, 6}. Akkor: E F = {, 3, 4, 6}. Azoal belátható: P ( E F) =. 3 Elleőrizzük a 3. tulajdoság helyességét! 4. Fotos eloszlásfüggvéyek Egyeletes eloszlás Diszkrét egyeletes eloszlás: Legye Ω eseméytér számossága. Egyeletes eloszlást mutató véletleszerű változó eloszlásfüggvéye: 1 m ( i) =, i = 1,, K, Köye belátható, hogy ez eleget tesz az eloszlásfüggvéyek tulajdoságaiak. Folytoos egyeletes eloszlás: Legye Ω R eseméytér. Értelmezzük az egyeletes eloszlás eloszlásfüggvéyét: f(x) = c, ahol c R álladó, értéket a ormálási feltételből számítjuk ki: 117

4 Ω f ( x) dx = 1. Beroulli v. biomiális eloszlás Adott kísérletek kétféle kimeetele lehetséges: siker, kudarc. Legye a siker valószíűsége p, jelöljük q=1-p a kudarc bekövetkezési valószíűségét. Keressük aak valószíűségét, hogy próbálkozásból potosa k kimeetel sikeres. Egy siker bekövetkezési valószíűsége p, akkor k db siker valószíűsége p k. Hasolóa, a femaradó -k esetek kudarcak kell leie, eek valószíűsége q -k. Másrészt, k próbálkozás sorá C - féleképpe valósulhat meg k kedvező eseméy. Összegezve, aak valószíűsége, hogy próbálkozásból potosa k siker adódik, ha a siker valószíűsége p: k k k b(, p, k) = C p q Ez az összefüggés az ú. Beroulli vagy biomiális eloszlás. A. ábra Beroulli eloszlásra kapott szimulációs eredméyek Szükséges kimutati, hogy ez valóba eloszlásfüggvéy, vagyis, hogy: 1. 0 < b (, p, k) < 1, bármely k és 0 < p <1 eseté.. b(, p, k) = 1. Köye belátható, hogy ez az összeg em más, mit a (p + q) k= 1 kifejtése. Tudjuk viszot, hogy p + q = 1. Ezeel bebizoyítottuk, hogy a biomiális eloszlás eleget tesz az eloszlásfüggvéyre kiszabott követelméyekek. 118

5 Poisso eloszlás Tekitsük a következő esetet: adott eseméy véletleszerű időközökét következik be. Azt tudjuk, hogy egységyi idő alatt átlagosa λ = kostas bekövetkezés törtéik. (Például egy agyvárosi redőrségre véletleszerű időközökét érkezek telefohívások, és a sok éves tapasztalat azt mutatja, hogy átlagba 5 perc alatt 8 telefohívás érkezik.) Keressük a bekövetkezések eloszlását. Kiiduluk a biomiális eloszlából. Felosztjuk az adott időitervalumot egyelő hosszúságú alszakaszra úgy, hogy egy ilye rövid időszakba legfeebb egy bekövetkezés essék. Ilye módo, az a szakasz számít sikerek a biomiális eloszlás tekitetébe, amikor törtéik eseméy, a több szakasz üres, vagyis sikertele. Első lépésbe keressük a siker p valószíűségét. Egységyi idő alatt átlagosa λ siker következik be, haszálva a Beroulli eloszlás jelöléseit, ez em más, mit p. λ = p λ p = Felhaszálva a biomiális eloszlást, keressük a bekövetkezések (X) eloszlását: λ λ = = = X 0) b(, p,0) (1 p) = 1 e, ha agyo agy szám. Bármely rögzített k érték esete felírható: b(, p, k) λ ( k 1) p λ =, szité agy (tehát kis p) értékek eseté. b(, p, k 1) kq k Ilyeformá: P ( X = 1) λe λ, illetve általáosa: k λ λ X = k) e k! Ez utóbbi kifejezés a Poisso eloszlást szolgáltatja. Megadja aak valószíűségét, hogy egységyi idő alatt potosa k bekövetkezés törtéik. Gyakorlat! Mutassuk meg, hogy a Poisso eloszlás eleget tesz az eloszlásfüggvéyek tulajdoságaiak! Expoeciális eloszlás Az expoeciális eloszlás egyike a legfotosabb folytoos eloszlásfüggvéyekek. Szoros kapcsolatba áll a Poisso eloszlással. Tekitsük ismét véletleszerű időközökét bekövetkező eseméyt. Legye ez például egy rádioaktív próba eseté két egymás utái bomlás között eltelt idő. Keressük két egymás utái bekövetkezés között eltelt idő eloszlásfüggvéyét. Erre a célra gyakra alkalmas az ú. expoeciális eloszlásfüggvéy: x f ( x) = λe λ, ahol 0 x <. Az eloszlásfüggvéy a megevezett itervallumo kívül ulla értéket vesz fel. A kifejezésbe szereplő λ egy pozitív álladó. Jeletését megadjuk a későbbiekbe. Gyakorlatkét javasoljuk aak bizoyítását, hogy a feti expoeciális függvéy valóba egységre ormált eloszlásfüggvéy. 119

6 A3. ábra Expoeciális eloszlás külöböző paraméter-értékekre Az expoeciális eloszlás segítségével gyakra aduk választ olya típusú kérdésekre, hogy: Meyit kell vári, amíg Legye T expoeciális eloszlást követő valószíűségi változó λ paraméterrel. Mi a valószíűsége aak, hogy T x? F( x) x λt = T x) = λe dt = 1 0 e λx. Vizsgáljuk az expoeciális eloszlás egyik legfotosabb tulajdoságát, a memória hiáyát. Kiszámítjuk aak valószíűségét, hogy még kell vári s időt egy bekövetkezésre, ha már vártuk előzőleg r időt. Ez egy feltételes valószíűség. (A feltételes valószíűséget a következőképpe jelöljük és értelmezzük általaosa: E F) E F) =. F) Megadja aak valószíűségét, hogy bekövetkezik az E eseméy, ha tudjuk, hogy F eseméy már bekövetkezett.) Jele esetbe az expoeciális eloszlásál azt fogjuk megmutati, hogy igaz a következő egyelőség: P ( T > r + s T > r) = T > s) Eek igazolására kiszámítjuk az egyelőség két oldalá megjeleő valószíűségeket. A jobb oldalo: λs 1 F( s) = e, míg a baloldalo szereplő feltételes valószíűségre írhatjuk: λ ( r+ s) T > r + s) 1 F( r + s) e λs = = = e. λr T > r) 1 F( s) e Ie világosa látszik, hogy aak valószíűsége, hogy még s ideig vári kell egy bekövetkezésre függetle attól, hogy előzőleg már r ideig vártuk. Ez az expoeciális eloszlásra jellemző agyo fotos tulajdoság, a memória hiáya. 10

7 Normál- vagy Gauss-eloszlás A legfotosabb, természetbe leggyakrabba előforduló eloszlásfüggvéy a ormál- vagy Gauss-eloszlás. Alakja: f ( x) = későbbiekbe. 1 e π σ ( x= µ ) / σ, ahol µ és σ paraméterek, jeletésüket megadjuk a A4. ábra Normáleloszlás, µ = 0 Abba az esetbe, amikor a paraméterek µ = 0 és σ = 1 értéket veszek fel, stadard ormáleloszlásról beszélük. A ormáleloszlás hatalmas jeletőségét a valószíűségszámítás agyo fotos alaptétele, a közepes határeloszlás tétele fogalmazza meg. Ezt a tételt kijeletjük, de bizoyítása túllépi eze jegyzet kereteit, ezért em bizoyítjuk. (Bizoyítását lásd pl. Charles M. Gristead és J. Laurie Sell: Itroductio to Probability, 10.3 fejezet.) A közepes határeloszlás tétele kimodja, hogy agy számú, tetszőleges eloszlást követő valószíűségi változó összegére jellemző eloszlásfüggvéy a ormáleloszláshoz tart. Aak igazolása, hogy a ormáleloszlás valóba eleget tesz az eloszlásfüggvéyekkel szembe támasztott követelméyekek, em magától értetődő. Ki kell mutati, hogy 1 ( = ) / e x µ σ dx = 1. πσ Az elvégzedő itegrálál azt haszáljuk fel, hogy = x x e dx e dx = π 0 11

8 5. Várható érték (átlag), szórás, korreláció Várható érték Tekitsük a következő játékot: Dobókockával dobuk. Ameyibe páros számot dobuk, a számak megfelelő összeget veszítük, ha páratlat dobuk, yerük. Pl. ha kettest dobuk, veszítük kettőt, ha hármast dobuk, akkor yerük hármat. Fel kell méri, hogy érdemes-e játszai! Szereték tudi, hogy átlagosa meyi yereségre számíthatuk, és ezt a következőképpe számítjuk ki: µ = = A játék tehát em yereséges a játékos számára. A bevezető példa utá értelmezzük diszkrét valószíűségi változó eseté az átlagot (várható értéket): Legye X diszkrét valószíűségi változó, Ω eseméytérbe és m(x) eloszlásfüggvéyel. Ekkor: µ = E ( X ) = X = xm( x) x Ω Ameyibe a feti összeg em abszolút koverges, azt modjuk, hogy X-ek ics jól meghatározott várható értéke. Gyakorlat! Mutassuk meg, hogy a biomiális eloszlásra jellemző várható érték µ = p. Számítsuk ki a Poisso eloszlás várható értékét! Áttérük a folytoos eloszlású valószíűségi változók esetére, adott f(x) eloszlásfüggvéy. A várható értéket ekkor a következő kifejezés szolgáltatja: µ = E ( X ) = X = xf ( x) dx Vizsgáljuk az expoeciális eloszlás esetét. Arra akaruk választ adi, hogy átlagosa meyi idő telik el pl. két egymást követő radioaktív bomlás között. A várható érték defiíciója alapjá: 1 ( ) = = λ λ x E X X x e dx = 0 λ Ezeel értelmezi tudjuk az expoeciális eloszlásra jellemző λ paramétert, ami em más, mit az átlagérték reciproka. Radioaktív bomlás eseté bomlási álladóak evezzük, megadja, hogy egységyi idő alatt átlagosa háy bomlás törtéik. A Gauss-eloszlás µ paramétere szité az eloszlásra jellemző átlagérték. A számítások elvégzése léyegese köyebb a stadard alak felhaszálásával. Gyakorlatkét javasoljuk aak igazolását, hogy a stadard Gauss-eloszlás (µ = 0) eseté az átlagérték valóba 0. Ilyekor azt modjuk, hogy az eloszlás ullára cetrált, és a haraggörbe alakja szimmetrikus az Oy tegelyre ézve. 1

9 A várható érték tulajdoságai: Legye X és Y két valós véletleszerű változó, c álladó, akkor 1. E(X + Y) = E(X) + E(Y),. E(cX) = ce(x). Általáosa: E(c 1 X 1 + c X + + c X ) = c 1 E(X 1 ) + c E(X ) + +c E(X ). Legye X és Y egymástól függetle véletleszerű változó. Akkor: E(XY) = E(X)E(Y). Szóráségyzet (varaicia), szórás Legye X valós értékű valószíűségi változó, várható értéke E(X) = µ. Ekkor X szóráségyzete (variaciája): V ( X ) = σ = E(( X µ ) ) = E( X µ X + µ ) = E( X ) µ E( X ) + µ = E( X ) µ Ie azoal adódik a szórás vagy stadard deviáció kifejezése: D ( X ) = σ = V ( X ). A szóráségyzet tulajdoságai: 1. V(cX) = c V(X),. V(X + c) = V(X). 3. Ha X és Y függetleek: V(X+Y) = V(X) + V(Y). Gyakorlat! Elleőrizzük a feti állítások helyességét. A szóráségyzet kiszámítása Mideek előtt az E(X ) meyiséget kell kiszámítai a következőképpe: Diszkrét esetbe: E ( X ) = X = x m( x) x Ω Ie a szóráségyzetre kapjuk: V Folytoos esetbe: ( X ) = E( X ) ( E( X )) = X X E ( X ) = X = x f ( x) dx A diszkrét esethez hasolóa számítjuk a szóráségyzetet. A szóráségyzet jeletése: megadja a valószíűségi változóak az átlagtól való közepes égyzetes eltérését. Gyakorlat! Mutassuk meg, hogy a Beroulli eloszlás szóráségyzete σ = pq. A ormáleloszlás eseté a σ paraméter éppe a szóráségyzetet jeleti. A számításokat ismét köyebb elvégezi a stadard ormáleloszlás esetére, és elleőrizhető, hogy ha σ = 1 paraméterrel dolgozuk, akkor a szóráségyzetre is 1-et kapuk. Gyakorlat! Számítsuk ki a λ paraméterű expoeciális eloszlás szóráségyzetét! 13

10 Korreláció Legye X és Y két véletleszerű változó. Értelmezzük a két változó kovariaciáját: cov( X, Y ) = E(( X µ ( X ))( Y µ ( Y ))) A kovariacia tulajdoságai: 1. cov( X, Y ) = E( XY) E( X ) E( Y ). cov( X, Y ) = 0, ha X és Y egymástól függetleek. 3. V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) + cov( X, Y ) Éretlemezzük X és Y változók korrelációját: cov( X, Y ) ρ ( X, Y ) = és 1 ρ ( X, Y ) 1. V ( X ) V ( Y ) 6. A Stirlig képlet Végezetül megaduk egy redkívül haszos öszefüggést, amely agy számok faktoriálisára ad ige jó közelítést. Sok valószíûségi probléma eseté eek a haszálata jeletõse megköyití az aalitikus számolásokat:! π (Stirlig képlete) e Gyakra haszáljuk a feti Stirlig képlet logaritmusát: l(!) l 14