A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.

Átírás

1 y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2) Az egyes kooráták (alacsoyabb mezós vektorok) eloszlása: peremeloszlás. Az együttes eloszlás tehát meghatározza a peremeloszlást. Kapcsolat az együttes- és a peremeloszlás között Péla A peremeloszlások vszot em határozzák meg az együttest: (tetsz. a </4-re P(X)P(X-)/2 P(Y)P(Y-)/2) Kvétel: ha a kompoesek függetleek o / 4+ a o / 4-a o / 4- a o / 4+ a Polomáls eloszlás: a kísérletükek r külöbözı kmeetele lehet: p,p 2,...,p r valószíőségőek (p +p p r ). függetle, azoos körülméyek között végrehajtott kísérlet sorá az -ek eseméy bekövetkezéséek száma X. Az együttes eloszlásuk:! k k2 kr P( X k,..., Xr kr ) p p2... pr ( k + k kr ) k! k!... k! 2 r x Tulajoságok Specáls esetek: r trváls r2: bomáls eloszlás (X, X 2 - X ) Az egymezós peremeloszlások (X eloszlása) bomáls (, p ) paraméterrel Péla: kockaobásál az egyes értékek gyakorsága (tt r 6). A kooráták em függetleek! (Pl. X eseté a több kooráta 0.) Valószíőség vektorváltozók eloszlásfüggvéye Az eloszlás megaásához elegeı a F X (z):p(x<z) valószíőségeket mega (z R ), a < relácó koorátákét érteı, azaz X<z potosa akkor teljesül, ha X <z me -re. Ezek meghatározzák Q X (B) értékét tetszıleges B-re.

2 Az együttes eloszlásfüggvéy Az F X (z):p(x<z) R R függvéy az X valószíőség vektorváltozó együttes eloszlásfüggvéye. Az egymezós esettel aalóg tulajosága: 0 F X (z) F X (z) me koorátájába mooto övı lm F X (z), ha z me koorátájára z lm F X (z)0 ha z legalább egy koorátájára z - F X (z) me koorátájába balról folytoos. Téglatestek valószíősége P(a X < b) 0 me a < b R re. Ez kfejezhetı az X eloszlásfüggvéyével: 2-re: P(a X < b)f(b,b 2 )- F(b,a 2 )- F(a,b 2 )+ F(a,a 2 ). Általáosa: P( a X < b) ahol 0 ε {0, } εj εa(ε a, ε 2 a 2,..., ε a ) ( ) F[ εa + ( ε ) b] S P Bzoyítás Legye A : {X < a } és B: {X< b}. Ezekkel az eseméyekkel P a X < b) P( A A... A ( 2 B ( A 2... B) P( B) P(( A A2... A ) B + *( ) P(( A A2... A ) B) ( ) S ahol *( ) j < j2 <... < j P( Aj j2... B) ε {0,} εj mvel P(B)F(εa+ (-ε)b) az ε(0,0,...,0) vektorral, éppe a tételbe szereplı formulát kaptuk. j F[ εa + ( ε) b] ) ) Az eloszlásfüggvéy tulajosága Legye k k <k 2 <,...<k az {,,} részhalmaza. Ekkor ha z potosa az {,,}\k bel koorátákra, akkor lm F X (z) F X* (z*) ahol z* R potosa a z k-bel koorátából áll. X* s - mezós valószíőség változó, elevezés: az X peremeloszlása. Spec.: 2, : lm x F X,Y (x,f Y ( lm y F X,Y (x,f X (x) Tetszıleges, a felsorolt összes tulajosággal reelkezı F-hez létezk X -mezós vektorváltozó, amek F az eloszlásfügvéye. Sőrőségfüggvéy Ha létezk fq X /λ: R R függvéy, akkor X abszolút folytoos eloszlású. Ekkor F elıáll f tegrálfüggvéyekét: F ( z) z f ( t) t f: az X sőrőségfüggvéye. Az tegrál most -mezós, értelmezése: F( z) z z 2 z... f ( t, t2,..., t ) t... t2t A peremeloszlások sőrőségfüggvéye Legye 2. Ha (X,Y) abszolút folytoos, f(x, együttes sőrőségfüggvéyel, akkor X sőrőségfüggvéye g X ( x) fx, Y ( x, y Bzoyítás. z f x, yx F ( z, ) P( X < z) X, Y ( X, Y Ugyaígy Y sőrőségfüggvéye hy ( fx, Y ( x, x 2

3 Pélák Az egységégyzet 0<x<y< részé egyeletes eloszlásra a peremeloszlások meghatározása. Függvéy eloszlása: Tfh az A tartomáyo aott egy g, folytoosa erválható fügvéy, melyek létezk verze. Ha az X abszolút folytoos változó értéke A-belek, akkor g(x) s abszolút folytoos, sőrőségfüggvéye fg( X )( fx ( g ( ) J ahol J a g - függvéy Jacob etermásáak abszolút értéke. Valószíőség változók függetlesége eseméyreszer függetle, ha P ( A... ) ( ) ( )... ( ) A 2 k teljesül tetszıleges 2 k A A, A A,..., A k A 2 2 k eseméyekre, < 2 < < k exsorozatra és me 2 k számra. Def. Az X,,X valószíőség változók függetleek, ha az F X, F X2,,F X geerált σ-algebrák függetleek. A függetleség karakterzácó Ha X koorátá függetleek, akkor efícó szert F X (z)p(x <z, X 2 < z 2,..., X <k )F (z )F 2 (z 2 )...F (z ) (me z R re). Meg s forítható: F szorzatelıállításából következk a függetleség. Derválva: a függetleség abszolút folytoos változókra ekvvales a sőrőségfüggvéy f X (z)f (z )f 2 (z 2 )...f (z ) alakú elıállításával s. Péla: az egységégyzete egyeletes eloszlás sőrőségfüggvéye (f(z) ha 0<z<) elıáll f (z )f 2 (z 2 ) alakba, ahol f (z ), ha 0<z < (,2), ez éppe a [0,] tervallumo egyeletes eloszlás. Valószíőség változók függetlesége eseméyreszer függetle, ha P ( A... ) ( ) ( )... ( ) A 2 k teljesül tetszıleges 2 k A A, A A,..., A k A 2 2 k eseméyekre, < 2 < < k exsorozatra és me 2 k számra. Def. Az X,,X valószíőség változók függetleek, ha az F X, F X2,,F X geerált σ-algebrák függetleek. A függetleség karakterzácó Ha X koorátá függetleek, akkor efícó szert F X (z)p(x <z, X 2 < z 2,..., X <z )F (z )F 2 (z 2 )...F (z ) (me z R re). Meg s forítható: F szorzatelıállításából következk a függetleség. Derválva: a függetleség abszolút folytoos változókra ekvvales a sőrőségfüggvéy f X (z)f (z )f 2 (z 2 )...f (z ) alakú elıállításával s. Péla: az egységégyzete egyeletes eloszlás sőrőségfüggvéye (f(z) ha 0<z<) elıáll f (z )f 2 (z 2 ) alakba, ahol f (z ), ha 0<z < (,2), ez éppe a [0,] tervallumo egyeletes eloszlás. Tulajoságok. Az X,,X szkrét valószíőség változók függetleek, ha P (X x,..., X x )P (X x )... P (X x ) teljesül me x,...,x értékre. 2. Ha az X,,X valószíőség változók függetleek, a g,,g függvéyek Borelmérhetıek, akkor g (X ),, g (X ) s függetleek. 3. Ha az X,,X valószíőség változók függetleek, a h k-változós Borel-mérhetı fv., akkor h(x,, X k ), X k+,,x s függetleek. 3

4 Várható érték Legye X valószíőség változó. A várható X ) X ( ω) P( ω) Ω ha létezk az tegrál. Néháy tulajoság: cx)cx) Ha X Y, és létezek a várható értékek, akkor X) Y). EX E X ha EX létezk. Dszkrét valószíőség változók várható értéke A p P (Xx ) eloszlással megaott valószíőség változó várható értéke X) p x + p 2 x 2 +, ha a sor abszolút koverges. Péla: Dobókocka: ay a yereméyük, ameyt obuk. Eek átlagos értéke /6(+2+ +6)2/63.5 De ha em szabályos a kocka, pélául az egyes helyett s 6 va, akkor az átlagos yereméy /6(2+ +5)+6/33/3. Pélák Az elfajult eloszlás várható X)cP(Xc)c. A p valószíőségő A eseméy kátoráak várható X)P(X) p Az (,p) paraméterő bomáls eloszlás várható k k k k X ) k p ( p) p p ( p) p k k k k Amerka rulett. Ha k számra teszük, a yereméyük 36/k. A várható yereméy (36/k) (k/38)- - 2/38. Pélák 2. A hpergeometra eloszlás várható értéke M N M M N M k k M k k M E X k ( ) k N k N N N A Posso eloszlás várható értéke X ) λ λ λ k e k e k e kλ λ λλ k k! k ( k )! k ( k )! λ A várható érték tovább tulajosága X ) X ( ω) P( ω) yq Ω R X ( Elıforulhat, hogy X + ) X - ), ekkor X) em létezk. Ha létezk EX, akkor me A Aeseméyre létezk Xχ A ) s. Ha létezk EX és EY és értelmes EX+EY, akkor X+Y) EX+EY. Ha X0 valószíőséggel, akkor EX0. Az atvtás következméye Bomáls eloszlás várható értéke p (függetle, azoos paraméterő kátorok összege) Péla. N ember letesz az eseryıjét a tartóba. Távozáskor véletleszerőe választaak egyet. Várható értékbe háya fogak a saját eryıjükkel hazame? Ugyaígy: hpergeometrkus eloszlás várható M/N. 4

5 Szt.Pétervár paraoxo Nem me valószíőség változóak va véges várható legye P(X2 k )(/2) k k,2, Ekkor X)+++. Azaz aak a játékak az ára, ahol 2 k Ft-ot kapuk, ha szabályos érmével k-akra obuk elıször fejet: végtele. Ez a Szt.Pétervár paraoxo; gyakorlatba persze em reáls így ez a játék, hsze cs az a bak, amely korlátla pézt tua fzet. 5