Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János

Átírás

1 BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008

2 1. AZ ESEMÉNY FOGALMA, ESEMÉNY TÉR, MŐVELETEK ESEMÉNYEKKEL 1.1 Véletlen esemény Véletlen kísérlet (vagy természeti jelenség): amelynek kimenetelét az általunk figyelembe vett (ismert feltételek nem határozzák meg egyértelmően. Kísérlet lehetséges kimenetele = elemi esemény Jelölése: ω Elemi események összessége az esemény tér (halmaz), jele: Ω ; ω Ω 1. ábra. Elemi események, esemény tér, véletlen esemény Véletlen (lehetséges) esemény : elemi események egy halmaza: A, B,.. Ha ω * A és egy kísérlet esetén ω * kimenetel adódik, azt mondjuk, hogy A véletlen esemény bekövetkezett. Pl. Ha egy élettartam vizsgálat esetén az N t törési ciklusszámra A = {N t > 10 6 ciklus} és egy kísérletben N t =2, adódik, akkor A bekövetkezett! Kitüntetett események: - Ω, amely minden elemi eseményt tartalmaz: Biztos esemény Valósz. alapok/márialigeti /15

3 - O, üres halmaz, amely nem tartalmaz elemet, így Ω minden halmazának eleme: Lehetetlen esemény 1.2. Mőveletek eseményekkel: Összeadás: A+B, vagy A (U) B a két esemény közül legalább az egyik bekövetkezik (egyesítés) 2. ábra. Események összeadása (unió) Szorzás: AB, vagy AI B mindkét esemény bekövetkezik (metszet) 3. ábra. Események szorzata Komplementer esemény: A komplementer eseménye: A, A+ A=Ω, A A=0 Valósz. alapok/márialigeti /15

4 4. ábra. Komplementer esemény 2. GYAKORISÁG, RELATÍV GYAKORISÁG, VALÓSZÍNŐSÉG 2.1. Gyakoriság Véletlen kísérlet kimenetelét nem tudjuk megjósolni. Kísérlet sorozatot végezve, a kimenetelek alkotta esemény sorozat áttekinthetetlennek tőnik. Legyen A és B két lehetséges esemény, kimenetel. Azt tapasztaljuk, hogy a kísérletek számát növelve a k A és k B, az A és B események bekövetkezése gyakoriságainak (számának) a k A /k B hányadosa relatív stabilitást mutat, és a kísérletek n számát növelve egy meghatározott értékhez tart. Tehát az egyes események (kimenetelek) gyakoriságainak relatív súlya állandó Valószínőség fogalma Hozzárendelve így egy eseményhez egy tetszésszerinti számot, a relatív gyakoriságok hányadosa alapján, minden eseményhez egyértelmően tudunk egy számot hozzárendelni. Egy tetszés szerinti A eseményhez ilyen módon hozzárendelt számot P(A)-val jelöljük, és az A esemény valószínőségének nevezzük. Valósz. alapok/márialigeti /15

5 2.3. Relatív gyakoriság és valószínőség A valószínőség skálájának meghatározásához válasszuk ki a minden kísérlettel kapcsolatban meghatározható Ω biztos eseményt. Rendeljük ehhez az 1 értéket. n kísérlet esetén Ω gyakorisága k Ω =n. Mivel pl. k A /k Ω =áll., k A is állandó, és k A /n = áll. 1, mivel k A k Ω pont alapján: P(A)=k A /k Ω.P(Ω)= k A /n.1= k A /n 1, n. A k A /n az A esemény relatív gyakorisága, és n< esetén k A /n~p(a). 0 P(A) 1. Megjegyzés: Legyenek A és B egymást kizáró események, AB=O. Ekkor k A+B = k A + k B, illetve k A+B /n = k A /n + k B /n, így P(A+B) = P(A) + P(B) 3. A VALÓSZÍNŐSÉG AXIÓMÁI (i) O P(A) 1 (ii) P(Ω) = 1 (iii) A 1, A 2,. Egymást páronként kizáró események véges vagy végtelen sorozata, azaz A i A k =O, i k, akkor P ( A ) = P( ) k A k k k A P(..) függvényt valószínőségnek vagy valószínőségeloszlásnak nevezzük. Valósz. alapok/márialigeti /15

6 4. ESEMÉNYEK VALÓSZÍNŐSÉGÉNEK NÉHÁNY ALAPVETİ ÖSSZEFÜGGÉSE 4.1. A lehetetlen esemény valószínősége 0, azaz P(O)= 0, és A+O=A, AO=O 4.2. P( A)= 1- P(A) 4.3. Tetszıleges A és B eseményre igaz, hogy P( AU B) = P( A) + P( B) P( AI B) 4.4. Ha a B esemény tartalmazza A-t, vagyis A B, akkor P(A) P(B) és P(A-B) = P(B) P(A) 5. ábra. Események kivonása 4.5. Feltételes valószínőség Legyen A és B két esemény, P(B)>0. T. f. h. egy kísérletsorozatban a B esemény gyakorisága k B, és ezek között k AB gyakorisággal az A is bekövetkezett. A k AB / k B hányadost az A esemény B-re vonatkoztatott relativ gyakoriságának nevezzük. Valósz. alapok/márialigeti /15

7 Mivel k AB /n ~ P(AB) és k B /n ~ P(B), k AB k /n P(AB) = AB ~. k k /n P(B) B B P(AB) A számot az A esemény B eseményre vonatkoztatott P(B) feltételes valószínőségének nevezzük, és P(A B)-vel jelöljük: P(A B )= P(AB) P(B) (1) 6. ábra. A feltételes valószínőség értelmezése 4.5./ Események függetlensége Az A eseményt a B eseménytıl függetlennek nevezzük, ha P(A B)= P(A). Ebbıl következik, az (1) egyenlet átrendezésével, hogy ha A független B tıl, akkor: P(AB)= P(A)P(B) (2) Valósz. alapok/márialigeti /15

8 A fenti egyenlet átrendezésével: P(AB)/P(A)=P(B)=P(B A), vagyis ha A független B-tıl, akkor B is független A-tól. 5. A VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓ FOGALMA A valószínőségi változó az ω elemi események Ω halmazán értelmezett függvény. Egydimenziós eset. Olyan esetekben, amelyekben az elemi eseménnyel egyetlen számértéket lehet vagy kívánunk kapcsolatba hozni, a függvény (hozzárendelés) az elemi események terének a számegyenesre vagy annak egy részhalmazára való leképezés. 7. ábra. A valószínőségi változó értelmezése Azt a számot, amit az elemi eseményhez ilyen módon hozzárendelünk görög betővel jelöljük, és kiírhatjuk azt az ω elemi eseményt is zárójelben, amelyhez a hozzárendelés történik: ξ (ω) vagy η(ω).., egyszerően ξ vagy η. Megjegyzés: Gyakran a kísérlettel kapcsolatos esemény eleve számértékkel definiálható. Ebben az esetben az elemi eseményt önmagához rendeljük. Valósz. alapok/márialigeti /15

9 Valószínőségi vektorváltozó Ebben az esetben az elemi eseményhez több számértéket rendelünk, amelyek egy vektor változó komponenseiként értelmezhetık. Ez tehát egy, az Ω halamazon értelmezett vektor függvény: ω ~ ξ ω (ξ 1, ξ 2, ξ 3,.. ξ n ) n< 8. ábra. A valószínőségi vektorváltozó értelmezése kétdimenziós esetben: ξ 1 = ξ, ξ 2 =η Sztochasztikus folyamatok Idıben lejátszódó véletlen folyamatok esetén az ω elemi eseményhez egy T idıtartományon értelmezett függvényt rendelünk. Miközben a véletlen folyamat az idıben lefut, a vizsgált rendszer egy jellemzıje minden t T idıpillanatban t tıl függı ξ t, (vagy ξ(t)) értéket vesz fel, az adott ω elemi esemény esetén. A ξ= ξ (t);ω) tehát egy kétváltozós függvénynek tekinthetı: ω=áll., rögzített ω esetén egy ξ ω (t) idıfüggvény, rögzített t T esetén ξ t (ω) függvény. Valósz. alapok/márialigeti /15

10 9. ábra. Sztochasztikus folyamat értelmezése 6. VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK ELOSZLÁSAI, ELOSZLÁSFÜGGVÉNY Legyen A Ω esemény, P(ω A) = P(A). Legyen továbbá a ξ(ω) E valószínőségi változóra ω A, és minden ω A-ra ξ(ω) E. Ebben az esetben P(ω A)=P(ξ(ω) E) A P(ξ(ω) E) valószínőségeloszlást a ξ(ω) valószínőségi változó valószínőségeloszlásának nevezzük. Valósz. alapok/márialigeti /15

11 10. ábra. A valószínőségi változó valószínőségeloszlásának értelmezése Erre is teljesülnek a valószínőségeloszlás axiómái, ahol Ω szerepét a ξ(ω) értelmezési tartománya veszi át. ξ esetén ez az egész számegyenes. A valószínőségeloszlás megadása. A P(ξ(ω) E) események megadása tetszésszerinti E halmazra meglehetısen nehézkes. Ezért az alábbiak szerint járunk el. Legyen x a számegyenes egy tetszés szerinti, rögzített pontja, és tekintsük a valószínőséget. P(ξ(ω) E)= P{ξ(ω) ( < x )}=P(ξ<x)= F(x) Ha x et a ξ valószínőségi változó értéktartományán, pl. a x tartományon végigfuttatjuk, egy függvényt kapunk. Ezt az F(x) függvényt a ξ valószínőségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük (rövidítve eof). Valósz. alapok/márialigeti /15

12 11. ábra. Az eloszlá függvény értelmezése Az F(x) eloszlásfüggvény tulajdonságai, tartomány esetén. a./ Értékkészlete: 0 F(x) 1 x a x x értelmezési b b./ F(x 1 ) F(x 2 ), ha x 1 < x 2, mivel ha ξ< x 1 ξ< x 2 c./ F x) = 0, F( x) 1, lim ( lim = x xa x xb d./ F(x) minden x-ben balról folytonos. (Mi csak folytonos eof.-al foglalkozunk) e./ ξ [a;b) esemény valószínősége P(ξ<a) + P(a ξ <b)=p(ξ<b), átrendezve P(a ξ <b)= P(ξ <b)-p(ξ<a) = F(b)-F(a) f./ ξ= a esemény valószínősége, folytonos val. vált. és eof. esetén P( a - ε < ξ < a +ε )= F(a +ε) F(a - ε) ε 0 esetén F(a ±ε) F(a), mivel F folytonos, így P(ξ=a)=0, de ez nem lehetetlen esemény. Tehát abból, hogy a lehetetlen esemény valószínősége 0, nem következik, hogy a 0 valószínőségő esemény lehetetlen. Valósz. alapok/márialigeti /15

13 12. ábra. Az eloszlásfüggvény 13. ábra. A P(ξ=a ) értelmezése g./a ξ valószínőségi változót és annak F(x) eloszlásfüggvényét folytonosnak nevezzük, ha van olyan f(x) 0 függvény, hogy a számegyenes minden (a;b) intervallumára: F ( b) F( a) = P( a< x< b) = f ( x) dx Az f(x) függvényt a ξ val. vált. sőrőségfüggvényének nevezzük. a = x a, b = x esetén F( b) F( xa ) = P( xa < x< b) = f ( x) dx= F( x) x x a b a a = x, b= esetén: a x b P( xa < ξ < xb ) = f ( x) dx= 1, Valósz. alapok/márialigeti /15 x b x a

14 Vagyis a sőrőségfüggvény alatti terület ábra. A sőrőség- és eloszlás függvény kapcsolata h./ Mivel F(x) folytonos, P(a ξ b)= P(a ξ<b)= P(a< ξ b) = P(a< ξ <b) Az elıbbiekbıl következik, hogy F(x) differenciálható, tehát df( x) f ( x) = = F ( x) dx 7. VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK JELLEMZİI 7.1. Várható érték (vé) Legyen ξ folytonos eloszlású, az xa x x folytonos F(x) eof-al. A várható érték: Valósz. alapok/márialigeti /15 b értelmezési tartományon

15 x = b M (ξ ) xf ( x) dx Összeg v.é. Ha ζ= ξ+η és ξ és η v.é. létezik, akkor M(ζ)=M(ξ)+M(η), speciálisan M(ξ+c)=M(ξ)+c, c=áll. Szorzat v.é. Ha ζ= ξη és ξ és η v.é. létezik, akkor M(ζ)=M(ξ)M(η), speciálisan M(ξc)=cM(ξ), c=áll. x a 15. ábra. A várható érték értelmezése 7.2. Szórásnégyzet, szórás A D 2 (ξ ) szórásnégyzet definíció szerint a ξ-m(ξ) valószínőségi változó négyzetének várható értéke: D 2 (ξ) = M[(ξ-M(ξ)) 2 ], a D(ξ) szórás ennek pozitív négyzetgyöke: D ( ξ ) = D 2 ( ξ ) Kiszámítása a v.é. összefüggése alapján: 2 x = b D ( ξ ) ( x M ( ξ )) f ( x) dx x a Valósz. alapok/márialigeti /15 2

16 16. ábra. A szórásnégyzet értelmezése Valósz. alapok/márialigeti /15