Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Átírás

1 Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1

2 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya által bezárt szög tangensét értjük. Tekintsük az f függvény grafikonját és az x 0 és x (x 0 x) abszcisszájú pontjain áthaladó egyenest. Ezt az egyenest nevezzük a függvény (x 0,f(x 0 )) és (x, f(x)) pontjaihoz tartozó szelőnek. Differenciálszámítás p. 2/1

3 Feladatok Hogyan lehet a függvény képletéből kiszámítani az (x 0,f(x 0 )) és (x, f(x)) pontokon átmenő szelő meredekségét? Hogyan kaphatjuk meg ebből az (x 0,f(x 0 )) ponthoz húzható érintő meredekségét leíró képletet? Hogyan alkalmazható ez a képlet konkrét függvényekre? Miért az érintő meredeksége a fontos számunkra? Differenciálszámítás p. 3/1

4 A szelő meredeksége Y f(x) f(x 0 ) α x 0 α } f(x) f(x0) } x x 0 X x tgα = f(x) f(x 0) x x 0. Differenciálszámítás p. 4/1

5 A differenciahányados függvény Definíció. Legyen H R, x 0 H belső pont, f : H R. Azf függvény x 0 -beli differenciahányados függvénye a függvény. d(x) = f(x) f(x 0) x x 0, x x 0 Differenciálszámítás p. 5/1

6 Az érintő meredeksége Rögzítsük az x 0 pontot. Ha x 0 rögzített és x tetszőleges, akkor a szelő meredeksége függ az x megválasztásától. Közelítsünk az x ponttal az x 0 -hoz! Ha létezik a f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 határérték, akkor ez az f függvény (x 0,f(x 0 )) pontjához tartozó érintő meredeksége y x Differenciálszámítás p. 6/1

7 A differenciálhányados Definíció. Legyen f : H R és x 0 H belső pont. Azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható az x 0 pontban, ha a differenciahányados függvénynek létezik az x 0 pontban véges határértéke. A f(x) f(x 0 ) lim = f (x 0 ) x x 0 x x 0 számot az f függvény x 0 -beli differenciálhányadosának nevezzük. Differenciálszámítás p. 7/1

8 Megjegyzések f(x) f(x Ha a lim 0 ) x x 0 x x 0 határérték nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény nem differenciálható x 0 -ban. Ha az f függvény az értelmezési tarományának minden pontjában differenciálható, akkor az f : H R függvény az f differenciálhányados-függvénye vagy deriváltfüggvénye. A deriváltfüggvény jelölésére gyakran használják a df dx Az f függvény x 0 -beli érintőjének egyenlete: y f(x 0 )=f (x 0 ) (x x 0 ). jelölést is. Differenciálszámítás p. 8/1

9 Példa Számítsuk ki az f(x) =x 2 függvény x 0 -beli differenciálhányadosát! f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 = lim x x 0 x 2 x 2 0 x x 0 = = lim x x 0 (x x 0 )(x + x 0 ) x x 0 = = lim x x 0 x + x 0 =2x 0. Ennek alapján az x 2 deriváltfüggvénye 2x. Hasonló módon számítható ki az összes többi elemi függvény deriváltja. Differenciálszámítás p. 9/1

10 Elemi függvények deriváltjai (1) f(x) =c f (x) =0 (2) f(x) =x n f (x) =n x n 1 (3) f(x) =e x f (x) =e x (4) f(x) =a x f (x) =a x ln a (5) f(x) =lnx f (x) = 1 x (6) f(x) =log a x f (x) = 1 ln a 1 x (7) f(x) =sinx f (x) =cosx (8) f(x) =cosx f (x) = sin x (9) f(x) =tgx f (x) = 1 cos 2 x (10) f(x) =ctgx f (x) = 1 sin 2 x Differenciálszámítás p. 10/1

11 Deriválási szabályok Tétel. Ha az f és g függvény differenciálható x 0 -ban, akkor f + g is differenciálható x 0 -ban, és (f + g) (x 0 )=f (x 0 )+g (x 0 ). Tétel. Ha az f és g függvény differenciálható x 0 -ban, akkor f g is differenciálható x 0 -ban, és (f g) (x 0 )=f (x 0 ) g(x 0 )+f(x 0 ) g (x 0 ). Tétel. Ha az f függvény az értelmezési tartomány x 0 pontjában differenciálható, és c R, akkor a c f függvény is differenciálható az x 0 pontban és (c f) (x 0 )=c f (x 0 ). Differenciálszámítás p. 11/1

12 Deriválási szabályok Tétel. Ha f és g differenciálható x 0 -ban és g(x 0 ) 0, akkor f g is differenciálható x 0 -ban, és ( ) f (x 0 )= f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ) g (g(x 0 )) 2. Tétel. Az összetett függvény deriválási szabálya. Ha H 1,H 2 R, f : H 1 H 2, g : H 2 R. Legyen x 0 H 1 belső pont, és tegyük fel, hogy y 0 = f(x 0 ) H 2 belső pont. Ekkor ha f differenciálható x 0 -ban, g differenciálható y 0 -ban, akkor g f differenciálható x 0 -ban, és (g f) (x 0 )=g (f(x 0 )) f (x 0 ). Differenciálszámítás p. 12/1