Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Átírás

1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados függvényét! A keresett differenciahányados függvény d(x) f(x) f(x 0) x2 x 2 0 x2 2 ()(x + ) x +, x. 2. Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény (2, 4), (3, 9) pontok által meghatározott szelő egyenletét! Az egyenes egyenletét y mx + b alakban keressük, ahol m a meredekség, b az y tengellyel való metszéspont. Az előző megjegyzés szerint a meredekséget a differenciahányados adja, így m f(x) f(x 0) Mivel például a (2, 4) pont illeszkedik a keresett egyenesre, ezért annak koordinátáit behelyettesítve az egyenes egyenletébe azonosságot kell kapnunk, így fenn kell állnia a b egyenletnek, amiből b 6 adódik. Tehát a keresett egyenes egyenlete y 5x Feladat. Mekkora annak a gépkocsinak az átlagsebessége, amely 8 órát tölt úton, és az első 3 órában 50 km-t tesz meg, a következő 2 órában egyenletes 60 km/h sebességgel halad, azután másfél órát áll, végül még 80 km-t tesz meg? Az első szakaszon 50 km-t, a második szakaszon 20 km-t, végül 80 km-t tesz meg a gépkocsi, így összesen a megtett út 350 km. Az eltelt idő 8 óra, így az átlagsebesség v s t , 75 km h. 4. Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 5x+6 függvény differenciálhányadosát/deriváltját az x 0 2 pontban! x2 5x x 2 (x 2)(x 3) x 2 x 3,

2 2 melynek az x 0 2 pontbeli határértéke (x 3) 2 3. x 2 5. Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 3 pontbeli érintőjének meredekségét, és írjuk föl az érintő egyenletét! Az érintő egyenletét y mx + b alakban keressük. Az érintő meredeksége éppen a függvény adott pontbeli differenciálhányadosa. Így m x 3 f(x) f(3) x 3 x 2 9 x 3 x 3 (x + 3)(x 3) x 3 x 3 x 3 x Mivel a (3, 9) pont illeszkedik a keresett egyenesre, ezért annak koordinátáit behelyettesítve az egyenes egyenletébe azonosságot kell kapnunk, így fenn kell állnia a b egyenletnek, amiből b 9 adódik. Tehát a keresett egyenes egyenlete y 6x Feladat. Egy 00 méter magas torony tetejéről leejtünk egy követ; a kő t másodperc elteltével s(t) 00 4, 9t 2 méter távolságra van a talajtól. Mekkora a kő sebessége 2 másodperc elteltével? A pillanatnyi sebességet a függvény adott pontbeli differenciálhányadosa adja meg v(2) s s(t) s(t 0 ) (2) t t 0 4, 9(2 t)(2 + t) t , 9t 2 (00 4, 9 4) t 2 4, 9(2 + t) 9, 6 m s. 4, 9(4 t 2 ) t 2 7. Feladat. Tekintsük az f(x) x függvényt. Ennek baloldali deriváltja az x 0 0 pontban f (x 0 ) jobboldali differenciálhányadosa f +(x 0 ) x x 0 x x 0 + x 0 x 0 x 0 x x 0 x, x 0 x 0+ x 0 x x 0+ x, így a függvény nem differenciálható az x 0 0 pontban, mert f (x 0 ) f +(x 0 ).

3 3 8. Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 3 x függvény deriváltját az x 0 pontban definíció szerint! x3 x 0 melynek az x 0 pontbeli határértéke x(x2 ) x (x2 + x) + 2. x()(x + ) 9. Feladat. Differenciálható-e az f(x) x függvény az x 0 0 pontban? x 0+ x 0 x 0 x, melynek az x 0 0 pontbeli határértéke létezik ugyan, de nem véges:, x így a függvény nem differenciálható az x 0 0 pontban. 0. Feladat. Határozzuk meg az f(x) x, x függvény deriváltját az x 0 pontban definíció szerint! x 2 + x, x x 0 x 0 xx 0 x + x 0 ( )()(x 0 ) ()(x 0 ), melynek az x 0 pontbeli határértéke x x 0 ()(x 0 ) (x 0 ). 2

4 4. Feladat. A kilövés után t másodperccel a rakéta 3t 2 méter magasságban van a földfelszín felett. Mekkora a rakéta sebessége 0 másodperccel a kilövés után? Az s(t) 3t 2 függvény t 0 0 pontbeli differenciálhányadosát (deriváltját) kell meghatároznunk. s(t) s(t 0 ) t t 0 s(t) s(0) 3t2 300 Ennek a t 0 0 pontbeli határértéke 3(t2 00) v(0) s (0) t 0 3(t + 0) 60 m s. 3(t + 0)() 2. Feladat. Határozzuk meg az m és b valós paraméter értékét úgy, hogy az { x 3, ha x f(x) mx + b, ha x > függvény differenciálható legyen az x 0 pontban! A függvény baloldali deriváltja f (x 0 ) x jobboldali deriváltja x 3 3 x f +(x 0 ) x + ()(x 2 + x + ) x x mx + b (m + b) x m() 3(t + 0). x x 2 + x + 3, m. Egy függvény pontosan akkor differenciálható az x 0 helyen, ha ott a baloldali és jobboldali deriváltja megegyezik, ezért m 3. A differenciálhatósághoz szükséges az adott pontbeli folytonosság, amihez szükséges az adott pontban a baloldali és jobboldali határérték egyenlősége. Így a f(x) f(x) x x + egyenlőségből kapjuk, hogy m + b. Az m értékét már ismerjük. Azt behelyettesítve b 2 adódik. Ezzel meghatároztuk a kérdezett paraméterek értékét. 3. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f(x) x x + + x + függvény differenciálható!

5 Egyedül az x 0 pontban lehet probléma a differenciálhatósággal. A baloldali derivált az x 0 pontban f (x 0 ) x x 0 x (x + )( ) a jobboldali derivált f +(x 0 ) x x 0 + x + f(x) f( ) x + 0, x f(x) f( ) x + (x + ) 2 x + 0, x így f (x 0 ) f +(x 0 ), tehát a függvény differenciálható. x( ) 0 x(x + ) + x + 0 5