2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
|
|
- Bertalan Márton Balázs
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x K(x 0, ε) D esetén Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek szigorú lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x K(x 0, ε) D, x x 0 esetén Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek globális (vagy abszolút) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x D esetén Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek szigorú globális (vagy abszolút) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x D, x x 0 esetén TÉTEL [a széls érték létezésének elegend feltétele] Ha az f : D R k R függvény folytonos a korlátos és zárt D halmazon akkor f-nek van globális maximuma és minimuma D-n, azaz vannak olyan x 0, x 1 D pontok melyekre f(x) f(x 0 ) és f(x) f(x 1 ) minden x D esetén Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy korlátos zárt halmazon folytonos függvény felveszi a függvényértékek inmumát és supremumát függvényértékként, ami azt jelenti, hogy a függvénynek van minimuma és maximuma (az illet korlátos zárt halmazon) 22 Egyváltozós függvények széls értékszámítása TÉTEL[lokális széls érték szükséges feltétele] Ha f : D R R dierenciálható az x 0 D bels pontban, és ott lokális széls értéke van, akkor f (x 0 ) = 0 Definíció Azokat az x 0 pontokat, amelyekre f (x 0 ) = 0 teljesül, az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük E pontokban az érint párhuzamos az x tengellyel Stacionárius pontban lehet lokális széls érték, de nem biztos, hogy van Milyen x 0 D pontokban lehet egy f : D R R függvénynek lokális széls értéke? x 0 D bels pont, ahol f (x 0 ) = 0, x 0 az D halmaz határpontja mely D-beli pont (pl ha D = I egy intervallum, és x 0 az intervallum valamely végpontja (ha az I-hez tartozik), x 0 az D-nek olyan pontja ahol f nem dierenciálható 1
2 2 Az el bb megfogalmazott szükséges feltételb l könnyen kaphatunk elegend feltételt a lokális széls értékre TÉTEL [els rend elegend feltétel a széls értékre] Tegyük fel hogy f : D R R dierenciálható az x 0 D bels pont egy környezetében, és x 0 stacionárius pontja f-nek (azaz f (x 0 ) = 0) Ha van olyan r > 0, hogy f (x) 0, ha x ]x 0 r, x 0 [ D, és f (x) 0, ha x ]x 0, x 0 + r[ D, akkor f-nek lokális maximuma van x 0 -ban Ha van olyan r > 0, hogy f (x) 0, ha x ]x 0 r, x 0 [ D, és f (x) 0, ha x ]x 0, x 0 + r[ D, akkor f-nek lokális minimuma van x 0 -ban Ha van olyan r > 0, hogy f (x) > 0, ha x ]x 0 r, x 0 + r[ D, x x 0, vagy f (x) < 0, ha x ]x 0 r, x 0 + r[ D, x x 0, akkor f-nek nincs lokális széls értéke x 0 -ban, x 0 inexiós helye f-nek TÉTEL [a széls érték n-edrend elegend feltétele] Tegyük fel, hogy f : D R R n-szer folytonosan dierenciálható az x 0 D bels pont egy környezetében (azaz f (n) folytonos e környezetben) és f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n 1) (x 0 ) = 0, de f (n) (x 0 ) 0 Ha n páros, akkor f-nek szigorú lokális széls értéke van x 0 -ban, maximum, ha f (n) (x 0 ) < 0, minimum, ha f (n) (x 0 ) > 0 Ha n páratlan, akkor f-nek nincs széls értéke x 0 -ban Bizonyítás A Taylor formula szerint f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + + f (n 1) (x 0 ) (n 1)! (x x 0 ) n 1 + f (n) (ξ) n! (x x 0 ) n = f (n) (ξ) (x x 0 ) n n! Ha n páros, és f (n) (x 0 ) < 0, akkor f n folytonossága miatt f (n) (x) < 0 ha x K(x 0, δ) valamely δ > 0 mellett, így f (n) (ξ) < 0, amib l a Taylor formula miatt f(x) f(x 0 ) < 0, ha x K(x 0, δ) Ha f (n) (x 0 ) > 0, akkor f n folytonossága miatt f (n) (x) > 0 ha x K(x 0, δ) valamely δ > 0 mellett, így f (n) (ξ) > 0, és f(x) f(x 0 ) > 0, ha x K(x 0, δ) Ha n páratlan, akkor (x x 0 ) n el jelet vált x 0 -nál, így f(x) f(x 0 ) is el jelet vált x 0 -nál, ezért f-nek nem lehet széls értéke x 0 -ban 23 Többváltozós függvények széls értékszámítása TÉTEL [a széls érték els rend szükséges feltétele] Ha f : D R k R f ggvénynek az x 0 D bels pontban lokális széls értéke van, és léteznek f els parciális deriváltjai x 0 -ban, akkor 1 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0 Ezen feltételnek elegettev x 0 pontokat az f függvény stacionárius pont jainak nevezzük Bizonyítás Legyen ϕ i (t) := f(x 0,1,, x 0,i + t,, x 0,k ) (i = 1,, k) ahol x 0 = (x 0,1,, x 0,k ) és t elég kicsi Feltevésünk szerint a ϕ i (t = 0-ban dierenciálható) függvényeknek lokális széls értéke van t = 0 ban, így igazolva áll ításunkat 0 = ϕ i(0) = i f(x 0 ) (i = 1,, k)
3 3 TÉTEL [a széls érték másodrend elegend feltétele] Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels pont egy környezetében, továbbá azaz x 0 stacionárius pontja f-nek I Ha a 1 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0, Q(h) = Q(h 1,, h k ) := j=1 i=1 j i f(x 0 )h i h j kvadratikus függvény pozitív denit, azaz Q(h) > 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f-nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, II ha a Q kvadratikus függvény negatív denit, azaz Q(h) < 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f-nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban, III ha a Q kvadratikus függvény indenit, azaz Q(h) felvesz pozitív és negatív értéket is, akkor f-nek nincs széls értéke x 0 -ban Bizonyítás- Figyelembevéve a kvadratikus függvényekr l tanultakat, az el z tételt a következ képpen is megfogalmazhatjuk TÉTEL [a széls érték másodrend elegend feltétele determinánsok segítségével] Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels pont egy környezetében, továbbá 1 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0, azaz x 0 stacionárius pontja f-nek Legyen A = ( i j f(x 0 )) R k k az f függvény x 0 pontbeli második parciális deriváltjaiból álló mátrix, és legyen i (i = 1,, k) az A mátrix bal fels i i típusú sarokmátrixának determinánsa, azaz 1 : = 1 1 f(x 0 ) 2 : = 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 1 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) 3 : = k : = A 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 3 f(x 0 ) 2 1 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) 2 3 f(x 0 ) 3 1 f(x 0 ) 3 2 f(x 0 ) 3 3 f(x 0 ) I Ha 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0,, k > 0 akkor f-nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, II ha 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0,, ( 1) k k > 0 akkor f-nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban III ha i 0(i = 1,, n) és az el z két feltétel egyike sem teljesül, akkor akkor f-nek nincs széls értéke x 0 -ban 24 Kétváltozós függvények széls értékszámítása Két változós függvény esetén az el z tétel kissé egyszer bb: I Ha 1 = 1 1 f(x 0 ) > 0, 2 = 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) > 0 akkor f-nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, II ha 1 = 1 1 f(x 0 ) < 0, 2 = 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) > 0
4 4 akkor f-nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban III ha 2 = 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) akkor f-nek nincs széls értéke x 0 -ban < 0 Példa f(x, y) = x 3 + y 3 3xy (x, y) R 2 lokális széls értékeinek meghatározása 2 Globális széls érték Ha f : D R R folytonos az D korlátos és zárt halmazon, akkor f-nek van (globális) maximuma és minimuma D-n Ha D nem korlátos, vagy korlátos, de nem zárt akkor el fordulhat, hogy f-nek nincs széls értéke D-n Például az f(x) = 1 (x ]0, 1]) folytonos függvénynek nincs se lokális, se globális maximuma x Hasonlóan az f(x) = x 3 (x R) folytonos függvénynek nincs se lokális, se globális maximuma, minimuma Tegyük fel most, hogy f : D R R (elég sokszor) dierenciálható a korlátos és zárt D halmazon Akkor f-nek van globális maximuma és minimuma, melyet a következ képpen keresünk meg: Megkeressük f lokális széls értékeit D bels pontjaiban Kiszámítjuk f értékét D határpontjainban (ha D = I zárt intervallum, akkor I végpontjaiban) A lokális széls értékek és a határpontokban felvett értékek közül a legnagyobb adja a globális maximum értékét, a legkisebb adja a globális minimum értékét Példa Keressük meg az f(x) = x 4 /4 + x 3 /3 x 2 (x R) függvény összes lokális széls értékhelyét 26 Feltételes széls érték fogalma DEFINÍCIÓ Legyenek f : D R k R, g i : D R k R i = 1,, l, l < k adott függvények Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 D pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,, g l (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes maximuma (minimuma) van, ha g 1 (x 0 ) = = g l (x 0 ) = 0, és van olyan ε > 0 hogy mellett, melyre Ha g 1 (x 0 ) = = g l (x 0 ) = 0, és f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x D K(x 0, ε) g 1 (x) = = g l (x) = 0 f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x 0 x D K(x 0, ε) mellett, melyre g 1 (x) = = g l (x) = 0, akkor szigorú lokális feltételes maximum (minimum)-ról beszélünk 27 Feltételes széls értékszámítás TÉTEL [a feltételes széls érték szükséges feltétele] Tegyük fel, hogy az f, g i : D R k R (i = 1,, l, l < k), az f függvénynek az els parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels egy környezetében f-nek az x 0 D pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,, g l (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes széls értéke van, a 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) R l k 1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) mátrix rangja l (azaz van nemzérus l-edrend aldeterminánsa)
5 Akkor vannak olyan λ 0 = (λ 01,, λ 0l ) R l valós számok, hogy az függvényre L(λ, x) := f(x) + λ 1 g 1 (x) + + λ l g l (x) (λ = (λ 1,, λ l ) R l, x D) 1 L(λ 0, x 0 ) = = l+k L(λ 0, x 0 ) = 0 Vegyük észre, hogy az el z egyenletek közül az els l éppen a g 1 (x 0 ) = = g l (x 0 ) = 0 feltételrendszerrel azonos, hiszen j L(λ, x) = g j (x) (j = 1,, l) A λ 1, λ l változókat Lagrange-féle multiplikátoroknak nevezzük, az L függvényt a feltételes széls érték probléma Lagrange-féle függvény ének nevezzük A feltételes széls érték probléma megoldása úgy történik, hogy a 1 L(λ, x) = = l+k L(λ, x) = 0 l + k db egyenletb l álló egyenletrendszert megoldjuk a λ 1, λ l, x 1,, x k, ismeretlenekre, a kapott (λ 0, x 0 ) = (λ 01,, λ 0l, x 01,, x 0k ) R l D megoldások a Lagrange függvény stacionárius pontjai Ennek az x 0 = (x 01,, x 0k ) koordinátái a feltételes széls érték lehetséges helyei, λ 0 = (λ 01,, λ 0l ) a megfelel Lagrange multiplikátorok TÉTEL [a feltételes széls érték elegend feltétele] Tegyük fel, hogy az f, g i : D R k R (i = 1,, l, l < k), második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels pont egy környezetében, λ 0 R l, x 0 D, a 1 L(λ, x) = = l+k L(λ, x) = 0 k + l db egyenletb l álló rendszer megoldása, ahol L(λ, x) a probléma Lagrange függvénye, a 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) R l k 1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) mátrix rangja l és rangmeghatározó determinánsa a mátrix jobboldali l l-es sarokdetermináns, azaz k l+1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) 0 k l+1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) (1) Ha a Q(h) = Q(h 1,, h k ) := j=1 i=1 i j f(x 0 )h i h j (= j=1 i=1 kvadratikus függvény pozitív minden olyan h R k, h 0 esetén, melyre l+i l+j L(λ 0, x 0 )h i h j ) j g i (x 0 )h j = 0 minden i = 1,, l mellett, akkor f-nek (szigorú) lokális feltételes minimuma van az x 0 pontban, (2) Ha a Q(h) = Q(h 1,, h k ) kvadratikus függvény negatív minden olyan h R k, h 0 esetén, melyre j g i (x 0 )h j = 0 minden i = 1,, l mellett, akkor f-nek (szigorú) lokális feltételes maximuma j=1 van az x 0 pontban TÉTEL [a feltételes széls érték elegend feltétele determinánsokkal] Tegyük fel, hogy az f, g i : D R k R (i = 1,, l, l < k), második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels pont egy környezetében, j=1
6 6 (λ 0, x 0 ) R l D a 1 L(λ, x) = = l+k L(λ, x) = 0 k + l db egyenletb l álló rendszer megoldása (azaz L stacionárius pontja), ahol L(λ, x) a probléma Lagrange függvénye, a 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) R l k 1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) mátrix rangja l és rangmeghatározó determinánsa a jobboldali l l-es sarokdetermináns, azaz k l+1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) 0 k l+1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) Legyen j (j = 2l + 1, 2l + 2,, l + k) a g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) g l (x 0 ) k g l (x 0 ) 1 g 1 (x 0 ) 1 g l (x 0 ) l+1 l+1 L(λ 0, x 0 ) l+1 l+k L(λ 0, x 0 ) k g 1 (x 0 ) k g l (x 0 ) l+k l+1 L(λ 0, x 0 ) l+k l+k L(λ 0, x 0 ) szimmetrikus blokkmátrix bal fels j-edrend sarokdeterminánsá (1) Ha ( 1) l j > 0 (j = 2l + 1, 2l + 2,, l + k), akkor f-nek (szigorú) lokális feltételes minimuma van az x 0 pontban, (2) Ha ( 1) l+j j > 0 (j = 2l+1, 2l+2,, l+k), akkor f-nek (szigorú) lokális feltételes maximuma van az x 0 pontban Vegyük észre, hogy a blokkmátrix éppen a Lagrange függvény összes második parciális deriváltjaiból álló mátrix azaz ( i j L(λ 0, x 0 )) R (l+k) (l+k) Példa Határozza meg az feltételes széls értékeit a feltétel mellett f(x, y) = x + 2y ((x, y) R 2 ) g(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 körvonal Megoldás A probléma Lagrange függvénye A lehetséges széls értékhelyeket a L(λ, x, y) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 1) ((λ, x, y) R 3 ) λ L(λ, x, y) = x 2 + y 2 1 = 0, x L(λ, x, y) = 1 + 2λx = 0, y L(λ, x, y) = 2 + 2λy = 0 megoldásai adják Könny kiszámolni, hogy a megoldások: λ 1 = 2, x 1 =, y 1 = 2, λ 2 = 2, x 2 =, y 2 = 2 a feltételes széls érték lehetséges helyei Azt, hogy feltételes maximum vagy minimum van-e ezen pontokban a fenti tétel alapján döntjük el Az L második parciális deriváltjaiból és a feltétel els parciális deriváltjaiból álló a blokkmátix (a (λ, x, y) pontban) 0 2x 2y 2x 2λ 0 2y 0 2λ
7 7 Most k = 2, l = 1, mivel 2l + 1 = 3 = k + l így csak az 3 determináns el jelét kell meghatározni Egyszer számítás mutatja, hogy 3 (λ 1, x 1, y 1 ) = = = 100 < 0 3 és hasonlóan 3 (λ 2, x 2, y 2 ) = 100 vagyis a 3 ( 1)l 3 (λ 1, x 1, y 1 ) = ( 1) 3 (λ 1, x 1, y 1 ) > 0 feltétel teljesül, (x 1, y 1 )-ben szigorú feltételes lokális minimum van, míg a ( 1) l+(l+k) 3 (λ 2, x 2, y 2 ) = ( 1) 4 3 (λ 2, x 2, y 2 ) > 0 ezért (x 2, y 2 )-ben szigorú feltételes lokális maximum van Megjegyzés Érdemes a feladatot geometriailag is szemléltetni: az f(x, y) = x+2y sík és az x 2 +y 2 = 1 által meghatározott hengerfelület metszésvonala (mely egy az R 3 térbeli ellipszis) melyik pontja van "legmagasabban" és "legalacsonyabban" (a magasságot a z tengely irányában mérve)
8
Losonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenKétváltozós függvény szélsőértéke
Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenMódszerek széls érték feladatok vizsgálatára
Módszerek széls érték feladatok vizsgálatára Szakdolgozat Írta: Muhari Ágnes Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Dr. Kós Géza egyetemi adjunktus Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar 2014. február 16. Losonczi László, Pap Gyula (DE, KTK) Gazdasági matematika II. 2014. február
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2007/8 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2007/8 tanév, II. félév 1 / 186 Félévközi
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
RészletesebbenMatematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei
Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
RészletesebbenMatematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált
Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA
Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/10 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/10 tanév, II. félév 1 / 187 Félévközi
RészletesebbenDIFFERENCIÁLÁS, GRADIENS VEKTOR, HESSE MÁTRIX, LÁNCSZABÁLY,
DIFFERENCIÁLÁS, GRADIENS VEKTOR, HESSE MÁTRIX, LÁNCSZABÁLY, IMPLICIT FÜGGVÉNY TÉTEL DR NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-B-0//KONV-00-000
RészletesebbenFüggvények szélsőérték vizsgálata
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények szélsőérték vizsgálata BSc Szakdolgozat Készítette: Sághy Enikő Kata Matematika BSc, Matematikai elemző szakirány Témavezető: Gémes Margit
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
RészletesebbenTöbbváltozós széls érték számítás és alkalmazásai
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Többváltozós széls érték számítás és alkalmazásai BSc Szakdolgozat Készítette: Prikkel Anett Matematika BSc Matematikai elemz szakirány Témavezet :
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Részletesebbenfüggvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(
FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenAz analízis alkalmazásai a közgazdaságtanban. Virincsik Réka
Az analízis alkalmazásai a közgazdaságtanban Virincsik Réka Matematika BSc, elemz szakirány Szakdolgozat Témavezet : Valkó Éva PhD hallgató Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)
Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenDescartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer
Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180 Félévközi
RészletesebbenTartalomjegyzék Feltétel nélküli szélsőérték számítás
Dr. Vincze Szilvia Példa Egy adott talajtípuson az átlagosnak megelelő időjárási viszonyok között a búza hozamát hektáronként a elhasznált nitrogén és oszor hatóanyag erősen beolyásolja. A hektáronként
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenNumerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4
Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek
RészletesebbenÓravázlatok: Matematika 2.
Óravázlatok: Matematika 2. Bartha Ferenc készültség: March 4, 2003 1. VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLÁSA Legyen a továbbiakban M R n nyílt halmaz és f : M R valós függvény, x (x 1,.., x n ) M Ha
RészletesebbenDR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék
KONVEX FÜGGVÉNY KVÁZIKONVEX FÜGGVÉNY DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4..1.B-10//KONV-010-0001 jel½u projekt részeként az
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenMÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK
MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUmERIKUS módszerek 9 FÜGGVÉNYKÖZELÍTÉSEK IX. SPLINE INTERPOLÁCIÓ 1. SPLINE FÜGGVÉNYEK A Lagrange interpolációnál említettük, hogy az ún. globális interpoláció helyett gyakran célszerű
Részletesebben10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása
. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
RészletesebbenExponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
Részletesebben1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!
Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
Részletesebbenr a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.
Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenMaple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai
Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai Bevezető Tudjuk, hogy a Maple könnyűszerrel képes végrehajtani a szimbólikus matematikai számításokat, ezért a Maple egy ideális program differenciál-
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Részletesebben