Gazdasági matematika II.

Átírás

1 Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180

2 Félévközi kötelező házi feladatok beadási határideje: 1. házi feladat beadása a március héten lévő gyakorlaton 2. házi feladat beadása a május 3 7 héten lévő gyakorlaton Ezek teljesítése, két sikeresen megírt dolgozat, valamint a gyakorlatra járás (legfeljebb 3 hiányzás) szükséges a gyakorlati aláíráshoz! Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 2 / 180

3 Ajánlott irodalom: KNUT SYDSÆTER és PETER HAMMOND Matematika közgazdászoknak Aula, DENKINGER GÉZA Analízis: gyakorlatok Nemzeti Tankönyvkiadó, DENKINGER GÉZA Valószínűségszámítás Tankönyvkiadó, DENKINGER GÉZA Valószínűségszámítás példatár Tankönyvkiadó, Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 3 / 180

4 Ajánlott irodalom: KOVÁCS ZOLTÁN Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz Kossuth Egyetemi Kiadó, GÁSPÁR LÁSZLÓ Lineáris algebra példatár Tankönyvkiadó, KOZMA LÁSZLÓ Matematikai alapok Studium Kiadó, Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 4 / 180

5 Ajánlott irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ Előadáskövető anyagok és feladatok losi/huindex.htm PAP GYULA Előadáskövető anyagok és feladatok LAJKÓ KÁROLY Gazdasági matematika I. lajko/ Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 5 / 180

6 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.1 Az R k vektortér fogalma Az R k vektortér R k := {(x 1, x 2,..., x k ) : x i R minden i = 1, 2,..., k esetén}. Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k sorozatok a tér pontjai. Az x 1, x 2,..., x k számok az x = (x 1, x 2,..., x k ) pont koordinátái. pontjait vektorokként is felfoghatjuk (koordinátarendszer felvétele után az egyes pontoknak a kezdőpontból hozzájuk vezető irányított szakaszt feleltetjük meg). R k Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 6 / 180

7 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.1 Az R k vektortér fogalma Összeadás R k -ban Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k és y = (y 1, y 2,..., y k ) R k vektorok összege x + y := (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x k + y k ). Skalárral való szorzás R k -ban Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k vektor λ R skalárral való szorzata λx := (λx 1, λx 2,..., λx k ). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 7 / 180

8 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.1 Az R k vektortér fogalma Az összeadás és a skalárral való szorzás tulajdonságai Bármely x, y, z R k esetén a 0 = (0, 0,..., 0) zérusvektorral és x := ( 1)x ellentett vektorral x + (y + z) = (x + y) + z, x + y = y + x, x + 0 = x, x + ( x) = 0. Bármely x, y R k és bármely λ, µ, 1 R esetén λ(x + y) = λx + λy, (λ + µ)x = λx + µx, (λµ)x = λ(µx), 1x = x. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 8 / 180

9 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.2 Vektorok lineáris függetlensége, bázis Lineáris kombináció Az a 1, a 2,..., a n R k vektorok λ 1, λ 2,..., λ n R együtthatókkal képezett lineáris kombinációján a vektort értjük. λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n Lineáris függetlenség, függőség Az a 1,..., a n R k nevezzük, ha vektorrendszert lineárisan függetlennek λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n = 0 csak λ 1 = λ 2 = = λ n = 0 esetén áll fenn. Egy vektorrendszert lineárisan függőnek nevezünk, ha nem lineárisan független. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 9 / 180

10 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.2 Vektorok lineáris függetlensége, bázis Ha a 1,..., a n lineárisan függő, akkor léteznek olyan λ 1, λ 2,..., λ n R együtthatók, melyek nem mind zérusok, és λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n = 0. Ezért van olyan l {1, 2,..., n} index, hogy λ l 0, így osztva λ l -lel a l = λ 1 a 1 λ l 1 a l 1 λ l+1 a l+1 λ n a n, λ l λ l λ l λ l azaz az a l vektor kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként. Lineáris függetlenség Az a 1,..., a n R k független, ha vektorrendszer akkor és csakis akkor lineárisan b = λ 1 a λ n a n, b = λ 1 a λ na n csak λ 1 = λ 1,..., λ n = λ n esetén teljesül. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 10 / 180

11 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.2 Vektorok lineáris függetlensége, bázis Az R k vektortér k dimenziós abban az értelemben, hogy van R k -ban k darab lineárisan független vektor, de bárhogyan is választunk k + 1 darab vektort R k -ból, azok lineárisan függők. Bázis Az R k vektortér bármely k számú lineárisan független b 1,..., b k vektorát a tér bázisának nevezzük. Koordináták Ha b 1,..., b k az R k vektortér egy bázisa, akkor a tér minden v vektora egyértelműen írható v = β 1 b 1 + β 2 b β k b k alakban. Az itt szereplő β 1, β 2,..., β k skalárokat a v vektor b 1,..., b k bázisára vonatkozó koordinátáinak nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 11 / 180

12 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.2 Vektorok lineáris függetlensége, bázis Példa. Az e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e k = (0, 0,..., 1) R k vektorok az R k tér egy bázisát alkotják, melyet természetes bázisnak nevezünk. Ha v = (v 1, v 2,..., v k ) R k, akkor v = (v 1, v 2,..., v k ) = v 1 e 1 + v 2 e v k e k, így v koordinátái azonosak v-nek a természetes bázisra vonatkozó koordinátáival. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 12 / 180

13 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.3 Altér és rang Altér Az R k vektortér alterén R k olyan L részhalmazát értjük, mely nem üres és zárt az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve, azaz a, b L és λ R esetén a + b L és λa L teljesül. Vektorrendszer által generált altér Egy a 1, a 2,..., a n vektorrendszert tartalmazó legszűkebb alteret a vektorrendszer által generált/kifeszített altérnek nevezzük. Jelölés: L(a 1, a 2,..., a n ). L(a 1, a 2,..., a n ) = {α 1 a α n a n : α 1,..., α n R}, azaz egy vektorrendszer által generált altér azonos a vektorrendszer vektoraiból képezhető összes lineáris kombinációk halmazával. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 13 / 180

14 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.3 Altér és rang Altér dimenziója Egy L altér dimenziója r, ha van L-ben r darab lineárisan független vektor, de akárhogyan választunk r + 1 darab vektort L-ből, azok lineárisan függőek. Vektorrendszer rangja Egy a 1, a 2,..., a n vektorrendszer rangjának az általa generált L(a 1, a 2,..., a n ) altér dimenzióját nevezzük. Vektorrendszer rangja Az a 1, a 2,..., a n vektorrendszer rangja megegyezik e rendszerből kiválasztható maximális számú, lineárisan független vektorok számával. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 14 / 180

15 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.3 Altér és rang Vektorrendszer által generált altér Az a 1, a 2,..., a n vektorrendszer által generált altér nem változik meg (és így a vektorrendszer rangja sem változik), ha megváltoztatjuk a vektorok sorrendjét, vagy valamelyik vektort egy λ 0 skalárral megszorozzuk, vagy valamelyik vektorához egy másik vektorát hozzáadjuk. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 15 / 180

16 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal k n típusú (valós) mátrix Ha k n darab (valós) számot, az {a i,j : i = 1, 2,..., k; j = 1, 2,..., n} számokat, k sorban és n oszlopban helyezünk el az alábbi módon: a 1,1 a 1,2 a 1,n a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = vagy A = a 2,1 a 2,2 a 2,n......, a k,1 a k,2 a k,n a k,1 a k,2 a k,n akkor egy k n típusú (valós) A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n mátrixot definiáltunk. Az összes k n típusú mátrixok halmazát R k n vagy M k n jelöli. A típus megadásánál mindig a sorok száma az első adat! Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 16 / 180

17 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Az A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n mátrix i-edik sorvektora/sormátrixa és j-edik oszlopvektora/oszlopmátrixa a 1,j s i = [ ] a 2,j a i,1 a i,2 a i,n, oj =. Speciális mátrixok Az A mátrix négyzetes vagy kvadratikus, ha n sora és n oszlopa van, azaz A R n n. Diagonálisa (főátlója) : {a 1,1, a 2,2,..., a n,n }. n-edrendű egységmátrix: az az n-edrendű E = E n R n n kvadratikus mátrix, melynek főátlójában csupa 1 áll, azon kívül pedig csupa 0 áll. k n típusú zérusmátrix: az a k n típusú O = O k n R k n mátrix, melynek minden eleme 0. a k,j Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 17 / 180

18 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Mátrix transzponáltja Az A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n R k n mátrix transzponáltján az A := (a j,i ) j=1,2,...,n; i=1,2,...,k R n k mátrixot értjük (a mátrix sorait és oszlopait megcserélve kapjuk a mátrix transzponáltját). Azonos típusú mátrixok összeadása és számmal való szorzása Legyenek A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n, B = (b i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n R k n azonos típusú mátrixok és legyen λ R. Ekkor az A + B R k n és λa R k n mátrixok definíciója: A + B := (a i,j + b i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n, λa := (λa i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 18 / 180

19 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Az összeadás, számmal való szorzás és transzponálás tulajdonságai Az összes k n típusú valós mátrixok R k n halmazában az összeadás és a számmal való szorzás ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkezik, mint az R l vektortérben. Továbbá bármely A, B R k n, λ R esetén (A + B) = A + B, (λa) = λa. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 19 / 180

20 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Két mátrix szorzata csak akkor értelmezett, ha az első mátrixnak annyi oszlopa van, mint ahány sora van a második mátrixnak. Mátrixok szorzata A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n R k n és B = (b j,l ) j=1,2,...,n; l=1,2,...,m R n m mátrixok C = AB szorzatán azt a C = (c i,l ) i=1,2,...,k; l=1,2,...,m R k m mátrixot értjük, melyre n c i,l := a i,j b j,l = a i,1 b 1,l + a i,2 b 2,l + + a i,n b n,l j=1 ha i = 1, 2,..., k ; l = 1, 2,..., m. Ezt a szorzást röviden sor-oszlop kombinációnak mondjuk, mert a szorzatmátrix c i,l eleme éppen az A mátrix i-edik sorvektorának és a B mátrix j-edik oszlopvektorának a belső szorzata R n -ben. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 20 / 180

21 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Mátrixok szorzásának tulajdonságai A(BC) = (AB)C, (A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC, (AB) = B A, AO = OA = O, ahol A, B, C, O olyan mátrixok, melyekre a felírt műveleteknek van értelme. Kvadratikus A mátrixokra AE = EA = A. A mátrixszorzás nem kommutatív, azaz általában AB BA. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 21 / 180

22 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Kvadratikus mátrix inverze Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak nevezünk, ha van olyan B (kvadratikus) mátrix, melyre AB = BA = E teljesül. Ezt a B mátrixot A inverzének nevezzük és A 1 -gyel jelöljük. Ha A invertálható, akkor csak egy inverze van. Ugyanis, ha B inverze volna, akkor AB = B A = E miatt is A B = BE = B(AB ) = (BA)B = EB = B azaz B = B. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 22 / 180

23 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.2 Mátrix determinánsa Részmátrix Legyen A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n R k n egy k n típusú mátrix. Az i-edik sor és j-edik oszlop elhagyásával visszamaradó (k 1) (n 1) típusú részmátrix jelölése A i,j. Mátrix determinánsa Az A = (a i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n R n n determinánsa n = 1 esetén det(a) = A := a 1,1, n-edrendű kvadratikus mátrix n 2 esetén pedig (rekurzívan definiálva) n det(a) = A := ( 1) 1+l a 1,l det(a 1,l ). l=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 23 / 180

24 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.2 Mátrix determinánsa Másod és harmadrendű determinánsok kiszámítása a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 = a 1,1a 2,2 a 2,1 a 1,2, a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 = a 1,1a 2,2 a 3,3 + a 1,2 a 2,3 a 3,1 + a 1,3 a 2,1 a 3,2 a 1,3 a 2,2 a 3,1 a 1,1 a 2,3 a 3,2 a 1,2 a 2,1 a 3,3. Kifejtési tétel Minden A = (a i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n R n n n-edrendű kvadratikus mátrix és minden i, j {1,..., n} esetén n n det(a) = ( 1) i+l a i,l det(a i,l ) = ( 1) k+j a k,j det(a k,j ). l=1 k=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 24 / 180

25 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.2 Mátrix determinánsa Permutációk Az {1, 2,..., n} számok egy π = (π 1, π 2,..., π n ) elrendezését ezen elemek egy permutációjának nevezzük. Az {1, 2,..., n} számok összes permutációinak halmazát S n jelöli. Egy π = (π 1, π 2,..., π i,..., π j,..., π n ) S n permutációban a (π i, π j ) pár inverzióban áll, ha i < j és π i > π j. Egy π permutáció inverzióinak számát (az inverzióban álló párok számát) I(π) jelöli. Az {1, 2,..., n} számok összes permutációinak száma n!. Minden A = (a i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n R n n n-edrendű kvadratikus mátrix esetén det(a) = ( 1) I(π) a 1,π1 a 2,π2... a n,πn. π S n Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 25 / 180

26 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.2 Mátrix determinánsa A determináns alaptulajdonságai 1 Bármely A kvadratikus mátrixra teljesül det(a ) = det(a). 2 Ha egy sor minden elemét c-vel szorozzuk, akkor a determináns értéke c-szeresére változik. 3 Ha két sort felcserélünk, akkor a determináns előjelet vált. 4 Ha két sor megegyezik, akkor a determináns értéke nulla. 5 A determináns értéke nem változik, ha egy sorának elemeihez egy másik sor megfelelő elemeinek c-szeresét hozzáadjuk. 6 Ha egy sor minden eleme két tag összegére bomlik, akkor a determináns felirható két olyan determináns összegeként, melyek megfelelő soraiban éppen az egyes összeadandók állnak. 7 Ha egy sorban csupa 0 áll, akkor a determináns értéke nulla. 8 Az egységmátrixok determinánsa 1. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 26 / 180

27 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix determinánsa Determinánsok szorzástétele Ha A, B R n n Inverz mátrix előállítása azonos rendű kvadratikus mátrixok, akkor det(ab) = det(a) det(b). Egy (kvadratikus) mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Egy A = (a i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n n-edrendű invertálható kvadratikus mátrix A 1 = (b i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n inverzének elemei b i,j = ( 1)i+j det(a j,i ). det(a) Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 27 / 180

28 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.3 Mátrix rangja Mátrix rangja Egy A mátrix rang(a) rangján az A oszlopvektoraiból álló vektorrendszer rangját értjük (ami a maximális lineárisan független oszlopvektorok száma). A zérusmátrixok rangja nulla. Aldetermináns Legyen A R k n egy k n típusú mátrix, és 1 l min{k, n}. Az A egy l-edrendű aldeterminánsát úgy kapjuk, hogy kiválasztjuk a mátrix l darab sorát és l darab oszlopát, és képezzük az ezek metszetében lévő elemekből alkotott l-edrendű determinánst. Rangszámtétel Bármely (nemzérus) mátrix rangja megegyezik a maximális rendű nullától különböző aldeterminánsainak rendjével. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 28 / 180

29 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.3 Mátrix rangja Egy mátrix sorvektorainak rangja egyenlő az oszlopvektorainak rangjával. Egy (kvadratikus) mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha a mátrix oszlopvektorai (vagy sorvektorai) lineárisan függetlenek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 29 / 180

30 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2 a k,1 x 1 + a k,2 x a k,n x n = b k egyenletrendszert, ahol {a i,j, b i : i = 1,..., k; j = 1,..., n} adott valós számok, {x i : i = 1,..., n} ismeretlen valós számok. Az a i,j számokat a rendszer együtthatóinak nevezzük, b i az i-edik egyenlet szabad tagja. Az egyenletrendszert homogénnek nevezzük, ha b 1 = = b k = 0, ellenkező esetben inhomogénnek mondjuk. Az egyenletrendszert szabályosnak nevezzük, ha k = n, azaz ha az egyenletek és ismeretlenek száma egyenlő.. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 30 / 180

31 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Tömören: ahol Ax = b, a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A := Rk n, a k,1 a k,2 a k,n x 1 b 1 x 2 x :=. b 2 Rn 1, b :=. Rk 1. x n b k Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 31 / 180

32 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Alapvető kérdések: Van-e az egyenletrendszernek megoldása, és ha igen, akkor egyértelmű-e? Hogyan határozhatjuk meg az összes megoldást? Egy (lineáris) egyenletrendszer megoldható, ha van megoldása; ellentmondásos, ha nincs megoldása; határozott, ha pontosan egy megoldás létezik; határozatlan, ha több megoldás van. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 32 / 180

33 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Ekvivalens átalakítások Két egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha megoldásaik halmaza egyenlő. Ekvivalens átalakítások Lineáris egyenletrendszerek esetén az alábbi átalakítások ekvivalens rendszereket eredményeznek: az egyenletek sorrendjének megváltoztatása; az egyenletekben szereplő tagok sorrendjének megváltoztatása; a rendszer bármelyik egyenletének szorzása (minden tag szorzása) egy nemzérus számmal; a rendszer bármelyik egyenletének hozzáadása egy másik egyenletéhez. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 33 / 180

34 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Trapéz alakú lineáris egyenletrendszer Az egyenletrendszert akkor nevezzük trapéz alakúnak, ha van olyan r {1,..., n} szám, hogy a 1,1 0, a 2,2 0,..., a r,r 0, a i,j = 0, ha i = 1, 2,..., r és j < i, a i,j = 0, ha i > r és j = 1, 2,..., n. Ha r = n, akkor a rendszert háromszögalakúnak nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 34 / 180

35 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Gauss-elimináció Az ismeretlenek szukcesszív (fokozatos) kiküszöbölésével az egyenletrendszert trapéz alakra hozzuk a következő lépésekkel: Tegyük fel, hogy a 1,1 0. Az első egyenlet a i,1 a 1,1 -szeresét az i-edik egyenlethez hozzáadva i = 2, 3,..., k esetén, az x 1 ismeretlen eltűnik a második, harmadik,... k-adik egyenletből. Ha a 1,1 = 0, akkor az első egyenletben keresünk egy ismeretlent, melynek együtthatója 0, és ez veszi át x 1 szerepét. Ezután a második egyenlet alkalmas konstanszorosainak a harmadik... k-adik egyenlethez való hozzádásával kiküszöböljük a harmadik ismeretlent a negyedik,... k-adik egyenletből. Az eljárást hasonlóan folytatjuk, míg van mit kiküszöbölni. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 35 / 180

36 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Trapéz alakú lineáris egyenletrendszer megoldhatósága Egy trapéz alakú egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van megoldása, ha a trapéz alakban az r + 1-edik egyenlettől kezdve a szabad tagok mind nullák; megoldható esetben akkor és csakis akkor van pontosan egy megoldása, ha r = n, azaz ha a rendszer hároszögalakú; akkor és csakis akkor van több megoldása, ha r < n; ebben az esetben végtelen sok megoldása van, és a megoldások egy n r paraméteres sereget alkotnak. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 36 / 180

37 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris egyenletrendszer megoldhatósága Egy lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van megoldása, ha a rang(a) = rang(a b) rangfeltétel teljesül, ahol A a rendszer együtthatómátrixa, (A b) pedig a bővített mátrix, melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy az A mátrixhoz n + 1-edik oszlopként hozzáírjuk a szabad tagok b oszlopvektorát. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 37 / 180

38 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Homogén rendszer esetén (amikor b 1 = = b k = 0 ), mindig van megoldás: az x 1 = x 2 = = x n = 0 triviális megoldás. Homogén rendszer nemtriviális megoldásának létezése Egy homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van triviálistól különböző megoldása, ha rang(a) < n, azaz ha a rendszer A mátrixának rangja kisebb mint az ismeretlenek száma. Ha ez teljesül, akkor a homogén rendszer összes megoldásai R n -nek egy n rang(a) dimenziós alterét alkotják. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 38 / 180

39 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris egyenletrendszer megoldáshalmazának szerkezete Az Ax = b (A R k n, x R n 1, b R k 1 ) inhomogén lineáris egyenletrendszer bármely x megoldása x = x + x h alakba írható, ahol x az inhomogén egyenlet egy rögzített (partikuláris) megoldása, x h pedig a megfelelő Ax = 0 homogén egyenletrendszer egy tetszőleges megoldása. Így a megoldások halmaza a homogén egyenletrendszer megoldásalterének az x vektorral való eltoltja. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 39 / 180

40 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.3 Cramer-szabály lineáris egyenletrendszerek megoldására Cramer-szabály Legyen A egy n-edrendű kvadratikus mátrix. Az Ax = b (A R n n, x R n 1, b R n 1 ) (szabályos) lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van pontosan egy megoldása, ha det(a) 0. Ha ez teljesül, akkor a rendszer egyetlen megoldása x i = det(a i b) det(a) (i = 1, 2,..., n), ahol A i b az a mátrix, melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy annak i-edik oszlopát a szabad tagok b (oszlop)vektorára cseréljük ki. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 40 / 180

41 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.3 Cramer-szabály lineáris egyenletrendszerek megoldására Szabályos homogén lineáris egyenletrendszer nemtriviális megoldásának létezése Legyen A egy n-edrendű kvadratikus mátrix. Az Ax = 0 (A R n n, x R n 1 ) (szabályos) homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van nemtriviális megoldása, ha det(a) = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 41 / 180

42 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa Lineáris leképezés/operátor/transzformáció A ϕ : R n R n leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely x, y R n és bármely λ R esetén ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) ϕ(λx) = λϕ(x) (azaz ϕ additív), (azaz ϕ homogén). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 42 / 180

43 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa Lineáris leképezés megadása mátrix segítségével Ha ϕ : R n R n lineáris leképezés, b 1,..., b n az R n egy bázisa, és A ϕ = (a i,j ) i,j=1,...,n az a mátrix, melyre n ϕ(b j ) = a i,j b i minden j = 1,..., n esetén, i=1 akkor minden x = n j=1 x jb j R n esetén ϕ(x) = y = n i=1 y ib i, ahol n y i = a i,j x j minden i = 1,..., n esetén. j=1 Bizonyítás: ϕ(x) = n x j ϕ(b j ) = j=1 n j=1 x j n a i,j b i = i=1 n ( n a i,j x j )b i. i=1 j=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 43 / 180

44 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa azaz mátrixos formában: Lineáris leképezés mátrixa y 1 a 1,1 a 1,2 a 1,n x 1 y 2. = a 2,1 a 2,2 a 2,n x , y n a n,1 a n,2 a n,n x n ϕ(x) = y = A ϕ x. Azt mondjuk, hogy az A ϕ (n-edrendű kvadratikus) mátrix a ϕ lineáris leképezés mátrixa a b 1,..., b n bázisban. Rögzített bázis esetén a ϕ A ϕ hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű a ϕ : R n R n lineáris leképezések és az A ϕ R n n mátrixok között. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 44 / 180

45 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa Lineáris leképezések összege, számszorosa és kompoziciója (ϕ + ψ)(x) := ϕ(x) + ψ(x) (x R n ), (λϕ)(x) := λϕ(x) (λ R, x R n ), (ϕ ψ)(x) := ϕ(ψ(x)) (x R n ). A ϕ A ϕ hozzárendelés tulajdonságai Rögzített bázis és tetszőleges ϕ, ψ : R n R n lineáris leképezések esetén A ϕ+ψ = A ϕ + A ψ, A λϕ = λa ϕ, A ϕ ψ = A ϕ A ψ. Továbbá ϕ : R n R n akkor és csakis akkor kölcsönösen egyértelmű, ha A ϕ invertálható. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 45 / 180

46 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa Lineáris leképezés mátrixa különböző bázisokban Legyen b 1,..., b n és b 1,..., b n az R n tér két bázisa, és n A ϕ = (a i,j ) i,j=1,...,n, ahol ϕ(b j )= a i,j b i, i=1 A ϕ = (a i,j ) i,j=1,...,n, ahol ϕ(b j ) = n i=1 a i,j b i a ϕ : R n R n lineáris leképezés mátrixai. Akkor van olyan S R n n invertálható mátrix, hogy A ϕ = S 1 A ϕ S. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 46 / 180

47 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.2 Sajátértékek és sajátvektorok Kvadratikus mátrix sajátértéke, sajátvektora A λ R számot az A R n n mátrix sajátértékének nevezzük, ha van olyan nullától különböző x R n vektor, melyre Ax = λx teljesül. Az x vektort az A mátrix λ sajátértékéhez tartozó sajátvektorának nevezzük. Más alakban: (A λe)x = 0. Ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van nemtriviális megoldása, ha det(a λe) = 0. Ezt a determinánst kifejtve egy λ-ban n-edfokú polinomot kapunk. Ennek zérushelyei adják A sajátértékeit. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 47 / 180

48 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.3 Mátrixok diagonális alakra hozása Diagonális mátrix Egy n n-es D mátrixot diagonálisnak nevezünk, ha a főátlón kívüli elemei mind zérusok. Jelölés: λ λ 2 0 diag(λ 1,..., λ n ) = λ n Kvadratikus mátrix diagonális alakra hozása Egy n n-es A mátrixot diagonalizálhatónak (diagonális alakra hozhatónak) nevezünk, ha van olyan invertálható n n-es S mátrix és egy D diagonális mátrix, melyekre S 1 A S = D. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 48 / 180

49 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.3 Mátrixok diagonális alakra hozása Ha A és S két n n-es mátrix és S invertálható, akkor az A és S 1 A S mátrixok sajátértékei megegyeznek. Bizonyítás: det(s 1 A S λe) = det ( S 1 A S S 1 (λe)s ) = det ( S 1 (A λe)s ) A diagonalizálhatóság kritériuma = det(s 1 ) det(a λe) det(s) = det(a λe). Egy n n-es A mátrix akkor és csakis akkor diagonalizálható, ha van n lineárisan független sajátvektora, x 1,..., x n. Ekkor λ S 1 0 λ 2 0 A S = diag(λ 1,..., λ n ) =......, 0 0 λ n ahol az S mátrix oszlopvektorai rendre x 1,..., x n, a λ 1,..., λ n számok pedig a hozzájuk tartozó sajátértékek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 49 / 180

50 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.4 Szimmetrikus és ortogonális mátrixok Szimmetrikus és ortogonális mátrixok Egy kvadratikus A mátrixot szimmetrikusnak nevezünk, ha A = A, illetve ortogonálisnak nevezünk, ha A A = E. Ortogonális/merőleges vektorok Az x, y R n vektorok akkor ortogonálisak, ha x, y = 0. Ortogonális mátrixok Egy kvadratikus A mátrix esetén a következő állítások ekvivalensek: A ortogonális; A invertálható, és A 1 = A ; A sorvektorai egységvektorok és páronként ortogonálisak; A oszlopvektorai egységvektorok és páronként ortogonálisak. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 50 / 180

51 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.4 Szimmetrikus és ortogonális mátrixok Szimmetrikus mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Ha A egy kvadratikus szimmetrikus mátrix, akkor A sajátértékei mind valós számok; A különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok ortogonálisak. Szimmetrikus mátrixok spektráltétele Ha A egy n n-es szimmetrikus mátrix, akkor létezik olyan ortogonális U mátrix, amelyre U 1 A U = diag(λ 1,..., λ n ), ahol λ 1,..., λ n az A sajátértékei, az U mátrix i-edik oszlopa pedig a λ i -hez tartozó sajátvektora (i = 1,..., n). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 51 / 180

52 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.5 Kvadratikus függvények Bilineáris és kvadratikus függvények/formák Ha A = R n n, akkor az F : R n R n R, F(x, y) := Ax, y, (x, y R n ) függvényt bilineáris függvénynek/formának nevezzük; a Q : R n R, Q(x) := Ax, x, (x R n ) függvényt kvadratikus függvénynek/formának nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 52 / 180

53 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.5 Kvadratikus függvények Tehát ha x = (x 1,..., x n ) R n, akkor Q(x) = Q(x 1,..., x n ) = Ax, x = n i=1 j=1 n a i,j x i x j, így feltehető, hogy A szimmetrikus mátrix. Ezért létezik olyan U ortogonális mátrix, melyre ahol λ 1,..., λ n ezért y := U x jelöléssel U 1 A U = D = diag(λ 1,... λ n ), az A sajátértékei. Innen A = U D U 1 = U D U, Q(x) = Ax, x = U DU x, x = D U x, U x = Dy, y = Ezt a Q kvadratikus forma kanonikus alakjának nevezzük. n i=1 λ i y 2 i. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 53 / 180

54 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.5 Kvadratikus függvények Kvadratikus függvény definitsége A Q : R n R kvadratikus függvény pozitív definit, ha Q(x) > 0 bármely x R n, x 0 esetén; negatív definit, ha Q(x) < 0 bármely x R n, x 0 esetén; indefinit, ha Q(x) felvesz pozitív és negatív értékeket is. Kritérium kvadratikus függvény definitségére Egy szimmetrikus A R n n mátrixszal képezett Q(x) := Ax, x (x R n ) kvadratikus függvény akkor és csakis akkor pozitív definit, ha A összes sajátértéke pozitív, negatív definit, ha A összes sajátértéke negatív, indefinit, ha A-nak van pozitív és negatív sajátértéke is. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 54 / 180

55 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.5 Kvadratikus függvények Kritérium kvadratikus függvény definitségére Legyen A = (a i,j ) R n n szimmetrikus mátrix, és legyen k (k = 1,..., n) az A mátrix bal felső k k-s sarokmátrixának determinánsa (sarokfőminora), azaz 1 :=a 1,1, 2 := a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2, a 1,1 a 1,2 a 1,3 3 := a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3,..., n := A, akkor a Q(x) := Ax, x (x R n ) kvadratikus függvény akkor és csakis akkor pozitív definit, ha k > 0 minden k = 1,..., n esetén; negatív definit, ha ( 1) k k > 0 minden k = 1,..., n esetén. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 55 / 180

56 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Skaláris/belső szorzás R k -ban Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k és y = (y 1, y 2,..., y k ) R k vektorok skaláris vagy belső szorzata x, y := x 1 y 1 + x 2 y x k y k. k-dimenziós Euklideszi tér R k ellátva a skaláris/belső szorzással A skaláris/belső szorzás tulajdonságai Bármely x, y, z R k x + y, z = x, z + y, z, λx, y = λ x, y, x, y = y, x, és bármely λ R esetén x, x 0, és x, x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 56 / 180

57 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség Bármely két x, y R k vektor esetén x, y x, x y, y. Vektor hossza/normája Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k vektor hossza/normája x := x, x. A hossz/norma tulajdonságai Bármely x, y R k és bármely λ R esetén x 0, és x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0, λx = λ x, x + y x + y. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 57 / 180

58 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Pontok távolsága Az x, y R k pontok távolsága d(x, y) := x y. Pont (nyílt) környezete Egy a R k halmazt értjük. pont ε > 0 sugarú (nyílt) környezetén a K (a, ε) := {x R k : d(x, a) = x a < ε} k = 1 esetén K (a, ε) az a pontra nézve szimmetrikus 2ε hosszúságú ]a ε, a + ε[ nyílt intervallum. k = 2 esetén K (a, ε) az a = (a 1, a 2 ) pont körüli ε sugarú nyílt körlap. k = 3 esetén K (a, ε) az a = (a 1, a 2, a 3 ) pont körüli ε sugarú nyílt gömb. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 58 / 180

59 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Az a R k pontot az A R k halmaz belső pontjának nevezzük, ha a-nak van olyan környezete, mely A-ban van (azaz van olyan ε > 0, hogy K (a, ε) A ). Az a R k pontot az A R k halmaz izolált pontjának nevezzük, ha a A, és a-nak van olyan környezete, melyben a-n kívül nincs A-beli pont (azaz a A, és van olyan ε > 0, hogy (K (a, ε) \ {a}) A = ). Az a R k pontot az A R k halmaz torlódási pontjának nevezzük, ha a bármely környezetében van tőle különböző A-beli pont (azaz bármely ε > 0 esetén (K (a, ε) \ {a}) A ). Az a R k pontot az A R k halmaz határpontjának nevezzük, ha a bármely környezetében van A-beli és nem A-beli pont is (azaz bármely ε > 0 esetén K (a, ε) A és K (a, ε) A, ahol A := R k \ A az A halmaz komplementere). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 59 / 180

60 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Az A R k halmazt nyíltnak nevezzük, ha minden pontja belső pontja A-nak. Az A R k halmazt zártnak nevezzük, ha komplementere nyílt. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 60 / 180

61 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Sorozat R k -ban Egy a : N R k függvényt R k -beli sorozatnak nevezünk. Jelölés: (a n ) n N, ahol a n := a(n), és a n = (a n,1, a n,2,..., a n,k ), ha n N. Konvergens sorozat R k -ban Az R k -beli (a n ) n N sorozatot konvergensnek nevezzük, ha van olyan b R k, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyan N(ε) R szám, hogy a n b < ε amennyiben n > N(ε). A b pontot a sorozat határértékének (limeszének) nevezzük. Jelölés: a n b ha n, vagy lim n a n = b. Egy R k -beli sorozatot divergensnek nevezünk, ha nem konvergens. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 61 / 180

62 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban R k -beli konvergencia = koordinátánkénti konvergencia a n = (a n,1, a n,2,..., a n,k ) b = (b 1, b 2,..., b k ) ha n akkor és csakis akkor, ha a n,i b i ha n minden i = 1, 2,..., k esetén. Ez azt jelenti, hogy egy vektorsorozat akkor és csakis akkor konvergens, ha a sorozat minden koordinátája konvergens, és határértéke a határvektor megfelelő koordinátája. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 62 / 180

63 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.2 Többváltozós függvény határértéke és folytonossága Egy D R k halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel jelöljük. Többváltozós függvény határértéke Legyen f : D R k R és legyen x 0 D. Azt mondjuk, hogy f -nek van (véges) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R szám, hogy minden ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy f (x) a < ε ha 0 < x x 0 < δ(ε) és x D. Az a R számot az f függvény x 0 nevezzük. Jelölés: pontbeli határértékének f (x) a ha x x 0, vagy lim x x0 f (x) = a. A határérték, ha létezik, akkor egyértelmű. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 63 / 180

64 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.2 Többváltozós függvény határértéke és folytonossága Átviteli elv Legyen f : D R k R és legyen x 0 D. Ekkor azzal egyenértékű, hogy lim f (x) = a x x0 lim f (x n ) = a teljesül bármely olyan n D \ {x 0 }-beli (x n ) n N sorozatra, melyre lim n x n = x 0. A műveletek, egyenlőtlenségek és határérték kapcsolata most is érvényes. A határérték fogalma a = + -re és a = -re hasonlóan kiterjeszthető, mint egy változónál. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 64 / 180

65 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.2 Többváltozós függvény határértéke és folytonossága Többváltozós függvény folytonossága Az f : D R k R függvényt értelmezési tartományának x 0 D pontjában folytonosnak nevezzük, ha bármely ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy f (x) f (x 0 ) < ε ha x x 0 < δ(ε) és x D. Átviteli elv többváltozós függvény folytonosságára Az f : D R k R függvény az x 0 D pontban akkor és csakis akkor folytonos, ha lim f (x n ) = f (x 0 ) teljesül bármely olyan D-beli n (x n ) n N sorozatra, melyre lim x n = x 0. n Folytonos függvények tulajdonságai ugyanazok, mint az egyváltozós esetben. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 65 / 180

66 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága (Totális) differenciálhatóság Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálhatónak nevezzük, ha van olyan A R k vektor, hogy f (x) f (x 0 ) A, x x 0 lim = 0. x x 0 x x 0 Az f (x 0 ) := A vektort az f függvény x 0 nevezzük. pontbeli deriváltjának GEOMETRIAI JELENTÉS: a függvény f (x) f (x 0 ) növekményét az f (x 0 ), x x 0 lineáris függvény jól közelíti x 0 közelében; a függvény által meghatározott felületnek x 0 -ban van érintősíkja, mégpedig az hipersík az R k+1 x k+1 = f (x 0 ) + f (x 0 ), x x 0 térben. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 66 / 180

67 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Irány menti differenciálhatóság Legyen e R k egy egységvektor, azaz e = 1. Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban az e irány mentén differenciálhatónak nevezzük, ha létezik a D e f (x 0 ) := lim t 0 f (x 0 + te) f (x 0 ) t (véges) határérték, melyet az f függvény e iránymenti deriváltjának nevezünk az x 0 pontban. D e f (x 0 ) jelentése: az f függvény változási sebessége az e irányában. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 67 / 180

68 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Parciális derivált Legyen i {1, 2,..., k}, és legyen u i R k az i-edik tengely irányába mutató egységvektor (az u i vektor i-edik koordinátája 1, a többi 0). Az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pontban létezik az i-edik változója szerinti parciális deriváltja, ha differenciálható az u i irányban. Jelölése: i f (x 0 ) := D ui f (x 0 ). Egyéb jelölések: f x i (x 0 ) és f xi (x 0 ) Parciális differenciálhatóság Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban parciálisan differenciálhatónak nevezzük, ha i f (x 0 ) minden i = 1, 2,..., k esetén létezik. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 68 / 180

69 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Parciális derivált kiszámítása Mivel x i = x 0,i + t helyettesítéssel i f (x 0 ) = lim t 0 f (x 0,1,..., x 0,i + t,..., x 0,k ) f (x 0,1,..., x 0,i,..., x 0,k ) t f (x 0,1,..., x i,..., x 0,k ) f (x 0,1,..., x 0,i,..., x 0,k ) = lim, x i x 0,i x i x 0,i így az i-edik változó szerinti parciális deriváltat úgy számítjuk ki, hogy az i-edik változó szerint deriválunk, miközben a többi változót konstansnak tekintjük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 69 / 180

70 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Irány menti derivált kiszámítása Ha f :D R n R az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálható, akkor bármely e R k egységvektor iránya mentén is differenciálható x 0 -ban, és D e f (x 0 ) = f (x 0 ), e. Ha e = u i az i-edik tengely irányába mutató egységvektor, akkor i f (x 0 ) = D ui f (x 0 ) = f (x 0 ), u i, így e = (e 1, e 2,..., e k ) = e 1 u 1 + e 2 u e k u k alapján D e f (x 0 ) = 1 f (x 0 )e f (x 0 )e k f (x 0 )e k. Ezért (totális) differenciálhatóság = parciális differenciálhatóság. Az is következik, hogy f (x 0 ) = ( 1 f (x 0 ),..., k f (x 0 )), így az f (x 0 ) (totális) derivált (vektor) koordinátái a parciális deriváltak. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 70 / 180

71 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága (Totális) differenciálhatóság = folytonosság Ha f : D R k R az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálható, akkor f folytonos x 0 -ban. parciális differenciálhatóság folytonosság parciális derivált folytonossága = (totális) differenciálhatóság Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében folytonos parciális deriváltjai vannak (ekkor azt mondjuk, hogy a függvény folytonosan parciálisan differenciálható e környezetben), akkor f az x 0 pontban (totálisan) differenciálható (így folytonos is). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 71 / 180

72 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Láncszabály: összetett függvény differenciálhatósága Ha mindegyik j = 1, 2,..., l esetén a g j : D R k R függvények differenciálhatók az x 0 D belső pontban, és f : E R l R differenciálható az y 0 := g(x 0 ) E belső pontban, ahol a g : D R l függvény értelmezése x D esetén g(x) := (g 1 (x), g 2 (x),..., g l (x)), akkor létezik olyan ε > 0, hogy g(k (x 0, ε)) E, így a h : K (x 0, ε) R, h(x) := f (g(x)) ha x K (x 0, ε) összetett függvény differenciálható az x 0 pontban, és l i h(x 0 ) = j f (g(x 0 )) i g j (x 0 ) ha i = 1, 2,..., k. j=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 72 / 180

73 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.4 Magasabbrendű parciális deriváltak Magasabbrendű parciális deriváltak Tegyük fel, hogy az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében létezik az i-edik változó szerinti i f parciális deriváltja. Ha ez parciálisan differenciálható a j-edik változó szerint, úgy a deriválást elvégezve kapjuk a j i f (x 0 ) := j ( i f (x 0 )) második parciális deriváltját f -nek az x 0 pontban az i-edik és j-edik változók szerint (ebben a sorrendben!). Hasonlóan, ha a j i f (x) derivált létezik x 0 egy környezetében és ez parciálisan differenciálható az l-edik változó szerint, úgy a deriválást elvégezve kapjuk a l i j f (x 0 ) := l ( i j f (x 0 )) harmadik parciális deriváltat. Hasonlóan értelmezhetjük a negyed- és magasabbrendű parciális deriváltakat is. Egyéb jelölések a magasabbrendű parciális deriváltakra: 2 f x j x i (x 0 ), illetve f xi,x j (x 0 ). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 73 / 180

74 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.4 Magasabbrendű parciális deriváltak Példa. Számítsuk ki az f : R 2 R, f (x, y) := x 2 + y 2 e xy függvény összes első- és másodrendű parciális deriváltját, és hasonlítsuk össze a 1 2 f (x, y) és 2 1 f (x, y) vegyes deriváltakat. Young tétel: a vegyes parciális deriváltak függetlensége a deriválás sorrendjétől Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében valamely m 2 esetén az összes m-edik parciális deriváltja létezik és az x 0 pontban azok folytonosak, akkor az f függvény m-edik parciális deriváltjai az x 0 pontban a differenciálás sorrendjétől függetlenek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 74 / 180

75 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek az x 0 D pontban lokális/helyi maximuma (minimuma) van, ha ε > 0, hogy f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) x K (x 0, ε) D esetén. szigorú lokális/helyi maximuma (minimuma) van, ha ε > 0, hogy f (x 0 ) > f (x) (f (x 0 ) < f (x)) x K (x 0, ε) D, x x 0 esetén. globális/abszolút maximuma (minimuma) van, ha f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) x D esetén. szigorú globális/abszolút maximuma (minimuma) van, ha f (x 0 ) > f (x) (f (x 0 ) < f (x)) x D, x x 0 esetén. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 75 / 180

76 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke A szélsőérték létezésének elegendő feltétele Korlátos, zárt halmazon folytonos függvény felveszi a függvényértékek infimumát és szuprémumát függvényértékként, ami azt jelenti, hogy a függvénynek van minimuma és maximuma (az illető korlátos, zárt halmazon). A szélsőérték létezésének szükséges feltétele Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pontban lokális szélsőértéke van, és léteznek f első parciális deriváltjai x 0 -ban, akkor 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = = k f (x 0 ) = 0. (E feltételnek eleget tevő x 0 pontokat az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük.) Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 76 / 180

77 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke A szélsőérték létezésének másodrendű elegendő feltétele Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltja folytonos az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = = k f (x 0 ) = 0. 1 Ha a k k Q : R k R, Q(h) = Q(h 1,..., h k ) := j i f (x 0 )h i h j j=1 i=1 kvadratikus függvény pozitív definit, azaz Q(h) > 0 ha h R k és h 0, akkor f -nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban. 2 Ha Q negatív definit, azaz Q(h) < 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f -nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban. 3 Ha Q indefinit, azaz Q(h) felvesz pozitív és negatív értéket is, akkor f -nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 77 / 180

78 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke A szélsőérték létezésének másodrendű elegendő feltétele determinánsok segítségével Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltja folytonos az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = = k f (x 0 ) = 0. Legyen l (l = 1,..., k) az A := ( i j f (x 0 )) i=1,...,k; j=1,...,k R k k szimmetrikus mátrix bal felső l l-s sarokmátrixának determinánsa (sarokfőminora), azaz 1 := 1 2 f (x 0), 2 := 2 1 f (x 0) 1 2 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 2 2f (x 0),..., k := A. 1 Ha l > 0 minden l = 1,..., k esetén, akkor f -nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban. 2 Ha ( 1) k j > 0 minden j = 1,..., k esetén, akkor f -nek szigorú lokális maxmuma van x 0 -ban. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 78 / 180

79 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke A szélsőérték létezésének másodrendű elegendő feltétele determinánsok segítségével kétváltozós függvény esetén Tegyük fel, hogy az f : D R 2 R összes második parciális deriváltja folytonos az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = 0. Legyen 1 és 2 az A := ( i j f (x 0 )) i=1,2; j=1,2 R 2 2 szimmetrikus mátrix bal felső sarokmátrixainak determinánsa (sarokfőminorai), azaz 1 := 1 2 f (x 0), 2 := 2 1 f (x 0) 1 2 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 2 2f (x 0). 1 Ha 1 > 0 és 2 > 0, akkor f -nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban. 2 Ha 1 < 0 és 2 > 0, akkor f -nek szigorú lokális maxmuma van x 0 -ban. 3 Ha 2 < 0, akkor f -nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 79 / 180

80 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke Példa. f : R 2 R, f (x, y) := x 3 + y 3 3xy lokális szélsőértékeinek meghatározása. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 80 / 180

81 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke Legyenek f : D R k R és g i : D R k R, i = 1,..., l, l < k, adott függvények. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 D pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,..., g l (x) = 0 feltételek mellett lokális/helyi feltételes maximuma (minimuma) van, ha van olyan ε > 0, hogy f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) teljesül minden olyan x D K (x 0, ε) esetén, melyre g 1 (x) = = g l (x) = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 81 / 180

82 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke A feltételes szélsőérték létezésének szükséges feltétele Legyenek g i : D R k R, i = 1,..., l, l < k, adott függvények. Tegyük fel, hogy az f : D R függvénynek az x 0 D belső pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,..., g l (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes szélsőértéke van, az f és g i, i = 1,..., l első parciális deriváltjai folytonosak x 0 egy környezetében, továbbá a 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) g l (x 0 ) k g l (x 0 ) mátrixnak van nemzérus l-edrendű aldeterminánsa. Akkor van olyan λ 0 = (λ 0,1,..., λ 0,l ) R l pont, hogy az L : D R l R, függvényre L(x, λ) := f (x) + λ 1 g 1 (x) + + λ l g l (x) 1 L(x 0, λ 0 ) = = k L(x 0, λ 0 ) = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 82 / 180

83 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke A λ 1,..., λ m számokat Lagrange-féle multiplikátoroknak nevezzük, az L függvényt pedig a feltételes szélsőérték probléma Lagrange-függvényének nevezzük. A feltételes szélsőérték probléma megoldása úgy történik, hogy a 1 L(x, λ) = 2 L(x, λ) = = k L(x, λ) = g 1 (x) = = g l (x) = 0 k + l egyenletből álló egyenletrendszert megoldjuk az x = (x 1,..., x k ) D, λ = (λ 1,..., λ l ) R l ismeretlenekre; a kapott x 0 = (x 0,1,..., x 0,k ) megoldások adják a feltételes szélsőérték lehetséges helyeit. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 83 / 180