Gazdasági matematika II.

Átírás

1 Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180

2 Félévközi kötelező házi feladatok beadási határideje: 1. házi feladat beadása a március héten lévő gyakorlaton 2. házi feladat beadása a május 3 7 héten lévő gyakorlaton Ezek teljesítése, két sikeresen megírt dolgozat, valamint a gyakorlatra járás (legfeljebb 3 hiányzás) szükséges a gyakorlati aláíráshoz! Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 2 / 180

3 Ajánlott irodalom: KNUT SYDSÆTER és PETER HAMMOND Matematika közgazdászoknak Aula, DENKINGER GÉZA Analízis: gyakorlatok Nemzeti Tankönyvkiadó, DENKINGER GÉZA Valószínűségszámítás Tankönyvkiadó, DENKINGER GÉZA Valószínűségszámítás példatár Tankönyvkiadó, Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 3 / 180

4 Ajánlott irodalom: KOVÁCS ZOLTÁN Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz Kossuth Egyetemi Kiadó, GÁSPÁR LÁSZLÓ Lineáris algebra példatár Tankönyvkiadó, KOZMA LÁSZLÓ Matematikai alapok Studium Kiadó, Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 4 / 180

5 Ajánlott irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ Előadáskövető anyagok és feladatok losi/huindex.htm PAP GYULA Előadáskövető anyagok és feladatok LAJKÓ KÁROLY Gazdasági matematika I. lajko/ Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 5 / 180

6 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.1 Az R k vektortér fogalma Az R k vektortér R k := {(x 1, x 2,..., x k ) : x i R minden i = 1, 2,..., k esetén}. Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k sorozatok a tér pontjai. Az x 1, x 2,..., x k számok az x = (x 1, x 2,..., x k ) pont koordinátái. pontjait vektorokként is felfoghatjuk (koordinátarendszer felvétele után az egyes pontoknak a kezdőpontból hozzájuk vezető irányított szakaszt feleltetjük meg). R k Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 6 / 180

7 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.1 Az R k vektortér fogalma Összeadás R k -ban Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k és y = (y 1, y 2,..., y k ) R k vektorok összege x + y := (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x k + y k ). Skalárral való szorzás R k -ban Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k vektor λ R skalárral való szorzata λx := (λx 1, λx 2,..., λx k ). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 7 / 180

8 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.1 Az R k vektortér fogalma Az összeadás és a skalárral való szorzás tulajdonságai Bármely x, y, z R k esetén a 0 = (0, 0,..., 0) zérusvektorral és x := ( 1)x ellentett vektorral x + (y + z) = (x + y) + z, x + y = y + x, x + 0 = x, x + ( x) = 0. Bármely x, y R k és bármely λ, µ, 1 R esetén λ(x + y) = λx + λy, (λ + µ)x = λx + µx, (λµ)x = λ(µx), 1x = x. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 8 / 180

9 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.2 Vektorok lineáris függetlensége, bázis Lineáris kombináció Az a 1, a 2,..., a n R k vektorok λ 1, λ 2,..., λ n R együtthatókkal képezett lineáris kombinációján a vektort értjük. λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n Lineáris függetlenség, függőség Az a 1,..., a n R k nevezzük, ha vektorrendszert lineárisan függetlennek λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n = 0 csak λ 1 = λ 2 = = λ n = 0 esetén áll fenn. Egy vektorrendszert lineárisan függőnek nevezünk, ha nem lineárisan független. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 9 / 180

10 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.2 Vektorok lineáris függetlensége, bázis Ha a 1,..., a n lineárisan függő, akkor léteznek olyan λ 1, λ 2,..., λ n R együtthatók, melyek nem mind zérusok, és λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n = 0. Ezért van olyan l {1, 2,..., n} index, hogy λ l 0, így osztva λ l -lel a l = λ 1 a 1 λ l 1 a l 1 λ l+1 a l+1 λ n a n, λ l λ l λ l λ l azaz az a l vektor kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként. Lineáris függetlenség Az a 1,..., a n R k független, ha vektorrendszer akkor és csakis akkor lineárisan b = λ 1 a λ n a n, b = λ 1 a λ na n csak λ 1 = λ 1,..., λ n = λ n esetén teljesül. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 10 / 180

11 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.2 Vektorok lineáris függetlensége, bázis Az R k vektortér k dimenziós abban az értelemben, hogy van R k -ban k darab lineárisan független vektor, de bárhogyan is választunk k + 1 darab vektort R k -ból, azok lineárisan függők. Bázis Az R k vektortér bármely k számú lineárisan független b 1,..., b k vektorát a tér bázisának nevezzük. Koordináták Ha b 1,..., b k az R k vektortér egy bázisa, akkor a tér minden v vektora egyértelműen írható v = β 1 b 1 + β 2 b β k b k alakban. Az itt szereplő β 1, β 2,..., β k skalárokat a v vektor b 1,..., b k bázisára vonatkozó koordinátáinak nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 11 / 180

12 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.2 Vektorok lineáris függetlensége, bázis Példa. Az e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e k = (0, 0,..., 1) R k vektorok az R k tér egy bázisát alkotják, melyet természetes bázisnak nevezünk. Ha v = (v 1, v 2,..., v k ) R k, akkor v = (v 1, v 2,..., v k ) = v 1 e 1 + v 2 e v k e k, így v koordinátái azonosak v-nek a természetes bázisra vonatkozó koordinátáival. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 12 / 180

13 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.3 Altér és rang Altér Az R k vektortér alterén R k olyan L részhalmazát értjük, mely nem üres és zárt az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve, azaz a, b L és λ R esetén a + b L és λa L teljesül. Vektorrendszer által generált altér Egy a 1, a 2,..., a n vektorrendszert tartalmazó legszűkebb alteret a vektorrendszer által generált/kifeszített altérnek nevezzük. Jelölés: L(a 1, a 2,..., a n ). L(a 1, a 2,..., a n ) = {α 1 a α n a n : α 1,..., α n R}, azaz egy vektorrendszer által generált altér azonos a vektorrendszer vektoraiból képezhető összes lineáris kombinációk halmazával. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 13 / 180

14 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.3 Altér és rang Altér dimenziója Egy L altér dimenziója r, ha van L-ben r darab lineárisan független vektor, de akárhogyan választunk r + 1 darab vektort L-ből, azok lineárisan függőek. Vektorrendszer rangja Egy a 1, a 2,..., a n vektorrendszer rangjának az általa generált L(a 1, a 2,..., a n ) altér dimenzióját nevezzük. Vektorrendszer rangja Az a 1, a 2,..., a n vektorrendszer rangja megegyezik e rendszerből kiválasztható maximális számú, lineárisan független vektorok számával. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 14 / 180

15 9. AZ R k VEKTORTÉR 9.3 Altér és rang Vektorrendszer által generált altér Az a 1, a 2,..., a n vektorrendszer által generált altér nem változik meg (és így a vektorrendszer rangja sem változik), ha megváltoztatjuk a vektorok sorrendjét, vagy valamelyik vektort egy λ 0 skalárral megszorozzuk, vagy valamelyik vektorához egy másik vektorát hozzáadjuk. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 15 / 180

16 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal k n típusú (valós) mátrix Ha k n darab (valós) számot, az {a i,j : i = 1, 2,..., k; j = 1, 2,..., n} számokat, k sorban és n oszlopban helyezünk el az alábbi módon: a 1,1 a 1,2 a 1,n a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = vagy A = a 2,1 a 2,2 a 2,n......, a k,1 a k,2 a k,n a k,1 a k,2 a k,n akkor egy k n típusú (valós) A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n mátrixot definiáltunk. Az összes k n típusú mátrixok halmazát R k n vagy M k n jelöli. A típus megadásánál mindig a sorok száma az első adat! Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 16 / 180

17 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Az A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n mátrix i-edik sorvektora/sormátrixa és j-edik oszlopvektora/oszlopmátrixa a 1,j s i = [ ] a 2,j a i,1 a i,2 a i,n, oj =. Speciális mátrixok Az A mátrix négyzetes vagy kvadratikus, ha n sora és n oszlopa van, azaz A R n n. Diagonálisa (főátlója) : {a 1,1, a 2,2,..., a n,n }. n-edrendű egységmátrix: az az n-edrendű E = E n R n n kvadratikus mátrix, melynek főátlójában csupa 1 áll, azon kívül pedig csupa 0 áll. k n típusú zérusmátrix: az a k n típusú O = O k n R k n mátrix, melynek minden eleme 0. a k,j Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 17 / 180

18 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Mátrix transzponáltja Az A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n R k n mátrix transzponáltján az A := (a j,i ) j=1,2,...,n; i=1,2,...,k R n k mátrixot értjük (a mátrix sorait és oszlopait megcserélve kapjuk a mátrix transzponáltját). Azonos típusú mátrixok összeadása és számmal való szorzása Legyenek A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n, B = (b i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n R k n azonos típusú mátrixok és legyen λ R. Ekkor az A + B R k n és λa R k n mátrixok definíciója: A + B := (a i,j + b i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n, λa := (λa i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 18 / 180

19 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Az összeadás, számmal való szorzás és transzponálás tulajdonságai Az összes k n típusú valós mátrixok R k n halmazában az összeadás és a számmal való szorzás ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkezik, mint az R l vektortérben. Továbbá bármely A, B R k n, λ R esetén (A + B) = A + B, (λa) = λa. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 19 / 180

20 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Két mátrix szorzata csak akkor értelmezett, ha az első mátrixnak annyi oszlopa van, mint ahány sora van a második mátrixnak. Mátrixok szorzata A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n R k n és B = (b j,l ) j=1,2,...,n; l=1,2,...,m R n m mátrixok C = AB szorzatán azt a C = (c i,l ) i=1,2,...,k; l=1,2,...,m R k m mátrixot értjük, melyre n c i,l := a i,j b j,l = a i,1 b 1,l + a i,2 b 2,l + + a i,n b n,l j=1 ha i = 1, 2,..., k ; l = 1, 2,..., m. Ezt a szorzást röviden sor-oszlop kombinációnak mondjuk, mert a szorzatmátrix c i,l eleme éppen az A mátrix i-edik sorvektorának és a B mátrix j-edik oszlopvektorának a belső szorzata R n -ben. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 20 / 180

21 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Mátrixok szorzásának tulajdonságai A(BC) = (AB)C, (A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC, (AB) = B A, AO = OA = O, ahol A, B, C, O olyan mátrixok, melyekre a felírt műveleteknek van értelme. Kvadratikus A mátrixokra AE = EA = A. A mátrixszorzás nem kommutatív, azaz általában AB BA. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 21 / 180

22 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Kvadratikus mátrix inverze Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak nevezünk, ha van olyan B (kvadratikus) mátrix, melyre AB = BA = E teljesül. Ezt a B mátrixot A inverzének nevezzük és A 1 -gyel jelöljük. Ha A invertálható, akkor csak egy inverze van. Ugyanis, ha B inverze volna, akkor AB = B A = E miatt is A B = BE = B(AB ) = (BA)B = EB = B azaz B = B. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 22 / 180

23 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.2 Mátrix determinánsa Részmátrix Legyen A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n R k n egy k n típusú mátrix. Az i-edik sor és j-edik oszlop elhagyásával visszamaradó (k 1) (n 1) típusú részmátrix jelölése A i,j. Mátrix determinánsa Az A = (a i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n R n n determinánsa n = 1 esetén det(a) = A := a 1,1, n-edrendű kvadratikus mátrix n 2 esetén pedig (rekurzívan definiálva) n det(a) = A := ( 1) 1+l a 1,l det(a 1,l ). l=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 23 / 180

24 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.2 Mátrix determinánsa Másod és harmadrendű determinánsok kiszámítása a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 = a 1,1a 2,2 a 2,1 a 1,2, a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 = a 1,1a 2,2 a 3,3 + a 1,2 a 2,3 a 3,1 + a 1,3 a 2,1 a 3,2 a 1,3 a 2,2 a 3,1 a 1,1 a 2,3 a 3,2 a 1,2 a 2,1 a 3,3. Kifejtési tétel Minden A = (a i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n R n n n-edrendű kvadratikus mátrix és minden i, j {1,..., n} esetén n n det(a) = ( 1) i+l a i,l det(a i,l ) = ( 1) k+j a k,j det(a k,j ). l=1 k=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 24 / 180

25 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.2 Mátrix determinánsa Permutációk Az {1, 2,..., n} számok egy π = (π 1, π 2,..., π n ) elrendezését ezen elemek egy permutációjának nevezzük. Az {1, 2,..., n} számok összes permutációinak halmazát S n jelöli. Egy π = (π 1, π 2,..., π i,..., π j,..., π n ) S n permutációban a (π i, π j ) pár inverzióban áll, ha i < j és π i > π j. Egy π permutáció inverzióinak számát (az inverzióban álló párok számát) I(π) jelöli. Az {1, 2,..., n} számok összes permutációinak száma n!. Minden A = (a i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n R n n n-edrendű kvadratikus mátrix esetén det(a) = ( 1) I(π) a 1,π1 a 2,π2... a n,πn. π S n Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 25 / 180

26 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.2 Mátrix determinánsa A determináns alaptulajdonságai 1 Bármely A kvadratikus mátrixra teljesül det(a ) = det(a). 2 Ha egy sor minden elemét c-vel szorozzuk, akkor a determináns értéke c-szeresére változik. 3 Ha két sort felcserélünk, akkor a determináns előjelet vált. 4 Ha két sor megegyezik, akkor a determináns értéke nulla. 5 A determináns értéke nem változik, ha egy sorának elemeihez egy másik sor megfelelő elemeinek c-szeresét hozzáadjuk. 6 Ha egy sor minden eleme két tag összegére bomlik, akkor a determináns felirható két olyan determináns összegeként, melyek megfelelő soraiban éppen az egyes összeadandók állnak. 7 Ha egy sorban csupa 0 áll, akkor a determináns értéke nulla. 8 Az egységmátrixok determinánsa 1. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 26 / 180

27 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix determinánsa Determinánsok szorzástétele Ha A, B R n n Inverz mátrix előállítása azonos rendű kvadratikus mátrixok, akkor det(ab) = det(a) det(b). Egy (kvadratikus) mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Egy A = (a i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n n-edrendű invertálható kvadratikus mátrix A 1 = (b i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n inverzének elemei b i,j = ( 1)i+j det(a j,i ). det(a) Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 27 / 180

28 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.3 Mátrix rangja Mátrix rangja Egy A mátrix rang(a) rangján az A oszlopvektoraiból álló vektorrendszer rangját értjük (ami a maximális lineárisan független oszlopvektorok száma). A zérusmátrixok rangja nulla. Aldetermináns Legyen A R k n egy k n típusú mátrix, és 1 l min{k, n}. Az A egy l-edrendű aldeterminánsát úgy kapjuk, hogy kiválasztjuk a mátrix l darab sorát és l darab oszlopát, és képezzük az ezek metszetében lévő elemekből alkotott l-edrendű determinánst. Rangszámtétel Bármely (nemzérus) mátrix rangja megegyezik a maximális rendű nullától különböző aldeterminánsainak rendjével. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 28 / 180

29 10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.3 Mátrix rangja Egy mátrix sorvektorainak rangja egyenlő az oszlopvektorainak rangjával. Egy (kvadratikus) mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha a mátrix oszlopvektorai (vagy sorvektorai) lineárisan függetlenek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 29 / 180

30 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2 a k,1 x 1 + a k,2 x a k,n x n = b k egyenletrendszert, ahol {a i,j, b i : i = 1,..., k; j = 1,..., n} adott valós számok, {x i : i = 1,..., n} ismeretlen valós számok. Az a i,j számokat a rendszer együtthatóinak nevezzük, b i az i-edik egyenlet szabad tagja. Az egyenletrendszert homogénnek nevezzük, ha b 1 = = b k = 0, ellenkező esetben inhomogénnek mondjuk. Az egyenletrendszert szabályosnak nevezzük, ha k = n, azaz ha az egyenletek és ismeretlenek száma egyenlő.. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 30 / 180

31 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Tömören: ahol Ax = b, a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A := Rk n, a k,1 a k,2 a k,n x 1 b 1 x 2 x :=. b 2 Rn 1, b :=. Rk 1. x n b k Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 31 / 180

32 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Alapvető kérdések: Van-e az egyenletrendszernek megoldása, és ha igen, akkor egyértelmű-e? Hogyan határozhatjuk meg az összes megoldást? Egy (lineáris) egyenletrendszer megoldható, ha van megoldása; ellentmondásos, ha nincs megoldása; határozott, ha pontosan egy megoldás létezik; határozatlan, ha több megoldás van. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 32 / 180

33 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Ekvivalens átalakítások Két egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha megoldásaik halmaza egyenlő. Ekvivalens átalakítások Lineáris egyenletrendszerek esetén az alábbi átalakítások ekvivalens rendszereket eredményeznek: az egyenletek sorrendjének megváltoztatása; az egyenletekben szereplő tagok sorrendjének megváltoztatása; a rendszer bármelyik egyenletének szorzása (minden tag szorzása) egy nemzérus számmal; a rendszer bármelyik egyenletének hozzáadása egy másik egyenletéhez. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 33 / 180

34 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Trapéz alakú lineáris egyenletrendszer Az egyenletrendszert akkor nevezzük trapéz alakúnak, ha van olyan r {1,..., n} szám, hogy a 1,1 0, a 2,2 0,..., a r,r 0, a i,j = 0, ha i = 1, 2,..., r és j < i, a i,j = 0, ha i > r és j = 1, 2,..., n. Ha r = n, akkor a rendszert háromszögalakúnak nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 34 / 180

35 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Gauss-elimináció Az ismeretlenek szukcesszív (fokozatos) kiküszöbölésével az egyenletrendszert trapéz alakra hozzuk a következő lépésekkel: Tegyük fel, hogy a 1,1 0. Az első egyenlet a i,1 a 1,1 -szeresét az i-edik egyenlethez hozzáadva i = 2, 3,..., k esetén, az x 1 ismeretlen eltűnik a második, harmadik,... k-adik egyenletből. Ha a 1,1 = 0, akkor az első egyenletben keresünk egy ismeretlent, melynek együtthatója 0, és ez veszi át x 1 szerepét. Ezután a második egyenlet alkalmas konstanszorosainak a harmadik... k-adik egyenlethez való hozzádásával kiküszöböljük a harmadik ismeretlent a negyedik,... k-adik egyenletből. Az eljárást hasonlóan folytatjuk, míg van mit kiküszöbölni. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 35 / 180

36 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Trapéz alakú lineáris egyenletrendszer megoldhatósága Egy trapéz alakú egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van megoldása, ha a trapéz alakban az r + 1-edik egyenlettől kezdve a szabad tagok mind nullák; megoldható esetben akkor és csakis akkor van pontosan egy megoldása, ha r = n, azaz ha a rendszer hároszögalakú; akkor és csakis akkor van több megoldása, ha r < n; ebben az esetben végtelen sok megoldása van, és a megoldások egy n r paraméteres sereget alkotnak. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 36 / 180

37 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris egyenletrendszer megoldhatósága Egy lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van megoldása, ha a rang(a) = rang(a b) rangfeltétel teljesül, ahol A a rendszer együtthatómátrixa, (A b) pedig a bővített mátrix, melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy az A mátrixhoz n + 1-edik oszlopként hozzáírjuk a szabad tagok b oszlopvektorát. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 37 / 180

38 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Homogén rendszer esetén (amikor b 1 = = b k = 0 ), mindig van megoldás: az x 1 = x 2 = = x n = 0 triviális megoldás. Homogén rendszer nemtriviális megoldásának létezése Egy homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van triviálistól különböző megoldása, ha rang(a) < n, azaz ha a rendszer A mátrixának rangja kisebb mint az ismeretlenek száma. Ha ez teljesül, akkor a homogén rendszer összes megoldásai R n -nek egy n rang(a) dimenziós alterét alkotják. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 38 / 180

39 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris egyenletrendszer megoldáshalmazának szerkezete Az Ax = b (A R k n, x R n 1, b R k 1 ) inhomogén lineáris egyenletrendszer bármely x megoldása x = x + x h alakba írható, ahol x az inhomogén egyenlet egy rögzített (partikuláris) megoldása, x h pedig a megfelelő Ax = 0 homogén egyenletrendszer egy tetszőleges megoldása. Így a megoldások halmaza a homogén egyenletrendszer megoldásalterének az x vektorral való eltoltja. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 39 / 180

40 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.3 Cramer-szabály lineáris egyenletrendszerek megoldására Cramer-szabály Legyen A egy n-edrendű kvadratikus mátrix. Az Ax = b (A R n n, x R n 1, b R n 1 ) (szabályos) lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van pontosan egy megoldása, ha det(a) 0. Ha ez teljesül, akkor a rendszer egyetlen megoldása x i = det(a i b) det(a) (i = 1, 2,..., n), ahol A i b az a mátrix, melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy annak i-edik oszlopát a szabad tagok b (oszlop)vektorára cseréljük ki. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 40 / 180

41 11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.3 Cramer-szabály lineáris egyenletrendszerek megoldására Szabályos homogén lineáris egyenletrendszer nemtriviális megoldásának létezése Legyen A egy n-edrendű kvadratikus mátrix. Az Ax = 0 (A R n n, x R n 1 ) (szabályos) homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van nemtriviális megoldása, ha det(a) = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 41 / 180

42 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa Lineáris leképezés/operátor/transzformáció A ϕ : R n R n leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely x, y R n és bármely λ R esetén ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) ϕ(λx) = λϕ(x) (azaz ϕ additív), (azaz ϕ homogén). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 42 / 180

43 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa Lineáris leképezés megadása mátrix segítségével Ha ϕ : R n R n lineáris leképezés, b 1,..., b n az R n egy bázisa, és A ϕ = (a i,j ) i,j=1,...,n az a mátrix, melyre n ϕ(b j ) = a i,j b i minden j = 1,..., n esetén, i=1 akkor minden x = n j=1 x jb j R n esetén ϕ(x) = y = n i=1 y ib i, ahol n y i = a i,j x j minden i = 1,..., n esetén. j=1 Bizonyítás: ϕ(x) = n x j ϕ(b j ) = j=1 n j=1 x j n a i,j b i = i=1 n ( n a i,j x j )b i. i=1 j=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 43 / 180

44 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa azaz mátrixos formában: Lineáris leképezés mátrixa y 1 a 1,1 a 1,2 a 1,n x 1 y 2. = a 2,1 a 2,2 a 2,n x , y n a n,1 a n,2 a n,n x n ϕ(x) = y = A ϕ x. Azt mondjuk, hogy az A ϕ (n-edrendű kvadratikus) mátrix a ϕ lineáris leképezés mátrixa a b 1,..., b n bázisban. Rögzített bázis esetén a ϕ A ϕ hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű a ϕ : R n R n lineáris leképezések és az A ϕ R n n mátrixok között. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 44 / 180

45 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa Lineáris leképezések összege, számszorosa és kompoziciója (ϕ + ψ)(x) := ϕ(x) + ψ(x) (x R n ), (λϕ)(x) := λϕ(x) (λ R, x R n ), (ϕ ψ)(x) := ϕ(ψ(x)) (x R n ). A ϕ A ϕ hozzárendelés tulajdonságai Rögzített bázis és tetszőleges ϕ, ψ : R n R n lineáris leképezések esetén A ϕ+ψ = A ϕ + A ψ, A λϕ = λa ϕ, A ϕ ψ = A ϕ A ψ. Továbbá ϕ : R n R n akkor és csakis akkor kölcsönösen egyértelmű, ha A ϕ invertálható. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 45 / 180

46 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa Lineáris leképezés mátrixa különböző bázisokban Legyen b 1,..., b n és b 1,..., b n az R n tér két bázisa, és n A ϕ = (a i,j ) i,j=1,...,n, ahol ϕ(b j )= a i,j b i, i=1 A ϕ = (a i,j ) i,j=1,...,n, ahol ϕ(b j ) = n i=1 a i,j b i a ϕ : R n R n lineáris leképezés mátrixai. Akkor van olyan S R n n invertálható mátrix, hogy A ϕ = S 1 A ϕ S. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 46 / 180

47 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.2 Sajátértékek és sajátvektorok Kvadratikus mátrix sajátértéke, sajátvektora A λ R számot az A R n n mátrix sajátértékének nevezzük, ha van olyan nullától különböző x R n vektor, melyre Ax = λx teljesül. Az x vektort az A mátrix λ sajátértékéhez tartozó sajátvektorának nevezzük. Más alakban: (A λe)x = 0. Ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van nemtriviális megoldása, ha det(a λe) = 0. Ezt a determinánst kifejtve egy λ-ban n-edfokú polinomot kapunk. Ennek zérushelyei adják A sajátértékeit. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 47 / 180

48 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.3 Mátrixok diagonális alakra hozása Diagonális mátrix Egy n n-es D mátrixot diagonálisnak nevezünk, ha a főátlón kívüli elemei mind zérusok. Jelölés: λ λ 2 0 diag(λ 1,..., λ n ) = λ n Kvadratikus mátrix diagonális alakra hozása Egy n n-es A mátrixot diagonalizálhatónak (diagonális alakra hozhatónak) nevezünk, ha van olyan invertálható n n-es S mátrix és egy D diagonális mátrix, melyekre S 1 A S = D. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 48 / 180

49 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.3 Mátrixok diagonális alakra hozása Ha A és S két n n-es mátrix és S invertálható, akkor az A és S 1 A S mátrixok sajátértékei megegyeznek. Bizonyítás: det(s 1 A S λe) = det ( S 1 A S S 1 (λe)s ) = det ( S 1 (A λe)s ) A diagonalizálhatóság kritériuma = det(s 1 ) det(a λe) det(s) = det(a λe). Egy n n-es A mátrix akkor és csakis akkor diagonalizálható, ha van n lineárisan független sajátvektora, x 1,..., x n. Ekkor λ S 1 0 λ 2 0 A S = diag(λ 1,..., λ n ) =......, 0 0 λ n ahol az S mátrix oszlopvektorai rendre x 1,..., x n, a λ 1,..., λ n számok pedig a hozzájuk tartozó sajátértékek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 49 / 180

50 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.4 Szimmetrikus és ortogonális mátrixok Szimmetrikus és ortogonális mátrixok Egy kvadratikus A mátrixot szimmetrikusnak nevezünk, ha A = A, illetve ortogonálisnak nevezünk, ha A A = E. Ortogonális/merőleges vektorok Az x, y R n vektorok akkor ortogonálisak, ha x, y = 0. Ortogonális mátrixok Egy kvadratikus A mátrix esetén a következő állítások ekvivalensek: A ortogonális; A invertálható, és A 1 = A ; A sorvektorai egységvektorok és páronként ortogonálisak; A oszlopvektorai egységvektorok és páronként ortogonálisak. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 50 / 180

51 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.4 Szimmetrikus és ortogonális mátrixok Szimmetrikus mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Ha A egy kvadratikus szimmetrikus mátrix, akkor A sajátértékei mind valós számok; A különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok ortogonálisak. Szimmetrikus mátrixok spektráltétele Ha A egy n n-es szimmetrikus mátrix, akkor létezik olyan ortogonális U mátrix, amelyre U 1 A U = diag(λ 1,..., λ n ), ahol λ 1,..., λ n az A sajátértékei, az U mátrix i-edik oszlopa pedig a λ i -hez tartozó sajátvektora (i = 1,..., n). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 51 / 180

52 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.5 Kvadratikus függvények Bilineáris és kvadratikus függvények/formák Ha A = R n n, akkor az F : R n R n R, F(x, y) := Ax, y, (x, y R n ) függvényt bilineáris függvénynek/formának nevezzük; a Q : R n R, Q(x) := Ax, x, (x R n ) függvényt kvadratikus függvénynek/formának nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 52 / 180

53 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.5 Kvadratikus függvények Tehát ha x = (x 1,..., x n ) R n, akkor Q(x) = Q(x 1,..., x n ) = Ax, x = n i=1 j=1 n a i,j x i x j, így feltehető, hogy A szimmetrikus mátrix. Ezért létezik olyan U ortogonális mátrix, melyre ahol λ 1,..., λ n ezért y := U x jelöléssel U 1 A U = D = diag(λ 1,... λ n ), az A sajátértékei. Innen A = U D U 1 = U D U, Q(x) = Ax, x = U DU x, x = D U x, U x = Dy, y = Ezt a Q kvadratikus forma kanonikus alakjának nevezzük. n i=1 λ i y 2 i. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 53 / 180

54 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.5 Kvadratikus függvények Kvadratikus függvény definitsége A Q : R n R kvadratikus függvény pozitív definit, ha Q(x) > 0 bármely x R n, x 0 esetén; negatív definit, ha Q(x) < 0 bármely x R n, x 0 esetén; indefinit, ha Q(x) felvesz pozitív és negatív értékeket is. Kritérium kvadratikus függvény definitségére Egy szimmetrikus A R n n mátrixszal képezett Q(x) := Ax, x (x R n ) kvadratikus függvény akkor és csakis akkor pozitív definit, ha A összes sajátértéke pozitív, negatív definit, ha A összes sajátértéke negatív, indefinit, ha A-nak van pozitív és negatív sajátértéke is. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 54 / 180

55 12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.5 Kvadratikus függvények Kritérium kvadratikus függvény definitségére Legyen A = (a i,j ) R n n szimmetrikus mátrix, és legyen k (k = 1,..., n) az A mátrix bal felső k k-s sarokmátrixának determinánsa (sarokfőminora), azaz 1 :=a 1,1, 2 := a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2, a 1,1 a 1,2 a 1,3 3 := a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3,..., n := A, akkor a Q(x) := Ax, x (x R n ) kvadratikus függvény akkor és csakis akkor pozitív definit, ha k > 0 minden k = 1,..., n esetén; negatív definit, ha ( 1) k k > 0 minden k = 1,..., n esetén. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 55 / 180

56 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Skaláris/belső szorzás R k -ban Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k és y = (y 1, y 2,..., y k ) R k vektorok skaláris vagy belső szorzata x, y := x 1 y 1 + x 2 y x k y k. k-dimenziós Euklideszi tér R k ellátva a skaláris/belső szorzással A skaláris/belső szorzás tulajdonságai Bármely x, y, z R k x + y, z = x, z + y, z, λx, y = λ x, y, x, y = y, x, és bármely λ R esetén x, x 0, és x, x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 56 / 180

57 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség Bármely két x, y R k vektor esetén x, y x, x y, y. Vektor hossza/normája Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k vektor hossza/normája x := x, x. A hossz/norma tulajdonságai Bármely x, y R k és bármely λ R esetén x 0, és x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0, λx = λ x, x + y x + y. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 57 / 180

58 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Pontok távolsága Az x, y R k pontok távolsága d(x, y) := x y. Pont (nyílt) környezete Egy a R k halmazt értjük. pont ε > 0 sugarú (nyílt) környezetén a K (a, ε) := {x R k : d(x, a) = x a < ε} k = 1 esetén K (a, ε) az a pontra nézve szimmetrikus 2ε hosszúságú ]a ε, a + ε[ nyílt intervallum. k = 2 esetén K (a, ε) az a = (a 1, a 2 ) pont körüli ε sugarú nyílt körlap. k = 3 esetén K (a, ε) az a = (a 1, a 2, a 3 ) pont körüli ε sugarú nyílt gömb. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 58 / 180

59 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Az a R k pontot az A R k halmaz belső pontjának nevezzük, ha a-nak van olyan környezete, mely A-ban van (azaz van olyan ε > 0, hogy K (a, ε) A ). Az a R k pontot az A R k halmaz izolált pontjának nevezzük, ha a A, és a-nak van olyan környezete, melyben a-n kívül nincs A-beli pont (azaz a A, és van olyan ε > 0, hogy (K (a, ε) \ {a}) A = ). Az a R k pontot az A R k halmaz torlódási pontjának nevezzük, ha a bármely környezetében van tőle különböző A-beli pont (azaz bármely ε > 0 esetén (K (a, ε) \ {a}) A ). Az a R k pontot az A R k halmaz határpontjának nevezzük, ha a bármely környezetében van A-beli és nem A-beli pont is (azaz bármely ε > 0 esetén K (a, ε) A és K (a, ε) A, ahol A := R k \ A az A halmaz komplementere). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 59 / 180

60 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Az A R k halmazt nyíltnak nevezzük, ha minden pontja belső pontja A-nak. Az A R k halmazt zártnak nevezzük, ha komplementere nyílt. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 60 / 180

61 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Sorozat R k -ban Egy a : N R k függvényt R k -beli sorozatnak nevezünk. Jelölés: (a n ) n N, ahol a n := a(n), és a n = (a n,1, a n,2,..., a n,k ), ha n N. Konvergens sorozat R k -ban Az R k -beli (a n ) n N sorozatot konvergensnek nevezzük, ha van olyan b R k, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyan N(ε) R szám, hogy a n b < ε amennyiben n > N(ε). A b pontot a sorozat határértékének (limeszének) nevezzük. Jelölés: a n b ha n, vagy lim n a n = b. Egy R k -beli sorozatot divergensnek nevezünk, ha nem konvergens. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 61 / 180

62 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban R k -beli konvergencia = koordinátánkénti konvergencia a n = (a n,1, a n,2,..., a n,k ) b = (b 1, b 2,..., b k ) ha n akkor és csakis akkor, ha a n,i b i ha n minden i = 1, 2,..., k esetén. Ez azt jelenti, hogy egy vektorsorozat akkor és csakis akkor konvergens, ha a sorozat minden koordinátája konvergens, és határértéke a határvektor megfelelő koordinátája. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 62 / 180

63 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.2 Többváltozós függvény határértéke és folytonossága Egy D R k halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel jelöljük. Többváltozós függvény határértéke Legyen f : D R k R és legyen x 0 D. Azt mondjuk, hogy f -nek van (véges) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R szám, hogy minden ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy f (x) a < ε ha 0 < x x 0 < δ(ε) és x D. Az a R számot az f függvény x 0 nevezzük. Jelölés: pontbeli határértékének f (x) a ha x x 0, vagy lim x x0 f (x) = a. A határérték, ha létezik, akkor egyértelmű. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 63 / 180

64 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.2 Többváltozós függvény határértéke és folytonossága Átviteli elv Legyen f : D R k R és legyen x 0 D. Ekkor azzal egyenértékű, hogy lim f (x) = a x x0 lim f (x n ) = a teljesül bármely olyan n D \ {x 0 }-beli (x n ) n N sorozatra, melyre lim n x n = x 0. A műveletek, egyenlőtlenségek és határérték kapcsolata most is érvényes. A határérték fogalma a = + -re és a = -re hasonlóan kiterjeszthető, mint egy változónál. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 64 / 180

65 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.2 Többváltozós függvény határértéke és folytonossága Többváltozós függvény folytonossága Az f : D R k R függvényt értelmezési tartományának x 0 D pontjában folytonosnak nevezzük, ha bármely ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy f (x) f (x 0 ) < ε ha x x 0 < δ(ε) és x D. Átviteli elv többváltozós függvény folytonosságára Az f : D R k R függvény az x 0 D pontban akkor és csakis akkor folytonos, ha lim f (x n ) = f (x 0 ) teljesül bármely olyan D-beli n (x n ) n N sorozatra, melyre lim x n = x 0. n Folytonos függvények tulajdonságai ugyanazok, mint az egyváltozós esetben. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 65 / 180

66 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága (Totális) differenciálhatóság Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálhatónak nevezzük, ha van olyan A R k vektor, hogy f (x) f (x 0 ) A, x x 0 lim = 0. x x 0 x x 0 Az f (x 0 ) := A vektort az f függvény x 0 nevezzük. pontbeli deriváltjának GEOMETRIAI JELENTÉS: a függvény f (x) f (x 0 ) növekményét az f (x 0 ), x x 0 lineáris függvény jól közelíti x 0 közelében; a függvény által meghatározott felületnek x 0 -ban van érintősíkja, mégpedig az hipersík az R k+1 x k+1 = f (x 0 ) + f (x 0 ), x x 0 térben. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 66 / 180

67 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Irány menti differenciálhatóság Legyen e R k egy egységvektor, azaz e = 1. Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban az e irány mentén differenciálhatónak nevezzük, ha létezik a D e f (x 0 ) := lim t 0 f (x 0 + te) f (x 0 ) t (véges) határérték, melyet az f függvény e iránymenti deriváltjának nevezünk az x 0 pontban. D e f (x 0 ) jelentése: az f függvény változási sebessége az e irányában. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 67 / 180

68 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Parciális derivált Legyen i {1, 2,..., k}, és legyen u i R k az i-edik tengely irányába mutató egységvektor (az u i vektor i-edik koordinátája 1, a többi 0). Az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pontban létezik az i-edik változója szerinti parciális deriváltja, ha differenciálható az u i irányban. Jelölése: i f (x 0 ) := D ui f (x 0 ). Egyéb jelölések: f x i (x 0 ) és f xi (x 0 ) Parciális differenciálhatóság Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban parciálisan differenciálhatónak nevezzük, ha i f (x 0 ) minden i = 1, 2,..., k esetén létezik. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 68 / 180

69 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Parciális derivált kiszámítása Mivel x i = x 0,i + t helyettesítéssel i f (x 0 ) = lim t 0 f (x 0,1,..., x 0,i + t,..., x 0,k ) f (x 0,1,..., x 0,i,..., x 0,k ) t f (x 0,1,..., x i,..., x 0,k ) f (x 0,1,..., x 0,i,..., x 0,k ) = lim, x i x 0,i x i x 0,i így az i-edik változó szerinti parciális deriváltat úgy számítjuk ki, hogy az i-edik változó szerint deriválunk, miközben a többi változót konstansnak tekintjük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 69 / 180

70 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Irány menti derivált kiszámítása Ha f :D R n R az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálható, akkor bármely e R k egységvektor iránya mentén is differenciálható x 0 -ban, és D e f (x 0 ) = f (x 0 ), e. Ha e = u i az i-edik tengely irányába mutató egységvektor, akkor i f (x 0 ) = D ui f (x 0 ) = f (x 0 ), u i, így e = (e 1, e 2,..., e k ) = e 1 u 1 + e 2 u e k u k alapján D e f (x 0 ) = 1 f (x 0 )e f (x 0 )e k f (x 0 )e k. Ezért (totális) differenciálhatóság = parciális differenciálhatóság. Az is következik, hogy f (x 0 ) = ( 1 f (x 0 ),..., k f (x 0 )), így az f (x 0 ) (totális) derivált (vektor) koordinátái a parciális deriváltak. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 70 / 180

71 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága (Totális) differenciálhatóság = folytonosság Ha f : D R k R az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálható, akkor f folytonos x 0 -ban. parciális differenciálhatóság folytonosság parciális derivált folytonossága = (totális) differenciálhatóság Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében folytonos parciális deriváltjai vannak (ekkor azt mondjuk, hogy a függvény folytonosan parciálisan differenciálható e környezetben), akkor f az x 0 pontban (totálisan) differenciálható (így folytonos is). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 71 / 180

72 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Láncszabály: összetett függvény differenciálhatósága Ha mindegyik j = 1, 2,..., l esetén a g j : D R k R függvények differenciálhatók az x 0 D belső pontban, és f : E R l R differenciálható az y 0 := g(x 0 ) E belső pontban, ahol a g : D R l függvény értelmezése x D esetén g(x) := (g 1 (x), g 2 (x),..., g l (x)), akkor létezik olyan ε > 0, hogy g(k (x 0, ε)) E, így a h : K (x 0, ε) R, h(x) := f (g(x)) ha x K (x 0, ε) összetett függvény differenciálható az x 0 pontban, és l i h(x 0 ) = j f (g(x 0 )) i g j (x 0 ) ha i = 1, 2,..., k. j=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 72 / 180

73 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.4 Magasabbrendű parciális deriváltak Magasabbrendű parciális deriváltak Tegyük fel, hogy az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében létezik az i-edik változó szerinti i f parciális deriváltja. Ha ez parciálisan differenciálható a j-edik változó szerint, úgy a deriválást elvégezve kapjuk a j i f (x 0 ) := j ( i f (x 0 )) második parciális deriváltját f -nek az x 0 pontban az i-edik és j-edik változók szerint (ebben a sorrendben!). Hasonlóan, ha a j i f (x) derivált létezik x 0 egy környezetében és ez parciálisan differenciálható az l-edik változó szerint, úgy a deriválást elvégezve kapjuk a l i j f (x 0 ) := l ( i j f (x 0 )) harmadik parciális deriváltat. Hasonlóan értelmezhetjük a negyed- és magasabbrendű parciális deriváltakat is. Egyéb jelölések a magasabbrendű parciális deriváltakra: 2 f x j x i (x 0 ), illetve f xi,x j (x 0 ). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 73 / 180

74 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.4 Magasabbrendű parciális deriváltak Példa. Számítsuk ki az f : R 2 R, f (x, y) := x 2 + y 2 e xy függvény összes első- és másodrendű parciális deriváltját, és hasonlítsuk össze a 1 2 f (x, y) és 2 1 f (x, y) vegyes deriváltakat. Young tétel: a vegyes parciális deriváltak függetlensége a deriválás sorrendjétől Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében valamely m 2 esetén az összes m-edik parciális deriváltja létezik és az x 0 pontban azok folytonosak, akkor az f függvény m-edik parciális deriváltjai az x 0 pontban a differenciálás sorrendjétől függetlenek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 74 / 180

75 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek az x 0 D pontban lokális/helyi maximuma (minimuma) van, ha ε > 0, hogy f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) x K (x 0, ε) D esetén. szigorú lokális/helyi maximuma (minimuma) van, ha ε > 0, hogy f (x 0 ) > f (x) (f (x 0 ) < f (x)) x K (x 0, ε) D, x x 0 esetén. globális/abszolút maximuma (minimuma) van, ha f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) x D esetén. szigorú globális/abszolút maximuma (minimuma) van, ha f (x 0 ) > f (x) (f (x 0 ) < f (x)) x D, x x 0 esetén. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 75 / 180

76 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke A szélsőérték létezésének elegendő feltétele Korlátos, zárt halmazon folytonos függvény felveszi a függvényértékek infimumát és szuprémumát függvényértékként, ami azt jelenti, hogy a függvénynek van minimuma és maximuma (az illető korlátos, zárt halmazon). A szélsőérték létezésének szükséges feltétele Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pontban lokális szélsőértéke van, és léteznek f első parciális deriváltjai x 0 -ban, akkor 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = = k f (x 0 ) = 0. (E feltételnek eleget tevő x 0 pontokat az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük.) Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 76 / 180

77 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke A szélsőérték létezésének másodrendű elegendő feltétele Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltja folytonos az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = = k f (x 0 ) = 0. 1 Ha a k k Q : R k R, Q(h) = Q(h 1,..., h k ) := j i f (x 0 )h i h j j=1 i=1 kvadratikus függvény pozitív definit, azaz Q(h) > 0 ha h R k és h 0, akkor f -nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban. 2 Ha Q negatív definit, azaz Q(h) < 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f -nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban. 3 Ha Q indefinit, azaz Q(h) felvesz pozitív és negatív értéket is, akkor f -nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 77 / 180

78 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke A szélsőérték létezésének másodrendű elegendő feltétele determinánsok segítségével Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltja folytonos az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = = k f (x 0 ) = 0. Legyen l (l = 1,..., k) az A := ( i j f (x 0 )) i=1,...,k; j=1,...,k R k k szimmetrikus mátrix bal felső l l-s sarokmátrixának determinánsa (sarokfőminora), azaz 1 := 1 2 f (x 0), 2 := 2 1 f (x 0) 1 2 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 2 2f (x 0),..., k := A. 1 Ha l > 0 minden l = 1,..., k esetén, akkor f -nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban. 2 Ha ( 1) k j > 0 minden j = 1,..., k esetén, akkor f -nek szigorú lokális maxmuma van x 0 -ban. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 78 / 180

79 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke A szélsőérték létezésének másodrendű elegendő feltétele determinánsok segítségével kétváltozós függvény esetén Tegyük fel, hogy az f : D R 2 R összes második parciális deriváltja folytonos az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = 0. Legyen 1 és 2 az A := ( i j f (x 0 )) i=1,2; j=1,2 R 2 2 szimmetrikus mátrix bal felső sarokmátrixainak determinánsa (sarokfőminorai), azaz 1 := 1 2 f (x 0), 2 := 2 1 f (x 0) 1 2 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 2 2f (x 0). 1 Ha 1 > 0 és 2 > 0, akkor f -nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban. 2 Ha 1 < 0 és 2 > 0, akkor f -nek szigorú lokális maxmuma van x 0 -ban. 3 Ha 2 < 0, akkor f -nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 79 / 180

80 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke Példa. f : R 2 R, f (x, y) := x 3 + y 3 3xy lokális szélsőértékeinek meghatározása. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 80 / 180

81 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke Legyenek f : D R k R és g i : D R k R, i = 1,..., l, l < k, adott függvények. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 D pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,..., g l (x) = 0 feltételek mellett lokális/helyi feltételes maximuma (minimuma) van, ha van olyan ε > 0, hogy f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) teljesül minden olyan x D K (x 0, ε) esetén, melyre g 1 (x) = = g l (x) = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 81 / 180

82 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke A feltételes szélsőérték létezésének szükséges feltétele Legyenek g i : D R k R, i = 1,..., l, l < k, adott függvények. Tegyük fel, hogy az f : D R függvénynek az x 0 D belső pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,..., g l (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes szélsőértéke van, az f és g i, i = 1,..., l első parciális deriváltjai folytonosak x 0 egy környezetében, továbbá a 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) g l (x 0 ) k g l (x 0 ) mátrixnak van nemzérus l-edrendű aldeterminánsa. Akkor van olyan λ 0 = (λ 0,1,..., λ 0,l ) R l pont, hogy az L : D R l R, függvényre L(x, λ) := f (x) + λ 1 g 1 (x) + + λ l g l (x) 1 L(x 0, λ 0 ) = = k L(x 0, λ 0 ) = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 82 / 180

83 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke A λ 1,..., λ m számokat Lagrange-féle multiplikátoroknak nevezzük, az L függvényt pedig a feltételes szélsőérték probléma Lagrange-függvényének nevezzük. A feltételes szélsőérték probléma megoldása úgy történik, hogy a 1 L(x, λ) = 2 L(x, λ) = = k L(x, λ) = g 1 (x) = = g l (x) = 0 k + l egyenletből álló egyenletrendszert megoldjuk az x = (x 1,..., x k ) D, λ = (λ 1,..., λ l ) R l ismeretlenekre; a kapott x 0 = (x 0,1,..., x 0,k ) megoldások adják a feltételes szélsőérték lehetséges helyeit. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 83 / 180

84 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke A feltételes szélsőérték létezésének elégséges feltétele Tegyük fel, hogy az f : D R k R és g i : D R k R, i = 1,..., l, l < k, függvények második parciális deriváltjai folytonosak x 0 D egy környezetében, λ 0 R l olyan pont, hogy 1 L(x 0, λ 0 ) = 2 L(x 0, λ 0 ) = = k L(x 0, λ 0 ) = g 1 (x 0 ) = = g l (x 0 ) = 0 ahol L : D R l R a probléma Lagrange-függvénye, és k l+1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) k l+1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) Ha k k i=1 j=1 h ih j i j f (x 0 ) > 0 (< 0) minden olyan h = (h 1,..., h k ) R k, h 0 esetén, melyre k j=1 h j j g i (x 0 ) = 0 minden i = 1,..., l mellett, akkor f -nek szigorú lokális feltételes minimuma (maximuma) van x 0 -ban. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 84 / 180

85 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke A feltételes szélsőérték elégséges feltétele determinánsokkal Legyen j, (j = 2l + 1,..., l + k) a g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) g l (x 0 ) k g l (x 0 ) 1 g 1 (x 0 ) 1 g l (x 0 ) 1 1 L(x 0, λ 0 ) 1 k L(x 0, λ 0 ) k g 1 (x 0 ) k g l (x 0 ) k 1 L(x 0, λ 0 ) k k L(x 0, λ 0 ) szimmetrikus mátrix bal felső j j-s sarokmátrixának determinánsa. 1 Ha ( 1) l j > 0 minden j = 2l + 1,..., l + k esetén, akkor f -nek szigorú lokális feltételes minimuma van x 0 -ban. 2 Ha ( 1) l+j j > 0 minden j = 1,..., k esetén, akkor f -nek szigorú lokális feltételes maxmuma van x 0 -ban. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 85 / 180

86 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke Példa. Határozzuk meg az f : R 2 R, f (x, y) := x + 2y feltételes szélsőértékeit a h(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 körvonal feltétel mellett. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 86 / 180

87 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák Véletlen események Valószínűsége véletlen eseményeknek van, melyekről nem tudjuk előre megmondani, hogy bekövetkeznek-e, vagy sem; és amelyek vagy véletlen jelenségek megfigyelésével kapcsolatosak (amikor a körülményeket nem tudjuk befolyásolni), vagy pedig véletlen kimenetelű kísérletekkel kapcsolatosak (amikor befolyásolni tudjuk a körülményeket). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 87 / 180

88 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák Példák: Minőségellenőrzés: n termékből kiválasztunk m darabot (m n), és megszámoljuk, hogy hány selejtes van; lehetséges kimenetelek: az Ω := {0, 1, 2,..., m} halmaz elemei; Hagyományos lottó: megjelölünk 5 számot 90-ből, és megszámoljuk, hogy hány találatunk van; lehetséges kimenetelek: az Ω := {0, 1, 2, 3, 4, 5} halmaz elemei; Ragályos fertőzés terjedése, csapadékmennyiség alakulása, szeizmográf mozgása, sorhosszúság alakulása pénztáraknál, szerencsejátékok, tőzsdei áringadozások. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 88 / 180

89 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák Elemi események: a kísérlet/megfigyelés lehetséges kimenetelei. Eseménytér: az elemi események halmaza; jelölés: Ω. Esemény: az eseménytér bizonyos A Ω részhalmaza, amit úgy értünk, hogy ha az ω Ω elemi esemény következik be, akkor ω A esetén bekövetkezik az A esemény is, ω A esetén az A esemény nem következik be. Biztos esemény: amely mindig bekövetkezik; be lehet azonosítani az Ω Ω részhalmazzal. Lehetetlen esemény: amely sohasem következik be; be lehet azonosítani az Ω üres részhalmazzal. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 89 / 180

90 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák Logikai műveletek eseményekkel Minden A eseménnyel kapcsolatban tekinthetjük az A ellentett (komplementer) eseményét: ez pontosan akkor következik be, amikor az A esemény nem következik be; jelölése: A. Az A és B események összege (uniója) az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor az A és B események közül legalább az egyik bekövetkezik; jelölése: A + B vagy A B. Az A és B események szorzata (metszete) az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor az A és B események mindegyike bekövetkezik; jelölése: A B vagy A B. Az A és B események különbsége az az esemény, mely pontosan akkor következik be, amikor az A esemény bekövetkezik, a B esemény pedig nem; jelölése: A B vagy A \ B. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 90 / 180

91 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák A logikai műveletek tulajdonságai kommutativitás: A + B = B + A, A B = B A. asszociativitás: A + (B + C) = (A + B) + C, A (B C) = (A B) C. idempotencia: A + A = A, disztributivitás: A A = A. A (B + C) = (A B) + (A C), A + (B C) = (A + B) (A + C). de Morgan-féle azonosságok: A + B = A B, különbség: A B = A B. A B = A + B. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 91 / 180

92 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák Diszjunkt események Azt mondjuk, hogy az A és B események diszjunktak (kizárják egymást), ha egyszerre nem következhetnek be. Az A és B események akkor és csak akkor diszjunktak, ha A B =. Azt mondjuk, hogy az A esemény maga után vonja a B eseményt, ha az A esemény bekövetkezése esetén mindig bekövetkezik a B esemény is; jelölése: A B. A következő állítások ekvivalensek: A B; A B; B A. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 92 / 180

93 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák Eseményalgebra Egy Ω eseménytér bizonyos eseményeiből álló A rendszert eseményalgebrának nevezünk, ha tartalmazza a biztos eseményt, és zárt a komplementerképzésre és a véges unióképzésre. Például Ω összes részhalmazainak A := 2 Ω σ-algebra rendszere Egy eseményalgebrát σ-algebrának nevezünk, ha zárt a megszámlálható unióképzésre. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 93 / 180

94 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák Példák: 1 Egy pénzdarab feldobása esetén Ω = {fej, írás}. De lehet a fejhez a 0, az íráshoz pedig az 1 számot hozzárendelni, és így Ω = {0, 1}. Nyilván A = 2 Ω = {, {0}, {1}, Ω }. Ekkor az elemi események száma: Ω = 2, az összes események száma pedig 2 Ω = 4. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 94 / 180

95 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák 2 n-szer egymás után dobva egy pénzdarabbal: Ω = { ω = (a 1, a 2,..., a n ) : a 1, a 2,..., a n {0, 1} }. Ekkor Ω = 2 n, 2 Ω = 2 2n. Ha n darab egyforma pénzdarabot egyidőben dobunk fel, akkor is lehet ugyanezt az eseményteret tekinteni, hiszen a kísérlet kimenetelét nem változtatja meg, ha megszámozzuk a pénzdarabokat. De lehet csak a megkülönböztethető kimenetelekre szorítkozni: ezek száma n + 1. Az első eseménytér általában alkalmasabb, mert például szabályos pénzdarab esetén az elemi események egyforma esélyűek! Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 95 / 180

96 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák 3 Egy zsákban n különböző színű golyó van. Kihúzunk ezek közül k darabot; négy lehetőség van aszerint, hogy visszatevéssel vagy visszatevés nélkül húzunk (az utóbbi esetben k n szükséges), és aszerint, hogy a sorrend számít vagy a sorrend nem számít. Ez a kísérlet ekvivalens azzal a kísérlettel, amikor n rekeszbe helyezünk el k tárgyat; az előbbi négy lehetőség annak felel meg, hogy egy rekeszbe több tárgy is kerülhet vagy csak egy, illetve a tárgyak meg vannak különböztetve, vagy nem. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 96 / 180

97 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák visszatevés nélkül (ismétlés nélkül) visszatevéssel (ismétléses) sorrend számít (variáció) n! (n k)! sorrend nem számít (kombináció) ( n k n k ( n + k 1 k a tárgyak különbözőek a tárgyak nem különböznek ) egy rekeszbe legfeljebb egy tárgy kerülhet ) egy rekeszbe több tárgy is kerülhet Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 97 / 180

98 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák Ha n különböző elem közül húzunk visszatevés nélkül úgy, hogy a sorrend számít, és kihúzzuk az összes n elemet (ami azzal ekvivalens, hogy n elemet sorbaállítunk; ezeket permutációknak nevezzük), akkor a lehetőségek száma n! := 1 2 n, hiszen az első húzásnál még n lehetőség van, a másodiknál n 1, stb., és ezek szorzata adja az eredményt. Ha n különböző elem közül k elemet húzunk visszatevés nélkül (ahol k n ) úgy, hogy a sorrend számít (ezeket ismétlés nélküli variációknak nevezzük), akkor a lehetőségek száma n(n 1) (n k + 1) = n! (n k)!, amit az előzőhöz hasonló gondolatmenettel bizonyíthatunk. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 98 / 180

99 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák Ha n különböző elem közül k elemet húzunk visszatevéssel úgy, hogy a sorrend számít (ezeket ismétléses variációknak nevezzük), akkor a lehetőségek száma n k, hiszen minden húzásnál n lehetőség van. Ha n különböző elem közül k elemet húzunk visszatevés nélkül (ahol k n) úgy, hogy a sorrend nem számít (ezeket ismétlés nélküli kombinációknak nevezzük), akkor a lehetőségek száma ( n k ) := n! k! (n k)! n(n 1) (n k + 1) =, k! hiszen a megfelelő ismétlés nélküli variációkat úgy lehet megkapni, hogy a kihúzott k elemet az összes lehetséges módon sorbarakjuk; ezek száma pedig mindig k!. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 99 / 180

100 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák Ha n különböző elem közül k elemet húzunk visszatevéssel úgy, hogy a sorrend nem számít (ezeket ismétléses kombinációknak nevezzük), akkor a lehetõségek száma ( ) n + k 1. k Ezt úgy lehet belátni, hogy a kísérlet kimeneteleihez egyértelműen hozzá lehet rendelni egy olyan sorozatot, mely n 1 darab egyesből és k darab nullából áll, mégpedig úgy, hogy az első egyes elé írt nullák száma (ami 0 is lehet) jelenti az első fajta elemből húzottak számát, az első és második egyes közé írt nullák száma jelenti a második fajta elemből húzottak számát, stb., az (n 1)-edik egyes után írt nullák száma jelenti az n-edik fajta elemből húzottak számát; az ilyen nulla egy sorozatok száma pedig nyilván ( ) n+k 1 k, hiszen azt kell megmondani, hogy az n + k 1 hely közül melyik k helyre kerüljön nulla. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 100 / 180

101 14.1 Véletlen kísérletek, eseményalgebrák 4 Adva van n kártya; ezeket osztjuk szét k játékos között úgy, hogy sorban n 1, n 2,..., n k kártyát kapjanak, ahol n 1 + n n k = n, és az egy játékoshoz kerülő lapok sorrendje nem számít (ezeket ismétléses permutációknak nevezzük). Ekkor az eseménytér elemeinek száma n! Ω = n 1! n 2! n k!, hiszen a kártyák n! számú permutációit úgy lehet ezekből a leosztásokból megkapni, hogy az egy játékoshoz került n 1, n 2,..., n k kártyát tetszőleges sorrendbe helyezzük. 5 Addig dobálunk egy érmével, míg az első fejet sikerül elérni. Ekkor Ω = {f, if, iif, iiif,..., i }, ahol i azt a lehetséges kimenetelt jelöli, amikor csak írást dobunk a végtelenségig. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 101 / 180

102 14.2 Valószínűség Gyakoriság, relatív gyakoriság Ha egy A eseménnyel kapcsolatban n darab véletlen, független kísérletetet hajtunk végre, akkor A gyakorisága az a szám, ahányszor A bekövetkezik; ez egy véletlen mennyiség, melynek lehetséges értékei: 0, 1,..., n; jelölése: k n (A). Az A esemény relatív gyakorisága: r n (A) := k n(a) n. Tapasztalat: ha n-et növeljük, azaz egyre több kísérletet hajtunk végre, akkor az A esemény relatív gyakorisága egyre kisebb kilengésekkel ingadozik egy P(A) szám körül; ezt nevezzük A valószínűségének. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 102 / 180

103 14.2 Valószínűség Relatív gyakoriság tulajdonságai 0 r n (A) 1 tetszőleges A esemény esetén. r n ( ) = 0, r n (Ω) = 1. ha A és B egymást kizáró események, akkor r n (A B) = r n (A) + r n (B). ha A 1, A 2,... páronként egymást kizáró események, akkor ( ) r n A j = r n (A j ). j=1 j=1 r n (A) = 1 r n (A) tetszőleges A esemény esetén. ha A B események, akkor r n (A) r n (B). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 103 / 180

104 14.2 Valószínűség Valószínűségi mező (Ω, A, P) hármas, ahol Ω egy nemüres halmaz (az eseménytér); A 2 Ω az Ω bizonyos részhalmazaiból álló σ-algebra (az események rendszere); P : A R olyan leképezés, melyre 1 P(A) [0, 1] tetszőleges A A esetén, 2 P(Ω) = 1, 3 ha A 1, A 2,... A páronként diszjunktak, akkor ( ) P A j = P(A j ). j=1 j=1 (Ezt a tulajdonságot σ-additivitásnak nevezzük). Egy A esemény esetén a P(A) számot az A valószínűségének, a P : A R leképezést pedig valószínűségeloszlásnak nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 104 / 180

105 14.2 Valószínűség A valószínűségeloszlások tulajdonságai P( ) = 0. (Hiszen ha P( ) > 0 volna, akkor a σ-additivitásban A 1 = A 2 =... = választással ellentmondásra jutnánk.) Ha A 1, A 2,..., A n A páronként diszjunktak, akkor ( n ) n P A j = P(A j ). j=1 (Használjuk a σ-additivitást A n+1 = A n+2 =... = esetére, és alkalmazzuk azt, hogy P( ) = 0.) Ezt a tulajdonságot véges additivitásnak nevezzük. P(A) = 1 P(A). (Hiszen Ω = A A diszjunkt felbontás, így a véges additivitással 1 = P(Ω) = P(A A) = P(A) + P(A). ) j=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 105 / 180

106 14.2 Valószínűség A valószínűségeloszlások tulajdonságai Ha A B, azaz A B, akkor P(A) P(B), P(B \ A) = P(B) P(A). (Hiszen A B esetén B = A (B \ A) diszjunkt felbontás, ezért P(B) = P(A) + P(B \ A) P(A). ) Ezt a tulajdonságot monotonitásnak nevezzük. Tetszőleges A, B A esetén hiszen P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), A B = [ A \ (A B) ] [ B \ (A B) ] (A B) diszjunkt felbontás, ezért A B A és A B B miatt P(A B) = [ P(A) P(A B) ] + [ P(B) P(A B) ] + P(A B). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 106 / 180

107 14.2 Valószínűség A valószínűségeloszlások tulajdonságai Tetszőleges A, B, C A esetén P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) hiszen + P(A B C), P ( (A B) C ) = P(A B) + P(C) P ( (A B) C ) és P ( (A B) C ) = P ( (A C) (B C) ) = P(A C) + P(B C) P ( (A C) (B C) ), ahol (A C) (B C) = A B C. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 107 / 180

108 14.2 Valószínűség Diszkrét valószínűségi mező Ω véges vagy megszámlálhatóan végtelen, azaz Ω = {ω 1, ω 2,..., ω N } vagy Ω = {ω 1, ω 2,...} alakú, és A = 2 Ω. Valószínűségek kiszámolása diszkrét valószínűségi mezőben Tetszőleges A A esemény előáll az A = {ω i } i : ω i A diszjunkt felbontás alakjában, így P(A) = i : ω i A P({ω i }). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 108 / 180

109 14.2 Valószínűség Ezért diszkrét valószínűségi mezőben elég megadni az elemi események valószínűségeit, a p i := P({ω i }), i = 1, 2,... számokat ahhoz, hogy tetszőleges esemény valószínűségét ki tudjuk számolni. Nyilván szükséges az, hogy ezek a {p 1, p 2,...} számok nemnegatívak legyenek és összegük 1 legyen, hiszen p i = ( ) P({ω i }) = P {ω i } = P(Ω) = 1. i i i Ekkor azt mondjuk, hogy a {p 1, p 2,...} számok eloszlást alkotnak. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 109 / 180

110 14.2 Valószínűség Egyenletes eloszlás véges halmazon Ω = {ω 1, ω 2,..., ω N }, és az elemi események egyenlő esélyűek, azaz P({ω 1 }) = P({ω 2 }) =... = P({ω N }) = 1 N Valószínűségek véges halmazon egyenletes eloszlás esetén P(A) = P({ω i }) = 1 1 = A N N, vagyis P(A) = i : ω i A i : ω i A kedvező kimenetelek száma összes kimenetelek száma. Ez a valószínűség kiszámításának klasszikus képlete. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 110 / 180

111 14.2 Valószínűség Példák: 1 Két érmét feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy egy fej és egy írás legyen az eredmény? Ekkor a két érmét megkülönböztetve az Ω = {ff, fi, if, ii} eseményteret kapjuk, amelyben a kimenetelek egyforma valószínűségűek, így az esemény valószínűsége A = {fi, if} P(A) = 2 4 = 1 2. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 111 / 180

112 14.2 Valószínűség Példák: 2 Mennyi a valószínűsége, hogy egy n tagú társaságban van legalább két olyan személy, akiknek ugyanakkor van a születésnapja? (Feltesszük, hogy a szökőnap nem lehet.) Nyilván n > 365 esetén (a,,skatulya-elv miatt) ez a biztos esemény, így ekkor a valószínűség 1. Ha pedig n 365, akkor az ellentett eseménnyel számolva (365 n + 1) P(A) = n ha n = ! = 1 (365 n)! 365 n ha n = ha n = ha n = 40 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 112 / 180

113 14.2 Valószínűség Egyenletes eloszlás R k véges mértékű részhalmazain Ω R k véges mértékű, és,,minden pont egyenlő esélyű, azaz egy A Ω részhalmaz valószínűsége A mértékével arányos, vagyis P(A) = µ(a) µ(ω), ahol µ az illető halmaz mértékét jelöli: k = 1 esetén összhossz, k = 2 esetén terület, k = 3 esetén térfogat. Ez a valószínűségek geometriai kiszámítási módja. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 113 / 180

114 14.2 Valószínűség Példa: Egy egységnyi hosszúságú szakaszt két, találomra kiválasztott ponttal három szakaszra bontunk fel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a három szakaszból háromszöget lehet szerkeszteni? Az eredmény a [0, 1] [0, 1] négyzet azon részhalmazának területe, melynek pontjaira fennállnak a következő egyenlőtlenségek: 0 < x < y < 1, 0 < y < x < 1, 1 y < y, 1 x < x, vagy x < 1 x, y < 1 y, y x < 1 y + x, x y < 1 x + y, azaz { 0 < x < 1 2 < y < 1, y x < 1 2, Ezért a keresett valószínűség 1/4. vagy { 0 < y < 1 2 < x < 1, x y < 1 2. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 114 / 180

115 14.3 Feltételes valószínűség Feltételes relatív gyakoriság Ha n független kísérletet végzünk, akkor az A esemény feltételes relatív gyakorisága azon feltétel mellett, hogy a B esemény bekövetkezett Feltételes valószínűség r n (A B) := k n(a B) k n (B) = r n(a B). r n (B) Az A esemény feltételes valószínűsége a B feltétel mellett (azaz ha tudjuk, hogy a B esemény bekövetkezett) hacsak P(B) > 0. P(A B) := P(A B), P(B) Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 115 / 180

116 14.3 Feltételes valószínűség Példák: 1 Mennyi a valószínűsége, hogy egy kétgyermekes családban mindkét gyerek fiú, ha feltételezzük, hogy egy gyerek egyenlő valószínűséggel lehet fiú vagy lány, és tudjuk, hogy az idősebb gyerek fiú; legalább az egyik gyerek fiú? Ekkor az eseménytér Ω = {FF, FL, LF, LL}, melynek elemei egyformán 1/4 valószínűségűek. Legyen A := {mindkét gyerek fiú} = {FF}, B 1 := {az idősebb gyerek fiú} = {FF, FL}, B 2 := {legalább az egyik gyerek fiú} = {FF, FL, LF}. Nyilván A B 1 = A B 2 = {FF}, így P(A B 1 ) = 1/2, P(A B 2 ) = 1/3. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 116 / 180

117 14.3 Feltételes valószínűség 2 Bridzsnél osztáskor 2 ászt kapott valaki. Mennyi a valószínűsége, hogy a másik 2 ász a partnerénél van? 52! Az összes leosztások száma (13!) 4, ( ) ( ) ! ezek egyforma valószínűségűek. Ezekből 2 11 (13!) 3 olyan leosztás van, melynél az első játékos 2 ászt kap, és ezek között pedig ( ) ( ) ( ) ! (13!) 2 olyan leosztás van, melynél a másik 2 ász a partnerénél van. Tehát a keresett feltételes valószínűség ( 4 ( 2) 48 ) ( 37 ) 26! (13!) 2 ( 4 ( 2) 48 ) = ! 19. (13!) 3 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 117 / 180

118 14.3 Feltételes valószínűség Láncszabály P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 ) P(A n A 1 A 2 A n 1 ), hacsak P(A 1 A 2 A n 1 ) > 0. A jobb oldal P(A 1 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 ) P(A 1 A 2 A 3 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 2 A n 1 A n ) P(A 1 A 2 A n 1 ) Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 118 / 180

119 14.3 Feltételes valószínűség Példa: Húzzunk ki a 32 lapos magyar kártyából hármat visszatevés nélkül. Mennyi a valószínűsége, hogy az első és a harmadik kihúzott lap piros, a második pedig nem az? Jelölje i = 1, 2, 3 esetén A i eredménye piros. Ekkor azt az eseményt, hogy az i-edik húzás P(A 1 ) = 8 32 = 1 4, P(A 2 A 1 ) = 24 31, P(A 3 A 1 A 2 ) = 7 30, így P(A 1 A 2 A 3 ) = = Persze lehetne használni azt az eseményteret is, amely az első három kihúzott lapból áll a sorrendet is figyelembe véve; ekkor Ω = , és a kimenetelek egyenlő valószínűségűek. Mivel a kedvező esetek száma , így a keresett valószínűség = Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 119 / 180

120 14.3 Feltételes valószínűség Teljes eseményrendszer Az eseménytér megszámlálható diszjunkt felbontása, azaz események A 1, A 2,... véges vagy végtelen sorozata, melyek egymást páronként kizárják, és uniójuk az egész eseménytér, vagyis A i A j = ha i j, és A i = Ω. i Egy teljes eseményrendszer eseményei közül mindig pontosan egy következik be, és P(A i ) = 1. i Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 120 / 180

121 14.3 Feltételes valószínűség Teljes valószínűség tétele Ha az A 1, A 2,... pozitív valószínűségű események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor tetszőleges B eseményre P(B) = i P(B A i ) P(A i ). Bizonyítás. Nyilván B = (B A i ) diszjunkt felbontás, hiszen i B = B Ω = B ( A k ) = (B A k ), k k és i j esetén (B A i ) (B A j ) = B A i A j =, ugyanis A i A j =. Ezért P(B) = P(B A i ) = P(B A i ) P(A i ). i i Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 121 / 180

122 14.3 Feltételes valószínűség Példa: Három gép csavarokat gyárt. A selejt aránya az első gépnél 1 %, a másodiknál 2 %, a harmadiknál 3 %. Az össztermék 50 %-át az első gép, 30 %-át a második, 20 %-át pedig a harmadik állítja elő. Mi a valószínűsége annak, hogy az össztermékből véletlenszerűen választott csavar selejtes? Jelölje B azt az eseményt, hogy selejtet húzunk, i = 1, 2, 3 esetén pedig A i azt, hogy a kihúzott csavar az i-edik gépen készült. Ekkor P(B A 1 ) = 0.01, P(B A 2 ) = 0.02, P(B A 3 ) = 0.03, P(A 1 ) = 0.5, P(A 2 ) = 0.3, P(A 3 ) = 0.2, így P(B) = = Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 122 / 180

123 14.3 Feltételes valószínűség Bayes-formula Ha A és B pozitív valószínűségű események, akkor P(A) P(B A) P(A B) =. P(B) Bizonyítás: P(A B) = Bayes-tétel P(A B) P(B) és P(A B) = P(A) P(B A). Ha az A 1, A 2,... pozitív valószínűségű események teljes eseményrendszert alkotnak és P(B) > 0, akkor P(A i B) = P(A i) P(B A i ) P(B A j ) P(A j ). Bizonyítás: A Bayes-formulával P(A i B) = P(A i ) P(B A i ) P(B). A teljes valószínűség tételével P(B) = P(B A j ) P(A j ). j j Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 123 / 180

124 14.3 Feltételes valószínűség Példa: Mennyi a feltételes valószínűsége az előző példában annak, hogy az első, második, illetve harmadik gépen gyártották a kiválasztott csavart azon feltétel mellett, hogy az selejtesnek bizonyult? P(A 1 B) = = 5 17, P(A 2 B) = 6 17, P(A 3 B) = Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 124 / 180

125 14.4. Független események Független események Azt mondjuk, hogy az A és B események függetlenek, ha P(A B) = P(A) P(B). Ha A és B pozitív valószínűségű események, akkor a következő állítások ekvivalensek: A és B függetlenek; P(A B) = P(A); P(B A) = P(B). Ha P(A) = 0 vagy P(A) = 1, akkor A tetszőleges B eseménytől független. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 125 / 180

126 14.4. Független események Páronként független események Azt mondjuk, hogy az A 1, A 2,... események páronként függetlenek, ha közülük bármely két esemény független. (Teljesen) független események Azt mondjuk, hogy az A 1, A 2,... események (teljesen) függetlenek, ha tetszőleges i 1, i 2,..., i k különböző indexekre P(A i1 A i2 A ik ) = P(A i1 )P(A i2 ) P(A ik ). Lehetséges, hogy például három esemény páronként függetlenek, de nem (teljesen) függetlenek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 126 / 180

127 14.5 Valószínűségi változók Valószínűségi változó / véletlen mennyiség, eloszlásfüggvény Ha (Ω, A, P) valószínűségi mező, akkor a ξ : Ω R leképezés valószínűségi változó / véletlen mennyiség, ha tetszőleges x R esetén {ω Ω : ξ(ω) < x} A. Ekkor az F ξ : R [0, 1], F ξ (x) := P{ξ < x} függvényt ξ (kumulatív) eloszlásfüggvényének nevezzük. Eloszlásfüggvény Egy F : R [0, 1] függvény akkor és csak akkor lehet eloszlásfüggvénye valamely ξ : Ω R valószínűségi változónak, ha 1 F monoton növekvő, 2 F balról folytonos, 3 lim F(x) = 0, lim x F(x) = 1. x + Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 127 / 180

128 14.5 Valószínűségi változók Diszkrét valószínűségi változó A ξ : Ω R valószínűségi változó diszkrét, ha lehetséges értékeinek halmaza, a {ξ(ω) : ω Ω} értékkészlet megszámlálható. A ξ diszkrét valószínűségi változó eloszlása az a P ξ valószínűségi mérték a ξ lehetséges értékeinek X := {x 1, x 2,... } halmazán, melyre P ξ ({x i }) = P({ω Ω : ξ(ω) = x i }), x i X. Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye Egy ξ diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye olyan lépcsős függvény, mely a lehetséges értékeknél ugrik, és az ugrás nagysága az illető érték valószínűsége. Ha a ξ lehetséges értékeinek halmaza X := {x 1, x 2,... }, akkor F ξ (x) = P ξ ({x i }), x R. {i : x i <x} Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 128 / 180

129 14.5 Valószínűségi változók Példák: 1 Két kockát dobva a dobott számok összegét jelölje ξ. Határozzuk meg ξ eloszlását! Ekkor ξ diszkrét valószínűségi változó; lehetséges értékeinek halmaza: X = {2, 3,..., 12}, eloszlása: P{ξ = k} = k k 36 ha 2 k 7, ha 7 k 12. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 129 / 180

130 14.5 Valószínűségi változók 2 Binomiális eloszlás. n független kísérlet A esemény, p := P(A) A gyakorisága: ξ := k n (A) diszkrét valószínűségi változó; lehetséges értékeinek halmaza: eloszlása X = {0, 1, 2,..., n}, P{ξ = k} = ( ) n p k (1 p) n k, k melyet (n, p) paraméterű binomiális eloszlásnak nevezünk. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 130 / 180

131 14.5 Valószínűségi változók 3 Elsőrendű negatív binomiális eloszlás. A esemény, p := P(A) Addig végzünk független kísérleteket, míg A először bekövetkezik. ξ := az ehhez szükséges kísérletek száma; lehetséges értékeinek halmaza: eloszlása: k = 1, 2,... esetén X = {1, 2,..., }, P{ξ = k} = p (1 p) k 1, így P{ξ = } = 1 P{ξ < } = 1 P{ξ = k} = 1 p (1 p) k 1 = 0. k=1 Ekkor ξ eloszlását elsőrendű p paraméterű negatív binomiális eloszlásnak (vagy geometriai eloszlásnak) nevezzük. k=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 131 / 180

132 14.5 Valószínűségi változók 4 Hipergeometrikus eloszlás. Egy dobozban M piros és N M fekete golyó van (M < N). Visszatevés nélkül húzunk ki n golyót (n N). ξ := a kihúzott piros golyók száma; lehetséges értékeinek halmaza: olyan k értékek, melyekre teljesül 0 k n, k M, és n k N M, eloszlása: ( )( ) M N M P{ξ = k} = k n k ( ) N. n Ekkor ξ eloszlását (n, M, N M) paraméterű hipergeometrikus eloszlásnak nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 132 / 180

133 14.5 Valószínűségi változók 5 Poisson eloszlás. Mazsolás kalácsot sütünk; 1000 gramm tésztába n = 50 darab mazsolát teszünk. Egy szelet súlya 25 gramm, tehát N = 40 szelet készül. Minden mazsola egyforma valószínűséggel kerülhet bele bármely szeletbe, és a mazsolák egymástól függetlenül,,mozognak. Jelölje ξ egy kiválasztott szeletbe kerülő mazsolák számát. Lehetséges értékeinek halmaza X = {0, 1,..., 50}, eloszlása ( ) ( ) 50 1 k ( P{ξ = k} = k, k 40 40) tehát ξ eloszlása n-edrendű 1/N paraméterû binomiális eloszlás. Mi történik, ha növeljük a tészta mennyiségét? Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 133 / 180

134 14.5 Valószínűségi változók Ha n mazsolát használunk fel 20 n gramm tésztába, akkor N = 20 n/25 szelet készül, így a binomiális eloszlás paramétere p n := 1/N = λ/n, ahol λ := 5/4 az egy szeletre átlagosan jutó mazsolák száma. Ekkor lim n ( n k ) p k n(1 p n ) n k = lim n n(n 1) (n k + 1) k! ( ) λ k ( 1 λ ) n k = λk n n k! e λ. Ha egy η valószínűségi változó lehetséges értékei a nemnegatív egész számok és k = 0, 1,... esetén P(η = k) = λk k! e λ, ahol λ > 0, akkor azt mondjuk, hogy η eloszlása λ paraméterű Poisson eloszlás. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 134 / 180

135 14.5 Valószínűségi változók Valószínűségi változó sűrűségfüggvénye Ha (Ω, A, P) valószínűségi mező, ξ : Ω R valószínűségi változó és létezik olyan f ξ : R [0, ) függvény, melyre F ξ (x) = x f ξ (t) dt, x R, akkor az f ξ függvényt a ξ sűrűségfüggvényének nevezzük. (Nem egyértelműen definiált!) Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 135 / 180

136 14.5 Valószínűségi változók Valószínűségi változó sűrűségfüggvénye Ha a < b, akkor Ha az f ξ P{a ξ < b} = F ξ (b) F ξ (a) = b a f ξ (t) dt. sűrűségfüggvény folytonos az x R pontban, akkor F ξ (x) = f ξ(x). Egy f : R [0, ) függvény akkor és csak akkor lehet sűrűségfüggvénye valamely ξ : Ω R valószínűségi változónak, ha f (t) dt = 1. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 136 / 180

137 14.5 Valószínűségi változók Egyenletes eloszlás az [a, b] intervallumon Ha az [a, b] intervallumon választunk véletlenszerűen egy ξ pontot úgy, hogy egy A [a, b] részhalmazba esés valószínűsége az illető részhalmaz mértékével arányos, akkor ξ eloszlásfüggvénye nyilván 0 ha x a, x a F ξ (x) = ha a < x b, b a 1 ha x > b. Ekkor a ξ valószínűségi változót egyenletes eloszlásúnak nevezzük a [a, b] intervallumon. Továbbá 1 ha a x b f ξ (x) = b a 0 egyébként függvény sűrűségfüggvénye ξ nek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 137 / 180

138 14.5 Valószínűségi változók Normális eloszlás Ha a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f (x) = 1 2πσ e (x m)2 2σ 2, x R alakú, ahol m R, σ > 0, akkor azt mondjuk, hogy ξ normális eloszlású (m, σ 2 ) paraméterekkel. Az, hogy f (x) dx = 1, abból következik, hogy ( 2 e dx) x 2 /2 = 2π ( = re r 2 /2 dr 0 0 e (x 2 +y 2 )/2 dx dy ) dϕ = 2π [ e ] r 2 r= /2 = 2π. r=0 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 138 / 180

139 14.5 Valószínűségi változók Exponenciális eloszlás Jelölje a ξ valószínűségi változó egy radioaktív atom élettartamát. Ez rendelkezik az úgynevezett örökifjú tulajdonsággal: ha t, h > 0, akkor P{ξ t + h ξ t} = P{ξ h}, vagyis annak ellenére, hogy tudjuk, hogy az atom már megélt t időt, a még hátralevő élettartam eloszlása éppen olyan, mint a teljes élettartam eredeti eloszlása. Mivel P{ξ t + h, ξ t} P{ξ t + h ξ t} =, P{ξ t} és P{ξ t + h, ξ t} = P{ξ t + h}, ezért a G(t) := P{ξ t} túlélési függvényre teljesül G(t + h) G(t) = G(h). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 139 / 180

140 14.5 Valószínűségi változók Be lehet látni, hogy ha G folytonos, akkor létezik olyan λ > 0, hogy Ezért ξ eloszlásfüggvénye G(t) = e λt ha t > 0. F(x) = { 0 ha x 0, 1 e λx ha x > 0 alakú, ahol λ > 0. Ezt az eloszlást λ paraméterű exponenciális eloszlásnak nevezzük. Van sűrűségfüggvénye: { 0 ha x 0, f (x) = λe λx ha x > 0. Bomlási állandó: lim h 0 1 P{t ξ < t + h ξ t} = lim h h 0 1 h (1 e λh ) = λ. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 140 / 180

141 14.5 Valószínűségi változók Valószínűségi vektorváltozó ξ : Ω R k, azaz ξ = (ξ 1,..., ξ k ), ahol ξ i : Ω R, i = 1,..., k valószínűségi változók eloszlásfüggvénye: F ξ : R k R, F ξ (x 1,..., x k ) := P{ξ 1 < x 1,..., ξ k < x k } Valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvénye Ha létezik olyan f ξ : R k [0, ) függvény, melyre F ξ (x 1,..., x k ) = x1 xk... f ξ (t 1,..., t k ) dt 1... dt k teljesül minden (x 1,..., x k ) R k pontban, akkor az f ξ függvényt ξ sűrűségfüggvényének nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 141 / 180

142 14.5 Valószínűségi változók Valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvénye Nyilván P{a i ξ i b i, i = 1,..., k} = b1 bk... f ξ (t 1,..., t k ) dt 1... dt k, a 1 a k sőt tetszőleges B R k (Borel-halmaz) esetén P{(ξ 1,..., ξ k ) B} = f ξ (t 1,..., t k ) dt 1... dt k, továbbá ha F ξ B k szor folytonosan differenciálható, akkor f ξ (x 1,..., x k ) = k F ξ (x 1,..., x k ) x 1... x k. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 142 / 180

143 14.5 Valószínűségi változók Diszkrét valószínűségi vektorváltozó A ξ : Ω R k valószínűségi változó diszkrét, ha lehetséges értékeinek halmaza, a {ξ(ω) : ω Ω} értékkészlet megszámlálható. Ha (ξ, η) : Ω R 2 diszkrét, akkor ξ és η is diszkrét. Ha ξ és η lehetséges értékei x 1, x 2,..., illetve y 1, y 2,..., akkor (ξ, η) lehetséges értékeinek halmaza {(x i, y j ) : i, j = 1, 2,...}. Ha ismerjük (ξ, η) eloszlását, azaz a P{ξ = x i, η = y j } i, j = 1, 2,... valószínűségeket, akkor ki tudjuk számolni ξ és η eloszlását is: P{ξ = x i } = j P{ξ = x i, η = y j }, P{η = y j } = i P{ξ = x i, η = y j }. Ezek (ξ, η) peremeloszlásai / marginális eloszlásai. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 143 / 180

144 14.5 Valószínűségi változók Polinomiális eloszlás n független kísérletet hajtunk végre egy A 1, A 2,..., A r teljes eseményrendszerre, p i := P(A i ) (ekkor p 1 + p p r = 1). Ekkor A i gyakorisága: ξ i := k n (A i ), és ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ r ) diszkrét valószínűségi vektorváltozó; lehetséges értékeinek halmaza: { (k1, k 2,..., k r ) Z r : k i 0, k 1 + k k r = n }, eloszlása P{ξ 1 = k 1, ξ 2 = k 2,..., ξ r = k r } = n! k 1!k 2!... k r! pk 1 1 pk pkr r, melyet (n, p 1, p 2,..., p r ) paraméterű polinomiális eloszlásnak nevezünk. Peremeloszlásai binomiális eloszlások: n! P{ξ i = k i } = k i!(n k i )! pk i i (1 p i ) n k i. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 144 / 180

145 14.5 Valószínűségi változók Polihipergeometrikus eloszlás Ha visszatevés nélkül húzunk ki n golyót (n N), és ξ i jelöli az i-edik színből húzott golyók számát, akkor ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ r ) olyan (k 1, k 2,..., k r ) értékeket vehet fel, melyekre minden i = 1, 2,..., r esetén teljesül 0 k i N i, és k 1 + k k r = n, továbbá P{ξ 1 = k 1, ξ 2 = k 2,..., ξ r = k r } = ( N1 Ekkor ξ eloszlását (n, N 1,..., N r ) paraméterű polihipergeometrikus eloszlásnak nevezzük. Peremeloszlásai hipergeometrikus eloszlások: P{ξ i = k i } = ( Ni )( N Ni ) k i n k i ( N n). )( N2 ) ( k 1 k 2 Nr ( N. n) k r ) Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 145 / 180

146 14.5 Valószínűségi változók Ha a (ξ, η) valószínűségi vektorváltozónak létezik f ξ,η sűrűségfüggvénye, akkor a ξ, illetve η valószínűségi változóknak is létezik sűrűségfüggvényük, mégpedig f ξ (x) = f ξ,η (x, y) dy, f η (y) = Ezek (ξ, η) peremeloszlásai / marginális eloszlásai. Független valószínűségi változók f ξ,η (x, y) dx. A ξ és η valószínűségi változókat akkor nevezzük függetleneknek, ha tetszőleges x, y R esetén azaz F ξ,η (x, y) = F ξ (x)f η (y). P{ξ < x, η < y} = P{ξ < x}p{η < y}, Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 146 / 180

147 14.5 Valószínűségi változók Független valószínűségi változók Ha ξ diszkrét valószínűségi változó x 1, x 2,... lehetséges értékekkel és η diszkrét valószínűségi változó y 1, y 2,... lehetséges értékekkel, akkor ξ és η függetlensége azzal ekvivalens, hogy i, j P{ξ = x i, η = y j } = P{ξ = x i }P{η = y j }. Ha létezik (ξ, η)-nak f ξ,η sűrűségfüggvénye, akkor ξ és η függetlensége azzal ekvivalens, hogy x, y R Valószínűségeloszlások konvolúciója f ξ,η (x, y) = f ξ (x)f η (y). Ha a ξ és η valószínűségi változók függetlenek, akkor azt mondjuk, hogy ξ + η eloszlása a ξ és η eloszlásának konvolúciója. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 147 / 180

148 14.5 Valószínűségi változók Valószínűségeloszlások konvolúciója Ha ξ és η független diszkrét valószínűségi változók, és a lehetséges értékeik nemnegatív egész számok, akkor a k {ξ + η = k} = ({ξ = j} {η = k j}) j=0 diszjunkt felbontás alapján k P{ξ + η = k} = P{ξ = j}p{η = k j}, k = 0, 1,... j=0 Ha a ξ és η független valószínűségi változóknak léteznek az f ξ sűrűségfüggvényei, akkor f η f ξ+η (x) = f ξ (u)f η (x u) du, x R. és Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 148 / 180

149 14.5 Valószínűségi változók Példák: 1 Ha ξ és η független binomiális eloszlásúak (n 1, p) illetve (n 2, p) paraméterekkel, akkor ezek konvolúciója ismét binomiális eloszlás, mégpedig (n 1 + n 2, p) paraméterekkel: i,j : i+j=k ( n1 i ) p i (1 p) n 1 i ( n2 j ) p j (1 p) n 2 j = ( n1 + n 2 k ) p k (1 p) n 1+n 2 k. 2 Ha ξ és η független normális eloszlásúak (m 1, σ1 2) illetve (m 2, σ2 2 ) paraméterekkel, akkor ezek konvolúciója ismét normális eloszlás, mégpedig (m 1 + m 2, σ1 2 + σ2 2 ) paraméterekkel: 1 e (u m 1) 2σ 1 2 2πσ1 2 1 e (x u m 2) 2σ 2 2 du = 2πσ π σ σ2 2 e (x m 2 1 m 2) 2(σ 1 2+σ2 2 ). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 149 / 180

150 14.6 Várható érték Intuíció: Tekintsünk egy ξ : Ω R diszkrét valószínűségi változót x 1,..., x N lehetséges értékekkel. n független kísérletet hajtunk végre A k := {ξ = x k } relatív gyakorisága r n (A k ) P(A k ) = P{ξ = x k }, ezért az x k értéket körülbelül n P{ξ = x k } esetben kapjuk, így a megfigyelt értékek átlaga körülbelül 1 n N x k n P{ξ = x k } = k=1 N x k P{ξ = x k }. k=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 150 / 180

151 14.6 Várható érték Valószínűségi változó várható értéke Ha ξ : Ω R diszkrét valószínűségi változó x 1, x 2,... lehetséges értékekkel, akkor az E ξ := x k P{ξ = x k } k mennyiséget a ξ várható értékének nevezzük, amennyiben ez a sor abszolút konvergens, azaz k x k P{ξ = x k } <. Ha ξ : Ω R egy abszolút folytonos valószínűségi változó, melynek sûrûségfüggvénye f ξ : R [0, ), akkor az E ξ := x f ξ (x) dx mennyiséget a ξ várható értékének nevezzük, amennyiben ez az improprius integrál abszolút konvergens, azaz x f ξ(x) dx <. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 151 / 180

152 14.6 Várható érték Példák: 1 Ha ξ binomiális eloszlású (n, p) paraméterekkel, akkor n ( ) n E ξ = k p k (1 p) n k = np. k k=0 2 Ha egy egységnyi oldalú négyzetben választunk egyenletes eloszlás szerint egy pontot, és ξ jelöli a pontnak a legközelebbi oldaltól való távolságát, akkor E ξ = 1 6, hiszen 0 ha x 0, F ξ (x) = 1 (1 2x) 2 ha x [0, 1 2 ], f ξ (x) = 1 ha x > 1 2, E ξ = 1/2 0 { 4 8x ha x [0, 1 2 ], 0 egyébként, x(4 8x) dx = [2x 2 83 ] x=1/2 x 3 = 1 6. x=0 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 152 / 180

153 14.6 Várható érték 3 Az A és B játékosok a következő játékot játszák. Felváltva dobnak egy szabályos érmét; A kezd, és az nyer, akinek először sikerül fejet dobnia. Az első dobásnál 2 2 forintot tesznek be, és minden dobás előtt duplázzák a tétet, azaz ha az n-edik dobásra sikerül fejet dobni és n páratlan, akkor A nyer 2 n forintot B-től, ha pedig n páros, akkor B nyer 2 n forintot A-tól. Mennyi az A illetve B játékos várható nyereménye? Jelölje ξ az A játékos nyereményét (mely pozitív, ha A nyer, és negatív, ha A veszít). Ekkor ξ lehetséges értékei 2, 4, 8, 16,... és P{ξ = 2} = 1 2, P{ξ = 4} = 1 4,... Mivel = =, így ξ várható értéke nem létezik! 4 Legyen ξ olyan valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye 1 f ξ (x) = π(1+x 2 ). Ekkor nem létezik Eξ, mert x dx =. π(1+x 2 ) Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 153 / 180

154 14.6 Várható érték Várható érték tulajdonságai Ha ξ és η valószínűségi változók és a, b R, akkor E(a ξ) = a E ξ (homogenitás) E(ξ + η) = E ξ + E η (additivitás) E(a ξ + b η) = a E ξ + b E η (linearitás) ha ξ és η függetlenek, akkor E(ξη) = E ξ E η ha ξ η, akkor E ξ E η (monotonitás) ha ξ 0, akkor E ξ 0 (pozitivitás) E ξ E ξ E ξη E ξ 2 E η 2 (Cauchy-Schwartz egyenlőtlenség) Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 154 / 180

155 14.6 Várható érték Valószínűségi változó függvényének várható értéke Legyen g : R R. Ha ξ diszkrét valószínűségi változó x 1, x 2,... lehetséges értékekkel, akkor E g(ξ) = g(x k ) P{ξ = x k }, k amennyiben ez a sor abszolút konvergens. Ha ξ abszolút folytonos valószínűségi változó f ξ sűrűségfüggvénnyel, akkor E g(ξ) = g(x) f ξ (x) dx, amennyiben ez az improprius integrál abszolút konvergens. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 155 / 180

156 14.6 Várható érték Valószínűségi vektorváltozó függvényének várható értéke Legyen g : R 2 R. Ha ξ és η diszkrét valószínűségi változók x 1, x 2,..., illetve y 1, y 2,... lehetséges értékekkel, akkor E g(ξ, η) = k,l amennyiben ez a sor abszolút konvergens. g(x k, y l ) P{ξ = x k, η = l}, Ha (ξ, η) abszolút folytonos valószínűségi vektorváltozó f ξ,η sűrűségfüggvénnyel, akkor E g(ξ, η) = g(x, y) f ξ η (x, y) dx dy, amennyiben ez az improprius integrál abszolút konvergens. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 156 / 180

157 14.6 Várható érték Valószínűségi változó varianciája / szórásnégyzete var ξ := D 2 ξ := E [ (ξ E ξ) 2]. Variancia / szórásnégyzet kiszámolása var ξ = E [ ξ 2 2ξ E ξ+(e ξ) 2] = E(ξ 2 ) 2 E ξ E ξ+(e ξ) 2 = E(ξ 2 ) (E ξ) 2, így ha ξ diszkrét valószínűségi változó x 1, x 2,... lehetséges értékekkel, akkor var ξ = k x 2 k P{ξ = k} ( k x k P{ξ = k}) 2, ha pedig ξ abszolút folytonos valószínűségi változó f ξ sűrűségfüggvénnyel, akkor ( 2 var ξ = x 2 f ξ (x) dx xf ξ (x) dx). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 157 / 180

158 14.6 Várható érték Variancia / szórásnégyzet tulajdonságai Ha ξ és η valószínűségi változók és a R, akkor var(ξ + a) = var ξ (eltolásinvariancia) var(c ξ) = c 2 var ξ (homogenitás) ha ξ és η függetlenek, akkor var(ξ + η) = var ξ + var η (additivitás) Valószínűségi változók kovarianciája cov(ξ, η) := E [ (ξ E ξ)(η E η) ] Addíciós képlet Ha ξ és η valószínűségi változók, akkor var(ξ + η) = var ξ + 2 cov(ξ, η) + var η Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 158 / 180

159 14.6 Várható érték Példa: Legyen η standard normális eloszlású, azaz normális eloszlású (0, 1) paraméterekkel. Ekkor E η = 1 x e x 2 /2 dx = 1 lim [ e ] x 2 x=l /2 = 0, 2π 2π K x=k L + E(η 2 ) = 1 2π x 2 e x 2 /2 dx = 1 2π [ xe x 2 /2 ] x= x= + 1 2π var η = E(η 2 ) ( E η ) 2 = 1. e x 2 /2 dx = 1, Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 159 / 180

160 14.6 Várható érték Ha pedig ξ normális eloszlású (m, σ 2 ) paraméterekkel, akkor ξ = σ η + m, ahol η = ξ m σ standard normális eloszlású, hiszen η eloszlásfüggvénye { } ξ m F η (x) = P{η < x} = P < x = P{ξ < σ x +m} = F ξ (σ x +m), σ így η sűrűségfüggvénye f η (x) = F η(x) = σ F ξ (σx + m) = σ f ξ(σx + m) = 1 2π e x 2 /2, ezért E ξ = σ E η + m = m, var ξ = σ 2 var η = σ 2. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 160 / 180

161 14.6 Várható érték Valószínűségi változók korrelációs együtthatója corr(ξ, η) := cov(ξ, η) var ξ var η. Ha corr(ξ, η) = 0 azaz cov(ξ, η) = 0, akkor azt mondjuk, hogy ξ és η korrelálatlanok. Ha corr(ξ, η) > 0 azaz cov(ξ, η) > 0, akkor ξ és η pozitívan korreláltak, ha pedig corr(ξ, η) < 0 azaz cov(ξ, η) < 0, akkor ξ és η negatívan korreláltak. Ha ξ és η függetlenek, akkor ξ és η korrelálatlanok, de ez fordítva általában nem igaz. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 161 / 180

162 14.6 Várható érték Példa: Legyen a (ξ, η) valószínűségi vektorváltozó egyenletes eloszlású a ( 1, 0), (0, 1), (0, 1) és (1, 0) pontokon, azaz P{ξ = 1, η =0}=P{ξ =0, η = 1}=P{ξ =0, η =1}=P{ξ =1, η =0}= 1 4. Ekkor E ξ = E η = 0 és E(ξη) = 0 miatt cov(ξ, η) = E(ξη) E ξ E η = 0, azaz ξ és η korrelálatlanok, viszont a peremeloszlások P{ξ = 1} = P{ξ = 1} = 1 4, P{ξ = 0} = 1 2, P{η = 1} = P{η = 1} = 1 4, P{η = 0} = 1 2, ezért ξ és η nem függetlenek, hiszen például P{ξ = 1, η = 0} = 1 4, P{ξ = 1} P{η = 0} = 1 8. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 162 / 180

163 14.6 Várható érték Kovariancia és korrelációs együttható tulajdonságai var ξ = cov(ξ, ξ) Ha ξ és η valószínűségi változók, akkor cov(ξ, η) = cov(η, ξ), corr(ξ, η) = corr(η, ξ) (szimmetria) Ha ξ 1,..., ξ n és η 1,..., η m valószínűségi változók és a 1,..., a n, b 1,..., b m R, akkor ( n m ) n m cov a i ξ i, b j η j = a i b j cov(ξ i, η j ) (bilinearitás) i=1 j=1 i=1 j=1 corr(ξ, η) 1, és corr(ξ, η) = 1 akkor és csak akkor, ha valamely a 0 és b valós számokkal P{η = a ξ + b} = 1 teljesül; itt a > 0 illetve a < 0 aszerint, hogy corr(ξ, η) = 1 illetve corr(ξ, η) = 1. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 163 / 180

164 14.6 Várható érték Momentumok, ferdeség, csúcsosság / lapultság Legyen ξ valószínűségi változó, k pozitív egész. Ekkor k adik momentum: E(ξ k ) k adik centrális momentum: E [ (ξ E ξ) k] k adik abszolút momentum: E ( ξ k) k adik abszolút centrális momentum: E [ ξ E ξ k] E [ (ξ E ξ) 3] ferdeség: (E [(ξ E ξ) 2 ]) 3/2 csúcsosság: E [ (ξ E ξ) 4] (E [(ξ E ξ) 2 ]) 2 3 Tehát E ξ az első momentum, var ξ pedig a második (abszolút) centrális momentum Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 164 / 180

165 14.6 Várható érték Ha a, b R és a 0, akkor ξ és a ξ + b ferdesége, illetve ξ és a ξ + b csúcsossága megegyezik. Példa: Legyen η standard normális eloszlású. Ekkor Eη = 0, var η = 1, E(η 4 ) = 1 2π E(η 3 ) = 1 2π x 4 e x 2 /2 dx = 1 2π [ x 3 e x 2 /2 ] x= x= + 3 2π ezért η ferdesége és csúcsossága is 0. x 3 e x 2 /2 dx = 0, x 2 e x 2 /2 dx = 3 E(η 2 ) = 3, Ha ξ normális eloszlású (m, σ 2 ) paraméterekkel, akkor ξ = σ η + m, ahol η standard normális eloszlású, ezért ξ ferdesége és csúcsossága is 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 165 / 180

166 14.6 Várható érték Valószínűségi változó kvantilisei, mediánja, interkvartilise Legyen q (0, 1). A c q R szám q-kvantilise a ξ valószínűségi változónak, ha P{ξ < c q } q, és P{ξ > c q } 1 q. Az 1 2-kvantilist mediánnak nevezzük. Az c 3/4 c 1/4 különbséget interkvartilisnek nevezzük. Legyen a := inf { x R : P{ξ > x} 1 q }, b := sup { x R : P{ξ < x} q }. Ekkor a b, és egy c R szám akkor és csak akkor q-kvantilise ξ-nek, ha a c b. Szokták csak az a+b 2 számot tekinteni a q-kvantilisnek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 166 / 180

167 14.6 Várható érték Valószínűségi változó kvantilisei Ha az F ξ (x) = q egyenletnek van megoldása de csak egy, akkor ez az F 1 ξ (q) megoldás az egyetlen q kvantilis. Ha az F ξ (x) = q egyenletnek nincs megoldása, akkor egyetlen q kvantilis van, mégpedig az a szám, ahol az F ξ függvény átugorja a q számot. Ha az F ξ (x) = q egyenletnek több megoldása van, akkor a megoldáshalmaz az (a, b] vagy [a, b] intervallum, és a q kvantilisek éppen az [a, b] intervallum pontjai. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 167 / 180

168 14.6 Várható érték Valószínűségi változó kvantilisei módusza Ha ξ diszkrét valószínűségi változó x 1, x 2,... lehetséges értékekkel, akkor az x i szám módusza ξ nek, ha x i t a legnagyobb valószínűséggel veszi fel, azaz P{ξ = x i } = sup P{ξ = x k }. k Ha ξ abszolút folytonos valószínűségi változó f ξ sűrűségfüggvénnyel, akkor az x szám módusza ξ nek, ha x globális maximumhelye a sűrűségfüggvénynek, azaz f ξ (x) = sup f ξ (y). y R Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 168 / 180

169 14.7 Fontos eloszlások p paraméterű Bernoulli eloszlás A esemény, p := P(A) { 1 ha A bekövetkezik, ξ := k 1 (A) = 0 ha A nem következik be diszkrét valószínűségi változó; lehetséges értékei: 0 és 1, eloszlása P{ξ = 1} = p, P{ξ = 0} = 1 p. Ezt az eloszlást p paraméterű Bernoulli eloszlásnak nevezzük. Nyilván E ξ = p 1 + (1 p) 0 = p, E(ξ 2 ) = p (1 p) 0 2 = p, var ξ = E(ξ 2 ) (E ξ) 2 = p p 2 = p(1 p). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 169 / 180

170 14.7 Fontos eloszlások (n, p) paraméterű Binomiális eloszlás A esemény, p := P(A); n független kísérlet; A gyakorisága: ξ := k n (A) diszkrét valószínűségi változó; lehetséges értékeinek halmaza: {0, 1, 2,..., n}, eloszlása P{ξ = k} = ( n k ) p k (1 p) n k { 1 ha A beköv. az i edik alkalommal, Ha ξ i := 0 egyébként, akkor ξ = ξ ξ n, és ξ 1,..., ξ n Bernoulli eloszlásúak. Ezért E ξ = E ξ E ξ n = np, független, p paraméterű var ξ = var ξ var ξ n = np(1 p). Módusza: (n + 1)p, és még (n + 1)p 1 is, ha (n + 1)p egész. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 170 / 180

171 14.7 Fontos eloszlások (n, M, N M) paraméterű hipergeometrikus eloszlás Egy dobozban M piros és N M fekete golyó van (M < N). Visszatevés nélkül húzunk ki n golyót (n N), és ξ jelöli a kihúzott piros golyók számát. Ekkor ξ olyan k értékeket vehet fel, melyre teljesül 0 k n, k M, és n k N M, eloszlása ( M )( N M ) k n k P{ξ = k} = ( N. n) Ha ξ i := { 1 ha az i edik golyó piros, 0 egyébként, akkor ξ = ξ ξ n, és a ξ 1,..., ξ n valószínűségi változók M N paraméterű Bernoulli-eloszlásúak, DE NEM FÜGGETLENEK! Például i j esetén M(M 1) P{ξ i = 1, ξ j = 1} = N(N 1), P{ξ i = 1} = P{ξ j = 1} = M N. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 171 / 180

172 14.7 Fontos eloszlások E ξ = E ξ E ξ n = n M N, ( n n ) var ξ = cov(ξ, ξ) = cov ξ i, ξ j = n i=1 j=1 i=1 n cov(ξ i, ξ j ) = j=1 n var ξ i + 2 i=1 1 i<j n cov(ξ i, ξ j ), ahol így var ξ i = M N ( 1 M ) M(M N), cov(ξ i, ξ j ) = N N 2 (N 1), var ξ = n M ( N 1 M ) N n N N 1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 172 / 180

173 14.7 Fontos eloszlások p paraméterű elsőrendű negatív binomiális eloszlás A esemény, p := P(A), melyre 0 < p < 1. Jelölje ξ := az A első bekövetkezéséhez szükséges független kísérletek számát; lehetséges értékei: 1, 2,...,, eloszlása: P{ξ = } = 0, és P{ξ = k} = p (1 p) k 1, k = 1, 2,.... E ξ = k p(1 p) k 1 = p kq k 1, k=1 ahol q := 1 p, és ( ) kq k 1 = (q k ) = q k = így k=1 k=1 E ξ = p k=0 k=1 1 (1 q) 2 = 1 p. ( ) 1 = 1 q 1 (1 q) 2, Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 173 / 180

174 14.7 Fontos eloszlások E(ξ 2 ) = k 2 p(1 p) k 1 = k=1 k=1 [ ] k + k(k 1) p(1 p) k 1 k=1 = p kq k 1 + pq k(k 1)q k 2, ahol k(k 1)q k 2 = k=1 így Végül k=1 ( ) (q k ) = q k = k=1 k=0 ( ) 1 = 1 q E(ξ 2 ) = 1 p + pq 2 (1 q) 3 = 2 p p 2. var ξ = 2 p p 2 1 p 2 = 1 p p 2. 2 (1 q) 3, Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 174 / 180

175 14.7 Fontos eloszlások λ paraméterű Poisson-eloszlás E ξ = E(ξ 2 ) = P{ξ = k} = λk k! e λ, k = 0, 1,..., ahol λ > 0. k=0 k=0 k λk k! e λ = e λ k 2 λk k! e λ = = λ + e λ k=2 var ξ = λ + λ 2 λ 2 = λ. k=1 λ k (k 1)! = e λ [ ] λ k k + k(k 1) k=0 λ k (k 2)! = λ + e λ l=0 λ l+2 l! l=0 k! e λ λ l+1 l! = λ + λ 2, = e λ λe λ = λ, Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 175 / 180

176 14.7 Fontos eloszlások Egyenletes eloszlás az {1, 2,..., N} halmazon P{ξ = k} = 1, k = 1, 2,..., N. N E ξ = N k=1 k 1 N = N(N + 1) 2N = N + 1, 2 E(ξ 2 ) = N k=1 k 2 1 N = N(N + 1)(2N + 1) 6N = (N + 1)(2N + 1), 6 var ξ = (N + 1)(2N + 1) 6 (N + 1)2 4 = N Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 176 / 180

177 14.7 Fontos eloszlások Egyenletes eloszlás az [a, b] intervallumon 0 ha x a, x a 1 ha a x b F ξ (x) = ha a < x b, f ξ (x) = b a b a 0 egyébként 1 ha x > b. ξ = a + (b a) η ahol η egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumon, hiszen { } ξ a 0 ha y 0, P{η < y} = P b a < y = P{ξ < a+(b a)y} = y ha 0 y 1, 1 ha y 1. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 177 / 180

178 14.7 Fontos eloszlások E η = E(η 2 ) = [ y 2 y dy = 2 [ y y 2 3 dy = 3 ] y=1 y=0 ] y=1 y=0 = 1 2, = 1 3, ezért var η = = 1 12, E ξ = a + (b a) E η = a + b a 2 = a + b 2, var ξ = (b a) 2 var η = (b a)2. 12 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 178 / 180

179 14.7 Fontos eloszlások λ paraméterű exponenciális eloszlás { 0 ha x < 0, f ξ (x) = λe λx ha x 0, ahol λ > 0. E ξ = 0 xλe λx dx = E(ξ 2 ) = = 2 λ 0 0 [ xe λx] x= x=0 + x 2 λe λx dx = xλe λx dx = 2 λ 2, 0 e λx dx = [ 1λ ] x= e λx = 1 λ [ x 2 e λx] x= x= x=0 xe λx dx var ξ = 2 λ 2 1 λ 2 = 1 λ 2 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 179 / 180

180 14.7 Fontos eloszlások (m, σ 2 ) paraméterű normális eloszlás f ξ (x) = 1 2πσ e (x m)2 2σ 2, x R, ahol m R, σ > 0. E ξ = m, var ξ = σ 2, ferdesége 0, csúcsossága 0. Eloszlásfüggvénye: F ξ (x) = 1 2πσ x e (u m) 2 2σ 2 du, x R. Továbbá ξ = σ η + m, ahol η standard normális eloszlású, azaz paraméterei m = 0, σ = 1 így eloszlásfüggvénye Φ(x) := F η (x) = 1 2π x melynek értékei táblázatokban megtalálhatók. e u2 /2 du, x R, Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 180 / 180