Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Átírás

1 Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések értékét, ha. Feladat: Adjuk meg vektorok a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;. a = (; ; 4;, b = (; ;, c = (; ; λ = λ = 4 λ = együtthatókkal képzett lineáris kombinációját. 4. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy az alábbi vektorok lineárisan függetlenek. c = (; ; c = (; 4; c = (7; ;. Feladat: Állítsuk el a Q(x = x + 8x polinomot a P (x = x, P (x = x + 6, P (x = x + 4 polinomok lineáris kombinációjaként.

2 6. Feladat: Vizsgáljuk meg,hogy az alábbi vektorok lineárisan összefügg ek vagy függetlenek-e. Ha összefügg ek írjuk fel az egyik vektort a másik kett lineáris kombinációjaként. (a (b b = (; ; ; 4 b = (; ; ; b = ( ; ; ; a = (4; ; ; a = (; ; ; 4 a = (; ; 6; 7 7. Feladat: Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi vektorok egy dimenziós vektorteret alkotnak-e. b = b = b = 4 8. Feladat: Állítsuk el b vektort a és a vektorok lineáris kombinációjaként., ha b = ( 8 a = ( a = ( 4 9. Feladat: Állítsuk el a vektort b, b és b vektorok lineáris kombinációjaként., ha a = 6 4. Feladat: Legyen b = 4 b = 4 B = b = 4 Határozzuk meg A + B, A B és A T B T mátrixokat.. Feladat: Legyen ( B = ( 4 7 C = ( Határozzuk meg A B + 4C, B T A + C T, mátrixokat.

3 . Feladat: Legyen ( B = ( 4 7 C = ( Határozzuk meg AB, B T AC T, A és (C T mátrixokat.. Feladat: Legyen B = 4 4 Határozzuk meg azt az X mátrixot, amelyre A X = 4B teljesül. 4. Feladat: Legyen ( B = ( C = Határozzuk meg AB + C, A T B + C, CB T + A T és BC T + A mátrixokat.. Feladat: Határozzuk meg AB, BA, AC T és CB T szorzatokat,ha B = ( 6 ( 4 C = Feladat: Legyen ( B = ( 4 7 C = ( Határozzuk meg det(bc, det(ab T + C T determinánsok értékeit. 7. Feladat: Határozza meg az AB és B T A T mátrixokat, ha ( x B = y z

4 ( 8. Feladat: Legyen és B = ( Határozzuk meg det(b A, det(ab, det(a és det(a T A értékét. 9. Feladat: Milyen λ valós számra van megoldása a det (A λi = egyenletnek, ha ( 6 7 és I a egységmátrix.. Feladat: Jelentse A egy lineáris egyenletrendszer mátrixát és B a b vített mátrixát. Határozzuk meg AB, BA, B T A és A mátrixokat, ha x x = x + x =.. Feladat: Jelentse A egy lineáris egyenletrendszer mátrixát és B a b vített mátrixát. Határozzuk meg det(a determináns értékét, ha x + x = x + x x = x + x x =. Feladat Lineáris egyenletrendszerek megoldásánál Gauss-módszerrel az eliminálást befejeztük és a következ táblázatokat kaptuk.olvassuk le a megoldásokat.. (a Táblázat (b Táblázat (c Táblázat x x x b x x x b - x x x b 4 4

5 (d Táblázat x x x b Feladat: Lineáris egyenletrendszerek megoldásánál Gauss-Jordan módszerrel a következ táblázatokat kaptuk. Fejezzük be az eliminálást és olvassuk le a megoldásokat. (a Táblázat (b Táblázat (c Táblázat (d Táblázat x x x b x x x b x x x b 4 4 x x x b Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ Megoldás: x =, x =, x = x + x x = x + x + x = 8 4x x =

6 . Feladat: Határozzuk meg λ értékét úgy, hogy következ mátrixnak legyen inverze. λ λ 4 Megoldás: Ha λ ±, akkor létezik inverz. 6. Feladat: Határozza meg a következ mátrix inverzét! ( 7. Feladat: Határozzuk meg a következ mátrix inverzét Feladat: Az A mátrix egyik sajátértéke λ = 4. Határozzuk meg a mátrix ezen sajátértékéhez tartozó sajátvektorát Feladat: Az alábbi vektorok közül válasszuk ki azokat, amelyek az A mátrix sajátvektorai, ha ( ( ( (, a = 4, b = és c =. Feladat: Határozzuk meg a következ mátrix sajátértékeit. ( 4 Megoldás:λ = és λ =. Feladat: Határozzuk meg a következ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait. Megoldás: A sajátértékek:λ =, λ = és λ =. A sajátvektorok: s λ = t, s λ = t, s λ = t, t 6

7 . Összetett feladatok. Feladat: Milyen a esetén van pontosan egy megoldása a következ egyenletrendszernek? ax x = x x + x = x x + ax = Megoldás: a R, de a, a. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ x + x x = 7 x x + x = x + x + x = 7 x x x = Megoldás: x =, x =, x = 4. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ x + x x = x x + x = x + x 4x = Megoldás: x =, x =, x =. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ x + x x + x 4 = x x + x + x 4 = x + x x + x 4 = x x + x x 4 = 4 Megoldás: Az egyenletrendszernek nincs megoldása. 6. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ x x + x = x + x + x = x x + x = 9 Megoldás: x = + x, x = 7 + x, x R 7

8 7. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ Megoldás: x = x = x = x + x + x = x x x = x + 4x x = 8. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ Megoldás: x = x = x = x + x + x = x x + x = x x + x = x + 7x + 4x = 9. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ x x + x + x 4 = x x x + x 4 = x + x + x x 4 = x + x x x 4 = Megoldás: x = x, x = x, x R, x 4 = x 4. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ x + x x + x 4 x = x x + x + x 4 x = x + 4x + x = x x + x + x 4 x = Megoldás: x = 4x x x 4, x, x, x 4 R, x = x 4x 4. Feladat: Határozzuk meg a következ mátrix inverzét! 4 Megoldás: 6 4 8

9 4. Feladat: Határozzuk meg a következ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait. 4 Megoldás: A sajátértékek:λ =, λ = és λ = 4. A sajátvektorok: s λ = t, s λ = t, s λ = t, t 9