1. A kétszer kettes determináns
|
|
- József Jónás
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló előjelet vált. Bizonyítás [ ][ ] [ ] a c d c ad+c( b) a( c)+ca = = b d b a bd+d( b) b( c)+da [ ] ad bc 0 =. 0 ad bc Ezt ad bc-vel osztva az egységmátrixok kapjuk. HF: Ellenőrizzük a szorzást a másik sorrendben is. A 2 2-es mátrix determinánsa Definíció[ ] a c Ha M =, akkor det(m) = ad bc az M determinánsa. b d Lemma det(mn) = det(m)det(n). Bizonyítás [ ] [ ] [ ] a c a c M =, N = aa b d b d, MN = +cb ac +cd ba +db bc +dd. det(mn) = (aa +cb )(bc +dd ) (ac +cd )(ba +db ). det(m)det(n) = (ad bc)(a d b c ). HF: Mindkettő aa dd ac db cd ba +cb bc. Amikor nincs inverz Előző tétel Ha ad bc 0, akkor M= [ ] a c inverze b d 1 ad bc Ha det(m) = ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A tétel bizonyításának befejezése Tegyük föl, hogy M-nek van inverze: MN = E 2. Ekkor [ a lemma ] miatt det(m)det(n) = det(e 2 ). 1 0 E 2 =, ennek determinánsa = Ezért det(m) sem lehet nulla. [ ] d c. b a
2 A determináns lineáris [ ] [ ] [ ] a+a c a c a c det b+b = det + det d b d b. d [ ] [ ] λa c a c det = λdet minden λ skalárra. λb d b d Azaz a determináns az első oszlopában lineáris (összegtartó, és skalárszorostartó). Ez a két tulajdonság a második oszlopra, és mindkét sorra is érvényes. Bizonyítás [ ] [ ] [ ] a+a c a c a c det b+b és det + det d b d b értéke d (a+a )d (b+b )c, illetve (ad bc)+(a d b c). Ezek egyenlők. A skalárszoros-tartás bizonyítása hasonló. Oszlopok egyenlősége Ha a mátrix két oszlopa egyenlő, akkor a determináns nulla. Bizonyítás [ ] a a det = ab ba = 0. b b Definíció Az M felső háromszögmátrix, ha a főátló alatt csupa nulla áll. [ ] a b det = ad 0b = ad, azaz felső háromszögmátrix determinánsa a főátlóbeli elemek 0 d szorzata. A linearitás következménye Ha a determináns egyik oszlopához a másik oszlop skalárszorosát hozzáadjuk, akkor a determináns nem változik. Bizonyítás Új jelölés: M = [v,w], ahol v és w a mátrix oszlopvektorai. det[v + λw,w] = det[v,w] + det[λw,w], mert az első oszlopban a determináns összegtartó. De det[λw,w] = λdet[w,w], mert a determináns az első oszlopban skalárszoros-tartó. Végül det[w,w] = 0, mert a két oszlop egyenlő. Ezért det[v +λw,w] = det[v,w]. 2
3 Oszlopcsere A két oszlop cseréjénél a determináns előjelet vált. Bizonyítás [ ] a c det = ad bc. b d [ ] c a det = cb da = (ad bc). d b Második bizonyítás det[w,v] = det[w +v,v] = det[w+v,v (w +v)] = = det[w +v, w] = det[v, w] = det[v,w]. Az első oszlophoz hozzáadjuk a másodikat. A második oszlopból kivonjuk az elsőt. Az első oszlophoz hozáadjuk a másodikat. Kiemelünk 1-et a második oszlopból. A transzponált determinánsa A transzponált mátrix determinánsa ugyanaz, mint az eredetié. Bizonyítás [ ] a c det = ad bc. b d [ ] a b det = ad cb = ad bc. c d Így abból, hogy a determináns az oszlopaiban lineáris, számolás nélkül következik, hogy a soraiban is az, továbbá hogy sorcserénél is előjelet vált. Sorcsere Sorcserénél a determináns előjelet vált. Mintabizonyítás Legyen M az eredeti mátrix, N a sorcserével kapott mátrix. Ekkor N T oszlopcserével kapható M T -ból. Beláttuk, hogy oszlopcserénél a determináns előjelet vált, azaz det(m T ) = det(n T ). Beláttuk, hogy transzponáláskor a determináns nem változik, azaz det(m T ) = det(m) és det(n T ) = det(n). Ezért det(n) = det(n T ) = det(m T ) = det(m). HF: Hasonlóan lássuk be, hogy a determináns mindegyik sorában lineáris, továbbá, hogy ha az egyik sorhoz a másik sor skalárszorosát adjuk, akkor a determináns nem változik. 3
4 2. A háromszor hármas determináns A megkívánt tulajdonságok Tétel 3 3-as mátrix determinánsa is definiálható úgy, hogy (1) Minden oszlopában lineáris. (2) Ha két oszlop egyenlő, akkor a determináns nulla. (3) Az egységmátrix determinánsa 1, sőt felső háromszögmátrix determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata. (4) Ha az egyik oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adjuk, akkor a determináns nem változik. (5) Két oszlop cseréjekor előjelet vált. (6) Transzponált determinánsa ugyanaz, mint az eredetié (így az oszlopokra kimondott tulajdonságok sorokra is igazak). (7) det(mn) = det(m)det(n). (8) Egy mátrix akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. A Sarrus-szabály Tétel Ha T = C,R,Q és M = ((a ij )) T 3 3, akkor legyen det(m) = = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Ez teljesíti az előző tételben megkívánt tulajdonságokat. Sarrus-szabály a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Lemásoljuk az első két oszlopot a mátrix jobb oldalára. A három főátlóval párhuzamos egyenesen levő számokat összeszorozzuk, és ezek összegéből kivonjuk a három mellékátlóval párhuzamos egyenesen lévő számok szorzatát. 4
5 3. Az általános determináns A megkívánt tulajdonságok Tétel (F és F Tételek) Ha T = C,R,Q, akkor T n n -en értelmezhető a determináns, mely (1) Minden oszlopában lineáris. (2) Ha két oszlop egyenlő, akkor a determináns nulla. (3) Az egységmátrix determinánsa 1, sőt felső háromszögmátrix determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata. (4) Ha az egyik oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adjuk, akkor a determináns nem változik. (5) Bármely két oszlop cseréjekor előjelet vált. (6) Transzponált determinánsa ugyanaz, mint az eredetié (így az oszlopokra kimondott tulajdonságok sorokra is igazak). (7) det(mn) = det(m)det(n) bármely két mátrixra. (8) Egy mátrix akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. A bizonyítás stratégiája Emlékeztető 3 3-ra a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Definíció Ha M = ((a ij )) T n n, akkor det(m) szintén az M elemeiből készített bizonyos szorzatok előjeles összege. A képlet legközelebb, permutációk előjelének felhasználásával. Az (1) és (2) tulajdonságból a (4) és az (5) szó szerint ugyanúgy következik, mint az n = 2 esetben (HF). A (3) és (6) közvetlenül leolvasható lesz a képletből. A (7) szorzattartási tulajdonságot jövőre igazoljuk. A (8)-ról ma lesz szó aldeterminánsok felhasználásával. 5
6 A determináns kiszámítása Eljárás Végezzünk a mátrixon módosított Gauss-eliminációt: Keresünk egy nem nulla elemet. Sor- vagy oszlopcserével a főátlóba tesszük (és közben följegyezzük, hogy hányszor váltottunk előjelet). Bekarikázzuk, majd kinullázzuk az alatta lévő elemeket (de a karikázott elemet nem változtatjuk 1-re). Ezt a három lépést ismételjük amíg lehet, a karikázandó számot mindig új sorból és oszlopból választva. Ha az eljárás azelőtt megáll, hogy a főátló minden elemén karika van, akkor a determináns nulla. Ellenkező esetben felső háromszögmátrixot kapunk, melynek determinánsa a főátlóban álló elemek szorzata. Példa eliminációra Példa Karikázás helyett a megfelelő számok piros színűek = = = = 3. Az első két oszlopot megcseréljük. A második sorból kivonjuk az első sor 4-szeresét. A harmadik sorból kivonjuk az első sor 7-szeresét. A harmadik sorból kivonjuk a második sor 2-szeresét. Az eredmény a főátlóbeli elemek szorzata. Példa = = = Az első két oszlopot megcseréljük. A második sorból kivonjuk az első sor 4-szeresét. A harmadik sorból kivonjuk az első sor 7-szeresét. A harmadik sorból kivonjuk a második sor 2-szeresét. HF: Ha egy sor vagy oszlop nulla, akkor a determináns nulla. Az utolsó sor nulla, így a determináns is nulla. Az utolsó sor az első két sornak lineáris kombinációja: a második sor 2-szerese mínusz az első sor. 6
7 A determináns eltűnése Tétel (F Tétel és F Tétel) Egy determináns akkor és csak akkor nulla, ha az oszlopai lineárisan összefüggenek. Ugyanez a sorokra is igaz (hiszen a transzponált mátrix determinánsa ugyanaz, mint az eredetié). Bizonyításvázlat Ha az oszlopok v 1,v 2,...,v n, és λ 1 v 1 +λ 2 v λ n v n = 0, ahol pl. λ 2 0, akkor a második oszlopot szorozzukλ 2 -vel, majd adjuk hozzá azi-edik oszlopλ i - szeresét mindeni 2-re. Ekkor a második oszlop nulla lesz, így ez a determináns nulla. Ez az eredeti determináns λ 2 0-szorosa, így az is nulla. Megfordítva: Ha a determináns nulla, akkor a Gauss-elimináció során keletkezik egy csupa nulla sor (amikor nem tudjuk folytatni). Ez a többi sor lineáris kombinációja az eljárás miatt. Ezért a sorok lineárisan összefüggenek. 4. A determináns kifejtése Előjeles aldeterminánsok Definíció Legyen T = C,R,Q és M = ((a ij )) T n n egy n n-es mátrix. Az i-edik sor j-edik, a ij eleméhez tartozó M ij előjeles aldeterminánst a következőképpen kapjuk. A mátrixból elhagyjuk az i-edik sort és a j-edik oszlopot. Ennek az (n 1) (n 1)-es mátrixnak kiszámítjuk a determinánsát. Az eredményt megszorozzuk ( 1) i+j -nel. A ( 1) i+j előjel megjegyzésére szolgál a sakktáblaszabály: A kifejtési tétel Kifejtési tétel (F Tétel és F Tétel) Legyen T = C,R,Q és M = ((a ij )) T n n egy n n-es mátrix. Az M determinánsát a j-edik oszlop szerint úgy fejtjük ki, hogy az oszlop minden elemét megszorozzuk a hozzá tartozó előjeles aldeterminánssal, és ezeket összeadjuk. Ekkor M determinánsát kapjuk. Képletben: a 1j M 1j +a 2j M 2j +...+a nj M nj = detm minden rögzített j-re. Ugyanez sorokra is érvényes: a i1 M i1 + a i2 M i a in M in = detm minden rögzített i-re. 7
8 Ferde kifejtés: Ha a j-edik oszlop elemeit egy másik oszlophoz tartozó aldeterminánsokkal szorozzuk, és összeadjuk, akkor az eredmény nulla lesz. a 1j M 1k + a 2j M 2k a nj M nk = 0 minden j k-ra. Ugyanez sorokra is érvényes. Példa kifejtésre Példa A harmadik oszlop szerint: = = = 3. Példa Ferde kifejtés a második és harmadik sor szerint: = = = Ugyanaz, mint kifejtése a második sor szerint, így A kifejtés hatékonysága A ferde kifejtési tétel bizonyítása Ha M-et úgy fejtjük ki, hogy a j-edik oszlop elemeit szorozzuk a k-adik oszlop megfelelő elemeihez tartozó előjeles aldeterminánsokkal, akkor ez valójában annak az N mátrixnak a j-edik oszlop szerinti kifejtése, amelyet úgy kapunk, hogy M-ben a k-adik oszlop helyébe a j-edik oszlopot másoljuk. Mivel N-nek van két egyforma oszlopa, a determinánsa nulla. FONTOS! Gauss-eliminációval SOKKAL gyorsabb a determináns kiszámítása, mint kifejtéssel. A kifejtés lényegében n! szorzás. Pl. n = 6-ra 720. A Gauss-elimináció maximum n 3 /2 szorzás. Ez n = 6-ra 108. Az inverz mátrix képlete Tétel (F Tétel és F Lemma) AzM négyzetes mátrixnak pontosan akkor van inverze, hadet(m) 0, és ekkor az inverz képlete M 1 1 = det(m) ((M ji)). Vagyis vesszük az előjeles aldeterminánsokból álló mátrixot, transzponáljuk, és elosztjuk M determinánsával. [ ] 1 [ ] a c 1 d c Példa: =. b d ad bc b a 8
9 Bizonyítás A kifejtési tétel és a ferde kifejtési tétel együtt biztosítja, hogy ha a fenti mátrixot (akármilyen sorrendben) megszorozzuk M-mel, akkor az egységmátrixot kapjuk (HF). Megfordítva: ha M 1 létezik, akkor det(m)det(m 1 ) = det(mm 1 ) = det(e n ) = 1, így det(m) 0. Balinverz és jobbinverz Tétel (F Tétel) T = C,R,Q és M,N T n n. Ha MN = E n, akkor NM = E n. Azaz minden jobbinverz balinverz is. Bizonyítás Tudjuk, hogy det(m)det(n) = det(mn) = det(e n ) = 1. Ezért det(m) 0, és így az imént bizonyított tétel miatt van egy K balinverze: KM = E n. Elég belátni, hogy K = N, mert akkor NM = KM = E n. Az asszociativitás miatt K = KE n = K(MN) = (KM)N = E n N = N. Valójában azt igazoltuk, hogy M mindegyik jobbinverze megegyezik M mindegyik balinverzével. Speciálisan a kétoldali inverz egyértelmű. 5. A Cramer-szabály Egyenletrendszer explicit megoldása Tétel (F Tétel) Adott egy M x = b lineáris egyenletrendszer, melyben ugyanannyi egyenlet van, mint ismeretlen: M T n n. Ekkor a megoldás pontosan akkor egyértelmű, ha det(m) 0. Valóban, a Gauss-eliminációt elvégezve pontosan akkor egyértelmű a megoldás, ha minden oszlopban van vezéregyes. Az M determinánsa pontosan ekkor nem nulla. Cramer-szabály (F Tétel) Jelölje M j azt a mátrixot, amelyet az M-ből úgy kapunk, hogy a j-edik oszlop helyére a b oszlopvektort tesszük. Ha det(m) 0, akkor a megoldás x j = det(m j) det(m). Példa a Cramer-szabályra Példa 2x 3y = 1 5x 2y = 8 9
10 Megoldás x = y = = = = 2, = = = 1. A Cramer-szabály bizonyítása Bizonyítás Az egyszerűbb jelölés kedvéért2 2-esre. LegyenM = [v 1,v 2 ], ekkorm 1 = [b,v 2 ] és M 2 = [v 1,b]. Az Mx = b azt jelenti, hogy x 1 v 1 + x 2 v 2 = b (HF). Ezért det(m 1 ) = det[x 1 v 1 +x 2 v 2,v 2 ] = det[x 1 v 1,v 2 ]+det[x 2 v 2,v 2 ] = = x 1 det[v 1,v 2 ]+x 2 det[v 2,v 2 ] = x 1 det[v 1,v 2 ] = x 1 det(m). Azaz x 1 det(m) = det(m 1 ). Hasonlóan x 2 det(m) = det(m 2 ). M 1 = [b,v 2 ] és x 1 v 1 +x 2 v 2 = b Az első oszlopot összegre bontjuk. Az x 1 és x 2 skalárokat kiemeljük az első oszlopból. det[v 2,v 2 ] = 0, mert a két oszlop egyenlő. Vandermonde-determináns (F Tétel) 1 z 1 z z n 1 1 V(z 1,z 2,...,z n ) = 1 z 2 z z2 n = 1 z n zn 2... z n 1 Bizonyítás: gyakorlaton. 6. Összefoglaló A 6. előadáshoz tartozó vizsgaanyag n 1 i<j n Fogalmak A 2 2-es és 3 3-as determináns. Előjeles aldetermináns. (z j z i ). Tételek A determináns alaptulajdonságai: sorban és oszlopban lineáris; ha két oszlop (sor) egyenlő, akkor a determináns nulla; ha egy oszlophoz egy másik skalárszorosát adjuk, akkor nem változik; oszlopcserénél előjelet vált; felső háromszögmátrix, transzponált, szorzat determinánsa. A kifejtési és a ferde kifejtési tétel. Az invertálhatóság jellemzése determinánsokkal; az inverz képlete. Négyzetes mátrixokra minden balinverz kétoldali inverz. A determináns eltűnésének jellemzése. A Cramer-szabály. Vandermonde determináns. 10
1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
I. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
Mátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Mátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Bevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal
11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden
1. Transzformációk mátrixa
1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv)
Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
1. ábra ábra
A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,
Lineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat
10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n
DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1.
DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS A (nxn) kvadratikus (négyzetes) mátrixhoz egyértelműen hozzárendelhetünk egy D R számot, ami a mátrix determinánsa. Már most megjegyezzük, hogy a mátrix determinánsa, illetve a determináns
9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz
9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz. Mindkét eliminációs módszer műveletigénye sokkal kisebb, mint a Cramer-szabályé:
1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
Matematikai statisztika 1.
Matematikai statisztika 1 segédanyag Daróczi Gergely Szociológia Intézet 2010 Matematikai statisztika 1 01 Mátrixok A mátrix vízszintes vonalban elhelyezked elemei sorokat, függ leges vonalban elhelyezked
15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Lineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Gauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval
XI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot
3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
Lineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
Lineáris algebra. Wettl Ferenc, BME , 0.2 változat. Tartalomjegyzék. Geometriai szemléltetés. (tömör bevezetés) Az egyenletek szemléltetése
Lineáris algebra (tömör bevezetés) Wettl Ferenc, BME 2007-03-24, 02 változat Tartalomjegyzék Geometriai szemléltetés 1 Az egyenletek szemléltetése 1 Az egyenletrendszer vektoregyenlet alakja 2 Egyenletrendszerek
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!
. Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk
Feladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: A x = b,
Gauss Jordan-elimináció Feladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: ahol A négyzetes mátrix. A x = b, A Gauss Jordan-elimináció tulajdonképpen az általános iskolában tanult módszer lineáris egyenletrendszerek
5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma
Mátrixok Definíció Az m n típusú (méretű) valós A mátrixon valós a ij számok alábbi táblázatát értjük: a 11 a 12... a 1j... a 1n.......... A = a i1 a i2... a ij... a in........... a m1 a m2... a mj...
2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
2014/2015-ös tanév II. féléves tematika
Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
2010/2011 es tanév II. féléves tematika
2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási
Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak
ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak IV. modul: Lineáris algebra 9. lecke: n-dimenziós vektorok Tanulási cél: n -dimenziós vektorok fogalmának megismerése, majd műveletek
Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
Lineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103) Kátai-Urbán Kamilla (1. előadás) Mátrixok 2019. február 6. 1 / 35 Bevezetés Előadás Tudnivalók (I.) Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Az előadáson készített
Matlab alapok. Baran Ágnes
Matlab alapok Mátrixok Baran Ágnes Mátrixok megadása Mátrix megadása elemenként A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9] vagy A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] eredménye: A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (Az egy sorban álló elemeket
MATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
Lineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103) Dr. Hartmann Miklós Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~hartm Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat teljesítése.
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat
6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
i=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i
Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,
Gazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal
fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére
Mátrixfelbontások BSc szakdolgozat
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Radnai Georgina Mátrixfelbontások BSc szakdolgozat Témavezető: Ágoston István Algebra és Számelmélet tanszék Budapest, 6 Tartalomjegyzék Bevezetés 4.
alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha ,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz:
1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl)
vektor, hiszen ez nem skalárszorosa
Általános alaelvek. Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok, MÁSODIK ótzh ontozási útmutató 7. december. A ontozási útmutató célja, hogy a javítók a dolgozatokat egységesen értékeljék. Ezért
A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú.
1. Vektorok, lineáris algebra 1.1. Mátrixok 1.1.1. Fogalmak, tételek Definíció A mátrix elemek általában számok táblázata téglalap alakú elrendezésben. Nyomtatott nagybetűvel jelölik ezen felül nyomtatásban
Lineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
Lineáris algebra. (közgazdászoknak) T C T = ( 1 ) ; , D T D =
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (1.) 2018/2019. tavaszi félév Mátrixok 1.1. Feladat. Legyen A = 1 2 1, B = 1 2 3 1 2 1 1, C = ( 1 2 0 ), D = 1 3 1 1 2 1 ( ) 10/2 0.6 1
1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?
1. fogalom Add meg az összeadásban szereplő számok 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadandók (tagok): amiket összeadunk. Összeg: az összeadás eredménye. Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak?
1 p, c = p 1 és d = 4. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a c és d paraméterek minden értékére. x + 2z = 5 2x y = 8 3x + 6y + cz = d
Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok 013. október 4. 1. Írjuk fel a háromdimenziós tér P = (1, 1, 1) és Q = (3, 1, 5) pontjait összeköt szakasz felez mer leges síkjának egyenletét. Hol
Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Lineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA
1. A Hilbert féle axiómarendszer
{Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,
Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek
1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:
1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0
Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics
Intergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,