Mátrixok 2017 Mátrixok

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mátrixok 2017 Mátrixok"

Zoltán Deák
4 évvel ezelőtt
Látták:

1 2017

2 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x x 2 = 8 1 x x 2 = 1 ( ) a 11 a a 1n a 21 a a 2n.... a m1 a m2... a mn fenti ( ) a11 a 12 a 21 a 22 azaz a 11 = 2, a 12 = 4, a 21 = 1, a 22 = 3

3 Az m sorból és n oszlopból álló mátrixok halmazát R m n -vel jelöljük. Az A R m n mátrix i-dik sorában és j-dik oszlopában lévő számot {A} ij -vel jelöljük. Műveletek: 1 összeadás: a a 1n b b 1n a m1... a mn b m1... b mn 2 számmal való szorzás: a a 1n λ.. a m1... a mn = = a 11 + b a 1n + b 1n.. a m1 + b m1 λa λa 1n.. λa m1... λa mn... a mn + b mn

4 Tehát {A + B} ij = {A} ij + {B} ij és {λa} ij = λ{a} ij Az A R m n mátrix transzponáltja az az A T R n m mátrix, amelyre {A T } ij = {A} ji. a 11 a a 1n a m1 a m2... a mn T a a m1 a a m2 =.. a 1n... a nm

5 mátrixszorzás Az A R k m és B R m n mátrixok szorzatmátrixa az az A B R k n -beli mátrix, amelyre m m {A B} ij = a ik b kj = {A} ik {B} kj Példa: ( A = k=1 ), B = k=1, B A = ( 1) ( 1) ( 1) 6

6 Feladat: Hogyan hat az alábbi mátrixokkal való szorzás? λ Tehát pl a 11 a 12 a a 21 a 22 a 23 =? a 31 a 32 a 33

7 Az olyan R m n -beli mátrixot, amelynek minden eleme 0 nullmátrixnak nevezzük. Megjegyzés Természetesen a nullmátrix bármely azonos méretű A mátrixxal összeadva az A mátrixot adja. Továbbá megfelelő méretű mátrixxal szorozva az eredmény nullmátrix lesz.

8 Tetszőleges n N szám mellett az R n n halmaz elemeit négyzetes mátrixoknak nevezzük. Azt az E n R n n négyzetes mátrixot, amelyre minden A R n n esetén E n A = A egységmátrixnak nevezzük. Ekkor A E n = A E 2 := ( ) E 3 := E n :=

9 inverzmátrix Az olyan A 1 R n n mátrixot, amelyre A 1 A = E n az A mátrix inverzmátrixának nevezzük. Ekkor A A 1 = E n. Megjegyzés Tehát az inverz formailag a reciproknak felel meg a számok világában, ahol a nullán kívül minden számnak van reciproka. A mátrixok világában ez nem teljesül, azaz vannak olyan nemnulla mátrixok, amelyeknek nincs inverzük. Megjegyzés Ez előbbi tény szorosan összefügg azzal, hogy két mátrix szorzata lehet nullmátrix úgy is, hogy a mátrixok nem nullmátrixok. Példa: ( ) ( Ezen mátrixoknak nincsen inverzük. ) = ( )

10 inverzmátrix Inverzmátrix kiszámítása Gauss-Jordan eliminációval: minden elemi átalakítás kifejezhető egy bizonyos S i mátrixxal való szorzással Átalakítjuk a mátrixot egységmátrixá A E n és ugyanezeket az átalakításokat elvégezzük az E n -n is, ekkor E n A 1. Mert, ha S 1 S2... Sk A = En, akkor S 1 S2... Sk = A 1

11 R n R m leképezések, mint R n R m leképezések Tekinthetők az R n elemei n 1 -es mátrixoknak, így értelmes például az a b ( ) A x = c d x1 x e f 2 kifejezés és elvégezve a műveletet egy R 3 -beli A x = ax 1 + bx 2 cx 1 + dx 2 ex 1 + fx 2 vektort kapunk. Tehát A : R 2 R 3. ( ) λ 0 Például R 2 -ben: λ-szorosra való nyújtás: ; elforgatás balra 90 0 λ ( ) ( ) 0 1 cos α sin α fokkal: ; elforgatás α szöggel 1 0 sin α cos α

12 determináns det ( ) a b = c d a b c d = a d c b a 11 a a 1n a 11 a a 1n a 21 a a 2n a 21 a a 2n a a 2n = = a a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn a n2... a nn a 12 a a 2n.. =... a n1... a nn

13 determináns Tétel Egy A négyzetes mátrix determinánsa pontosan akkor nem nulla, amikor a mátrixnak létezik inverze. Tétel Egy Ax = b alakú lineáris egyenletrendszernek pontosan akkor van egyetlen megoldása, amikor det(a) 0. Tétel Cramer-szabály az Ax = b vektoralakú lineáris egyenletrendszerre a a 1,i 1 b 1i a 1,i+1... a 1n a a 2,i 1 b 2i a 2,i+1... a 2n..... a n1... a n,i 1 b ni a n,i+1... a nn x i = A

14 sajátérték, sajátvektor Azt mondjuk, hogy az A mátrix sajátértéke a λ valós szám, ha létezik olyan x vektor, amellyel A x = λx. Az ilyen x vektort a mátrix λ-hoz tartozó sajátvektorának nevezzük. sajátértékek meghatározása det(a λe) = 0 alapján. Egy n n-es mátrix esetén det(a λe) egy n-ed fokú polinomja λ-nak, amit az A mátrix karakterisztikus polinomjának nevezünk. sajátvektorok meghatározása (A λe) x = 0 alapján történik, amely minden esetben egy túlhatározott egyenletrendszer, azaz végtelen sok megoldása van, a sajátvektorok paraméteresen megadhatók.

Hasonló dokumentumok

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű