differenciálegyenletek
|
|
- Diána Fekete
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y = e rx alakban keressük ahol L[e rx ] = e rx P(r) = 0, P(r) = r n + a 1r n a n a differenciálegyenlet karakterisztikus polinomja Az y = e rx akkor megoldása az egyenletnel ha fennáll a P(r) = 0 karakterisztikus egyenlet Látható, hogy y = e rx akkor megoldása az L[y] = 0 egyenletnek ha r zérushelye (gyöke) a karakterisztikus egyenletnek Mivel a valós együtthatójú karakterisztikus egyenlet n-ed fokú, ezért ugyanennyi gyöke van
2 Lehetséges esetek: a) A karakterisztikus egyenletnek n különböző valós gyöke van és ezek meghatározzák az y 1(x) = e r 1x, y 2(x) = e r 2x, y n(x) = e rnx melyek Wronski determinánsa W (y 1, y 2,, y n) = e a 1x r 1 r 2 r n r1 2 r2 2 rn 2 r n 1 1 r n 1 2 rn n 1 0 x R ahol felhasználtuk, hogy r 1 + r r n = a 1Az y 1, y 2,, y n tehát egy fundamentális megoldásrendszert képez, így az y(x) = C 1e r 1x + C 2e r 2x + + C ne rnx C i R függvénycsalád az L[y] = 0 egyenlet megoldáshalmazát (általános megoldását) származtatja
3 b) A karakterisztikus egyenlet gyökei valósak, de ezek között van többszörös gyök is A különböző gyökök legyenek r 1 < r 2 < < r k r 1 p 1 szeres, r 2 p 2 szeres, r k p k szoros Nyilván p 1 + p p k = n Az egyes különböző gyökökhöz tartozó fundamentális megoldások r 1 = {e r 1x, xe r 1x, x 2 e r 1x,, x p 1 1 e r 1x } r 2 = {e r 2x, xe r 2x, x 2 e r 2x,, x p 2 1 e r 2x } r k = {e r k x, xe r k x, x 2 e r k x,, x p k 1 e r k x } A fundamentális megoldás függvényei legyenek y j,l (x) = x l e r j x ; l {0, 1, 2,, p j 1}, j {1, 2,, k}, és az általános megoldás (az egyenlet megoldáshalmaza) : y = p k j 1 C j,l y j,l (x) j=1 l=0
4 Példa 1 2 y (4) + y 7y y + 6y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 2, y (0) = 1 P(r) = r 4 +r 3 7r 2 r +6 = 0, r 1 = 1, r 2 = 1, r 3 = 2, r 4 = 3 y = C 1e x + C 2e x + C 3e 2x + C 4e 3x Az általános megoldás A Cauchy feltételek alapján : C 1+C 2+C 3+C 4 = 1, C 1 C 2+2C 3 3C 4 = 0, C 1+C 2+4C 3+9C 4 = 2, C 1 C C 1 = 11/8, C 2 = 5/12, C 3 = 2/3, C 4 = 1/8 y = 11 8 ex e x 2 3 e2x 1 8 e 3x y 3y + 3y y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 1 A karakterisztikus egyenlet és gyökei : P(r) = r 3 3r 2 + 3r 1 = 0, (r 1) 3 = 0, r 1 = r 2 = r 3 = 1, Az általános megoldás : y = (C 1 + C 2x + C 3x 2 )e x C i R Az állandókat a kezdeti feltételek alapján határozzuk meg
5 c) A P(r) = 0 karakterisztikus egyenletnek vannak komplex gyökei is Legyen r = α ± iβ (β 0) egy p-szeres gyöke a valós együtthatójú karakterisztikus egyenletnek Kombinálva a két komplex megoldást 1 2 (eαx+iβx + e αx iβx ) = e αx cos βx, 1 2i (eαx+iβx e αx iβx ) = e αx sin βx p-szeres gyök esetén a gyökhöz tartozó fundamentális megoldások : e αx cos βx, e αx sin βx xe αx cos βx, xe αx sin βx x p 1 e αx cos βx, x p 1 e αx cos βx
6 Példa 1 y iv y = 0, y(0) = 7/2, y (0) = 4, y (0) = 5/2, y (0) = 2 A karakterisztikus egyenlet és gyökei : P(r) = r 4 1 = (r 2 1)(r 2 +1) = 0, r 1 = 1, r 2 = 1, r 3 = i, r 4 = i Az általános megoldás y = C 1e x + C 2e x + C 3 cos x + C 4 sin x A kezdeti feltételek alapján :C 1 = 0, C 2 = 3, C 3 = 1/2, C 4 = 1 és a megoldás y = 3e x + 1 cos x sin x 2
7 2 y iv + 2y + y = 0, P(r) = r 4 + 2r = (r 2 + 1)(r 2 + 1) = 0 A karakterisztikus egyenletnek gyökei : r = i, i, i, i Az általános megoldás y = C 1 cos x + C 2 sin x + C 3x cos x + C 4x sin x
8 3 y iv + y = 0, P(r) = r = 0 A karakterisztikus egyenlet gyökeit a következőképpen határozzuk meg : r 4 = 1 = e iπ = e i(π+2mπ), ( r = ( 1) 1/4 π = cos 4 + mπ ) ( π + i sin mπ ), 2 ahol m {0, 1, 2, 3, } Az innen kapott négy gyök : 1 + i 2, 1 + i 2, és a megfelelő általános megoldás : y = e x/ 2 1 i 2, (C 1 cos x 2 + C 2 sin x 2 ) + e x/ 2 1 i 2 (C 3 cos x 2 + C 4 sin x 2 )
9 Állandó együtthatójú lineáris inhomogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = g a i R és állandók y = C 1y 1 + C 2y C ny n + Y Y meghatározása legáltalánosabban az állandók változtatásának módszerével történik Ha g(x) néhány függvényosztályba esik akkor egyszerübb módszerekkel is meghatározhatjuk a megoldást I g(x) polinomfüggvény Legyen g(x) = P m(x) = A 0x m + A 1x m A m alakú Ha a P(r) = 0 karakterisztikus egyenletnek a nulla nem gyöke, vagyis a n 0 Y (x) = Q m(x) = B 0x m + B 1x m B m B 0 0 Ha a nulla p-szeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek, azaz a n = a n 1 = = a n p+1 = 0 és a n p 0 Y (x) = x p Q m(x) = x p (B 0x m + B 1x m B m) B 0 0
10 Példa 1 y + y = x 3 P(r) = r = 0 Mivel r = 0 nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor a megoldás 2 Y (x) = B 0x 3 + B 1x 2 + B 2x + B 3 alakú Behelyettesítés után B 0 = 1, B 1 = 0, B 2 = 6, b 3 = 0 A homogén egyenlet megoldása y h = C 1 cos x + C 2 sin x C 1, C 2 R és az eredeti egyenlet megoldáshalmaza y = C 1 cos x + C 2 sin x + x 3 6x y + y = 4x x P(r) = r 3 + r = r(r 2 + 1) = 0 Mivel a karakterisztikus egyenletnek r = 0 egyszeres gyöke ezért az inhomogén egyenletnek a partikuláris megoldása Y (x) = x(b 0x 3 + B 1x 2 + B 2x + B 3) alakú kell legyen Behelyettesítés után azt kapjuk, hogy y h = C 1 + C 2 cos x + C 3 sin x : Y (x) = x 4 3x 2 y = C 1 + C 2 cos x + C 3 sin x + x 4 3x 2 {C 1, C 2, C 3} R
11 II g(x) exponenciális és polinomiális függvények szorzata Legyen g(x) = e αx P m(x) = e αx (A 0x m + A 1x m A m) {A i, α} R L[y] = g(x) megoldása y = y h + Y, L[y h ] = 0 y h = C 1y 1 + C 2y C ny n, L[Y ] = g(x) Most ha α a karakterisztikus egyenletnek p-szeres gyöke akkor Y (x) = x p e αx Q m(x)
12 Példa 1 y iv y y +y = x 2 e x, P(r) = r 4 r 3 r+1 = (r 1) 2 (r 2 +r+1) = 0, r 1 = r 2 = 1, r 3 = i 2, r4 = i 2 A homogén egyenlet megoldása ( ) y h = (C 1 + C 2x)e x + e x C 3 cos x + C4 sin 2 2 x, C i R α = 1 a karakterisztikus egyenlet kétszeres gyöke Y (x) = x 2 (B 0x 2 + B 1x + B 2)e x A B i együtthatók meghatározása a behelyettesítés után lehetséges Tehát az eredeti egyenlet y = y h + Y (x) általános megoldása : ( ) y = (C 1+C 2x)e x +e x C 3 cos x + C4 sin 2 2 x +x 2 (B 0x 2 +B 1x+B 2)e x
13 2 y 3y +3y y = 4e t, P(r) = r 3 3r 2 +3r 1 = (r 1) 3 = 0 r 1 = α = 1 a karakterisztikus egyenlet egyik háromszoros gyöke Y (x) = Ax 3 e x Behelyettesítés alapján A = 2 3 : y = (C 1 + C 2x + C 3x 2 )e x x 3 e x általános megoldás
14 III g(x) polinom, exponenciális és trigonometrikus függvények szorzata Tekintsük az L[u] = e αx P m(x) cos βx, L[v] = e αx P m(x) sin βx egyenleteket Bevezetve a w(x) = u + iv komplex mennyiséget, L[w] = e αx (cos βx + i sin βx)p m(x) = e (α+iβ)x P m(x), ha α + iβ p-szeres gyöke a P(r) = 0 karakterisztikus egyenletnek akkor Y (x) = x p e (α+iβ)x Q m(x) ahol Q m egy m-ed fokú komplex együtthatós polinom Az egyes inhomogén egyenletek partikuláris megoldásának alakja u(x) = x p e αx [R (1) m (x) cos βx+r (2) m (x) sin βx], v(x) = x p e αx [R (3) m (x) cos βx+r (4) m (x) sin Ennek alapján áĺıthatjuk hogy az inhomogén egyenlet megoldása mindkét esetben Y (x) = x p e αx [R m (1) (x) cos βx + R m (2) (x) sin βx]
15 Példa 1 Határozzuk meg az alábbi egyenlet partikuláris megoldását: y iv + 2y + y = 3 sin x 5 cos x A karakterisztikus egyenlet P(r) = r 4 + 2r = (r 2 + 1) 2 = 0-nek a gyökei r = i, i, i, i A homogén egyenlet általános megoldása : y h = C 1 cos x + C 2 sin x + C 3x cos x + C 4x sin x A α = 0 dupla gyöke a karakterisztikus egyenletnek, ezért az inhomogén egyenlet Y = Ax 2 sin x + Bx 2 cos x alakú Behelyettesítés és egyeztetés után: Y (x) = 3 8 x 2 sin x x 2 cos x
16 2 y y = xe x cos x, P(r) = r 2 1 = (r+1)(r 1) = 0, r 1 = 1, r 2 = A homogén egyenlet általános megoldása : y h = C 1e x + C 2e x Az egyenlet jobboldala g(x) = xe x cos x esetén α = 1, β = 1, α + iβ = 1 + i nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek és ezért létezik a Y (x) = e x [(A 1x + B 1) cos x + (A 2x + B 2) sin x] alakú megoldása az inhomogén egyenletnek
17 3 y +y = x 2 cos x, P(r) = r 2 +1 = (r+i)(r i) = 0, r 1 = i, r 2 = következésképpen a homogén egyenlet általános megoldása : y h = C 1 cos x + C 2 sin x C 1 C 2 R Az egyenlet jobboldalán levő kifejezésben α = 0, β = 1, α + iβ = i a karalterisztikus egyenlet egyszeres gyöke, tehát az inhomogén egyenletnek létezik [ ] Y = x (A 1x 2 + B 1x + C 1) cos x + (A 2x 2 + B 2x + C 2) sin x alakú megoldása
18 Kiegészítés Az L[y] = g(x) egyenlet jobboldalán álló kifejezés gyakran az előzőkben tanulmányozott függvénytípusok összege, azaz g(x) = g 1(x) + g 2(x) + + g n(x) Ilyen esetben az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása Y (x) = Y 1(x) + Y 2(x) + + Y n(x), ahol a linearitás miatt L[Y i ] = g i (x) i {1,, n} Példa y 4y = x + cos x + e 2x A karakterisztikus egyenlet P(r) = r 3 4r = r(r 2)(r + 2) = 0, y h = C 1 + C 2e 2x + C 3e 2x L[Y 1] = x, L[Y 2] = cos x, L[Y 3] = e 2x Y 1(x) = x(a 0x + A 1), Y 2(x) = B cos x + C sin x, Y 3(x) = Exe 2x Visszahelyettesítések és egyeztetések után a keresett együtthatók: A 0 = 1 8, A1 = 0, B = 0, C = 3 5, E = 1 8 Y (x) = 1 8 x sin x xe 2x
19 Az állandók változtatásának módszere Az L[y] = y (n) +a 1(x)y (n 1) + +a n(x)y = g(x) inhomogén, lineáris, differenciálegyen y h = C 1y 1(x) + C 2y 2(x) + + C ny n(x), homogén egyenlet általános megoldása L[y] = g(x) y = y h + Y, inhomogén egyenlet általános megoldása L[Y ] = g(x)
20 Y = u 1y 1 + u 2y u ny n Y = (u 1y 1 + u 2y u ny n) + (u 1y 1 + u 2y u ny n) u 1y 1 + u 2y u ny n = 0 (1) (2) Y = u 1y 1 + u 2y u ny n Y = u 1y 1 + u 2y u ny n u 1y 1 + u 2y u ny n = 0 (3)
21 Y m ed rendű deriváltja Y (m) = u 1y (m) 1 + u 2y (m) u ny (m) n, u 1y (m 1) 1 + u 2y (m 1) u ny (m 1) n = 0 (m), m = 1, 2,, n 1 Y (n) = (u 1y (n) 1 + u 2y (n) u ny n (n) ) + (u 1y (n 1) 1 + u 2y (n 1) u ny (n 1) Mivel L[Y ] = g és L[y i ] = 0, i = (1, 2,, n) y 1u 1 + y 2u y nu n = 0, y 1u 1 + y 2u y nu n = 0, y 1 u 1 + y 2 u y n u n = 0,, y (n 1) 1 u y n (n 1) u n = g u m(x) = g(x)wm(x), m = 1, 2,, n W (x) Y (x) = n m=1 ahol x 0 egy tetszőleges állandó x y m(x) x 0 g(ξ)w m(ξ) dξ W (ξ) n )
22 Abel képlete: W (x) = W (y 1, y 2,, y n)(x) = C exp [ x a 1(ξ)dξ ] A W -ben megjelenő C állandót azáltal határozzuk meg hogy kiszámoljuk a Wronski determinánst egy alkalmas pontban Példa Adott az y y y + y = g(x) y 1(x) = e x, y 2(x) = xe x, y 3(x) = e x e x xe x e x W (x) = W (e x, xe x, e x )(x) = e x (x + 1)e x e x e x (x + 2)e x e x 1 x 1 W (x) = e x 1 x x = 1 x 1 ex = 4ex
23 0 xe x e x W 1(x) = 0 (x + 1)e x e x 1 (x + 2)e x e x = xe x e x (x + 1)e x e x = 2x 1, e x 0 e x W 2(x) = e x 0 e x e x 1 e x = ex e x e x e x = 2 e x xe x 0 W 3(x) = e x (x + 1)e x 0 e x (x + 2)e x 1 = ex xe x e x (x + 1)e x = e2x x Y (x) = e x g(ξ)( 1 2ξ) x dξ + xe x g(ξ)(2) x dξ + e x g(ξ)e 2ξ dξ = x 0 4e ξ x 0 4e ξ x 0 4e ξ = 1 4 x x 0 {e x ξ [ 1 + 2(x ξ)] + e (x ξ) }g(ξ)dξ
24 Elsőrendű differenciálegyenlet rendszerek Általános alakja : y 1 = f 1(x, y 1, y 2,, y n) y 2 = f 2(x, y 1, y 2,, y n) y n = f n(x, y 1, y 2,, y n) z (n) = F (x, z, z,, z (n 1) ) Van megoldása az I : a < x < b intervallumon, ha létezik az n y 1 = Φ 1(x), y 2 = Φ 2(x), y n = Φ n(x) görbe az n- dimenziós térben deriválható függvények halmaza az I intervallumon úgy, hogy y 1(x 0) = y1 0, y 2(x 0) = y2 0,, y n(x 0) = yn 0 kezdeti feltételek
25 Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet rendszer általános alakja : y 1 = A 11(x)y 1 + A 12(x)y A 1n(x)y n + B 1(x) y 2 = A 21(x)y 1 + A 22(x)y A 2n(x)y n + B 2(x) y n = A n1(x)y 1 + A n2(x)y A nn(x)y n + B n(x)
26 Elsőrendű lineáris állandó együtthatójú differenciálegyenlet rendszerekre szorítkozunk y 1 = a 11y 1 + a 12y a 1ny n + b 1 y 2 = a 21y 1 + a 22y a 2ny n + b 2, a ij, b i R állandók y n = a n1y 1 + a n2y a nny n + b n Y = A = y 1 y 2 y n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn = Y ), B = Y = AY + B = a ij, b 1 b 2 b n = B) Ha B = 0 akkor homogén, ellenkező esetben inhomogén egyenletrendszerről beszélünk
27 Lineáris homogén rendszerek Lineáris homogén differenciálegyenlet rendszer a Cauchy feltétellel L[Y ] Y AY = 0, Y (x 0) = Y 0 = L[Y i ] = 0, i {1, 2} y 0 1 y 0 2 y 0 n L[C 1Y 1 + C 2Y 2] = C 1L[Y 1] + C 2L[Y 2] = 0 Az Y i megoldások egy vektorteret alkotnak Y 1, Y 2,, Y n megoldások egy n dimenziós vektortérrel izomorfak, és az L[Y ] = 0 rendszernek a fundamentális regoldásrendszerét adják Y 1 = y 11 y 21 y n1, Y2 = V(x) = fundamentális megoldásmátrix y 12 y 22 y n2, Yn = y 1n y 2n y nn y 11(x) y 12(x) y 1n(x) y 21(x) y 22(x) y 2n(x) y n1(x) y n2(x) y nn(x), C 1 (I, R n )
28 Lineáris függetlenséget a Wronski determinánsból: y 11(x) y 12(x) y 1n(x) W (Y 1, Y 2,, Y n)(x) = y 21(x) y 22(x) y 2n(x) y n1(x) y n2(x) y nn(x) = det V(x) x I W (Y 1, Y 2,, Y n)(x) 0 x I
29 IA kiküszöbölés módszere Az elsőrendű differenciálegyenlet rendszerből képezhetünk egy állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenletet kapunk, például : y (n) 1 + α 1y (n 1) α ny 1 = 0 y 1 = C 1u 1 + C 2u C nu n Az egyenletekből pedig megkapjuk a többi y 2, y 3,, y n függvényeket
30 Példa y 1 = y 1 + 4y 2 + y 3 y 2 = 3y 1 + 6y 2 + 5y 3 vagy Y = y 3 = 5y 1 12y 2 9y 3 y y 1 = y 1 + 7y y y = y 1 + 7y 1 19y 1 60y 2 39y 3 { 4y 2 + y 3 = y 1 y 1 12y y 3 = y 1 y 1 7y 1 y 2 = 1 ( y y 1 4y 1) 32 Y, Y = y 1 y 2 y 3 y 3 = 1 (4y 1 16y 1 16y 1) 32 y 1 + 2y 1 4y 1 8y 1 = 0 y 1 = C 1e 2x + C 2xe 2x + C 3e 2x, C 1, C 2, C 3 R ( ) 1 y 2 = C 1e 2x + C 2 2 x e 2x 1 + C 3 2 e2x y 3 = C 1e 2x + C 2 (x 1) e 2x C 3e 2x
31 Mivel az általános megoldás alakja C 1Y 1 + C 2Y 2 + C 3Y 3, következik, hogy : e 2x xe 2x ( ) e 2x Y 1 = e 2x, Y 2 = 1 e 2x 2 x e 2x, Y3 = 1 2 e2x (x 1)e 2x e 2x W (Y 1, Y 2, Y 3) 0 vektorfüggvények lineárisan függetlenek C 1Y 1 + C 2Y 2 + C 3Y 3 egy teljes megoldáshalmazt határoznak meg mellyel tejesíthetjük a Cauchy feltételt
32 Megtörténhet, hogy a kiküszöbölés folyamán egy n-nél alacsonyabb rendű egyenletet kapunk y 1-ben y 1 = y 1 + y 2 + y y 2 = y 1 y 2 + y 3 vagy Y = Y, ahol Y = y 3 = y 1 + y 2 y y 1 = y 1 + y 2 + y 3 = y 1 + 2y 1 y 1 + y 1 2y 1 = 0 y 1 = C 1e 2x + C 2e x C 1, C 2 R y 2 + 2y 2 = 3C 2e x rögzített C 2 esetén A megoldáshalmaz : y 2 = C 3e 2x + C 2e x C 3 R y 3 = C 2e x (C 1 + C 3) e 2x y 1 = C 1e 2x + C 2e x y 2 = C 3e 2x + C 2e x y 3 = C 2e x (C 1 + C 3) e 2x ahonnan következik, hogy e 2x Y 1 = 0 e 2x, Y 2 = e x e x e x, Y 3 = 0 e 2x e 2x Wronski determináns nem nulla Y 1, Y 2, Y 3 fundamentális megoldásrendszer y 1 y 2 y 3
33 IIA karakterisztikus egyenlet módszere y 1 y 2 Y = AY ahol Y = Y = η 1 η 2 η n y n eλx = ηe λx η = A = a ij {i, j} = (1, 2,, n) η 1 η 2 η n, (Aη λη)e λx = 0 = Aη λη = 0 alakú megoldást keressünk Az Y = ηe λx akkor és csak akkor(nem nulla) megoldás, ha λ sajátérték az A mátrixnak és η pedig a λ-nak megfelelő sajátvektor Bevezetve az U egységmátrixot U = (A λu)η = 0
34 (A λu)η = 0, (a 11 λ)η 1 + a 12η a 1nη n = 0 a 21η 1 + (a 22 λ)η a 2nη n = 0 a n1η 1 + a n2η (a nn λ)η n = 0 a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n det(a λu) = a n1 a n2 a nn λ = 0, rendszer karakterisztikus egyenlete, λ-ban egy n-ed fokú egyenlet Ha λ 1 R η 11e λ 1 η 21e λ 1 Y = = η (1)e λ 1 η n1e λ 1
35 Ha λ 1 = α 1 + iβ 1, λ 1 = α 1 iβ 1 η (1) = γ 11 + iδ 11 γ 21 + iδ 21 γ n1 + iδ n1 Cn Y 1 = η (1) e (α 1+iβ 1 )x = U 1 + iv 1 valós U és képzetes V részei külön-külön megoldásai a valós együtthatójú egyenletrendszernek U 1(x) = e α1x (d 11 cos β 1x + ε 11 sin β 1x) e α1x (d n1 cos β 1x + ε n1 sin β 1x) V 1(x) = e α1x (f 11 cos β 1x + g 11 sin β 1x) e α1x (f n1 cos β 1x + g n1 sin β 1x)
36 Ha a karakterisztikus egyenletnek n különböző valós gyöke van: Y 1(x) = e λ 1x η (1), Y 2(x) = e λ 2x η (2),, Y n(x) = e λnx η (n), η (i) R n Ha λ 1,, λ k valós gyökök p 1,, p k többszörösségi fokokkal és λ k+1 = α k+1 + iβ k+1,, λ l = α l + iβ l komplex gyökök p k+1,, p l többszörösségi fokokkal együtt p p k + 2p k p l = n Az egyenlet valós megoldásai k j=1 P 1j(x)e λ j x + l j=k+1 eα j x [Q 1j (x) cos β j x + R 1j (x) sin β j x] y(x) = k j=1 P nj(x)e λ j x + l j=k+1 eα j x [Q nj (x) cos β j x + R nj (x) sin β j x] ahol P ij, Q ij, R ij valós együtthatójú polinomok melyek fokszámai nem lehetnek nagyobbak p j 1 -nél
37 Példa y 1 = y 1 y 2 y y 2 = 3y 1 + y 2 3y 3 A = 3 1 3, Y = y 3 = 4y 1 2y 2 + y λ λ λ = 0 λ3 3λ 2 4λ + 12 = 0, melynek gyökei λ 1 = 2, λ 2 = 2, λ 3 = 3 λ 1 = 2 esetén a rendszer a következő 3η 1 + η 2 + η 3 = 0 3η 1 3η 2 + 3η 3 = 0, η 1 = 1, η 2 = 1, η 3 = 2, Y 1(x) = 4η 1 + 2η 2 3η 3 = 0 λ 2 = 2 értékre a η 1 + η 2 + η 3 = 0 3η 1 + η 2 + 3η 3 = 0 4η 1 + 2η 2 + η 3 = 0 λ = 3 2η 1 + η 2 + η 3 = 0 3η 1 + 2η 2 + 3η 3 = 0 4η 1 + 2η 2 + 2η 3 = 0 y 1 y 2 y 3, η 1 = 1, η 2 = 3, η 3 = 2, Y 2(x) =, η 1 = 1, η 2 = 9, η 3 = 7, Y 3(x) = e 2x e 2x 2e 2x e 2x 3e 2x 2e 2x e 3x 9e 3x 7e 3x
38 Y = C 1Y 1(x) + C 2Y 2(x) + C 3Y 3(x) C 1, C 2, C 3 R
39 Példa ( ) Y 1 1 = Y, Y = ηe rx, 2 ( 1 r 1 ) ( ) ( ) η r = η r r = r 2 + r = 0, r1 = i, r2 = 1 2 i ( ) ( ) η (1) 1 =, η (2) 1 = i i ( ) ( ) 1 Y 1(x) = e ( 1/2+i)x 1, Y i 2(x) = e ( 1/2 i)x i ( ) ( ) U(x) = e x/2 cos x, V (x) = e x/2 sin x sin x cos x W (U, V )(x) = e x/2 cos x e x/2 sin x e x/2 sin x e x/2 cos x = e x 0 U(0) = Y = C 1U(x) + C 2V (x) ( ) 1, V (0) = 0 Y (0) = ( C1 C 2 ) ( 0 1 ),
40 Példa Az alábbi R-L-C áramkörben a tekercsen keresztül folyó áram I míg a kondenzátor sarkai mért feszültség U Ezek kezdeti értékei 2 amper illetve 2 volt d ( I dt V ( 1 r r ) ( 1 1 = 2 1 ( ) I = ηe rt V ) ( ) η1 = η 2 ) ( I V ( 0 0 ), )
41 1 r r = r 2 + 2r + 3 = 0, ( ) η (1) 1 =, η (2) = 2i ( η (1) e r1t = 1 2i U(t) = e t ( ( I V ) e ( 1+ 2i)t = ( 1 2i ( ) ( = e t cos 2t + ie t 2 sin 2t ) r 1,2 = 1 ± 2i ( ) 1 2i ) e t (cos 2t + i sin 2t) = sin 2t 2 cos 2t ) ( cos 2t, V (t) = e t 2 sin 2t ( ) ( = C 1e t cos 2t + C 2e t 2 sin 2t C 1 ( 1 0 ahonnan C 1 = 2 és C 2 = 2 ( ) ( I 2 (0) = V 2, ) ( ) 0 + C 2 = 2 ) ( 2 2 ) sin 2t 2 cos 2t sin 2t 2 cos 2t ) ) )
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
Részletesebben2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja
2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 19 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Részletesebben2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja
2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 27 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenDifferenciálegyenletek Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek Példák differenciálegyenletekre Newton második törvénye Egy tömegpont gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy gyakorlatához
Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
Részletesebben7. gyakorlat megoldásai
7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
Részletesebben6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
Részletesebben4. Lineáris rendszerek
60 Hartung Ferenc: Differenciálegyenletek, MA22i, MA623d, 2006/07 4 Lineáris rendszerek 4 Lineáris algebrai előismeretek Legyen A egy n n-es mátrix, I az n n-es egységmátrix A pλ := deta λi n-edfokú polinomot
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
RészletesebbenDefiníció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.
8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
RészletesebbenElhangzott tananyag óránkénti bontásban
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek (Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04) Elhangzott tananyag óránkénti bontásban 2016. február 15. 1. előadás. Közönséges differenciálegyenlet fogalma.
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. Vajda István március 21.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 21. A módszer alkalmazásának feltételei: Állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek megoldására használhatjuk. A módszer alkalmazásának feltételei:
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenTartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenNumerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4
Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenDifferenciaegyenletek a differenciálegyenletek
Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenMatematika M1 Gyakorlat
Matematika M Gyakorlat BME - Gépésmérnök MSc Gyakorló Feladatsor. Zh. Határoa meg a α paraméter értékét úgy hogy a vx y = αx y xy 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex függvény képetes rése
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat december 5.
Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
Részletesebben5. Lineáris rendszerek
66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő
Részletesebben