Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Átírás

1 Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független változó közönséges differenciálegyenletről beszélünk. y = y(x), y dy dx, y = dy dx = d 2 y dx,, y (n) = d n y 2 dx n Többváltozós függvény és legalább két különböző változó szerinti derivált parciális differenciálegyenlet. z = z(x, y), másodrendű parciális derivált z x zx, 2 z x y = zxy, 2 z y 2 zyy

2 explicit alak y = f (x, y) y = f (x, y, y )... y (n) = f (x, y, y,..., y (n 1) ) implicit alak F (x, y, y ) = 0 F (x, y, y, y ) = 0 y(x) =?... F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 y = f (x, y), I = (a, b), y C 1 (I ) y az I -n értelmezett folytonosan deriválható (sima) függvény.

3 Mire jó? keressük a mennyiségi összefügést x és y között folytonos kapcsolatot képzelünk el csak a változásuk kapcsolatáról tudunk mondani valamit x y példa: populáció növekedés n n t

4 Példa Súrlódó közegben, homogén gravitációs térben, függőleges (a gravitációs tér erővonalaival párhuzamos) irányban mozgó részecske: m dv dt = mg γv, v a részecske sebessége, m a tömege, g a gravitációs gyorsulás, γ a közegellenállási együttható. v(t) =? Explicit és implicit formában: v = γv mg, illetve v + γv + mg = 0.

5 Példa Egy elektromosan töltött és fonállal rögzített golyót függőleges irányú és időben változó erősségű elektrosztatikus térbe helyezünk. Írjuk fel a mozgás differenciálegyenletét, feltételezve, hogy a fonal mindig kifeszült állapotban van (sugárirányú sebessége nulla). l a fonal hossza, m a részecske tömege, q a töltése, E(t) az ismert elektromos térerősség: ahonnan ml d 2 θ = (qe(t) mg) sin θ, dt2 ( θ g + qe(t) ) sin θ = 0. l ml

6 Példa Áramkör: feszültségforrás (E(t)), egy ohmikus ellenállás (R), egy tekercs (L) és egy kondenzátor C van sorbakötve. U R, U L, U C a három feszültségesés. Kirchhoff második törvénye értelmében V (t) = U R (t) + U L (t) + U C (t). (1) U R = RI, U L = L di dt, du C dt = I C, LI + RI + I C = f, f (t) = V (t)

7 Példa y = y, y =? y = Ce x = ±e x x 0.

8 Példa y = x, y =? y = x C

9 Példa x + yy = 0, y =? y = x y yy = 1 2 ( y 2) = x x 2 + y 2 = C

10 y = f (x, y) egyenlet általános megoldása az y = y(x, C) függvénycsalád. C-tetszőleges állandó. Az egyenlet megoldását egy állandó erejéig tudjuk meghatározni. Amennyiben a talált megoldásban nem szerepel egy állandó, amit folytonosan lehet változtatni partikuláris megoldás Egy plusz feltétel kiróvásával rögzíthető a C integrálási állandó és egyértelműsíthető a megoldás pl. kezdeti feltétel = Cauchy-feltétel: y(x 0 ) = y 0 Létezési és unicitási tétel Az y = f (x, y) egyenletre vonatkozóan ha az f függvény és f / y folytonos valamely x a, y b téglalapon belül, akkor az egyenletnek létezik egyértelmű y(x, C) típusú megoldása a x h a intervallumon.

11 Elsőrendű differenciál egyenletrendszer y 1 = f 1(x, y 1, y 2,..., y n), y 2 = f 2(x, y 1, y 2,..., y n),... y n = f n(x, y 1, y 2,..., y n). y 1(x), y 2(x),..., y n(x) =?

12 Y = F(x, Y) Y : I R R n, F : I R R n R n n dimenzióban értelmezett differenciálegyenlet. Ennek megoldása Y = Y(x, C), C R n azaz A Cauchy feltétel azaz y i = y i (x, C 1, C 2,..., C n), i = 1, 2,..., n Y(x 0) = Y 0 y i (x 0) = y i0, i = 1, 2,... n

13 Egy n-ed rendű differenciálegyenlet visszavezethető egy n darab elsőrendű diffenciálegyenletre. Legyen y (n) = f (x, y, y,..., y (n 1) ) Vezessük be az y 1, y 2,..., y n függvényeket a következőképpen: y 1(x) = y(x) y 2(x) = y (x) y 3(x) = y (x)... y n(x) = y (n 1) (x) y 1 = y 2, y 2 = y 3,... y n = f n(x, y 1, y 2,..., y n). Kezdeti feltételek y 10 y 1(x 0) = y(x 0) y 0 y 20 y 2(x 0) = y (x 0) y 0 y 30 y 3(x 0) = y (x 0) y 0 y n0 y n(x 0) = y (n 1) (x 0) y (n 1) 0

14 Példa Egy N anyagi pontból álló mechanikai rendszer: ( d 2 r i m i dt = F 2 i t, r 1,..., r N ; dr1 dt,..., dr ) N dt Tekintsük az, i = 1, N. (x a) 2 + (y b) 2 = r 2, a, b R, r R + (2) körcsaládot. Egyedüli paraméter a sugár Kétszer deriválva az egyenletet: x a + (y b)y = 0, 1 + y 2 + (y b)y = 0. A fenti két egyenletből kifejezhetők az x a és y b mennyiségek. Ezeket behelyettesítve (2)-be az y (1 + y 2 ) 3/2 = 1 r

15 Példa A másodfokú síkgörbék általános egyenlete: ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0, a, b, c, d, e, f R Ha c 0 és γ = b 2 ac 0 (ellipszis, hiperbola vagy metsző egyenesek), y = αx + β ± γx 2 + 2δx + ɛ, y = γɛ δ 2 (γx 2 + 2δx + ɛ) 3/2, vagy (y ) 2/3 = γx 2 + 2δx + ɛ (γɛ δ 2 ) 2/3. [ (y ) 2/3] = 0. Ha γ = 0 (parabola vagy párhuzamos egyenesek), akkor y = αx + β ± 2δx + ɛ, (y ) 2/3 = 2δx + ɛ δ 4/3, [ (y ) 2/3] = 0.

16 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek y (x) = dy = f (x) dy = f (x)dx dx y = f (x)dx + C y(x 0) = y 0 = F (x 0) + C C = y 0 F (x 0) y(x) = F (x) + (y 0 F (x 0)) Példa y y 0 = F (x) F (x 0) = x x 0 f (ξ)dξ y = 3 sin x, y(0) = 1, y(x) =? x y(x) = sin ξdξ = 1 3(cos x 1) = 3 cos x + 4 0

17 y = g(y) dy dx = g(y) dy = dx x = G(y) + C g(y) dy G(y) = g(y) Példa y(x) = G 1 (x C) y = 2y, y(0) = 1 dy y log y = 2x + C = 2dx y(x) = e C e 2x = Ce 2x 1 = Ce 0 C = 1 y(x) = e 2x

18 y = f (x)g(y) Példa dy dx = f (x)g(y), y dy g(y) = f (x)dx y 0 dη g(η) = x x 0 y(x0) = y0 f (ξ)dξ y = 3 y x dy dx = 3 y 3 x y 3 dy 3 + dx y 3 = 0 x y 0 2 η2/3 x dη dξ 3 + η 3 = 0 x 0 ξ y + 3 x y 0 2 ξ2/3 = 0 x 0 y 2/3 + x 2/3 = y 0 2/3 + x 0 2/3 = C

19 Elsőrendű homogén differenciálegyenletek y(x) helyett az u(x) függvényt ( y y ) = f x y x = u(x) y(x) = xu(x) y = u + xu (3) u + xu = f (u) u du dx = f (u) u x du f (u) u = dx x u-ban, x-ben szétválasztható egyenlet megoldjuk u(x)-ben visszahelyettesítjük a (3)-be.

20 Példa y = y 3 x 3 = y xy 2 x x 2 y 2 y x = u y = xu y = u + xu = u 1 u 2 x du dx = 1 u 2 u 2 du = dx x u3 3 = log x + C ec x = e u 3 /3 u 3 = 3(C + log x) u = 3 3(C + log x) y(x) = x 3 3(C + log x)

21 Sajátos eset: y = f ( ) ax + by = f a + b y x cx + dy c + d y x y x = u y = xu y = u + xu = f x du dx = f f ( ) a + bu u c + du du ( ) = dx a + bu x u c + du ( a + bu(x) c + du(x) )

22 Általánosabban: ( ) y a1x + b 1y + c 1 = f a 2x + b 2y + c 2 x = ξ + x 0, x 0 =? y = η + y 0, y 0 =? Úgy kell megválasztani a transzformációt, hogy a c 1 és c 2 tűnjön el, azaz a 1ξ + b 1η + a 1x 0 + b 1y 0 + c 1 a1ξ + b1η a 2ξ + b 2η + a 2x 0 + b 2y 0 + c 2 a 2ξ + b 2η a 1x 0 + b 1y 0 + c 1 = 0 x0 =... y0 =... a 2x 0 + b 2y 0 + c 2 = 0 ( ) a1ξ + b 1η = f a 2ξ + b 2η y = dy dx = dη dξ = f a 1 + b 1 η ξ a 2 + b 2 η ξ Az η ξ = u változó cserét alkalmazva η = ξu η = u + ξu tehát : ξu = f ( ) a1 + b 1u u u(ξ) =.... a 2 + b 2u

23 Példa y = 4x y + 7 4x0 y0 + 7 = 0, 2x0 + y0 1 = 0; x0 = 1, y0 = 3; 2x + y 1 y = η+y 0 = η+3, x = ξ+x 0 = ξ 1; η = dη dξ = 4ξ η 2ξ + η = 4 η ξ 2 + η ; ξ ξu = 4 u 4 3u u2 u = = ξ du 2 + u 2 + u dξ dξ u 2 +3u 4 = (u+4)(u 1) dξ ξ = 2 + u (u + 4)(1 u) du = A = 2 5, B = 3 5 dξ ξ = 1 5 ξ 5 = ( 2du u du 1 u 1 (u + 4) 2 (1 u) 3 C ξ5 (u+4) 2 (1 u) 3 = C ξ 5 ξ = 2 + u 4 3u u du 2 ( A u B 1 u η ξ = u, η = ξu ) du A+4B ) ln ξ = 2 5 ln u+4 3 ln 1 u 5 ( ) 2 ( η ξ η ) 3 = C ξ (η + 4ξ) 2 (ξ η) 3 = C (y 3 + 4(x + 1)) 2 (x + 1 y + 3) 3 = C Az eredmény : (4x + y + 1) 2 (x y + 4) 3 = C.