1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

Átírás

1 . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis konvergens, ha bármely ε > 0 esetén van olyan N(ε) küszöbindex, hogy minden n > m > N(ε) esetén n k=m+ a k < ε.. n 2. ( ) n n 3. n 2 Határozza meg a következ végtelen sorok összegét. Tétel. (Geometriai sor összege) Ha q <, akkor a q n sor konvergens, és q n = q n(n + ) 3 n 2 + 5n n 2 + 3n + 2 log ( n ) n 2 + 3n ( ) 2 n n+2 5 n 3 n n+4 3 n 5 n n+2 5 n 3 2n n+ + 3 n 5 n n + 2 n+ 4 n+3 5. ( 2) n+ 2 2n 3 Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából valamelyik összehasonlító kritériumot használva.

2 Tétel. (Majoráns, minoráns kritérium) Ha a a n és a b n pozitív tagú sorok tagjaira véges sok indext l eltekintve érvényes az a n b n egyenl tlenség, akkor (i) ha b n konvergens, akkor a n is konvergens, és (ii) ha a n divergens, akkor b n is divergens. Tétel. Ha a n, b n > 0 minden n N esetén és a n lim = L > 0, n b n akkor a a n és b n sorok közül vagy mindkett divergens vagy mindkett konvergens. 6. ( n ) ( ) 2 n n n + 3 n 2 2n n + 5 3n n(n + ) (3n ) n + 3 n 2 n n 2 n n 3 5 n sin π n A Cauchy-ekvikonvergencia tételt használva vizsgáljuk meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle ekvikonvergencia) Ha (a n ) monoton csökken és pozitív tagú sorozat, akkor a a n, 2 n a 2 n sorok közül vagy mindkett konvergens, vagy mindkett divergens. 26. n p 27. n ln 2 n 28. n ln 3 n A hányados-, illetve gyökkritériumot használva vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. 2

3 Tétel. (Gyökkritérium) Legyen (a n ) pozitív tagú sorozat, ekkor ha <, akkor a a n sor konvergens; lim n an >, hakkor a a n sor divergens; n =, akkor a a n lehet konvergens is, és divergens is. Tétel. (Hányadoskritérium) Legyen (a n ) pozitív tagú sorozat, ekkor ha a <, akkor a a n sor konvergens; n+ lim >, hakkor a a n a n sor divergens; n =, akkor a a n lehet konvergens is, és divergens is n ( 2) n n+ n n 2 n 3n + n 3 + n ( ) n + n 3. 2n e n n 3 n! 2 n + ( 2 n + n) n n n! n! n n (2n ) n Tétel. (Integrálkritérium) Legyen j N rögzített és f : [j, ) R folytonos, monoton csökken és pozitív. Ekkor a j n=j f(x) dx improprius integrál konvergens. Ekkor j f(x) dx f(n) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha az f(n) n=j j f(x) dx, illetve j f(x) dx f(n) f(j) + n=j j f(x) dx. 39. Az integrálkritériumot használva igazolja, hogy a becslést az összegére ε = 0.0 pontossággal. n 2 sor konvergens, és adjon 3

4 40. Az integrálkritériumot használva igazolja, hogy a becslést az összegére ε = 0.0 pontossággal. n 2 sor konvergens, és adjon + 5 A Leibniz kritériumot használva vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia, illetve abszolút konvergencia szempontjából. Tétel. (Leibniz-kritérium) Ha az (a n ) pozitív tagú szigorúan monoton csökken ( 0 < a n+ < a n ) sorozatra lim n a n = 0, akkor a sor konvergens. ( ) n a n Tétel. Abszolút konvergens sor konvergens ( ) n 2n ( ) n n 3 n n 42. ( ) n 3n + n ( ) n n + 2 n ( ) n 2n 3 n + 2 Határozza meg a következ hatványsorok konvergenciatartományát. Tétel. (Cauchy-Hadamard) A a nx n hatványsor konvergenciasugara ϱ, ahol n = lim sup an = lim sup a n+ ϱ n n a n, amennyiben a fenti határérték létezik és véges. Ha a határérték végtelen, akkor a konvergenciasugár 0, ha a határérték 0, akkor a konvergenciasugár végtelen. 46. x n n2 n 47. (n + ) 5 x 2n 2n n2 x n 49. (x + 3) n n n x n n! 5. (x 3) n n 2 2 n Határozza meg a következ függvények Taylor-sorát a megadott pontok körül. 4

5 Taylor-sor. Legyen az f : I R függvény akárhányszor dierenciálható a 0-t is tartalmazó nyitott I intervallumon. A f (k) (0) x k k! hatványsort az f függvény Taylor-sorának nevezzük. Taylor-formula. Ha az f : I R függvény (n + )-szer folytonosan dierenciálható a 0-t is tartalmazó I intervallumon, akkor minden x I esetén ahol f(x) = valamely 0 és x közötti c számra. k=0 f (k) (0) x k + R n+ (x), k! R n+ (x) = f n+ (c) (n + )! xn+ Tétel. Ha a a nx n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon, és f(x) = a nx n, x ( c, c), akkor az f függvény Taylor-sora a nx n, azaz f (n) (0) = a n n! (n {0,, 2,...}) 52. f(x) = x 2, x 0 = f(x) = x, x 0 = f(x) = + x 2, x 0 = f(x) = + 2x, x 0 = 56. f(x) = sin x, x 0 = Az ln ( + x) függvény Taylor-sorát felhasználva adjon becslést ln 27 értékére. 58. Határozza meg az f(x) = e x függvény 0 körüli Taylor-sorának els három tagját, majd ennek segítségével becsülje az integrált. 0 e x dx 5

6 59. A sin x függvény Taylor-sorát felhasználva adjon becslést az integrál értékére. /2 0 sin x x dx 60. Határozza meg az f(x) = e x2 /2 függvény x 0 = 0 körüli Taylor sorának els négy tagját, majd ennek segítségével adjon becslést az határozott integrálra. 2π e x2 /2 dx Tétel. Legyen a a nx n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon. Deniáljuk az f : ( c, c) R függvényt a következ képpen: Ekkor a f(x) := a n x n. (n + )a n+ x n = a + 2a 2 x + 3a 3 x hatványsor is konvergens a ( c, c) intervallumon, az f függvény dierenciálható a ( c, c) intervallumon, és f (x) = (n + )a n+ x n. (x ( c, c)). Tétel. Legyen a a n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon. Deniáljuk az f : ( c, c) R függvényt a következ képpen: Ekkor a f(x) := a n x n. a n n + xn+ = a 0 x + a 2 x2 + a 2 3 x hatványsor is konvergens a (-c,c) intervallumon, az f függvény folytonos a ( c, c) intervallumon, és f(x) dx = a n n + xn+ (x ( c, c)). 6

7 Tétel. Legyen a a nx n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon, és legyen f(x) = a n x n, ha x ( c, c). Ha az f függvény kiterjeszthet a ( c, c] intervallumra úgy, hogy c-ben folytonos legyen, akkor a a nx n hatványsor konvergens c-ben is, és f(c) = a n c n. 6. Határozza meg az f(x) = ln ( x) függvény Taylor-sorát az a = 0 pont körül, és ezt felhasználva határozza meg a ( ) n+ n = sor összegét. 62. Határozza meg az f(x) = arctan x függvény Taylor-sorát az a = 0 pont körül, és ezt felhasználva határozza meg a sor összegét. ( ) n+ 2n + = Határozza meg az f(x) = ( + x) ln ( + x) függvény Taylor-sorát az a = 0 pont körül, és ezt felhasználva határozza meg a sor összegét. n=2 ( ) n+ n 2 n = Tétel. (Binomiális sorfejtés) Ha x <, akkor ( + x) α = ( ) α x n, n ahol ( ) α = n α(α )(α 2)... (α n + ), n! ( ) α =. 0 7

8 64. A binomiális sorfejtést használva határozza meg az f(x) = + x függvény a = 0 pont körüli Taylor-sorának els 4 tagját. A megfelel függvények binomiális sorfejtését felhasználva adjon becslést a következ kre A binomiális sor segítségével becsülje meg /2 0 3 x 2 + dx értékét. Fourier-sor Az f ( π, π) intervallumon integrálható függvény Fourier-sora f(x) a a n cos nx + b n sin nx, ahol és a n = π b n = π π π π π f(x) cos nx dx, n = 0,, 2,... f(x) sin nx dx, n =, 2,... Tétel. (Parseval-formula) Ha az f függvény négyzetesen integrálható a ( π, π) intervallumon, akkor π π ( ( a 2 0 f(x) 2 + a n cos nx + b n sin nx)) dx 0, (n ), továbbá érvényes az úgynevezett Parseval-formula: π f 2 (x) dx = a2 0 π π 2 + (a 2 n + b 2 n). 7. Adja meg az f(x) = x függvény Fourier-sorát, majd ennek segítségével számítsa ki a sor összegét. n 2 8

9 72. Határozza meg az f(x) = sgn x függvény Fourier-sorát. 2. Dierenciálegyenletek Oldja meg a következ szétválasztható változójú dierenciálegyenleteket, illetve kezdetiérték problémákat. Szétválasztható változójú dierenciálegyenlet. A h(y)y = g(x) típusú egyenletet szétválasztható változójú dierenciálegyenletnek nevezzük. 73. y = x y 74. xyy = x y = + y y tan x = y 77. y + yx x 78. xy = y 2 y 79. x 2 y + y = 2xy 80. y (x + 3) y + = 0 y( ) = 0 8. y y sin x = 0 y(π) = xy + y = y 2 y() = yy cos x = tan x y(π) = A rádium bomlási sebessége arányos a pillanatnyi rádiummennyiséggel. Ha a bomlás következtében a rádium mennyisége kereken 600 év alatt a felére csökken, a kiindulási anyag mennyiségének hány százaléka bomlik el 00 év alatt? Oldja meg a következ homogén fokszámú dierenciálegyenleteket. 9

10 Homogén fokszámú dierenciálegyenlet. Az y = f ( y x), illetve y = f ( ) x y alakú egyenleteket változóiban homogén fokszámú dierenciálegyenletnek nevezzük. Az els esetben az u = y/x, a másodikban a v = x/y helyettesítést elvégezve az u + xu = f(u), illetve v xv = g(v)v 2 szétválasztható változójú dierenciálegyenlethez jutunk. 85. xy = 2y + x 86. y y x = x2 87. x y + xy = xe y x + y xy = x 2 y = 2xy y y = x + y x y 9. x 2 y 2 + 2xyy = 0 Oldja meg a következ els rend lineáris dierenciálegyenleteket. Lineáris dierenciálegyenlet. Az y + p(x)y = q(x) alakú egyenletet lineáris dierenciálegyenletnek nevezzük. Ha q(x) = 0, akkor a lineáris dierenciálegyenletet homogénnek, különben inhomogénnek nevezzük. Tétel. Az inhomogén lineáris dierenciálegyenlet általános megoldását az y IH = y H + y p összefüggés szolgáltatja, ahol y H = cf(x) a homogén egyenlet megoldása, y p az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. Konstansvariáció. Az inhomogén egyenlet y p partikuláris megoldását y p = c(x)f(x) alakban keressük, melyet az eredeti egyenletbe visszahelyettesítve c(x)-re a következ egyenletet kapjuk c (x)f(x) = q(x). 0

11 92. y + yx x = y y x = x2 94. y xy = x y + y = e x 96. xy y x + = x 97. xy + y = x ln x 98. y cos x + y sin x = 99. (x + )y y = 3x 4 + 4x 3 Határozza meg F (F )-et, ha, Laplace-transzformáció. Az f függvény Laplace-transzformáltja: L[f](s) := Deriváltakra vonatkozó szabályok: 0 f(x)e sx dt. L[f ] = sl[f] f(0), L[f ] = s 2 L[f] sf(0) f (0). 00. F (s) = 2 s 3 0. F (s) = 3 s F (s) = s s 2 2s F (s) = 7s s 2 + 3s F (s) = 3 s 6 + 6s s F (s) = 2s + s(s )(s + 2) Oldja meg a következ kezdetiérték problémákat Laplace-transzformáció segítségével. 06. y y 2y = 0 y(0) = y 2y + 5y = 8e x y(0) = 2 y (0) = 5 y (0) = y 4y + 5y = 4e 3x y(0) = y + 2y + 5y = 3e x sin x y(0) = 0 y (0) = 7 y (0) = 3 0. y + 4y = e x cos x y(0) =. y 4y = 3e x y(0) = y (0) = 0 y (0) = 5

12 3. Többváltozós valós függvények Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát. 2. f(x, y) = x 3. f(x, y) = ln ( + y) 4. x y 6. f(x, y) = y 2y + y 2 x 5. f(x, y) = x 2 + y f(x, y) = sin x cos y 8. f(x, y) = y sin x 9. f(x, y) = x 2 + y 2 Határozza meg a következ határértékeket. Derékszög és polárkoordináta-rendszer kapcsolata. x = r cos ϕ r = x 2 + y 2 y = r sin ϕ tan ϕ = y x 20. xy 2 lim (x,y) (2, ) x 2 + y 4 2. sin xy lim (x,y) (0,2) x 22. 2xy y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y lim (x,y) (0,0) xx2 x 2 + y xy 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y x + lim (x,y) (2,) y 26. xy + 2x 3y + lim (x,y) (2,) yx + x xy + 2x 3y + lim (x,y) (,) yx + x Deníció alapján határozza meg a következ függvények parciális dierenciálhányadosait a megadott helyen. 2

13 Parciális derivált. Legyen adott az f : D R 2 R függvény. értelmezve van x 0 = (x 0, y 0 ) D egy környezetében. Ha a Tegyük fel, hogy f f x (x 0) = f x(x 0 ) = f x(x f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) := lim h 0 h határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy f x-szerint parciálisan dierenciálható az x 0 pontban, az f x(x 0 ) értéket pedig az f x 0 pontban vett x-szerinti parciális deriváltjának nevezzük. 28. f(x, y) = xy 2, P (2, 3) 29. f(x, y) = 2x y +, P (2, ) Totális dierenciálhatóság. Legyen adott az f : D R 2 R függvény. Tegyük fel, hogy f értelmezve van x 0 D egy környezetében. Az f függvény (totálisan) dierenciálható az x 0 pontban, ha létezik A = (A, A 2 ) R 2 és a 0 egy V környezetében értelmezett ω : V R függvény úgy, hogy f(x) = f(x 0 ) + A (x x 0 ) + ω(x x 0 ) az x 0 egy környezetében lév minden x pontra, továbbá ω(x x 0 ) lim x x 0 x x 0 = 0. Ekkor az A = (A, A 2 ) R 2 vektort az f függvény x 0 pontban vett gradiensének nevezzük. Jelölés: f(x 0 ) = A. Totális dierenciálhatóság szükséges feltétele. Ha az f : D R 2 R függvény totálisan dierenciálható az x 0 = (x 0, y 0 ) D pontban, akkor mindkét változója szerint parciálisan is dierenciálható, továbbá ( f f(x 0 ) = x (x 0), f ) y (x 0) = ( f x(x 0 ), f y(x 0 ) ). Totális dierenciálhatóság elegend feltétele. Ha az x 0 = (x 0, y 0 ) D pont valamely környezetében az f : D R 2 R függvény mindkét parciális deriváltja létezik, továbbá az x 0 pontban folytonosak, akkor f(x, y) az x 0 pontban totálisan dierenciálható és ( f f(x 0 ) = x (x 0), f ) y (x 0) = ( f x(x 0 ), f y(x 0 ) ). 3

14 30. Deníció szerint mutassa meg, hogy az f(x, y) = x 2 + xy y 2 függvény totális dierenciálható, majd határozza meg a gradiens vektorát és parciális deriváltjait. 3. Határozza meg az f(x, y) = xy függvény parciális deriváltjait és totális dierenciálját az origóban. Határozza meg a következ függvények érint síkjának egyenletét az adott M pontokban. Érint sík egyenlete. Legyen az f(x) függvény dierenciálható az x 0 = (x 0, y 0 ) pontban. A z = f(x 0 ) + f(x 0 )(x x 0 ) egyenlet sík az f függvény (x 0, f(x 0 )) pontbeli érint síkja. 32. f(x, y) = x 2 + xy + 2y 2, M(, 2) 33. f(x, y) = xy 2 2x +, M(0, 4) 34. f(x, y) = x 2 y + 2x 2 y, M(2, ) Határozza meg a következ függvények u irány szerinti deriváltját a megadott P pontban. Irány menti derivált. Legyen adott az f : D R 2 R függvény. Tegyük fel, hogy f értelmezve van x 0 = (x 0, y 0 ) D egy környezetében. Az f függvény x 0 pontban vett u ( u = ) irány szerinti deriváltja az határérték, ha létezik és véges. f u = lim h 0 f(x 0 + hu) f(x 0 ) h Tétel. Ha az f : D R 2 R függvény dierenciálható az x 0 pontban, akkor f bármely u, ( u = ) irány szerint dierenciálható x 0 -ban, és f u(x 0 ) = f(x 0 ) u 35. f(x, y) = x 2 y, P (, ), u(3, 4) ( 36. f(x, y) = x 2 xy, P (, 2), u 3 5, 4 ) 5 4

15 37. f(x, y) = 3xe y2 sin x, P (0, ), u( 2, 2) 38. f(x, y) = x tan y e xy2, P (, 0), u(, ) Határozza meg a következ függvények széls értékeit. Széls érték létezésének szükséges feltétele. Ha az f(x) : D R 2 R függvény dierenciálható az x 0 pontban, és ott lokális széls értéke van, akkor f(x 0 ) = 0. Széls érték létezésének elegend feltétele. Tegyük fel, hogy az f(x) : D R 2 R függvénynek léteznek és folytonosak a másodrend parciális deriváltjai az x 0 pont egy környezetében, továbbá f(x 0 ) = 0. Legyen Ha D(x 0 ) = f xx(x 0 ) f yy(x 0 ) [f xy(x 0 )] 2 D(x 0 ) < 0, akkor x 0 nem lokális széls értékhely; D(x 0 ) > 0 és f xx(x 0 ) > 0 akkor f-nek x 0 -ban lokális minimuma van; D(x 0 ) > 0 és f xx(x 0 ) < 0 akkor f-nek x 0 -ban lokális maximuma van. 39. f(x, y) = (x ) 2 + 2y f(x, y) = y 2 + 2x 2 y + x 2 4. f(x, y) = yx 2 /2 yx + y f(x, y) = x 2 xy + y 2 2x + y 43. f(x, y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y f(x, y) = 2x 2 + y 2 2xy + 4x 2y Egy téglatest egy pontba összefutó éleinek a hossza 2. Mekkorák a lehet legnagyobb ilyen térfogatú téglatest élei? Oldja meg a következ egzakt dierenciálegyenleteket. 5

16 Egzakt dierenciálegyenlet. A P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 egyenletet egzakt dierenciálegyenletnek nevezzük, ha P y = Q x. Ekkor van olyan U(x, y) függvény, melynek totális dierenciálja du = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. 46. (2xy 3)dx + x 2 dy = dx 2 x y + 4 x y 2 dy = 0 x y 48. ( 2xy + ) ( ) x 2 dx + + y + x2 dy = (cos x x sin x + y)dx + (x cos y)dy = 0 Határozza meg az integrálási tartományt és írja fel a határokat a fordított sorrendben történ integráláshoz f(x, y) dy dx 5. 2 x 0 0 f(x, y) dy dx 52. x 2 0 x f(x, y) dy dx /x 0 f(x, y) dy dx Számítsa ki az alábbi kett s integrálokat. 54. D (x2 + 2y) dy dx, ahol D az x = 0 és az x + 2y = 2 egyenlet egyenesek által határolt háromszög x 0 2 /x 0 x 2 x + y dy dx 56. xy dy dx 58. x x 0 x 2 x 2 + 2y dy dx x + y 3 dy dx 6

17 D x2 + y 2 dy dx, ahol D az egység sugarú kör. 2xy D dy dx, ahol D az az origó középpontú körgy r, mely küls körének sugara x 2 +y 2 2, bels körének sugara pedig. 6. Határozza meg az R sugarú gömb térfogatát. 62. Határozza meg az e x2 /2 integrál értékét. 4. Komplex függvénytan Mely pontokban dierenciálhatóak a következ komplex érték függvények? Komplex dierenciálhatóság. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának tolródási pontja. Az f(z) függvényt z 0 pontban dierenciálhatónak nevezzük, ha a határérték létezik és véges. f(z 0 + z) f(z 0 ) lim z 0 z 63. f(z) = zz 64. f(z) = Rez 65. f(z) = z z 2 Igazolja, hogy a következ függvények harmonikusak, majd határozza meg a harmonikus társat. Harmonikus társ keresés. A kétszer folytonosan dierenciálható u(x, y) függvényt harmonikusnak nevezzük, ha teljesíti a Laplace-egyenletet: u xx + u yy = 0. A v(x, y) függvényt az u(x, y) függvény harmonikus társának nevezzük, ha harmonikus és teljesíti a Cauchy-Riemann egyenleteket: u x = v y, u y = v x 7

18 66. u(x, y) = x 2 5xy + 3y y x 3 3xy u(x, y) = x 3 y xy 3 + 2x + 3y Határozza meg a következ kifejezések értékét. Komplex exponenciális és logaritmus függvény. Az Euler-képlet e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ felhasználásával: e z = e z (cos (arg z) + i sin (arg z)), ln z = ln z + i arg z. 69. e iπ 70. e 3+i 7. 2 i 72. ln ( + i) 73. ln ( 3i) 74. ln i 75. i i 76. Határozza meg az (z + 3 2i) dz integrál értékét, ahol L a 2i középpontú, r = L sugarú körnek az A = i, B = 2i pontjait összeköt negyed körív (A B) 77. Határozza meg az (z i) dz integrál értékét, ahol L a i középpontú, r = 2 sugarú L körnek az A = i, B = 3i pontjait összeköt fél körív (A B) 78. Határozza meg az (z i) dz integrál értékét, ahol L a i középpontú, r = 2 sugarú L körnek az A = i, B = 3i pontjait összeköt fél körív (A B) 79. Határozza meg az ( z 2 2i) dz integrál értékét, ahol L az A = 3 i, B = + 2i L pontokat összeköt szakasz 80. Határozza meg az ( z + 3 2i) dz integrál értékét, ahol L az A = i, B = 2i pontokat összeköt szakasz L 8