ANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA

Átírás

1 ANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA matematikatanár szakosok részére (2006/2007) Az els négy félév anyaga 1. Halmazokkal és függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 2. A valós számok 3. Valós számsorozat határértéke I. {A határérték unicitása, a deníciók ekvivalens átfogalmazásai. Sorozatok olyan transzformációi, amelyek nem befolyásolják azt, hogy határértéke létezik (és egyenl A R + -val). Konvergencia és korlátosság, ± -hez tartás és alulról/felülr l való korlátosság (illetve annak hiánya). Határérték és az algebrai alapm veletek, határérték és egyenl tlenségek, (a b n n ) alakú sorozatok határértékepéldákkal, ellenpéldákkal.} 4. Valós számsorozat határértéke II. {Stolz tétele, középsorozatok határértéke, monoton sorozatok határértéke, kiegészítés a Cantoraxiómához és a Cantor-féle közösponttételhez, példák. Számsorozat alsó/fels határértéke, a kett jük közt fennálló egyenl tlenség, a konvergencia két szükséges és elégséges feltétele. Indexsorozat, részsorozat, BolzanoWeierstrass-tétel.} 5. Végtelen sorok 6. Egyváltozós valós függvény folytonossága I. {Folytonosság, illetve szakadás az értelmezési tartomány valamely pontjában, folytonosság és egy oldali folytonosság, a pontbeli folytonosság, illetve szakadás megfogalmazása a függvényhatárérték fogalmának felhasználásával. A folytonosságra vonatkozó átviteli elv és annak kiegészítése, algebrai alapm veletek és folytonosság, kompozíció és folytonosság. Konkrét elemi függvények értelmezése és folytonossága.} 7. Egyváltozós valós függvény folytonossága II. {A szakadási pontok osztályozása, a monoton függvények szakadásai, az inverz folytonossága. Bolzano tétele, Weierstrass tétele, intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. Folytonosság, egyenletes folytonosság és Lipschitz-feltétel. Folytonosság és konvexitás, folytonosság és dierenciálhatóság, folytonosság és integrálhatóság. Függvénysorozat limeszfüggvényének (függvénysor összegfüggvényének) folytonossága. Abel tétele.} 8. Függvényhatárérték I. {A + és a környezetei, pontozott környezetek, (pontozott) egy oldali környezetek. Számhalmaz R-beli torlódási pontja, egy oldali torlódási pontok, és ezek jellemzései. A végtelen számhalmazoknak van, a végeseknek nincs torlódási pontjuk. Függvényhatárérték az értelmezési tartomány torlódási pontjában, függvényhatárérték és sorozat-határérték, határérték és egy oldali határérték, a véges helyen vett véges határérték kifejezése a folytonossággal. A határértékre vonatkozó átviteli elvkiegészítéssel, a határérték létezésére vonatkozó átviteli elv, Cauchy-kritérium.} 9. Függvényhatárérték II. {Határérték és alapm veletek, a határozatlan esetekre vonatkozó példák, határérték és rendezés, monoton függvények egy oldali határértékei, az összetett függvény határértéke. Konkrét

2 nevezetes határértékek, az x (f(x)) g(x) alakú függvények határértékei, a mértani közép, mint a hatványközepek határértéke.} 10. Dierenciálszámítás I. [a dierenciálhatóság fogalma, dierenciálási szabályok] {Különbségihányados-függvény, függvény konvexitásának megfogalmazása a különbségihányados-függvényekkel; pontbeli dierenciálhatóság és egy oldali dierenciálhatóság, pontbeli érint, pillanatnyi sebesség. A pontbeli dierenciálhatóság fogalmának ekvivalens átfogalmazásai, pontbeli dierenciálhatóság és folytonosság, dierenciálható függvény, derivált függvény. Hat dierenciálási szabály (összeg, különbség, szorzat, hányados, kompozíció, inverz) és ezek alkalmazása konkrét elemi függvények deriváltjának meghatározására (az irracionális kitev j hatványfüggvények, a tangens, a kotangens, a hiperbolikus, az arkusz- és az area függvények deriváltja). Pontbeli lokális (szigorú) növekedés és fogyás, a lokális széls érték els rend szükséges feltétele.} 11. Dierenciálszámítás II. [intervallumon értelmezett dierenciálható függvények] {Az intervallumon értelmezett dierenciálható függvények osztályán belül a (szigorúan) monoton növ illetve fogyó függvények jellemzése, a konstans függvények jellemzése. Az intervallumon értelmezett dierenciálható függvények osztályán belül a (szigorúan) konvex illetve konkáv függvények jellemzése. Az intervallumon értelmezett kétszer dierenciálható függvények osztályán belül a (szigorúan) konvex illetve konkáv függvények jellemzése. Az R-en értelmezett dierenciálható függvényekb l képezett (f, g) függvénypárok osztályán belül mely tulajdonságok segítségével azonosítható a (cos, sin) függvénypár? Els rend középértéktételek (Darboux, Rolle, általánosított Rolle, Lagrange, Cauchy, általánosított Cauchy), l'hospital-szabályok.} 12. Dierenciálszámítás III. [n-szer dierenciálható függvények] {Többször dierenciálható függvény, példák, Leibniz-szabály. n-edrendben kicsi függvény, Taylor-polinomok, lokális Taylor-formula (két változatban) és következményei: függvény lokális viselkedése az els, illetve második derivált (többszörös) gyökhelyének közelében. Taylorformula Lagrange-féle maradéktaggal és ennek néhány következménye.} 13. Integrálszámítás I. [a Darboux-féle deníció, integrálhatósági kritériumok, formális tulajdonságok] {A Darboux-féle integrálok bevezetése, s a köztük fennálló egyenl tlenség, a Riemann-integrál Darboux-féle deníciója. Példa nem integrálható korlátos függvényre, példák integrálható függvényre, az oszcillációs összeggel megfogalmazott els integrálhatósági feltétel. Az integrálhatóság két elégséges feltétele. f R[a, b] f R[a, b], f, g R[a, b] fg R[a, b]. Integrálható függvény részintervallumokra való lesz kítéseinek integrálhatósága, az integrál, illetve a Darboux-integrálok intervallum szerinti additivitása. Az oszcillációs összeggel megfogalmazott második integrálhatósági feltétel. A Darboux-integrálok integrandus szerinti monotonitása, integrálok alsó és fels becslései, f integráljának becslései; az integrálszámítás els középértéktétele.} 14. Integrálszámítás II. [a Riemann-féle deníció, az integrál kiszámítása] {Pontozott felbontások, Riemann-féle közelít összegek, az integrál(hatóság) Riemann-féle de- níciója, s annak egyenérték sége a Darboux-félével. Az integrál(hatóság) megfogalmazása sorozatokkal, a CauchySchwarzBunyakovszkij-féle egyenl tlenség integrálokra. R[a, b] vektortér a szokásos függvénym veletekkel, és ezen az f b f függvény homogén lineáris. Primitív a függvény fogalma; primitívfüggvény-keresés parciális integrálással, illetve helyettesítéssel. Racionális törtfüggvények primitív függvényeinek keresése (rövid összefoglaló). NewtonLeibniztétel, integrálok kiszámítása parciális integrálással, illetve helyettesítéssel.} 2

3 15. Integrálszámítás III. [alkalmazások] {A Wallis-formula és a Stirling-formula. Integrálható f : [a, b] [0, + ) függvény grakonja alatti síkidom területe, körcikk területe [CS II ]. Szektorszer tartomány területe [CS II ]. Forgástestek térfogata [CS II ]. Az ívhosszképlet [az ötödik félév anyaga]. Szétválasztható változójú, illetve els rend lineáris dierenciálegyenletek, másodrend lineáris dierenciálegyenletek.} 16. Integrálszámítás IV. [integrálfüggvények, improprius integrál] {Az integrálfüggvény fogalma és folytonossága. Az integrálfüggvények dierenciálhatósága, (integrál kiszámítása helyettesítéssel,) elégséges feltétel primitív függvény létezésére, a primitív függvények halmazának és az integrálfüggvények halmazának kapcsolata. Az integrál(hatóság) fogalmának kiterjesztése olyan f függvényekre, amelyekre D(f) [a, b], és az [a, b] \ D(f) halmaz véges; félig zárt intervallumon értelmezett függvény integrálhatósága. Lokálisan integrálható függvény integrálfüggvényei, improprius integrálhatóság fogalma, példák, a végtelen sorokra vonatkozó integrálkritérium. Az improprius integrálhatóság Cauchy-féle feltétele, két példa az alkalmazására. Improprius integrál abszolút konvergenciája, majoráns kritérium, x exp( x 2 ).} 17. Függvénysorozatok, függvénysorok {Függvénysorozat, illetve függvénysor konvergenciahalmaza, limeszfüggvény és összegfüggvény, példákköztük példa olyan folytonos függvényekb l álló függvénysorozatra, amelynek limeszfüggvénye nem folytonos; egyenletes konvergencia fogalma, példa folytonos függvényeknek az azonosan nulla függvényhez konvergáló nem egyenletesen konvergens sorozatára. Az egyenletes konvergencia kétféle átfogalmazása, függvénysor egyenletes konvergenciája, majoráns kritérium. Elégséges feltétel egy valamely pontban folytonos függvényekb l álló sorozat limeszfüggvényének az adott pontbeli folytonosságára; ellenpéldák limeszfüggvény integrálhatóságával, illetve integráljával kapcsolatban. Elégséges feltétel R[a, b]-beli sorozat limeszfüggvényének integrálhatóságára, továbbá a határértékképzés és integrálás sorrendjének felcserélhet ségére. Limeszfüggvény dierenciálhatósága, a határértékképzés és dierenciálás sorrendjének felcserélhet sége.} 18. Hatványsorok {A CauchyHadamard-tétel (beleértve az egyenletes konvergenciára vonatkozó kiegészítést is), példák. Hatványsor összegfüggvényének dierenciálhatósága, Taylor-sor, illetve Taylor-sorba fejthet ség fogalma. Példák: exp, cos, sin, ch, sh, x 1/(1 x). Abel folytonossági tétele. A binomiális hatványsor. Az ln függvény 1 körüli, illetve az arctg és az arcsin függvény 0 körüli Taylor-sorának összegfüggvénye.} 19. Metrikus terek I. [metrikus tér, normált tér, konvergencia metrikus térben] {Metrika, metrikus tér, gömbök, pontsorozat határértéke metrikus térben, norma, normált tér. R mint metrikus tér, R m, a korlátos függvények tere(i), diszkrét metrikus tér, néhány további példa metrikus (ill. normált) térre, altér és szorzattér, a konvergencia jelentése ezekben a terekben. Cauchy-sorozat, teljes metrikus tér, példák, Banach-féle xponttétel. Ekvivalens metrikák, ekvivalens normák.} 20. Metrikus terek II. [továbbimetrikus terekkel kapcsolatosfogalmak] {Halmaz bels, küls, illetve határpontja, torlódási pont, izolált pont, halmaz lezártja. Nyílt halmaz, zárt halmaz, két-két olyan halmazm velet, amelyek nem vezetnek ki a nyílt, illetve a zárt halmazok osztályából. Korlátos halmazok, sorozatkompakt halmazok, az utóbbiak vizsgálata külön az R m térben is.} 3

4 21. Metrikus térb l metrikus térbe képez függvények folytonossága, illetve határértéke 22. Integrálszámítás V. [többváltozós függvények integrálja, Jordan-mérték] Az ötödik félév anyaga R m -b l R n -be képez függvény dierenciálhatósága; dierenciálhatóság, iránymenti dierenciálhatóság és folytonosság; a derivált unicitása. Egyszer példák. Dierenciálhatóság (derivált) és a koordinátafüggvények dierenciálhatósága (deriváltja). Parciális deriváltak, Jacobi-mátrix, gradiens vektor, érint sík. Dierenciálható leképezések lineáris kombinációi dierenciálhatók. A dierenciálhatóság fogalmának átfogalmazása a valós változós vektorérték függvények esetén; sebességvektor, gyorsulásvektor. Komplex dierenciálhatóság és annak kapcsolata a közönséges dierenciálhatósággal. Az összetett függvény dierenciálhatósága, deriváltja, Jacobi-mátrixa. Lagrange-becslés valós változós vektorérték függvényekre, a középértéktétel nem érvényes. Lineáris leképezés normája, Lagrange-becslés az általános esetben, középértéktétel számérték függvényekre. A parciális derivált függvényekkel kifejezett elégséges feltétel a dierenciálhatóságra; folytonos dierenciálhatóság. Metrikus tér összefügg részhalmazai, R m -beli nyílt halmaz komponensei, összefügg sége, töröttvonalszer összefügg sége. Szükséges és elégséges feltétel tartományon értelmezett függvény konstans voltára. Véges dimenziós vektortér normáinak ekvivalenciája. Lineáris leképezések folytonossága. Folytonos bilineáris leképezések. A dierenciálhatóság fogalmának újabb általánosítása, néhány egyszer példa dierenciálható leképezésre. Kétszer dierenciálható f : R m R függvény; ekvivalens átfogalmazás. A másodrend parciális deriváltak. Bilineáris b: R m R m R függvény mátrixa, a Hesse-féle mátrix. A második dierenciál fogalma. Young tétele. Másodrendben kicsi függvény, elégséges feltétel. Másodrend lokális Taylorformula. Többváltozós függvény széls értékére vonatkozó szükséges, illetve elégséges feltételek. Az R m -beli sima utakkal, illetve irányított görbékkel kapcsolatos alapfogalmak. Ívhossz fogalma és kiszámítása Riemann-integrál segítségével. A munka zikai fogalma; integrálás sima út mentén, illetve irányított görbe mentén. A vonalintegrál kiszámítása. Vonalintegrál összeggörbe mentén, illetve ellentett görbe mentén. A vonalintegrál integrandus szerint linearitása, a vonalintegrál triviális becslése. Primitív függvény fogalma, álalánosított NewtonLeibniz-tétel. Paraméteres integrálok fogalma, elégséges feltétel paraméteres integrál folytonosságára, illetve folytonos dierenciálhatóságára. A primitív függvény létezésének szükséges és elégséges feltételei: az útfüggetlenség, illetve a zárt görbék mentén vett vonalintegrálok eltünése. A primitív függvény létezésének elégséges feltétele csillagszer nyílt halmazon értelmezett folytonosan dierenciálható függvény esetén. 4

5 ANALÍZIS SZIGORLATI TÉTELJEGYZÉK matematikatanár szakosok részére (2006/2007) Az els négy félév anyaga 1. Halmazokkal és függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 2. A valós számok 3. Valós számsorozat határértéke I. 4. Valós számsorozat határértéke II. 5. Végtelen sorok 6. Egyváltozós valós függvény folytonossága I. 7. Egyváltozós valós függvény folytonossága II. 8. Függvényhatárérték I. 9. Függvényhatárérték II. 10. Dierenciálszámítás I. [a dierenciálhatóság fogalma, dierenciálási szabályok] 11. Dierenciálszámítás II. [intervallumon értelmezett dierenciálható függvények] 12. Dierenciálszámítás III. [n-szer dierenciálható függvények] 13. Integrálszámítás I. [a Darboux-féle deníció, integrálhatósági kritériumok, formális tulajdonságok] 14. Integrálszámítás II. [a Riemann-féle deníció, az integrál kiszámítása] 15. Integrálszámítás III. [alkalmazások] 16. Integrálszámítás IV. [integrálfüggvények, improprius integrál] 17. Függvénysorozatok, függvénysorok 18. Hatványsorok 19. Metrikus terek I. [metrikus tér, normált tér, konvergencia metrikus térben] 20. Metrikus terek II. [további metrikus terekkel kapcsolatos fogalmak] 21. Metrikus térb l metrikus térbe képez függvények folytonossága, illetve határértéke 22. Integrálszámítás V. [többváltozós függvények integrálja, Jordan-mérték]

6 Az ötödik félév anyaga 1. R m -b l R n -be képez függvény dierenciálhatósága; dierenciálhatóság, iránymenti dierenciálhatóság és folytonosság; a derivált unicitása. Egyszer példák. 2. Dierenciálhatóság (derivált) és a koordinátafüggvények dierenciálhatósága (deriváltja). Parciális deriváltak, Jacobi-mátrix, gradiens vektor, érint sík. 3. Dierenciálható leképezések lineáris kombinációi dierenciálhatók. Dierenciálható valós változós függvények, sebességvektor, gyorsulásvektor; komplex dierenciálhatóság. 4. Az összetett függvény dierenciálhatósága, deriváltja, Jacobi-mátrixa. 5. Lagrange-becslés valós változós vektorérték függvényekre, a középértéktétel nem érvényes. 6. Lineáris leképezés normája, Lagrange-becslés az általános esetben, középértéktétel számérték függvényekre. 7. A parciális derivált függvényekkel kifejezett elégséges feltétel a dierenciálhatóságra; folytonos dierenciálhatóság. 8. Metrikus tér összefügg részhalmazai, R m -beli nyílt halmaz komponensei, összefügg sége, töröttvonalszer összefügg sége. Szükséges és elégséges feltétel tartományon értelmezett függvény konstans voltára. 9. Véges dimenziós vektortér normáinak ekvivalenciája. 10. Lineáris leképezések folytonossága. 11. Folytonos bilineáris leképezések. A dierenciálhatóság fogalmának újabb általánosítása, néhány egyszer példa dierenciálható leképezésre. 12. Kétszer dierenciálható f : R m R függvény; ekvivalens átfogalmazás. 13. A másodrend parciális deriváltak. Bilineáris b: R m R m R függvény mátrixa, a Hesse-féle mátrix. A második dierenciál fogalma. 14. Young tétele. 15. Másodrendben kicsi függvény, elégséges feltétel. Másodrend lokális Taylor-formula. 16. Többváltozós függvény széls értékére vonatkozó szükséges, illetve elégséges feltételek. 17. Az R m -beli sima utakkal, illetve irányított görbékkel kapcsolatos alapfogalmak. 18. Ívhossz. 19. A munka zikai fogalma; integrálás sima út mentén, illetve irányított görbe mentén. A vonalintegrál kiszámítása. Vonalintegrál összeggörbe mentén, illetve ellentett görbe mentén. 20. A vonalintegrál integrandus szerint linearitása, a vonalintegrál triviális becslése. Primitív függvény fogalma, álalánosított NewtonLeibniz-tétel. 21. Paraméteres integrálok. 22. A primitív függvény létezésének szükséges és elégséges feltételei. A primitív függvény létezésének elégséges feltétele.