1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

Átírás

1 Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7 j egyenletet a komplex számok halmazán! 8 pont + j Adja meg az eredményt mindhárom alakban! Ábrázolja a megoldásokat a komplex számsíkon! z + z + (5 + j (8 + j + j + j + j z + = + 7j = + 7j = ( + 5j (7 j z = 7j = 7(cos 90 + j sin90 z = (cos 0 + j sin 0 = + j = e π 6 j (cos 50 + j sin50 = + j = e 5π 6 j (cos 70 + j sin70 = j = e π j. Adottak az A(,,, B(,,, C( 5,, pontok a térben. Számítsa ki az ABC pontok által meghatározott háromszög (a kerületét; k = AB + AC + BC = ,75 pont (b területét; AB AC = i j k = i + j k 6 t = AB AC = = 6,5 (c C csúcsánál lévő szögét! cos γ = CA CB CA CB = 5 0,89 γ, pont pont (d Adjon meg egy a háromszög síkjára merőleges egységvektort! Két ilyen vektor van, ezek bármelyike jó megoldásnak: e = AB AC AB e = AC = ( AB AC AB AC = (,,,, pont. Adott az f(x = (x e x egyváltozós valós függvény.

2 (a Végezzen teljes függvényvizsgálatot, és rajzolja fel a függvény grafikonját! 0 pont D f = R f(x = 0 x = f(0 = A grafikon az x-tengelyt az x =, az y-tengelyt az y = pontban metszi. e = f( { f( = e f( = e A függvény nem páros, nem páratlan. lim (x x x e x = 0 = lim x e x = lim x e x = 0+ lim (x x e x = = f (x = e x (x e x = e x ( x + = 0 x = < x x < f + 0 f ր lok. max. ց f-nek lokális maximuma van az x = helyen, és ennek értéke: f = e 0,79 (b Számítsa ki az f (x = e x ( x + e x = e x (x 7 = 0 x = < x x < 7 f 0 + f infl. A függvénynek inflexiója van az x = 7 helyen. A függvény grafikonjának ábrázolását az olvasóra bízzuk. R f = ],e ] (x e x dx határozott integrál értékét, 5 pont és ábrázolja ill. értelmezze a jelentését! Parciális integrálással: (x e x dx = (x e x + e x dx = e x ( x + C Ennek felhasználásával: (x e x dx = [ e x ( x ] 0,56 [ Ez a függvény-grafikon és az x-tengely közötti síkrész területe a ], intervallumon. Az ábrázolást az olvasóra bízzuk.

3 (c Határozza meg az x 0 = 0 helyen a függvény grafikonjához húzható érintő egyenes egyenletét! pont e(x = f(x 0 + f (x 0 (x x 0 = f(0 + f (0 (x 0 = + x = x. Határozza meg az y y + y = x 6 differenciálegyenlet általános megoldását! 0 pont Adja meg a differenciálegyenlet egy olyan y p partikuláris megoldását, amelyre y p (0 = 0 teljesül! Y Y + Y = 0 Y = e x (C cos x + C sinx y p = Ax + Bx + C y p = x + x y = Y + y p = e x (C cos x + C sin x + x + x y(0 = (C + 0 = C = 0 C = y p = e x (cos x + C sin x + x + x (a diffegyenlet ált. megoldása (a kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás; C R tetszőleges 5. Adott az f(x,y = x y xy kétváltozós valós függvény. (a Határozza meg és ábrázolja a függvény értelmezési tartományát! D f = { (x,y R x 0, y 0 } pont Az ábrázolást az olvasóra bízzuk. (b Határozza meg a függvény első- és másodrendű parciális deriváltfüggvényeit! f x(x,y = xy y(x y (xy = x 6 pont f y(x,y = xy x(x y (xy = y f xx(x,y = x, f xy(x,y = 0, f yx(x,y = 0, f yy(x,y = y (c Határozza meg az x y xy dxdy = f(x, y dx dy kettős integrál értékét! ( y x dx dy = = [ln y y ln ] = (ln ln (0 ln = 0 [ ] x ln x dy = y y ln dy = 6 pont 6. (a Magyarországon az emberek 5%-a beszél angolul. Egy vizsgálat során 0 véletlenszerűen kiválasztott embert megkérdeztek, hogy tud-e angolul. i. Mennyi a valószínűsége, hogy a megkérdezettek közül pontosan 5-en beszélnek angolul? pont Nem kell szélsőérték-vizsgálatot végezni! A nevezett eseményt A-val jelölve: P(A = 0 0,5 5 0,85 5 0,08 5

4 ii. Mennyi a valószínűsége, hogy a várhatónál kevesebben beszélnek közülük angolul? pont Binomiális eloszlásról lévén szó : M(ξ = np = 0 0,5 = Ezt felhasználva, a nevezett eseményt B-vel jelölve: P(B = 0,5 0 0, ,5 0, ,5 0,85 8 0,08 0 (b A félliteres üvegekbe töltött sör mennyisége 0,5 (liter várható értékű, (liter szórású valószínűségi változónak tekinthető. i. Mennyi a valószínűsége, hogy az üvegbe töltött sör mennyisége pont 0,8 és 0,5 liter között van? ( 0,5 0,5 P(0,8 < ξ < 0,5 = F(0,5 F(0,8 = Φ = Φ(0, Φ( 0, = Φ(0, 0,655 = 0,08 ii. Mennyi a valószínűsége, hogy a sör kicsordul az üvegből, Φ 0,8 0,5 = pont ha az üveg űrtartalma 0,5 liter? 0,55 0,5 P(ξ > 0,55 = P(ξ < 0,55 = F(0,55 = Φ = Φ( 0,8 = 0,587 ELMÉLETI JELLEGŰ KÉRDÉSEK 7. Adjon meg egy olyan z komplex számot, amelyre teljesül, hogy z < z! pont Minden olyan z komplex szám jó, amelyre 0 < z < teljesül. (Célszerű trigonometrikus alakban gondolkodni. Pl.: z = (cos 0 + j sin 0 8. Határozza meg c értékét úgy, hogy az a n = ( + n sorozat határértéke cn e legyen! ( lim + n [( = lim + cn ] n cn = ( e c = e 6 c c = 6 n cn n cn pont 9. Döntse el, melyik a valószínűbb a következő két esemény közül: pont A= Egy pénzdarabot -szor feldobva a dobások között pontosan két fej lesz; B= Egy dobókockát -szor feldobva a dobások között lesz (legalább két egyforma. P(A = 8 = 0,75 < P(B = = 0 6 = 0, 0. Adjon meg egy olyan egyváltozós valós f függvényt, amelyik páros, és amelyre pont f(x < 0 teljesül minden x D f esetén! Pl.: f(x = x

5 . Mi a hiba az alábbi számolásban? pont mert t cos t ( s + = s + és (cos t = sin t sin t s + = s + Előbb kell a cos t függvény Laplace-transzformáltját venni, és csak utána deriválni.. Adottak az a(,, és b(c, 6, c vektorok. pont Határozza meg c értékét úgy, hogy a b teljesüljön! a b = c + c = 0 c =