1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

Átírás

1 . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis konvergens, ha bármely ε > 0 esetén van olyan N(ε) küszöbindex, hogy minden n > m > N(ε) esetén n k=m+ a k < ε.. n 2. ( ) n n 3. n 2 Határozza meg a következő végtelen sorok összegét. Sorösszeg meghatározása parciális törtekre bontás módszerével. Meghatározandó a p (n + r)(n + s) sor összege. A sor n-edik tagjára p (n + r)(n + s) = p s r s r (n + r)(n + s) = p ( s r n + r ). n + s Ekkor a sor n-edik részletösszege s n = n k= p n (k + r)(k + s) = k= p s r s r (k + r)(k + s) = p s r ahol a jobboldali összeg teleszkopikus, így s n határértéke kiszámítható. n k= ( k + r ), k + s Tétel. (Geometriai sor összege) Ha q <, akkor a q n sor konvergens, és q n = q n(n + ) 3 n 2 + 5n n 2 + 3n + 2 log ( n ) n 2 + 3n ( ) 2 n 5

2 0. 3 2n+2 5 n 3 n n+4 3 n 5 n n+2 5 n 3 2n n+ + 3 n 5 n n + 2 n+ 4 n+3 5. ( 2) n+ 2 2n 3 Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából valamelyik összehasonlító kritériumot használva. Tétel. (Majoráns, minoráns kritérium) Ha a a n és a b n pozitív tagú sorok tagjaira véges sok indextől eltekintve érvényes az a n b n egyenlőtlenség, akkor (i) ha b n konvergens, akkor a n is konvergens, és (ii) ha a n divergens, akkor b n is divergens. Tétel. Ha a n, b n > 0 minden n N esetén és a n lim = L > 0, n b n akkor a a n és b n sorok közül vagy mindkettő divergens vagy mindkettő konvergens. 6. ( n ) ( ) 2 n n n + 3 n 2 2n n + 5 3n n(n + ) (3n ) n + 3 n 2 n n 2 n n 3 5 n sin π n A hányados-, illetve gyökkritériumot használva vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. 2

3 Tétel. (Gyökkritérium) Legyen (a n ) pozitív tagú sorozat, ekkor ha <, akkor a a n sor konvergens; lim n an >, hakkor a a n sor divergens; n =, akkor a a n lehet konvergens is, és divergens is. Tétel. (Hányadoskritérium) Legyen (a n ) pozitív tagú sorozat, ekkor ha a <, akkor a a n sor konvergens; n+ lim >, hakkor a a n a n sor divergens; n =, akkor a a n lehet konvergens is, és divergens is n ( 2) n 27. ( ) n + n 28. 2n e n n n+ n n 2 n 3n + n 3 + n n! 2 n + ( 2 n + n) n n n! n! n n (2n ) n Tétel. (Integrálkritérium) Legyen j N rögzített és f : [j, ) R folytonos, monoton csökkenő és pozitív. Ekkor a n=j f(n) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha az j f(x) dx improprius integrál konvergens. Ekkor j f(x) dx f(n) n=j j f(x) dx, illetve j f(x) dx f(n) f(j) + n=j j f(x) dx. 36. Az integrálkritériumot használva igazolja, hogy a becslést az összegére. n 2 sor konvergens, és adjon 3

4 37. Az integrálkritériumot használva igazolja, hogy a becslést az összegére. n 2 sor konvergens, és adjon + 5 A Leibniz kritériumot használva vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia, illetve abszolút konvergencia szempontjából. Tétel. (Leibniz-kritérium) Ha az (a n ) pozitív tagú szigorúan monoton csökkenő ( 0 < a n+ < a n ) sorozatra lim n a n = 0, akkor a ( ) n a n sor konvergens. Tétel. Abszolút konvergens sor konvergens ( ) n 2n ( ) n n 3 n n 39. ( ) n 3n + n ( ) n n + 2 n ( ) n 2n 3 n + 2 Határozza meg a következő hatványsorok konvergenciatartományát. Tétel. (Cauchy-Hadamard) A a nx n hatványsor konvergenciasugara ϱ, ahol ϱ = lim n an = lim a n+ n n a n, amennyiben a fenti határérték létezik és véges. Ha a határérték végtelen, akkor a konvergenciasugár 0, ha a határérték 0, akkor a konvergenciasugár végtelen. 43. x n n2 n 44. (n + ) 5 x 2n 2n n2 x n 46. (x + 3) n n n x n n! 48. (x 3) n n 2 2 n Határozza meg a következő függvények Taylor-sorát a megadott pontok körül. 4

5 Taylor-sor. Legyen az f : I R függvény akárhányszor differenciálható a 0-t is tartalmazó nyitott I intervallumon. A f (k) (0) x k k! hatványsort az f függvény Taylor-sorának nevezzük. Taylor-formula. Ha az f : I R függvény (n + )-szer folytonosan differenciálható a 0-t is tartalmazó I intervallumon, akkor minden x I esetén ahol f(x) = valamely 0 és x közötti c számra. k=0 f (k) (0) x k + R n+ (x), k! R n+ (x) = f n+ (c) (n + )! xn+ Tétel. Ha a a nx n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon, és f(x) = a nx n, x ( c, c), akkor az f függvény Taylor-sora a nx n, azaz f (n) (0) = a n n! (n {0,, 2,...}) 49. f(x) = x 2, x 0 = f(x) = x, x 0 = 2 5. f(x) = + x 2, x 0 = f(x) = + 2x, x 0 = 53. f(x) = sin x, x 0 = Határozza meg az f(x) = e x függvény 0 körüli Taylor-sorának első három tagját, majd ennek segítségével becsülje az integrált. 0 e x dx 5

6 55. Határozza meg az f(x) = e x2 /2 függvény x 0 = 0 körüli Taylor sorának első négy tagját, majd ennek segítségével adjon becslést az határozott integrálra. 2π e x2 /2 dx Tétel. Legyen a a nx n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon. Definiáljuk az f : ( c, c) R függvényt a következőképpen: Ekkor a f(x) := a n x n. (n + )a n+ x n = a + 2a 2 x + 3a 3 x hatványsor is konvergens a ( c, c) intervallumon, az f függvény differenciálható a ( c, c) intervallumon, és f (x) = (n + )a n+ x n. (x ( c, c)). Tétel. Legyen a a n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon. Definiáljuk az f : ( c, c) R függvényt a következőképpen: Ekkor a f(x) := a n x n. a n n + xn+ = a 0 x + a 2 x2 + a 2 3 x hatványsor is konvergens a (-c,c) intervallumon, az f függvény folytonos a ( c, c) intervallumon, és f(x) dx = a n n + xn+ (x ( c, c)). 6

7 Tétel. Legyen a a nx n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon, és legyen f(x) = a n x n, ha x ( c, c). Ha az f függvény kiterjeszthető a ( c, c] intervallumra úgy, hogy c-ben folytonos legyen, akkor a a nx n hatványsor konvergens c-ben is, és f(c) = a n c n. 56. Határozza meg az f(x) = ln ( x) függvény Taylor-sorát az a = 0 pont körül, és ezt felhasználva határozza meg a ( ) n+ n = sor összegét. 57. Határozza meg az f(x) = arctan x függvény Taylor-sorát az a = 0 pont körül, és ezt felhasználva határozza meg a sor összegét. ( ) n+ 2n + = Határozza meg az f(x) = ( + x) ln ( + x) függvény Taylor-sorát az a = 0 pont körül, és ezt felhasználva határozza meg a sor összegét. n=2 ( ) n+ n 2 n = Tétel. (Binomiális sorfejtés) Ha x <, akkor ( + x) α = ( ) α x n, n ahol ( ) α = n α(α )(α 2)... (α n + ), n! ( ) α =. 0 7

8 59. A binomiális sorfejtést használva határozza meg az f(x) = + x függvény a = 0 pont körüli Taylor-sorának első 4 tagját. A megfelelő függvények binomiális sorfejtését felhasználva adjon becslést a következőkre A binomiális sor segítségével becsülje meg /2 0 3 x 2 + dx értékét. Fourier-sor Az f ( π, π) intervallumon integrálható függvény Fourier-sora ahol és f(x) a a n cos nx + b n sin nx, a n = π b n = π π π π π f(x) cos nx dx, n = 0,, 2,... f(x) sin nx dx, n =, 2,... Tétel. (Parseval-formula) Ha az f függvény négyzetesen integrálható a ( π, π) intervallumon, akkor π π ( ( a 2 0 f(x) 2 + a n cos nx + b n sin nx)) dx 0, (n ), továbbá érvényes az úgynevezett Parseval-formula: π f 2 (x) dx = a2 0 π π 2 + (a 2 n + b 2 n). 64. Adja meg az f(x) = x függvény Fourier-sorát, majd ennek segítségével számítsa ki a sor összegét. n Határozza meg az f(x) = sgn x függvény Fourier-sorát. 8

9 2. Differenciálegyenletek Oldja meg a következő szétválasztható változójú differenciálegyenleteket, illetve kezdetiérték problémákat. Szétválasztható változójú differenciálegyenlet. Az y = g(x)h(y) típusú egyenletet szétválasztható változójú differenciálegyenletnek nevezzük. 66. y = x y 67. xyy = x y = + y y tan x = y 70. y + yx x 7. xy = y 2 y 72. x 2 y + y = 2xy 73. y (x + 3) y + = 0 y( ) = y y sin x = 0 y(π) = xy + y = y 2 y() = yy cos x = tan x y(π) = A rádium bomlási sebessége arányos a pillanatnyi rádiummennyiséggel. Ha a bomlás következtében a rádium mennyisége kereken 600 év alatt a felére csökken, a kiindulási anyag mennyiségének hány százaléka bomlik el 00 év alatt? Oldja meg a következő homogén fokszámú differenciálegyenleteket. 9

10 Homogén fokszámú differenciálegyenlet. Az y = f ( y x), illetve y = f ( ) x y alakú egyenleteket változóiban homogén fokszámú differenciálegyenletnek nevezzük. Az első esetben az u = y/x, a másodikban a v = x/y helyettesítést elvégezve az u + xu = f(u), illetve v xv = g(v)v 2 szétválasztható változójú differenciálegyenlethez jutunk. 78. xy = 2y + x 79. y y x = x2 80. x y + xy = 0 8. xe y x + y xy = x 2 y = 2xy y y = x + y x y 84. x 2 y 2 + 2xyy = 0 Oldja meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket. Lineáris differenciálegyenlet. Az y + p(x)y = q(x) alakú egyenletet lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Ha q(x) = 0, akkor a lineáris differenciálegyenletet homogénnek, különben inhomogénnek nevezzük. Tétel. Az inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldását az y IH = y H + y p összefüggés szolgáltatja, ahol y H = cf(x) a homogén egyenlet megoldása, y p az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. Konstansvariáció. Az inhomogén egyenlet y p partikuláris megoldását y p = c(x)f(x) alakban keressük, melyet az eredeti egyenletbe visszahelyettesítve c(x)-re a következő egyenletet kapjuk c (x)f(x) = q(x). 0

11 85. y + yx x = y y x = x2 87. y xy = x y + y = e x 89. xy y x + = x 90. xy + y = x ln x 9. y cos x + y sin x = 92. (x + )y y = 3x 4 + 4x 3 Oldja meg a következő konstans együtthatójú másodrendű differenciálegyenleteket. Másodrendű konstans együtthatós differenciálegyenlet. Az () y + ay + by = 0 alakú egyenletet homogén másodrendű konstans együtthatós differenciálegyenletnek nevezzük. A λ 2 + aλ + b = 0 egyenletet az () alatti differenciálegyenlet karakterisztikus egyenletének nevezzük. Ennek megoldását jelölje λ, λ 2 C. Ekkor az egyenlet megoldása y = c e λ x + c 2 e λ 2x, y = c e λ x + c 2 xe λ x, y = e p (c cos qx + c 2 sin qx), ha λ λ 2 és λ, λ 2 R ha λ = λ 2 és λ R ha λ = p + qi és λ 2 = p qi Tétel. Az y + ay + by = q(x) inhomogén másodrendű konstans együtthatós differenciálegyenlet megoldása y IH = y H + y p, ahol y H a homogenizált egyenlet megoldása, y p pedig egy partikuláris megoldás. 93. y + 5y + 4y = y + 5y + 4y = 2x y + 5y + 4y = 3e x 96. y + y 5y = cos 2x 97. y 3y + 2y = e x 98. y + 4y = 2 sin x

12 99. Oldja meg a következő kezdetiérték problémát y 4y + 5y = 0 y (0) = 3 y(0) = 2 3. Többváltozós valós függvények Határozza meg a következő függvények értelmezési tartományát. 00. f(x, y) = x 0. f(x, y) = ln ( + y) 02. x y 04. f(x, y) = y 2y + y 2 x 03. f(x, y) = x 2 + y f(x, y) = sin x cos y Határozza meg a következő határértékeket. Derékszögű és polárkoordináta-rendszer kapcsolata. x = r cos ϕ r = x 2 + y 2 y = r sin ϕ tan ϕ = y x 06. xy 2 lim (x,y) (2, ) x 2 + y sin xy lim (x,y) (0,2) x 08. 2xy y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y lim (x,y) (0,0) xx2 x 2 + y 2 0. xy 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 4. x + lim (x,y) (2,) y 2. xy + 2x 3y + lim (x,y) (2,) yx + x 2 3. xy + 2x 3y + lim (x,y) (,) yx + x Definíció alapján határozza meg a következő függvények parciális differenciálhányadosait a 2

13 megadott helyen. Parciális derivált. Legyen adott az f : D R 2 R függvény. Tegyük fel, hogy f értelmezve van x 0 = (x 0, y 0 ) D egy környezetében. Ha a f x (x 0) = f x(x 0 ) = f x(x f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) := lim h 0 h határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy f x-szerint parciálisan differenciálható az x 0 pontban, az f x(x 0 ) értéket pedig az f x 0 pontban vett x-szerinti parciális deriváltjának nevezzük. 4. f(x, y) = xy 2, P (2, 3) 5. f(x, y) = 2x y +, P (2, ) Totális differenciálhatóság. Legyen adott az f : D R 2 R függvény. Tegyük fel, hogy f értelmezve van x 0 D egy környezetében. Az f függvény (totálisan) differenciálható az x 0 pontban, ha létezik A = (A, A 2 ) R 2 és a 0 egy V környezetében értelmezett ω : V R függvény úgy, hogy f(x) = f(x 0 ) + A (x x 0 ) + ω(x x 0 ) az x 0 egy környezetében lévő minden x pontra, továbbá ω(x x 0 ) lim x x 0 x x 0 = 0. Ekkor az A = (A, A 2 ) R 2 vektort az f függvény x 0 pontban vett gradiensének nevezzük. Jelölés: f(x 0 ) = A. Totális differenciálhatóság szükséges feltétele. Ha az f : D R 2 R függvény totálisan differenciálható az x 0 = (x 0, y 0 ) D pontban, akkor mindkét változója szerint parciálisan is differenciálható, továbbá ( f f(x 0 ) = x (x 0), f ) y (x 0) = ( f x(x 0 ), f y(x 0 ) ). Totális differenciálhatóság elegendő feltétele. Ha az x 0 = (x 0, y 0 ) D pont valamely környezetében az f : D R 2 R függvény mindkét parciális deriváltja létezik, továbbá az x 0 pontban folytonosak, akkor f(x, y) az x 0 pontban totálisan differenciálható és f(x 0 ) = ( f x (x 0), f ) y (x 0) = ( f x(x 0 ), f y(x 0 ) ). 3

14 6. Definíció szerint mutassa meg, hogy az f(x, y) = x 2 + xy y 2 függvény totális differenciálható, majd határozza meg a gradiens vektorát és parciális deriváltjait. 7. Határozza meg az f(x, y) = xy függvény parciális deriváltjait és totális differenciálját az origóban. Határozza meg a következő függvények érintősíkjának egyenletét az adott M pontokban. Érintősík egyenlete. Legyen az f(x) függvény differenciálható az x 0 = (x 0, y 0 ) pontban. A z = f(x 0 ) + f(x 0 )(x x 0 ) egyenletű sík az f függvény (x 0, f(x 0 )) pontbeli érintősíkja. 8. f(x, y) = x 2 + xy + 2y 2, M(, 2) 9. f(x, y) = xy 2 2x +, M(0, 4) 20. f(x, y) = x 2 y + 2x 2 y, M(2, ) Határozza meg a következő függvények u irány szerinti deriváltját a megadott P pontban. Irány menti derivált. Legyen adott az f : D R 2 R függvény. Tegyük fel, hogy f értelmezve van x 0 = (x 0, y 0 ) D egy környezetében. Az f függvény x 0 pontban vett u ( u = ) irány szerinti deriváltja az határérték, ha létezik és véges. f u = lim h 0 f(x 0 + hu) f(x 0 ) h Tétel. Ha az f : D R 2 R függvény differenciálható az x 0 pontban, akkor f bármely u, ( u = ) irány szerint differenciálható x 0 -ban, és f u(x 0 ) = f(x 0 ) u 2. f(x, y) = x 2 y, P (, ), u(3, 4) ( 22. f(x, y) = x 2 xy, P (, 2), u 3 5, 4 ) f(x, y) = 3xe y2 sin x, P (0, ), u( 2, 2) 4

15 24. f(x, y) = x tan y e xy2, P (, 0), u(, ) Határozza meg a következő függvények szélsőértékeit. Szélsőérték létezésének szükséges feltétele. Ha az f(x) : D R 2 R függvény differenciálható az x 0 pontban, és ott lokális szélsőértéke van, akkor f(x 0 ) = 0. Szélsőérték létezésének elegendő feltétele. Tegyük fel, hogy az f(x) : D R 2 R függvénynek léteznek és folytonosak a másodrendű parciális deriváltjai az x 0 pont egy környezetében, továbbá f(x 0 ) = 0. Legyen Ha D(x 0 ) = f xx(x 0 ) f yy(x 0 ) [f xy(x 0 )] 2 D(x 0 ) < 0, akkor x 0 nem lokális szélsőértékhely; D(x 0 ) > 0 és f xx(x 0 ) > 0 akkor f-nek x 0 -ban lokális minimuma van; D(x 0 ) > 0 és f xx(x 0 ) < 0 akkor f-nek x 0 -ban lokális maximuma van. 25. f(x, y) = (x ) 2 + 2y f(x, y) = y 2 + 2x 2 y + x f(x, y) = yx 2 /2 yx + y f(x, y) = x 2 xy + y 2 2x + y 29. f(x, y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y f(x, y) = 2x 2 + y 2 2xy + 4x 2y Egy téglatest egy pontba összefutó éleinek a hossza 2. Mekkorák a lehető legnagyobb ilyen térfogatú téglatest élei? Oldja meg a következő egzakt differenciálegyenleteket. 5

16 Egzakt differenciálegyenlet. A P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 egyenletet egzakt differenciálegyenletnek nevezzük, ha P y = Q x. Ekkor van olyan U(x, y) függvény, melynek totális differenciálja du = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. 32. (2xy 3)dx + x 2 dy = dx 2 x y + 4 x y 2 dy = 0 x y 34. ( 2xy + ) ( ) x 2 dx + + y + x2 dy = (cos x x sin x + y)dx + (x cos y)dy = 0 Határozza meg az integrálási tartományt és írja fel a határokat a fordított sorrendben történő integráláshoz f(x, y) dy dx x 0 0 f(x, y) dy dx 38. x 2 0 x f(x, y) dy dx /x 0 f(x, y) dy dx Számítsa ki az alábbi kettős integrálokat. 40. D (x2 + 2y) dy dx, ahol D a tengelyek és az x + 2y = 2 egyenletű egyenes által határolt háromszög. 4. x 0 x 2 x + y dy dx 42. x x 2 + 2y dy dx /x 0 xy dy dx 44. D x2 + y 2 dy dx, ahol D az egység sugarú kör. x 0 x 2 x + y 3 dy dx 6

17 46. 2xy D dy dx, ahol D az az origó középpontú körgyűrű, mely külső körének sugara x 2 +y 2 2, belső körének sugara pedig. 47. Határozza meg az R sugarú gömb térfogatát. 48. Határozza meg az e x2 /2 integrál értékét. 4. Komplex függvénytan Igazolja, hogy a következő függvények harmonikusak, majd határozza meg a harmonikus társat. Harmonikus társ keresés. harmonikusnak nevezzük, ha teljesíti a Laplace-egyenletet: A kétszer folytonosan differenciálható u(x, y) függvényt u xx + u yy = 0. A v(x, y) függvényt az u(x, y) függvény harmonikus társának nevezzük, ha harmonikus és teljesíti a Cauchy-Riemann egyenleteket: u x = v y, u y = v x 49. u(x, y) = x 2 5xy + 3y y x 3 3xy 2 5. u(x, y) = x 3 y xy 3 + 2x + 3y 52. Határozza meg az (z 2i) dz integrál értékét, ahol L az A = 3 i, B = + 2i L pontokat összekötő szakasz 53. Határozza meg az (z + 3 2i) dz integrál értékét, ahol L az A = i, B = 2i L pontokat összekötő szakasz 54. Határozza meg az (z + 3 2i) dz integrál értékét, ahol L a 2i középpontú, r = L sugarú körnek az A = i, B = 2i pontjait összekötő negyed körív (A B) 7

18 55. Határozza meg az L (z i) dz integrál értékét, ahol L a i középpontú, r = 2 sugarú körnek az A = i, B = 3i pontjait összekötő fél körív (A B) 56. Határozza meg az (z i) dz integrál értékét, ahol L a i középpontú, r = 2 sugarú L körnek az A = i, B = 3i pontjait összekötő fél körív (A B) Határozza meg az a következő függvények Laurent-sorát a megadott pontok körül 57. f(z) = z, P = + i 58. f(z) = z 2i z + 2i, P = i 59. f(z) = z 2 +, P = i 60. f(z) = z 3 ( z), P = 0 6. f(z) = z 3 ( z), P = Határozza meg F (F )-et, ha, 62. F (s) = 2 s F (s) = 3 s F (s) = s s 2 2s F (s) = 7s s 2 + 3s F (s) = 3 s 6 + 6s s F (s) = 2s + s(s )(s + 2) Oldja meg a következő kezdetiérték problémákat Laplace-transzformáció segítségével. y y 2y = 0 y 2y + 5y = 8e x 68. y(0) = y(0) = 2 y (0) = 5 y (0) = 2 y 4y + 5y = 4e 3x y 4y = 3e x 70. y(0) = 2 7. y(0) = y (0) = 7 y (0) = 5 8