VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.

Átírás

1 VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2 k=2 2 2k+ (g) 3 k+2 ( 2) k+2 k=2 (h) 2n 5 k (def alapján!) 2. Alternáló sorok, Leibniz kritérium. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjunk közelítést a sorösszegre, legfeljebb 0.-es pontossággal! cos nπ n=2 lg n ( ) n n n n=2 ( ) n 2n n=2 n 2 ( n ) n n+ ( ) n n(n+3) (f) ( ) n n α n!

2 (g) ( ) n n n Majoráns és minoráns kritérium. (f) (g) 3n+2 n 2 n 2 n 2 2n 3 2 2n 2 n 3 2 n +3 n 6 n +2 n+ 2 n 2 n+2 3 7n 5 2n 3 + n 6 +2n 2 n (h) 7n 5 +n 3 + n 8 n 2 +3 (i) (j) ( n 2) n=6 ( n 4) 7n 5 2n 3 + n 7 +n 2 n+3 4. Konvergensek-e az alábbi sorok? (f) n=2 (g) (h) (i) (ln n) n 2n 2 (2+ n )n n ln n ( n ) n n! e ( n+2 ) n 2n ( n ) n(n ) n+ 2n 2 (2+ n) n n! 2 n + 2n (j) 2 n n! n n (k) a n, ahol a n = (l) ( arctan n) n π {, 2 n ha n = 2k, 3 n ha n = 2k. 2

3 5. Integrálkritériummal döntsük el, hogy konvergensek-e? n e n e n n n=2 n ln p n 6. Határozzuk meg az alábbi sorok értékét legfeljebb 0 3 hibával, amennyiben konvergensek! (a) ( ) n n=2 n 2 2n 2 + (2n)! n! ( 2) n 2 n +0 n n!3 n (2n)! ( ) n n(n+3) 7. Mekkora hibát követümk el, ha a sorösszeget a 0. részletösszeggel közelítjük? n!+ 2 n 2 +3 n n! (2n)! 3 n 2 2n +n 2 +3 ( ) n (n ) n 2 +n 8. Abszolút illetve feltételesen konvergensek-e? (imsc) ( ) n (n+4) n 2 +4 ( ) n n ln n 2 ( ) n 2n 2 3n+8 (d) ! 2 2 3! 2 3 n! 2 n (e) (2n ) 3 (2n) 2 9. Határozzuk meg az alábbi hatványsorok konvergenciatartományát! (x ) n n 2 2 n n! x n n 2 3

4 (f) (g) n! (2n)! (x + ) n 3 n +2 n n (4x) n (4n )2 n ( ) n x n n x n n5 n 0. Adjuk meg az alábbi hatványsorok konvergenciatartományát és összegfüggvényét! x 2n 2n (n+)x n 3 n+ (n+)(n+2) x n 5 n+2 (x 3) n+ n+ (n + )(n + 2)xn (f) (n+)(n+2)(n+3) 3! (x + 4) n. (imsc) Bizonyítsuk be, hogy π = 4 ( ).... Útmutatás: Irjuk fel arctan x 0 körüli Taylor-sorát, az +x 2 geometriai sor integrálásával, és éljünk az x = helyettsítéssel! 2. Adjuk meg az integrál értékét 0, 0 pontossággal! /2 0 arctan x x d x 3. (imsc) Adjuk meg az x n+ n(n + ) sor konvergenciatartományát és összegfüggvényét! 4. (imsc) Adjuk meg az n 2 x n sor konvergenciatartományát és összegfüggvényét! Bizonyítsuk be, hogy n 2 = 2 n 6. 4

5 5. Adjuk meg az ( x) 2 sor konvergenciatartományát és összegfüggvényét! ( x deriválásával ) 6. Adjuk meg a következő függvvények x 0 = 0 körüli Taylor-sorát és határozzuk meg a sor konvergenciatartományát! (a) f(x) = arctan 2x (b) f(x) = 3 8+x 3 (c) f(x) = sin 2 x (d) f(x) = x 2 (e) f(x) = 3 2x 2 (f) f(x) = 3 27 x (g) f(x) = e 2x2 (h) f(x) = cos x 2 7. Adjuk meg a következő függvvények x 0 = körüli Taylor-sorát és határozzuk meg a sor konvergenciatartományát! (a) f(x) = 6x 3 2x (b) f(x) = e 2x (c) f(x) = x (d) f(x) = e x f(x) = x 5 e x, f (67) (0) =? f(x) = ln(8 3x 2 ), f (9) (0) =?, f (0) (0) =? cos(n 3 x 2 + π) lim = x 0 3 n + n 2 x 2 5

6 2. Adjuk meg f(x) = 3 8 x 0 körüli Taylor-sorát és konvergenciatartományát! Mennyi (x 00 f(x)) (200) (0)? 22. f(x) = 2 + 2x x 2, f(x) lim =? x 0 x Adjuk meg értékét 2 tizedesjegy pointossággal! 24. Adjuk meg 0 0, értékét 2 tizedesjegy pointossággal! 0 cos x 2 d x + x 3 d x 25. Adjuk meg értékét 2 tizedesjegy pontossággal! π/4 0 sin x x d x 6

7 Vektoranalízis. Számoljuk ki az alábbi térgörbék ívhosszát! (a) r(t) = e t cos t i +e t sin t j +e t k, 0 t 2 (b) r(t) = (t + ) i + t2 2 j + 2 2t 3 3 k, 2 t 0 (c) r(t) = (sinh t + cosh t) i +(cosh t sinh t) j + 2t k, 0 t ln 2 (d) r(t) = cos 3 t i + sin 3 t j + cos 2t k, 0 t 2π 2. Határozzuk meg az r(u, v) vektor-vektor függvénnyel adott felület (u 0, v 0 ) paraméterponthoz tartozó érintősíkjának egyenletét! (a) r(u, v) = (u 2 2v 2 ) i +(uv v 3 ) j +(u 4 2v) k, (u 0, v 0 ) = (, ) (b) r(u, v) = (2v + cos u) i +(sin u v) j +3v k, (u 0, v 0 ) = (π, ) 3. Az x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 2 egyenletű felülethez keressünk olyan érintősíkokat, melyek párhuzamosak az x + 4y + 6z = 0 síkkal! (IMSC) 4. Az a paraméter mely értékeinél érinti az x + 2y + 3az = sík az x 2 y 2 + z 2 = egyenletű hiperboloidot?(imsc) 5. A z 2 = x 2 + y 2 egyenleű kúpfelületnek vannak-e olyan pontjai, melyekhez tartozó érintősíkok párhuzamosak a 2x + y = 2z síkkal, és átmennek a P (3,, ) ponton? (IMSC) 6. Számoljuk ki az adott felületdarabok felszínét! (a) r(u, v) = u 2 i +2u cos v j +2u sin v k, 0 u,0 v π 2 (b) r(u, v) = u cos v i +u sin v j +v k, u,0 v 2π (c) r(u, v) = u cos ln v i +u sin ln v j +u k, 0 u 2, v 2 (d) z = x 2 y 2, x 2 + y 2 (e) x 2 = 2yz, 0 x, y 2 (f) Számítsuk ki az y 2 + z 2 = x 2 egyenletű kúpfelület nemnegatív x koordinátákhoz tartozó és az x 2 +y 2 = egyenletű hengeren belüli darabjának a felszínét! (IMSC) 7. Számoljuk ki az adott v(r) vektor-vektor függvények divergenciáját és rotációját! Ha léteznek, adjuk meg a v(r) vektor-vektor függvények U(r) potenciálfüggvényét is! (a) v(r) = (3x 2 y y 3 ) i +(x 3 3xy 2 ) j 7

8 (b) v(r) = (x 2 y 2 ) i +(y 2 z 2 ) j +(z 2 x 2 ) k (c) v(r) = (yz xz) i +(xz x2 2 + yz2 ) j +(xy + y 2 z) k (d) v(r) = 5 r (e) v(r) = a ln r, a 0 rögzített (f) v(r) = a r, a 0 rögzített 8. Számoljuk ki a v(r) vektor-vektor függvények görbementi integrálját az adott G görbe mentén! (a) v(r) = (y 2 x 2 ) i +2yz j x 2 k, G : (t, t 2, t 3 ), 0 t (b) v(r) = (y + z) i +(x + z) j (x + y) k, G : r(t) = sin 2 t i + sin 2t j + cos 2 t k, 0 t π (c) v(r) = (2xy z) i +(x 2 +z) j +(y x) k, ahol G az x2 ellipszis, pozitív körüljárási iránnyal. + y2 9 6 =, z = egyenletű (d) v(r) = r, G az xy síkban fekvő origó középpontú egységkör negatív körüljárással. 9. Számoljuk ki a v(r) vektor-vektor függvények felületmenti integrálját az adott F felület mentén! (a) v(r) = x i y j +z k, v F : r(u, v) = (u + 2v) i +v j +(u v) k, 0 u 3,0 (b) v(r) = xy i +xz j +yz k, F : r(u, v) = u cos v i +u sin v j +2 k, 0 u,0 v π 2 (c) v(r) = x 2 i +y 2 j +z 2 k, F : x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 0 (d) v(r) = r r 3, F az origó körüli egységgömbfelszín befele mutató normálissal. 0. Számoljuk ki a v(r) vektor-vektor függvények görbementi integrálját az adott G úton, ha lehet Stokes-tétellel! (a) v(r) = (y + z) i +(x + z) j +(x + y) k, G : r(t) = sin t i + cos t j + k, 0 t 2π (b) v(r) = x y i +xy 2 j, G : x 2 + y 2 = 4, (c) v(r) = (2xy z) i +(x 2 +z) j +(y x) k, ahol G az x2 ellipszis, pozitív körüljárási iránnyal. z = 0, pozitív forgásiránnyal + y2 9 6 =, z = egyenletű (d) v(r) = r, G az xy síkban fekvő origó középpontú egységkör negatív körüljárással. 8

9 . Számoljuk ki a v(r) vektor-vektor függvények felületmenti integrálját az adott F felület mentén Gauss-Osztrogradszkij-tétellel! (a) v(r) = x 3 i +y 3 j +z 3 k, (b) v(r) = 3xy i +y 2 j 4xz k, normálissal. F : x 2 + y 2 + z 2 = 25, befele mutató normálissal F : x 2 + y 2 + z 2 4y 2z + 4 = 0, kifele mutató (c) v(r) = x 2 y 2 i + j +z k, ahol F a z = 25 x 2 y 2 és z = 0 által határolt zárt felület, kifele mutató normálissal. (d) v(r) = x 2 i +y 2 j +z 2 k, F a koordinátasíkok és az x 2 + y 2 + 2z = által határolt zárt felület, kifele mutató normálissal. (IMSC) 9