IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

Átírás

1 IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november

2 Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja ( ) 4.8. ( ) ( + )( + ) ( + ) ln cos cos sin

3 Integrálás helyettesítéssel. 4.. e 4.. cos(4 5) ( π ) sin e cos sin sin( + ) ln ln cos + sin

4 sin e sin 3 cos tg 4.5. ( + ) Parciális integrálás ( ) + e e sin cos arc tg 4.6. arc tg 4.6. ln (arc sin ) e 3 cos e arc sin Racionális törtfüggvények integrálása

5 ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( 3) ( + 9) Trigonometrikus függvények integrálása cos sin 6

6 4.. + sin sin 6 cos sin 3 cos 4 cos tg tg sin cos 4 + sin 4 cos sin sin 4 cos sin + cos 5 3 cos sin 4 cos 4 + sin ( sin 3 cos 5 π ) Hiperbolikus és R(e ) függvények integrálása. 4.. sh ch sh 3 ch 4.3. sh ch 4.4. sh 4.5. ch ch ch e e +

7 e 3 e sh e sh Irracionális függvények integrálása ( 3 + ) 4.. e

8 8 Határozott integrálás e ( + ) arctan 5 4 Trigonometrikus integrálok π π π π π sin cos sin 3 cos(n) sin(m) π π π π π 6 sin 3 sin cos 4 sin π sin 4 cos 5 Improprius integrálok / ( )

9 e a, a > e a cos e /π sin sin(a)e b 4.5. e 4.5. n e a Helyettesítéses integrálok e e π / / cos ln Parciális integrálás

10 4.56. ( ) sin ( + e ) a

11 Improprius integrálok : Számolja ki az alábbi improprius integrálok értékét! e e ln ( + ) 3 e + ( ) ( + )

12 Területszámítás Határozza meg a következ függvények görbéi alatti területet az adott intervallumban, és ábrázolja a függvényeket! 4.. y = 3 ; 4.. y = ; y = ; 4.4. y = ( ) 3 ; 4.5. y = 3 3; y = 4 3 ; 4.7. y = e ; y = sin(3); y = cos(3); y = cos( ); π 4.3. y = cosh(); y = sinh(); y = ; y = ; y = 5 ; y = 5 ; Határozzuk meg értékét úgy, hogy az y = alatti terület [a, b] és [c, ] szakaszhoz 4 tartozó része egyenl legyen! Mennyi az, ha c = a, c = 3a? Határozzuk meg értékét úgy, hogy az y = terjed szakasza -del legyen egyenl! 5 görbe alatti terület -tól -ig Határozzuk meg értékét úgy, hogy az y = e görbe alatti terület -t l -ig terjed szakasza 3-mal legyen egyenl! 4.3. Határozzuk meg értékét úgy, hogy az y = sin() alatti terület -tól -ig terjed szakasza -del legyen egyenl! Határozza meg a következ görbék közötti területet és ábrázolja is a görbéket! 4.4. y = és y = y = és y = 4.4. y = és y = y = és y = 3

13 y = és y = y = és y = y = 3 és y = y = 4 és y = y = és y = y 3 = és y = y = és + y = 4.5. y = sin() és y = Végezze el az alábbi területszámításokat! Határozzuk meg az y = ( ) parabola és ennek az =, = abszcisszájú pontjaihoz húzott érint i közötti területet! Határozzuk meg az y = 4.5 ( 4) parabola, és ennek az = 3 és = 6 pontjában húzott érint i közötti területet! Határozzuk meg az y = hiperbola, és a P (, ) pontra illeszked, y = egyenesre mer leges egyenes által határolt síkidom területét Határozzuk meg az y = hiperbola, az y = és az y = a egyenes által határolt síkidom területét! Ábrázoljuk is a szektort! Igazoljuk általánosan, hogy a parabolaszelet területe egyenl a körülvev paralelogramma területének 3 részével! igazoljuk, hogy a bevonalkázott parabolaszelet-terület a húr, az tengely és az érint htárolta OAB háromszög területének 3 -a! Görbe ívhossza Határozza meg az adott függvények görbéjének ívhosszát a megadott határok között! y = ; y = cosh(); y = ln(); y = ln(sin ); π 6 π y = 5; = 5 cos(t); y = 5 sin(t); t π

14 = a(t sin t); y = a( cos t); t = 5 cos 3 t; y = 5 sin 3 t; t π = t; y = 3t ; t 5 Forgástestek térfogata Számitsa ki a következ paraméteresen megadott függvények forgástesteinek térfogatát! = a cos(t), y = a sin(t); t π = a(t sin t), y = a(t cos t); t π 4.7. = e t, y = t; t 4.7. = a cos 3 t, y = a sin 3 t; t π Forgassa meg a következö görbéket az tengely körül, és határozza meg a keletkezö forgásfelületek és a megadott intervallumok végpontjaiban az tengelyre állított mer leges síkok határolta térrész térfogatát! 4.7. y = e ; y = ; y = 3 3 ; y = ; y = ; y = ; y = ; y = cos ; π 4.8. y = 4.8. a + y b = ; + ; 3 a a