Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány"

Átírás

1 Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február

2 Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények A definíciók egyszerű következményei Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Alapintegrálok Alapintegrálokra vezető típusok Integrálás ügyesen Parciális integrálás Integrálás helyettesítéssel Racionális függvények integrálása Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések A határozott integrál A határozott integrál kiszámítása A határozott integrál alkalmazásai Improprius integrálok II. Megoldások. A határozatlan integrál (primitív függvények A definíciók egyszerű következményei Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Alapintegrálok Alapintegrálokra vezető típusok Integrálás ügyesen Parciális integrálás Integrálás helyettesítéssel Racionális függvények integrálása Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések

3 Tartalomjegyzék. A határozott integrál A határozott integrál kiszámítása A határozott integrál alkalmazásai

4 4 Tartalomjegyzék

5 I. rész Feladatok 5

6

7 . A határozatlan integrál (primitív függvények 7 Jelölések, elnevezések. A határozatlan integrál (primitív függvények Ebben a jegyzetben végig az R számhalmaz valamely I nyílt intervallumán értelmezett, valós értékű függvényeket fogunk csak tekinteni. A f : I R függvénynek F : I R egy primitív függvénye, ha F deriválható az I intervallumon és F ( f( ( I. Nyilvánvaló, hogy ha F a f függvénynek egy primitív függvénye, akkor minden c valós esetén az F ( + c ( I is primitív függvénye f-nek. Mivel intervallumon értelmezett függvényekről van szó, ezért az állítás megfordítása is igaz: f primitív függvényei csak konstansban különböznek egymástól. (Ez az állítás nem igaz, ha f értelmezési tartománya nem intervallum. Az f : I R függvény összes primitív függvényeinek a halmazát f határozatlan integráljának nevezzük és az f vagy az f( d szimbólumok valamelyikével jelöljük. A fentiek alapján tehát f f( d {F + c F egy primitív függvénye f-nek, c R}. A továbbiakban a következő egyszerűsített jelölést fogjuk használni: f( d F ( + c ( I, c R. Ha f-nek F egy primitív függvénye, akkor bármely rögzített I esetén az F ( F ( ( I függvény f-nek egy, az pontban eltűnő primitív függvénye. Nyilvánvaló, hogy f-nek legfeljebb egy, az pontban eltűnő primitív függvénye létezik. Ezt így jelöljük: f vagy f( d.

8 8.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek.. A definíciók egyszerű következményei F. Határozza meg az alábbi függvények összes primitív függvényét: (a f( : ( (, + ; (b f( : ( (, ; (c f( : ( (, π ; (d f( : sin + ( R. F. Határozza meg az f : I R függvény I pontban eltűnő primitív függvényét, ha (a f( : cos ( R, : π 4 ; (b f( : ( R +, : 8. F. Keresse meg azt a f függvényt, amelyre (a f ( ( R+, f(4 ; (b f ( ( >, f( ; + (c f ( ( R, f(, f ( ; (d f ( ( R +, f(, f ( ; (e f ( e + 5 sin ( R, f(, f ( ; (f f ( sin, ( R, f(, f (, f (... Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek... Alapintegrálok F4. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (6 (a 8 + d, I : R; (c d, I : R + ; ( (b + d, I : R + ; (d ( + d, I : R + ;

9 . A határozatlan integrál (primitív függvények 9 ( 5 (e + d, I : (, ; f f (f cos 5 + cos d, I : ( π, π.... Alapintegrálokra vezető típusok alakú integrálok F5. Mutassa meg, hogy ha f : I R pozitív és differenciálható az I intervallumon, akkor f ( f( d ln f( + c ( I. F6. Az előző feladat segítségével számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a d, I : R; + (b d, I : R; (c tg d, I : ( π, π ; (d d (e, I : (, ; ln (f f α f alakú integrálok e d, I : R; e + 5 d, I : (, +. ln F7. Tegyük fel, hogy az f : I R függvény pozitív és differenciálható az I intervallumon és α valós szám. Mutassa meg, hogy f α (f ( d f α+ ( α + + c ( I. F8. Az előző feladat eredményének felhasználásával számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a ( +4 d, I : R; (b d, I : R + ;

10 .. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (c e ( e d, I : R; (d sin cos d, I : R; ln 5 arsh (e d, I : R+ ; (f + d, I : R+ ; (g ( d, I : (, 5 ; 5 (h 4 cos (tg d, I : (, π. f(a + b d alakú integrálok F9. Legyen I R egy intervallum és F : I R a f : I R függvénynek egy primitív függvénye. Mutassa meg, hogy ekkor bármely a R \ {}, b R esetén F (a + b f(a + b d + c ( I. a F. Az előző feladat eredményének felhasználásával számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat: (a ( d ( > ; (b ( d < ; ( (c d ( R; (d + d > ; (e ( d < ; (f ( d >. F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat: d d (a ( R; (b d (c ( R; + + (d d ( 5 < < ( R;

11 . A határozatlan integrál (primitív függvények f ( g( g ( d alakú integrálok F. Az első helyettesítési szabály: Tegyük fel a következőket: (i a g : I R függvény deriválható az I intervallumon, (ii J R egy intervallum és R g J, (iii az f : J R függvénynek létezik primitív függvénye. Ekkor az f g g függvénynek is létezik primitív függvénye és f ( g( g ( d F ( g( + c ( J, ahol F a f egy primitív függvénye. (Ez az állítás speciális esetként tartalmazza az F5., F7. és F9. feladatokat! F. Az előző feladat segítségével számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: sh (a sin d, I : R; (b d, I : R + ; (c (6 + sin( + d, I : R; (d ( + ln d, I : R+ ; (e cos + tg d, I : ( π, π ; e tg (f cos d, I : ( π, π.... Integrálás ügyesen F4. Az integrandus alkalmas átalakítása után számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat a megadott I intervallumokon: + (a d, I : R; (b d, I : (, + ; + (c d, I : R; (d d, I : R; 4

12 .. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (e tg d, I : ( π, π ; (f tg d, I : ( π, π ; (g sin d, I : R; (h cos d, I : R; (i (k (m sin cos 7 d, I : R; (j d, I : (, π; (l sin sin cos d, I : R; (n..4. Parciális integrálás cos cos d, I : R; cos d, I : ( π, π ; sin cos 4 d, I : R. F5. Parciális integrálás: Tegyük fel, hogy az f és a g függvények deriválhatók az I intervallumon és f g-nek van primitív függvénye. Ekkor az fg függvénynek is van primitív függvénye és f(g ( d f(g( f (g( d ( I. Ezt a módszert a következő esetek mindegyikében lehet alkalmazni:. típus: Ha P ( tetszőleges algebrai polinom, akkor e α sin α P ( cos α d; sh α ch α legyen f( : P (.. típus: sin β e α cos β d; sh β ch β itt f( bármelyik tényező lehet.

13 . A határozatlan integrál (primitív függvények. típus: ln α arc sin α arc cos α arc tg α arc ctg α d; itt f( valamelyik függvény és g (. ar sh α ar ch α ar th α ar cth α Parciális integrálást a fentiektől különböző esetekben is lehet alkalmazni (lásd például az (i és az (l feladatokat. F6. A parciális integrálás szabályát alkalmazva számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat: (a e d, I : R; (b sin d, I : R; (c e sin d, I : R; (d e ch d, I : R; (e (f cos( + e + d, I : R; ln d, I : R + ; (g arc tg d, I : R; (h ln d, I : R + ; (i 5 e d, I : R; (j ln d, I : R + ; (k arc sin d, I : (, ; (l cos(ln d, I : R +.

14 4.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek..5. Integrálás helyettesítéssel F7. A második helyettesítési szabály: Tegyük fel a következőket: (i I és J nyílt intervallumok, (ii g : I J egy bijekció (g-nek tehát van inverze és g D(I, (iii f : J R és az (f g g függvénynek létezik primitív függvénye az I intervallumon. Ekkor az f függvénynek is létezik primitív függvénye a J intervallumon és f( d f ( g(t g (t dt tg ( ( J. (Ilyenkor azt mondjuk, hogy az g(t helyettesítést alkalmazzuk. F8. Állítsa elő helyettesítéses integrálással a következő határozatlan integrálokat: (a d ( (, ; (b + d ( R; (c d ( > ; (d + d ( R...6. Racionális függvények integrálása Racionális függvénynek nevezzük két polinom hányadosát, azaz az R( : P ( Q( alakú függvényeket, ahol P és Q algebrai polinomok. A négy alaptípus integrálása Először azt jegyezzék meg, hogy az alábbi négy típusú racionális függvény primitív függvényét hogyan lehet meghatározni.. alaptípus: ( α n d ( (α, +,

15 . A határozatlan integrál (primitív függvények 5 ahol α R és n N adott számok. Ez egy alapintegrál: ln( α + c, ha n ( α d n ( α n+ + c, ha n,,.... n +. alaptípus: a + b a + b + c d ( I, ahol I egy olyan intervallum, amelyen a + b + c >, azaz a számlálóban a nevező deriváltja szerepel; az integrandus tehát f f Ennek már tudjuk a primitív függvényét: a + b a + b + c d ln(a + b + c + C ( I. alakú.. alaptípus: A + B a + b + c d, ahol A, B R, b 4ac < és R. (A nevezőben levő másodfokú polinomnak nincs valós gyöke, ezért az integrandus az egész R-en értelmezve van. A számláló tehát egy tetszőleges elsőfokú polinom, a nevező pedig olyan másodfokú polinom, aminek nincs valós gyöke. Ezt már nehezebb meghatározni. A mindig alkalmazható eljárást a (d feladatban mutatjuk be. 4. alaptípus: A + B (a + b + c n d, ahol A, B R, n,,..., b 4ac < és R. (A nevezőben levő másodfokú polinomnak nincs valós gyöke, ezért az integrandus az egész R-en értelmezve van. Ekkor léteznek olyan A, B, D, E valós számok, amelyekre A + B (a + b + c n d A + B (a + b + c n + D (a + b + c n d + E.

16 6.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Az integrandus nevezőjében levő kitevőt tehát -gyel csökkentettük. A jobb oldal középső tagjára is egy hasonló formula érvényes. Ezt az eljárást folytatva egy olyan összeget kapunk, amelyiknek az egyik tagja C a + b + c d, az összes többi tag pedig racionális függvény. F9. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat a megadott intervallumokon: (a d, > ; (b d, < ; + + (c d, I : R; (d d, I : R; (e d, I : R; (f d, I : R; (g d, I : R. + 7 F. Igazolja, hogy tetszőleges n,,... esetén d ( + n+ n ( + + n n n Határozza meg az f( : Parciális törtekre bontás módszere ( + n d. ( R függvény primitív függvényét. ( + Tetszőleges R( P ( racionális függvény primitív függvényének meghatározását az a fontos észrevétel teszi lehetővé, hogy minden ilyen tört egyszerű alakú Q( törtek (az ún. parciális törtek összegére bontható. Ennek az eljárásnak az egyes lépései a következők:. lépés: A P ( törtet egy polinomnak és egy olyan racionális törtnek az összegeként Q( írjuk fel, amelyben a számláló fokszáma már kisebb, mint a nevező fokszáma: P ( Q( T ( + P ( Q(,

17 . A határozatlan integrál (primitív függvények 7 ahol T ( és P ( polinomok, de P ( fokszáma kisebb, mint Q( fokszáma. Ezt sok esetben egyszerű átalakításokkal, az általános esetben pedig polinomosztással végezhetjük el. Például: ; (az ( + 5( alapján lépés: Itt már feltesszük, hogy a P ( törtben a P ( fokszáma kisebb, mint Q( Q( fokszáma. A nevezőben levő Q( polinomot (ameddig csak tudjuk valós együtthatós polinomok szorzatára bontjuk. Például: Q( ( ( 4; Q( ( ( + + ; Q( ( + ; Q( ( ( + ( 5; Q( 4 ( ( + ( +. Figyeljük meg, hogy a felbontásban elsőfokú tényezők, illetve olyan másodfokú tényezők szerepelnek, amelyeknek nincsenek valós gyökei. Általában is bizonyítható, hogy minden Q( valós együtthatós polinomot fel lehet írni valós együtthatós első- és másodfokú tényezők szorzataként, ahol a másodfokú tényezőknek már nincsenek valós gyökeik. (Adott Q( polinom esetén egy ilyen felbontás meghatározása nem mindig egyszerű feladat!!!. lépés: a parciális törtekre bontás. A nevezőtől függően keressük az egyszerű alakú törteket mégpedig határozatlan együtthatókkal.

18 8.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Például: ( ( 4 A + A 4 ; + ( ( + + A + B + C + + ; 4 8 ( ( + A + A ( + B + C + B + C + ( +. Itt vegyék észre, hogy az elsőfokú tényezők esetén a számlálóban egy állandót, a másodfokú tényezők esetén pedig a számlálóban egy elsőfokú polinomot kell venni. Általában: Ha a nevezőben szereplő Q( polinomban az ( r elsőfokú tényező az m-edik hatványon szerepel, akkor ehhez a tényezőhöz A r + A ( r + + A m ( r m alakú törtek tartoznak. Ha a nevezőben szereplő Q( polinomban a ( + p + q másodfokú tényező (ez tehát már egy olyan polinom, aminek nincs valós gyöke, mert a p 4q diszkriminánsa negatív az n-edik hatványon szerepel, akkor ehhez a tényezőhöz B + C + p + q + B + C ( + p + q + + B n + C n ( + p + q n alakú törtek tartoznak. Az R( P ( racionális tört az ilyen parciális törtek összege. Q( Az A i, B i, C i együtthatók meghatározására egy természetes módszer kínálkozik: a jobb oldalon hozzunk közös nevezőre, majd a számlálót hatványai szerint rendezzük. Az így adódó tört számlálója egyenlő a bal oldalon levő tört számlálójával. Tudjuk már azt, hogy két polinom akkor és csak akkor egyenlő, ha a megfelelő együtthatói megegyeznek. A két oldal számlálójában az együtthatók egyenlőségéből a határozatlan együtthatókra egy egyenletrenszert kapunk. Ennek megoldásai a keresett A i, B i, C i együtthatók.

19 . A határozatlan integrál (primitív függvények 9 F. Parciális törtekre bontással számítsa ki a következő határozatlan integrálokat a megadott intervallumokon: (a d, I : (, 4; ( ( 4 (b d, I : (, ; (c d, I : (, + ; R (, n (d d, ( > ; 6 + (e (f ( + 4 d, I : R+ ; (g 4 + (h d, > ; (i ( 4 4 (j 5 + d, I : R+ ; (k d, R; (l ( + (m d, R. ( d, ( > ; d, ( > ; d, > ; ( + 4 d, R; Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések a+b c+d d alakú integrálok, ahol R(u, v kétváltozós polinomok hányadosa. Ezekben a gyökös kifejezést egy új változóval helyettesítve racionális törtfüggvény integrálására jutunk. Pontosabban: legyen t : n a + b c + d. A g(t helyettesítő függvényt úgy kapjuk meg, hogy ebből az -et kifejezzük, majd a második helyettesítési szabályt alkalmazzuk.

20 .. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek F. Alkalmas helyettesítéssel vezesse vissza az alábbi integrálokat racionális függvények integráljára: (a + d ( > ; (b + d ( > ; (c d ( > ; (d d ( < ; (e 5 + d ( > ; 5 (f d ( > ; (g d ( >. + R (sin, cos d alakú integrálok, ahol R(u, v kétváltozós polinomok hányadosa. Ebben az esetben a t tg helyettesítést, azaz az arc tg t : g(t helyettesítő függvényt alkalmazzuk, és felhasználjuk az alábbi azonosságokat: sin sin cos sin + cos cos cos sin sin + cos tg + tg tg + tg t + t, t + t. Mivel g (t (t R, + t ezért a g függvény szigorúan monoton növekedő, van tehát inverze és az a t g ( tg ( ( π, π függvény. F. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat úgy, hogy visszavezeti racionális függvények integráljára: (a d ( < < π; sin (b cos d ( π < < π;

21 . A határozatlan integrál (primitív függvények (c + sin + cos d ( π < < π; cos (d d ( π < < π; + cos + sin (e d ( < < π; cos (f + tg d ( < < π; (g d ( R; 5 + cos (h d ( R; ( sin ( sin cos (i d ( < < π. + cos S (e d alakú integrálok, ahol S(u egyváltozós polinomok hányadosa. Ebben az esetben a t e helyettesítést, azaz az ln t : g(t helyettesítő függvényt alkalmazzuk. Mivel g (t >, ha t >, tehát g szigorúan növekedő, ezért van inverze és az a t t e g ( ( > függvény. F4. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat úgy, hogy visszavezeti racionális függvények integráljára: 4 (a d ( > ln ; e 4 (b e d ( R; e + e + 4 (c d ( R. e + 4e +

22 . A határozott integrál. A határozott integrál.. A határozott integrál kiszámítása F5. A Newton Leibniz-tétel felhasználásával számítsa ki az alábbi határozott integrálokat: (a (c (e (g 5 4 π 5 Síkidom terülte d ; d + ; e sin d; d + + ; e (b sin(ln d; (d d ; (f (h e ln ln d; e d... A határozott integrál alkalmazásai Ha a korlátos f : [a, b] R függvény Riemann-integrálható az [a, b] intervallumon és f( ( [a, b], akkor az f grafikonja alatti síkidom területét így értelmezzük: A : {(, y R a b, y f(} t(a : Ha f az [a, b] intervallumon, akkor a b a f( d. B : {(, y R a b, f( y } síkidom területe: t(b : b a f( d.

23 .. A határozott integrál alkalmazásai F6. Határozza meg az R sugarú kör területét. F7. Határozza meg az R és a függvények grafikonjai által közrezárt síkidom területét. F8. Számolja ki az y egyenletű egyenes és a az y + 6 egyenletű parabola által közrezárt síkidom területét. F9. Határozza meg az y 4 és az y 4 görbék által meghatározott síkidom területét. F. Határozza meg az y 4 és az y görbék által meghatározott síkidom területét. F. Számítsa ki az alábbi síkbeli halmazok területét: (a {(, y R 4, y 4 }; (b {(, y R e, Síkbeli görbe ívhossza y ln }. Legyen Γ az f : [a, b] R folytonosan differenciálható függvény grafikonja. Ekkor a Γ görbe rektifikálható, és ívhossza: b l(γ + [ f (t ] dt. F. Számítsa ki az R sugarú kör kerületét. F. Határozza meg az alábbi függvények grafikonjának a hosszát: (a f( ( ; (b f( / ( 4; ( / (c f( ( 5; (d f( ln ( cos ( π. Forgástest térfogata a Legyen f : [a, b] R folytonos függvény és tegyük fel, hogy f az [a, b] intervallumon. Az f grafikonjának az -tengely körüli forgatásával adódó H : {(, y, z R a b, y + z f(}

24 4. A határozott integrál forgástest térfogata: V (H : π b a f ( d. F4. Számítsa ki az R sugarú gömb térfogatát. F5. Határozza meg az f : [a, b] R függvény grafikonjának az -tengely körüli megforgatásával adódó forgástest térfogatát: (a f( : ( [, ]; 4 Forgástest felszíne (b f( : sin ( [, π]; (c f( : sin ( [, π]; (d f( : e ( [, ]. Legyen f : [a, b] R egy folytonosan differenciálható függvény és tegyük fel, hogy f az [a, b] intervallumon. Az f grafikonjának az -tengely körüli forgatásával adódó H : {(, y, z R a b, y + z f(} forgásfelület felszíne: F (H : π b a f( + [ f ( ] d. F6. Számítsa ki az R sugarú gömb felszínét. F7. Határozza meg az f : [a, b] R függvény grafikonjának az -tengely körüli megforgatásával adódó forgástest felszínét: (a f( : ( [, 4]; (b f( : ( [, ]; (c f( : ( [, ]; (d f( : sin ( [, π].

25 .. Improprius integrálok 5.. Improprius integrálok D. Tegyük fel, hogy az f függvény Riemann-integrálható a tetszőleges (a, b R intervallum (a lehet és b lehet + is minden kompakt [α, β] (a, b részintervallumán, és legyen c (a, b egy tetszőleges, de rögzített pont. Az f függvényt impropriusan integrálhatónak nevezzük az (a, b intervallumon (vagy azt mondjuk, hogy f improprius integrálja konvergens (a, b-n, ha léteznek és végesek az alábbi határértékek: lim t a+ c t f( d és lim s b s és f improprius integrálján ezek összegét értjük: b a f( d : lim t a+ c t f( d + lim s b c f( d, s c f( d. T. Ha f impropriusan integrálható az (a, b intervallumon, akkor az improprius integráljának az értéke független a definíciójában szereplő c (a, b pont megválasztásától. T. Tegyük fel, hogy a korlátos f függvény Riemann-integrálható a kompakt [a, b] R intervallumon. Ekkor f impropriusan is integrálható (a, b-n és ezen az intervallumon az improprius integrálja megegyezik az f függvény [a, b]-n vett Riemann-integráljával. F8. Vizsgálja meg az alábbi improprius integrálok konvergenciáját. Ha konvergens, akkor határozza meg az értékét: (a (c (e + + d (α R, (b α d (α R, (d α + d, (f d (α R, α + d, d. F9. Döntse el, hogy az alábbi improprius integrálok közül melyek a konvergensek. A konvergensek esetén számolja ki az integrál értékét.

26 6. A határozott integrál (a (c (e (g + e d, ln, d, ln d, F4. Mutassa meg, hogy + ( ( + d. ( + + (b (d (f e d, ln d, d 4 5. ln p d (p R, b F4. Mutassa meg, hogy a lim d határérték létezik és véges, de a b + b d improprius integrál divergens. (Emlékeztetőül: a + f(d improprius integrált akkor mondjuk konvergensnek, ha a f(d és + f(d improprius integrálok mindegyike konvergens, és ebben az esetben + f(d : f(d + + f(d. T. Az összehasonlító kritérium: Legyen (a, b R (ahol lehet a és lehet b +, és tegyük fel, hogy f is és g is Riemann-integrálható (a, b-nek minden kompakt részintervallumán, továbbá f( g( ( (a, b. Ha az b g( d improprius integrál konvergens, akkor az b f( d improprius integrál is konvergens (majoránskritérium. a a Ha az b f( d improprius integrál divergens, akkor az b g( d improprius integrál is divergens ( a a minoránskritérium.

27 .. Improprius integrálok 7 F4. Döntse el, hogy az alábbi improprius integrálok konvergensek-e: (a (c (e + e d , (b cos + d, D. Akkor mondjuk, hogy az f( d improprius integrál abszolút konvergens, ha az b a d, (d b a (f + + d , + d, 5 + d. f( d improprius integrál konvergens. T4. Ha az is. b a f( d improprius integrál abszolút konvergens, akkor konvergens F4. Mutassa meg, hogy az alábbi improprius integrálok konvergensek: (a cos d, F44. Bizonyítsa be, hogy (a + sin (b d konvergens, (b + + sin d. sin d divergens. T5. Tegyük fel, hogy az f : [, + R + függvény folytonos, monoton csökkenő. Mutassa meg, hogy a n f(n számsor konvergens vagy divergens aszerint, hogy az + f( d improprius integrál konvergens vagy divergens. A tétel érvényben marad abban az esetben is, amikor f a fenti tulajdonságokkal a [k, + intervallumon (k N rendelkezik. Ebben az esetben + f(n, illetve f( d helyébe + f(n, illetve f( d értendő. nk n k

28 8. A határozott integrál F45. Az előző tétel felhasználásával vizsgálja meg konvergencia szempontjából az alábbi számsorokat: (a n (α R; (b α n ln n. n n F46. A valószínűségszámításban a λ > paraméterű eponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye így van definiálva: f λ ( : λe λ ( [, +. Néhány λ > paraméter esetén szemléltesse az f λ függvényt, és mutassa meg, hogy az f grafikonja alatti terület a [, + intervallumon minden λ > esetén -gyel egyenlő, azaz + f λ (d minden λ > számra. F47. Számítsa ki a következő integrálokat: (a (b + + λe λ d; ( /λ λe λ d (λ > paraméter. F48. Milyen a, b R esetén lesz + f(d, ha (a f( : e a ( R; { e a b, ha [, + (b f( :, ha (,. F49. Mutassa meg, hogy + e a minden a (, + paraméterre.

29 .. Improprius integrálok 9 F5. A statisztikában és a valószínűségszámításban fontos szerepet játszó Gaussféle haranggörbét így definiálják: f( : e ( R. (Ez a függvény az ún. standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye. Szemléltesse a függvény grafikonját. Mutassa meg, hogy a + / e d improprius integrál konvergens. Jegyezze meg, hogy A + Φ( : π e d π. e t dt ( R függvényt valószínűségintegrálnak, illetve Gauss-hibaintegrálnak nevezik. F5. Legyen µ tetszőleges valós és σ pozitív valós paraméter, és tekintse az f( : σ ( µ π e σ függvényt. Mutassa meg, hogy + (a f(d (használja fel, hogy (b (c + + f(d µ; f(d σ + µ. + ( R, e d π; F5. (a Bizonyítsa be, hogy minden > valós számra az + t e t dt improprius integrál konvergens. A Γ( : + függvényt gammafüggvénynek nevezzük. t e t dt ( R + (b Igazolja, hogy (i Γ( + Γ( ( R +, (ii ha n,,,..., akkor Γ(n + n!.

30 . A határozott integrál

31 II. rész Megoldások

32

33 . A határozatlan integrál (primitív függvények. A határozatlan integrál (primitív függvények.. A definíciók egyszerű következményei M. (a d ln( + c ( (, + ; (b d ln( + c ( (, ; (c sin d ctg + c ( (, π; (d d arctg + c ( R. + M. (a cos d sin + c és sin π + c c 4 cos d sin ( R; 4 π (b d + c és 8 + c c 6; d 6 ( >. 8 M. (a f ( d f( + c és f(4 4 + c + c c, azaz f( ( > ; (b f ( + d f( ln ( + + c és f( + ln ( + + c + c c, azaz f( ln ( + + ( >. ;

34 4.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (c f ( d f ( + c és f ( + c c és f ( + ( + d f( + + c és f( c c és f( + ( R. 6 (d f ( d f ( + c és f ( + c c és f ( + ( + d f( ln + + c és f( ln + + c c és f( ln + ( >. (e f ( e + 5 sin (e + 5 sin d f ( e 5 cos + c és f ( e 5 cos + c c 4 és f ( e 5 cos + 4 (e 5 cos + 4 d f( e 5 sin c és f( e 5 sin c c és f( e 5 sin + 4 ( R. (f f ( sin sin d f ( cos + c és f ( cos + c c és f ( cos + ( cos d f ( sin + c és f ( sin + c c és f ( sin + ( sin + d f( + cos + + c és f( + cos + + c c és f( + cos + ( R.

35 . A határozatlan integrál (primitív függvények 5.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek... Alapintegrálok M4. (a (6 8 + d c ( R; ( (b + d c ( > ; 4 (c d 7 8 d c ( > ; 8 ( + (d d + + d (e c ( > ; 5 ( 5 + d d arc sin + c ( <. d f f... Alapintegrálokra vezető típusok alakú integrálok M5. Az f függvény egy primitív függvénye ln f, mert ( ln f f. Mivel f f f f intervallumon értelmezett, ezért minden primitív függvénye ln f-től egy konstansban különbözik. M6. (a + d + d ln ( + + c ( R; (b d d ln( c ( R; sin sin (c tg d cos d cos d ln(cos + c ( < π; e (d e + 5 d e e + 5 d ln(e c ( R;

36 6.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (e ha (,, akkor ln <, ezért d ln d ln( ln + c ( (, ; ln d (f ln d ln ln( + c ( >. ln f α f alakú integrálok M7. M5-höz hasonlóan. M8. (a ( + 4 d 6 ( (b ( c ( R; d 8 (6 + 4 d 8 (c (d (e (f ( c ( > ; 8 e ( e d, ( e ( e d ( e 4 4 sin cos d sin4 + c ( R; 4 ln 5 d ln5 d ln6 + c ( > ; 6 ar sh + d, 4 ar sh ar sh d + + c ar sh + c ( > ; (g ( d (4 + 7 ( d c < 5/; (h cos (tg d cos (tg d + c ( R; tg +c ( (, π.

37 . A határozatlan integrál (primitív függvények 7 f(a + b d alakú integrálok M9. M5-höz hasonlóan. M. (a ( d (b d ( (+ ( + + c ( ( d ( 4 4 ( + c ( c ( < ; (c + d + d (d (e (f arctg d + c ( R; d arth + c ( > /; d ( + c ( > ; ( d + ( d d ( arc sin + c ( < /; d ( ar ch ( d + c ( > /.

38 8.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek M. (a d d 5 ( 5 + d 5 5 arctg ( ( + c ( R; 5 5 d (b ( d 4 (c (d [ ( + 4 ] + d [ ( + 8 ] + d [ 5 ( ] [ ( 5 ] + ( + 5 d d ( d d arctg ( + + c ( R; ( d d arsh ( 8 (+ +c ( R; ( + 5 d d arc sin ( 5 ( + c ( 5 < < + 5. f ( g( g ( d alakú integrálok M. M5-höz hasonlóan. M. (a sin d sin cos d + c ( R; sh (b d sh d ch + c ( > ; (c (6 + sin( + d cos( + + c ( R;

39 . A határozatlan integrál (primitív függvények 9 (d ( + ln d d arc tg(ln + c ( > ; + (ln (e d ar sh(tg + c ( < π/; cos + tg (f M4. (a e tg cos d cos etg d e tg + c ( < π/.... Integrálás ügyesen + d + d + ( + d arctg( + c ( R; ( (b d d + 7 d d + 7 d + 7 ln( + c ( > ; (c 4 + d ( ( arc tg + c ( R; 4 (d + d [( + ] + d ( + + d + d ( + 4 d + d ( ( c ( R; sin sin (e tg d cos d cos d ln cos + c ( < π; sin (f tg cos d cos d ( d cos cos d tg + c ( < π/;

40 4.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek cos cos (g sin d d d d sin + c ( R; 4 (h cos d cos cos d cos ( sin d cos d cos sin d sin sin + c ( R; sin(α + β + sin(α β (i a sin α cos β azonosság alapján sin + sin( 4 sin cos 7 d d sin sin(4 d sin d sin 4 d cos cos 4 + c ( R; 4 cos(α + β + cos(α β (j most a cos α cos β azonosságot alkalmazzuk: cos cos d [cos( + + cos( ] d sin 5 + sin + c ( R; (k sin d sin cos d cos tg sin cos d ln(tg + c ( (, π; cos d (l a cos sin ( + π ( R azonosság, valamint az előző feladat felhasználásával; (m a következő átalakítást lehet használni: sin cos sin cos cos sin ( sin cos cos sin cos sin 4 ;

41 . A határozatlan integrál (primitív függvények 4 (n tekintsük az alábbi azonosságokat: 4 sin ( sin cos 4 4 ( sin cos cos + cos 8 sin ( + 8 cos( sin (...4. Parciális integrálás M5. M5-höz hasonlóan. M6. (a e d (f( f (, g ( e g( e e e (b d e 4 e + c ( R; sin d ( f( f (, g ( sin g( cos + cos d ( f( f (, g ( cos g( cos + [ sin cos (c e sin d ( f( e f ( e, ] sin d + 9 sin + cos + c ( R; 9 e cos + e cos d ( f( e f ( e, cos sin g ( sin g( cos g ( cos g( sin

42 4.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek e cos + e sin e sin d; rendezés után kapjuk, hogy e sin d e cos + e sin + c ( R; (d e ch d parciális integrálással is meghatározható, de egyszerűbb a következő: e ch d e e + e ( e 5 d + e d e5 e + c ( R; (e cos( + e + d ( f( e +, f ( e + ; g sin( + ( cos( +, g( e+ sin( + e + sin( + d ( f( e +, f ( e + ; g cos( + ( sin( +, g( + sin( + e [ e + cos( + e + cos( + d ] + sin( + e + 4 e+ cos( + 9 e + cos( + d, 4 rendezés után azt kapjuk, hogy cos(+e + d e+ sin( + + e + cos( + +c ( R; (f ln d ln d ( g (, g( ; f( ln, f ( ln d ln + c ( > ;

43 . A határozatlan integrál (primitív függvények 4 (g arc tg d arc tg d ( g (, g(, f( arc tg, f ( + ( arc tg + ( d arctg 6 arc tg 6 ln( c ( R; d (h ln d ( g (, g( ; f( ln, f ( ln d ln + c ( > ; 9 (i 5 e d e d (f(, f ( g ( e, g( e ( e e d e ( + c ( R; (j ln d ( g (, g( ; f( ln, f ( ln ln ln d ln ln d ( g (, g( ; f( ln, f ( ln ( ln d ln ln + + c ( > ; 4

44 44.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (k arc sin d arc sin d ( g (, g( ; f( arc sin, f ( arc sin d arc sin + ( ( d (l arc sin + + c ( < ; cos(ln d cos(ln d ( g ( cos(ln, g( sin(ln ; f(, f ( sin(ln sin(ln d sin(ln + sin(ln d ( g ( sin(ln, g( cos(ln ; f(, f ( sin(ln + cos(ln cos(ln d cos(ln d ( sin(ln + cos(ln + c ( >...5. Integrálás helyettesítéssel M7. M5-höz hasonlóan. M8. Az alábbi összefüggést használjuk: f( d f(g(tg (t dt tg ( Itt f egy I intervallumon adott (pl. folytonos függvény, g : J I pedig egy szigorúan monoton (növekedő vagy csökkenő differenciálható függvény a J intervallumon. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az g(t helyettesítést alkalmazzuk. (Figyeljünk majd a g helyettesítő függvény szigorú monotonitásának az ellenőrzésére! (a Most az sin t : g(t helyettesítést alkalmazzuk. Mivel < <, ezért g-t a ( π, π intervallumon tekintjük. Itt g szigorúan monoton

45 . A határozatlan integrál (primitív függvények 45 növekedő, ezért a fenti képlet alkalmazható: d sin t cos t dt tarc sin ( ( t sin t + + c 4 tarc sin + cos(t cos t dt arc sin dt cos t tarc sin sin(arc sin cos(arc sin + c arc sin (b Itt az + + c ( <. sh t : g(t (t R; g, g (t ch t (t R helyetesítést alkalmazzuk: ch + d + sh t ch t dt t ch t dt tar sh tar sh (ch t sh t, ch (t sh t + ch t ( ch t + dt sh t + t tar sh + c 4 tar sh ( ch t sh t + t + c tar sh ch (ar sh ar sh + + c + + ar sh + c. (c Az d ( > integrál kiszámításához alkalmazza az ch t : g(t (t > helyettesítést.

46 46.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek M9. (a (b (c (d (e..6. Racionális függvények integrálása d ln( + c, ha (, + ; d ln( + c, ha (, ; d d ln( c d ln( ( d ( + + d ln( ( + ] + d [ ln( arctg( + + c + + d ( + + d 4 4 [ arc tg ( + ] + c ( R; ( R; + 5 (f + 5 d d [ d ( + 9 d] [ln ( [ 9 ( ] + d] ln ( arctg [ 9 9 ( ] + c ( R; ( R; [ ] d 4 ( d] [ln ( + 5 +

47 . A határozatlan integrál (primitív függvények (g + 7 d + 7 d [ + 7 d + + ( + 6 d] [ln( ( ] + d] ln( arc tg [ 6 ( ] + c ( R. M. A feladatban megadott rekurzív formula az egyenlőség mindkét oldalának deriválásával igazolható. Az f primitív függvényének kiszámításához először azt jegyezzük meg, hogy az ( R függvény határozatlan integrálja arc tg ( R. A rekurzív + formulát n -re alkalmazva kapjuk az ( R primitív függvényét. (+ Ennek ismeretében ismét a rekurzív formulát felhasználva n -re adódik az ( R primitív függvénye. (+ M. (a Az integrandust parciális törtek összegére bontjuk: ( ( 4 A + B 4 (A + B (4A + B ( ( 4 [ A( 4 + B( ( ( 4 alapján A + B, (4A + B adódik, amiből A, B következik. Ezért (b d ( ( 4 d d + 4 d ln( + ln(4 + c, ha < < 4. ( A ( ( + d + B ( + + d + ( d + ln( + ln( + + c + ln + c, ha (,. d + d

48 48.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (c Az ln függvény értelmezési tartományára kell figyelni! A számolások az előző feladathoz hasonlók; a változások: d ( d + + d ( d + + d ln( + ln( + + c ln + + c, ha (, +. (d 6 + d ( ( + ( d ( d A + + B d 5 ln( + + ln( + c ha (, +. (e d ( ( + d A ( d ( A ( + d ln( c ha (, +. + (f Az integrandus így bontható fel: ( + 4 A + B + C + 4 A( (B + C ( + 4 (A + B + C + 4A ( + 4

49 . A határozatlan integrál (primitív függvények 49 alapján A + B, C, 4A, azaz A 4, B 4. Ezért ( + 4 d 4 d d 4 ln 8 ln( c, ha >. (g Az + d + ( ( + ( + d ( ln( d + d A + + B + C d + a. alaptípusnak megfelelő törtfüggvény. A primitív függvénye: + d + d + d ln( + 4 ( + 4 d + [ ] d ( ln( + arctg + c ln( + arctg + c ha (, +. Ezért + d ln( + arctg + c ha (, +.

50 5.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek..7. Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések M. (a Legyen t. A helyettesítő függvény t : g(t (t >. Mivel g (t t >, ha t >, ezért g szigorúan monoton növekedő, következésképpen a második helyettesítési szabály alkalmazható: + d + t + t t dt dt t + t t ( dt + t t (t ln( + t + c t ln( + + c, ha >. (b t, > ; t : g(t (t > és g (t t (t > miatt g szigorúan monoton növekedő. Így t + d t (t t + t t dt (t + + dt t t + t [ (t + ] dt t + t [ t ] t + ln(t + + c t ln( + + c, ( > (c Tudjuk, hogy a t

51 . A határozatlan integrál (primitív függvények 5 helyettesítés racionális törtfüggvény integrálására vezet. Ha >, akkor nyilván < t <, ami azt jelenti, hogy az t : g(t (t (, helyettesítő függvényt alkalmazzuk. Mivel g (t 6t ( t > ( t (,, ezért g szigorúan monoton növekedő, így a határozatlan integrálokra vonatkozó második helyettesítési szabályunk valóban alkalmazható: t d 6t t ( t dt t. Mivel t 6t t ( t dt t + 4 t ( t dt + ( + dt t + ln t + t 4 ( t( dt + t + t + c, t ezért d + + ln + c ( >. M. (a sin d t +t + t dt ttg t dt ttg (ln t + c ttg ln tg + c, ha < < π. (b...

52 5.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (c + sin + cos d dt + t + t +t +t ttg + t + t + t dt ttg + t dt ttg (ln(t + + c ttg ln ( tg + + c, ha ( π, π. (d... (e + sin cos d + Most az t(+t t +t +t t t ttg + + t dt ttg t( + t dt ttg törtet parciális törtekre bontjuk: t( + t A t + Bt + C + t alapján C, A, B, tehát t( + t t t + t. Ezért ( ( t + ( t t ttg + t ( t + ln t ln( + t + c ctg + ln (tg t + + t t ( + t dt ttg ( (A + Bt + Ct + A t( + t ttg ( ln + tg + ( (, π.

53 . A határozatlan integrál (primitív függvények 5 M4. (a 4 e 4 d 4 t 4 t dt te (A 4 t + B t + 4 C dt t + te t(t (t + dt te ( t t + 8 dt t + te ( ln t + ln(t + ln(t + + c te + ln( e 4 + c, ha > ln. (b e e + d e + e + 4 ln(e + + c ( R (c e + 4 e + 4e + d t + 4 t + 4t + t dt te (t + 4 t(t + (t + dt te 4 t + t t + dt te 4 ln( e + 6 ln( e + + c ( R

54 54. A határozott integrál M5. (a. A határozott integrál.. A határozott integrál kiszámítása d ha < < 5, ezért 5 d arc sin + c, 9 ( d [ arcsin ] arcsin arcsin π. sin(ln (b d cos(ln + c, ha >, ezért e sin(ln d cos. (c Mivel + d ezért 4 (d Mivel d ezért ( ( ( d d ln + c, ha >, [ + d ln ] 4 ln ln ln 4. d arctg ( + + c, ha R, ( + + [ ] d arctg ( + arctg arctg π.

55 .. A határozott integrál kiszámítása 55 (e Parciális integrálással e sin d adódik, ezért π [ sin cos ] π e sin d e eπ +. sin cos e + c ( R sin π cos π e π (f Parciális integrálással ln d ln + c ( > adódik, ezért e ln d sin cos e [ ] e ln ( e ln e e ( ln. (g Először az integrandus primitív függvényeit határozzuk meg. Alkalmazzuk a t +, 5, t 4 helyettesítést, azaz tekintsük az t : g(t ( t 4 helyettesítő függvényt. A g függvény szigorúan monoton növekedő az [, 4] intervallumon, deriválható és g (t t (t [, 4], ezért a határozatlan integrálokra vonatkozó második helyettesítési szabályt alkalmazhatjuk: d + + (t + t t dt. t + Mivel (t + t t dt t t + t dt t (t (t + dt [ A t + B ] dt t + 5 t dt t + dt 5 ln(t + 4 ln(t + + C, 5

56 56. A határozott integrál ha t [, 4], ezért d + + d 5 ln( ln( C. A Newton Leibniz-tétel alapján tehát 5 d + + d [ln ( ln ( + + ] 5 5 ln. 5 (h Először az integrandus primitív függvényeit határozzuk meg. Most a t e, ln, t helyettesítéssel próbálkozunk, azaz vesszük az ln( + t : g(t ( t helyettesítő függvényt. A g függvény deriválható és g (t t (t [, ], g +t tehát szigorúan monoton növekedő. A határozatlan integrálokra vonatkozó második helyettesítési szabály tehát alkalmazható: e t ( d t + t dt dt t e + t t e ( t arctg t t e arctg e + C. e A Newton Leibniz-tétel alapján tehát ln e d [ e arctg ] ln e π. M6.... M A határozott integrál alkalmazásai

57 .. A határozott integrál kiszámítása 57 M8.... M9.... M.... M.... M.... M. (b Az ívhossz kiszámolásához szükségünk van a deriváltra: Ezért l 4 + [ f ( ] d 4 8 7(. (d Mivel f ( cos l π π f (. ( sin tg, ezért + [ f ( ] π d [ 8 + ( ] 9 d tg d cos + sin π d cos cos d. ( (, π függvény primitív függvényét a már ismert t tg -es Az cos helyettesítéssel számítjuk ki: cos d Ezért l π t +t + t dt ttg t dt ttg ( t + + t dt ttg [ cos d ln + tg tg ( t( + t dt ttg ] π ln ( ln + t t + c ttg +..

58 58. A határozott integrál M4.... M5. (c A sin 4 ( R függvény primitív függvénye: sin 4 d sin ( cos d sin d cos d sin d 4 sin cos 4 d 4 4 sin sin c, 8 4 ezért a keresett térfogat: sin cos d π π f ( d [ sin sin 4 ] π 8 π.

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C. . Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Analízis 3. A szakirány Gyakorlati jegyzet 1-6. óra.

Analízis 3. A szakirány Gyakorlati jegyzet 1-6. óra. Analízis. A szakirány Gyakorlati jegyzet -6. óra. A jegyzetet Umann Kristóf készítette Filipp Zoltán István gyakorlatán. Utoljára frissítve: 07. május. Tartalomjegyzék. Információk a gyakorlattal kapcsolatban.

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények 6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1. PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Matematika példatár 4.

Matematika példatár 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 4 MAT4 modul Integrálszámítás szabályai és módszerei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

2014. november Dr. Vincze Szilvia

2014. november Dr. Vincze Szilvia 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

KALKULUS II. PÉLDATÁR

KALKULUS II. PÉLDATÁR Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR Programozó és programtervez

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Polinomok maradékos osztása

Polinomok maradékos osztása 14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel,

Részletesebben

2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.

2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság. Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................

Részletesebben

I. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL

I. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL A primitív függvény és a határozatlan integrál 5 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Gyaorlato és feladato ( oldal) I Vizsgáld meg, hogy a övetező függvényene milyen halmazon van primitív

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA) Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben