Hatványsorok, elemi függvények

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Hatványsorok, elemi függvények"

Átírás

1 Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények

2 Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények) A H függvényhalmaz elemeiből képzett ( f n ) : N H sorozatot függvénysorozatnak nevezzük.

3 Hatványsorok, elemi függvények EL 3 Példa: nemnegatív egész kitevős függvényekből álló függvénysorozat f n () n, ]-1,1[, n0,1,, f 0 () 1, ]-1,1[ f 1 (), ]-1,1[ f (), ]-1,1[ f 3 () 3, ]-1,1[ : f n () n, ]-1,1[ :

4 Hatványsorok, elemi függvények EL 4 Definíció: függvénysor Legyen (f n ) : N H egy függvénysorozat. Az (f n ) elemeiből képzett s 1 f 1 s f 1 + f n s 3 f 1 + f + f 3 s n f i : i 1 s n f 1 + f + + f n : sorozatot függvénysornak nevezzük. Jelölés (s ) n1 n f n

5 Hatványsorok, elemi függvények EL 5 Példa n 0 Megjegyzés f n () n 0 n ]-1,1[ A változó rögzített értéke mellett a függvénysor egy számsor. A fenti példában az 1/ érték mellett például a számsort kapjuk. n 0 1 n

6 Hatványsorok, elemi függvények EL 6 Definíció: hatványsor Legyen 0 R, a n R, (n0,1,, ). Az f n () ( 0 ) n hatványfüggvényekből képzett n 0 f n () a n 0 n ( 0 ) n, z R speciális függvénysort hatványsornak nevezzük. Példa n 0 f n () n 0 n ]-1,1[ Itt 0 0, a n 1 (n0,1,, )

7 Hatványsorok, elemi függvények EL 7 Megjegyzés Rögzített érték mellett a hatványsor egy számsor. Hatványsorok esetén fontos kérdés, hogy melyek azok a értékek, melyek mellett a hatványsor konvergens. Példa A n0 n hatványsor konvergens, ha ]-1,1[.

8 Hatványsorok, elemi függvények EL 8 Tétel: hatványsor konvergenciatartománya Egy n 0 a n (z z0) n hatványsor esetén a következő három eset lehetséges: 1. ESET A hatványsor csak egy pontban, 0 esetén konvergens, az ettől különböző pontokban divergens. Ekkor azt mondjuk, hogy a konvergencia sugár 0.

9 Hatványsorok, elemi függvények EL 9. ESET A hatványsor egy pont egy véges környezetében konvergens, pontosabban: van olyan r>0, hogy a hatványsor konvergens, ha 0 < r és divergens, ha 0 > r. Ekkor azt mondjuk, hogy a konvergencia sugár r, az 0 pont r sugarú nyílt környezetét a hatványsor konvergencia tartományának nevezzük. (Ez nem más, mint az ] 0 r, 0 +r[ nyílt intervallum. Megjegyzés A konvergenciatartomány határán való viselkedés kérdéses.

10 Hatványsorok, elemi függvények EL 10 Példa A n0 n hatványsor konvergencia tartománya a ]-1,1[ intervallum.

11 Hatványsorok, elemi függvények EL ESET A hatványsor mindenhol, azaz minden R esetén konvergens. Ekkor azt mondjuk, hogy a konvergencia sugár, a konvergenciatartomány pedig a teljes számegyenes. Példa A 0 n n z n! hatványsor mindenhol konvergens.

12 Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Definíció: hatványsor összegfüggvénye Tekintsük a n 0 a n ( 0) n hatványsort, és definiáljuk az f függvényt a hatványsor konvergencia tartományában a következőképpen f () n 0 a n ( 0) (Az f függvény értéke egy helyen egyenlő a rögzítésével kapott számsor összegével.) Az f függvényt a hatványsor összegfüggvényének nevezzük. n

13 Hatványsorok, elemi függvények EL 13 Példa: A n0 n hatványsor konvergencia tartománya a ]-1,1[ intervallum. Itt fennáll, hogy n 0 n 1 1 így a hatványsor összegfüggvénye: f () 1 1

14 Hatványsorok, elemi függvények EL 14 A n 0 n 1 1 hatványsor első néhány tagja és összegfüggvénye:

15 Hatványsorok, elemi függvények EL 15 A n 0 n 1 1 hatványsor első néhány részletösszege és összegfüggvénye:

16 Hatványsorok, elemi függvények EL 16 A természetes alapú eponenciális függvény Definíció: eponenciális függvény A 0 n n n! hatványsor mindenhol konvergens. Összegfüggvénye: n 0 n n! e R e 1+ +! + 3 3! + 4 4! +...

17 Hatványsorok, elemi függvények EL 17 e 1+ +! + 3 3! R

18 Hatványsorok, elemi függvények EL 18 A természetes alapú logaritmus függvény Az e természetes alapú eponenciális függvény inverze az log e ln függvény. A természetes alapú eponenciális és logaritmus függvény grafikonja: e ln

19 Hatványsorok, elemi függvények EL 19 Definíció Eponenciális függvények Ha a R, a>0, akkor legyen a e lna, R A valós változós eponenciális függvények grafikonja: a, ha a > 1 a, ha 0 < a < 1

20 Hatványsorok, elemi függvények EL 0 Definíció A szinusz függvény n+ 1 n sin( ) ( 1) sin() n 0 (n + 1)! 3! 5! 7! sin

21 Hatványsorok, elemi függvények EL 1 sin 3 3! + 5 5!

22 Hatványsorok, elemi függvények EL A koszinusz függvény Definíció: n n 4 6 cos( ) ( 1) cos() n 0 (n)!! 4! 6! cos

23 Hatványsorok, elemi függvények EL 3 A sin és cos függvények nevezetes értékei (π180 )

24 Hatványsorok, elemi függvények EL 4 A trigonometrikus függvényekre vonatkozó azonosságok

25 Hatványsorok, elemi függvények EL 5 A trigonometrikus függvényekre vonatkozó azonosságok

26 Hatványsorok, elemi függvények EL 6 A trigonometrikus függvények kapcsolata

27 Hatványsorok, elemi függvények EL 7 A tangens és a kotangens függvény Definíció tg () sin() cos() ctg () cos() sin()

28 Hatványsorok, elemi függvények EL 8 A szinusz hiperbolikusz függvény Definíció sh() e e R A szinusz hiperbolikusz függvény előállítása hatványsorral: n sh () sh() n 0 (n + 1)! 3! 5! sh

29 Hatványsorok, elemi függvények EL 9 Definíció: A koszinusz hiperbolikusz függvény ch() e + e R A koszinusz hiperbolikusz függvény előállítása hatványsorral: n 4 ch () ch() n0 (n)!! 4! A ch függvény grafikonja (láncgörbe): ch

30 Hatványsorok, elemi függvények EL 30 Definíció A tangens hiperbolikusz és a kotangens hiperbolikusz függvény th () sh() ch() cth () ch() sh()

31 Hatványsorok, elemi függvények EL 31 A hiperbolikusz függvényekre vonatkozó azonosságok

32 Hatványsorok, elemi függvények EL 3 A hiperbolikusz függvényekre vonatkozó azonosságok

33 Hatványsorok, elemi függvények EL 33 Kapcsolat a hiperbolikusz függvények között

34 Hatványsorok, elemi függvények EL 34 A hatványfüggvények 3

35 Hatványsorok, elemi függvények EL 35 1/ 1/3-1 -

36 Hatványsorok, elemi függvények EL 36 Inverzfüggvény (lásd a halmazok című fejezetben is) A hatvány, az eponenciális, a trigonometrikus és a hiperbolikus függvények inverzei Definíció: invertálható függvény Ha minden y R f elemhez pontosan egy olyan D f elem létezik, melyre f()y, akkor az f függvényt invertálható függvénynek nevezzük.

37 Hatványsorok, elemi függvények EL 37 Példák Az f(), D f R függvény invertálható Az f(), D f R nem invertálható függvény Az f(), D f [0,+ [ függvény invertálható

38 Hatványsorok, elemi függvények EL 38 Definíció: inverzfüggvény Ha f invertálható függvény, akkor azt a g: R f D f függvényt, melyre minden D f esetén fennáll, hogy g o f ( ) az f függvény inverzfüggvényének nevezzük. Jelölés g f -1

39 Hatványsorok, elemi függvények EL 39 Példa f() f -1 () log Df R R f ]0, + [ D 1 ]0, + [ R 1 R f f

40 Hatványsorok, elemi függvények EL 40 Definíció: Legyen 0<a R, a 1. Logaritmus függvények Az log a függvény a valós a eponenciális függvény inverze. log a, ha a > 1 log a, ha 0 < a < 1

41 Hatványsorok, elemi függvények EL 41 A definíció szerint Kapcsolat függvény és inverze között f 1 of () fof 1 () azaz, ha egy függvényből és az inverzéből összetett függvényt képezünk, akkor az identikus függvényt kapjuk. Példa f() f -1 ()log f 1 of () log fof 1 () log

42 Hatványsorok, elemi függvények EL 4 Példa Kapcsolat függvény és inverze között Függvény és inverze esetén az értelmezési tartományok és az értékkészletek felcserélődnek: D f R f 1 R f D f 1 f() f -1 ()log D R 1 f f R R 1 f D ]0, + [ f

43 Hatványsorok, elemi függvények EL 43 Kapcsolat függvény és inverze között f és f 1 grafikonjai egymás tükörképei az egyenesre vonatkozóan f és f 1 monotonitása azonos

44 Hatványsorok, elemi függvények EL 44 Hatványfüggvény inverze 1 n f () 1 n f () (n R, n 0) Példa f() D f [0, [ ( )

45 Hatványsorok, elemi függvények EL 45 A trigonometrikus függvények inverze f() sin f -1 () arcsin π sin 6 1 arcsin 1 π 6

46 sin arcsin cos arccos

47 tg arctg ctg arcctg

48 A hiperbolikusz függvények inverzei sh arsh ch arch

49 th arth cth arcth

50 Hatványsorok, elemi függvények EL 50 Polinomfüggvények Definíció A polinomok a változó nem negatív egész kitevős hatványainak valós számokkal képzett lineáris kombinációi P() a 0 + a 1 + a + a a n n Polinom fokszáma: Polinom főegyütthatója: n a n

51 Hatványsorok, elemi függvények EL 51 A polinomok a legegyszerűbben kezelhető függvények, ezért sokszor célszerű bonyolultabb függvényeket polinomokkal közelíteni (lásd: interpolációs polinomok, Taylor polinomok a differenciálszámításnál, közelítő integrálás a Simpson formulával, stb.) A polinomok vizsgálatában a legalapvetőbb feladat a zérushelyek (gyökök) megkeresése, a gyöktényezős felbontás előállítása és az előjelvizsgálat.

52 Hatványsorok, elemi függvények EL 5 Tétel: gyöktényezős felbontás Minden (legalább első fokú) polinom egyértelműen felbontható elsőfokú és valós gyökkel nem rendelkező másodfokú polinomok szorzatára. A felbontásban szereplő elsőfokú tényezők a gyöktényezők, melyek egy-egy gyökhöz tartoznak az alábbiak szerint: 0 pontosan akkor gyöke egy polinomnak, ha az (- 0 ) gyöktényező szerepel a felbontásban.

53 Hatványsorok, elemi függvények EL 53 Példa P() (-3) (-1) (+5) gyökök: 1 3, 1, 3-5 Előjelvizsgálat (lásd: folytonos függvények előjelváltása): < <<1 1 1<<3 3 3< (-1) P()

54 Hatványsorok, elemi függvények EL 54 Másodfokú polinom gyöktényezős felbontása A P()a +b +c másodfokú polinom gyökttényezős felbontása az a +b +c0 másodfokú polinomegyenlet megoldásával kapható meg az alábbiak szerint: 1. eset: ha az egyenletnek két különböző gyöke van: 1 és, akkor P() a + b +c a (- 1 ) (- ). eset: ha az egyenletnek egy (pontosabban két egybeeső) gyöke van: 0, akkor P() a + b +c a (- 0 ) 3. eset: ha az egyenletnek nincs gyöke, akkor a polinom nem bontható elsőfokú polinomok szorzatára

55 Hatványsorok, elemi függvények EL 55 Másodfokú egyenlet megoldóképlete Az a +b +c0 másodfokú polinomegyenlet gyökeit adja a következő formula b ± b a 4ac A b -4ac kifejezés (diszkrimináns) értékétől függően a másodfokú polinomegyenletnek 0, 1, vagy db gyöke van. Megjegyzés A harmad- és a negyedfokú polinomegyenlethez van megoldóképlet, de lényegesen bonyolultabb a másodfokúénál.

56 Hatványsorok, elemi függvények EL 56 Megjegyzés Magasabb fokú polinomok gyökeinek megkeresésére különféle módszerek vannak. Például: egy gyök ismeretében a megoldandó egyenlet fokszáma eggyel csökkenthető a polinomosztás alkalmazásával. Példa Határozzuk meg a P() harmadfokú polinom gyökeit, ill. a gyöktényezős felbontását! Ehhez az harmadfokú polinomegyenletet megoldani. kell

57 Hatványsorok, elemi függvények EL 57 Mivel 1 gyöke a polinomnak a gyöktényezős felbontásukban szerepel az (-1) gyöktényező, vagyis P felbontása: P() ( 1 ) Q() ahol Q() egy másodfokú polinom, amit a Q() P() / (-1) polinomosztással tudunk meghatározni: ( 3 +1) : ( 1) 1 Q() (-) (-) +1 0

58 Hatványsorok, elemi függvények EL 58 Így a P polinom felbontása: P() ( 1 ) Q() ( 1 ) ( 1 ) A Q() 1 másodfokú polinom tovább bontható, így a P gyöktényezős felbontása: P() ( 1) ( 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) A gyökök pedig: 1 1 (kétszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: ( 1) -1 (egyszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: ( + 1)

59 Hatványsorok, elemi függvények EL 59 Interpoláció (Lagrange-féle interpolációs polinomok) Ha adott pontokra illesztünk egy függvényt meghatározott függvényosztályból, akkor interpolációról beszélünk. Interpolációt alkalmazunk például, ha két mennyiség összefüggésének vizsgálatára végzünk méréseket, és egy függvényosztályból keresünk egy olyan függvényt, mely a mérési eredményeknek megfelelő pontokon átmegy.

60 Hatványsorok, elemi függvények EL 60 Tétel: Lagrange féle interpolációs polinomok Ha adott n darab ( 1,y 1 ),, ( n,y n ) alappont úgy, hogy i j, ha i j akkor pontosan egy olyan legfeljebb (n-1)-edfokú L polinom létezik, mely illeszkedik mindegyik pontra. Ezt a polinomot n-edfokú interpolációs polinomnak nevezzük. Tétel: Lagrange féle interpolációs polinomok meghatározása L() n i 0 y g i i() ahol g i () n j 0 i j i j j

61 Hatványsorok, elemi függvények EL 61 Példa g g g g () () () () i y i ( 1)( )( 3) (0 1)(0 )(0 3) ( 0)( )( 3) (1 0)(1 )(1 3) ( 0)( 1)( 3) ( 0)( 1)( 3) ( 0)( 1)( ) (3 0)(3 1)(3 ) L () y g () + y g () + y g () + y g () g i () L() n j 0 i j i n i 0 y g 3 6 j j i i () +

62 Hatványsorok, elemi függvények EL A megadott pontokra illeszkedő harmadfokú polinom: L()

63 Hatványsorok, elemi függvények EL 63 Definíció Racionális törtfüggvények A racionális törtfüggvények a két polinom hányadosaként előálló függvények f () P() a n n 1 n n 1 k k 1 Q() bk + bk 1 + a a b a + b 0 0 Megjegyzés: szakadási helyek A Q polinom zérushelyeinél az f racionális törtfüggvények szakadása van, mely kétféle lehet: hézagpont, vagy pólus (lásd a folytonosság c. részt).

64 Hatványsorok, elemi függvények EL 64 Példa: racionális törtfüggvény, szakadási helyek ( 1)( 3) f () 3 ( 1) A nevező gyöktényezős felbontásából látható, hogy az f függvénynek az 0 és az 1 helyeken van szakadása. A tört egyszerűsítésével a következő függvény adódik: f *() 3 1 Vegyük észre, hogy az f és az f* függvények között csupán annyi a különbség, hogy az f* értelmezve van az 1 helyen, míg az f nincs. 3

65 Hatványsorok, elemi függvények EL 65 ( 1)( 3) f () ( 1) f *() Az f függvénynek az 1 helyen hézagpontja van, itt az f* függvény értelmezve van (és folytonos), míg az 0 helyen pólusa van, itt az f* függvény sincs értelmezve.

66 Hatványsorok, elemi függvények EL 66 Az, hogy egy f racionális törtfüggvénynek az 0 szakadási helyén hézagpontja vagy pólusa van attól függ, hogy a leegyszerűsítéssel nyert f* függvény nevezőjében megmarad-e az (- 0 ) gyöktényező: ha nem marad meg (vagyis, ha az f* függvény már folytonos lesz az 0 helyen), akkor f-nek az adott helyen hézagpontja van (ezt a folytonosság témakörben megszüntethető szakadásnak fogjuk nevezni) ha megmarad (vagyis, ha az f* függvénynek is szakadási helye 0 ), akkor f-nek az adott helyen pólusa van.

67 Hatványsorok, elemi függvények EL 67 páros pólus páratlan pólus ha a gyöktényező az f* függvény nevezőjében páros hatványon marad ha a gyöktényező az f* függvény nevezőjében páratlan hatványon marad

68 Hatványsorok, elemi függvények EL 68 Az abszolút érték függvény és az előjel függvény 1,ha > 0,ha 0 sgn() 0,ha 0,ha < 0 1,ha < 0 sgn

69 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 69 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy tetszőleges részhalmaza.

70 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 70 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye van az o D helyen, ha f( o ) 0. Megjegyzés A matematikai problémák jelentős része visszavezethető függvény zérushelyeinek megkeresésére.

71 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 71 Definíció: korlátosság Az f:d R függvény felülről [alulról] korlátos, ha az értékkészlete felülről [alulról] korlátos halmaz. Definíció: korlát Az értékkészlet felső korlátja / pontos felső korlátja (sup) / alsó korlátja / pontos alsó korlátja (inf) a függvény ugyanolyan jellegű korlátja.

72 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 7 Definíció: monotonitás Az f:d R függvény monoton növekvő monoton csökkenő szigorúan monoton növekvő szigorúan monoton csökkenő ha a 1, D, 1 < f( 1 ) < f( ). > szigorúan monoton növekvő függvény szigorúan monoton csökkenő függvény

73 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 73 Példa A fogyasztási függvény tipikusan növekvő függvény, hiszen nagyobb jövedelem általában nagyobb fogyasztási kiadást eredményez.

74 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 74 Definíció: szélsőérték (maimum, minimum) Az f:d R függvénynek maimuma [minimuma] van az 0 D helyen, ha f( 0 ) az f értékkészletének legnagyobb [legkisebb] eleme. Definíció: helyi (lokális) szélsőérték Az f:d R függvénynek helyi maimuma [minimuma] van az 0 D helyen, ha 0 -nak van olyan U környezete, melyben az f függvénynek maimuma [minimuma] van az 0 helyen.

75 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 75 Példa Egy sebesség-idő függvény: a sebesség 3s-ig növekszik, itt eléri a maimumát (1 m/s), utána csökken. Megjegyzés Szemléletesen fogalmazva: a helyi szélsőérték-helyek a függvény különböző monotonitású szakaszait választják el egymástól.

76 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 76 Definíció: konveitás Az f:i R függvény konve [konkáv], ha az I intervallum bármely két u<v eleme esetén az (u,f(u)) és a (v,f(v)) pontokat összekötő szakasz (húr) az f függvény felett [alatt] halad. Definíció: infleió Az f:d R függvénynek az D helyen az infleiós pontja van, ha van az -nek olyan ]-ε,+ε[ környezete, hogy az f függvénynek az ]-ε,] intervallumon konve [konkáv], míg az [,+ε[ intervallumon konkáv [konve].

77 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 77 Példa A fogyasztási függvény tipikusan konkáv, mivel a jövedelem növekedése esetén a fogyasztási kiadások egyre kisebb mértékben növekednek, azaz a növekedés üteme csökken.

78 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 78 Definíció: paritás Legyen a D R halmaz szimmetrikus az origóra. Az f:d R függvény páros [páratlan], ha bármely D esetén f(-) f() [ f(-) -f() ]. Megjegyzés Példa A páros függvények grafikonja tengelyesen szimmetrikus a függőleges tengelyre, a páratlan függvények grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. A trigonometrikus függvények közül a sin, tg, ctg függvények páratlanok, a cos függvény páros.

79 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 79 Definíció: periódus Az f:r R függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan pozitív p szám, melyre teljesül, hogy bármely R esetén f(+p)f(). Ha az f függvény periodikus, akkor végtelen sok megfelelő p érték van. A definícióban meghatározott tulajdonságú p értékek halmazának van legkisebb eleme, akkor ezt a számot az f függvény periódusának nevezzük.

80 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 80 Példa A trigonometrikus függvények periodikusak. A sin és a cos függvények periódusa π, a tg és a ctg függvények periódusa π. (Pontonkénti) műveletek R R függvényekkel Definíció: összeadás Az f:d R és a g:d R függvények összege az az (f+g):d R függvény, melyre: ( f + g )( ) f ( ) + g ( )

81 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 81 Hasonlóan értelmezzük a másik három (pontonkénti) alapműveletet is: Definíciók: kivonás, szorzás, osztás Az f:d R és a g:d R függvények különbsége, szorzata, hányadosa: ( f g )( ) f ( ) g ( ), D ( f g )( ) f ( ) g ( ), D ( f / g )( ) f ( ) / g ( ), D (ha 0 R g )

82 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 8 Definíció: folytonosság Az f:[a,b] R f függvény folytonos az 0 [a,b] helyen, ha bármely ( n ):N D f, n 0 sorozat esetén az f( n ):N R f sorozatra fennáll, hogy f ( n ) f ( 0 ). Példa Az f() függvény folytonos az 0 3 helyen, mert ha n 3, akkor f( n ) ( n ) 9 f(3)

83 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 83 Megjegyzés A folytonosság pontbeli tulajdonság. Definíció: jobb oldali folytonosság Az f:]a,b[ R függvény jobbról folytonos az 0 ]a,b[ helyen, ha az f függvény [ 0,b[ intervallumra való leszűkítése folytonos az 0 helyen. Definíció: bal oldali folytonosság Az f:]a,b[ R függvény balról folytonos az 0 ]a,b[ helyen, ha az f függvény ]a, 0 ] intervallumra való leszűkítése folytonos az 0 helyen.

84 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 84 Tétel Az f:]a,b[ R függvény folytonos az 0 ]a,b[ helyen f balról és jobbról is folytonos az 0 helyen. Példa Ez a függvény mindenhol folytonos balról, de a 0, 1, és a 3 helyeken nem folytonos jobbról.

85 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 85 Definíció: intervallumon folytonos függvény Az f:i R függvény folytonos az I intervallumon, ha folytonos az I minden pontjában.

86 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 86 Tétel Intervallumon folytonos függvények néhány tulajdonsága Ha az f:[a,b] R függvény folytonos [a,b]-n, akkor az értékkészlet bármely c,d R f, c<d elemei esetén a [c,d] R f. Vagyis: intervallumon folytonos függvény bármely két értéke közötti értékek mindegyikét felveszi. Következmény Ha a fenti feltételek mellett az f(a) és az f(b) függvényértékek előjele különböző, akkor az f függvénynek van zérushelye az intervallum belsejében.

87 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 87 Tétel Zárt [nyílt] intervallumon értelmezett folytonos függvény képe zárt [nyílt] intervallum.

88 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 88 Tétel Zárt intervallumon folytonos függvények néhány tulajdonsága Ha az f:[a,b] R függvény folytonos, akkor van maimuma és van minimuma. Megjegyzés Nyílt intervallumon folytonos függvény nem feltétlenül korlátos, illetve ha korlátos, akkor sincs feltétlenül maimuma, illetve minimuma.

89 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 89 Megjegyzés HOL Függvények határértéke Míg a számsorozatok esetén a határérték csak egyféleképpen érthető (n ), addig egy függvény határértéke az értelmezési tartomány bármely torlódási pontjában megkérdezhető. MENNYI A R - + a R??? -??? +???

90 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 90 Definíció: határérték valós helyen ( végesben ) Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának 0 torlódási pontjában az f függvény határértéke W, ha bármely ( n ) D f, n a sorozat esetén, melyre n 0 fennáll, hogy f( n ) W Jelölés lim f () 0 W Példa lim 0 1 +

91 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 91 Tétel: határérték és a folytonosság kapcsolata Az f:[a,b] R függvény pontosan akkor folytonos az 0 [a,b] helyen, ha f-nek létezik határértéke az 0 helyen, és az egyenlő az f( 0 ) függvényértékkel: lim f () f ( 0 0 ) Példa lim 3 9

92 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 9 Megjegyzés Figyeljük meg, hogy az 0 helyen vett határérték definíciójában nincs szó a függvény 0 -beli értékéről. Példa: határérték hézagpontban lim lim 3 ( 3) 3 lim 3 9

93 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 93 Definíció: bal oldali határérték Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény bal oldali határértéke W, ha bármely ( n ) D f, n <a (n N) sorozat esetén, melyre n a fennáll, hogy f( n ) W Jelölés lim a 0 f () W Példa lim 3 0 9

94 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 94 Definíció: jobb oldali határérték Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény jobb oldali határértéke W, ha bármely ( n ) D f, n >a (n N) sorozat esetén, melyre n a fennáll, hogy Jelölés f( n ) W lim f () a + 0 W Példa lim

95 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 95 Példák 1 1 lim lim lim + lim lim 0 1 +

96 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 96 Példák: lim f () lim f () 0 4 /8 lim f () lim f () / 8

97 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 97 Definíció: határérték + -ben Legyen W R {-, + }. Az f:]a,+ [ R függvénynek a + -beli határértéke W, ha bármely ( n ) ]a,+ [ sorozat esetén, melyre n + fennáll, hogy f( n ) W Jelölés lim f () + W Példa lim arctg + π

98 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 98 Példa lim + +

99 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 99 Definíció: határérték - -ben Legyen W R {-, + }. Az f:]-,b[ R függvény + -beli határértéke W, ha bármely ( n ) ]-,b[ sorozat esetén, melyre n - fennáll, hogy f( n ) W Jelölés lim f () W Példa lim e 0

100 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 100 Tétel: határérték és a műveletek kapcsolata Ha a R az f és a g függvények értelmezési tartományának egyaránt torlódási pontja, továbbá A,B,c R, akkor limf () a A lim(f + g)() A + a limc f () a c A B és limg() a lim a (f g)() B A B továbbá ha még g() 0 ( D g ) és B 0 is fennáll, akkor lim a f g () A B

101 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 101 Megjegyzés Ha két (véges, vagy végtelen) határértékkel rendelkező függvény között műveletet végzünk, de nem teljesülnek az előző tétel feltételei, például azért, mert legalább az egyik függvény határértéke végtelen, vagy két 0 határértékű függvényt osztottunk el, akkor előfordulhat az is, hogy pusztán a határértékek alapján meg lehet állapítani az új függvény határértékét, de az is, hogy ez nem lehetséges (ha van egyáltalán határérték). Az utóbbi eseteket szokás határozatlan alakú határérték-feladatnak nevezni. A következő táblázatban? jelöli a határozatlan eseteket. A! jel arra utal, hogy előjelvizsgálattal a határérték megállapítható. A többi esetben a határérték szerepel.

102 lim f lim g lim f+g lim f-g lim g-f lim f g lim f/g lim g/f A> A< A> A< ? 0! ? 0! + + +?? +?? + -? + - -?? - - -?? +??

103 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 103 További határozatlan formák Ha limf () a 0 és limg() a 0 akkor a lim a f () g() határérték-feladat határozatlan. Ha limf () 0 a és limg() 0 a vagy limf () 1 a és lim a g() + vagy limf () + és limg() 0 a a akkor a [ ] g() lim a f () határérték-feladat határozatlan.

104 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 104 Definíció: megszüntethető szakadás Az f:]a, 0 [ ] 0,b[ R függvénynek megszüntethető szakadása van az 0 ]a,b[ helyen, ha létezik a határérték, továbbá a függvény folytonos 0 -ban. g() lim f () 0 A f (),ha A,ha 0 0 Példa Ezeknek a függvényeknek megszüntethető szakadása van:

105 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 105 Példák Az alábbi szakadások: függvények szakadásai nem megszüntethető

106 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 106 Példák Racionális törtfüggvények határértékének kiszámítása - -ben és + -ben: lim lim lim lim lim lim lim 3 + lim

107 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 107 Példák Racionális törtfüggvények határértékének kiszámítása valós helyen: 3 3 lim (Az helyen folytonos a függvény.) lim lim 3 ( 3) ( + 5)( 3) lim (Az 3 helyen hézagpontja van a függvénynek.) 3 3 lim lim lim lim (Az -5 helyen pólusa van a függvénynek.)

108 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 108 Példák lim lim 1 ( + + ) lim lim lim ( )( ) ( 1)( + + ) lim ( + 1 )( 1 )

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4. Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

0, különben. 9. Függvények

0, különben. 9. Függvények 9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény

Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények 6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Inverz függvények Inverz függvények / 26

Inverz függvények Inverz függvények / 26 Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl. Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)

Részletesebben

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása . tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

2014. november Dr. Vincze Szilvia

2014. november Dr. Vincze Szilvia 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

1.1 A függvény fogalma

1.1 A függvény fogalma 1.1 A üggvény ogalma Deiníció: Adott két (nem üres) halmaz H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést üggvénynek nevezzük.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Kalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK

Kalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,

Részletesebben

Kalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK

Kalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C. . Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.

Részletesebben

Függvénytan elmélet, 9. osztály

Függvénytan elmélet, 9. osztály Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben