First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
|
|
- Sándor Budai
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Valós függvények (2) (Határérték)
2 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni. Az a szám az A R halmaz torlódási pontja, ha a minden δ sugarú környezete tartalmaz a-tól különböző A-beli pontot. A + az A R halmaz torlódási pontja, ha minden (a, + ) intervallum tartalmaz A-beli pontot. A az A R halmaz torlódási pontja, ha minden (, a) intervallum tartalmaz A-beli pontot. Példa 1 A (0, 1] intervallumnak minden pontja torlódási pontja is egyben, de van egy további torlódási pont is, a 0. Egy halmaz torlódási pontja tehát nem biztos, hogy eleme a halmaznak is. A torlódási pont számunkra legfontosabb tulajdonsága az, hogy minden ilyen pont végtelen sok olyan sorozat esze, amelynek minden eleme a halmazhoz tartozik. A torlódási pont végtelen közel közel van a halmazhoz.
3 Az a szám az A R halmaz belső pontja, ha van olyan δ > 0 szám, hogy A tartalmazza az a egész δ sugarú környezetét: (a δ, a + δ) A. Az A halmaz nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont. A (, a), (a, b), (a, + ) típusú nyílt intervallumok nyílt halmazok. 2. Véges helyen vett kétoldali véges határérték. Legyen f egyváltozós valós függvény, a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza az a egy δ sugarú környezetét, esetleg magától az a ponttól eltekintve. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az a helyen a L R szám, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n a, és x n a, teljesül, hogy f(x n ) L. Ezt így jelöljük: f(x) = L. (1) x a Ez a definíció azt fejezi ki, hogy minél közelebb vagyunk a függvény argumentumával az a-hoz, a függvényérték annál közelebb van L-hez. Ez a definíció megfogalmazható környezetek segítségével is: az f függvénynek pontosan akkor L a határértéke az a helyen, ha minden ε > 0 számhoz megadható olyan δ > 0 szám, hogy a D f tartalmazza a δ sugarú környezetét, esetleg magától az a-tól eltekintve, és 0 < x a < δ esetén f(x) L < ε.
4 3. Feladat 1 Tekintsük az f(x) = x2 1, D x 1 f = (, 1) (1, + ) függvényt és számoljuk ki a f(x) határértéket. x 1 Megoldás: Először is az 1 valóban torlódási pontja D f -nek. Legyen ezután (x n ) D f olyan, hogy x n 1, és x n egyetlen n-re sem 1. Ekkor azaz x 2 1 n x n 1 = (x n + 1)(x n 1) x n 1 f(x) = 2. x 1 = x n + 1 2, 4. Egyáltalán nem biztos, hogy egy függvénynek egy adott a helyen létezik határértéke, de ha létezik, akkor az egyértelmű. Az iménti definícióval azt definiáltuk, hogy egy függvény véges helyen vett kétoldali határértéke egy véges szám. Ez talán a legegyszerűbb határérték típus. Összesen 15 féle határérték típussal fogunk dolgozni. Ezek mind a fenti kis módosításával keletkeznek.
5 5. Legyen f és g két egyváltozós valós függvény, a olyan torlódási pontja D f -nek D g -nek, hogy D f is D g is tartalmazza az a egy δ sugarú környezetét, esetleg magától az a ponttól eltekintve, továbbá f(x) = x a A, g(x) = B, ahol persze A, B R. Ekkor x a x a (f(x) ± g(x)) = A ± B, (2) x a f(x) g(x) = A B, (3) f(x) x a g(x) = A, feltéve, hogy B 0. (4) B
6 6. Végtelenben vett véges határérték. Legyen + torlódási pontja D f -nek. f határértéke a + -ben a L R szám, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, x n +, teljesül, hogy f(x n ) L. Ezt így jelöljük: f(x) = L. (5) x + Legyen torlódási pontja D f -nek. f határértéke a -ben a L R szám, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, x n, teljesül, hogy f(x n ) L. Ezt így jelöljük: 7. Végtelenben vett végtelen határérték. f(x) = L. (6) x Legyen + torlódási pontja D f -nek. f határértéke a + -ben +, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, x n +, teljesül, hogy f(x n ) +. Ezt így jelöljük: f(x) = +. (7) x +
7 Legyen + torlódási pontja D f -nek. f határértéke a + -ben, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, x n +, teljesül, hogy f(x n ). Ezt így jelöljük: f(x) =. (8) x + Legyen torlódási pontja D f -nek. f határértéke a -ben +, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, x n, teljesül, hogy f(x n ) +. Ezt így jelöljük: f(x) = +. (9) x Legyen torlódási pontja D f -nek. f határértéke a -ben, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, x n, teljesül, hogy f(x n ). Ezt így jelöljük: f(x) =. (10) x
8 8. Véges helyen vett kétoldali végtelen határérték. Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza az a egy δ sugarú környezetét, esetleg magától az a ponttól eltekintve. f határértéke az a-ban +, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n a és x n a, teljesül, hogy f(x n ) +. Ezt így jelöljük: x a f(x) = +. (11) Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza az a egy δ sugarú környezetét, esetleg magától az a ponttól eltekintve. f határértéke az a-ban, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n a és x n a, teljesül, hogy f(x n ). Ezt így jelöljük: x a f(x) =. (12)
9 9. Egyoldali véges határérték. Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza valamilyen δ-ra az (a, a + δ) halmazt. f jobb oldali határértéke az a-ban L, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n > a és x n a, teljesül, hogy f(x n ) L. Ezt így jelöljük: f(x) = L. (13) x a+ Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza valamilyen δ-ra az (a δ, a) halmazt. f bal oldali határértéke az a-ban L, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n < a és x n a, teljesül, hogy f(x n ) L. Ezt így jelöljük: f(x) = L. (14) x a
10 10. Egyoldali végtelen határérték. Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza valamilyen δ-ra az (a, a + δ) halmazt. f jobb oldali határértéke az a-ban +, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n > a és x n a, teljesül, hogy f(x n ) +. Ezt így jelöljük: f(x) = +. (15) x a+ Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza valamilyen δ-ra az (a, a + δ) halmazt. f jobb oldali határértéke az a-ban, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n > a és x n a, teljesül, hogy f(x n ). Ezt így jelöljük: f(x) =. (16) x a+
11 Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza valamilyen δ-ra az (a δ, a) halmazt. f bal oldali határértéke az a-ban +, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n < a és x n a, teljesül, hogy f(x n ) +. Ezt így jelöljük: f(x) = +. (17) x a Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza valamilyen δ-ra az (a δ, a) halmazt. f bal oldali határértéke az a-ban, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n < a és x n a, teljesül, hogy f(x n ). Ezt így jelöljük: f(x) =. (18) x a
12 11. Erre a 15 definícióra persze számos tétel vonatkozik. Bevezetünk, szigorúan házi használatra, egy tömör jelölést. + = azt jelöli, hogy ha egy függvénynek valamelyik, (véges helyen kétoldali, véges helyen egyoldali vagy valamelyik végtelenben vett) határértéke +, egy másik függvénynek ugyanott a határétéke, akkor a szorzatuknak, persze szintén ugyanott, a esze. Legyen A R, ha A a nevezőben van, akkor még A 0. Ezzel a jelöléssel: + ±A=+ ±A= + A=+, ha A > 0 A=, ha A > 0 + A=, ha A < 0 A=+, ha A < =+, + =+, + =, + =, + + =+ =+ + = A:± =0 ± :A=±, ha A > 0 ± :A=, ha A < 0 Ajánljuk, hogy az olvasó mindegyik tételre keressen egy-egy konkrét példát.
13 12. A kétoldali f(x) határérték pontosan akkor létezik, ha léteznek a x a f(x) és f(x) egyoldali eszek, és ezek egyenlők is. Ekkor x a+ x a x a f(x) = x a+ f(x) = x a f(x). (19)
14 13. Az f függvény folytonos az a D f helyen, ha x a f(x) = f(a). Az f függvény jobbról folytonos az a D f helyen, ha f(x) = f(a). x a+ Az f függvény balról folytonos az a D f helyen, ha f(x) = f(a). x a 14. Ha f jobbról is és balról is folytonos az a D f helyen, akkor folytonos is. 15. Az f függvény folytonos az I intervallumon, ha folytonos I minden belső pontjában és I végpontjai közül az I-hez tartozókban folytonos az I felőli oldalról. Az f függvény mindenütt folytonos, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. Szinte az összes elemi függvényre igaz, hogy azok mindenütt folytonosak.
15 16. Legyen f és g folytonos az a D f D g helyen. Ekkor f + g és f g folytonos az a helyen, (20) f g f g folytonos az a helyen, (21) folytonos az a helyen, ha g(a) 0. (22) 17. Tegyük fel, hogy R f D g. Ha f folytonos az a D f helyen, g folytonos az f(a) D g helyen, akkor a h = g f függvény folytonos az a helyen. 18. Legyen a torlódási pontja D f -nek, f(x) = b. Ha g folytonos x a b-ben, akkor g(f(x)) = g(b). (23) x a Itt f(x) = b helyett f(x) = b, f(x) = b, x a x a+ x a f(x) = b vagy f(x) = b is állhat. x + x
16 19. Tegyük fel, hogy f folytonos az [a, b] zárt intervallumon, és legyen y olyan, hogy f(a) < y < f(b) vagy f(a) > y > f(b). Ekkor van olyan ξ (a, b), hogy f(ξ) = y. 20. A legfontosabb nevezetes határértékek: sin x x 0 x 1 cos x x 0 x = 1, (24) = 0, (25)
17 21. Limeszek kiszámolásakor most is a határozatlan alakú eszek okozzák a nehézséget. Ezek: 0 0, ±, 0 ±, (26) ± (+ ) (+ ), ( ) ( ), (27) Feladat 2 1 +, (0+) 0, + 0. (28) ch x + cos(2x) Számoljuk ki a határértéket. x 0 e 3x + 3 Megoldás: A ch elemi függvény mindenütt, így a nullában is folytonos, folytonos a nullában a cos(2x) és a e 3x kompozíció is. Ezért a törtnek mind a számlálója, mind a nevezője, és emiatt az egész tört is folytonos a nullában, tehát itt a esze a helyettesítési értéke, azaz ch x + cos(2x) x 0 e 3x + 3 = ch 0 + cos 0 e0 + 3 = 2 4 = 1 2.
18 22. Feladat 3 Számoljuk ki a x ( 2x3 + 3x 2 + x + 1) határértéket. Megoldás: Az összeg tagjai között + -be és -be tartó tag is van, tehát a (+ ) (+ ) típussal van dolgunk. Úgy, mint sorozatok esetén, egy polinom valamelyik végtelenben vett eszét úgy lehet kiszámolni, hogy kiemeljük a polinom legmagasabb fókú tagját, most x 3 -t. Ekkor x ( 2x3 + 3x 2 + x + 1) = = x }{{} x3 ( x x x3 ( x + 1 x x 3) = ) = +. }{{}}{{} x 2 }{{} x } {{ } 2
19 23. Feladat 4 x 3 2 Számoljuk ki a x 2x 2 6x 1 határértéket. Megoldás: Egy polinomnak mindkét végtelenben vett esze valamelyik végtelen, ezért a ± határozatlan alakkal van dolgunk. Ismét ugyanúgy, ± mint sorozatok esetén, a nevező legmagasabb fokú tagját emeljük ki a számlálóból és a nevezőből is. x x 3 2 2x 2 6x 1 = x x 2 (x 2 x 2 ) x 2 (2 6 x 1 x 2 ) = = x x 2 x x 1 x 2 =.
20 24. Feladat 5 x 2 3x + 2 Számoljuk ki a x 2 x 2 + x 6 határértéket. Megoldás: A polinomok mindenütt folytonosak, így itt a számláló és a nevező esze 2-ben a helyettesítési érték, ami mindkét esetben nulla, a 0 határozatlan alakkal van tehát dolgunk. 0 Ha az ax 2 + bx + c másodfokú polinomnak x 1 és x 2 a két gyöke, akkor a polinom felírható az a(x x 1 )(x x 2 ) gyöktényezős alakban. Most a számláló két gyöke 1 és 2, ezért x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2), a nevező két gyöke 3 és 2, tehát x 2 + x 6 = (x + 3)(x 2). Ezeket felhasználva x 2 3x + 2 x 2 x 2 + x 6 = (x 1)(x 2) x 2 (x + 3)(x 2) = = x 2 x 1 x + 3 = 1 5.
21 25. Feladat 6 3 2x3 x Számoljuk ki a x + x2 + x határértéket. Megoldás: A esz ± típusú, és a két különböző kitevőjű gyökvonás ± okoz gondot, ezért átírjuk őket azonos kitevőjű gyökvonásokká. Ez a kitevő lehet a két eredeti kitevő legkisebb közös többszöröse, most 6. Ekkor x + = x x3 x x2 + x = (2x3 x) 2 x + (x 2 + x) 3 = felhasználva a nagyon fontos (23) tételt. 6 (2x3 x) 2 (x2 + x) 3 = 6 x + 6 4x 6... = 6 4, } x 6 + {{... } 4
22 26. Feladat x 1 Számoljuk ki a határértéket. x 0 x Megoldás: A esz 0 típusú, és, mivel 1 = 1, a számlálóban 0 négyzetgyökök különbsége szerepel, tehát gyöktelenítünk. x x 1 x = x 0 (1 + 2x) 1 = x 0 x( 1 + 2x + 1) = x x 1 x = x + 1 = 1.
23 27. Feladat 8 x Számoljuk ki a határértéket. x 0+ x 2 Megoldás: Mint az előbb, most is 0 típusú a esz, és gyöktelenítünk. 0 x (x + 4) 4 = x 0+ x 2 x 0+ x 2 ( x ) = = x 0+ x x 2 ( x ) = x 0+ 1 x( x ) }{{} 0 és >0 = +.
24 28. Feladat 9 x Számoljuk ki a határértéket. x 0 x 2 Megoldás: Hasonlóan mint az előbb, most is 0 típusú a esz, és 0 gyöktelenítünk. x (x + 4) 4 = x 0 x 2 x 0 x 2 ( x ) = = x 0 x x 2 ( x ) = x 0 A (19) tétel alapján a kétoldali x 0 1 x( x ) }{{} 0 és <0 =. x esz most nem létezik. x 2
25 29. Feladat 10 Számoljuk ki a x + ( x x) x határértéket. Megoldás: Most az első tényezőben a (+ ) (+ ) típussal van dolgunk, ezért ott megintcsak gyöktelenítünk. ( x x) x = x + ((x 2 + 1) x 2 )x x + x x = 2 = x + x x x 2 } {{ } ± ± típusú = x x 2 = 1 2.
26 30. Feladat 11 sin 2 x + sin x Számoljuk ki a határértéket. x 0 x cos x Megoldás: A esz 0 típusú, trigonometrikus függvény és polinom is 0 szerepel benne, ilyenkor a (24) vagy a (25) nevezetes esz alkalmazása merül fel. Valóban, kiemelve a számlálóban sin x-et, a nevezőben x-et sin 2 x + sin x x 0 x cos x sin x = x 0 }{{ x } 1 sin x + 1 cos x }{{} 1 = 1.
27 31. Feladat 12 cos x cos 3 x Számoljuk ki a határértéket. x 0 x 2 Megoldás: A esz most is 0 típusú, a cos x-et célszerű kiemelni a 0 számlálóban cos x cos 3 x x 0 x 2 = x 0 cos x sin2 x x 2 = x 0 cos x 1 cos2 x x 2 = = x 0 cos x ( sin x ) 2 } x{{ } 1 = 1.
28 32. Feladat 13 1 cos 2x Számoljuk ki a határértéket. x 0 3x 2 Megoldás: A esz most is 0 típusú, és gyöktelenítünk. 0 1 cos 2x x 0 3x 2 = x 0 =2 sin 2 x {}}{ 1 cos 2x 3x 2 (1 + cos 2x) = 2 = x 0 3 ( sin x x ) cos 2x = 1 3.
Függvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
RészletesebbenFüggvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,
Valós függvények (L Hospital szabály, Taylor-polinom, függvények közelítése) . Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban.
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebben8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 07/8 ősz 8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás). Számoljuk ki a következő határértékeket: y + 3 a) y
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenSzámsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenFÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonossága
Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenHatárérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.
Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)
2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA
Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
RészletesebbenALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenAnalízis ZH konzultáció
Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 1. Bevezetés, függvények, sorozatok, határérték Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, a biomatematika célja 2 Függvénytani alapfogalmak
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat
Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes
RészletesebbenMatematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )
Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
Részletesebben2. Hatványozás, gyökvonás
2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenPolinomok, Lagrange interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebben2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
RészletesebbenHatványsorok, elemi függvények
Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)
RészletesebbenPécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK
Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
Részletesebben