Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Átírás

1 Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: ( ) ( ) (2 + 0 ) ( ) ( ) (2 + 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) 7 ( ( 4)) 5. Feladat: ( ) 7 ( ) ( ) 7 ( ( 4))

2 6. Feladat: ( ) ( ) ( ) 5 4( ) Feladat: (52 3 2) (52 3 2) Feladat: 9. Feladat: 0. Feladat: log 4 (8 + 4) log 4 (8 + 4) log (cos 2 2 sin + 5) π 2 (cos 2 2 sin + 5) cos 2 π π 2 2 sin π Feladat: Ábrázolja f függvényt és olvassa le az f jobb- és baloldali határértékét az pontban! Majd adja meg f határértékét pontban! { 2 3 ha f() 2 + ha < 2

3 Az ábráról a következ jobb -és baloldali határérték olvasható le: f() 2 + f() Mivel a jobb és baloldali határértékek különböz ek, pontban f függvénynek nem létezik határértéke. Megjegyzés: Ábra nélkül a határértékeket behelyettesítéssel is meg tudjuk határozni: + f() (2 + ) + 2 f() (2 3) Feladat: Ábrázolja f függvényt, majd olvassa le az f jobb - és baloldali határértékét az 0 pontban! Majd adja meg f határértékét 0 pontban! f() { 2 ha 0 ha < 0 Ábrázoljuk f-t. 3

4 Az ábráról a következ jobb -és baloldali határértékek olvashatóak le: f() 0 f() 0+ Mivel a jobb- és baloldali határértékek megegyeznek, f függvénynek létezik határértéke és 0 f(). Megjegyzés: Behelyettesítéssel következ képpen járhatunk el: f() ( ) f() Feladat: Véges helyen vizsgáljuk a határértéket, helyettesítsünk be 3-t Mivel a számláló nem nulla, a nevez 0, további vizsgálatra van szükség. Ha meg tudjuk mondani, hogy a nevez milyen értékeken keresztül tart 0-hoz, akkor felhasználhatjuk, hogy ± divergens Ábrázoljuk a nevez ben lév g() függvényt. Majd olvassuk le a nullához közelítés irányát. Az ábrán jól látható, hogy ha 3-nál 4

5 nagyobb értékeken keresztül közelítünk 3-hoz, akkor a helyettesítési értékek negatív számokon keresztül közelítik meg nullát. 4. Feladat: ( ) Az el z feladatnál lév ábra alapján balról közelítve 3-t, nevez ben a helyettesítési értékek pozitív számokon keresztül közelítik meg a nullát. 5. Feladat: ( + 4) 2 ( + 4) Mivel a nevez ben egy teljes négyzet szerepel a nullához közelítés csak pozitív számokon keresztül lehet, így a keresett határérték: 6. Feladat: 4 ( + 4) ( + 4) 2 ( + 4) Mivel a nevez ben egy teljes négyzet szerepel a nullához közelítés akár jobbról, akár balról csak pozitív számokon keresztül lehet, így a keresett határérték: 4 ( + 4)

6 7. Feladat: Ábrázoljuk a nevez ben szerepl g() hozzárendeléssel adott függvényt, majd olvassuk le a közelítés irányát Feladat: ( 4 + ) ( 5 ) Feladat: ( ) ( ) Feladat:

7 ( ) 2 ( ) Feladat: ( ) 4 ( ) Feladat: ( ) 9 3 ( ) ( ) Feladat: (2 + 3 ) ( ) 2 ( 3 + (2 + 3 ) ) Feladat: ( ) 2 ( )

8 25. Feladat: Feladat: ( ) ( ) Véges helyen vizsgáljuk a határértéket, kezdjük behelyettesítéssel Ennél a típusnál alakítsuk szorzattá a számlálót és a nevez t. Keressük meg a polinomok gyökeit és használjuk a gyöktényez s felírást ( 2)( 5) mivel ( 5)( + 5) ( 2)( 5) 5 ( 5)( + 5) ( 2) 5 ( + 5) Feladat: (2 + )( 4) ( 4) 4 4 Felhasználva, hogy ha így a gyöktényez s alak: ( 4)( + ) ( 4)(2 + ) 2 8

9 28. Feladat: ( + 2) ( 3)( + 2) Feladat: Feladat: (6 9) 0 ( 2 + 2) (6 3 ( ) 8) 8 (9 ( 6 3 ( ) 8 8 6) 9 ( ) 8 6 ) 3. Feladat: Vizsgafeladat: (6 ( ) 7 6 ) 6 9 (3 2 + ( ) 4 ) ( ) ( ) A határérték típusú, így alkalmazzuk a következ b vítést: A B ( A B) A + B A + B A B A + B 9

10 ( ) ( ) ( ) Egyszer sítsünk -szel: n Vizsgafeladat: ( ) A határérték típusú, de 2 együtthatói nem egyenl ek, így emeljük ki 2 -t: ( ( ) ) ( 8 3) 34. Feladat: ( 0 4 ) 2 ( 3 ) Vizsgafeladat: ( ) ( ) 3 ( )

11 36. Vizsgafeladat: ( ) ( ) 9 ( ) Vizsgafeladat: ) ) 38. Vizsgafeladat: 8 ( ( 3 ( 8) (( ) 5 ) 8 6 ( ) ( ) n Felhasználva, hogy [ ( + 8 ) ] ( ) ( e 8) 7 4 e (7 + ) (4 + 3 ) ha

12 39. Vizsgafeladat: ( 5 2 ) ( 5 2 ) Felhasználva, hogy 40. Vizsgafeladat: 4. Vizsgafeladat: 42. Vizsgafeladat: [ ( + 0 ) ] ( 5 2 ) ( e 0) 0 e ( ) ( ) ( 3 2 ) ( 3 2 ) n ln 2 ( ) ( ) ln Négyzetre emelés miatt a nevez csak pozitív irányból közelítheti nullát, így ln (+ ) 2

13 43. Vizsgafeladat: e 2 Helyettesítsünk be: e 2 0 Az osztás nem végezhet el. Ábrázoljuk az f() 2e 2 függvényt, majd olvassuk le, hogy milyen értékeken keresztül közelíti meg f a nullát e

14 44. Vizsgafeladat: e 5 Helyettesítsünk be: e e25 0 A m velet nem végezhet el. Ábrázoljuk g() 5 függvényt és olvassuk le a nullához való közelítés irányát, majd adjuk meg a határértéket: e e25 0

15 45. Vizsgafeladat: lg lg Vizsgáljuk meg, hogy a nevez milyen értékeken keresztül tart nullához lg