Komplex számok szeptember Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!"

Rudolf Szabó
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Komplex számok 014. szeptember Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! z 1 + z, z 1 + z i + (4i 1) + i + 1i 1 1i ( 1) + ( 1) 6. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. z 1 + z ( i) + (4i 1) 1i 1 4i 6 16i ( 6) + ( 16) 9 4. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 + )(z i) (z 1 + )(z i) ( i + )(4i 1 i) (4 i)(i 1) + 1i 1

Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! z 1 + z, z 1 + z i + (4i 1) + i + 1i 1 1i ( 1) + ( 1) 6.

2 . Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. z 1 z, z 1 z ( i) 4i 1 ( 1i)( 1 4i) 4 + i 6. Feladat: Legyen z 1 8 6i és z i. z 1 + z z1 ( 8 6i) + z + i i 6 + i ( 8 6i) 6 + i i 6 + i 6 i i i i 7. Feladat: Írja fel a következ komplex számokot trigonometrikus alakban! z i Végezzük el algebrai alakban a kijelölt m veletet. z i 4 + i i 4( i) i 18 i A komplex szám valós része pozitív, a képzetes része negatív, így a keresett szög a negyedik negyedbe esik. Másrészt tgβ 1. Tehát β 4 α 1 Számoljuk ki az abszolútértéket: ( ) r + ( ) Írjuk fel a trigonometrikus alakot. i (cos 1 + sin 1 )

Feladat: Írja fel a következ komplex számokot trigonometrikus alakban! z 1 4 + i Végezzük el algebrai alakban a kijelölt m veletet.

3 8. Feladat: Írja fel a következ komplex számokot trigonometrikus alakban! z 8i( i) Végezzük el a kijelölt m veleteket algebrai alakban. z 8i( i) 8 i + 8 A valós és képzetes rész pozitív, egy els negyedbe es komplex számot szeretnénk felírni trigonometrikus alakban. Másrészt tgβ b a. Tehát β α 60 Számoljuk ki az abszolútértéket. A keresett trigonometrikus alak: r ( 8 ) i( i) 8 i (cos 60 + sin 60 ) 9. Feladat: Írja fel a következ komplex számokot trigonometrikus alakban! z ( 4 4 i) 0 Írjuk fel 4 4 i-t trigonometrikus alakban. A valós és képzetes rész negatív, azaz egy harmadik negyedbe es komplex számot szeretnénk felírni trigonometrikus alakban. Másrészt tgβ b a 1. Tehát β 4 α Számoljuk ki az abszolútértéket. r ( 4) + A keresett trigonometrikus alak: ( 4 ) i 8 (cos + sin ) Végezzük el a hatványozás m veletét. ( 4 4 i) 0 (8 (cos + sin )) (cos 0 + sin 0 ) 8 0 (cos sin 180 ) 8 0 Felhasználva, hogy

A keresett trigonometrikus alak: r ( 8 ) + 8 16 8i( i) 8 i + 8 16 (cos 60 + sin 60 ) 9. Feladat: Írja fel a következ komplex számokot trigonometrikus alakban!

4 10. Feladat: Legyen z 1 (cos 40 + i sin 40 ) és z (cos i sin 110 ). z z (cos i sin 110 ) (cos 0 + i sin 0 ) (cos i sin 110 ) (cos( 110 ) + i sin( 110 )) (cos 0 + i sin 0 ) Felhasználva, hogy 11. Feladat: Legyen z 1 (cos 40 + i sin 40 ) és z (cos i sin 110 ). z 0 1 z Végezzük el el ször a hatványozás m veletét. ((cos 40 + i sin 40 )) 0 0 (cos i sin 0 40 ) 0 (cos i sin 000 ) 0 (cos 00 + i sin 00 ) Felhasználva, hogy Végezzük el a szorzás m veletét z 0 1 z 0 (cos 00 + i sin 00 ) (cos i sin 110 ) 0 (cos 10 + i sin 10 ) 4

Feladat: Legyen 110 110 + 60 0 z 1 (cos 40 + i sin 40 ) és z (cos 110 + i sin 110 ). z 0 1 z Végezzük el el ször a hatványozás m veletét.

5 1. Feladat: Legyen z 1 (cos 40 + i sin 40 ) és z (cos i sin 110 ). z1 z Végezzük el el ször az osztás m veletét. z 1 z (cos 40 + i sin 40 ) (cos i sin 110 ) (cos( 70 ) + i sin( 70 )) (cos 90 + i sin 90 ) Felhasználva, hogy Végezzük el a gyökvonás m veletét. z1 (cos 90 z + i sin 90 ) ( cos 90 + k 60 + i sin 90 + k 60 ) (cos(4 + k 7 ) + i sin(4 + k 7 )) ahol k 0; 1; ; ; 4 1. Feladat: Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán! (a) (6 i) z i 4i i Megoldás Végezzük el a kijelölt m veleteket. (6 i) 1i 4i i 4i i + i 4( i) i + i + 9 i i i i

gyökvonás m veletét. z1 (cos 90 z + i sin 90 ) ( cos 90 + k 60 + i sin 90 + k 60 ) (cos(4 + k 7 ) + i sin(4 + k 7 )) ahol k 0; 1; ; ; 4 1.

6 (b) (c) (d) Oldjuk meg az egyenletet. (6 i) z i 4i i ( 1i)z + 9 i i ( 1i)zi 6 i 6 i 6 i + 1i z 1i 1i 6 + 1i Tehát a végeredmény: i z i 4z + 4z Megoldás Használjunk gyökképletet. z 1; 4 ± ± 6 8 Tehát a gyökök x i és x 1 1 i i ± 16i 8 z + 6i z 0 Megoldás Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát z-vel. z + 6i 0 Ez egy hiányos másodfokú egyenlete. Rendezzük az egyenletet z - re. z 6i 6(cos 70 + i sin 70 )) z 1; 6 (cos 70 + k 60 + i sin 70 + k 60 ) z 1; 6 (cos(1 + k 180 ) + i sin(1 + k 180 )) ahol k 0; 1 z i 1 Megoldás Rendezzük az egyenletet z -re. Használjuk fel, hogy i i 4 i i z 1 + i (cos 1 + i sin 1 ) z 1;; 6 (cos 1 + k 60 + i sin 1 + k 60 ) z 1; 6 (cos(4 + k 10 ) + i sin(4 + k 10 )) ahol k 0; 1; 6

z 1; 4 ± 16 16 17 8 4 ± 6 8 Tehát a gyökök x 1 1 + i és x 1 1 i 180 180i 169 4 ± 16i 8 z + 6i z 0 Megoldás Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát z-vel.

7 (e) (f) ( (40 z + iz) 6 z 4 ) 0 iz + i Megoldás Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényez je nullával egyenl. Tehát oldjuk meg az alábbi egyenleteket. 40 z + iz 0 és 6 z 4 iz + i 0 40 z +iz 0 40 (1 i)z z 40 1 i Végezzük el az osztást. z 40 1 i 1 + i 40(1 + i) 4 + 1i 1 + i Oldjuk meg a másik egyenletet is. 6 z 4 iz + i 0 6 z 4 iz + i 6(iz + i) z 4 (1i 1)z 4 6i 4 6i z 1i 1 1i i 1i i 7 1 Tehát két gyököt kaptunk: z i és z i i + + 4i iz z + i 0 Hozzunk közös nevez re. (1 i)(z + i) + iz( + 4z) iz(z + i) 0 Egy szorzat akkor nulla, ha számlálója nullával egyenl. Oldjuk meg z alábbi egyenletet. (1 i)(z + i) + iz( + 4i) 0 z + i iz iz + 0z 0 ( + i)z i z i + i i i + i i i 0, 166+0, 006i 77 7

6 z 4 iz + i 0 6 z 4 iz + i 6(iz + i) z 4 (1i 1)z 4 6i 4 6i z 1i 1 1i 1 68 + 4i 1i 1 441 + 1 4 1 + i 7 1 Tehát két gyököt kaptunk: z 1 4 + 1i és z 4 1 + i 7 1 1 i + + 4i iz z + i 0 Hozzunk

8 14. Vizsgafeladat: Végezze el a kijelölt m veletet! (a) ( ) 9 + 1i 10 4 i Végezzük el el ször az osztás m veletét algebrai alakban i 4 + i 7 + i + i 4 i 4 + i Térjünk át trigonometrikus alakra. Az abszolútérték: r ( ) Mivel valós rész negatív, a képzetes pedig pozitív, a komplex szám a második negyedben van. Így α 180 β. tgβ b a 1 β 18, 4 α 161, + i 10(cos 161, + i sin 161, ) Végezzük el a hatványozás m veletét. ( ) 10 10(cos 161, + i sin 161, ) ( 10) 10 (cos , +i sin , ) (b) 10 (cos 161, + i sin 161, ) 10 (cos 17, + i sin 17, ) Felhasználva, hogy 161, , 4 16 ( 1 i) i 16 i ( 1 i) 16 i ( 1 i) ( 1 i) 16 i ( i)( 1 i) 16 16( i + 1) ( i)( 1 i) (cos i sin 180 ) (1 i) 1 i z k (cos (k 90 ) + i sin (k 90 )) ha k0,1,;; z 0 (cos 0 + i sin 0 ) 0 z 1 (cos 90 + i sin 90 ) i z (cos i sin 180 ) z (cos 70 + i sin 70 ) i 8

Így α 180 β. tgβ b a 1 β 18, 4 α 161, + i 10(cos 161, + i sin 161, ) Végezzük el a hatványozás m veletét.

9 (c) ( ) 10 i (cos 80 + i sin 80 ) i 1 Célszer áttérni trigonometrikus alakra. i (cos 90 + i sin 90 ) i 1 0(cos 00 + i sin 00 ) mivel tg β β 60 és r 0 Végezzük el a m veleteket. ( 10 (cos 90 +i sin 90 ) (cos 80 + i sin 80 ) 0(cos 00 + i sin 00 )) (cos 90 +i sin 90 ) (cos 80 + i sin 80 ) 0 (cos 10 +i sin 10 ) 0 (cos 90 + i sin 90 ) 1. Vizsgafeladat: Oldja meg a komplex számok halmazán az alábbi (z 4 i)(z + 7) 0 Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényez je nulla, így az alábbi két egyenletet kell megoldani Az els egyenlet megoldása: z 4 i 0 és z z 4 i 0 z 4 i 1(cos 70 + i sin 70 ) z k 4 1 (cos 70 + k 60 + i sin 70 + k 60 ) 4 4 z k cos(67, + k 90 ) + i sin(67, + k 90 ) A második egyenlet megoldása: z z 7 z ± 7 i ha k0,1,, 9

Vizsgafeladat: Oldja meg a komplex számok halmazán az alábbi (z 4 i)(z + 7) 0 Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényez je nulla, így az alábbi két egyenletet kell megoldani Az els

10 Tehát az egyenlet megoldásai: z 1 cos 67, + i sin 67, z cos 17, + i sin 17, z cos 47, + i sin 47, z 4 cos 7, + i sin 7, z 7i 7(cos 90 + i sin 90 ) z 6 7i 7(cos 70 + i sin 70 ) 16. Vizsgafeladat: Oldja meg a komplex számok halmazán az alábbi ( + i)z + i El ször rendezzük az egyenletet: z + i + i + i + i i i 7 + 7i i z (cos 10 + i sin 10 ) z 1,,,4, (cos 10 + i sin 10 ) z k (cos 10 + k 60 + i sin 10 + k 60 ) z k (cos(4 + k 7 ) + i sin(4 + k 7 )) ha k0,1,,,4 17. Vizsgafeladat: Oldja meg a komplex számok halmazán az alábbi iz 6z + 10i 0 Használjunk a gyökképletet: z 1, 6 ± 6 4( i)(10i) i 6 ± 4 i 6 ± i i ± i i z 1 + i i z i i Tehát az egyenlet megoldásai + i i i i i 1 + i i i i 1 + i z i z 1 + i 10

(cos 10 + i sin 10 ) z k (cos 10 + k 60 + i sin 10 + k 60 ) z k (cos(4 + k 7 ) + i sin(4 + k 7 )) ha k0,1,,,4 17.

11 18. Vizsgafeladat: Oldja meg a komplex számok halmazán az alábbi z + iz 1 i z Rendezzük az egyenletet. Használjunk a gyökképletet: z + (i + )z i 0 z 1, ( + i) ± 4 + 8i i i ± 4 Tehát az egyenlet megoldásai i ± i 1 i ± i z 1 1 z 1 i 19. Vizsgafeladat: Oldja meg a komplex számok halmazán az alábbi z 4 + iz Ez egy negyedfokú egyenletet, amely visszavezethet másodfokúra z x helyettesítésével. z 4 + iz x + ix Használjunk gyökképletet x meghatározásához: Ha Ha x 1, i ± 9 40 i ± 49 i ± 7i x 1 z i (cos 90 + i sin 90 ) z k (cos 90 + k 60 + i sin 90 + k 60 ) z k (cos(4 + k 180 ) + i sin(4 + k 180 )) ha k0,1 x z i (cos 70 + i sin 70 ) z l (cos 70 + k 60 + i sin 70 + k 60 ) z l (cos(1 + l 180 ) + i sin(1 + l 180 )) ha l0,1 11

Vizsgafeladat: Oldja meg a komplex számok halmazán az alábbi z 4 + iz + 10 0 Ez egy negyedfokú egyenletet, amely visszavezethet másodfokúra z x helyettesítésével.

12 0. Vizsgafeladat: Oldja meg a komplex számok halmazán az alábbi z z Vezessük vissza az egyenletet z x helyettesítésével egy másodfokú egyenletre: z z x + 4 ix Használjunk gyökképletet x meghatározásához: Ha x 1, 4 ± ± 4 ± i x 1 z + i (cos 1 + i sin 1 ) z k (cos 1 + k 60 + i sin 1 + k 60 ) z k (cos(4 + k 10 ) + i sin(4 + k 10 ) ha k0,1, Ha x z i (cos + i sin ) z l (cos + k 60 + i sin + k 60 ) z l (cos(7 + l 10 ) + i sin(7 + l 10 ) ha l0,1, Tehát az egyenlet gyökei: z 1 (cos 4 + i sin 4 ) z (cos 16 + i sin 16 ) z (cos 8 + i sin 8 ) z 4 (cos 7 + i sin 7 ) z (cos 19 + i sin 19 ) z 6 (cos 1 + i sin 1 ) 1. Vizsgafeladat: Oldja meg a komplex számok halmazán az alábbi ( i)z (cos + i sin ) i El ször rendezzük az egyenletet. 1

i (cos + i sin ) z l (cos + k 60 + i sin + k 60 ) z l (cos(7 + l 10 ) + i sin(7 + l 10 ) ha l0,1, Tehát az egyenlet gyökei: z 1 (cos 4 + i sin 4 ) z (cos 16 + i sin 16 ) z (cos 8 + i sin 8 ) z

13 ( i)z (cos + i sin ) i Írjuk fel 8 (cos + i sin ) komplex számot algebrai alakban. 8 (cos + i sin ) 8 ( 1 i 1 ) 8 8i Behelyettesítve: Végezzük el az osztást: z i i ( i)z 4 8 8i i z i i + i + i (cos i sin 180 ) Az egyenlet gyökei: z k 4 16 (cos k i sin k 60 ) 4 z k (cos(4 + k 90 ) + i sin(4 + k 90 )) ha k0,1,,4. Vizsgafeladat: Oldja meg a komplex számok halmazán az alábbi ( z 4z + ) ( z i ) 0 Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényz je nulla. Így két egyenletet kell megoldanunk. z 4z + 0 és z i 0 Oldjuk meg a kapott egyenleteket. z 4z + 0 z 1; 4 ± ± i ± i z i 0 z 4 81i 4 81(cos 70 + i sin 70 ) z k 4 81 (cos 70 + k 60 + i sin 70 + k 60 ) z k (cos (67, + k 90 ) + i sin (67, + k 90 )) ha k0,1,, 1

180 + k 60 4 + i sin 180 + k 60 ) 4 z k (cos(4 + k 90 ) + i sin(4 + k 90 )) ha k0,1,,4.

14 Tehát a következ 6 darab gyököt kaptuk: z 1 + i z i z 9(cos 67, + i sin 67, ) z 4 9(cos 17, + i sin 17, ) z 9(cos 47, + i sin 47, ) z 6 9(cos 7, + i sin 7, ). Vizsgafeladat: Oldja meg a komplex számok halmazán az alábbi z + 79 (i z) 0 Rendezzük az egyenletet: z + 79 (i z) 0 z + 79 z 0 z 79 z z 6 79 z k (cos 0 + i sin 0 ) z k 6 79 (cos 0 + k 60 + i sin 0 + k 60 ) 6 6 z k (cos (0 + k 60 ) + i sin (0 + k 60 )) ha k0,1,,,4, ( + k 60 + k 60 ) z k cos + i sin 14

Vizsgafeladat: Oldja meg a komplex számok halmazán az alábbi z + 79 (i z) 0 Rendezzük az egyenletet: z + 79 (i z) 0 z

Hasonló dokumentumok

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.