Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).

Átírás

1 FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat f ( ) vagy jelöli ez utóbbit gyakran d nevezik differenciálhányadosnak ez az elnevezés a definícióra utal у f() f( + ) f( ) f M P α β + Figure 6 Deriválási szabályok ( u + v ) u + v (Összeg) ( u v ) u v (Különbség) ( а u ) а u ahol a egy konstans (Linearitás) u v u v + v u (Szorzat) ( )

2 5 inverze Függvény deriváltja u u v v u v v f ( g ) f g g (Láncszabály) f ahol f f y 6 7 y f Elemi függvények deriváltja ( c' ) aholc - konstans a a a ahol а - konstans ( a ) ( e ) e a lna a > a 5 ( loga ) lna 6 ( ln ) 7 ( sin ) cos 8 ( cos ) sin 9 ( tg ) cos ( ctg ) sin ( arcsin ) ( arccos ) v (Hányados) az f ( ) függvény

3 ( arctg ) + ( arcctg ) + Derválás a Maple-ben > diff(f); > Diff(f); Függvény deriváltja ahol f egy- vagy többváltozós függvény a változó ami szerint deriválunk Példa Deriválja a következő függvényt: 6 f 8 >f :Diff(8^(6^(^))) diff(8^(6^(^))); 6 6 d f ' : ln ln 6ln8 d f + 5 Példa Deriválja a következő függvényt: >f:sqrt(^+5*); >f :Diff(f)diff(f); 5 d f': + ( + 5) d + 5 Gyakorló feladatokderiválja a következő függvényeket: a) f + + b) 5 f sin arctg e + f c)

4 arccos d) f e) Függvény deriváltja f e e f) f tg sin( ) ln( arctg) Deriválási módszerek + + ) Logaritmikus deriválás: g( ) h () és () g' ln( g ) g' g ln( g ) g Példa Deriválja a következő függvényt: / f ln Matematikai megoldás ln f ln ( ln ) ( ln f ) lnln ln az () alapján következik hogy ( ln ) f ' l ln n ln >diff((ln())^(/^)); ln( ln ) ln + ln Ami ekvivalens a ()-vel

5 Példa Deriválja a következő függvényt: f ( ) ( + ) ( + ) 5 7 ( + ) ( ) Matematikai megoldás ln f ln( ) + 5ln( + ) + 7ln( + ) ln( + ) ln( ) 5 7 ( ln f ) ( ) ( + ) ( + ) 5 7 ( + ) ( ) ( ) + + ( + ) ( ) f' + + >restart: >f:((-)^(/)*(+)^5*(+)^7)/((+)^* (-))^(/); >f :simplify(diff(f)); f': ( + 6+ )( + ) ( + ) ( ( ) ) + ( )( + ) ( ) ) Paraméteres függvények deriválása ϕ () t Az y( ): y ψ () t Függvény deriváltja ψ () t y' ϕ t () Példa Deriválja a következő függvényt: { acost () y bsint Matematikai megoldás 6 5

6 Függvény deriváltja bsint ' bcost b y ctg t acost ' asint a () >y :diff(b*sin(t)t)/diff(a*cos(t)t); bcos() t y' : asin t () ) Implicit függvény deriváltja If where y y then F( y ) ' ' y ' ( y ) ' F y F F Példa Deriválja a következő függvényt: y (5) + a b Matematikai megoldás Az (5) egyenlet ekvivalens az ellipszis ()-ban megadott paraméteres alakjával és ez az egyenlet a következő alakban is írható: y F( y) + a b Ki kell számítani az F(y) parciális deriváltjait majd ezek segítségével a kívánt deriváltat: ' ' y ' b F F y y a b a y A továbbiakban a ()-ból és az tg t cos t + Összefüggés alapján: a a tg t + Következésképpen: 6

7 y ' dy b ± d a a Függvény deriváltja >f:^/a^+y^/b^-; >y :diff(fy)/diff(f); b y' : a y Második megoldás a Maple-ben >Z:diff(^/a^+y()^/b^); d y y dt Z: + a b (6) >Q:solve(Zdiff(y())); b Q: y' y a Gyakorló feladatok Deriválja a következő függvényeket: ( ) ( ) + a) f 5 + b) f ln( 7 ) c) + ( )( ) ( ) ( ) f ln d) t e sint y( ): t y e cost e) y y f) y g) sin y + ysin h) ( 5) ( y ) 9 7

8 i) k) ( y ) y a l) ( + y ) a ( y ) m) ( + f ln 7) + n) tg( + f cos 7) + Magasabb rendű deiváltak Függvény deriváltja Definíció Az f ( ) függvény szerinti kétszeres háromszoros stb deriváltja a függvény magasabb rendű deriváltjai a következő jelölések szerint: df f' d d d f'' f' ( f ) f' d d d d f ''' f '' ( f ) f '' d d ( ) ( ) n n n d n d f f f f n d d ahol n Maple utasítások: >diff(f$n); >Diff(f$n); ahol f a változó ami szerint deriválunk és n- a deriválás rendje Példa Deriválja n-szer a következő függvényt: (7) f sin 8

9 Matematikai megoldás A deriválás eredménye rendre π f' cos sin + π f '' sin sin + π f ''' 8cos sin + π f 6sin sin + Ezekből következtethetünk az általános esetre: ( n ) n π (8) y sin + ( n ) ahol n Tehát a (8) pontban szereplő függvény n-id deriváltja:: ( n) ( n ) (9) y ( y ) n π π cos + n n π sin + n π mivel cos α sinα n Következésképpen ( n ) n sin sin n π + Rendre felírható: >diff(sin(*)); >diff(sin(*)$); >diff(sin(*)$); >diff(sin(*)$); Példa Számítsa ki a következő függvény f '' ( ) második deriváltját ( ) / f ln 9

10 >factor(diff(ln()^(/^)$)); ( ) / ln lnln lnln ln ln ln ln Példa Számítsa ki a következő függvény f '' ( ) második deriváltját { y : acos t y bsint Előbb a () alapján kiszámítható:y >y :diff(b*sin(t)t)/diff(a*cos(t)t); És felírjuk továbbá: >y :diff(f t)/diff(a*cos(t)t); és azaz () () () b bcos t + a asin t y'' : asin t Matematikai megoldás A () összefüggés alapján: b y ctgt a y" d y' ( ) dt d dt b y" a sin t Példa Számítsa ki a következő függvény f '' ( ) második deriváltját

11 a y + b Megoldás Maple-ben Használja a subs(mnp) utasítást amivel a P kifejezésben az M értéket N-re cseréljük: >subs(diff(y())qdiff(q)); b b y y a y a A megoldás ekvivalens a matematikai megoldással b b y y b b y y + a y a y a y a y Gyakorló feladatok ) Számítsa ki a következő függvények második deriváltját: : a) 7 f b) a( t sint) y( ): y a( cost) c) f + + arcsin y 5 + ln+ arcsinyy y d) ) Igazolja hogy az y sin( ln) cos( ln) + függvény megoldása a következő differenciálegyenletnek: y" + y' + y ) Számítsa ki a következő függvények n-ik deriváltját: a) 6 f e b) f sin

12 Függvény differenciálja f függvény az pontban deriválható Definíció Legyen az f -nek a differenciálja df ( ) a következő szorzat: Az ahol d az differenciálja f d Definíció Legyen az f ( ) függvény az pontban n-szer n deriválható Az f ( ) n-ed rendű differenciálját ( n ) d f ( ) jelöli és rekurzíven értelmezhető azaz az f ( ) függvény ( n )-ed rendű differenciáljának a differenciálja: n ( n ) n n ( n ) d f d d f d f d f d Maple utasítással Az f differenciálja: >D(f); Példa Számítsa ki az f arcsin 9 függvény df d f f '' d differenciáljait: Matematikai megoldás 9arcsin df f ' ( )d d 9 9arcsin d f ( d) 9 arcsin ( d ) ( 9 ) n

13 >DY:D(arcsin(* )*sqrt(-9*^)); >DY:D(DY); >simplify(dy); Gyakorló feladatok Számítsa ki a következő függvények df a) b) ( ) d f f '' d differenciáljait: f 6 arctg t () e f t ( + ) 5 6 c) f arctgln d) f sin cos e) f sin f) f + f e cos g) 5 A deriváltak alkalmazása - a L Hospital szabály A szabály nevét Guillaume de l'hôpital 7 században élt francia matematikusról kapta aki ezt a szabályt az Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (696) című könyvében írta le (magyarul: A kis végtelenek elemzése a görbék megértésében) A L Hospital szabály alkalmazható a következő függvények határértékeinek a kiszámítására f ( ) g ( f g f ) f ( ) g ( ) g a következő határozatlansági esetekben: [ ] [ ] f g függvények; Tétel Adottak az - Amelyek egy olyan intervallumon értelmezettek amelynek határpontja - Deriválhatók az pontban

14 - Folytonosak pontban vagy határértékük egyidejűleg végtelen! - f ( ) g( ) f ( ) ( ) g' Ekkor a következő két határérték egyenlő feltéve hogy a második létezik f f lim lim g g Példa Számítsa ki a következő határértéket: ln( cos) lim ln ( cos 6 ) Matematikai megoldás sin ln( cos ) cos sincos6 lim lim lim ln( cos6) sin6 6 sin 6 cos cos 6 sin cos6 cos lim lim lim sin6 cos 6 cos 6 >Limit(ln(cos(*))/ln(cos(6*))) limit(ln(cos(*))/ln(cos(6*))); ln( cos) lim ln cos 6 Példa Számítsa ki a következő határértéket: lim π tg ( ) Matematikai megoldás Legyen π tg ( ) A lim Ekkor π π ln A lim ln lim tg ln tg ( ) ( )

15 ln( ) L' Hospital' s Rule ln( ) lim lim π ct g π ct g π ( ) sin lim lim A eπ π π π π sin >Limit((-)^(tan(Pi*/))) limit((-)^(tan(pi*/))); ( ) π tg π lim e Példa Számítsa ki a következő határértéket: lim ( ) tg π Matematikai megoldás π lim ( ) tg [ ] L' Hospital' s Rule ( ) lim lim π ct g π ct g π lim lim sin π π π π sin >Limit((-)*tan(Pi*/)) limit((-)*tan(pi*/)); 5

16 lim tg π π Függvény deriváltja Gyakorló feladatok Számítsa ki a következő határértékeket a l Hospital szabállyal: : a) L lim π arctg e >L[]:Limit((Pi-*arctan())/(ep(/)-) infinity)limit((pi-*arctan())/ (ep(/)-)infinity); π arctg L : lim e Matematikai megoldás f + e e b) L lim sin g e L >L[]:Limit((ep()-ep(-)-*)/(sin())) limit((ep()-ep(-)-*)/(sin())); e e L : lim sin Matematikai megoldás Felírható hogy f e e e + e 6

17 g ( sin) cos tehát + L A szabály ismételt alkalmazásával: f e e g sin L És még egyszer f e + e c) g cos L L lim e >L[]:Limit(^/ep(*)infinity) limit(^/ep(*)infinity); L : lim e Matematikai megoldás f g e d) L lim e f g е L lim e L + lim L' Hospital' s Rule >L[]:Limit(^right)limit(^ right); 7

18 L : lim + Matematikai megoldás Függvény deriváltja + + E lim ln lim ln ln lim + L e E e L' Hospital' s Rule lim + / / e) [ ] L5 lim e >L[5]:Limit(/-/(ep()-)) Limit(/-/(ep()-)); L 5 : lim e Matematikai megoldás e L' Hospital' s Rule L5 lim e e lim e + e e lim L5 e + L' Hospital' s Rule 6 A deriváltak további alkalmazásai ( ) Az y f függvény érintőjének egyenlete az f ( ) pontban a következőképpen írható fel: 8

19 y y + f ( )( ) Ha f ( ) akkor az érintő Az y f függvény normálisának egyenlete az f ( )) pontban a következőképpen írható fel: y y f ( Ha f a normális Példa Írja fel az + y görbe érintőjének és normálisának egyenletét az M pontban >V:diff(^+y()^); >W:solve(Vdiff(y())); >subs(/sqrt()y(/sqrt())/sqrt()w); д Válasz V + y y д W y Matematikai megoldás Az y kiszámítása után: + yy y y ( M) y A keresett egyeneletek: y t + (érintő) yn (normális) Példa Határozza milyen szögben metszik egymást a következő görbék y y >solve(^); Válasz >y:diff(); Válasz y : 9

20 >y:diff(^); Válasz y : >arctan(subs((y-y)/(+y*y))); >arctan(subs((y-y)/(+y*y))); >arctan(subs(-(y-y)/(+y*y))); Válasz π / arct g ( / ) arct g ( / ) Matematikai megoldás A görbék metszéspontját a következő egyenlet megoldásával határozhatjuk meg: ( )( + ) y y Két esetet különböztetünk meg (lásd Fig 7): ) y y A tgα tg β tg ( α β) + tgα tg β képlet alapján y y π tgα α + y y + ) m y y tgα α arctg + A görbék szimmetriájából következik hogy α α arctg

21 Figure 7 Gyakorló feladatok 5 ) Számítsa ki az abszcisszatengely és az y 9 függvény pontbeli érintőjének szögét Írja fel az adott pontban az érintő és a normális egyenletét ) Írja fel az adott pontban az érintő és a normális egyenletét: a) y y az M b) y az abszcisszájú pontban c) d) y az 9 abszcisszájú pontban cost cos t π y : a t paraméterértékre y sint sint ) Számítsa ki a két görbe metszéspontjában az érintőik által bezárt szöget: y 8 y 7 Gyakorló feladatok

22 ) Írja fel a következő függvények deriváltját: a) b) f ( ) ln( + ) c) f sin + + co s f ln + co s d) f arcsin 5sin cos sin f e e) f) f ln( 8) ln( arctg) + + g) sin+ ycos 5 y h) ( ) f ln i) f + + ( + ) 6 5 tg ln cos + j) f ln ln co s t + t+ k) y( ): 5 y t + 5t + l) m) f e arcsin e + ln e e f arcsin + ln + ) Írja fel a következő függvények második deriváltját: a) f ( ln )

23 b) arccos t y : y t t Függvény deriváltja c) d) f f ln + a + a + ( + ) ) Igazolja hogy y + sin megoldása az y" + y differenciálegyenletnek ) Számítsa ki a df ( ) d f ( ) differenciálokat: t t+ t a) f () t 5e 5e b) f ln( ) + + c) f arctg 5) Számítsa ki a következő határértékeket: Feladat Eredmény ln a) lim e e e lim co s ctg b) ( )[ ] lim ln cos lim π π c) lim ctg [ ] d) [ ] e) f) lim + g) tg lim e

24 h) i) Függvény deriváltja sin e + lim arctg sin 6 sin lim lim arcsin ctg j) [ ] k) l) m) / e lim e + ln( b) lim b ln e e b lim ctg ( ) ( π ) ln n) lim ( cos ) o) p) + lim lim 8 6 e 6 5 e 6) Számítsa ki az abszcisszatengely és az y + 5 függvény M ( ) pontbeli érintőjének szögét Írja fel az adott pontban az érintő és a normális egyenletét 8 Önellenőrző kérdések ) Deriválja a következő függvényeket a) y 5 5ln arctgy y y + +

25 b) y log ( +) ctg ( y ) y y 5 5 sint c) y( ): 5 y t ) Írja fel a következő függvény második deriváltját: -ben f arcctg ln ) Írja fel a következő függvények esetén ( a) f ( ) b) f 5 tg e arccos f cos c) d f d f ) -et: ) Írja fel az érintő és a normális egyenletét az 5cost y( ): y sin t Paraméteres görbe adott t paraméterhez tartozó pontjában: t π 5) Számítsa ki a következő határértékeket: a) lim + b) lim sin 5

26 9 Önellenőrző kérdések ) Adja meg a derivált és a differenciál definícióját egy adott pontban ) Adja meg a magasabb rendű derivált és a differenciál definícióját egy adott pontban ) Milyen deriválási módszereket ismer? ) Ismertetsse a L Hospital szabályt? Adjon rá példát 5) Magyarázza meg a következő Maple utasításokat: diff(f) Diff(F) D(F) subs(mnp) 6