KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I."

Veronika Bogdánné
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 17

2 XVII A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 1 PRImITÍV FÜGGVÉNY, ALApINTEGRÁLOk A (nagy) F függvényt a (kis) f függvény primitív függvényének nevezzük valamely nyílt intervallumon, ha itt Egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, és ezek összességét f határozatlan integráljának nevezzük Jelölése: (olv "integrál ef iksz dé iksz"), ahol C tetszőleges állandó (integrációs állandó) Alapintegrálok,,,

végtelen sok primitív függvénye van, és ezek összességét f határozatlan integráljának nevezzük

3 2 INTEGRÁLÁSI SZAbÁLYOk, k állandó (1) (2) (3), állandó Parciális integrálás Parciális integrálás: Gyakoriak az alakú integrálok, ahol P(x) polinom Ha Q(x) exponenciális, trigonometrikus vagy hiperbolikus függvény, akkor P(x) -et célszerű u-nak választani Ha viszont Q(x) logaritmus, arkusz vagy area függvény, akkor Q(x)-et célszerű u-nak választani Integrálás helyettesítéssel Integrálás helyettesítéssel: Ha jól választjuk meg a j függvényt, akkor a jobb oldali új integrál egyszerűbb lesz, mint az eredeti 3 MINTApÉLDÁk Megoldások: láthatók nem láthatók 1 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c),

függvény, akkor Q(x)-et célszerű u-nak választani Integrálás helyettesítéssel Integrálás helyettesítéssel: Ha jól választjuk meg a j függvényt, akkor a

4 d) e) f) g) h) i) j) k) l) Megoldások A fenti integrálok mindegyike visszavezethető alapintegrálokra a) b) c) d)

5 e) C f) g), vagy h) i) j) k) l) 2 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) e) f) Megoldások Mindegyik integrál kiszámításánál felhasználjuk a (3) szabályt a)

6 b) c) d) e) f) 3 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) e) f) Megoldások A fenti integrálok kiszámításánál felhasználjuk a (2) szabályt a) A számláló a nevező deriváltja, ezért A b) f) integrálok kiszámításánál szükséges egy kis átalakítás ahhoz, hogy a számláló a nevező deriváltja legyen b) c) d)

A számláló a nevező deriváltja, ezért A b) f) integrálok kiszámításánál

7 e) f) 4 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) e) f) Megoldások Alkalmazzuk az (1) szabályt a) b) c) d) e) f)

8 5 Számítsuk ki az alábbi integrálokat, majd deriválással győződjünk meg az integrálás helyességéről: a) b) c) d) e) f) Megoldások Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét a) Ellenőrzés: Megkaptuk az integranduszt -et), tehát az integrálás eredménye helyes b) Ellenőrzés: c) Ellenőrzés:

parciális integrálás módszerét a) Ellenőrzés: Megkaptuk az integranduszt

9 d) Ellenőrzés: e) Ellenőrzés: f) Ellenőrzés: 6 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) e)

10 f) g) h) Megoldások Alkalmazzuk a helyettesítéssel való integrálás módszerét a) b) c) d) e) a ch t dt = f)

11 g) h) Egy lehetséges másik helyettesítés:, dt 7 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) Megoldások a) b) c)

12 d) (l a 6/f példát) 8 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) e) f) g) h) Megoldások Valamennyi integrandusz racionális tört Résztörtekre bontjuk őket, majd utána integrálunk Felhasználjuk a 7 példa eredményeit a) Ha x = 2, akkor 9 = 7A Þ A =, ha, akkor Tehát b), tehát

Résztörtekre bontjuk őket, majd utána integrálunk Felhasználjuk a 7

13 c) d) Itt kihasználtuk azt, hogy a azonosságból A = 1, B = 3, következik e) f) g) h), 9 Számítsuk ki az alábbi integrálokat:

14 a) b) c) Megoldások Mindegyik integrandusz sin x-nek és cos x-nek racionális függvénye Ekkor egy lehetséges megoldási mód a helyettesítéssel való integrálás Itt felhasználjuk azt, hogy,, a) b) Itt eljárhatunk a következőképpen is: c) 10 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b)

helyettesítéssel való integrálás Itt felhasználjuk azt, hogy,, a) b)

15 c) Megoldások Mindegyik integrandusz -nek racionális függvénye Ekkor egy lehetséges megoldási mód az helyettesítéssel való integrálás:,, azaz a) b) Megjegyezzük, hogy a tört számlálója a nevező deriváltja c) 11 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) Megoldások a)

azaz a) b) Megjegyezzük, hogy a tört számlálója a nevező deriváltja

16 b) c) d) 4 FELADATOk Számítsa ki a következő integrálokat, alapintegrálokra visszavezetve azokat:

17 Számítsa ki a következő integrálokat, a parciális integrálás módszerét alkalmazva: Számítsa ki a következő integrálokat, a helyettesítés módszerét alkalmazva:

18 Számítsa ki a következő integrálokat, az (1), (2) és (3) integrálási szabályokat alkalmazva: Számítsa ki a következő integrálokat az integrandusz résztörtekre bontásával: 41

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Számítsa ki a

19 A helyettesítéssel számítsa ki a következő integrálokat: Az helyettesítéssel számítsa ki a következő integrálokat: Számítsa ki a következő integrálokat:

20 Megoldások

21 , Adjuk össze a két egyenlőséget, majd az összeget osszuk el 2 -vel Ekkor a kívánt integrált kapjuk:

22 Ha a két egyenlőséget kivonjuk egymásból, majd ismét osztunk 2 -vel, akkor egy újabb integrált kapunk

23 Itt észrevehető, hogy a számláló a nevező deriváltja, és így 42

24 A helyettesítés elvégzése után Az helyettesítés elvégzése után 52 53

25 A 18 feladat megoldásához hasonló módon eljárva, 62 Digitális Egyetem, Copyright Kovács Béla, 2011

Hasonló dokumentumok

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet