Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék"

Átírás

1 III 1. Aritmetika Elemi számolási szabályok Számok Természetes, egész és racionális számok Irracionális és transzcendens számok Valós számok Bizonyítási módszerek Direkt bizonyítás Indirekt (ellentmondással történő) bizonyítás Teljes indukció Konstruktív bizonyítás Nemkonstruktív bizonyítás Összegek és szorzatok Összegek Szorzatok Hatványok, gyökök, logaritmusok Hatványok Gyökök Logaritmusok Speciális logaritmusok Algebrai kifejezések Definíciók Az algebrai kifejezések osztályozása Racionális egész kifejezések Előállítás polinomalakban Polinom felbontása tényezőkre Speciális képletek Binomiális tétel Két polinom legnagyobb közös osztójának meghatározása Racionális törtkifejezések Visszavezetés a legegyszerűbb alakra A racionális egész rész meghatározása Parciális törtekre bontás Arányosságok átalakítása Irracionális kifejezések Véges sorok A véges sor definíciója Számtani sorok Mértani sor Speciális véges sorok Középértékek

2 IV Számtani közép Mértani közép Harmonikus közép Négyzetes közép A középértékek összehasonlítása két pozitív a b mennyiség esetén Pénzügyi matematika Százalékszámítás Kamatoskamat-számítás Törlesztésszámítás Törlesztés Egyenlő törlesztőrészletek Egyenlő annuitások Járadékszámítás Járadék Utólagos konstans járadék Számlaegyenleg n-szeri járadékfizetés után Leírások Egyenlőtlenségek Tiszta egyenlőtlenségek Definíciók Az I. és II. típusú egyenlőtlenségek tulajdonságai Speciális egyenlőtlenségek Háromszög-egyenlőtlenség Egyenlőtlenségek két szám különbségének abszolút értékére A számtani és a mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség A számtani és a négyzetes középre vonatkozó egyenlőtlenség Valós számok különféle középértékeire vonatkozó egyenlőtlenségek Bernoulli-egyenlőtlenség Binomiális egyenlőtlenség Cauchy Schwarz-egyenlőtlenség Csebisev-egyenlőtlenség Általánosított Csebisev-egyenlőtlenség Hölder-egyenlőtlenség Minkowski-egyenlőtlenség Első- és másodfokú egyenlőtlenségek megoldása Általános rész Elsőfokú egyenlőtlenségek Másodfokú egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlőtlenség általános esete Komplex számok Képzetes és komplex számok Képzetes egység Komplex számok Geometriai szemléltetés Előállítás vektoralakban Komplex számok egyenlősége Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex szám exponenciális alakja Konjugált komplex számok Számolás komplex számokkal Összeadás és kivonás Szorzás

3 V Osztás A négy alapműveletre vonatkozó általános szabályok Komplex szám hatványozása Komplex szám n-edik gyökének meghatározása Algebrai és transzcendens egyenletek Algebrai egyenletek normálalakra hozása Definíció n számú algebrai egyenletből álló rendszerek Hamis gyökök fokú egyenletek Elsőfokú (lineáris) egyenletek Másodfokú (kvadratikus) egyenletek Harmadfokú egyenletek Negyedfokú egyenletek Ötöd- és magasabbfokú egyenletek n-edfokú egyenletek Algebrai egyenletek általános tulajdonságai Valós együtthatójú egyenletek Transzcendens egyenletek visszavezetése algebrai egyenletekre Definíció Exponenciális egyenletek Logaritmikus egyenletek Trigonometrikus egyenletek Egyenletek hiperbolikus függvényekkel Függvények és előállításuk A függvény fogalma A függvény definíciója Függvény Valós függvény Többváltozós függvény Komplex függvény További függvények Funkcionálok Függvény és leképezés Módszerek valós függvények értelmezésére Függvény megadása Valós függvény analitikus előállítása Néhány függvényfajta Monoton függvények Korlátos függvények Függvény szélsőértékei Páros függvények Páratlan függvények Előállítás páros és páratlan függvény segítségével Periodikus függvények Inverz függvény Függvény határértéke Függvény határértékének definíciója Visszavezetés sorozat határértékére A Cauchy-féle konvergenciakritérium Végtelen mint függvény-határérték

4 VI Függvény bal oldali és jobb oldali határértéke Függvény határértéke a végtelenben Függvények határértékeire vonatkozó tételek Határértékek kiszámítása Függvények nagyságrendje és a Landau-féle szimbólumok Függvény folytonossága A folytonosság és a szakadási hely fogalma A folytonosság definíciója Gyakran fellépő szakadásfajták Elemi függvények folytonossága és szakadási helyei Folytonos függvények tulajdonságai Elemi függvények Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények Transzcendens függvények Exponenciális függvények Logaritmusfüggvények Trigonometrikus függvények Inverz trigonometrikus függvények Hiperbolikus függvények Inverz hiperbolikus függvények Polinomok Lineáris függvény Másodfokú polinom Harmadfokú polinom n-edfokú polinom n-edrendű parabola Racionális törtfüggvények Fordított arányosság Harmadrendű görbe, I. típus Harmadrendű görbe, II. típus Harmadrendű görbe, III. típus Reciprok hatvány Irracionális függvények Lineáris binom négyzetgyöke Másodfokú polinom négyzetgyöke Hatványfüggvény Exponenciális és logaritmusfüggvények Exponenciális függvények Logaritmusfüggvények Gauss-féle haranggörbe Exponenciális összeg Általánosított Gauss-féle haranggörbe Hatványfüggvény és exponenciális függvény szorzata Trigonometrikus függvények Elemi tudnivalók Definíció és ábrázolás Értékkészletek és a függvények menete Trigonometrikus függvényekre vonatkozó további fontos formulák Trigonometrikus függvények közötti összefüggések

5 VII Trigonometrikus függvények szögek összegéhez, ill. különbségéhez tartozó értékei Trigonometrikus függvények szögek többszöröseihez tartozó értékei Trigonometrikus függvények szög feléhez tartozó értékei (félszögtételek) Trigonometrikus függvények két értékének összege, ill. különbsége (addíciós tételek) Trigonometrikus függvények értékeinek szorzata Trigonometrikus függvények hatványai Rezgések leírása A probléma megfogalmazása Rezgések szuperpozíciója vagy összetétele Rezgések vektordiagramja Rezgések csillapítása Ciklometrikus függvények (árkuszfüggvények) A ciklometrikus függvények definíciója Visszavezetés a főértékekre Összefüggések a főértékek között Képletek ellentett argumentumpárokra arcsin x és arcsin y összege és különbsége arccosx és arccosy összege és különbsége arctg x és arctg y összege és különbsége Speciális összefüggések az arcsinx, arccosx, arctg x függvényekre Hiperbolikus függvények A hiperbolikus függvények definíciója A hiperbolikus függvények grafikus előállítása Szinusz hiperbolikusz Koszinusz hiperbolikusz Tangens hiperbolikusz Kotangens hiperbolikusz Hiperbolikus függvényekre vonatkozó fontos képletek Egyező argumentumú hiperbolikus függvények Hiperbolikus függvény előállítása azonos argumentumú másikkal Ellentett argumentumpárokra vonatkozó képletek Hiperbolikus függvények két argumentum összegéhez és különbségéhez tartozó értékei (addíciós tételek) Hiperbolikus függvényeknek az eredeti argumentum kétszeresén felvett értékei Moivre-képlet hiperbolikus függvényekre Hiperbolikus függvényeknek az eredeti argumentum felén felvett értékei Hiperbolikus függvény két helyen felvett értékének összege és különbsége sh-val és/vagy ch-val kifejezve Összefüggés a hiperbolikus és a trigonometrikus függvények között komplex z argumentum esetén Áreafüggvények Definíciók Área szinusz hiperbolikusz Área koszinusz hiperbolikusz Área tangens hiperbolikusz Área kotangens hiperbolikusz Az áreafüggvények előállítása a természetes alapú logaritmussal

6 VIII Összefüggések a különböző áreafüggvények között Áreafüggvények két értékének összege és különbsége Képletek ellentett argumentumpárokra Harmadrendű görbék Neil-parabola Agnesi-féle kürt (verziera) Descartes-levél Cisszoid Sztrofoid Negyedrendű görbék Nikomedes-féle konchoid Általános konchoid Pascal-féle csiga Kardioid Cassini-féle görbék Lemniszkáta Cikloisok Közönséges ciklois Hurkolt és nyújtott cikloisok, más néven trochoidok Epiciklois Hipociklois és asztroid Hurkolt és nyújtott epiciklois és hipociklois Spirálok Archimédeszi spirál Hiperbolikus spirál Logaritmikus spirál A kör evolvense Klotoid Különféle egyéb görbék Láncgörbe Traktrix Empirikus görbék meghatározása A módszer vázlata Függvénygörbék összehasonlítása Rektifikálás A paraméterek meghatározása A leggyakrabban használt empirikus képletek Hatványfüggvények Exponenciális függvények Másodfokú polinom Lineáris törtfüggvény Másodfokú polinom négyzetgyöke Általánosított Gauss-féle haranggörbe Harmadrendű görbe, II. típus Harmadrendű görbe, III. típus Harmadrendű görbe, I. típus Hatványfüggvény és exponenciális függvény szorzata Exponenciális összeg Skálák és függvénypapírok Skálák Függvénypapírok Egyszer logaritmikus függvénypapír

7 IX Kétszer logaritmikus függvénypapír Függvénypapír reciprok skálával Megjegyzés Többváltozós függvények Definíció és előállítás Többváltozós függvények előállítása Többváltozós függvények geometriai ábrázolása Különféle értelmezési tartományok a síkban Függvény értelmezési tartománya Kétdimenziós tartományok Három- és többdimenziós tartományok Függvényértelmezési módszerek Függvények analitikus előállítási módjai Függvények összefüggése Határértékek Definíció Egzakt megfogalmazás Általánosítás több változóra Többszörös határértékek Folytonosság Folytonos függvények tulajdonságai Bolzano zérushely-tétele Közbülsőérték-tétel Függvény korlátosságáról szóló tétel Weierstrass tétele a legnagyobb és legkisebb függvényérték létezéséről Geometria Síkgeometria Alapfogalmak Pont, egyenes, félegyenes, szakasz Szög Két metsző egyenesnél fellépő szögek Párhuzamosokat metsző egyenesnél fellépő szögpárok Szög kifejezése fokokban és ívmértékben A körfüggvények és a hiperbolikus függvények geometriai definíciója A kör- vagy trigonometrikus függvények definíciója A hiperbolikus függvények geometriai definíciója Síkháromszögek Síkháromszögekre vonatkozó állítások Szimmetria Síknégyszögek Paralelogramma Téglalap és négyzet Rombusz Trapéz Általános négyszög Síkbeli sokszögek Síkbeli köralakzatok Kör Körszelet és körcikk Körgyűrű

8 X 3.2. Síkbeli trigonometria Háromszögek adatainak kiszámítása Derékszögű síkháromszögekre vonatkozó számolások Síkháromszögekre vonatkozó számolások Geodéziai alkalmazások Geodéziai koordináták Szögek a geodéziában Méréstechnikai alkalmazások Térgeometria Egyenesek és síkok a térben Élek, csúcsok, térszögek Poliéderek Görbült felületekkel határolt testek Gömbháromszögtan (szférikus trigonometria) A gömbfelület geometriájának alapfogalmai Görbék, ívek és szögek a gömbön Speciális koordinátarendszerek Gömbkétszög Gömbháromszög Polárgömbháromszög Euler-féle és nem Euler-féle háromszögek Triéder A gömbháromszögek fő tulajdonságai Általános állítások Alapképletek és alkalmazásaik További képletek Gömbháromszögek megoldása Alapfeladatok, pontossági megfontolások Derékszögű gömbháromszög Ferdeszögű gömbháromszög Gömbfelületi görbék Vektoralgebra és analitikus geometria Vektoralgebra A vektor definíciója, számolási szabályok Skaláris szorzat és vektoriális szorzat Többszörös szorzási kapcsolatok Vektoregyenletek Vektor kovariáns és kontravariáns koordinátái A vektoralgebra geometriai alkalmazásai A sík analitikus geometriája Alapvető fogalmak és képletek, síkbeli koordinátarendszerek Egyenes Kör Ellipszis Hiperbola Parabola Másodrendű görbék (kúpszeletek) A tér analitikus geometriája Alapvető tudnivalók, térbeli koordinátarendszerek Térbeli egyenes és sík Másodrendű felületek, az egyenletek normálalakja Másodrendű felületek, általános elmélet

9 XI 3.6. Differenciálgeometria Síkgörbék Lehetőségek síkgörbék definiálására Görbék lokális alkotóelemei Görbék kitüntetett pontjai, aszimptoták Görbék általános vizsgálata egyenletük alapján Evoluták és evolvensek Görbeseregek burkolói Térgörbék Térgörbék definiálására alkalmas lehetőségek Kísérő triéder Görbület és torzió Felületek Felület definiálására alkalmas lehetőségek Érintősík és felületi normális Felületi vonalelem Felület görbülete Vonalfelületek és lefejthető felületek Felület geodetikus vonalai Lineáris algebra Mátrixok A mátrix fogalma Kvadratikus mátrixok Vektorok Mátrixműveletek Mátrixműveletek szabályai Vektor- és mátrixnorma Vektornormák Mátrixnormák Determinánsok Definíciók Determinánsok Aldeterminánsok Determinánsok számítási szabályai Determinánsok kiszámítása Tenzorok Koordinátarendszerek transzformációja Tenzorok megadása derékszögű koordinátákkal Speciális tulajdonságú tenzorok Másodrendű tenzorok Invariáns tenzorok Tenzorok görbevonalú koordinátarendszerekben Kovariáns és kontravariáns bázisvektorok Elsőrendű tenzorok kovariáns és kontravariáns koordinátái Kovariáns, kontravariáns és vegyes koordinátái a másodrendű tenzoroknak Számítási szabályok Pszeudotenzorok Ponttükrözés a koordinátarendszer kezdőpontjára Pszeudotenzor fogalmának a bevezetése Lineáris egyenletrendszerek

10 XII Lineáris rendszerek, elemcsere-eljárás Lineáris rendszerek Elemcsere-eljárás Lineáris függőség Mátrix invertálása Lineáris egyenletrendszerek megoldása Definíció és megoldhatóság Az elemcsere-eljárás alkalmazása Cramer-szabály Gauss-féle algoritmus Túlhatározott lineáris egyenletrendszerek Túlhatározott lineáris egyenletrendszerek és lineárisnégyzetes közép problémák A legkisebb négyzetek feladatának numerikus megoldása Mátrixok sajátérték-feladata Általános sajátérték-probléma Speciális sajátérték-probléma Karakterisztikus polinom Valós szimmetrikus mátrixok, hasonlósági transzformáció Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Útmutatás a sajátértékek numerikus meghatározásához Szinguláris értékek szerinti felbontás Algebra és diszkrét matematika Logika Ítéletkalkulus A predikátumkalkulus kifejezései Halmazelmélet A halmaz fogalma, különleges halmazok Műveletek halmazokkal Relációk és leképezések Ekvivalencia és rendezési relációk Halmazok számossága Klasszikus algebrai struktúrák Műveletek Félcsoportok Csoportok Definíció és alapvető tulajdonságok Részcsoportok és direkt szorzatok Csoportok közötti leképezések Lie-csoportok Lie-algebrák Félegyszerű Lie-csoportok leképezése Csoportok alkalmazásai Szimmetria műveletek, szimmetria elemek Szimmetria csoportok Molekulák szimmetria műveletei A krisztallográfia szimmetria csoportjai A kvantummechanika szimmetria csoportjai Részecskefizikai alkalmazások További fizikai alkalmazási példák Gyűrűk és testek

11 XIII Definíciók Részgyűrűk, ideálok Homomorfizmusok, izomorfizmusok, homomorfia tétel Vektorterek Definíció Lineáris függőség Lineáris leképezések Alterek, dimenziótétel Euklideszi vektorterek, euklideszi norma Lineáris operátorok vektorterekben Elemi számelmélet Oszthatóság Oszthatóság és alapvető oszthatósági szabályok Prímszámok Oszthatósági kritériumok Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Fibonacci-számok Lineáris Diophantoszi egyenletek Kongruenciák és maradékosztályok Fermat, Euler és Wilson tétele Kódok Kriptológia A kriptológia feladata Titkosítási rendszerek Matematikai megfogalmazás Titkosítási rendszerek biztonsága A klasszikus kriptológia módszerei Cserével végzett titkosítás A Vigenere-kód Mátrix helyettesítések A klasszikus kriptoanalízis módszerei Statisztikus analízis A Kasiski Friedman-próba One-Time-Tape Nyilvános kulcsú eljárások Diffie és Hellman koncepciója Egyirányú függvények RSA eljárás DES algoritmus (Data Encription Standard) IDEA algoritmus (International Data Encryption Algorithm) Univerzális algebra Definíció Kongruencia relációk, faktoralgebrák Homomorfizmusok Homomorfia tétel Varietások Kijelentésalgebrák, szabad algebrák Boole-algebrák és kapcsolási algebrák Definíció A dualitási elv Véges Boole-algebrák Boole-algebra mint rendezés

12 XIV Boole-függvények, Boole-kifejezések Normálformák Kapcsolások algebrája Gráfelméleti algoritmusok Alapfogalmak és jelölések Irányítatlan gráfok bejárása Élsorozatok Euler-utak Hamilton-körök Fák és favázak Fák Feszítő fa Párosítások Síkgráfok Pályák irányított gráfokban Szállítási hálózatok Fuzzy logika A fuzzy logika alapja A fuzzy halmazok értelmezése Tagsági függvények Fuzzy halmazok Fuzzy halmazműveletek Általános fuzzy halmazműveletek A gyakorlatban használt fuzzy halmazműveletek Aggregációs vagy kompenzáló operátorok Kiterjesztési szabály Fuzzy komplemensfüggvény Fuzzy relációk Fuzzy relációk folalma Fuzzy szorzatreláció R S Fuzzy következtető rendszerek Kiértékelési (defuzzyfikációs) módszerek Tudásalapú fuzzy rendszerek A Mamdani-módszer A Sugeno-módszer Alkalmazási példák Tudásalapú interpolációs rendszer Differenciálszámítás Egyváltozós függvények differenciálása Differenciálhányados Egyváltozós függvényekre vonatkozó differenciálási szabályok Elemi függvények deriválása A differenciálás alapszabályai Magasabb rendű deriváltak A magasabb rendű derivált definíciója Egyszerűbb függvények magasabb rendű deriváltjai A Leibniz-formula Paraméteres alakban adott függvények magasabb rendű deriváltjai Inverz függvények magasabb rendű deriváltjai A differenciálszámítás legfontosabb tételei Monotonitási feltételek

13 XV Fermat tétele Rolle tétele A differenciálszámítás középértéktétele Az egyváltozós függvényekre vonatkozó Taylor-tétel A differenciálszámítás középértéktételének általánosítása A szélsőértékek és inflexiós pontok meghatározása Maximum és minimum Lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele Differenciálható, y = f(x) explicit alakban adott függvény lokális szélsőértékei Abszolút (globális) szélsőértékek meghatározása Implicit alakban adott függvény szélsőértékeinek meghatározása Többváltozós függvények differenciálása Parciális deriváltak Függvény parciális deriváltja Geometriai jelentés két változó esetén A differenciál fogalma A differenciál főbb tulajdonságai Parciális differenciál Teljes differenciál és magasabb rendű differenciálok Többváltozós függvény teljes differenciáljának fogalma Magasabb rendű deriváltak és differenciálok Többváltozós függvények differenciálasi szabályai Összetett függvények differenciálása Implicit függvények differenciálása Változók helyettesítése differenciálkifejezésekben és koordinátatranszformációknál Egyváltozós függvény Kétváltozós függvények Többváltozós függvények szélsőértékei Definíció Geometriai jelentés Kétváltozós függvény szélsőértékeinek meghatározása Szélsőérték meghatározása n-változós függvény esetén Feladatok közelítő megoldása Feltételes szélsőérték meghatározása Végtelen sorok Számsorozatok Számsorozatok tulajdonságai Számsorozatok, alapfogalmak Monoton számsorozatok Korlátos sorozatok Számsorozat határértéke Konstans tagú sorok Általános konvergencia-tételek Végtelen sorok konvergenciája és divergenciája Sorok konvergenciájára vonatkozó tételek Pozitív tagú sorokra vonatkozó konvergencia-kritériumok Összehasonlító kritérium d Alembert-féle hányadoskritérium A Cauchy-féle gyökkritérium

14 XVI Cauchy-féle integrálkritérium Abszolút és feltételes konvergencia Definíció Abszolút konvergens sorok tulajdonságai Alternáló sorok Néhány speciális sor Néhány konstans tagú sor összege Bernoulli- és Euler-féle számok A maradéktag becslése Becslés majoráns segítségével Alternáló konvergens sorok Speciális sorok Függvénysorok Definíciók Egyenletes konvergencia Definíció, Weierstrass-féle kritérium Egyenletesen konvergens sorok tulajdonságai Hatványsorok Definíció, konvergencia Műveletek hatványsorokkal Taylor-sorfejtés, MacLaurin-sor Közelítő formulák Aszimptotikus hatványsorok Aszimptotikus egyenlőség Aszimptotikus hatványsorok Fourier-sorok Trigonometrikus összeg és Fourier-sor Alapfogalmak A Fourier-sorok legfontosabb tulajdonságai Szimmetrikus függvények együtthatóinak meghatározása Különböző szimmetriák A Fourier-sorfejtés formulái Az együtthatók meghatározása numerikus módszerekkel Fourier-sor és Fourier-integrál Útmutató a Fourier-sorfejtések táblázatához Integrálszámítás Határozatlan integrál Primitív függvény vagy integrál (antiderivált) Határozatlan integrál (antiderivált) Elemi függvények integrálja Integrálási szabályok Racionális függvények integrálása Racionális egész függvények (polinomok) integrálja Racionális törtfüggvények integrálása A parciális törtekre való bontás négy esete Irracionális függvények integrálása Racionális függvény integrálására visszavezető helyettesítés Az integrál átalakítása trigonometrikus és hiperbolikus függvények racionális kifejezéseinek integráljává Binomiális integrandus integrálása Elliptikus integrál

15 XVII Trigonometrikus függvények integrálása Helyettesítés Egyszerűsített módszerek További transzcendens függvények integrálása Exponenciális függvényt tartalmazó integrálok Hiperbolikus függvények integrálja A parciális integrálás alkalmazása Transzcendens függvények integrálása Határozott integrál Alapfogalmak, szabályok és tételek A határozott integrál fogalma A határozott integrál jellemzői Az integrációs határokra vonatkozó további tételek A határozott integrál kiszámítása A határozott integrál alkalmazása A határozott integrál alkalmazásának általános elve Geometriai alkalmazások Mechanikai és fizikai alkalmazások Improprius integrálok, Stieltjes- és Lebesgue-integrálok Az integrálfogalom általánosításai Végtelen integrációs határokkal rendelkező integrálok Nemkorlátos függvény integrálja Paraméteres integrál A paraméteres integrál definíciója Differenciálás az integráljel mögött Integrálás az integráljelen belül Integrálás sorbafejtéssel, speciális nem elemi függvények Vonalintegrál típusú vonalintegrál Definíciók Egzisztenciatétel típusú vonalintegrálok kiszámítása Az 1. típusú vonalintegrál alkalmazása típusú vonalintegrál Általános típusú vonalintegrálok A vonalintegrálnak az integrációs úttól való függetlensége Többszörös integrálok Kettős integrál A kettős integrál fogalma A kettős integrál kiszámítása Kettős integrálok alkalmazása Hármas integrál A hármas integrál fogalma A hármas integrál kiszámítása A hármas integrálok alkalmazása Felületi integrál típusú felületi integrál típusú felületi integrál fogalma Az 1. típusú felületi integrál kiszámítása Az 1. típusú felületi integrál alkalmazásai típusú felületi integrál A 2. típusú felületi integrál fogalma

16 XVIII típusú felületi integrálok kiszámítása A felületi integrál egy alkalmazása Differenciálegyenletek Közönséges differenciálegyenletek Elsőrendű differenciálegyenletek Megoldások létezése, iránymező Elemi úton integrálható differenciálegyenletek Implicit differenciálegyenletek Szinguláris integrálok és szinguláris pontok Elsőrendű differenciálegyenletek közelítő megoldási módszerei Magasabb rendű differenciálegyenletek, differenciálegyenlet-rendszerek Alapvető fogalmak A rendszám csökkentése n-edrendű lineáris differenciálegyenletek Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletek megoldása Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Másodrendű lineáris differenciálegyenletek Peremérték-feladatok A probléma megfogalmazása A sajátértékek és sajátfüggvények főbb tulajdonságai A sajátfüggvények szerinti sorfejtés Parciális differenciálegyenletek Elsőrendű parciális differenciálegyenletek Elsőrendű lineáris parciális differenciálegyenletek Elsőrendű nemlineáris parciális differenciálegyenletek Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek Két független változójú másodrendű differenciálegyenletek osztályozása és tulajdonságai Több, mint két független változót tartalmazó másodrendű differenciálegyenletek osztályozása és tulajdonságai Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek megoldásának módszerei A természet- és műszaki tudományok differenciálegyenletei A probléma felvetése és a peremfeltételek A hullámegyenlet Hővezetés egyenlete és a diffúziós egyenlet homogén közegben A Poisson-egyenlet A Schrödinger-egyenlet és a kvantummechanika alapjai Nemlineáris parciális differenciálegyenletek, szolitonok A probléma elméleti fizikai megközelítése A Korteweg de Vries-egyenlet Nemlineáris Schrödinger-egyenlet A szinusz Gordon-egyenlet További szolitonmegoldással rendelkező nemlineáris evolúciós egyenletek Variációszámítás A feladat kitűzése Klasszikus feladatok Izoperimetrikus probléma A brachisztochron-probléma

17 XIX Egydimenziós variációs problémák A variációszámítás legegyszerűbb feladattípusa, extremálisok A variációszámítás Euler-féle differenciálegyenlete Variációs problémák mellékfeltételekkel Magasabbrendű variációs problémák Több függvényre vonatkozó variációs problémák Paraméteres variációs problémák Többdimenziós variációs problémák A legegyszerűbb variációs probléma Általánosabb variációs problémák Variációs problémák numerikus megoldása Kiegészítés Első és második variáció Fizikai alkalmazások Lineáris integrálegyenletek Bevezetés és osztályozás Másodfajú Fredholm-féle integrálegyenletek Elfajuló magú integrálegyenletek A sorozatos megközelítés (szukcesszív approximáció) módszere, Neumann-sor Fredholm-féle megoldási módszer, Fredholm tételei Fredholm-féle megoldási módszer Fredholm tételei Numerikus módszerek a Fredholm-féle másodfajú integrálegyenletek megoldására Az integrál approximációja Mag-approximáció Kollokációs módszer Fredholm-féle elsőfajú integrálegyenletek Elfajuló magú integrálegyenletek Fogalmak, analízisbeli segédeszközök Az integrálegyenlet visszavezetése lineáris egyenletrendszerre Az elsőfajú homogén integrálegyenlet megoldása Megadott maghoz két speciális ortonormált rendszer meghatározása Iterációs módszer Volterra-féle integrálegyenletek Elméleti alapok Megoldás differenciálással Volterra-féle másodfajú integrálegyenletek megoldása Neumann-sorral Konvolúció típusú Volterra-féle integrálegyenletek Volterra-féle másodfajú integrálegyenletek numerikus tárgyalása Szinguláris integrálegyenletek Abel-féle integrálegyenlet Szinguláris integrálegyenletek Cauchy-típusú magokkal A feladat megfogalmazása A megoldás létezése A Cauchy-féle integrál tulajdonságai Hilbert-féle peremérték-feladat A Hilbert-féle peremérték-feladat megoldása A karakterisztikus integrálegyenlet megoldása

18 XX 12. Funkcionálanalízis Vektorterek A vektortér fogalma Lineáris és affin alterek Lineárisan független elemek Konvex részhalmazok és konvex burok Konvex halmazok Kúpok Lineáris operátorok és funkcionálok Leképezések Homomorfizmus és endomorfizmus Izomorf vektorterek Valós vektorterek komplexifikálása Rendezett vektorterek Kúpok és részbenrendezés Rendezésre nézve korlátos halmazok Pozitív operátorok Vektorhálók Metrikus terek A metrikus tér fogalma Gömbök és környezetek Sorozatok konvergenciája metrikus térben Zárt halmazok és lezárás Sűrű részhalmazok és szeparábilis metrikus terek Teljes metrikus terek Cauchy-sorozatok Teljes metrikus tér Néhány alapvető tétel teljes metrikus terekben A kontrakcióelv néhány alkalmazása Metrikus tér teljessé tétele Folytonos operátorok Normált terek A normált tér fogalma A normált tér axiómái A normált terek néhány tulajdonsága Banach-terek Sorok normált terekben A fontosabb Banach-terek Szoboljev-terek Rendezett normált terek Normált algebrák Hilbert-terek A Hilbert-tér fogalma Skalárszorzat Unitér terek és néhány tulajdonságuk Hilbert-tér Ortogonalitás Az ortogonalitás tulajdonságai Ortogonális rendszerek Fourier-sorok a Hilbert-térben Legjobb megközelítés Parseval-egyenlőség, Riesz Fischer-tétel

19 XXI Bázis létezése. Izomorf Hilbert-terek Folytonos lineáris operátorok és funkcionálok Lineáris operátorok korlátossága, normája és folytonossága Lineáris operátorok korlátossága és normája A folytonos lineáris operátorok tere Operátorsorozatok konvergenciája Folytonos lineáris operátorok Banach-terekben A lineáris operátorok spektrálelméletének elemei Operátor rezolvenshalmaza és rezolvense Operátor spektruma Folytonos lineáris funkcionálok Definíció Folytonos lineáris funkcionálok a Hilbert-téren, Riesz Frigyes tétele Folytonos lineáris funkcionálok L p -ben Lineáris funkcionálok kiterjesztése Konvex halmazok elválasztása (szétválasztása) Biduális tér és reflexív terek Adjungált operátorok normált terekben Korlátos operátor adjungáltja Nem korlátos operátor adjungáltja Önadjungált operátorok Pozitív definit operátorok Projektorok a Hilbert-térben Kompakt halmazok és kompakt operátorok Normált terek kompakt részhalmazai Kompakt operátorok A kompakt operátor fogalma Kompakt lineáris operátorok tulajdonságai Elemek gyenge konvergenciája Fredholm-féle alternatíva Kompakt lineáris operátorok a Hilbert-térben Kompakt önadjungált operátorok a Hilbert-téren Nemlineáris operátorok Példák nemlineáris operátorra Nemlineáris operátorok differenciálhatósága Newton-módszer Schauder-féle fixpont-elv Leray Schauder-elmélet Pozitív, nemlineáris operátorok Monoton operátorok Banach-terekben Mérték és Lebesgue-integrál σ-algebrák és mértékek Mérhető függvények Mérhető függvény A mérhető függvények osztályának tulajdonságai Integrálás Az integrál definíciója Az integrál néhány tulajdonsága Konvergenciatételek L p -terek Disztribúciók A parciális integrálás képlete

20 XXII Általánosított derivált Disztribúció Disztribúció deriváltja Vektoranalízis és térelmélet A térelmélet alapfogalmai Egyparaméteres vektor-skalárfüggvény Definíciók Vektorfüggvény differenciálhányadosa Vektorfüggvények differenciálási szabályai Vektorfüggvények Taylor-sorfejtése Skalármezők Skalármező vagy skalár pontfüggvény Fontosabb skalármezők Skalármezők megadása a koordináták függvényeként Szintfelületek és szintvonalak Vektormezők Vektormező vagy vektoriális, azaz vektorértékű pontfüggvény Fontosabb vektormezők A vektormezők megadása a koordináták függvényeként Áttérés egyik térbeli koordinátarendszerről egy másikra egy V ( r) vektormező megadásában Erővonalak Térbeli differenciálszámítás Iránymenti és térfogati differenciálhányados (derivált) Skalármező iránymenti differenciálhányadosa Vektormező iránymenti differenciálhányadosa Térfogati vagy térbeli differenciálhányados Skalármező gradiense Gradiens definíciója Gradiens és iránymenti differenciálhányados Gradiens és térfogati differenciálhányados A gradiens további tulajdonságai Skalármező gradiense különböző koordinátarendszerekben Műveleti és számítási szabályok Vektorgradiens Vektormező divergenciája A divergencia definíciója Divergencia megadása különböző koordinátarendszerekben A divergencia műveleti szabályai Centrális mező divergenciája Vektormező rotációja Rotáció definíciója Rotáció a különböző koordinátarendszerekben A rotáció kiszámítási szabályai Potenciálos mező rotációja Nablaoperátor, Laplace-operátor Nablaoperátor A nablaoperátorra vonatkozó számítási szabályok Vektorgradiens A nablaoperátor kétszeres alkalmazása Laplace-operátor

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK. MATEMATIKA ALAPKÉPZÉSI SZAK (2013 és 2014 kezdéssel)

OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK. MATEMATIKA ALAPKÉPZÉSI SZAK (2013 és 2014 kezdéssel) Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Matematikai Intézet OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MATEMATIKA ALAPKÉPZÉSI SZAK (2013 és 2014 kezdéssel) Matematika képzés Az alapképzés (BSc) célja, hogy

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika Témakörök az osztályozó vizsgához Idegenforgalmi és Informatikus osztályok (9.A/9.B) 1. A halmazok, számhalmazok, ponthalmazok 2. Függvények 3. A számelmélet elemei. Hatványozás. 0 és negatív kitevőjű

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 10. osztály Heti 3 óra Évi 111 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató Év eleji ismétlés 1. óra: Számhalmazok és számok 2. óra: Algebrai

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 10 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Környezettani alapismeretek Tantárgy kódja

Környezettani alapismeretek Tantárgy kódja Tantárgy neve Környezettani alapismeretek AIB1004 Meghirdetés féléve 1. Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+0 Kollokvium - Dr. Kiss Ferenc, főisk. tanár KT A környezettudomány főbb területeinek

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

MATEMATIKA A és B variáció

MATEMATIKA A és B variáció MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények 6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai

Részletesebben

Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Matematikai Intézet OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK OSZTATLAN MATEMATIKATANÁR SZAK

Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Matematikai Intézet OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK OSZTATLAN MATEMATIKATANÁR SZAK Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Matematikai Intézet OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK OSZTATLAN MATEMATIKATANÁR SZAK Matematikatanár szak A szak megnevezése: matematikatanár (Teacher of Mathematics)

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz MATEMATIKA 6. Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz Témák 1. Játékos feladatok Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva. Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani

Részletesebben

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY Heti 4 óra Évi 148 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató 1 / 5 I. Az általános iskolai ismeretek ismétlése 1. óra: Műveletek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény

Részletesebben

ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK IRODALOM

ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK IRODALOM ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK IRODALOM 1. Szerzők és művek 1.1 Életművek Petőfi Sándor, Arany János, Ady Endre, Babits Mihály, Kosztolányi Dezső, József Attila 1.2 Egy mű beható ismerete Katona József: Bánk bán

Részletesebben

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

1. előadás. Függvények ábrázolása. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

1. előadás. Függvények ábrázolása. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 1. előadás Függvények ábrázolása Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Matematikai alapok Az elkészítés lépései, áttekintés Példa: egy ismert matematikai függvény és integráljának

Részletesebben

Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához

Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 5 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Tanmenetjavaslat 5. osztály

Tanmenetjavaslat 5. osztály Tanmenetjavaslat 5. osztály 1. A természetes számok A tanmenetjavaslatokban dőlt betűvel szedtük a tananyag legjellemzőbb részét (amelyet a naplóba írunk). Kisebb betűvel jelezzük a folyamatos ismétléssel

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA. BSc szakdolgozat. tanári szakirány. Budapest, 2013.

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA. BSc szakdolgozat. tanári szakirány. Budapest, 2013. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA BSc szakdolgozat Készítette: Somlói Zsófia matematika BSc tanári szakirány Témavezető: Dr. Moussong Gábor adjunktus

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási

Részletesebben

Téma Óraszám Tanári bemutató Tanulói tevékenység Módszertan Óratípus Eszközök

Téma Óraszám Tanári bemutató Tanulói tevékenység Módszertan Óratípus Eszközök Tartalom Általános megjegyzések a programok használatához és a munkakörnyezethez... 1 9. évfolyam... 3 10. évfolyam... 6 11. évfolyam... 8 Emelt szinten... 9 12. évfolyam... 9 Emelt szinten... 10 Általános

Részletesebben

Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam. 1 óra/hét (37 óra) Kiselőadások tartása, interjúk készítése (matematikatörténeti

Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam. 1 óra/hét (37 óra) Kiselőadások tartása, interjúk készítése (matematikatörténeti Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam Témakörök Gondolkodási és megismerési módszerek Számtan, algebra Összefüggések, függvények, sorozatok Geometria, mérés Statisztika, valószínűség Év végi összefoglaló

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2.

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. 1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. alapján 9-12. évfolyam 2 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Javító vizsga matematikából, 9. évfolyam

Javító vizsga matematikából, 9. évfolyam Javító vizsga matematikából, 9. évfolyam 1. Halmazok Tk. 16.o-21.o (definíciók, tételek, mintapéldák) 23.o Feladatok 1-8. 27.o Feladatok 1-6. Számegyenesek, intervallumok 29-30. 2. Algebra és számelmélet

Részletesebben

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM SZERZŐK: Veppert Károlyné, Ádám Imréné, Heibl Sándorné, Rimainé Sz. Julianna, Kelemen Ildikó, Antalfiné Kutyifa Zsuzsanna, Grószné Havasi Rózsa 1 1-2. ÉVFOLYAM Gondolkodási, megismerési

Részletesebben

COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET

COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET 5. osztály 2015/2016. tanév Készítette: Tóth Mária 1 Tananyagbeosztás Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Témakörök:

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Záróvizsga tételek matematikából osztatlan tanárszak

Záróvizsga tételek matematikából osztatlan tanárszak Záróvizsga tételek matematikából osztatlan tanárszak A: szakmai ismeretek; B: szakmódszertani ismeretek Középiskolai specializáció 1. Lineáris algebra A: Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok. A valós

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

TIMSS 2011. Tanári kérdőív Matematika. online. 8. évfolyam. Azonosító címke

TIMSS 2011. Tanári kérdőív Matematika. online. 8. évfolyam. Azonosító címke Azonosító címke TIMSS 2011 Tanári kérdőív Matematika online 8. évfolyam Oktatási Hivatal Közoktatási Mérési és Értékelési Osztály 1054 Budapest, Báthory u. 10. IEA, 2011 Tanári kérdőív Az Önök iskolája

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben