Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.

Átírás

1 Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4. Csomós Petra

2 Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény 3. Trigonometrikus függvények és inverzeik 4. Hiperbolikus függvények és inverzeik 5. További érdekes függvények 1

3 Hatványfüggvények

4 Természetes szám a kitevő Definíció: id: R R, id(x) := x id 2 : R R, id 2 (x) := x 2 id 3 : R R, id 3 (x) := x 3. id n : R R, id n (x) := x n, n N 2

5 Negatív egész szám a kitevő Definíció: id 1 : R \ {0} R, id 1 (x) := 1 x id 2 : R \ {0} R, id 2 (x) := 1 x 2. id n : R \ {0} R, id n (x) := 1 x n, n N 3

6 Racionális szám a kitevő Definíció: id 1/2 : R + 0 R, id1/2 (x) := x. id r : R + 0 R, idr (x) := x r, r Q Például: r = 3 2 x 3/2 = x = ( x 3 ) 1/2 = x3 = = x = ( x 1/2) 3 = ( x ) 3 Megjegyzés: x 0 := 1 x R \ {0} (azaz 0 0 nincs értelmezve) 4

7 Hatványfüggvények 5

8 Exponenciális és logaritmus

9 Exponenciális függvény Legyen a > 0. Definíció: Az a alapú exponenciális függvény: exp a : R R, exp a (x) := a x Megjegyzés: exp 1 (x) = 1 x = 1 minden x R esetén a < 1 szig. mon. csökken a = 1 mon. nő és csökken (konstans 1) a > 1 szig. mon. nő 6

10 Speciális alapú exponenciális függvény Nevezzük e számnak azt a valós számot, amelyre igaz, hogy az id 1 (azaz f(x) = 1 x ) függvény grafikonja alatti kék terület egyenlő 1-gyel: Mit tud még az Euler-féle szám? n! + = e az ( n) n és az ( 1 1 n) n (n N) sorozatok elemei egyre közelebb kerülnek az e-hez e 2, 72 HF! Az e alapú exponenciális függvény: exp e (x) = e x =: e x 7

11 Logaritmus függvény Legyen a > 0, a 1. Ekkor az exp a függvény szigorúan monoton nő és injektív R-en létezik inverze Jelölje (exp a ) 1 =: log a (a alapú logartitmus függvény) a < 1 a > 1 szig. mon. csökken szig. mon. nő 8

12 Speciális alapú logaritmus függvény Jelölje ln := log e (az e x inverze az ln(x)) logarithmus naturalis természetes alapú logaritmus 9

13 Trigonometrikus függvények

14 Szinusz és koszinusz Legyen sin: R R, sin(x) :=... (egyelőre nincs formula) Legyen sin(x) a P pont második koordinátája Látható: D(sin) = R, R(sin) = [ 1, 1] a sin fv. 2π szerint periodikus, páratlan Legyen cos: R R, cos(x) := sin(x + π 2 ) Látható: D(cos) = R, R(cos) = [ 1, 1] a cos fv. 2π szerint periodikus, páros 10

15 Szinusz és koszinusz 11

16 Tangens és kotangens Legyenek Látható: tg := sin cos és ctg := cos sin D(tg) = R \ { π 2 + kπ, k Z} D(ctg) = R \ {kπ, k Z} 2π szerint periodikus, páratlan függvények 12

17 Trigonometrikus függvények inverzei ( arkusz függvények) Hol injektívek? Csak azon az intervallumon létezik inverzük! ( sin [ π 2, π 2 ] ) 1 =: arcsin arcsin(x) = α, amelyre sin α = x ( cos [0,π] ) 1 =: arccos arccos(x) = α, amelyre cos α = x ( tg [ π 2, π 2 ] ) 1 =: arctg arctg(x) = α, amelyre tg α = x ( ctg [0,π] ) 1 =: arcctg arcctg(x) = α, amelyre ctg α = x 13

18 Hiperbolikus függvények Legyenek sh: R R, sh(x) := ex e x 2 (szinusz hiperbolikusz) ch: R R, ch(x) := ex + e x 2 (koszinusz hiperbolikusz) 14

19 Hiperbolikus függvények Legyenek Látható: th := sh ch és cth := ch sh D(th) = R, R(th) = ( 1, 1), th(x) = ex e x e x + e x D(cth) = R \ {0}, R(cth) = R \ [ 1, 1], cth(x) = ex + e x e x e x 15

20 Hiperbolikus függvények inverzei ( area függvények) Hol injektívek? Csak azon az intervallumon létezik inverzük! sh 1 =: arsh arsh(x) = ln(x + x 2 + 1) ( ch [0,+ ) ) 1 =: arch arch(x) = ln(x + x2 1) th 1 =: arth arth(x) = 1 ( ) 1 + x 2 ln 1 x ( ) ( ) 1 1 x + 1 cth (0,+ ) =: arcth arsh(x) = 2 ln x 1 16

21 További érdekes függvények

22 Abszolútérték, előjel és egészrész függvény abs: R R, abs(x) := x x := { x, ha x 0 x, ha x < 0 sgn: R R, 1, ha x > 0 sgn(x) := 0, ha x = 0 1, ha x < 0 ent: R R, ent(x) := [x] [x] := max{n Z : n x} 17

23 Azonosságok a honlapon! Képek forrásai: Mezei I., Faragó I., Simon P.: Bevezetés az analízisbe (2014)