BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

Átírás

1 BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE földtudomány szakos hallgatók számára Mezei István, Faragó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék

2 ii

3 Tartalomjegyzék 1. Halmazok, relációk, függvények A B C D A valós számok halmaza A B C D Valós függvények néhány tulajdonsága, elemi függvények C Sorozatok, sorok A B C D Folytonosság A B C D Függvény határértéke A B iii

4 iv TARTALOMJEGYZÉK 6.3. C D Differenciálhatóság A B C D Integrálhatóság, integrálszámítás A B C D Függvénysorozatok, függvénysorok A B C D Többváltozós függvények A B C D Többváltozós függvény differenciálhatósága A B C D Vonalintegrál A B C D

5 TARTALOMJEGYZÉK v 13.Többváltozós függvény integrálja A B Vektoranalízis A B C

6 vi TARTALOMJEGYZÉK

7 1. fejezet Halmazok, relációk, függvények 1.1. A Bemutatjuk a matematika eszközeit, a lépten-nyomon használt fogalmakat, fontos megállapodásokat vezetünk be. Biztos alapokat készítünk a további építkezéshez B Egy halmazt akkor tekintünk ismertnek, ha minden jól megfogalmazható dologról el tudjuk dönteni, hogy hozzá tartozik vagy nem tartozik hozzá. (Az okos gondolat, a szép lány, az elég nagy szám vagy a kicsi pozitív szám nem tekinthető jól megfogalmazott dolognak, ezekről nem kérdezzük, hogy benne vannak-e valamilyen halmazban, hogy alkotnak-e halmazt.) Legyen A halmaz, x egy jól definiált dolog. Ha x hozzátartozik a halmazhoz, akkor ezt x A jelölje. Ha x nem tartozik hozzá a halmazhoz, akkor ezt x / A jelöli. A halmaz elemeit felsorolhatjuk, például A := {a, b, c, d}, vagy értelmes tulajdonsággal adjuk meg a halmazt, például B := {x x valós szám és x 2 < 2} Definíció Legyen A és B halmaz. Azt mondjuk, hogy A része a B halmaznak, ha minden x A esetén x B. Jele: A B Definíció Legyen A és B halmaz. Az A halmaz egyenlő a B halmazzal, ha ugyanazok az elemei. Jele: A = B. Könnyen meggondolható a következő tétel: Tétel Legyen A és B halmaz. A = B pontosan akkor, ha A B és B A. Néhány eljárást mutatunk, melyekkel újabb halmazokhoz juthatunk. 1

8 2 FEJEZET 1. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Definíció Legyen A és B halmaz. Az A és B egyesítése (uniója) az a halmaz, amelyre A B := {x x A vagy x B}. Az A és B metszete (közös része) az a halmaz, amelyre A B := {x x A és x B}. Az A és B különbsége az a halmaz, amelyre A \ B := {x x A és x / B}. A metszet és a különbség képzése során elképzelhető, hogy egyetlen x dolog sem rendelkezik a kívánt tulajdonsággal. Azt a halmazt, amelynek bármely jól definiálható dolog sem eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. Legyen H halmaz és A H egy részhalmaza. Az A halmaz (H-ra vonatkozó) komplementerén az A := H \ A halmazt értjük. De Morgan-azonosságoknak nevezik a következő tételt: Tétel Legyen H halmaz, A, B H. Ekkor A B = A B és A B = A B. Legyen a és b dolog. Az {a, b} halmaz nyilván sok változatban felírható: {a, b} = {b, a} = {a, b, b, a} = {a, b, b, a, b, b} = stb. Ezzel szemben tekintsük alapfogalomnak az (a, b) rendezett párt, amelynek lényeges tulajdonsága legyen, hogy (a, b) = (c, d) pontosan akkor, ha a = c és b = d. A rendezett pár segítségével értelmezzük a halmazok szorzatát Definíció Legyen A, B halmaz. Az A és B Descartes-szorzata A B := {(a, b) a A és b B}. Például A := {2, 3, 5}, B := {1, 3} esetén A B = {(2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (5, 1), (5, 3)}. A rendezett pár fogalmára épül a reláció Definíció Azt mondjuk, hogy az r halmaz reláció, ha minden eleme rendezett pár. Egy magyar-angol szótár is egy reláció, hiszen elemei magyar és a neki megfelelő angol szóból alkotott rendezett párok.

9 1.2. B Definíció Legyen r reláció. Az r reláció értelmezési tartománya a D(r) := {x van olyan y, hogy (x, y) r}. Az r reláció értékkészlete az R(r) := {y van olyan x D(r), hogy (x, y) r}. Nyilván r D(r) R(r). Például r := {(4, 2), (4, 3), (1, 2)} esetén D(r) = {4, 1}, R(r) = {2, 3}. Két eljárást mutatunk be, amellyel adott reláció(k)ból újabb relációhoz juthatunk Definíció Legyen r reláció. Az r reláció inverze az a reláció, amely r 1 := {(s, t) (t, s) r}. Látható, hogy r := {(1, 3), (4, 2), (5, 2), (3, 3)} esetén r 1 = {(3, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 3)}. A magyar-angol szótár inverze az angol-magyar szótár. Értelmezzük relációk kompozícióját (összetett reláció, közvetett reláció) is Definíció Legyen r, s reláció. Az s belső reláció és r külső reláció kompozíciója legyen r s := {(x, z) van olyan y R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (x, y) s és (y, z) r}. Például s := {(1, 2), (1, 4), (2, 3)}, r := {(4, 3), (4, 4), (3, 5)} esetén r s := {(1, 3), (1, 4), (2, 5)}. Természetesen elkészíthető az s r reláció is, de ez most s r =. Általában r s s r. A függvény speciális reláció.

10 4 FEJEZET 1. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Definíció Legyen f reláció. Azt mondjuk, hogy az f függvény, ha bármely (x, y) f és (x, z) f esetén y = z. Például r := {(1, 2), (2, 3), (2, 4)} nem függvény, hiszen (2, 3) r és (2, 4) r, de 3 4; az f := {(1, 2), (2, 3), (3, 3)} viszont függvény. Néhány megállapodást teszünk függvények körében. Ha f függvény, akkor (x, y) f esetén y az f függvény x helyen vett helyettesítési értéke, vagy az f függvény az x-hez az y-t rendeli hozzá. Jelölésben: y = f(x). Ha f függvény és A := D(f), a B pedig olyan halmaz, amelyre R(f) B (nyilván A a függvény értelmezési tartománya, B pedig a függvény (egyik) képhalmaza), akkor az f A B, f függvény kifejezés helyett az f : A B jelölést használjuk ( az f függvény az A halmazt a B halmazba képezi ). Ha f függvény és D(f) A, R(f) B, akkor f A B jelöli ezt ( f az A halmazból a B halmazba képező függvény ). Például f := {(a, α), (b, β), (g, γ), (d, δ), (e, ε)} függvény. Látható, hogy β az f függvény b helyen vett helyettesítési értéke, β = f(b). Ha L a latin betűk, G pedig a görög betűk halmaza, akkor f : {a, b, g, d, e} G, f(a) = α, f(b) = β, f(g) = γ, f(d) = δ, f(e) = ε. Ha csak a függvény típusára akarunk utalni, elég az f L G. Természetesen egy függvénynek is van inverze, ez azonban nem biztos, hogy függvény lesz Definíció Legyen f : A B függvény. Azt mondjuk, hogy az f kölcsönösen egyértelmű (injektív), ha különböző x 1, x 2 A elemeknek különböző B-beli elemeket feleltet meg, azaz bármely x 1, x 2 A, x 1 x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Könnyen meggondolható, hogy kölcsönösen egyértelmű függvény inverze is függvény. Részletesebben: Tétel Legyen f függvény, A := D(f), B := R(f), f kölcsönösen egyértelmű. Ekkor az f inverze f 1 : B A olyan függvény, amely bármely s B ponthoz azt a t A pontot rendeli, amelyre f(t) = s, (röviden: bármely s B esetén f(f 1 (s)) = s.) Függvények kompozícióját is elkészíthetjük. Szerencsére ez mindig függvény lesz. Legyen g : A B, f : B C. Ekkor a relációk kompozíciójának felhasználásával megmutatható, hogy f g : A C, bármely x A esetén (f g)(x) = f(g(x)). Például a g függvény minden szám duplájához 1-et adjon hozzá (g : IR IR, g(x) := 2x + 1); az f függvény pedig minden számot emeljen négyzetre (f : IR IR, f(x) := x 2 ),

11 1.3. C 5 akkor f g : IR IR, (f g)(x) = (2x + 1) 2 lesz az f és g kompozíciója. További hasznos fogalmak Legyen f : A B és C A. Az f függvény C-re való leszűkítése az az f C függvény, amelyre bármely x C esetén f C (x) := f(x). Legyen f : A B, C A és D B. Az : C B f(c) := {y van olyan x C, amelyre f(x) = y} halmazt a C halmaz f függvénnyel létesített képének nevezzük. Az f 1 (D) := {x f(x) D} halmaz a D halmaz f függvényre vonatkozó ősképe. (Vigyázat! Az f 1 nem inverzfüggvényt jelöl ebben az esetben.) 1.3. C 1. Legyen A := {2, 4, 6, 3, 5, 9}, B := {4, 5, 6, 7}, H := {n n egész szám, 1 n 20}. Készítse el az A B, A B, A \ B, B \ A halmazokat. Mi lesz az A halmaz H-ra vonatkozó A komplementere? 2. Legyen A := {a, b}, B := {a, b, c}. A B =? B A =? 3. Legyen r := {(x, y) x, y valós szám, y = x 2 }. r 1 =? Függvény-e az r? Függvény-e az r 1? 4. Legyen f : IR IR, f(x) := x 1+x 2. Készítse el az f f, f (f f) függvényeket. 5. Gondoljuk végig egy f : A B kölcsönösen egyértelmű függvény inverzének a szemléltetését! 6. Gondoljuk meg, hogy egy f : A B kölcsönösen egyértelmű függvény inverzét a következő lépésekkel lehet előállítani: 1) Felírjuk, hogy y = f(x). 2) Felcseréljük az x és y változókat : x = f(y). 3) Ebből az egyenletből kifejezzük az y-t az x segítségével: y = g(x). Ez a g lesz éppen az f 1 inverzfüggvény. Például: f : IR IR, f(x) = 2x 1. (Ez kölcsönösen egyértelmű függvény.) 1) y = 2x 1

12 6 FEJEZET 1. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 2) x = 2y 1 3) x + 1 = 2y, y = 1 (x + 1). 2 Tehát f 1 : IR IR, f 1 (x) = 1 (x + 1). 2 Szemléltesse is az f és f 1 függvényt! 7. Legyen f : A B, C 1, C 2 A, D 1, D 2 B. Mutassuk meg, hogy f(c 1 C 2 ) = f(c 1 ) f(c 2 ) f(c 1 C 2 ) f(c 1 ) f(c 2 ) f 1 (D 1 D 2 ) = f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 ) f 1 (D 1 D 2 ) = f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 ). Igaz-e, hogy ha C 1 C 2, akkor f(c 1 ) f(c 2 )? Igaz-e, hogy ha D 1 D 2, akkor f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 )? 8. Legyen f : A B, C A, D B. Igaz-e, hogy f 1 (f(c)) = C? Igaz-e, hogy f(f 1 (D)) = D? 1.4. D A rendezett párt alapfogalomnak tekintettük, de lehetőség van halmazok segítségével bevezetni a rendezett pár fogalmát Definíció Legyen a és b. Az (a, b) rendezett pár legyen (a, b) := {{a}, {a, b}}. Ezzel az értelmezéssel igazolható a rendezett párt jellemző tulajdonság Tétel (a, b) = (c, d) a = c és b = d. Biz.: ( ) Legyen {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. 1. Vagy {a} = {c}, amiből a = c következik. Továbbá {a, b} = {c, d}, de a = c miatt b = d lehet csak. 2. Vagy {a} = {c, d}, amiből c = d és így a = c = d következik. Ekkor (c, d) = {{a}}, de akkor {a} = {a, b} is igaz, így a = b. Tehát a = b = c = d. ( ) Nyilvánvaló! A matematika néhány kényes fogalmát a relációkkal és függvényekkel hozzuk kapcsolatba.

13 1.4. D Definíció Legyen H, r H H, D(r) = H reláció. Azt mondjuk, hogy 1. r reflexív, ha x H esetén (x, x) r; 2. r szimmetrikus, ha (x, y) r esetén (y, x) r; 3. r tranzitív, ha minden olyan esetben, amikor (x, y) r és (y, z) r, akkor x = y. 4. r antiszimmetrikus, ha minden olyan esetben, amikor (x, y) r és (y, x) r, akkor x = y Definíció Ha az r reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív, akkor r ekvivalenciareláció Definíció Ha az r reláció reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív, akkor r rendezési reláció. Legyen egy ekvivalencia-reláció a H halmazon (D( ) = H). Állapodjunk meg abban, hogy (x, y) helyett az x y jelölést használjuk. A ekvivalencia-reláció segítségével a H halmazt részhalmazokra bontjuk a következő lépésekkel. α) Legyen x H. Az x-hez tartozó ekvivalencia-osztály x / := {y y H, x y}. β) Könnyen belátható, hogy ha x, z H, akkor vagy x / = z /, vagy x / z / =. Ez azt jelenti, hogy a H halmaz felbontható közös pont nélküli ekvivalencia-osztályokra. γ) Legyen H / := {X x H, hogy X = x / }. A H / az ekvivalencia-osztályok halmaza. Igazolható, hogy 1. a H / elemei közös pont nélküliek (a β) pontban ezt fogalmaztuk meg), 2. a H / elemeinek (halmazoknak) az egyesítése kiadja a H halmazt. Lássunk két fontos példát erre az eljárásra.

14 8 FEJEZET 1. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 1. Legyen T a törtek halmaza, azaz T = { p q A T halmazon értelmezünk egy relációt: } p, q egész szám, q 0. a b c d ad = bc. Végiggondolható, hogy ekvivalencia-reláció. Ekkor a b / ekvivalencia-osztályba beletartozik az összes olyan tört, amely egyenlő az a b -vel. A T / halmaz pedig olyan közös elem nélküli halmazokra való felbontása a T törtek halmazának, amelyek egyesítéseként visszakapjuk a T halmazt. Az a b / egy racionális szám, a T / pedig a racionális számok halmaza. Így válik érthetővé, hogy 1 egyenlő 2-del, 6 -del, hiszen ezek a törtek reprezentánsai az 1 2 / racionális számnak, és a racionális számokkal végzett műveletek során mindig a megfelelő reprezentánst húzzuk elő az osztályból. Például = = 7 6 azt sugallja, hogy 1 2 / / = 3 6 / / = 7 6 /. 2. A másik példában E legyen egy sík irányított szakaszainak halmaza. Bevezetünk E-n egy relációt: legyen a b, ha az a szakasz párhuzamos b-vel, azonos irányúak és egyforma hosszúak. Könnyen látható, hogy ekvivalencia-reláció. Az a / tartalmazza az a-val párhuzamos, vele azonos irányú és hosszúságú irányított szakaszokat. Egy ilyen osztály legyen egy vektor. Az E / a sík vektorainak halmaza. Így válik érthetővé, hogy vektorok összeadásánál az egyik vektort eltoljuk úgy, hogy a két vektor kezdőpontja megegyezzék. Valójában mindkét vektorból az alkalmas reprezentáns irányított szakaszt húzzuk elő, azokkal végezzük el a műveletet, és az eredő irányított szakaszhoz tartozó ekvivalencia-osztály lesz az összeadás eredő vektora.

15 1.4. D 9 A rendezési relációkkal kapcsolatban csak két egyszerű példát tárgyalunk. Legyen IN a pozitív egész számok halmaza. Legyen az a reláció, amelyre a b, ha van olyan nemnegatív c egész, hogy a + c = b. Ez a valóban rendezési reláció. Még az is igaz, hogy bármely a, b IN esetén vagy a b, vagy b a. Az IN pozitív egészek halmazán egy másik relációt is bevezethetünk. Azt mondjuk, hogy a osztója b-nek, ha van olyan k pozitív egész, hogy b = ak. Az oszthatóság reláció reflexív (a = a 1), antiszimmetrikus (ha b = ak és a = bl, akkor b = blk, amiből lk = 1, de ez csak k = 1 és l = 1 esetén igaz, tehát a = b) és tranzitív (ha b = ak, c = bl, akkor c = akl, azaz a osztója c-nek), tehát az oszthatóság is rendezési reláció az IN halmazon. Csak nem olyan szép, mint a volt, hiszen, van olyan a, b IN, amelyre a nem osztója b-nek, és b sem osztója a-nak. (Például a := 4 és b := 7.) Gyakran szükség van halmazok elemszámát összehasonlítani Definíció Legyen A, B halmaz. Azt mondjuk, hogy A számossága egyenlő a B számosságával, ha van olyan φ : A B függvény, amelyre R(φ) = B, és φ kölcsönösen egyértelmű. [Az ilyen φ függvényt bijekciónak nevezzük A és B között.] Például a pozitív egészek IN halmaza és a pozitív páros számok P halmaza egyenlő számosságú, hiszen a φ : IN P, φ(n) := 2n függvény bijekció IN és P között Definíció Legyen A halmaz. Azt mondjuk, hogy A végtelen (számosságú) halmaz, ha A A, A A, hogy φ : A A bijekció. Az előbbi példa éppen azt mutatja, hogy IN végtelen halmaz Definíció Legyen A végtelen halmaz. Azt mondjuk, hogy A megszámlálható, ha φ : IN A bijekció.

16 10 FEJEZET 1. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Meglepő, de a racionális számok IQ halmaza megszámlálható. Írjuk fel az 1, 2, 3,..., n,... nevezőjű törteket soronként A φ : IN IQ bijekciót úgy készítjük, hogy φ(1) := 0 1, φ(2) := 1 1, φ(3) := 1 2, φ(4) := 1 2,... A rajz szerinti lépegetéssel haladunk, ügyelve arra, hogy olyan törtet ugorjunk át, amely már egyszer sorra került. Ezzel biztosítjuk, hogy valóban kölcsönösen egyértelmű maradjon a függvényünk. Látható az is, hogy előbb-utóbb minden racionális számhoz eljutunk, így φ bijekció lesz IN és IQ között, ami azt jelenti, hogy IQ megszámlálható. Korábban tárgyaltuk a relációk kompozícióját és inverzét. Meglepően szép relációk kompozíciójának inverze és az inverzek kompozíciójának kapcsolata: Tétel Legyen r, s reláció. Ekkor (r s) 1 = s 1 r 1. Biz.: Mivel halmazok egyenlőségét szeretnénk igazolni, megmutatjuk, hogy 1.) (r s) 1 s 1 r 1 és 2.) s 1 r 1 (r s) Legyen (p, t) (r s) 1 (t, p) r s van olyan q R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (t, q) s és (q, p) r nyilván (p, q) r 1 és (q, t) s 1 (p, t) s 1 r Legyen (u, w) s 1 r 1 van olyan v R(r 1 ) D(s 1 ) = R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (u, v) r 1 és (v, w) s 1 nyilván (w, v) s és (v, u) r (w, u) r s (u, w) (r s) 1.

17 2. fejezet A valós számok halmaza 2.1. A Kiskorunktól számolunk a valós számokkal, összeadjuk, szorozzuk, osztjuk őket, hatványozunk, abszolút értékét vesszük a számoknak. Egyenleteket, egyenlőtlenségeket rendezünk. Most lefektetjük azt a viszonylag egyszerű szabályrendszert, amelyből a megtanult eljárások levezethetők B Legyen IR nem üres halmaz. Tegyük fel, hogy van még egy összeadásnak nevezett + : IR IR és egy szorzásnak nevezett : IR IR függvény is, amelyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: a1. bármely a, b IR esetén a + b = b + a (kommutativitás) a2. bármely a, b, c IR esetén a + (b + c) = (a + b) + c (asszociativitás) a3. van olyan 0 IR elem, hogy bármely a IR esetén a + 0 = a (0 az összeadásra nézve semleges elem) a4. bármely a IR esetén van olyan a IR ellentett elem, hogy a + ( a) = 0. m1. bármely a, b IR esetén a b = b a m2. bármely a, b IR esetén a (b c) = (a b) c m3. van olyan 1 IR elem, hogy bármely a IR esetén a 1 = a (1 a szorzásra nézve semleges elem) 11

18 12 FEJEZET 2. A VALÓS SZÁMOK HALMAZA a4. bármely a IR \ 0 esetén van olyan 1 a IR reciprok elem, hogy a 1 a = 1. d. bármely a, b, c IR esetén a (b + c) = ab + ac (disztributív a szorzás az összeadásra nézve) Látható, hogy a szorzás szabályrendszere a 4. követelményben lényegesen eltér az összeadástól (egyébként nem is különbözne az összeadás és a szorzás). A d. is az eltérést erősíti. Tegyük fel, hogy IR-en van egy olyan (kisebb vagy egyenlőnek nevezett) rendezési reláció, amely még a következő tulajdonságokkal rendelkezik: r1. bármely a, b IR esetén vagy a b, vagy b a. r2. minden olyan esetben, amikor a b és c IR tetszőleges szám, akkor a + c b + c. r3. minden olyan esetben, amikor 0 a és 0 b, akkor 0 ab. Állapodjunk meg abban, hogy az a b, a b helyett a < b jelölést használunk. (Sajnos a < nem rendezési reláció, mert nem reflexív.) Az a1. a4., m1. m4., d., r1. r3. alapján levezethető az összes egyenlőséggel és egyenlőtlenséggel kapcsolatos szabály. Kiegészítésül három fogalmat külön is megemlítünk Definíció Legyen a, b IR, b 0. Ekkor a b := a 1 b. Az osztás tehát elvégezhető a valós számokkal Definíció Legyen x IR. Az x abszolút értéke x := { x, ha 0 x x, ha x 0, x 0. Hasznosak az abszolút értékkel kapcsolatos egyenlőtlenségek. 1. Bármely x IR esetén 0 x. 2. Legyen x IR és ε IR, 0 ε. Ekkor x ε, és x ε x ε. 3. Bármely a, b IR esetén a + b a + b (háromszög-egyenlőtlenség) 4. Bármely a, b IR esetén a b a b. Könnyen igazolhatóak ezek az állítások. A 4. bizonyítását megmutatjuk. Tekintsük az a = a b + b egyenlőtlenséget. Ekkor a 3. szerint a = a b + b a b + b.

19 2.2. B 13 Az r2. szerint b számot mindkét oldalhoz hozzáadva nem változik az egyenlőtlenség a + ( b ) = a b a b (2.1) Hasonló meggondolással b = b a + a b = b a + a b a + a / a b a b a ( a b ) b a = a b (2.2) Az (2.1) és (2.2) a 2. tulajdonság szerint (x := a b ; ε := a b szereposztással) éppen azt jelenti, hogy a b a b. Most elkülönítjük az IR egy nevezetes részhalmazát. Legyen IN IR olyan részhalmaz, amelyre 1 o 1 IN 2 o bármely n IN esetén n + 1 IN 3 o bármely n IN esetén n (az 1 az első elem) 4 o abból, hogy a) S IN b) 1 S c) bármely n IN esetén n + 1 S következik, hogy S = IN. (Teljes indukció.) Az IR-nek az ilyen IN részhalmazát a természetes számok halmazának nevezzük. Kiegészítésül álljon itt még néhány megállapodás: Z := IN {0} {m IR m IN} az egész számok halmaza IQ := {x IR van olyan p Z, q IN, hogy x = p } a racionális számok halmaza q IQ := IR \ IQ az irracionális számok halmaza Az IN segítségével a műveleti, rendezési szabályrendszer mellé a harmadik követelményt illesztjük az IR-hez. Archimedesz-axióma: Bármely a, b IR, 0 < a számokhoz van olyan n IN, hogy b < na. Az Archimedesz-axióma következményeként megmutatjuk, hogy bármely K IR számhoz van olyan n IN természetes szám, amelyre K < n, ugyanis az a := 1, b := K

20 14 FEJEZET 2. A VALÓS SZÁMOK HALMAZA szereposztással az axióma ilyen természetes számot biztosít. Megmutatjuk azt is, hogy bármely ε IR, 0 < ε esetén van olyan n IN természetes szám, hogy 1 < ε, ugyanis legyen a := ε és b := 1. Az axióma szerint van olyan n IN, n hogy 1 < n ε. Rendre alkalmazva a megfelelő szabályt 1 < nε / + ( 1) 0 < nε 1 / 1 n 0 < 1 n (nε 1) = ε 1 n 1 n < ε. / + 1 n Az Archimedesz-axiómával sem vált még minden igényt kielégítővé az IR. Szükségünk lesz egy utolsó axiómára, amelyet néhány fogalommal készítünk elő Definíció Legyen A IR, A. Azt mondjuk, hogy A felülről korlátos számhalmaz, ha van olyan K IR, hogy bármely a IR esetén a K. Az ilyen K az A halmaz egyik felső korlátja. Legyen A IR, A felülről korlátos halmaz. Tekintsük a B := {K IR K felső korlátja az A halmaznak} halmazt. Legyen α IR a B halmaz legkisebb eleme, azaz olyan szám, amelyre 1 o α B (α is felső korlátja az A halmaznak) 2 o bármely K B felső korlátra α K. A kérdés csupán az, hogy van-e ilyen α IR. Felső határ axiómája: Minden felülről korlátos A IR, A halmaznak van legkisebb felső korlátja. Az ilyen α IR számot (amely nem feltétlenül eleme az A halmaznak) a halmaz felső határának nevezzük, és így jelöljük: α := sup A ( az A halmaz szuprémuma ) Nyilván igaz a sup A két tulajdonsága: 1 o bármely a A esetén a sup A

21 2.2. B 15 2 o bármely 0 < ε esetén van olyan a A, hogy (sup A) ε < a. A műveleti, rendezési szabályrendszerrel, az Archimedesz-axiómával és a felső határ axiómájával teljessé tettük az IR valós számok halmazát. Ezzel biztos alapot teremtettünk a jövőbeni számolásokhoz is. Néhány további megállapodás Definíció Legyen A IR, A. Azt mondjuk, hogy A alulról korlátos, ha van olyan L IR, hogy minden a IR esetén L a. Az L az A halmaz egyik alsó korlátja. Legyen A alulról korlátos számhalmaz. Az A alsó korlátjai közül a legnagyobb a halmaz alsó határa. (Ennek létezéséhez már nem kell újabb axióma, visszavezethető a felső határ létezésére.) Az A halmaz alsó határát inf A ( az A halmaz infimuma ) jelölje. Nyilván igaz, hogy 1 o bármely a A esetén inf A a 2 o bármely 0 < ε esetén van olyan a A, hogy a < (inf A) + ε. Intervallumok Definíció Legyen I IR. Azt mondjuk, hogy I intervallum, ha bármely x 1, x 2 I, x 1 < x 2 esetén minden olyan x IR, amelyre x 1 < x < x 2, fennáll, hogy x I Tétel Legyen a, b IR, a < b. [a, b]:={x IR a x b} [a, b):={x IR a x < b} (a, b]:={x IR a < x b} (a, b):={x IR a < x < b} [a, + ):={x IR a x} (a, + ):={x IR a < x}; (0, + ) =: IR + (, a]:={x IR x a} (, a):={x IR x < a}; (, 0) =: IR

22 16 FEJEZET 2. A VALÓS SZÁMOK HALMAZA (, + ) := IR Ezek mindegyike intervallum. Megemlítjük, hogy az [a, a] = {a} és az (a, a) = elfajuló intervallumok Definíció Legyen a IR, r IR +. Az a pont r sugarú környezetén a K r (a) := (a r, a + r) nyílt intervallumot értjük. Azt mondjuk, hogy K(a) az a pont egy környezete, ha van olyan r IR +, hogy K(a) = K r (a). Valós számok hatványai Definíció Legyen a IR. Ekkor a 1 := a, a 2 := a a, a 3 := a 2 a,..., a n := a n 1 a, Definíció Legyen a IR, 0 a. A a jelentse azt a nemnegatív számot, amelynek négyzete a, azaz 0 a, ( a) 2 = a. Vegyük észre, hogy bármely a IR esetén a 2 = a Definíció Legyen a IR, k IN. A 2k+1 a jelentse azt a valós számot, amelynek (2k + 1)-edik hatványa a. Vegyük észre, hogy ha 0 < a, akkor 2k+1 a > 0, és ha a < 0, akkor 2k+1 a < Definíció Legyen a IR, 0 a, k IN. A 2k a jelentse azt a nemnegatív számot, amelynek (2k)-adik hatványa az a. Vezessük be a következő jelölést: ha n IN és a IR az n paritásának megfelelő, akkor a 1 n := n a Definíció Legyen a IR +, p, q IN. a p q := q a p Definíció Legyen a IR +, p, q IN. a p q := 1 q a p Definíció Legyen a IR \ {0}. Ekkor a 0 := 1.

23 2.3. C 17 Látható, hogy ezzel a definícióláncolattal egy a IR + bármely r IQ racionális kitevőjű hatványát értelmeztük. Belátható, hogy a definíciókban szereplő számok egyértelműen léteznek, és érvényesek a következő azonosságok: 1 o a IR +, r, s IQ esetén a r a s = a r+s 2 o a IR +, r IQ esetén a r b r = (ab) r 3 o a IR +, r, s IQ esetén (a r ) s = a rs 2.3. C 1. Legyen a, b IR. Mutassuk meg, hogy (a + b) 2 := (a + b)(a + b) = a 2 + 2ab + b 2 a 2 b 2 = (a b)(a + b) a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) 2. Mutassuk meg, hogy minden x IR, x 1 és bármely n IN esetén x n+1 1 x 1 = 1 + x + x x n. 3. (Bernoulli-egyenlőtlenség) Legyen h ( 1, + ) és n IN. Mutassuk meg, hogy (1 + h) n 1 + nh. Megoldás: Legyen S := {n IN (1 + h) n 1 + nh}. 1 o 1 S, mert (1 + h) 1 = h. 2 o Legyen k S. Megmutatjuk, hogy k + 1 S, ugyanis (1 + h) k+1 = (1 + h) k (1 + h) (1 + kh)(1 + h) = = 1 + (k + 1)h + kh (k + 1)h. (A rendezés szabályai mellett felhasználtuk, hogy k S, azaz (1 + h) k 1 + kh.) Emlékezve az IN bevezetésének 4 o követelményére, ez azt jelenti, hogy S = IN, azaz minden n IN esetén igaz az egyenlőtlenség. Ezt a bizonyítási módszert hívják teljes indukciónak.

24 18 FEJEZET 2. A VALÓS SZÁMOK HALMAZA 4. Legyen a, b IR +. A 2 := a + b 2, G 2 := ab, H 2 := 2 a2 + b 1 + 1, N 2 := 2 2 a b Mutassuk meg, hogy H 2 G 2 A 2 N 2 és egyenlőség a számok között akkor és csak akkor áll, ha a = b. Ezek nagymértékű általánosítása is igaz. Legyen k IN (k 3) és x 1, x 2,..., x k IR +. A k := x 1+x 2 + +x k, G k k := k k x 1 x 2 x k, H k := x 1 x 2 x k, N k := k x 2 1 +x x2 k k. Igazolható, hogy H k G k A k N k, és egyenlőség a számok között akkor és csak akkor áll, ha x 1 = x 2 =... = x k. 5. Legyen h IR és n IN. Ekkor (1 + h) n = 1 + nh + ( ) n h ahol felhasználva, hogy k! := k, az (kiegészítésül 0! := 1). ( ) n = k n! k!(n k)!, ( ) n h h n, 3 k = 0, 1, 2,..., n Ebből igazolható a binomiális tétel: Legyen a, b IR, n IN. Ekkor (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k. k 6. Legyen A := { n n+1 Megoldás: Mivel bármely n IN esetén n < n + 1, ezért n IN}. Mutassuk meg, hogy A felülről korlátos. Mi a sup A? felső korlát. Megmutatjuk, hogy sup A = 1, ugyanis n n+1 < 1, tehát a K := 1 1 o Bármely n IN esetén n n+1 < 1.

25 2.3. C 19 2 o Legyen ε IR +. Keresünk olyan n IN számot, amelyre n n + 1 > 1 ε. n > (1 ε)(n + 1) = n εn + 1 ε εn > 1 ε n < 1 ε ε Mivel bármilyen számnál, így az 1 ε ε legyen ez n IN, ezért az n n +1 IR számnál is van nagyobb természetes szám, A olyan, hogy n n +1 > 1 ε. Tehát sup A = * Legyen E := {( n+1 n )n n IN}. Mutassuk meg, hogy E IR felülről korlátos. Megoldás: Megmutatjuk, hogy bármely n IN esetén ( ) n n n Legyen n IN, és tekintsük az 1( n+1 4 n )n számot. A 4. példában szereplő számtani (A k ) és mértani (G k ) közép közötti egyenlőtlenség szerint 1 4 ( n + 1 n ) n = n + 1 n n + 1 n n + 1 n ( n+1 + n+1... n+1 ) n n n n = 1, n + 2 ezért ( n+1 n )n 4, tehát E felülről korlátos. A felső határ axiómája szerint van felső határa. Legyen e := sup E. Megjegyezzük, hogy ezt a felső határt soha senki nem tudta és tudja megsejteni (nem úgy, mint a 6. példában... ). Közelítőleg e 2, 71. Euler nevéhez fűződik az e szám bevezetése. 8. Legyen P := {( 1 1 ) (1 12 ) (1 12 ) (1 12 ) } n IN n Létezik-e inf P? (Ha már belátta, hogy létezik az inf P, ne keseredjen el, ha nem tudja megadni. Megoldatlan a probléma.)

26 20 FEJEZET 2. A VALÓS SZÁMOK HALMAZA 2.4. D Komplex számok Úgy általánosítjuk a valós számokat, hogy a műveletek tulajdonságai ne változzanak. Legyen IC := IR IR a valós számpárok halmaza. Vezessük be az összeadást úgy, hogy az (a, b), (c, d) IC esetén (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d); a szorzást pedig úgy, hogy (a, b) (c, d) := (ac bd, ad + bc). Könnyen ellenőrizhető az összeadás és a szorzás néhány tulajdonsága. a1. (a, b), (c, d) IC esetén (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) (kommutativitás) a2. (a, b), (c, d), (e, f) IC esetén (a, b) + ((c, d) + (e, f)) = ((a, b) + (c, d)) + (e, f) (asszociativitás) a3. (a, b) IC esetén (a, b) + (0, 0) = (a, b) a4. (a, b) IC esetén a ( a, b) IC olyan lesz, hogy (a, b) + ( a, b) = (0, 0). m1. (a, b), (c, d) IC esetén (a, b) (c, d) = (c, d) (a, b) (kommutativitás) m2. (a, b), (c, d), (e, f) IC esetén (a, b) ((c, d) (e, f)) = ((a, b) (c, d)) (e, f) (asszociativitás) m3. (a, b) IC esetén (a, b) (1, 0) = (a, b) a m4. (a, b) IC \ {(0, 0)} esetén az (, b ) IC olyan, hogy a 2 +b 2 a 2 +b 2 a (a, b) ( a 2 + b, b ) = (1, 0) 2 a 2 + b2 d. (a, b), (c, d), (e, f) IC esetén (a, b) [(c, d) + (e, f)] = (a, b) (c, d) + (a, b) (e, f) (a szorzás disztributív az összeadásra nézve)

27 2.4. D ábra. Az a1. a.4, m1. m.4 és d. tulajdonságok indokolják, hogy a valós számokkal végzett műveletek, számolások (amelyek összeadást, szorzást tartalmaznak és legfeljebb egyenlőségekre vonatkoznak) a komplex számokkal ugyanúgy végezhetők el. Azonosítsuk az a IR valós számot és az (a, 0) IC komplex számot. (Nyilvánvalóan bijekció létezik az IR és az IR {0} IC halmaz között.) Vezessük be az i := (0, 1) IC képzetes egységet. Ekkor bármely (a, b) IC komplex számra (a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib. (A második egyenlőség az azonosítás következménye!) Figyelembe véve, hogy i 2 = (0, 1) (0, 1) = 1, egyszerűvé válik az összeadás a + ib + c + id = a + c + i(b + d), és a szorzás is (a + ib) (c + id) = ac bd + i(ad + bc). A komplex számot helyvektorként szenléltethetjük (2.1. ábra). Az összeadás a vektorok összeadásának paralelogramma szabályának megfelelő (2.2. ábra). Egy a + ib IC komplex számhoz hozzárendelhetjük az abszolút értékét és irányszögét (2.3. ábra).

28 22 FEJEZET 2. A VALÓS SZÁMOK HALMAZA 2.2. ábra ábra.

29 2.4. D 23 Az abszolút érték: r = a 2 + b 2. Az irányszög síknegyedenként adható meg: φ = arctg b, a ha a > 0 és b 0 π, 2 ha a = 0 és b > 0 π arctg b, a ha a < 0 és b 0 π + arctg b, a ha a < 0 és b < 0 3π 2 ha a = 0 és b < 0 2π arctg b, a ha a > 0 és b < 0 Látható, hogy az irányszögre φ [0, 2π). Megjegyezzük, hogy a = 0, b = 0 esetén r = 0, és az irányszög ekkor tetszőlegesen választható. Ha egy a + ib IC komplex számnak r az abszolút értéke és φ az irányszöge, akkor a = r cos φ, b = r sin φ, ezért a+ib = r(cos φ+i sin φ). Ez a komplex szám trigonometrikus alakja. A komplex számok trigonometrikus alakjának felhasználásával szemléletesebbé válik a komplex számok szorzása is. Legyen r(cos α + i sin α), p(cos β + i sin β) IC, ekkor r(cos α + i sin α) p(cos β + i sin β) = = rp(cos α cos β sin α sin β + i(sin α cos β + cos α sin β)) = = rp(cos(α + β) + i sin(α + β)). Tehát a szorzásnál az abszolút értékek összeszorzódnak, az irányszögek pedig összeadódnak (2.4. ábra). A hatványozás a komplex szám trigonometrikus alakjával igen egyszerűen végezhető el. Ha z = a + ib = r(cos φ + i sin φ) IC és n IN, akkor z n = (a + ib) n = [r(cos φ + i sin φ)] n = r n (cos nφ + i sin nφ), azaz a komplex szám n-edik hatványánál az abszolút érték n-edik hatványa és az irányszög n-szerese jelenik meg a z n trigonometrikus alakjában.

30 24 FEJEZET 2. A VALÓS SZÁMOK HALMAZA 2.4. ábra.

31 3. fejezet Valós függvények néhány tulajdonsága, elemi függvények Műveletek valós-valós függvényekkel Definíció Legyen f : IR IR, λ IR. Ekkor λf : D(f) IR, (λf)(x) := λf(x) Definíció Legyen f, g : IR IR, D(f) D(g). Ekkor f + g : D(f) D(g) IR, (f + g)(x) := f(x) + g(x) f g : D(f) D(g) IR, (f g)(x) := f(x) g(x) Definíció Legyen g : IR IR, H := D(g) \ {x D(g) g(x) = 0}. Ekkor Definíció Legyen f, g : IR IR 1/g : H IR, (1/g)(x) := 1 g(x). f g := f 1/g Valós-valós függvények néhány globális tulajdonsága Definíció Legyen f : IR IR. Azt mondjuk, hogy f felülről korlátos függvény, ha R(f) IR felülről korlátos halmaz. Azt mondjuk, hogy f alulról korlátos függvény, ha R(f) IR alulról korlátos halmaz. Azt mondjuk, hogy f korlátos függvény, ha R(f) IR alulról is és felülről is korlátos halmaz. 25

32 26 FEJEZET 3. VALÓS FÜGGVÉNYEK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA, ELEMI FÜGGVÉNYEK Definíció Legyen f : IR IR. Azt mondjuk, hogy f monoton növő függvény, ha bármely x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Az f szigorúan monoton növő, ha bármely x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) < f(x 2 ). Azt mondjuk, hogy f monoton csökkenő függvény, ha minden x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Az f szigorúan monoton csökkenő, ha bármely x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) > f(x 2 ) Definíció Legyen f : IR IR. Azt mondjuk, hogy f páros függvény, ha 1 o minden x D(f) esetén x D(f), 2 o minden x D(f) esetén f( x) = f(x) Definíció Legyen f : IR IR. Azt mondjuk, hogy f páratlan függvény, ha 1 o minden x D(f) esetén x D(f), 2 o minden x D(f) esetén f( x) = f(x) Definíció Legyen f : IR IR. Azt mondjuk, hogy f periodikus függvény, ha létezik olyan p IR, 0 < p szám, hogy 1 o minden x D(f) esetén x + p, x p D(f), 2 o minden x D(f) esetén f(x + p) = f(x p) = f(x). A p szám a függvény egyik periódusa. Az elemi függvények rövid összefoglalása a) Hatványfüggvények Legyen id : IR IR, id(x) := x. Az id szigorúan monoton növő, páratlan függvény (3.1. ábra). Legyen id 2 : IR IR, id 2 (x) := x 2. Az id 2 IR szigorúan monoton növő, az + id 2 szigorúan monoton fogyó. Az id2 IR páros (3.2. ábra). Legyen id 3 : IR IR, id 3 (x) := x 3. Az id 3 szigorúan monoton növő, páratlan függvény (3.3. ábra). Ha n IN, akkor id n : IR IR, id n (x) := x n függvény páros n esetén az id 2, páratlan n esetén az id 3 tulajdonságait örökli.

33 ábra ábra.

34 28 FEJEZET 3. VALÓS FÜGGVÉNYEK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA, ELEMI FÜGGVÉNYEK 3.3. ábra ábra.

35 ábra ábra. szigorúan mo- Legyen id 1 : IR \ {0} IR, id 1 (x) := 1/x. Az id 1 és az id 1 IR IR + noton fogyó (de id 1 nem monoton!). Az id 1 páratlan (3.4. ábra). Legyen id 2 : IR \ {0} IR, id 2 (x) := 1/x 2. Az id 2 IR id 2 szigorúan monoton fogy. Az id 2 páros (3.5. ábra). IR + szigorúan monoton nő, az Legyen n IN. Az id n : IR \ {0} IR, id n (x) := 1/x n függvény páros n esetén az id 2, páratlan n esetén az id 1 tulajdonságait örökli. Legyen id 1/2 : [0, ) IR, id 1/2 (x) := x. Az id 1/2 szigorúan monoton növekedő függvény (3.6. ábra). Megemlítjük, hogy az id 2 [0, ) kölcsönösen egyértelmű függvény inverzeként is értelmezhető a id 1/2. Legyen r IQ. Az id r : IR + IR, id r (x) := x r. Néhány r esetén szemléltetjük az

36 30 FEJEZET 3. VALÓS FÜGGVÉNYEK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA, ELEMI FÜGGVÉNYEK 3.7. ábra ábra. id r függvényeket (3.7. ábra). Végül legyen id 0 : IR IR, id 0 (x) := 1. Az id 0 monoton növekedő, monoton fogyó is, páros függvény. Bármilyen p > 0 szám szerint periodikus (3.8. ábra). b) Exponenciális függvények Legyen a IR +. Az a alapú exponenciális függvény exp a : IR IR, exp a (x) := a x. exp a szigorúan monoton növő, ha a > 1, exp a szigorúan monoton fogyó, ha a < 1, exp a = j 0, ha a = 1 (monoton növő és monoton fogyó is) (3.9. ábra).

37 ábra ábra. Ha a > 0 és a 1, akkor R(exp a ) = IR +, azaz csak pozitív értéket vesz fel az exp a (és minden pozitív számot fel is vesz). Bármely a > 0 esetén minden x 1, x 2 IR mellett exp a (x 1 + x 2 ) = exp a (x 1 ) exp a (x 2 ). (Ez a legfontosabb ismertetőjele az exponenciális függvényeknek.) Kitüntetett szerepe van az exp e =: exp függvénynek (3.10. ábra) (e az előző fejezet 7.* példájában szereplő Euler-féle szám). c) Logaritmus függvények Legyen a > 0, a 1. Mivel exp a szigorúan monoton, ezért kölcsönösen egyértelmű is, tehát van inverzfüggvénye. log a := (exp a ) 1

38 32 FEJEZET 3. VALÓS FÜGGVÉNYEK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA, ELEMI FÜGGVÉNYEK ábra. lesz az a alapú logaritmus függvény (3.11. ábra). Tehát log a : IR + IR, log a (x) = y, amelyre exp a (y) = x. Ha a > 1, akkor log a szigorúan monoton növekedő, ha a < 1, akkor log a szigorúan monoton fogyó. Alapvető tulajdonsága a logaritmus függvényeknek, hogy 1 o bármely a > 0, a 1 és minden x 1, x 2 IR + esetén log a (x 1 x 2 ) = log a x 1 + log a x 2. 2 o bármely a > 0, a 1 és minden x IR + és k IR esetén log a x k = k log a x. 3 o bármely a, b > 0, a, b 1 és minden x IR + esetén log a x = log b x log b a. A 3 o tulajdonság szerint akár egyetlen logaritmus függvény számszorosaként az összes logaritmus függvény előáll. Ezért is van kitüntetett szerepe az e alapú logaritmusnak: ln := log e a természetes alapú logaritmus (3.12. ábra). d) Trigonometrikus függvények Legyen sin : IR IR, sin x := Ne keressen egy formulát! Vegyen fel egy 1 sugarú kört.

39 ábra ábra. A középpontján át rajzoljon két egymásra merőleges egyenest. Az egyik az (1) tengely, a másik a (2) tengely. Ahol az (1) tengely (pozitív fele) metszi a kört, abból a pontból mérje fel az x IR számnak megfelelő ívet a kör kerületére. [Ez a művelet nagy kézügyességet igényel!... ] Az ív P végpontjának második koordinátája legyen a sin x (3.13. ábra). A sin függvény páratlan, p = 2π szerint periodikus (3.14. ábra). R(sin) = [ 1, 1]. Legyen cos : IR IR, cos x := sin(x+ π ). A cos függvény páros, p = 2π szerint periodikus 2 (3.15. ábra). R(cos) = [ 1, 1]. Alapvető összefüggések: 1 o Bármely x IR esetén cos 2 x + sin 2 x = 1.

40 34 FEJEZET 3. VALÓS FÜGGVÉNYEK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA, ELEMI FÜGGVÉNYEK ábra ábra.

41 ábra. 2 o Bármely x 1, x 2 IR esetén sin(x 1 + x 2 ) = sin x 1 cos x 2 + cos x 1 sin x 2, cos(x 1 + x 2 ) = cos x 1 cos x 2 sin x 1 sin x 2. Legyen tg := sin cos és ctg :=. cos sin Az értelmezésből következik, hogy D(tg) = IR \ { π 2 + kπ k Z }, D(ctg) = IR \ {kπ k Z}. A tg és ctg is páratlan, p = π szerint periodikus (3.16. ábra). e.) A trigonometrikus függvények inverzei A trigonometrikus függvények periodikusságuk miatt nem kölcsönösen egyértelműek. Tekintsük a sin [ π leszűkítést. Ez a függvény szigorúan monoton növekedő, ezért kölcsönösen egyértelmű, így van inverz 2, π 2 ] függvénye: arcsin := (sin [ π 2, π 2 ]) 1 Az értelmezésből arcsin : [ 1, 1] [ π, π ], arcsin x = α, amelyre sin α = x. 2 2 Az arcsin szigorúan monoton növekedő, páratlan függvény (3.17. ábra). A cos függvény [0, π] intervallumra való leszűkítése szigorúan monoton fogyó, ezért van inverzfüggvénye: arccos := (cos [0,π] ) 1

42 36 FEJEZET 3. VALÓS FÜGGVÉNYEK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA, ELEMI FÜGGVÉNYEK ábra. Az értelmezésből következik, hogy arccos : [ 1, 1] [0, π], arccos x = α, amelyre cos α = x. Az arccos függvény szigorúan monoton fogyó (3.18. ábra). A tg függvény ( π, π ) intervallumra való leszűkítése szigorúan monoton növő, ezért van 2 2 inverzfüggvénye: arctg := (sin [ π 2, π 2 ]) 1 Az értelmezésből következik, hogy arctg: IR ( π, π ), arctg x = α, amelyre tg α = x. 2 2 Az arctg szigorúan monoton növekedő, páratlan függvény (3.19. ábra). A ctg függvény (0, π) intervallumra való leszűkítése szigorúan monoton fogyó, ezért van inverzfüggvénye: arcctg := (ctg [0,π] ) 1 Az értelmezésből következik, hogy arcctg : IR (0, π), arcctg x = α, amelyre ctg α = x. Az arcctg szigorúan monoton fogyó függvény (3.20. ábra). f.) Hiperbolikus függvények Legyen sh : IR IR, shx := ex e x 2. Az sh szigorúan monoton növő, páratlan függvény (3.21. ábra). Legyen ch : IR IR, chx := ex +e x 2. A ch IR szigorúan monoton fogyó, a ch IR + szi-

43 ábra ábra ábra.

44 38 FEJEZET 3. VALÓS FÜGGVÉNYEK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA, ELEMI FÜGGVÉNYEK ábra ábra. gorúan monoton növő. A ch páros függvény. R(ch) = [1, + ). Gyakran láncgörbének is nevezzük ezt a függvényt (3.22. ábra). Alapvető összefüggések: 1 o Bármely x IR esetén ch 2 x sh 2 x = 1. 2 o Bármely x 1, x 2 IR esetén sh(x 1 + x 2 ) = shx 1 chx 2 + chx 1 shx 2, ch(x 1 + x 2 ) = chx 1 chx 2 + shx 1 shx 2. Legyen th := ch sh, cth := ch sh. Az értelmezésből következik, hogy th : IR IR, th x = ex e x, cth : IR \ {0} e x +e x IR, cth x = ex +e x. A th és cth páratlan függvények (3.23. ábra). e x e x

45 ábra. A th szigorúan növekedő függvény. R(th) = ( 1, 1). A cth IR szigorúan fogyó, a cth IR + szigorúan növő függvény. R(cth) = IR \ [ 1, 1]. f.) A hiperbolikus függvények inverzei Az sh szigorúan monoton növekedő függvény, ezért van inverzfüggvénye: arsh := (sh) 1. Az értelmezésből következik, hogy arsh : IR IR, arsh x = ln(x + x 2 + 1). Az arsh szigorúan monoton növekedő, páratlan függvény (3.24. ábra). Az ch függvény [0, ) intervallumra való leszűkítése szigorúan monoton növekedő, ezért van inverzfüggvénye: arch := (ch [0, ) ) 1. Az értelmezésből következik, hogy arch : [1, ) [0, ), arch x = ln(x + x 2 1). Az arch szigorúan monoton növekedő függvény (3.25. ábra). Az th szigorúan monoton növekedő, ezért van inverzfüggvénye: arth := (th) 1.

46 40 FEJEZET 3. VALÓS FÜGGVÉNYEK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA, ELEMI FÜGGVÉNYEK ábra ábra.

47 ábra ábra. 1+x ln. Az arth szigo- 1 x Az értelmezésből következik, hogy arth : ( 1, 1) IR, arth x = 1 2 rúan monoton növekedő, páratlan függvény (3.26. ábra). Az cth függvény IR + intervallumra való leszűkítése szigorúan monoton fogyó, ezért van inverzfüggvénye: arcth := (cth IR + ) 1. Az értelmezésből következik, hogy arcth : [1, + ) IR +, arcth x = 1 2 szigorúan monoton fogyó függvény (3.27. ábra). x+1 ln. Az arcth x 1 h.) Néhány különleges függvény

48 42 FEJEZET 3. VALÓS FÜGGVÉNYEK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA, ELEMI FÜGGVÉNYEK ábra ábra. 1. Legyen abs : IR IR, abs(x) := x, ahol (emlékeztetőül) { x := x, ha x 0 (3.28. ábra) x, ha x < 0. 1, ha x > 0 2. Legyen sgn : IR IR, sgn(x) := 0, ha x = 0 1, ha x < 0. (3.29. ábra) 3. Legyen ent : IR IR, ent(x) := [x], ahol [x] := max{n Z n x}. (Az x IR szám egész része az x-nél kisebb vagy egyenlő egészek közül a legnagyobb.) (3.30. ábra)

49 3.1. C ábra. { 1, ha x IQ 4. Legyen d : IR IR, d(x) := 0, ha x IR \ IQ. Dirichlet-függvénynek nevezik, nem is kíséreljük meg a szemléltetését. 5. Legyen r : IR IR r(x) := { 0, ha x IR \ IQ 1, q ha x IQ, x = p q ahol p Z, q IN, és p-nek és q-nak nincs valódi közös osztója. Riemannfüggvénynek nevezik, ezt sem kíséreljük meg szemléltetni C 1. Számítsuk ki a következő függvényértékeket: id 0 (7) = id 3 ( 1) = 2 id 1 2 (4) = id 6 (1) = id(6) = id 3 ( 1) = 2 id 3 2 (4) = id 6 (2) = id 2 (5) = id 3 (0) = id 3 2 (4) = id 6 ( 1) = 2 2. Állítsa növekvő sorrendbe a következő számokat: a) sin 1, sin 2, sin 3, sin 4 1 b) ln 2, exp, exp , log c) sh 3, ch ( 2), arsh 4, th 1 d) arcsin 1, arctg 10, th 10, cos 1 2

50 44 FEJEZET 3. VALÓS FÜGGVÉNYEK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA, ELEMI FÜGGVÉNYEK 3. Igazolja, hogy ch 2 x sh 2 x = 1, ch 2 x = ch(2x)+1 2 minden x IR esetén. 4. Igazolja, hogy minden x, y IR esetén a) sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos 2 x sin 2 x, cos 2 x = b) sin x sin y = 2 sin x y 5. Mutassa meg, hogy cos x+y 2 2 a) arsh x = ln(x + x 2 + 1) (x IR) b) arch x = ln(x + x 2 1) (x [1, + )) c) arth x = 1 2 Megoldás: a) 1 o y = sh x = ex e x 2 2 o x = ey e y 2 2x = e y e y / e y 2xe y = (e y ) 2 1 ln 1+x 1 x (x ( 1, 1)) (e y ) 2 2xe y 1 = 0 (e y ) 1,2 = 2x± 4x = x ± x cos 2x 2, sin 2 x =, cos x cos y = 2 sin y x 2 sin x+y 2. 1 cos 2x 2 Mivel az exp függvény csak pozitív értéket vesz fel, és bármely x IR esetén x2 + 1 > x 2 = x x, ezért csak e y = x + x Ebből de ez azt jelenti, hogy y = ln(x + x 2 + 1), 3 o arsh x = ln(x + x 2 + 1). 6. Mutassa meg, hogy arctg πth Alkosson képet a következő függvényekről: { sin 1 x a) f : IR IR, f(x) :=, ha x 0 0, ha x = 0 { x 2 sin 1 x b) g : IR IR, g(x) :=, ha x 0 0, ha x = 0

51 3.1. C 45 { x 2 (sin 1 + 2), ha x 0 x c) h : IR IR, h(x) := 0, ha x = 0 8. Legyen f : IR IR tetszőleges függvény. Mutassa meg, hogy a φ, ψ : IR IR φ(x) := f(x) + f( x), ψ(x) := 2 f(x) f( x) 2 függvények közül φ páros, ψ páratlan, és f = φ + ψ. Ha f = exp, akkor mi lesz a φ és a ψ függvény? 9. Legyen f, g : IR IR. Tegyük fel, hogy f periodikus p > 0, g pedig q > 0 szám szerint. a) Mutassa meg, hogy ha p q IQ, akkor f + g is periodikus. b) Keressen példát arra, hogy ha p q IR \ IQ, akkor f + g nem periodikus. Megoldás: a) Legyen p = k, ahol k, l IN. Ekkor lp = kq. Legyen ω := lp + kq > 0. q l Megmutatjuk, hogy f + g függvény ω szerint periodikus. 1 o D(f + g) = IR 2 o minden x IR esetén (f + g)(x + ω) = f(x + kq + lp) + g(x + lp + kq) = f(x + kq) + g(x + lp) = = f(x + lp) + g(x + kq) = f(x) + g(x) = (f + g)(x). Hasonló az (f + g)(x ω) = (f + g)(x) igazolása is.

52 46 FEJEZET 3. VALÓS FÜGGVÉNYEK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA, ELEMI FÜGGVÉNYEK

53 4. fejezet Sorozatok, sorok 4.1. A A sorozatok igen egyszerű függvények. Rajtuk tanulmányozható a közelítés pontossága. Hasznos építőkövei a későbbi fogalmaknak B A sorozat a természetes számok halmazán értelmezett függvény. Legyen H halmaz, ha a : IN H, akkor H-beli sorozatról beszélünk. Ha például H a valós számok halmaza, akkor számsorozatról; ha H bizonyos jelek halmaza, akkor jelsorozatról; ha H az intervallumok halmaza, akkor intervallum-sorozatról beszélünk. Legyen a : IN IR számsorozat. Ha n IN, akkor a(n) helyett a n legyen a sorozat n-edik tagja. Magát az a : IN IR számsorozatot is a rövidebb (a n ) helyettesítse, esetleg (a n ) IR hangsúlyozza, hogy számsorozatról van szó. Például az a : IN IR, a n := 1 helyett az ( 1 ) sorozatról beszélünk. n n Néha a tömör (a n ) helyett az oldottabb a 1, a 2,..., a n,... jelölést is használhatjuk. Például az (n 2 ) helyett 1, 4, 9,..., n 2,... sorozatról beszélünk. Mivel a sorozat is függvény, így a korlátosság, a monotonitás, műveletek sorozatokkal nem igényelnek új definíciót. Emlékeztetőül mégis újrafogalmazunk egy-két elnevezést Definíció Azt mondjuk, hogy (a n ) sorozat korlátos, ha van olyan K IR, hogy minden n IN esetén a n K Definíció Azt mondjuk, hogy (a n ) monoton növő, ha minden n IN esetén a n a n+1. 47

54 48 FEJEZET 4. SOROZATOK, SOROK Definíció Ha (a n ) sorozat, és λ IR, akkor λ(a n ) := (λa n ). Ha (a n ), (b n ) két sorozat, akkor (a n ) + (b n ) := (a n + b n ), (a n ) (b n ) := (a n b n ). Ha még b n 0 (n IN), akkor (a n ) (b n ) := ( an b n ). Például az ( n ) sorozat korlátos, hiszen bármely n IN esetén n < n + 1, ezért n+1 n n + 1 = n n + 1 < 1. Az ( n ) monoton növő, mert bármely n IN esetén n+1 mivel n(n + 2) < (n + 1) 2. a n = n n + 1 < n + 1 n + 2 = a n+1, Az (e n := (( n+1 n )n )) sorozat is monoton növő. Ugyanis legyen n IN. A számtani és mértani közép között fennálló egyenlőtlenség szerint ( ) n n + 1 e n = = 1 n + 1 n n n + 1 n n + 1 n ( 1 + n n+1 ) n+1 n = n + 1 ( ) n+1 n + 2 = e n+1. n + 1 Az (e n ) sorozat korlátos is (igazolása ugyanazt a számolást igényli, amit a 2. fejezet 7.* példájában mutattunk meg), bármely n IN esetén ( ) n+1 n n 4. Most a sorozatok egy merőben új tulajdonságával ismerkedünk meg. Ha az a 1, a 2,..., a n,... sorozat tagjai valamilyen szám körül keveset ingadoznak, akkor az ilyen sorozatot konvergensnek fogjuk nevezni. Pontosabban: Definíció Azt mondjuk, hogy az (a n ) számsorozat konvergens, ha van olyan A IR szám, hogy bármely ε > 0 hibakorláthoz van olyan N IN küszöbindex, hogy minden n IN, n > N esetén a n A < ε. Ha van ilyen A szám, akkor ez a sorozat határértéke lesz, és lim a n = A vagy a n A jelöli majd.

55 4.2. B 49 Például 1 0, mert bármely ε > 0 esetén van olyan N IN, amelyre N > 1 (Archimedeszaxióma). Ha pedig n > N, akkor 1 < 1 < ε, azaz 1 0 < ε. n ε n N n Egy másik példaként vegyünk egy 1 méteres rudat. Ha félbevágjuk, majd a félrudat is félbevágjuk, majd az egyik darabot ismét félbevágjuk és így tovább, akkor az 1 2, 1 4, 1 2,..., 1 3 2,... n sorozathoz jutunk. Nyilván ez a sorozat ( 1 2 n ) 0, azaz a keletkezett új darabok tetszőlegesen kicsik lesznek. Azonnal látható, hogy ha (a n ) konvergens, akkor korlátos is, hiszen ε := 1 számhoz is van ilyenkor olyan N 1 küszöbindex, hogy minden n > N 1 esetén A 1 < a n < A + 1, és az a 1, a 2,..., a N véges sok tag sem ronthatja el az (a n ) sorozat korlátosságát. A műveletek során a konvergens sorozatok jól viselkednek Tétel Ha a n A és λ IR, akkor λa n λa. Ha a n A és b n B, akkor a n + b n A + B, a n b n AB. Ha b n B és B 0, akkor 1 b n 1 B. Ha a n A és b n B 0, akkor an b n A B. Ezeknek a tételeknek az alkalmazásaként nézzük a következő példát. lim 3n2 2n + 1 2n 2 + n = lim n + 1 n n = 3 2, hiszen 1 0, ezért 1 = A nevező n n 2 n n n is konvergens , így a hányadossorozat További módszerek sorozat konvergenciájának az eldöntésére Tétel (közrefogási elv) Ha (a n ), (x n ), (y n ) olyan, hogy 1 o minden n IN esetén x n a n y n, 2 o lim x n = lim y n =: α, akkor (a n ) konvergens, és lim a n = α.

56 50 FEJEZET 4. SOROZATOK, SOROK Tétel Ha (a n ) monoton és korlátos, akkor (a n ) konvergens. Például az (e n ) := (( n+1 n )n ) sorozatról már láttuk, hogy monoton növő és korlátos is, ezért konvergens. A határértéke éppen a 2. fejezet 7.* példájában szereplő e szám: ( ) n n + 1 lim = e. n A C) rész példái között egy sor további konvergens sorozatot találhatunk. A sorozat konvergenciájának definíciója tartalmaz egy komoly nehézséget: meg kell sejteni azt az A IR számot, amelyhez a sorozat tetszőlegesen közel kerül. Ezt küszöböli ki a következő tétel: Tétel (Cauchy konvergencia kritérium) Az (a n ) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha bármely ε > 0 hibakorláthoz van olyan N IN küszöbindex, hogy minden olyan esetben, amikor m, n > N, a n a m < ε. Tehát az, hogy a számsorozat hozzásimul, tetszőlegesen megközelít egy számot, egyenértékű azzal, hogy a sorozat tagjai tetszőlegesen megközelítik egymást. Most gondoljunk arra, hogy valaki az előzőekben szereplő 1 méteres rúd szeletelésénél kapott darabokat össze szeretné illeszteni, azaz az n +... összeget szeretné elkészíteni. Akkor az 1 2 -hez hozzáragasztja az hosszúságút, így lesz; majd ehhez ragasztja az 1 hosszúságút, így lesz, és így tovább Általánosabban: Legyen (a n ) számsorozat. Készítsük el az S 1 := a 1, S 2 := a 1 + a 2, S 3 := a 1 + a 2 + a 3,..., S n := a 1 + a a n,... sorozatot. Az (a n ) összeadandókból készített a n végtelen soron az (S n ) részletösszegsorozatot értjük. A végtelen sok szám összeadása konvergens eljárás, azaz a n végtelen sor konvergens, ha az (S n ) sorozat konvergens. Ha az (S n ) sorozat konvergens, akkor a a n végtelen sor összegén az (S n ) sorozat határértékét értjük, azaz n=1 a n := lim S n. Például legyen q IR, 0 < q < 1. Tekintsük a (q n ) összeadó sorozatot. Az n-edik részletösszeg S n = q + q 2 + q q n = q qn 1 q 1.

57 4.2. B 51 Mivel q n 0 (lásd a C) példák 3. feladatát), ezért lim S n = lim q qn 1 q 1 = q q 1 = tehát a q n végtelen sor konvergens, és n=1 qn = q 1 q q 1 q. a végtelen sor összege. Ha a n egy konvergens végtelen sor, akkor (S n ) konvergens, ekkor a Cauchy konvergencia kritérium szerint bármely ε > 0 hibakorláthoz van olyan N küszöbindex, hogy minden m > N és n := m + 1 > N esetén ε > S n S m = a 1 + a a m + a m+1 (a 1 + a a m ) = a n. Ez éppen azt jelenti, hogy a n 0. Tehát érvényes a következő tétel: Tétel Ha a n konvergens, akkor a n 0. Megfordítva nem igaz az állítás. Legyen (a n ) := (ln n+1 n+1 ). Mivel n n ln n+1 n ln 1 = 0. Minden n IN esetén = n 1, ezért S n = ln ln ln ln n + 1 n = ln n + 1 n = ln(n + 1). Legyen K > 0 tetszőleges. Van olyan n IN, hogy n + 1 > e K. Ekkor S n = ln(n + 1) > ln e K = K, tehát az (S n ) nem korlátos, de akkor nem is konvergens, azaz a n nem konvergens. Ugyanígy viselkedik a 1 n végtelen sor is: bár az 1 n 0, de a 1 n nem konvergens. Van lehetőség az összeadandó sorozat viselkedéséből a végtelen sor konvergenciájára következtetni Tétel (Hányados kritérium) Legyen (a n ) olyan sorozat, amelyhez van olyan 0 < q < 1 szám és N küszöbindex, hogy minden n > N esetén a n+1 a n q. Ekkor a n konvergens Tétel (Gyökkritérium) Legyen (a n ) olyan sorozat, amelyhez van olyan 0 < q < 1 szám és N küszöbindex, hogy minden n > N esetén n a n q. Ekkor a n konvergens. Például a 2 n n! azért konvergens végtelen sor, mert a n+1 a n = 2 n+1 (n+1)! 2 n n! = 2 n + 1 < 1, ha n > 5. 2

58 52 FEJEZET 4. SOROZATOK, SOROK Érdekes a váltakozó előjelű sorokról szóló tétel Tétel (Leibniz) Legyen (a n ) pozitív tagú, monoton fogyó sorozat, amelyre a n 0. Ekkor a ( 1) n+1 a n váltakozó előjelű végtelen sor konvergens. Például a ( 1) n+1 1 konvergens, mert ( 1 ) monoton fogyó, és 1 0. n n n 4.3. C 1. Mutassa meg, hogy a n A pontosan akkor, ha a n A 0. Megoldás: Legyen ε > 0 tetszőleges. Ha a n A, akkor van olyan N, hogy n > N esetén a n A < ε. Ekkor a n A 0 = a n A < ε is igaz, így a n A 0. Ugyanez a fordított állítás igazolása is. 2. Mutassa meg, hogy a n 0 pontosan akkor, ha a n 0. Megoldás: Legyen ε > 0. Ha a n 0, akkor van olyan N, hogy n > N esetén a n 0 = a n < ε, de akkor a n 0 = a n < ε is igaz, amiből a n 0 következik. Ha a n 0, akkor a n 0 is igaz. Mivel a n a n a n minden n IN esetén, ezért a közrefogás miatt a n Legyen q ( 1, 1). Mutassa meg, hogy q n 0. Konvergens-e az ( 1 3 n ), ((sin π 4 )n ), ( 2n 3 n +10 ) sorozat? Megoldás: Ha q = 0, akkor 0 n 0. Ha q 0, akkor 0 < q < 1, ezért van olyan h > 0, hogy 1 = 1 + h. Ekkor a Bernoulli-egyenlőtlenség szerint minden n IN q esetén ( ) n 1 = (1 + h) n 1 + nh > nh q 0 < q n < 1 h 1 n. Mivel 0 0, 1 h 1 n 0, ezért a közrefogott sorozat is 0-hoz tart, azaz qn = q n 0. A 2. példa szerint a q n 0 is igaz. 4. Legyen a > 1. Mutassa meg, hogy n a n 0. Konvergens-e az ( n 2 n ), (n 0, 999 n ) sorozat?

59 4.3. C 53 Megoldás: Ha a > 1, akkor van olyan h > 0, hogy a = 1 + h. A 2. fejezet... példája szerint minden n IN, n > 1 esetén Ebből a n = (1 + h) n > ( ) n h 2 = 2 0 < n a n < 2 h 2 1 n 1. Nyilván 1 n 1 0, így a közrefogott sorozatra n a n 0. n(n 1) h Legyen a > 1, k IN. Mutassa meg, hogy nk a n 0. Legyen (a n ) := ( n100 1,001 n ). Becsülje meg az a 1, a 2, a 3 értékét, lim a n =? Megoldás: Bármely n IN esetén Mivel k a > 1, ezért n k a n = sorozat szorzata is 0-hoz tart, tehát n ( k a) n n ( k a) n n ( k a) n n ( k 0 a 4. példa szerint. Akkor k darab 0-hoz tartó a) n n ( k 0. a) n 6. Legyen a > 0. Mutassa meg, hogy an n! 0. Megoldás: Van olyan k IN, hogy a < k. Legyen n IN, n > k. Ekkor a n n! = a 1 a 2 a k a k + 1 a n 1 a n. Legyen a a a 1 2 k := L; a < 1,..., a k+1 n 1 < 1, így Mivel La n 0 < an n! < L a n. an 0, ezért a közrefogott sorozatra 0. n! 7. Mutassa meg, hogy n! n n Legyen a > 0. Igazolja, hogy n a 1. Megoldás: Először legyen a > 1. Legyen p n := n a 1 > 0 (n IN). Bármely n IN esetén a Bernoulli-egyenlőtlenség szerint a = (1 + p n ) n > np n, így 0 < p n < a n.

60 54 FEJEZET 4. SOROZATOK, SOROK Mivel a n 0, ezért a közrefogott sorozatra p n 0, ami az 1. feladat szerint n a 1. Ha 0 < a < 1, akkor 1 a > 1, ezért n 1 a 1, de akkor a reciprok sorozatra is n a lim n 5 =? lim n 2 n =? lim n 2 n + 5 n =? 10. Igazolja, hogy n n 1. Konvergens-e az ( n n 2 ), ( n 1 n 2 ) sorozat? Megoldás: Legyen p n := n n 1 > 0 (n IN). Bármely n IN, n > 1 esetén n = (1 + p n ) n > ( n 2) p 2 n a 2. fejezet... példája szerint. Ebből n > n(n 1) p 2 n 2 p 2 n < 2 n 1 0 < p n < 2 n 1. A könnyen igazolható 1 n 1 0 miatt a közrefogott p n 0, ami egyenértékű (1. feladat) az n n 1 állítással. 11. Igazolja, hogy 1 n n! 0. Megoldás: Minden n IN esetén (egy pillanatra feltételezve, hogy n páros) ( n ) n! = n ( n ) n > n 2 n 2 n 2, azaz n! > ( n 2 ) n 2. Ebből ) 1 2 ( n n n! > 2 0 < n 1 < n! 2 n. Mivel 1 n 0, ezért a közrefogott sorozatra 1 n n! Mutassa meg, hogy 1 n(n+1) konvergens. Megoldás: Legyen n IN. S n = n(n + 1).

61 4.3. C 55 Mivel 1 k(k+1) = 1 k 1 k+1, ezért S n = n 1 n + 1 = 1 1 n + 1. lim S n = lim 1 1 = 1, ezért 1 konvergens, és 1 n+1 n(n+1) n=1 = 1. n(n+1) 13. Mutassa meg, hogy 1 konvergens. n 2 Megoldás: Legyen n IN, n > 1 S n = n 2 < (n 1)n = = n 1 1 n = n < 2 Tehát az (S n ) sorozat korlátos. Másrészt bármely n IN esetén S n+1 = S n + 1 > (n+1) 2 S n, tehát (S n ) monoton növekedő. Ezért S n konvergens, azaz 1 konvergens. n Konvergens-e a 1, 3 n végtelen sor? n! n! Milyen x IR esetén konvergens a x n végtelen sor? n! Megoldás: Megmutatjuk, hogy bármely x IR esetén x n konvergens, ugyanis ha n! x 0, akkor x n+1 (n+1)! x n n! = x n + 1 1, ha n > [2 x 1], 2 ezért a hányados kritérium szerint x n n! konvergens. 15. Konvergens-e a 3 n 1+3 2n végtelen sor? Megoldás: A gyökkritérium szerint ezért 3 n 1+3 2n konvergens. n 3 n < n n 2n 3 = 1 2n 3 (n IN), 16. A hányados- vagy a gyökkritérium alapján kiderülhetne-e, hogy 1 n 2 Megoldás: Nem. Ugyanis 1 ( ) 2 (n+1) 2 n 1 = < 1, n + 1 n 2 de nincs olyan q < 1 szám, hogy N után minden n > N esetén ( n n+1 ) q. konvergens?

62 56 FEJEZET 4. SOROZATOK, SOROK A gyökkritérium szerint is de mivel lim 1 n n 2 n > N-re 1 n n 2 < q. n 1 n = n 1 < 1, 2 n 2 = 1, ezért nincs olyan q < 1 szám, hogy valamilyen N után minden 17. Konvergens-e a cos(nπ) n végtelen sor? Megoldás: cos(nπ) = ( 1) n, ( 1 n ) monoton fogyólag tart 0-hoz, ezért a Leibniz-tétel szerint cos(nπ) n konvergens. 18. * Igazoljuk a következő állításokat: a) Bármely α, β, γ IR esetén ( lim 1 + α ) n+γ = e α n + β b) n=0 = e c) Bármely n IN esetén van olyan ϑ (0, 1), hogy d) e IR \ IQ e = 1 0! + 1 1! + 1 2! n! + ϑ n!n 4.4. D Definíció Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat konvergens, ha A IR, ε > 0 N IN : n > N a n A < ε Tétel Ha (a n ) konvergens, akkor (a n ) korlátos. Biz.: Legyen ε := 1. Mivel (a n ) konvergens, ezért A IR és N IN, hogy n > N esetén A 1 < a n < A + 1. Ha K := max{ a 1, a 2,..., a N, A 1, A + 1 }, akkor n IN esetén a n K Tétel Ha (a n ) monoton és korlátos, akkor (a n ) konvergens. Biz.: Tegyük fel, hogy (a n ) monoton növekedő. Tekintsük az {a 1, a 2,..., a n,...} halmazt. Ez a halmaz felülről korlátos számhalmaz, ezért sup{a 1, a 2,..., a n,...} =: α. A halmaz felső határának tulajdonsága, hogy 1 o n IN esetén a n α

63 4.4. D 57 2 o ε > 0 N IN : a n > α ε. Legyen n > N tetszőleges, és becsüljük meg a sorozat n-edik tagját: α ε < a N a n α < α + ε, tehát a n α < ε. Az aláhúzott rész éppen (a n ) konvergenciáját jelenti Tétel Legyen (a n ) olyan sorozat, amelyhez (x n ), (y n ) : 1 o n IN esetén x n a n y n 2 o lim x n = lim y n =: α Akkor (a n ) konvergens, és lim a n = α. Biz.: Legyen ε > 0 tetszőleges. Mivel x n α, ezért N 1, n > N 1 esetén α ε < x n < α + ε. Mivel y n α, ezért N 2, n > N 2 esetén α ε < y n < α + ε. Legyen N := max{n 1, N 2 } és n > N tetszőleges. Ekkor α ε < x n a n y n < α + ε, amiből a n α < ε. Az aláhúzottakból következik az állítás. Műveletek konvergens sorozatokkal Tétel Ha a n 0 és b n 0, akkor a n + b n 0. Biz.: Legyen ε > 0 tetszőleges, akkor ε 2 > 0. Mivel a n 0, ezért N 1 n > N 1 esetén ε 2 < a n < ε 2. Mivel b n 0, ezért N 2 n > N 2 esetén ε 2 < b n < ε 2 Legyen N := max{n 1, N 2 } és n > N tetszőleges. Ekkor ε = ε 2 ε 2 < a n +b n < ε 2 + ε 2 = ε, azaz a n + b n < ε, tehát a n + b n 0 az aláhúzottak szerint Tétel Ha a n 0 és (c n ) korlátos ( c n < K (n IN)), akkor a n c n 0. Biz.: Legyen ε > 0 tetszőleges, ekkor ε K a n < ε. Legyen n > N tetszőleges. K > 0. Mivel a n 0, ezért N n > N esetén a n c n = a n c n a n K< ε K K = ε, az aláhúzottakból következik, hogy a n c n Tétel Ha a n A és λ IR, akkor λa n λa. Biz.: (λa n λa) = (λ) (a n A). Az a n A 0, a (λ) korlátos sorozat, ezért λ(a n A) 0 λa n λa.

64 58 FEJEZET 4. SOROZATOK, SOROK Tétel Ha a n A és b n B, akkor a n + b n A + B. Biz.: (a n + b n (A + B)) = (a n A + b n B) = (a n A) + (b n B). Mivel a n A 0 és b n B 0, ezért összegük is 0-hoz tart, azaz a n + b n A + B Tétel Ha a n A és b n B, akkor a n b n AB. Biz.: (a n b n AB) = (a n b n Ab n + Ab n AB) = (a n A)(b n ) + (A)(b n B). Az a n A 0, (b n ) konvergens, ezért korlátos is, így szorzatuk 0-hoz tart. A b n B 0, (B) korlátos, ezért szorzatuk is 0-hoz tart. Két 0-hoz tartó sorozat összege is 0-hoz tart, tehát a n b n AB Tétel Ha b n B, B 0, akkor 1 b n 1 B. Biz.: Legyen B > 0. ( 1 1 ) = b n B ( ) B bn = 1 ( ) 1 Bb n B (b n B) b n A b n B 0. Megmutatjuk, hogy 1 b n korlátos. Mivel b n B, ezért ε := B > 0 számhoz 2 N : n > N esetén B < b 2 n B < B, vagy B B < b 2 2 n < B + B, amiből 2 Ez azt jelenti, hogy 1 b n tart, tehát 1 b n 1. B 2 B > 1 > 2 b n 3B. korlátos (n > N). A 0-hoz tartó és korlátos sorozat szorzata 0-hoz Tétel Ha a n A és b n B 0, akkor an b n A. B Biz.: ( an b n ) = (a n ) ( 1 b n ). A szorzatsorozat és a reciproksorozat konvergenciájáról szóló tétel szerint tehát an b n A B. Részsorozatok a n 1 b n A 1 B, Definíció Egy i : IN IN szigorúan monoton növekedő sorozatot indexsorozatnak nevezünk Definíció Legyen a, b : IN IR. Azt mondjuk, hogy b az a sorozat egy részsorozata, ha i : IN IN indexsorozat, hogy b = a i, azaz (b n ) = (a in ). Például (a n ) := 1, 1 2, 1 3,..., 1 n,... és (i n) := 2, 4, 6,..., 2n,... esetén (a in ) := 1 2, 1 4, , 1 2n,...

65 4.4. D 59 lesz a részsorozat Tétel Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Biz.: Bármely sorozatra igaz, hogy vagy 1 o nincs legnagyobb tagja, vagy 2 o van legnagyobb tagja, de véges sokat elhagyva a sorozat tagjai közül a visszamaradó sorozatnak már nincs legnagyobb tagja, vagy 3 o van legnagyobb tag a sorozatban, és bárhogyan hagyunk el véges sokat a sorozatból, a visszamaradt sorozatnak még mindig van legnagyobb tagja. Ha (a n ) az 1 o típusú sorozat, akkor egy szigorúan monoton növő részsorozatot készítünk. a i1 := a 1. Hagyjuk el a sorozatból a 1 -et. A visszamaradt sorozatban van a 1 -nél nagyobb tag, legyen ez a k. a i2 := a k. Hagyjuk el a sorozatból az a k -ig a tagokat, és a visszamaradt a k+1, a k+2,..., a n,... sorozatból válasszunk az a k -nál nagyobb tagot, legyen ez a l. a i3 := a l. Ezt az eljárást folytassuk. Nyilván i 1 = 1 < i 2 = k < i 3 = l <..., tehát (i n ) indexsorozat lesz, és a i1 = a 1 < a i2 = a k < a i3 = a l <... az (a n ) sorozat szigorúan monoton növő részsorozata. Ha (a n ) a 2 o típusú sorozat, akkor hagyjuk el a sorozatból azt a véges sok tagot, amely között volt a sorozat legnagyobb tagja, és a visszamaradt sorozattal ismételjük meg az előző eljárást. Így ekkor is szigorúan monoton növekedő részsorozathoz jutunk. Ha (a n ) a 3 o típusú sorozat, akkor fogyó részsorozatot készítünk. Legyen a k a sorozat legnagyobb tagja. Ekkor a i1 := a k. Hagyjuk el a k -ig a sorozattagokat. A visszamaradt a k+1, a k+2,..., a n,... sorozatnak is van legnagyobb tagja, legyen ez a l. Nyilván a k a l. Legyen a i2 := a l.

66 60 FEJEZET 4. SOROZATOK, SOROK Hagyjuk el a l -ig a sorozattagokat, a visszamaradt a l+1, a l+2,..., a n,... sorozat legnagyobb tagja legyen a m. Nyilván a l a m. Legyen a i3 := a m. Ezt az eljárást folytassuk. Látható, hogy az így szerkesztett (a in ) valóban részsorozata az (a n ) sorozatnak és monoton fogyó lesz Tétel (Bolzano-Weierstrass kiválasztási tétel) Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. Biz.: Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Ez a részsorozat is korlátos lesz. Egy monoton és korlátos sorozat konvergens. Sorozat lim sup-ja és lim inf-je Legyen (a n ) korlátos sorozat. Készítsük el az α 1 := sup{a 1, a 2, a 3,..., a n,...} α 2 := sup{a 2, a 3, a 4,..., a n,...}. α k := sup{a k, a k+1, a k+2,..., a n,...}. (4.1) számsorozatot. Mivel {a 1, a 2,..., a n,...} {a 2, a 3,..., a n,...}, ezért a felső határukra nyilván α 1 α 2. Ezt tovább gondolva látszik, hogy (α k ) monoton fogyó sorozat. Az (α k ) ugyanolyan korlátok közé szorítható, mint az eredeti (a n ) sorozat. Mivel (α k ) monoton és korlátos, ezért konvergens Definíció lim sup a n := lim α k. Az előző gondolatmenethez hasonlóan legyen β 1 := inf{a 1, a 2, a 3,..., a n,...} β 2 := inf{a 2, a 3, a 4,..., a n,...}. β k := inf{a k, a k+1, a k+2,..., a n,...}. (4.2)

67 4.4. D 61 Nyilván β 1 β 2, és ez a tendencia megmarad, így (β k ) monoton növő. A (β k ) is korlátos. Mivel (β k ) monoton és korlátos, ezért konvergens Definíció lim inf a n := lim β k. A szerkesztésből látszik, hogy k IN esetén α k β k, így lim inf a n = lim β k lim α k = lim sup a n. Bebizonyítható, hogy Tétel Az (a n ) korlátos sorozat konvergens lim inf a n = lim sup a n. Szintén bizonyítás nélkül megemlítjük a lim sup a n érdekes tulajdonságait: a) ε > 0 esetén a (lim sup a n ) ε számnál nagyobb tag végtelen sok van az (a n ) sorozatban, a (lim sup a n ) + ε számnál nagyobb tag már csak véges sok van az (a n ) sorozatban. b) A lim sup a n az (a n ) sorozat konvergens részsorozatainak a határértékei közül a legnagyobb (tehát van is olyan (a in ) konvergens részsorozat, amelyre a in lim sup a n.) Értelemszerű módosítással megfogalmazhatók a lim inf a n tulajdonságai is. Intervallumsorozat Tétel (Cantor közösrész tétel) Legyen ([a n, b n ]) zárt intervallumok sorozata. Tegyük fel, hogy n IN esetén [a n, b n ] [a n+1, b n+1 ] ( egymásba skatulyázott intervallumok ) és lim b n a n = 0. Ekkor egyértelműen létezik c IR, amelyre n IN [a n, b n ] = {c}. Biz.: Legyen (a n ) az intervallumok kezdőpontjainak sorozata. Az egymásbaskatulyázottság miatt n IN esetén a n a n+1 b n+1 b 1, tehát az (a n ) sorozat egyik felső korlátja b 1, másrészt (a n ) monoton növő. Ezért (a n ) konvergens. Legyen α := lim a n. Az intervallumok végpontjainak sorozata legyen (b n ). Nyilván n IN esetén b n b n+1 a n+1 a 1, tehát (b n ) monoton fogyó és alulról korlátos, ezért (b n ) konvergens. Legyen β := lim b n. Belátjuk, hogy α = β. β α = lim b n lim a n = lim(b n a n ) = 0. Legyen c := α = β. Az (a n ) monoton növekedése és a (b n ) monoton fogyása miatt n IN esetén a n lim a n = c = lim b n b n,

68 62 FEJEZET 4. SOROZATOK, SOROK ezért c [a n, b n ], ami azt jelenti, hogy c n IN [a n, b n ]. Indirekt módon, tegyük fel, hogy d IR, d c, amelyre d n IN [a n, b n ]. Legyen ε := d c 3 > 0. Mivel b n a n 0, ezért N, n > N esetén b n a n < ε. Legyen [a n, b n ] egy ilyen intervallum. A c [a n, b n ], de akkor a c-től a 3 ε távolságra lévő d már nem lehet az ε-nál rövidebb intervallumban. Ez ellentmondás, tehát n IN [a n, b n ] = {c}. A Cantor közösrész tétel is hasznos segédeszköz lehet sorozat konvergenciájának kimutatására. A következő tétel alapvető szükséges és elégséges feltételt ad a sorozat konvergenciájára Definíció Mondjuk azt, hogy (a n ) Cauchy-sorozat, ha ε > 0 N IN, hogy n, m > N esetén a n a m < ε Tétel (Cauchy konvergencia kritérium) Legyen (a n ) számsorozat (a n ) konvergens (a n ) Cauchy-sorozat. Biz.: ( ) Legyen lim a n =: A. Legyen ε > 0 tetszőleges. Mivel a n A, ezért az ε 2 > 0 hibakorláthoz N, hogy n > N esetén a n A < ε 2 és m > N esetén a m A < ε 2. Legyen n, m > N tetszőleges. Ekkor a n a m = a n A + A a m a n A + A a m < ε 2 + ε 2 = ε. Az aláhúzottak szerint (a n ) Cauchy-sorozat. ( ) Legyen (a n ) Cauchy-sorozat. Megmutatjuk, hogy (a n ) korlátos. Ugyanis az ε := 1 pozitív számhoz is N 1, hogy n, m > N 1 esetén a n a m < 1. Rögzítsük az m > N 1 indexet. Így a m 1 < a n < a m + 1,

69 4.4. D 63 ami azt jelenti, hogy n > N 1 esetén a sorozat tagjai a két korlát közé esnek. Az a 1, a 2,..., a N véges sok tag már nem ronthatja el az egész (a n ) sorozat korlátosságát. Mivel (a n ) korlátos, ezért a Bolzano-Weierstrass kiválasztási tétel miatt van (a in ) konvergens részsorozata. Legyen α := lim a in. Megmutatjuk, hogy a n α. Legyen ε > 0 tetszőleges. Mivel a in α, ezért az ε 2 > 0 hibakorláthoz N 2, hogy n > N 2 esetén a in α < ε 2. Mivel (a n) Cauchy-sorozat, ezért az ε 2 > 0 hibakorláthoz N 3, hogy n > N 3 és i n n esetén a in a n < ε 2. Legyen N := max{n 2, N 3 }, és legyen n > N tetszőleges. Ekkor a n α = a n a in + a in α a n a in + a in α < ε 2 + ε 2 = ε. Az aláhúzottak szerint a n α. Divergens sorozatok Egy (a n ) sorozatot divergensnek nevezünk, ha nem konvergens, azaz ha A IR számhoz ε > 0, hogy N IN küszöbindex után n > N olyan, hogy a n A ε. Divergens sorozat például az (n 2 ) és a (( 1) n ) sorozat is. Az (n 2 ) sorozathoz tágabb értelemben lehetőség lesz határértéket rendelni, míg a (( 1) n ) marad egy rosszul divergens sorozat Definíció Azt mondjuk, hogy (a n ) számsorozatnak + a határértéke, ha K IR számhoz N IN küszöbindex, hogy n > N esetén a n > K. Ha (a n ) sorozat ilyen, akkor lim a n = Definíció Azt mondjuk, hogy (a n ) számsorozatnak a határértéke, ha K IR számhoz N IN küszöbindex, hogy n > N esetén a n < K. Ha (a n ) sorozat ilyen, akkor lim a n =. Például lim n 2 = + és lim( n 2 ) =. A + vagy határértékű sorozatokkal végzett műveletek (ilyenek összege, hányadosa) nagy körültekintést igényel. Végtelen sor Definíció Legyen (a n ) az összeadandók sorozata. Készítsük el az (S n ) := (a 1 + a a n ) részletösszegek sorozatát. A a n végtelen sor legyen a részletösszegek sorozata, azaz a n := (S n ).

70 64 FEJEZET 4. SOROZATOK, SOROK Definíció Azt mondjuk, hogy a a n végtelen sor konvergens, ha az (S n ) sorozat konvergens. ( a n divergens, ha az (S n ) divergens.) Ha az (S n ) konvergens, akkor a a n végtelen sor összegén a részletösszeg-sorozat határértékét értjük, azaz n=1 a n := lim S n Tétel Ha a n konvergens, akkor a n Tétel (Majoráns kritérium) Legyen (a n ), (b n ) IR + és n IN esetén a n b n. Ekkor 1 o ha b n konvergens, akkor a n konvergens; 2 o ha a n divergens, akkor b n divergens. Biz.: Legyen s n := a 1 + a a n és t n := b 1 + b b n, n IN. Az (s n ) és (t n ) szigorúan monoton növekedő. 1 o Ha b n konvergens, akkor (t n ) konvergens. Ekkor n IN esetén s n t n < lim t n = n=1 b n, tehát (s n ) korlátos is, ezért (s n ) konvergens, azaz a n konvergens. 2 o Ha a n divergens, akkor (s n ) felülről nem korlátos. Ekkor n IN esetén t n s n miatt (t n ) is felülről nem korlátos, amiből következik, hogy (t n ) nem konvergens (divergens), így b n divergens Definíció A a n abszolút konvergens, ha a n konvergens Tétel Ha a n abszolút konvergens, akkor a n konvergens. Biz.: Ha a n konvergens, akkor ε > 0 N n, m > N, n > m esetén a 1 + a a m + a m a n ( a 1 + a a m ) = = a m a n < ε. Ekkor az S k := a 1 + a a k (k IN) részletösszegekre S n S m = a m a n a m a n < ε. Az aláhúzottak éppen azt jelentik, hogy a n konvergens. Két elégséges feltételt adunk végtelen sor abszolút konvergenciájára (amelyből már következik a sor konvergenciája).

71 4.4. D Tétel (Hányadoskritérium, D Alembert) Legyen (a n ) olyan sorozat, amelyhez q (0, 1) és N IN, hogy n > N esetén a n+1 /a n q. Ekkor a n abszolút konvergens. Biz.: Legyen k IN. A feltételből a N+2 /a N+1 q a N+2 a N+1 q a N+3 /a N+2 q a N+3 a N+2 q a N+1 q 2. a N+k /a N+k 1 q a N+k a N+k 1 q... a N+1 q k 1. Ekkor S N+k = a 1 + a a N+1 + a N a N+k L + a N+1 q + a N+1 q a N+1 q k 1 = = L + a N+1 (q + q q k 1 q ) < L + a N+1 1 q, ahol L := a 1 + a a N+1, és felhasználtuk, hogy 0 < q < 1 esetén n=1 qn = q 1 q. Tehát (S n ) felülről korlátos, de monoton növekedő is, ezért (S n ) konvergens, ami azt jelenti, hogy a n konvergens Tétel (Gyökkritérium, Cauchy) Legyen (a n ) olyan sorozat, amelyhez q (0, 1) és N IN, hogy n > N esetén n a n q. Ekkor a n abszolút konvergens. Biz.: Legyen k IN. A feltételből N+1 a N+1 q a N+1 q N+1 N+2 a N+2 q a N+2 q N+2. N+k a N+k q a N+k q N+k. Ekkor S N+k = a 1 + a a N+1 + a N a N+k L + q N+1 + q N q N+k = L + q N (q + q q k ) < < L + q N q 1 q, ahol L := a 1 + a a N, és felhasználtuk, hogy 0 < q < 1 esetén n=1 qn = q 1 q.

72 66 FEJEZET 4. SOROZATOK, SOROK Tehát (S n ) felülről korlátos, de monoton növő is, ezért (S n ) konvergens, ami azt jelenti, hogy a n konvergens. Az alternáló sorokra vonatkozik a következő tétel Tétel (Leibniz) Legyen (a n ) monoton fogyó, a n 0. Ekkor a ( 1) n+1 a n végtelen sor konvergens. Biz.: Legyen k IN. Ekkor S 1 = a 1 S 2 = a 1 a 2 S 3 = a 1 a 2 + a 3 S 4 = a 1 a 2 + a 3 a 4.. S 2k 1 = a 1 a a 2k 1 S 2k = a 1 a a 2k 1 a 2k Mivel a 1 a 2 a 3 a 4... a 2k 1 a 2k..., ezért S 1 S 2 S 3 S 4. S 2k 1 S 2k, másrészt S 1 S 3... S 2k 1... és S 2 S 4... S 2k... Látható, hogy az ([S 2k, S 2k 1 ]) egymásba skatulyázott intervallumsorozat. Mivel lim(s 2k 1 S 2k ) = lim a 2k = 0, mert a n 0, ezért teljesülnek a Cantor közösrész tétel felételei, így A IR, hogy lim S 2k 1 = lim S 2k = A, sőt ez éppen azt jelenti, hogy lim S n = A. Tehát ( 1) n+1 a n konvergens és n=1 ( 1)n+1 a n = A. A bizonyításból látszik, hogy A [S 2k, S 2k 1 ], így S 2k 1 A a 2k a 2k 1 és S 2k A a 2k (k IN), azaz n IN esetén S n A a n. Ez hasznos lehet az alternáló sor összegének a becsléséhez. Megjegyezzük, hogy ( 1) n+1 1 a Leibniz-tétel szerint konvergens, de nem abszolút konvergens, mert 1 divergens. n n Definíció Azt mondjuk, hogy a n feltételesen konvergens, ha konvergens, de nem abszolút konvergens.

73 4.4. D 67 Végtelen sorok átrendezései Definíció A p : IN IN bijekciót (p kölcsönösen egyértelmű és R(p) = IN) a természetes számok permutációjának nevezzük. Például a 3, 2, 1, 6, 5, 4,..., 3k+3, 3k+2, 3k+1,... sorozat egy permutációja a természetes számoknak Definíció Legyen (a n ), (b n ) sorozat. Azt mondjuk, hogy (b n ) az (a n ) sorozat egy átrendezése, ha (p n ) permutációja a természetes számoknak, hogy (b n ) = (a pn ). Bizonyítás nélkül érvényesek a következő állítások Tétel Legyen a n abszolút konvergens sor. Akkor (p n ) permutáció esetén a pn is abszolút konvergens, sőt a pn = n=1 a n. E tétel szerint az abszolút konvergens sorok öröklik a véges sok szám összeadásánál teljesülő asszociativitást. Ezzel szemben a feltételesen konvergens sorok nagyon labilis képződmények. n= Tétel Legyen a n feltételesen konvergens sor. 1 o A IR számhoz (p n ) permutáció, hogy n=1 a p n = A. 2 o (p n ) permutáció, hogy a pn divergens.

74 68 FEJEZET 4. SOROZATOK, SOROK

75 5. fejezet Folytonosság 5.1. A A folytonosság a függvény lokális tulajdonsága. Azt fejezi ki, hogy egy a ponttól kicsit kimozdulva a függvényértékek az f(a) függvényértéktől keveset térnek el B Legyen f 1 : IR IR f 1 (x) := x, a := 2. Egy másik függvény pedig legyen f 2 : IR IR, 1, ha x < 2 f 2 (x) := 2, ha x = 2 3, ha x > 2 (5.1. ábra) Látható, hogy az f 1 függvény olyan, hogy ha x közel van az a := 2 ponthoz, akkor az 5.1. ábra. 69

76 70 FEJEZET 5. FOLYTONOSSÁG f 1 (x) = x függvényértékek is közel lesznek az f 1 (2) = 2 értékhez. Ugyanezt nem mondhatjuk el az f 2 függvényről. Akármilyen x számot veszünk is, amely közel van az a = 2 ponthoz (x 2), az f 2 (x) függvényértékek elég távol lesznek az f 2 (2) = 2 számtól (biztosan 1-nél távolabb). Az f 2 1 függvény viselkedése nyomán fogalmazzuk meg a folytonosság fogalmát. Legyen f : IR IR, a D(f). Azt mondjuk, hogy az f függvény folytonos az a pontban, ha tetszőleges ε > 0 hibakorláthoz van olyan δ > 0 ingadozási lehetőség, hogy minden olyan esetben, amikor x D(f) és x a < δ (az x az a ponthoz δ-nál közelebb van), akkor f(x) f(a) < ε (az f(x) függvényérték az f(a)-tól az ε hibahatáron belül tér csak el). Ezt a tulajdonságot f C[a] jelölje. Valóban f 1 C[2], hiszen ε > 0 számhoz δ := ε alkalmas, mert x IR, x 2 < δ esetén f 1 (x) f 1 (2) = x 2 < ε. Az f 2 / C[2], ugyanis például ε := 1 esetén δ > 0 2 kijelölése mellett van olyan x IR, például az x := 2 + δ, amelyre ugyan x 2 = δ < ε, 2 2 de f 2 (x) f 2 (2) = 3 2 > ε, ezért az f 2 függvény nem folytonos az a := 2 pontban. a) A folytonos függvény hasznos tulajdonsága a jeltartás. Ez azt jelenti, hogy ha f C[a] és f(a) > 0, akkor K(a) D(f) környezet, hogy x K(a) esetén f(x) > 0, azaz f(a) előjelét a környezetben felvett függvényértékek is öröklik. E tulajdonság belátásához elég a folytonosság definícióját ε := f(a) 2 > 0 hibakorlátra végiggondolni, hiszen ehhez δ > 0, hogy x K δ (a) esetén f(a) ε < f(x) < f(a) + ε, azaz 0 < f(a) 2 = f(a) ε < f(x). b) A folytonosság konvergens sorozatokkal is kapcsolatban van. Ha f C[a] és (x n ) D(f) tetszőlegesen felvett olyan sorozat, amelyre x n a, akkor f(x n ) f(a), azaz az (x n ) sorozaton tekintett függvényértékek sorozata f(a)-hoz tart. Megfordítva is igaz: ha (x n ) D(f), x n a esetén f(x n ) f(a), akkor f folytonos az a pontban. A folytonosság ezt a fajta jellemzését a lim f(x n ) = f(lim x n ) egyenlőség szimbolizálja. c) A műveletek során is öröklődik a folytonosság Tétel Ha f C[a] és λ IR, akkor λf C[a] Tétel Ha f, g C[a], akkor f + g C[a] és f g C[a] Tétel Ha f, g C[a] és g(a) 0, akkor f C[a]. g Tétel Ha g C[a], és f C[g(a)], akkor f g C[a].

77 5.3. C 71 Megjegyezzük, hogy a fordított állítások nem igazak. Például f := sgn és g := sgn esetén f +g az azonosan 0 függvény, amelyre nyilván f +g = 0 C[0], de f / C[0] és g / C[0]. Az inverz függvény folytonossága csak igen szűk feltételekkel igaz Tétel Legyen I IR intervallum, f : I IR szigorúan monoton. Tegyük fel hogy az a I pontban f C[a]. Legyen továbbá b := f(a). Ekkor f 1 C[b]. d) Legyen [a, b] D(f). Az f függvény folytonos az [a, b] zárt intervallumon, ha α [a, b] esetén f C[α]. Ezt jelöli az f C[a, b]. A korlátos, zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek szép tulajdonságai vannak Tétel (Bolzano) Ha f C[a, b] és f(a) < 0, f(b) > 0, akkor c (a, b) f(c) = 0. Ez speciális esete a szintén Bolzano-tételnek nevezett állításnak Tétel Legyen f C[a, b] és legyen d az f(a) és f(b) közötti tetszőleges szám. Ekkor c [a, b] olyan, hogy d = f(c). Ez a tétel azt mondja, hogy egy intervallumon folytonos függvény ha felvesz két értéket, akkor e két szám közötti minden értéket is felvesz, ami azt jelenti, hogy egy intervallum folytonos képe intervallum Tétel (Weierstrass) Ha f C[a, b], akkor α, β [a, b] olyan, hogy x [a, b] f(α) f(x) f(β). Ez a tétel azt mondja, hogy f [a,b] korlátos (hiszen f(α) és f(β) között van a függvény minden értéke), sőt van minimuma és van maximuma is az f [a,b] függvénynek. A Bolzano- és a Weierstrass-tétel következménye, hogy egy zárt, korlátos intervallum folytonos képe is zárt, korlátos intervallum C 1. Mutassuk meg, hogy az f : [0, + ) IR, f(x) := x függvény bármely a 0 pontban folytonos. Megoldás: Először megmutatjuk, hogy ha a := 0, akkor f C[0].

78 72 FEJEZET 5. FOLYTONOSSÁG Legyen ε > 0 tetszőleges. Ekkor x < ε x 0, x < δ, akkor f(x) f(0) = x < ε. Most legyen a > 0. Nyilván x 0 esetén x a = x a ( x + a) x + a = x < ε 2 miatt legyen δ := ε 2. Ha x a x + a x a a. Legyen ε > 0 tetszőleges. Tekintettel az előbbi egyenlőtlenségre, δ := ε a. Ekkor x 0, x a < δ esetén f(x) f(a) = x a x a a < δ a = ε, amely azt jelenti, hogy f C[a]. 2. Mutassuk meg, hogy az f : IR IR, f(x) := x 2 függvény bármely a IR pontban folytonos. Megoldás: Legyen (x n ) IR, x n a tetszőleges sorozat. Ekkor f(x n ) = (x n ) 2 = x n x n a a = f(a). Mivel (x n ) IR, x n a sorozat esetén f(x n ) f(a), ezért az átviteli elv szerint f C[a]. 3. Mutassuk meg, hogy az f : IR IR, f(x) := sin x függvény bármely a IR pontban folytonos. Megoldás: A szinuszfüggvény értelmezését felhasználva a 5.2 ábráról látszik a sin x sin a x a egyenlőtlenség a, x IR esetén. Legyen ε > 0 tetszőleges. Ha δ := ε, akkor x IR, x a < δ esetén f(x) f(a) = sin x sin a x a < ε, tehát f C[a]. 4. Legyen f : IR IR, f(x) := { sin x x ha x 0 1, ha x = 0. Mutassa meg, hogy f C[0]. 5. Legyen f : IR IR. Tegyük fel, hogy van olyan L > 0 szám, hogy s, t D(f) esetén f(s) f(t) L s t. Mutassuk meg, hogy a D(f) pontban f C[a]. 6. Mutassa meg, hogy az x 5 + 4x 3 = 0 egyenletnek van megoldása a [0, 1] intervallumon is. 7. Mutassuk meg, hogy ha f C[a, b], f kölcsönösen egyértelmű függvény, akkor f szigorúan monoton az [a, b] intervallumon.

79 5.4. D ábra D Legyen f : IR IR, a D(f) Definíció Azt mondjuk, hogy f folytonos az a pontban, ha ε > 0 δ > 0 x K δ (a) D(f) esetén f(x) K ε (f(a)). Jele: f C[a] Tétel (Átviteli elv) f C[a] (x n ) D(f), x n a esetén f(x n ) f(a). Biz.: ( ) Tegyük fel, hogy f C[a], és legyen (x n ) D(f), x n a tetszőleges sorozat. Tekintsünk egy ε > 0 számot. Mivel f C[a], ezért δ > 0 olyan, hogy x D(f), x a < δ esetén f(x) f(a) < ε. Az x n a miatt ehhez a δ > 0 számhoz N IN küszöbindex, hogy n > N esetén x n a < δ, de ekkor f(x n ) f(a) < ε. Ez éppen azt jelenti, hogy f(x n ) f(a). ( ) Most tegyük fel, hogy (x n ) D(f), x n a esetén f(x n ) f(a), de (indirekt módon) f / C[a]. Ez azt jelentené, hogy ε > 0 δ > 0 esetén x δ D(f), x δ K δ (a), de f(x δ ) / K ε (f(a)). Speciálisan: n IN esetén legyen δ := 1 n. Ekkor x n D(f), x n a < 1 n n) f(a) ε. Tekintsük az így nyert (x n ) D(f) sorozatot. Mivel x n a < 1 n (n IN), ezért x n a. Ugyanakkor az (f(x n )) sorozat határértéke nem lehet f(a), hiszen n IN esetén f(x n ) f(a) ε. Ez ellentmond feltételünknek, tehát f C[a].

80 74 FEJEZET 5. FOLYTONOSSÁG Műveletek folytonos függvényekkel Tétel Ha f C[a] és λ IR, akkor λf C[a]. Biz.: Legyen (x n ) D(λf) = D(f), amelyre x n a. Mivel f C[a], ezért f(x n ) f(a), amiből következik, hogy (λf)(x n ) = λf(x n ) λf(a) = (λf)(a). Tehát λf C[a] Tétel Ha f, g C[a], akkor f + g C[a] és f g C[a]. Biz.: Legyen (x n ) D(f + g) = D(f) D(g), amelyre x n a. Mivel f, g C[a], ezért f(x n ) f(a) és g(x n ) g(a), amiből következik, hogy (f + g)(x n ) = f(x n ) + g(x n ) f(a) + g(a) = (f + g)(a). Tehát f + g C[a]. (Szorzatra hasonlóan.) Tétel Ha g C[a] és g(a) 0, akkor 1 g C[a]. Biz.: Legyen g(a) > 0. Ekkor K(a) D(g), hogy x K(a) esetén g(x) > 0. Legyen (x n ) D(g) amelyre x n a. Nyilván n IN, hogy n > N esetén x n K(a), így g(x n ) > 0. Az ilyen n-ekre tehát 1 g C[a]. 1 g (x n) = 1 g(x n ) 1 g(a) = 1 g (a), Tétel Ha f, g C[a], g(a) 0, akkor f g C[a]. Biz.: Mivel f g = f 1 g és f, 1 g C[a], ezért f g C[a] Tétel g C[a], f C[g(a)] f g C[a]. Biz.: Legyen (x n ) D(f g) D(g), amelyre x n a. Ekkor (f g)(x n ) = f(g(x n ))) f(g(a)) = (f g)(a), hiszen (g(x n )) D(f) és g(x n ) g(a). Tehát f g C[a]. Intervallumon folytonos függvények tulajdonságai Definíció Legyen f : IR IR, A D(f). Azt mondjuk, hogy f folytonos az A halmazon, ha u A esetén f C[u]. Jele: f C(A).

81 5.4. D Tétel (Bolzano) Legyen f C[a, b], f(a) < 0 és f(b) > 0. Ekkor c [a, b], hogy f(c) = 0. Biz.: Tekintsük az [a, b] intervallum a+b 2 felezőpontját. Három eset lehetséges: vagy f( a+b a+b ) = 0, ekkor c := ; 2 2 vagy f( a+b 2 ) > 0, ekkor a 1 := a, b 1 := a+b 2 ; vagy f( a+b 2 ) < 0, ekkor a 1 := a+b 2, b 1 := b. A következő lépésben az [a 1, b 1 ] intervallum a 1+b 1 2 felezőpontját készítjük el. Ismét három eset lehetséges: vagy f( a 1+b 1 2 ) = 0, ekkor c := a 1+b 1 2 ; vagy f( a 1+b 1 2 ) > 0, ekkor a 2 := a 1, b 2 := a 1+b 1 2 ; vagy f( a 1+b 1 2 ) < 0, ekkor a 2 := a 1+b 1 2, b 2 := b 1. A felezési eljárást folytatva valamelyik lépésben eljutunk a c zérushelyhez, vagy kapunk egy (a n ) és egy (b n ) sorozatot, amelyre [a, b] [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ] [a n+1, b n+1 ]..., továbbá b 1 a 1 = b a 2, b 2 a 2 = b 1 a 1 2 = b a 2 2,..., b n a n = b a 2 n,..., amelyből következik, hogy lim(b n a n ) = 0. A Cantor-féle közösrész tétel szerint egyértelműen c [a, b], amelyre n IN [a n, b n ] = {c}, azaz lim a n = lim b n = c. Mivel f C[c], és n IN esetén f(a n ) < 0, ezért f(a n ) f(c) 0. Másrészt n IN esetén f(b n ) > 0, ezért f(b n ) f(c) 0. Ebből csak f(c) = 0 lehetséges Tétel (Bolzano 2.) Legyen f C[a, b] és d IR egy tetszőleges f(a) és f(b) közé eső szám. Ekkor c [a, b], amelyre f(c) = d. Biz.: Tegyük fel, hogy f(a) < f(b) és f(a) < d < f(b). Tekintsük a φ : [a, b] IR, φ(t) := f(t) d függvényt. φ C[a, b], φ(a) = f(a) d < 0, φ(b) = f(b) d > 0. A Bolzano 1. tétel szerint c (a, b), amelyre φ(c) = 0. Mivel 0 = φ(c) = f(c) d, ezért f(c) = d.

82 76 FEJEZET 5. FOLYTONOSSÁG Tétel (Weierstrass 1.) Legyen f C[a, b]. Ekkor f [a,b] korlátos függvény. Biz.: Indirekt módon, tegyük fel, hogy például f [a,b] felülről nem korlátos. Ekkor n IN számhoz x n [a, b] olyan, hogy f(x n ) > n. Nyilván (x n ) [a, b], tehát (x n ) korlátos sorozat, ezért a Bolzano Weierstrass-tétel szerint (i n ) indexsorozat, hogy (x in ) [a, b] konvergens. Legyen lim x in =: α [a, b]. Az f C[α] és x in α, ezért f(x in ) f(α). Az (i n ) szigorúan monoton növekedő, ezért i n n, ezért f(x in ) > i n n (n IN). Tehát (f(x in )) felülről nem korlátos sorozat, ami ellentmond annak, hogy f(x in ) f(α). Ellentmondásra jutottunk, tehát hamis az indirekt feltevés, azaz f [a,b] Tétel (Weierstrass 2.) korlátos. Legyen f C[a, b]. Ekkor α, β [a, b], hogy x [a, b] esetén f(α) f(x) f(β). Biz.: Az f [a,b] korlátos, ezért az {f(x) x [a, b]} halmaz korlátos, így sup{f(x) x [a, b]} =: M. Megmutatjuk, hogy az M IR számot a függvény fel is veszi. A halmaz felső határának tulajdonságai szerint 1 o x [a, b] esetén f(x) M; 2 o n IN esetén x n [a, b], hogy f(x n ) > M 1 n. Az (x n ) [a, b], korlátos sorozat, ezért (i n ) indexsorozat, hogy (x in ) konvergens. Legyen lim x in =: β [a, b]. Ekkor M 1 i n < f(x in ) M (n IN). A közrefogási elv szerint (mivel i n n, így 1 i n 0) f(x in ) M. Másrészt f C[β] miatt f(x in ) f(β). A sorozat határértéke egyértelmű, ezért f(β) = M. Hasonlóan látható be az α [a, b] létezése is. Ezekre a tételekre hivatkozva foglalkozhatunk egy függvény inverzének a folytonosságával. Megjegyezzük, hogy ha f C[a], b := f(a) és f 1 inverzfüggvény, akkor még lehet, hogy f 1 nem folytonos a b pontban. Ezt a helyzetet jól szemlélteti az f : (, 1) {0} (1, + ) IR x + 1, ha x < 1, f(x) := 0, ha x = 0, x 1, ha x > 1 függvény, amely folytonos a 0-ban, f(0) = 0, van is inverze a függvénynek: f 1 : IR IR x 1, ha x < 0, f 1 (x) := 0, ha x = 0, x + 1, ha x > 0,

83 5.4. D 77 de f 1 / C[0] Tétel Legyen f : [a, b] IR, f C[a, b], f szigorúan monoton. Ekkor f 1 C(R(f)). Biz.: Az f C[a, b], ezért a Bolzano- és a Weierstrass-tétel következményeként R(f) zárt, korlátos intervallum. Legyen [c, d] := R(f). Az f szigorúan monoton, ezért kölcsönösen egyértelmű, tehát f 1 : [c, d] [a, b]. Legyen v [c, d] tetszőleges, u := f 1 (v), és legyen (y n ) [c, d], y n v tetszőleges sorozat. Az f 1 inverzfüggvény v pontbeli folytonosságához (az átviteli elv szerint) elég belátni, hogy az x n := f 1 (y n ) f 1 (v) = u. Indirekt módon, tegyük fel, hogy (x n ) [a, b] sorozat nem tart u-hoz. Ekkor δ > 0 k IN n k > k, amelyre x nk u δ. Az (x nk ) k IN [a, b]\[u δ, u+δ] sorozat korlátos, ezért van konvergens részsorozata: (x nkl ). Legyen α := lim x nkl. Nyilván α [a, b], de α u. Az f C[α], ezért f(x nkl ) = y nkl f(α). Az (y nkl ) részsorozata a v-hez tartó (y n ) sorozatnak, ezért f(α) = v. Figyelembe véve, hogy f(u) = v, ellentmondásra jutottunk f kölcsönös egyértelműségével, tehát hamis az indirekt feltétel, azaz x n u, így f 1 C[v]. Egyenletes folytonosság Definíció Legyen f : IR IR, B D(f). Azt mondjuk, hogy f egyenletesen folytonos a B halmazon, ha ε > 0 δ > 0, hogy x, x f(x ) f(x ) < ε. B, x x < δ esetén Tétel Ha f egyenletesen folytonos a B halmazon, akkor f C(B). Biz.: Legyen b B és ε > 0 tetszőleges. Az f egyenletesen folytonos a B halmazon, ezért δ > 0, hogy x B esetén, amelyre x b < δ, teljesül, hogy f(x) f(b) < ε. Ez éppen azt jelenti, hogy f C(B). Megjegyezzük, hogy ha f C(B), akkor még lehet, hogy f nem egyenletesen folytonos a B halmazon. Ugyanis, az f : IR + IR, f(x) := x 2 függvény a B := IR + minden pontjában folytonos, de nem egyenletesen folytonos a B halmazon. Ennek igazolásához legyen ε := 1 2 és δ > 0 tetszőleges. Nyilván n IN, amelyre n > 1 2δ. Legyen x := n és x := n + δ 2. Ekkor x x = δ 2 f(x ) f(x ) = < δ, de ( n + δ ) 2 n 2 = nδ + δ2 2 4 > nδ > 1 2δ δ = 1 2 = ε. Mivel ε > 0, hogy δ > 0 esetén találtunk olyan x, x IR + számokat, amelyekre ugyan x x < δ, de f(x ) f(x ) ε, ezért ez a folytonos f függvény nem egyenletesen folytonos az IR + halmazon.

84 78 FEJEZET 5. FOLYTONOSSÁG Tétel (Heine) Ha f C[a, b], akkor f egyenletesen folytonos az [a, b] intervallumon. Biz.: Indirekt módon, tegyük fel, hogy f nem egyenletesen folytonos az [a, b] zárt intervallumon. Ekkor ε > 0, hogy δ > 0 számhoz x, x [a, b], amelyekre ugyan x x < δ, de f(x ) f(x ) ε. Legyen n IN esetén δ := 1. Akkor ehhez a δ-hoz n is x n, x n [a, b], amelyekre x n x n < 1, de n f(x n) f(x n) ε. Vizsgáljuk meg az (x n) és (x n) sorozatokat! Mivel (x n) [a, b], ezért (i n ) indexsorozat, hogy (x i n ) konvergens. Legyen lim x i n =: α [a, b]. Megmutatjuk, hogy ugyanezzel az (i n ) indexsorozattal az (x i n ) részsorozat is konvergens, sőt lim x i n = α. Ugyanis n IN esetén x i n α x i n x i n + x i n α < 1 i n + x i n α. 1 Mivel i n 0, x i n α 0, ezért összegük is 0-hoz tart, ezért x i n α 0. Tehát x i n α, x i n α, ezért f C[α] miatt f(x i n ) f(α) és f(x i n ) f(α), amelyből f(x i n ) f(x i n ) 0 következik. Ez azonban lehetetlen, hiszen n IN esetén f(x n) f(x n) ε. Az ellentmondás azt jelenti, hogy hamis az indirekt feltevés, tehát igaz az állítás.

85 6. fejezet Függvény határértéke 6.1. A Egy függvény határértéke az a pontban A, ha az a-hoz közeli helyeken a függvény A-hoz közeli értékeket vesz fel B Vizsgáljunk meg három, egymáshoz nagyon hasonló függvényt. Legyen f 1 : IR IR f 1 (x) := x + 2, f 2 : IR \ {2} IR f 2 (x) := x2 4 x 2 f 3 : IR IR f 3 (x) := { = (x 2)(x+2) x 2 = x + 2, x + 2, ha x 2 1, ha x = 2. (6.1. ábra) A függvények a := 2 pont körüli viselkedésére vagyunk kíváncsiak. Az f 1 folytonos a 2 pontban, ami azt jelenti, hogy ha x közel van a 2-höz, akkor az f 1 (x) = x + 2 értékek közel esnek a 4-hez, amely éppen f 1 (2). Az f 2 függvény ugyan nincs értelmezve a 2-ben, de ha x közel van a 2-höz, az f 2 (x) = x+2 értékek egy szám, ebben az esetben a 4 körül keveset ingadoznak. Az f 3 függvény a 2-ben is értelmezve van. Ha x közel van a 2-höz (de x 2), akkor az f 3 (x) = x + 2 értékek (az f 1 és f 2 függvényhez hasonlóan) a 4 körül keveset ingadoznak (függetlenül attól, hogy f(2) = 1). 79

86 80 FEJEZET 6. FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE 6.1. ábra. A példákban tapasztalt jelenségek nyomán alakítjuk ki a függvény határértékének fogalmát. Olyan f : IR IR függvényeket vizsgálunk, melyek D(f) értelmezési tartományában az a IR ponthoz tetszőlegesen közel is vannak attól különböző pontok (esetleg a / D(f)) Definíció Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a pontban van határértéke, ha van olyan A IR szám, hogy bármely ε > 0 hibakorláthoz van olyan δ > 0 ingadozási lehetőség, hogy minden olyan x D(f) pontban, amely δ-nál közelebb van az a-hoz ( x a < δ), de x a, az f(x) függvényértékek az ε hibakorlátnál kevesebbel térnek el A-tól ( f(x) A < ε). Az f függvénynek ezt a tulajdonságát a lim a f = A; lim f(x) = A; x a ha x a, akkor f(x) A jelölések valamelyikével fejezzük ki. Ha összevetjük az f függvény határértékének fogalmát a folytonosság értelmezésével, akkor látható, hogy lim a f = A éppen azt jelenti, hogy az f függvény helyett egy { f(x), ha x a f : D(f) {a} IR, f(x) := A, ha x = a függvényt tekintve, az f függvény az a pontban folytonos lesz. Más szóval, akkor van határértéke az f függvénynek az a pontban, ha folytonossá tehető az a-ban. Ebből az észrevételből fakad, hogy a határértékkel végzett műveletek visszavezethetők a folytonos függvényekkel végzett műveletekre.

87 6.2. B Tétel Ha lim a f = A és λ IR, akkor lim a λf = λa Tétel Ha lim a f = A és lim a g = B, akkor lim a (f + g) = A + B Tétel Ha lim a f = A és lim a g = B, akkor lim a f g = AB Tétel Ha lim a g = B és B 0, akkor lim a 1 g = 1 B Tétel Ha lim a f = A és lim a g = B, B 0, akkor lim a f g = A B Tétel Ha lim a g = B és f C[b], akkor lim a f g = f(b). (A tételekben szereplő feltételeknek és állításnak is értelmesnek kell lennie, ezeket a D) részben pontosan is megfogalmazzuk.) Látszik, hogy a határérték fogalma a függvényértékek változásának tendenciáját tartja szem előtt. Az úgynevezett véges helyen vett véges határérték fogalmát (ezzel foglalkoztunk eddig) kiterjeszthetjük. Tekintsük át ezeket a lehetőségeket: Legyen f : IR IR. 1 o Ha D(f) felülről nem korlátos halmaz, és van olyan A IR, hogy bármely ε > 0 hibakorláthoz van olyan ω IR küszöbszám, hogy minden x > ω, x D(f) pontban f(x) A < ε, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke (+ )-ben A. Jele: lim + f = A vagy lim x + f(x) = A vagy x + esetén f(x) A. Például lim x + 1 x = 0. 2 o Ha D(f) alulról nem korlátos halmaz, és van olyan A IR, hogy bármely ε > 0 hibakorláthoz van olyan ω IR küszöbszám, hogy minden x < ω, x D(f) pontban f(x) A < ε, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke ( )-ben A. Jele: lim f = A vagy lim x f(x) = A vagy x esetén f(x) A. Például lim x 1 x = 0. 3 o Ha a IR és a D(f) értelmezési tartományban az a-hoz akármilyen közel is található pont az a ponton kívül is, és teljesül, hogy bármely K IR számhoz van olyan δ > 0 ingadozási lehetőség, hogy minden x D(f), x a, de x a < δ pontban f(x) > K, akkor azt mondjuk, hogy az f határértéke az a-ban +. Jele: lim a f = + vagy lim x a f(x) = + vagy x a esetén f(x) +. Például lim x 0 1 x 2 = +. 4 o Ha a IR és a D(f) értelmezési tartományban az a-hoz akármilyen közel is található pont az a ponton kívül is, és teljesül, hogy bármely K IR számhoz van

88 82 FEJEZET 6. FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE olyan δ > 0 ingadozási lehetőség, hogy minden x D(f), x a, de x a < δ pontban f(x) < K, akkor azt mondjuk, hogy az f határértéke az a-ban. Jele: lim a f = vagy lim x a f(x) = vagy x a esetén f(x). Például lim x 0 ( 1 ) =. x 2 5 o Ha D(f) felülről nem korlátos, és bármely K IR számhoz van olyan ω IR küszöbszám, hogy minden x > ω, x D(f) pontban f(x) > K, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke (+ )-ben +. Jele: lim + f = + vagy lim x + f(x) = + vagy x + esetén f(x) +. Például lim x + x 2 = +. 6 o Ha D(f) alulról nem korlátos, és bármely K IR számhoz van olyan ω IR küszöbszám, hogy minden x < ω, x D(f) pontban f(x) > K, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke ( )-ben +. Jele: lim f = + vagy lim x f(x) = + vagy x esetén f(x) +. Például lim x x 2 = +. 7 o Ha D(f) felülről nem korlátos, és bármely K IR számhoz van olyan ω IR küszöbszám, hogy minden x > ω, x D(f) pontban f(x) < K, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke (+ )-ben. Jele: lim + f = vagy lim x + f(x) = vagy x + esetén f(x). Például lim x + ( x 2 ) =. 8 o Ha D(f) alulról nem korlátos, és bármely K IR számhoz van olyan ω IR küszöbszám, hogy minden x < ω, x D(f) pontban f(x) < K, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke ( )-ben. Jele: lim f = vagy lim x f(x) = vagy x esetén f(x). Például lim x ( x 2 ) =. Előfordul, hogy az a IR pont tetszőleges közelségében, a-tól jobbra és balra is van értelmezési tartománybeli pont, de az f függvénynek nincs határértéke az a-ban. Néha ilyenkor is mondhatunk valamit a függvény viselkedéséről. 9 o Ha az a IR olyan, hogy a-hoz tetszőlegesen közel is van x D(f), x > a pont és van olyan A IR szám, hogy bármely ε > 0 hibakorlát esetén van olyan δ > 0 ingadozási lehetőség, hogy minden x D(f), a < x < a+δ pontban f(x) A < ε, akkor azt mondjuk, hogy f-nek az a-beli jobb oldali határértéke A. Jele: lim a+0 f = A vagy lim x a+0 f(x) = A. Néha f(a + 0) jelöli az f a-beli jobb oldali határértékét. [Hagyományosan a = 0 esetén helyett csak 0+ áll

89 6.2. B 83 mindenütt.] Például az f : IR IR, f(x) := { 1, ha x 0 1, ha x < 0 függvénynek 0-ban nincs határértéke, de lim x 0+ f(x) = 1 vagy f(0+) = o Ha az a IR olyan, hogy a-hoz tetszőlegesen közel is van x D(f), x > a pont, és bármely K IR számhoz van olyan δ > 0 ingadozási lehetőség, hogy minden x D(f), a < x < a + δ esetén f(x) > K, akkor azt mondjuk, hogy az f jobb oldali határértéke a-ban +. Jele: lim a+0 f = + vagy lim x a+0 f(x) = +. Például nem létezik a lim x 0 1 x, de lim x 0+ 1 x = o Ha az a IR olyan, hogy a-hoz tetszőlegesen közel is van x D(f), x > a pont, és bármely K IR számhoz van olyan δ > 0 ingadozási lehetőség, hogy minden x D(f), a < x < a + δ esetén f(x) < K, akkor azt mondjuk, hogy az f jobb oldali határértéke a-ban. Jele: lim a+0 f = vagy lim x a+0 f(x) =. Például nem létezik a lim x 0 ( 1 x ), de lim x 0+( 1 x ) =. 12 o Ha az a IR olyan, hogy a-hoz tetszőlegesen közel is van x D(f), x < a pont, és van olyan A IR, hogy tetszőleges ε > 0 hibakorláthoz van olyan δ > 0 ingadozási lehetőség, hogy minden x D(f), a δ < x < a pontban f(x) A < ε, akkor azt mondjuk, hogy az f bal oldali határértéke az a-ban A. Jele: lim a 0 f = A vagy lim x a 0 f(x) = A. Néha f(a 0) jelöli az f a-beli bal oldali határértékét. [Hagyományosan a = 0 esetén 0 0 helyett 0 áll mindenütt.] Például a 9 o definíció utáni példában lim x 0 f(x) = 1 vagy f(0 ) = o Ha az a IR olyan, hogy a-hoz tetszőlegesen közel is van x D(f), x < a pont, és bármely K IR számhoz van olyan δ > 0 ingadozási lehetőség, hogy minden x D(f), a δ < x < a pontban f(x) > K, akkor azt mondjuk, hogy f bal oldali határértéke az a-ban +. Jele: lim a 0 f = + vagy lim x a 0 f(x) = +. Például lim x 0 ( 1 x ) = o Ha az a IR olyan, hogy a-hoz tetszőlegesen közel is van x D(f), x < a pont, és bármely K IR számhoz van olyan δ > 0 ingadozási lehetőség, hogy minden x D(f), a δ < x < a pontban f(x) < K, akkor azt mondjuk, hogy f bal oldali határértéke az a-ban.

90 84 FEJEZET 6. FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE Jele: lim a 0 f = vagy lim x a 0 f(x) =. Például lim x 0 1 x =. Ikonszerűen összefoglaljuk a határérték eseteket (6.2. ábra). Könnyen látható, hogy ha a D(f), és létezik a lim a f, akkor az f függvény pontosan akkor folytonos az a pontban, ha lim a f = f(a). Az egyoldali határértékek és a határérték kapcsolata is megfogalmazható: Ha létezik a lim a 0 f és a lim a+0 f is, és lim a 0 f = lim a+0 f, akkor van határértéke az f függvénynek az a-ban, és lim a f = lim a 0 f = lim a+0 f. Megjegyezzük, hogy ha az a IR olyan, hogy csak az egyik oldali határérték vethető fel az a-ban, és ez a határérték létezik is, akkor ez éppen az f függvény a-beli határértéke lesz. A sorozatok olyan függvények, amelyek értelmezési tartománya IN. Az IN felülről nem korlátos, ezért az a : IN IN függvénynek, azaz az (a n ) sorozatnak vizsgálható a határértéke (+ )-ben. Összevetve az a n A vagy a n + vagy a n definícióját a függvény (+ )-beli határértékének meghatározásaival, azt kapjuk, hogy lim a n = A lim a = A + lim a n = + lim a = + + lim a n = lim a = C 1. lim x 2 2x 2 x 6 x 2 x 2 =? lim x 2x2 x 6 x 2 x 2 =? 2. lim x 1 x 4 2x 2 3 x 2 3x+2 =? lim x 2 0 x4 2x 2 3 x 2 3x+2 =? lim x 2+0 x4 2x 2 3 x 2 3x+2 =? 3. lim x 1 ( 3 1 x x 2 ) =? 4. lim x 0 sin 3x x =? lim x 0 sin 3x sin 5x =? lim x 0 tg2x x =? 5. lim x 0 1 cos x x 2 =? lim x 0 tgx sin x x 3 =? 6. lim x 0 e 2x 1 x =? lim x 0 2 x 1 x =? 7. lim x 0 sh(x+2) sh(x 2) =?

91 6.3. C ábra.

92 86 FEJEZET 6. FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE 8. lim x + x2 + 2 x 2 + 2x 3 =? lim x x2 + 2 x 2 + 2x 3 =? 9. Van-e olyan k IR, hogy létezzen a és valós szám legyen a határérték? x 3 9x 2 + kx 27 lim x 3 x 2 6x D A valós számok halmazát kibővítjük. Legyen IR := IR {, + }. Az IR halmazon is lesz összeadás és szorzás. 1 o a, b IR esetén a b := a + b 2 o a IR esetén a (+ ) := + és a ( ) := 3 o (+ ) (+ ) := + és ( ) ( ) := 4 o a, b IR esetén a b := a b 5 o a IR \ {0} esetén a (+ ) := +, ha a > 0 a (+ ) :=, ha a < 0 a ( ) :=, ha a > 0 a ( ) := +, ha a < 0 6 o (+ ) (+ ) := +, (+ ) ( ) :=, ( ) ( ) := + 7 o x IR esetén < x < +. Megjegyezzük, hogy és a felsorolt esetekben kommutatív. Ne is keressük a (+ ) ( ) és a 0 (± ) értelmezését, és továbbra sem definiáljuk a 0 0, (± ) (± ), 00, 1 (± ), (± ) 0, 0 (± ) értékeit! Az IR halmazban értelmezzük a pont környezetét. Legyen a IR, r IR, r > 0.

93 6.4. D Definíció Az a pont r sugarú környezete legyen Legyen A IR és a IR. (a r, a + r), ha a IR K r (a) := ( 1, + ), ha a = + r (, 1), ha a = r Definíció Azt mondjuk, hogy a torlódási pontja az A halmaznak, ha r > 0 esetén (K r (a) A) \ {a}. Továbbá legyen A := {a IR a torlódási pontja az A-nak} az A deriválthalmaza. A B) részben bemutatott határérték eseteket ezután egységes definícióba foglalhatjuk. Legyen f IR IR, a IR, a Ḋ(f) Definíció Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az értelmezési tartomány a torlódási pontjában van határértéke, ha A IR ε > 0 δ > 0 x (K δ (a) \ {a}) D(f) esetén f(x) K ε (A). Legyen f IR IR, a IR, a (D(f) (a, + )) Definíció Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a pontban van jobb oldali határértéke, ha A IR ε > 0 δ > 0 x K δ (a) D(f), x > a esetén f(x) K ε (A). Legyen f IR IR, a IR, a (D(f) (, a)) Definíció Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a pontban van bal oldali határértéke, ha A IR ε > 0 δ > 0 x K δ (a) D(f), x < a esetén f(x) K ε (A). Könnyen látható, hogy és lim a+0 f lim a f D(f) (a,+ ) lim a 0 f lim a f D(f) (,a). A függvény határértékét is sorozatokkal lehet jellemezni Tétel (Határértékre vonatkozó átviteli elv) Legyen f IR IR, a Ḋ(f), A IR lim a f = A (x n ) D(f) \ {a}, x n a esetén f(x n ) A.

94 88 FEJEZET 6. FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE Biz.: ( ) Legyen (x n ) D(f) \ {a}, x n a tetszőleges sorozat. Mivel lim a f = A, ezért ε > 0 δ > 0 olyan, hogy x (K δ (a) \ {a}) D(f) esetén f(x) K ε (A). Az x n a, ezért ehhez a δ > 0 számhoz is N IN küszöbindex, hogy n > N esetén x n K δ (a), sőt x n a és x n D(f). Akkor f(x n ) K ε (A). Ez éppen azt jelenti, hogy f(x n ) A. ( ) Tegyük fel, hogy (x n ) D(f) \ {a}, x n a esetén f(x n ) A, de (indirekt módon) lim a f A. Ez azt jelentené, hogy ε > 0 δ > 0 esetén x (K δ (a) \ {a}) D(f), amelyre f(x) K ε (A). Emiatt n IN esetén a δ := 1 > 0 számhoz is x n n K 1 (a), n x n a, x n D(f) olyan, hogy f(x n ) / K ε (A). Nyilván az ilyen (x n ) sorozatra x n a, de az ezen a sorozaton tekintett (f(x n )) függvényértékek sorozatára f(x n ) A, hiszen n IN esetén f(x n ) / K ε (A). Ez ellentmond a feltételünknek, így igaz az állítás. Megjegyezzük, hogy a lim x a f(x) = A jelölést az átviteli elvből származtathatjuk. Ugyanis (x n ) sorozatra lim xn a f(x n ) = A lenne az állítás. (Az n-et elhagyva kapjuk a határértéket. Az x a x tart az a-hoz kifejezés mögött is minden esetben egy olyan tetszőleges (x n ) sorozatot értsünk, amelyre x n a.) Műveletek függvények határértékével Tétel Ha lim a f = A és λ IR, akkor { λ A, ha λ 0 lim λf = a 0, ha λ = 0 Biz.: Legyen (x n ) D(f) \ {a}, x n a tetszőleges sorozat. Ekkor λ 0 esetén (λf)(x n ) = λf(x n ) λ A, ezért lim a λf = λ A. Ha λ = 0, akkor 0 f = 0 függvény, amelyre lim a 0 = Tétel Ha lim a f = A, lim a g = B, és a (D(f) D(g)), akkor lim a (f +g) = A B. Biz.: Legyen (x n ) (D(f) D(g))\{a}, x n a tetszőleges sorozat. Ekkor (f +g)(x n ) = f(x n ) + g(x n ) A B, ezért lim a (f + g) = A B. (Szorzatra hasonlóan.) Tétel Ha lim a g = B, B 0, akkor lim a 1 g = { 1 B, ha B IR \ {0} 0, ha B = + vagy.

95 6.4. D 89 Biz.: Mivel lim a g 0, ezért K(a) olyan, hogy x K(a) (D(g)\{a}) esetén g(x) 0. Ekkor K(a) (D(g)\{a}) D( 1 g ). Az a a torlódási pontja volt a D(g)-nek, így a Ḋ( 1 g ). Legyen (x n ) D( 1 g ) \ {a}, x n a tetszőleges sorozat. Tehát igaz az állítás. 1 g (x n) = 1 g(x n ) { 1, ha B IR \ {0} B 0, ha B = + vagy Tétel Ha lim a g = b, b IR és f C[b], akkor lim a f g = f(b). Biz.: Legyen (x n ) D(f g) \ {a}, x n a tetszőleges sorozat. Mivel D(f g) D(g), ezért g(x n ) b. Az f C[b], így (f g)(x n ) = f(g(x n )) f(b). Tehát lim a f g = f(b). [Megjegyezzük, hogy f, f g függvények határértéke nagy körültekintést igényel, az ilyenekre vonatkozó határértéktételek csak körülményesen fogalmazhatók meg.] g Tétel (Monoton függvény határértéke) Legyen a, b IR, f : (a, b) IR monoton függvény. Ekkor lim a f és lim b f. Biz.: Tegyük fel, hogy f monoton fogyó. Legyen sup f := { sup{f(x) x (a, b)}, +, ha R(f) felülről korlátos, ha R(f) felülről nem korlátos. A sup f értelmezéséből következik, hogy ε > 0 x 0 (a, b) olyan, hogy f(x 0 ) K ε (sup f). Legyen δ > 0 olyan, hogy (a, x 0 ) = K δ (a) (a, b). Ekkor f monoton fogyása miatt x K δ (a) (a, b) esetén x < x 0, ezért ha f(x 0 ) K ε (sup f) és f(x) f(x 0 ), akkor f(x) K ε (sup f) is teljesül. Tehát ε > 0 δ > 0 x K δ (a) (a, b) esetén f(x) K ε (sup f), így lim a f = sup f. Hasonlóan látható be a lim b f létezése is.

96 90 FEJEZET 6. FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE

97 7. fejezet Differenciálhatóság 7.1. A A differenciálhatóság a függvény simaságát jelenti. A differenciálható függvény folytonos, és nincs rajta törés, csúcs B Vizsgáljunk meg két egyszerű függvényt: f 1 : IR IR, f 1 (t) := t 2, és f 2 : IR IR, f 2 (t) := t. Rögzítsük az x := 0 pontot. Könnyen ellenőrizhető, hogy f 1 és f 2 is páros; alulról korlátos és felülről nem korlátos; a pozitív számok halmazán növekvő, a negatív számok halmazán fogyó; az x = 0 pontban minimuma van, és a minimum értéke 0; az x = 0 pontban folytonos. Szembetűnő a sok hasonlóság ellenére, hogy az x = 0 pontban az f 1 függvény sima, az f 2 függvénynek pedig törése van. Van-e olyan műszer, amely kimutatja, hogy egy függvény valamely pontban sima, egy másik pedig nem? Legyen f : IR IR tetszőleges függvény, x D(f) egy rögzített pont. Az f függvény x-hez tartozó különbségihányados-függvénye legyen a K f x : D(f) \ {x} IR K f x (t) := f(t) f(x) t x függvény. Vizsgáljuk meg ezzel a műszerrel az f 1 és f 2 függvényt az x := 0 pont esetén (7.1. ábra)! Látjuk, hogy a sima f 1 függvény esetén van határértéke (folytonossá tehető) a K f 1 0 különbségihányados-függvénynek, míg a töréssel rendelkező f 2 függvény K f 2 0 különbségi- 91

98 92 FEJEZET 7. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG 7.1. ábra. hányados-függvényének nincs határértéke a 0 pontban. Ez a vizsgálat motiválja, hogy azokat a függvényeket, amelyek különbségihányados-függvényének van határértéke abban a pontban, amelyhez tartozik, differenciálhatónak nevezzük az adott pontban. Az f D[x] jelölje ezt a tulajdonságot. Ha f D[x], akkor a különbségi hányados határértékét az f függvény x pontbeli differenciálhányadosának nevezzük: f(t) f(x) lim t x t x =: f (x). Könnyen beláthatjuk, hogy t x esetén t x 0, de f(t) f(x) mégsem lesz végtelen, ez t x csak úgy lehet, ha f(t) f(x) 0, ami azt jelenti, hogy ha az f függvény differenciálható az x pontban, akkor ott folytonos is. Honnan került elő az a műszer, amely alkalmas egy függvény simaságát kimutatni? Először egy geometriai megközelítést mutatunk be. Legyen f D[x]. A koordináta-rendszer (x, f(x)) és a tőle különböző (t, f(t)) pontjain át fektessünk egy egyenest (szelőt). Az

99 7.2. B ábra. egyenes meredeksége (iránytangense) [Ezt jelöltük K f x (t)-vel.] f(t) f(x). t x Ha t tart az x-hez, akkor a szelők tartanak egy határhelyzethez, amit érintőnek neveznek, így a szelők meredeksége is tart az érintő meredekségéhez (7.2. ábra). [Ezt a határértéket neveztük el differenciálhányadosnak.] A másik egy fizikai interpretáció legyen. Tegyük fel, hogy egy pont mozgását a t s(t) út-idő függvény írja le. A [t 0, t] időintervallumban az átlagsebesség a megtett s(t) s(t 0 ) út és a megtételéhez szükséges t t 0 idő hányadosa, azaz s(t) s(t 0 ) t t 0. [Gyakran ezt a hányadost s jelöli.] Ha minden határon túl rövidítjük az időintervallumot, az átlagsebesség egy szám körül keveset ingadozik (feltéve, hogy sima volt az t út-idő függvény), ezt a számot nevezik pillanatnyi sebességnek: s(t) s(t 0 ) s lim =: v(t 0 ) vagy lim t t 0 t t 0 t 0 t = v. [Látható, hogy a pillanatnyi sebesség az átlagsebesség határértéke és az út-idő függvény differenciálhányadosa: s (t 0 ) = v(t 0 ).]

100 94 FEJEZET 7. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Az f : IR IR, f(t) := t 2 függvény nem csak az x := 0 pontban tűnik simának. Legyen x IR egy tetszőleges valós szám. Nézzük meg, hogy az f függvény x-hez tartozó különbségihányadosának van-e határértéke! f(t) f(x) lim t x t x Tehát f D[x] és f (x) = 2x. t 2 x 2 = lim t x t x = lim (t x)(t + x) t x t x = lim t x (t + x) = 2x. Azt a függvényt, amely minden x pontban (ahol a függvény differenciálható) megadja az x-beli differenciálhányadost, az f függvény deriváltjának nevezik, és f -vel jelölik. Példánkban f : IR IR, f (x) = 2x. Gyakran az f : IR IR, f(t) := t 2 függvényt röviden x 2 függvényként emlegetik, a deriváltját pedig (x 2 ) jelöli. Ezzel a megállapodással (x 2 ) = 2x. További példák. Legyen f : IR IR, f(t) := t 3, x IR. f(t) f(x) lim t x t x t 3 x 3 = lim t x t x = lim (t x)(t 2 + tx + x 2 ) t x t x tehát f D[x] és f (x) = 3x 2, vagy röviden (x 3 ) = 3x 2. Legyen f : IR IR, f(t) := sin t, x IR. f(t) f(x) lim t x t x = lim t x (t 2 + tx + x 2 ) = 3x 2, cos t+x 2 sin t sin x 2 sin t x 2 = lim = lim = t x t x t x t x ( sin t x 2 = lim t x t x cos t + x ) = 1 cos x = cos x. 2 2 (Az átalakítás során a trigonometrikus függvények addíciós tételeinek egy következményét sin u használtuk. Mivel lim u 0 = 1, ezért t x esetén az u := t x sin 0, így lim t x 2 u 2 t x t x = 2 1.) Tehát f D[x], azaz a szinusz függvény minden x IR pontban differenciálható, és f (x) = cos x, vagy röviden (sin x) = cos x. Hasonló gondolatmenettel egy sereg függvény differenciálhatóságát ki lehet mutatni, és a számolások eredményeként a deriváltakat is megkapjuk.

101 7.2. B 95 Néhány fontos függvény deriváltját tartalmazza a következő összefoglaló: (x α ) = αx α 1 α IR (ln x) = 1 x (sin x) = cos x (log a x) = 1 x ln a (a > 0, a 1) (cos x) = sin x (arcsin x) = 1 1 x 2 (e x ) = e x (arccos x) = 1 1 x 2 (a x ) = a x ln a (a > 0) (arctg x) = 1 1+x 2 (tg x) = 1 cos 2 x (arsh x) = 1 x 2 +1 (ctg x) = 1 sin 2 x (arch x) = 1 x 2 1 (x > 1) (sh x) = ch x (arth x) = 1 2 (ch x) = sh x ln 1+x 1 x ( 1 < x < 1) (th x) = 1 ch 2 x Differenciálható függvényekkel végzett műveletek eredményeként gyakran kapunk differenciálható függvényt. Például ha f, g D[x], akkor (f + g)(t) (f + g)(x) f(t) f(x) + g(t) g(x) lim = lim t x t x t x t x f(t) f(x) g(t) g(x) = lim + lim = f (x) + g (x). t x t x t x t x Tehát az f + g függvény is differenciálható az x pontban és (f + g) (x) = f (x) + g (x). Ehhez hasonlóan igazolható még néhány tétel: Tétel Ha f D[x] és λ IR, akkor λf D[x] és (λf) (x) = λf (x) Tétel Ha f, g D[x], akkor f + g D[x] és (f + g) (x) = f (x) + g (x), továbbá f g D[x] és (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Tétel Ha g D[x] és g(x) 0, akkor 1 g D[x] és ( 1 g ) (x) = g (x) g 2 (x) Tétel Ha f, g D[x] és g(x) 0, akkor f g D[x] és ( f g ) (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g 2 (x). =

102 96 FEJEZET 7. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Tétel Ha g D[x] és f D[g(x)], akkor f g D[x] és (f g) (x) = f (g(x)) g (x) Tétel Ha f D[x], f (x) 0, és létezik az f 1 inverzfüggvény, akkor az u := f(x) jelöléssel f 1 D[u], és (f 1 ) (u) = 1 f (x) = 1 f (f 1 (u)). Milyen előny származik abból, ha egy függvényről tudjuk, hogy differenciálható (sima), és ismerjük a deriváltját? a) Legyen f D[x]. Akkor ez azt jelenti, hogy ha t közel van az x-hez, akkor f(t) f(x) t x közel van f (x)-hez. Ez indokolja a differenciálhatóság egy további szemléletes és hasznos jelentését. Ugyanis ha t x, akkor f(t) f(x) t x f (x), amiből f(t) f(x) f (x)(t x) vagy f(t) f(x) + f (x)(t x) következik. Ez azt jelenti, hogy x-hez közeli t pontokban a függvényérték egy legfeljebb elsőfokú polinom (egyenes) helyettesítési értékével közelíthető. Az e x (t) := f(x) + f (x)(t x) (t IR) az f függvény (x, f(x)) pontjához tartozó érintője. b) A derivált előjeléből következtethetünk a függvény növekedésére. Legyen f D[x] és f (x) > 0. Ekkor f(t) f(x) t x f (x), ha t x. Mivel f (x) > 0, ezért f(t) f(x) > 0, ha t x. Ez azt jelenti, hogy ha t t x 1 < x, akkor f(t 1 ) < f(x) és ha t 2 > x, akkor f(t 2 ) > f(x). Tehát bármely t 1, t 2 pontra, ahol t 1 és t 2 is közel van az x-hez és t 1 < x < t 2, f(t 1 ) < f(x) < f(t 2 ). Igazolható az is, hogy ha f (x) > 0 egy I intervallum minden x I pontjában, akkor az f függvény monoton növekedő az I intervallumon, azaz bármely x 1, x 2 I, x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) < f(x 2 ). c) Lokális szélsőérték keresésére is alkalmas a derivált. Egy f függvénynek az a D(f) pontban lokális minimuma van, ha van olyan, az a pontot körülvevő intervallum, hogy ebből vett bármely x értelmezési tartománybeli pontra f(x) f(a). Ha f D[a], és az f függvénynek minimuma van az a pontban, akkor f (a) = 0. Ugyanis ha f (a) 0, például f (a) > 0 lenne, akkor lenne olyan t 1 < a < t 2, a-hoz közeli két pont, amelyekre f(t 1 ) < f(a) < f(t 2 ), amely ellentmond annak, hogy f-nek a-ban lokális minimuma van. Tehát egy nyílt intervallum minden pontjában differenciálható függvénynek csak ott

103 7.2. B 97 lehet lokális szélsőértéke, ahol a deriváltja 0. Vigyázat! Ha f D[a] és f (a) = 0, akkor az a-ban lehet, hogy nincs szélsőérték. Például az f : IR IR, f(t) := t 3 esetén (t 3 ) = 3t 2, ezért f (0) = = 0, de az f függvénynek nincs lokális szélsőértéke a 0-ban. d) A függvény alakjára is következtethetünk a deriváltjából. Az f függvényt konvexnek nevezzük az I intervallumon, ha bármely x 1, x 2 I, x 1 < x 2 esetén az (x 1, f(x 1 )) és (x 2, f(x 2 )) pontot összekötő húr alatt marad a függvény grafikonja az [x 1, x 2 ] intervallumon. Igazolható, hogy egy differenciálható f függvény pontosan akkor konvex az I intervallumon, ha az f deriváltja monoton növekedő ezen az intervallumon. Az f függvény monoton növekedésére a deriváltjának előjeléből következtethetünk. Ha az f differenciálható függvény, akkor bevezetve az f := (f ) második deriváltat, igaz lesz az a tétel, hogy f (x) > 0 (x I) esetén f konvex az I intervallumon. (Értelemszerűen megfogalmazhatjuk a konkáv függvény fogalmát, és ilyen függvényre is hasonló elégséges feltétel adható.) Az olyan a D(f) pontot, amelyet megelőző és az őt követő intervallumokon az f függvény alakja eltérő (vagy konvexből konkávba, vagy konkávból konvexbe megy át a függvény), inflexiós pontnak nevezzük. Például az f(x) = x 3 függvénynek 0-ban inflexiója van. Igazolható, hogy ha az a D(f) inflexiós pontja a kétszer differenciálható f függvénynek, akkor f (a) = 0. Vigyázat! Ha f kétszer deriválható az a pontban, és f (a) = 0, akkor még lehet, hogy nincs inflexiója a függvénynek az a-ban. Például az f : IR IR, f(t) := t 4 függvény esetén f (t) = 12t 2, ezért f (0) = 0, de az f függvény az egész IR intervallumon konvex (és nem konkáv egyetlen részintervallumon sem). e) Hogyan használhatjuk az eddigi eredményeket differenciálható függvények menetének vizsgálatához? Célszerű a következő lépéseket a C) rész 3. példáján nyomon követni. 1. Elkészítjük az f deriváltfüggvényt. 2. Megkeressük az f zérushelyeit (illetve azokat a pontokat, ahol f előjelet válthat). 3. Kiszámítjuk az f második deriváltat.

104 98 FEJEZET 7. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG 4. Megkeressük az f zérushelyeit (illetve azokat a pontokat, ahol f előjelet válthat). 5. A függvény értelmezési tartományát az f, az f zérushelyei (illetve lehetséges előjelváltási helyei) nyílt intervallumokra szabdalják. Ezeken az intervallumokon megállapítjuk a deriváltak előjelét, amiből a monotonitási és alaki viszonyokra következtetünk. (Áttekinthetővé válik a vizsgálat egy táblázat elkészítésével.) 6. Néhány támpontot kiszámolunk. Ha vannak, kiszámoljuk a lokális maximum és minimum értékeit, a függvény határértékét (esetleg jobb oldali és bal oldali határértékét) minden olyan pontban, amely az értelmezési tartomány olyan torlódási pontja, amelyben nincs értelmezve a függvény. 7. Vázoljuk a függvény menetét. f) Láttuk egy függvény első és második deriváltjának szerepét. Ezek általánosításaként vezessük be a magasabbrendű deriváltakat. Ha f differenciálható, akkor f := (f ). Ha f differenciálható, akkor f := (f ).. Ha f (k) differenciálható, akkor f (k+1) := (f (k) ), k = 1, 2,.... Megjegyezzük, hogy vesszőkkel csak az első három deriváltat szoktuk jelölni, tehát f (1) := f, f (2) := f, f (3) := f. Néha az f (0) := f megállapodás is hasznos. g) Az elég sima függvényeket jól közelíthetjük polinomokkal. Azt már láttuk, hogy ha f D[a], akkor az e a (t) := f(a) + f (a)(t a) (t IR) érintőfüggvényre e a (a) = f(a); e a(t) = f (a), így e a(a) = f (a), azaz az e a -nak és az f-nek az a-beli differenciálhányadosa is megegyezett. Látható az is, hogy f(t) e a (t) lim t a t a = lim t a f(t) (f(a) + f (a)(t a)) t a f(t) f(a) = lim f (a) = 0, t a t a ami azt fejezi ki, hogy az e a érintőfüggvény olyan közelítése az f függvénynek, hogy ha az f(t) e a (t) különbséget olyan módon felnagyítjuk, hogy (t a)-val elosztjuk, még ez a hányados is 0-hoz közeli, ha t közel van az a-hoz.

105 7.2. B 99 Az e a érintőfüggvény csak egy elsőfokú polinom. Milyen legyen az a magasabb fokú polinom, amely a még pontosabb közelítést lehetővé teszi? Legyen P (x) := 3 2x + 4x 2 5x 3. Ekkor P (0) = 3. P (x) = 2 + 8x 15x 2, P (0) = 2. P (x) = 8 30x, P (0) = 8 P (x) = 30, P (0) = 30. Könnyen ellenőrizhető, hogy minden x IR esetén P (x) = P (0) + P (0)x + P (0) 2! x 2 + P (0) x 3, 3! azaz egy polinomot igen jól közelítettünk (ebben az esetben pontosan előállítottunk) egy olyan polinommal, amelynek együtthatói a függvény magasabbrendű deriváltjai egy pontban (most ez a pont a 0 volt), elosztva a derivált rendjének faktoriálisaival. E kétféle tapasztalat vezet el minket az úgynevezett Taylor-formulához. Tegyük fel, hogy f olyan sima, hogy az f (n+1) deriváltfüggvény még folytonos is az a D(f) egy K(a) környezetében. Legyen T n : IR IR. T n (x) := f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) f (n) (a) (x a) n n! az úgynevezett n-edik Taylor-polinom. (Látható, hogy T 1 = e a.) Könnyen ellenőrizhető, hogy T n (a) = f(a), T n(a) = f (a), T n (a) = f (a),..., T n (n) (a) = f (n) (a) (azaz az e a érintőfüggvényhez hasonló tulajdonsággal rendelkezik a T n Taylor-polinom is.) Igazolható, hogy ilyen feltétel mellett bármely x K(a) esetén van olyan c az x és az a között, hogy f(x) = T n (x) + f (n+1) (c) (n + 1)! (x a)n+1, ami azt jelenti, hogy az f függvényt a T n Taylor-polinom olyan jól közelíti, hogy f(x) T n (x) = f (n+1) (c) (x a) 0, ha x a. (x a) n (n + 1)! Tehát a Taylor-polinom jól (n-edrendben) simul az f függvényhez; az f függvény a- hoz közeli helyettesíti értékeit egy polinom helyettesítési értékeivel nagyon pontosan közelíthetjük. h) A deriváltak segítségével éppen a nehéznek tűnő határérték-számítások is elvégez-

106 100 FEJEZET 7. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG hetők. A L Hospital-féle szabályok egyike arról szól, hogy ha f és g differenciálható egy I nyílt intervallumon és az a pontban (amely vagy eleme vagy végpontja az I intervallumnak, akár + vagy is lehet), és lim f(x) = lim g(x) = 0, x a x a de létezik a deriváltak hányadosának a határértéke f (x) lim x a g (x) =: L, akkor az f és g hányadosának is van határértéke, és f(x) lim x a g(x) = L. Ugyanez igaz akkor is, ha az a pontban f és g a 0 helyett (+ )-hez vagy ( )-hez tart [nem szükséges, hogy azonos előjelű végtelen legyen a két függvény határértéke]. A L Hospital-szabállyal számítsuk ki a cos x cos 3x lim x 0 x 2 határértéket. Mind a számláló, mind a nevező 0-ban 0, ezért a deriváltak hányadosának a határértékét elég kiszámítani. (cos x cos 3x) sin x + 3 sin 3x lim = lim x 0 (x 2 ) x 0 2x Így = lim x 0 = 1 2 lim sin x x 0 x lim sin 3x x 0 x sin 3x 3x = = 4. cos x cos 3x lim = 4. x 0 x 2 [A deriváltak hányadosának határértékét szintén számolhattuk volna a L Hospitalszabállyal: = sin x + 3 sin 3x lim x 0 2x = lim x 0 cos x + 9 cos 3x 2 = = 4.] Sajnos, még a L Hospital szabályok sem tudnak minden kritikus határérték-feladatra könnyű választ adni. Például lim sh(x + 2) = lim sh(x 2) = +. x x

107 7.3. C 101 Ha a deriváltakat nézzük, akkor ha ezek deriváltjait vizsgáljuk, akkor lim ch(x + 2) = lim ch(x 2) = +, x x és így tovább. Nem kapjuk meg a lim sh(x + 2) = lim sh(x 2) = +, x x sh(x + 2) lim x sh(x 2) határértéket a L Hospital szabály alkalmazásával. [Megjegyezzük, hogy 7.3. C sh(x + 2) lim x sh(x 2) = lim x e x+2 e (x+2) = lim e x 2 e (x 2) x 1. Deriváljuk az f(x) := 3x 5 + x + ln sin 2 ( 1 x ) függvényt! e 2 e 2 e 2x e 2 e2 e 2x = e 4.] Megoldás: f (x) = 3 5x x sin 2 ( 1 x ) 2 sin( 1 x ) cos( 1 x ) ( 1 x 2 ). 2. Deriváljuk a g(x) := 4x 3 2x 2 + 5x 3 h(x) := (x 2) 3 sin(4x) l(x) := x a + a x + ax + x a + a x (a>0) k(x) := (sin x) cos x m(x) := arctg tgx+1 1 tgx függvényeket! 3. Vizsgáljuk meg az f : IR IR, f(x) := 2x 1 x 2 +1 Megoldás: a) f (x) = 2 x 2 +1 (2x 1) b) x+2 (x 2 +1) 3 2 2x 2 x 2 +1 = 2(x2 +1) 2x 2 +x x 2 +1 (x 2 +1) 3 2 függvény menetét! = x+2 (x 2 +1) 3 2 = 0, x = 2 (a tört máshol nem vált előjelet, mert a nevező pozitív) c) f (x) = (x2 +1) 3 2 (x+2) 3 2 (x 2 +1) 1 2 2x (x 2 +1) 3 = x2 +1 (3x 2 +6x) (x 2 +1) 5 2 = 2x2 6x+1 (x 2 +1) 5 2

108 102 FEJEZET 7. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG d) 2x2 6x+1 (x 2 +1) 5 2 e) = 0, 2x 2 6x + 1 = 0 { x 1 = , 16 x 2 = , f f mon. csökken min nő f f alak konkáv inflexió konvex inflexió konkáv f) f( 2) = 5 5 = 5 2, 23 g) lim x lim x 2x 1 x 2 +1 = lim x 2 1 x 1+ 1 x 2 2x 1 = lim x 2 +1 x 2 1 x = x 2 = ábra. 4. Vizsgáljuk meg a következő függvények menetét: g : IR IR, g(x) := e x2 h : IR \ { 2, 8}, h(x) := l : IR + IR, l(x) := x ln x k : IR IR, k(x) := ex 1+e x x x 2 6x 16

109 7.3. C Készítsük el az f(x) := sin x függvény a := 0 ponthoz tartozó Taylor-polinomját n := 11 esetén. Megoldás: f(x) = sin x f(0) = 0 f (x) = cos x f (0) = 1 f (x) = sin x f (0) = 0 f (x) = cos x f (0) = 1 f (4) (x) = sin x f (4) (0) = 0 f (5) (x) = cos x f (5) (0) = 1.. f (11) (x) = cos x f (11) (0) = 1 f (12) (x) = sin x f (12) (0) = 0 [Látható, hogy f = f (4) = f (8) =... = f (4k) =... = sin.] Tehát T 11 (x) = x 1 3! x ! x5 1 7! x ! x9 1 11! x11 Megjegyzés: Ha a sin függvényt a T 11 Taylor-polinomjával közelítjük, akkor például az x := 0, 1 helyen sin 0, 1 T 11 (0, 1) = sin c 0, ! 0, ! = < = Sőt, ha 0 x π 2, akkor (kihasználva, hogy x π 2 < 2) sin x T 11 (x) = sin c x 12 1 ( π ) < 12! 12! 2 12! = < Látható, hogy a T 11 a sin függvény értékeit a [0, π 2 ] intervallumon elég jól (legalább négy tizedes pontossággal) megadja.

110 104 FEJEZET 7. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG 6. Készítsük el a következő függvények Taylor-polinomjait: g(x) := e x a := 0 n := 10 h(x) = cos x a := 0 n := 12 l(x) = 1 + x a := 0 n := 2 k(x) = 1 1+x 2 a := 0 n := 2 7. Számítsuk ki a lim x 0 x 2 ln x határértéket! Megoldás: ln x lim x 0 x2 ln x = lim x 0 x. 2 Mivel ezért (ln x) x 1 lim = lim = lim x 0 (x 2 ) x 0 2x 1 3 x 0 2 x2 = 0, lim x 0 ln x = 0, így lim x 2 x 0 x2 ln x = Számítsuk ki a következő határértékeket! a) lim x 0 xtgx 1 x 2 b) lim x 0 cos x 1 sin 2 2x c) lim x 0 1 cos x 1 cos x d) lim x x ln x (ln x) x 7.4. D Definíció Legyen A IR, a A. Azt mondjuk, hogy a belső pontja az A halmaznak, ha K(a), hogy K(a) A. Az A halmaz belső pontjainak halmazát jelölje inta Definíció Legyen f : IR IR, a intd(f). Azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható az a pontban, ha lim x a f(x) f(a) x a IR.

111 7.4. D 105 Ha az f függvény differenciálható az a pontban, akkor ezt f D[a] jelölje. Ha f D[a], akkor f f(x) f(a) (a) := lim. x a x a Az f (a) IR számot az f függvény a pontbeli differenciálhányadosának nevezzük. Az f (a) helyett gyakran használják még az f(a), df (a), Df(a) jelöléseket is. dx Tétel (Főtétel) Legyen f : IR IR, a intd(f). f D[a] F a : D(f) IR, F a C[a] olyan, hogy x D(f) esetén f(x) f(a) = F a (x)(x a). Biz.: ( ) Legyen f D[a]. Ekkor vezessük be az F a : D(f) IR, F a (x) := { f(x) f(a) függvényt. Az F a C[a], ugyanis x D(f) \ {a} esetén x a, ha x a f (a) ha x = a F a (x) F a (a) = f(x) f(a) x a f (a), ezért lim (F a(x) F a (a)) = 0. x a Legyen ezután x D(f) tetszőleges. Ha x a, akkor f(x) f(a) = f(x) f(a) x a (x a) = F a (x) (x a); ha x = a, akkor f(a) f(a) = F a (a) (a a) nyilván igaz. ( ) Tegyük fel, hogy F a C[a] olyan, hogy x D(f) esetén f(x) f(a) = F a (x) (x a). Ha x a, akkor f(x) f(a) x a = F a (x), f(x) f(a) és mivel F a C[a], ezért lim x a F a (x) = F a (a), de akkor lim x a x a f D[a]), sőt F a (a) = f (a). is (azaz Tétel Ha f D[a], akkor f C[a].

112 106 FEJEZET 7. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Biz.: Ha f D[a], akkor F a C[a] olyan, hogy x D(f) esetén f(x) f(a) = F a (x) (x a), azaz f = f(a) + F a (id a). Mivel folytonos függvények összege, szorzata is folytonos, ezért f is folytonos az a pontban. Megjegyzés: Az f : IR IR, f(x) := x függvény folytonos az a := 0 pontban, de x IR, x 0 esetén miatt nem létezik a f(x) f(a) x a { = x 0 x 0 = x x = f(x) f(a) lim x a x a 1, ha x > 0 1, ha x < 0 határérték, ezért f nem differenciálható a 0 pontban. A példa azt mutatja, hogy a tétel nem fordítható meg. Műveletek differenciálható függvényekkel, deriválási szabályok Tétel Ha f D[a] és λ IR, akkor λf D[a], és (λf) (a) = λ f (a). Biz.: (λf)(x) (λf)(a) lim x a x a f(x) f(a) = lim λ x a x a = λ f (a) Tétel Ha f, g D[a], akkor f g D[a], és (f g) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a). Biz.: (fg)(x) (fg)(a) lim x a x a = lim x a f(x)g(x) f(a)g(x) + f(a)g(x) f(a)g(a) x a f(x) f(a) g(x) g(a) = lim g(x) + f(a) lim x a x a x a x a Mivel g D[a], ezért g C[a], így lim x a g(x) = g(a). = = f (a)g(a) + f(a)g (a) Tétel Ha g D[a] és g(a) 0, akkor 1 g D[a], és ( 1 g ) (a) = g (a) g 2 (a). Biz.: Mivel g D[a], ezért g C[a], így a g(a) 0 feltétel miatt K(a) D(g), hogy x K(a) esetén g(x) 0. Tehát a intd( 1 ). Ekkor g ( 1 lim )(x) ( 1)(a) g g x a x a = lim x a ( = lim x a g(x) g(a) x a 1 1 g(x) g(a) x a 1 g(x)g(a) = lim x a ) = g (a) g(a) g(x) g(x)g(a) x a = 1 g 2 (a).

113 7.4. D Tétel Ha f, g D[a] és g(a) 0, akkor f g D[a] és ( f g ) (a) = f (a)g(a) f(a)g (a) Biz.: Mivel f g = f 1 g, és a feltételek szerint 1 g D[a], ezért a szorzatfüggvény differenciálhatóságára vonatkozó tétel miatt f g D[a] és ( ) ( f (a) = f 1 ) (a) = f (a) 1 ( ) g g g(a) + f(a) g (a) g 2 (a) g 2 (a). = f (a)g(a) f(a)g (a). g 2 (a) Tétel Ha g D[a] és f D[g(a)], akkor f g D[a], és (f g) (a) = f (g(a)) g (a). Biz.: Mivel g D[a], ezért a főtétel miatt G a C[a] olyan, hogy x D(g) esetén g(x) g(a) = G a (x) (x a). Mivel f D[g(a)], ezért szintén a főtétel miatt F g(a) C[g(a)] olyan, hogy y D(f) esetén f(y) f(g(a)) = F g(a) (y) (y g(a)). Legyen x D(f g), ekkor az y := g(x) jelöléssel (f g)(x) (f g)(a) = f(g(x)) f(g(a)) = F g(a) (g(x)) (g(x) g(a)) = = F g(a) (g(x)) G a (x) (x a) = (F g(a) g G a )(x) (x a). Mivel g D[a], ezért g C[a]; F g(a) C[g(a)], így az összetett függvény folytonosságára vonatkozó tétel szerint F g(a) g C[a]. A G a C[a] miatt, a szorzatfüggvény folytonosságát felhasználva, az F g(a) g G a is folytonos az a pontban, azaz F g(a) g G a C[a]. Ez éppen azt jelenti, hogy f g D[a], sőt (f g) (a) = (F g(a) g G a )(a) = F g(a) (g(a)) G a (a) = f (g(a)) g (a) Tétel Legyen I IR nyílt intervallum, f : I IR szigorúan monoton és folytonos függvény. Legyen a I, f D[a] és f (a) 0. Ekkor a b := f(a) pontban f 1 D[b], és (f 1 ) (b) = 1 f (a) = 1 f (f 1 (b)). Biz.: A szigorú monotonitás miatt az f függvény bijekció az I és a J := f(i) között (a Bolzano-tétel következményeként J is nyílt intervallum). Ezért létezik az f 1 : J I inverzfüggvény. hogy létezik a határérték (és ez valós szám). Az f 1 függvény b pontbeli differenciálhatóságához meg kell mutatni, f 1 (y) f 1 (b) lim y b y b Legyen (y n ) J, y n b tetszőleges sorozat. Bármely n IN esetén legyen x n := f 1 (y n ). Az (x n ) I sorozat konvergens, és lim x n = a, mert az inverzfüggvény folytonosságáról szóló tétel és az átviteli elv szerint y n b f 1 (y) f 1 (b), azaz x n a.

114 108 FEJEZET 7. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Ezért f 1 (y n ) f 1 (b) y n b = x n a f(x n ) f(a) = 1 f(x n) f(a) x n a 1 f (a), hiszen f (a) 0. Mivel bármely (y n ) J, y n b esetén az ( f 1 (y n) f 1 (b) y n b ) konvergens, ezért a határértékre vonatkozó átviteli elv szerint létezik a f 1 (y) f 1 (b) lim y b y b határérték. Tehát f 1 D[b], és az is látható, hogy (f 1 ) (b) = 1 f (a). Lokális növekedés, fogyás, lokális szélsőérték Definíció Legyen f : IR IR, a D(f). Azt mondjuk, hogy f lokálisan nő az a pontban, ha K(a) D(f), hogy x 1 K(a), x 1 < a esetén f(x 1 ) f(a) és x 2 K(a), x 2 > a esetén f(x 2 ) f(a). Értelemszerű módosítással kapjuk a lokális fogyás fogalmát Tétel Ha f D[a], és f az a pontban lokálisan nő, akkor f (a) 0. Biz.: Mivel f lokálisan nő az a-ban, ezért K(a) D(f), hogy x K(a), x a esetén f(x) f(a) x a 0 (ha x < a, akkor x a < 0 és f(x) f(a) 0, míg x > a esetén x a > 0 és f(x) f(a) 0). Az f D[a], ezért lim x a f(x) f(a) x a 0, azaz f (a) Tétel Ha f D[a], és f lokálisan fogyó az a pontban, akkor f (a) 0. Biz.: Az előző tétel bizonyításának mintájára történik. Megjegyzés: Az f függvény szigorúan lokálisan nő, ha K(a) D(f), hogy x 1, x 2 K(a), x 1 < a < x 2 esetén f(x 1 ) < f(a) < f(x 2 ). Ha f D[a] és szigorúan lokálisan nő az a-ban, akkor ugyan x K(a), x a esetén f(x) f(a) x a > 0,

115 7.4. D 109 de a határértékre f(x) f(a) lim x a x a mondható, így f (a) 0. Például az f : IR IR, f(t) := t 3 a 0-ban szigorúan lokálisan nő, de f (0) = (t 3 ) t=0 = 3t 2 t=0 = Tétel Ha f D[a], és f (a) > 0, akkor f szigorúan lokálisan nő az a pontban. Biz.: Mivel f D[a], ezért a főtétel miatt F a C[a] olyan, hogy x D(f) esetén f(x) f(a) = F a (x) (x a). F a (a) = f (a) > 0, ezért a folytonos függvény jeltartásáról szóló tétel miatt K(a) D(f) olyan, hogy x K(a) esetén F a (x) > 0. Ezért x 1 K(a), x 1 < a esetén 0 f(x 1 ) f(a) = F a (x 1 ) (x 1 a) < 0 f(x 1 ) < f(a), míg x 2 K(a), x 2 > a esetén f(x 2 ) f(a) = F a (x 2 ) (x 2 a) > 0 f(x 2 ) > f(a), Tétel Ha f D[a], és f (a) < 0, akkor f szigorúan lokálisan fogy az a pontban. Biz.: Az előző tétel mintájára történik a bizonyítás Definíció Legyen f : IR IR, a D(f). Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a pontban lokális minimuma van, ha K(a), hogy x K(a) D(f) esetén f(x) f(a). Szigorú lokális minimum akkor van, ha x K(a) D(f), x a esetén f(x) > f(a). Értelemszerű változtatással kapjuk a lokális maximum és a szigorú lokális maximum fogalmát. A minimum és a maximum közös elnevezése a szélsőérték Tétel Ha f D[a], és az f függvénynek lokálisan szélsőértéke van az a pontban, akkor f (a) = 0. Biz.: Ha f (a) 0 lenne (például f (a) > 0), akkor f az a-ban szigorúan lokálisan növekedne, így nem lehetne lokális szélsőérték a-ban. Középértéktételek Definíció Azt mondjuk, hogy f differenciálható az A D(f) halmazon (jele f D(A)), ha a A esetén f D[a] Tétel (Rolle) Ha f C[a, b], f D(a, b), és f(a) = f(b), akkor c (a, b) olyan, hogy f (c) = 0.

116 110 FEJEZET 7. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Biz.: Ha x [a, b] esetén f(x) = f(a) = f(b), azaz f konstansfüggvény, akkor például a c := a+b (a, b) pontban f (c) = 0. (A c másként is választható!) 2 Ha x 0 (a, b), hogy f(x 0 ) f(a), akkor az f C[a, b] miatt a Weierstrass-tétel szerint van minimuma és van maximuma is az f-nek, és legalább az egyiket nem az [a, b] intervallum végpontjában veszi fel, hanem az intervallum belsejében. Legyen ez a pont c. Ekkor a szélsőérték szükséges feltétele szerint f (c) = Tétel (Cauchy-féle középértéktétel) Legyen f, g C[a, b], f, g D(a, b), és tegyük fel, hogy x (a, b) esetén g (x) 0. Ekkor c (a, b) olyan, hogy f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c). Biz.: Ha g(b) = g(a) lenne, akkor Rolle tétele miatt g az (a, b) intervallum valamelyik pontjában 0 lenne, de ezt kizártuk. Így beszélhetünk az f(b) f(a) hányadosról. g(b) g(a) Legyen λ IR, és tekintsük a φ : [a, b] IR, φ(t) := f(t) λg(t) függvényt. Könnyű ellenőrizni, hogy λ := f(b) f(a) esetén φ(a) = φ(b). Továbbá φ C[a, b] és φ D(a, b). g(b) g(a) Így a Rolle-tétel szerint c (a, b) olyan, hogy φ (c) = 0. Mivel φ (t) := f (t) λg (t) (t (a, b)), ezért amelyből g (c) 0 miatt következik. 0 = φ (c) = f (c) f(b) f(a) g(b) g(a) g (c), f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c) Tétel (Lagrange-féle középértéktétel) Legyen f C[a, b], f D(a, b). Ekkor c (a, b) olyan, hogy f(b) f(a) = f (c) (b a) Biz.: Alkalmazzuk a Cauchy-féle középértéktételt a g(t) := t függvényre Tétel (Darboux-tétel) Legyen I nyílt intervallum, f D(I). Ekkor [a, b] I és d IR számra, amely f (a) és f (b) közé esik, c (a, b) olyan, hogy f (c) = d. Biz.: Legyen [a, b] I. Tegyük fel, hogy f (a) < f (b) és d (f (a), f (b)). Tekintsük a φ : I IR, φ(t) = f(t) dt függvényt. Nyilván φ C[a, b], ezért a Weierstrass-tétel

117 7.4. D 111 szerint van minimuma és van maximuma is a φ-nek az [a, b] intervallumon. Megmutatjuk, hogy φ-nek sem az a-ban, sem b-ben nincs minimuma, mert φ (t) = f (t) d, és φ (a) = f (a) d < 0, ezért φ a-ban szigorúan lokálisan fogyó, φ (b) = f (b) d > 0, ezért φ b-ben szigorúan lokálisan nő. Ez azt jelenti, hogy φ-nek az [a, b] intervallum belsejében van a minimuma, azaz c (a, b), hogy x [a, b] esetén φ(c) φ(x). Ekkor a lokális szélsőérték szükséges feltétele szerint φ (c) = 0, azaz f (c) d = 0. A monotonitás elégséges feltételei Tétel Legyen I IR nyílt intervallum, f D(I), és x I esetén f (x) > 0. Ekkor f szigorúan monoton növekedő az I intervallumon. Biz.: Legyen x 1, x 2 I, x 1 < x 2. A Lagrange-féle középértéktétel szerint c (x 1, x 2 ) olyan, hogy f(x 2 ) f(x 1 ) = f (c) (x 2 x 1 ). Az f (c) > 0, x 2 x 1 > 0, ezért f(x 2 ) f(x 1 ) > 0, azaz f(x 1 ) < f(x 2 ) Tétel Legyen I IR nyílt intervallum, f D(I), és x I esetén f (x) < 0. Ekkor f szigorúan monoton csökken az I intervallumon. Biz.: Hasonló az előbbi tételhez Tétel Legyen I IR nyílt intervallum, f D(I), és x I esetén f (x) = 0. Ekkor c IR olyan, hogy x I esetén f(x) = c azaz f konstans az I intervallumon. Biz.: Legyen x 1, x 2 I, x 1 < x 2. A Lagrange-féle középértéktétel szerint c (x 1, x 2 ) olyan, hogy f(x 2 ) f(x 1 ) = f (c) (x 2 x 1 ) = 0 (x 2 x 1 ) = 0, azaz f(x 1 ) = f(x 2 ). Megjegyzés: A tétel intervallumon differenciálható függvényről szól. Például az f : (0, 1) (2, 3) IR { 1, ha 0 < x < 1 f(x) := 2, ha 2 < x < 3 függvényre x (0, 1) (2, 3) esetén f (x) = 0, de a függvény mégsem konstansfüggvény.

118 112 FEJEZET 7. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Konvex és konkáv függvények Definíció Legyen I IR intervallum, f : I IR. Azt mondjuk, hogy f konvex függvény, ha x 1, x 2 I és λ (0, 1) esetén f(λx 2 +(1 λ)x 1 ) λf(x 2 )+(1 λ)f(x 1 ). Az f konkáv függvény, ha a ( f) konvex, azaz az egyenlőtlenségben áll Tétel Legyen I IR nyílt intervallum, f D(I). Ha f szigorúan monoton növekedő az I intervallumon, akkor f konvex. Biz.: Tegyük fel, hogy f szigorúan monoton növekedő, és legyen x 1, x 2 I, x 1 < x 2. Vezessük be az l : IR IR, l(x) := f(x 1 ) + f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ) és az r(x) : I IR, r(x) := f(x) l(x) függvényeket. Nyilván r D(I), r(x 1 ) = f(x 1 ) l(x 1 ) = 0 és r(x 2 ) = f(x 2 ) l(x 2 ) = 0, ezért a Rolle-tétel szerint c (x 1, x 2 ) olyan, hogy r (c) = 0. Mivel t I esetén r (t) = f (t) l (t) = f (t) f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1, ezért f szigorú monoton növekedéséből következik, hogy a tőle egy konstansban különböző r is szigorúan monoton növekedő. Mivel r (c) = 0, ezért x (x 1, c) esetén r (c) < 0 x (c, x 2 ) esetén r (c) > 0. Ez azt jelenti, hogy az r függvény az (x 1, c) intervallumon fogyó, a (c, x 2 ) intervallumon pedig növekedő. Figyelembe véve, hogy r(x 1 ) = r(x 2 ) = 0, x (x 1, x 2 ) esetén r(x) 0. Eszerint Legyen λ := x x 1 x 2 x 1 x (x 1, x 2 ) esetén f(x) (f(x 1 ) + f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 )) 0. (0, 1). Ekkor egyrészt x = λx 2 + (1 λ)x 1, másrészt f(λx 2 + (1 λ)x 1 ) f(x 1 ) + (f(x 2 ) f(x 1 )) λ, vagy f(λx 2 + (1 λ)x 1 ) λf(x 2 ) + (1 λ)f(x 1 ). Tehát az f konvex az I intervallumon.

119 7.4. D Definíció Legyen I nyílt intervallum, f : I IR. Azt mondjuk, hogy f kétszer folytonosan differenciálható az I intervallumon, ha f D(I), és f = (f ) C(I). Jele: f C 2 (I) Tétel Legyen f C 2 (I) és x I esetén f (x) > 0 Ekkor f konvex. Biz.: Mivel f deriváltja pozitív az I intervallumon, ezért f szigorúan monoton növekedő az I-n. Az előző tétel szerint, ha f szigorúan monoton növekedő, akkor f konvex Tétel Ha f C 2 (I), és x I esetén f (x) < 0, akkor f konkáv. Biz.: A ( f) függvényre alkalmazzuk az előző tételt Definíció Legyen f : IR IR, a D(f), és tegyük fel, hogy δ > 0 olyan, hogy (a δ, a + δ) D(f). Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a pontban inflexiója van, ha f (a δ,a) konvex és f (a,a+δ) konkáv, vagy f (a δ,a) konkáv és f (a,a+δ) konvex Tétel Legyen f C 2 (α, β). Ha az f függvénynek inflexiója van az a (α, β) pontban, akkor f (a) = 0. Biz.: Indirekt módon, tegyük fel, hogy f (a) 0, például f (a) > 0. Akkor az f C[a] miatt δ > 0, hogy x (a δ, a+δ) esetén f (x) > 0, amiből következik, hogy f konvex az (a δ, a + δ) intervallumon, de akkor f-nek nincs inflexiója a-ban. Ez ellentmondás, tehát f (a) = 0. Megjegyezzük, hogy ha az f függvény egy I intervallumon elsőfokú polinom, azaz A, B IR olyan, hogy x I esetén f(x) = Ax+B, akkor f konvex és konkáv is az I bármely részintervallumán, ezért az I intervallum minden pontjában inflexiója van az f függvénynek. Taylor-formula Tétel Legyen f : IR IR, a D(f). Tegyük fel, hogy K(a) D(f), hogy f C n+1 (K(a)). Legyen x K(a) tetszőleges. Ekkor c K(a) az a és az x között olyan, hogy f(x) = f(a) + f (a) (x a) + f (a) 2! (x a) f (n) (a) (x a) n + f (n+1) (c) n! (n + 1)! (x a)n+1. Megjegyzés: Legyen T n,a : IR IR, T n,a (x) := f(a) + f (a) (x a) + f (a) 2! (x a) f (n) (a) n! (x a) n az f függvény a ponthoz tartozó Taylor-polinomja. A tétel azt állítja, hogy f(x) T n,a (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x a)n+1 (Taylor-formula)

120 114 FEJEZET 7. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Biz.: Legyen r : K(a) IR, r(t) := f(t) T n,a (t), továbbá p : K(a) IR, p(t) := (t a) n+1. Legyen x K(a) tetszőleges. Tegyük fel, hogy x > a. Alkalmazzuk a Cauchy-féle középértéktételt az [a, x] intervallumon az r és p függvényekre. Mivel p (t) = (n + 1)(t a) n 0, ha t (a, x), ezért c 1 (a, x) olyan, hogy Vegyük észre, hogy r(x) r(x) r(a) = (x a) n+1 p(x) p(a) = r (c 1 ) p (c 1 ). r (t) = f (t) T n,a(t) = f (t) (f (a) + f (a) 2! így r (a) = 0. Nyilván p (t) = (n + 1)(t a) n, így p (a) = 0. 2(t a) f (n) (a) n(t a) n 1 ), n! Ezért a Cauchy-féle középértéktételt alkalmazva az [a, c 1 ] intervallumon az r és p függvényekre azt kapjuk, hogy c 2 (a, c 1 ) olyan, hogy r (c 1 ) p (c 1 ) = r (c 1 ) r (a) p (c 1 ) p (a) = r (c 2 ) p (c 2 ). Könnyen ellenőrizhető, hogy bármely 1 k n esetén r (k) (t) = f (k) (t) (f (k) (a) + f (k+1) (a) (k + 1)k(k 1)... 2(t a) +... (k + 1)!... + f (n) (a) n(n 1)... (n k + 1)(t a) n k ), n! így r (k) (a) = 0. Nyilván p (k) (t) = (n + 1)n... (n + 1 (k 1))(t a) n+1 k, így p (k) (a) = 0; de t K(a) esetén p (n+1) (t) = (n + 1)! Az előző lépést még (n 1)-szer alkalmazva, az utolsó esetben c n+1 (a, c n ) olyan, hogy r (n) (c n ) p (n) (c n ) = r(n) (c n ) r (n) (a) p (n) (c n ) p (n) (a) = r(n+1) (c n+1 ) p (n+1) (c n+1 ) = f (n+1) (c n+1 ). (n + 1)! (Nyilván T n,a legfeljebb n-edfokú polinom, ezért T (n+1) n,a már azonosan 0.) Összefoglalva f(x) T n,a (x) = r(x) (x a) n+1 p(x) = r (c 1 ) p (c 1 ) =... = r(n) (c n ) p (n) (c n ) = f (n+1) (c n+1 ), (n + 1)!

121 7.4. D 115 ezért a c := c n+1 (a, x) választással f(x) T n,a (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x a)n Tétel Legyen f : IR IR, f C (K(a))(az f függvény akárhányszor differenciálható az a pont valamely környezetében) és L > 0, hogy x K(a) esetén f (n) (x) L. Ekkor x K(a) esetén f(x) = f(a) + f (a) (x a) + f (2) (a) 2! (x a) f (n) (a) (x a) n +..., n! azaz f(x) = n=0 f (n) (a) (x a) n. n! Biz.: A Taylor-formula szerint x K(a) esetén minden n IN mellett c n+1 az a és x között olyan, hogy a végtelen sor n-edik részletösszegének az f(x)-től való eltérése f(x) n k=0 f (k) (a) k! (x a) k = f (n+1) (c n+1 ) x a n+1 (n + 1)! L (n + 1)! x a n+1. Mivel x a n+1 (n+1)! 0, ezért lim n f (k) (a) k=0 (x a) k = f(x). k! L Hospital-szabály Tétel Legyen I IR nyílt intervallum, f, g D(I). Legyen a I és lim x a f(x) = f lim x a g(x) = 0. Ha lim (x) x a, akkor lim g (x) x a f(x) is, és g(x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). Biz.: Abban a speciális esetben végezzük el a bizonyítást, amikor a I, f(a) = g(a) = 0 és lim x a f (x) g (x) =: L IR. Ekkor ε > 0 számhoz δ > 0, hogy x K δ(a) I, x a esetén L ε < f (x) g (x) < L + ε. Legyen x K δ (a) tetszőleges, x a. A Cauchy-féle középértéktétel szerint c K δ (a) az a és x között, hogy f(x) g(x) = f(x) f(a) g(x) g(a) = f (c) g (c). Így L ε < f(x) g(x) < L + ε

122 116 FEJEZET 7. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG is teljesül, amiből következik, hogy f(x) lim x a g(x) = L.

123 8. fejezet Integrálhatóság, integrálszámítás 8.1. A Egy függvény integrálhatósága azt jelenti, hogy a függvény alatti tartománynak van területe. Módszert dolgozunk ki a terület meghatározására. Számos problémát ilyen területszámításra vezetünk vissza B Ismert, hogy az u > 0, v > 0 oldalú téglalap területe uv. Állapodjunk meg abban, hogy ha u > 0 és v < 0, akkor uv a téglalap előjeles területe legyen. Már a matematika korai korszakában is foglalkoztak görbevonalú alakzatok területével. Nézzük meg mi is, hogy a H := {(x, y) x [0, 1], y [0, x 2 ]} parabola alatti tartománynak mi lehet a területe. Osszuk fel a [0, 1] intervallumot n egyenlő részre. Az osztópontok x 0 = 0, x 1 = 1 n, x 2 = 2,..., x n n = n. Legyen S n n := 1 ( 1 n n )2 + 1 ( 2 n n ) ( n n n )n, azaz olyan téglalapok területének az összege, amelyeknek az alapja 1, a magassága pedig az n id2 függvény osztópontokban vett függvényértéke (8.1. ábra). S n egy lépcsősidom területe. Ha növeljük az n osztópontszámot, akkor a lépcsősidomok egyre jobban illeszkednek a H halmazhoz, így elvárható, hogy az (S n ) sorozat határértéke éppen a H halmaz területe legyen. Felhasználva, hogy minden k IN esetén 117

124 118 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 8.1. ábra k 2 = k(k+1)(2k+1) 6, lim S n = lim 1 n 3 ( n 2 ) = lim 1 n(n + 1)(2n + 1) n 3 6 = lim 2n2 + 3n + 1 = lim n n 2 = 1 6n = Legyen tehát a H halmaz területe 1. 3 Ezt a gondolatmenetet általánosítjuk. Legyen f : [a, b] IR függvény. Legyen τ := {x 0, x 1, x 2,..., x i 1, x i,..., x n } [a, b], ahol a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x i 1 < x i <... < x n = b az [a, b] intervallum egy felosztása. Minden [x i 1, x i ] intervallumban vegyünk fel egy ξ i pontot (i = 1, 2,..., n.) Készítsük el az f függvény τ felosztáshoz tartozó közelítő összegét: σ(τ) := f(ξ 1 )(x 1 x 0 ) + f(ξ 2 )(x 2 x 1 ) f(ξ n )(x n x n 1 ) = n f(ξ i )(x i x i 1 ). i=1 (Ez a σ(τ) felel meg a bevezető példa S n lépcsősidom területének, ott a ξ i pontot mindig az intervallum jobb szélén vettük.) Akkor mondjuk a függvényt integrálhatónak, ha a σ(τ) közelítő összegek finomodó felosztások során tetszőlegesen közel kerülnek egy számhoz. Pontosabban:

125 8.2. B Definíció Azt mondjuk, hogy az f : [a, b] IR függvény integrálható az [a,b] intervallumon, ha van olyan I IR szám, hogy bármilyen ε > 0 hibakorláthoz van olyan δ > 0, hogy az [a, b] intervallum minden olyan τ felosztására, amelyben max{x i x i 1 i = 1, 2,..., n} < δ és a τ felosztáshoz tartozó [x i 1, x i ] intervallumokban vett tetszőleges ξ i [x i 1, x i ] pontok esetén a σ(τ) = n i=1 f(ξ i)(x i x i 1 ) közelítő összegre σ(τ) I < ε. Ha f integrálható az [a, b] intervallumon, akkor ezt f R[a, b] jelölje (Riemann tiszteletére, aki az integrált ilyen módon bevezette), és legyen b a f := I. ( integrál a-tól b-ig ). Továbbá ekkor azt mondjuk, hogy a H := {(x, y) x [a, b], y [0, f(x)], ha f(x) 0, vagy y [f(x), 0], ha f(x) < 0, } halmaznak ( görbe alatti tartomány ) van előjeles területe, és ez a terület az I IR szám. Röviden úgy szoktak hivatkozni erre a fogalomra, hogy bevezetve a x i jelölést, vagy lim x 0 lim f(ξi ) x i = I x i 0 b f(ξ) x = f(x)dx. (Érdemes nyomon követni a szimbólumok metamorfózisát!) Könnyű látni, hogy ha f : [a, b] IR, f(x) = c egy konstans függvény, akkor lim f(ξi ) x i = lim x i 0 x i 0 a n c(x i x i 1 ) = c(b a), i=1 := x i x i 1 amint ezt a szemlélet alapján is vártuk, tehát f R[a, b] és b f = c(b a). a Belátható, hogy ha f C[a, b], akkor f R[a, b]. A szemléletből is következik, hogy ha f R[a, b] és f R[b, c], akkor f R[a, c], sőt b f + c f = c a b a f (8.2. ábra).

126 120 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 8.2. ábra. Már nem olyan nyilvánvaló, de igazolható, hogy Tétel Ha f R[a, b] és λ IR, akkor λf R[a, b], és b λf = λ b a a Tétel Ha f, g R[a, b], akkor f + g R[a, b], és f. b (f + g) = b f + b a a a Tétel Ha f, g R[a, b], és f(x) g(x) minden x [a, b] esetén, akkor g. b f b a a Az utóbbi tétel fontos következménye, hogy ha f R[a, b], akkor f R[a, b], és g. f f f miatt következik, így Szemléletesen jól látható, hogy b a f b a b a f b b f f. a a f

127 8.2. B ábra ábra Tétel Ha f C[a, b], akkor van olyan c [a, b], hogy b a f = f(c) (b a) (8.3. ábra). Az b a f b a számot az f integrálközepének nevezik. Ez a véges sok szám átlagának az egyik általánosítása. (A tétel szerint az integrálközép egy függvényérték.) Az eddigi állítások valóban szemléletesek, de az integrál kiszámításának kényelmes módszerével még adósak vagyunk. Az egyszerűség kedvéért legyen f C[a, b]. Vezessük be a T : [a, b] IR, T (x) := x a f területfüggvényt (8.4. ábra).

128 122 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 8.5. ábra. Legyen α (a, b) egy tetszőleges pont, és vizsgáljuk meg az x (a, b), x α esetén a különbségi hányadost. T (x) T (α) x α T (x) T (α) x α = x a f α x f x α = 1 x α x α f = 1 f(c)(x α) = f(c), x α ahol c [α, x] (8.5. ábra). Ebből kihasználva, hogy f C[α] is, másrészt T (x) T (α) lim x α x α T (x) T (α) lim x α x α = lim x α f(c) = f(α), = T (α). Tehát a T területfüggvény olyan, hogy a deriváltja az f. Mivel T (a) = 0 és T (b) = b a f, ezért b a f = T (b) T (a). Eljutottunk (meglehetősen heurisztikus úton) egy nevezetes eredményhez Tétel (Newton Leibniz-formula)

129 8.2. B 123 Ha f C[a, b], és T olyan függvény, hogy T = f, akkor b a f = T (b) T (a). Például ha f : [0, 1] IR, f(x) = x 2, akkor ilyen T függvénynek alkalmas a T : [0, 1] IR, T (x) := x3 3 (hiszen ( x3 3 ) = x 2 ), így 1 0 f = T (1) T (0) = = 1 3, ami összhangban van a bevezető példában kapott eredménnyel Definíció Legyen I IR nyílt intervallum és f : I IR. Az F : I IR differenciálható függvény primitív függvénye az f-nek, ha F = f. Ha F és G primitív függvénye f-nek, akkor F = f és G = f, így (F G) = 0, de egy intervallumon a függvény deriváltja csak akkor 0, ha a függvény konstans. Tehát létezik olyan c IR, hogy F G = c, azaz egy függvény primitív függvényei legfeljebb konstansban különböznek egymástól (a T területfüggvény is csak egy konstansban különbözhet bármely más primitív függvénytől). Végtelenül leegyszerűsödött az integrál kiszámítása, hiszen csupán az f egy primitív függvényét kell megkeresni. Ha ez F, akkor a hagyományos írásmód szerint b a f(x)dx = [F (x)] b a, ahol [F (x)] b a := F (b) F (a). Például a π 0 sin xdx kiszámításához az F (x) := cos x alkalmas primitív függvény (( cos x) = sin x), így π 0 sin xdx = [ cos x] π 0 = 1 ( 1) = 2. Állapodjunk meg abban, hogy az f egy primitív függvényét F helyett f, illetve F (x) helyett f(x)dx jelölje. A primitív függvény keresése a deriválás inverze. Néhány egyszerű módszer primitív függvény keresésére (deriválással ellenőrizhető!): λf = λ f, (f + g) = f + g, f g = fg fg (parciális integrálás elve) φα φ = φα+1, ha α 1 α+1 φ φ = ln φ, ha φ(x) > 0 (x I)

130 124 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Ha f(x)dx = F (x), akkor f(ax + b) = 1 F (ax + b). a ( f) φ = (f φ φ ) (helyettesítéses integrál) A deriválási szabályok megfordításából kapjuk az alábbi integráltáblázatot. x α dx = xα+1 α+1 (α 1) 1 dx = ln x, ha x > 0, és 1dx = ln( x), ha x < 0 x x e x dx = e x, sin xdx = cos x, a x dx = ax ln a cos xdx = sin x 1 = tgx, cos 2 x shxdx = chx, 1 = ctgx sin 2 x 1 dx = arctgx, 1+x 2 1 x dx = arshx, 2 +1 chxdx = shx 1 1 x 2 dx = arcsinx, x ( 1, 1) 1 x dx = archx, x (1, + ) 2 1 Az integrál alkalmazásai 1. Ha f, g R[a, b], és minden x [a, b] esetén f(x) g(x), akkor a H := {(x, y) x [a, b] és g(x) y f(x)} halmaz területét a T = b a f b a g = b a (f g) ( = b a ) f(x) g(x)dx képlettel számítjuk ki (8.6. ábra). (Az f és g nem feltétlenül nemnegatív függvények!) 2. A geometriából tudjuk, hogy a, b, m élű tégla térfogata V = ab m. Ezt általánosítva, egy T alapterületű és m magasságú hasáb térfogata V = T m. Most vegyünk egy H térbeli alakzatot (pl. egy krumplit). A koordináta-rendszer x tengelyére merőlegesen készítsük el a H összes síkmetszetét. (A krumplinál egy rajta átszúrt kötőtű játszhatja az x tengely szerepét. Erre merőlegesen szeletelünk.) Tegyük fel, hogy az x-nél keletkezett S(x) síkmetszetnek van területe, és az a függvény, amely S : [a, b] IR, x S(x),

131 8.2. B ábra ábra. folytonos az [a, b] intervallumon (ha x és x közel van, akkor S(x ) és S(x ) is közeliek) (8.7. ábra). Osszuk fel az [a, b] intervallumot: τ : a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x i 1 < x i <... < x n = b, és vegyünk fel tetszőlegesen ξ i [x i 1, x i ] pontokat (i = 1, 2,..., n) (8.8. ábra). Az S(ξ i )(x i x i 1 ) egy olyan hasábnak a térfogata, amelynek alapterülete S(ξ i ), a magassága pedig (x i x i 1 ). Ezeket összegezve egy közelítőösszeget kapunk: n S(ξ i )(x i x i 1 ). i=1 Finomítva az [a, b] intervallum felosztását, a közelítőösszegeknek lesz határértéke

132 126 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 8.8. ábra ábra. (S C[a, b], ezért S R[a, b]), ez lesz a test térfogata: V = b lim S(ξi )(x i x i 1 ) = x i x i 1 0 a S(x)dx. Különösen egyszerűvé válik a térfogat kiszámítása, ha egy f : [a, b] IR, f C[a, b], f(x) 0 (x [a, b]) függvény x tengely körüli megforgatásával származtatott a H forgástest (8.9. ábra). Ekkor az S(x) síkmetszet területe egy kör területe: így S(x) = πf 2 (x), V = b a πf 2 (x)dx. Könnyen látható a Cavalieri-elv is, amely szerint ha két testnek egy síkkal párhuzamos összes síkmetszete páronként egyenlő (minden x-re S 1 (x) = S 2 (x)), ahol az x

133 8.2. B ábra. tengely a síkra merőleges egyenes), és az így nyert S 1 és S 2 függvények folytonosak, akkor a két test térfogata is egyenlő, hiszen S 1 = S 2 miatt b S 1 (x)dx = b a a S 2 (x)dx. 3. Legyen f : [a, b] IR folytonosan deriválható függvény. A H := {(x, f(x) x [a, b])} halmazt az f grafikonjának is szokták nevezni. Szeretnénk ennek az ívhosszát is kiszámítani. Ismét osszuk fel az [a, b] intervallumot: τ : a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x i 1 < x i <... < x n = b. Az (x i 1, f(x i 1 )) és az (x i, f(x i )) pontot összekötő szakasz hossza (8.10. ábra) l i := [ ] 2 f(xi ) f(x (x i x i 1 ) 2 + (f(x i ) f(x i 1 )) 2 i 1 ) = (x i x i 1 ) 1 +. x i x i 1 A Lagrange-középértéktétel szerint van olyan ξ i (x i 1, x i ), amelyre f(x i ) f(x i 1 ) = f (ξ i ) (x i x i 1 ), ezért l i = (x i x i 1 ) 1 + [f (ξ i )] 2.

134 128 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ábra. Látható, hogy az f grafikonjához közel eső töröttvonal hossza n l i = i=1 n 1 + [f (ξ i )] 2 (x i x i 1 ), i=1 amely a φ : [a, b] IR, φ(x) := 1 + [f (x)] 2 összege. Tehát az f grafikonjának ívhossza függvénynek egy integrálközelítő I(f) = b lim 1 + [f (ξ i )] 2 (x i x i 1 ) = x i x i 1 0 a 1 + [f (x)] 2 dx. 4. Ha f : [a, b] IR, f(x) 0 (x [a, b]) folytonosan deriválható függvény, akkor az f grafikonjának x tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest palástjának felszíne hasonló meggondolással adódik: P (f) = b a 2πf(x) 1 + [f (x)] 2 dx. 5. Ismert, hogy egy tömegpontrendszer tömegközéppontjához vezető vektort az r s = m 1r 1 + m 2 r m n r n m 1 + m m n adja, ahol m i az i-edik tömegpont tömege, r i pedig egy rögzített pontból a tömegponthoz vezető helyvektor (8.11. ábra). Legyen f R[a, b], f(x) 0, x [a, b], és H := {(x, y) x [a, b], y [0, f(x)]} egy homogén, ρ sűrűségű lemez (8.12. ábra).

135 8.2. B ábra. A lemez tömegközéppontjának meghatározásához osszuk fel az [a, b] intervallumot. τ : a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x i 1 < x i <... < x n = b. A ξ i := x i 1+x i 2 (i = 1, 2,..., n) pontokat választva az [x i 1, x i ] [0, f(ξ i )] téglalap tömegközépponjához vezető helyvektor ( r i ξ i, f(ξ ) i), 2 és a téglalapot helyettesítő tömegpont tömege m i = ρf(ξ i )(x i x i 1 ). A tömegközéppont első koordinátájának közelítőértéke m 1 ξ 1 + m 2 ξ m n ξ n m 1 + m m n = a második koordináta közelítőértéke pedig f(ξ m 1 ) f(ξ 1 + m 2 ) f(ξ m n) 2 n 2 = m 1 + m m n n i=1 ρf(ξ i) ξ i (x i x i 1 ) n i=1 ρf(ξ, i)(x i x i 1 ) 1 n 2 i=1 ρf 2 (ξ i ) ξ i (x i x i 1 ) n i=1 ρf(ξ. i)(x i x i 1 ) Látható, hogy mindkét kifejezés integrálközelítő összegeket tartalmaz, ezért nem meglepő, hogy a lemez tömegközéppontjához vezető r s = (x s, y s ) vektor a következő lesz: x s = b a xf(x)dx b a f(x)dx ; y s = 1 2 b a f 2 (x)dx b a f(x)dx. 6. Az O pont körül forgó m tömegű tömegpont tehetetlenségi nyomatéka Θ = ml 2,

136 130 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ábra. ahol l a tömegpont O-tól mért távolsága (8.13. ábra). Ha egy L hosszúságú és M tömegű rúd a rúd egyik végéhez rögzített, rá merőleges tengely körül forog, akkor a rúdnak a tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát ki tudjuk számítani. Osszuk fel a [0, L] intervallumot: τ : 0 = x 0 < x 1 < x 2 <... < x i 1 < x i <... < x n = L. Az [x i 1, x i ] rúddarab tömege a forgástengelytől mért távolságának a M L (x i x i 1 ), ξ i := x i is választható, így ennek a darabnak a tehetetlenségi nyomatéka M L (x i x i 1 )ξ 2 i. Az egyes részek tehetetlenségi nyomatékainak összege az egész rúd tehetetlenségi nyomatékának közelítő értéke n i=1 M L ξ2 i (x i x i 1 ).

137 8.2. B 131 Látható, hogy ez alapján a rúd tehetetlenségi nyomatéka Θ = lim x i x i 1 0 n i=1 amely a Newton Leibniz-formula szerint tehát Θ = 1 3 ML2. L 0 [ M M L x2 dx = L M L M L ξ2 i (x i x i 1 ) = 0 L x2 dx, ] x 3 L = M 3 0 L L 3 3 = 1 3 ML2, Ez a néhány gondolatmenet bemutatta, hogy szerteágazó problémák hogyan vezethetők vissza integrálra. Még egy jelentős alkalmazást vázolunk. Fourier-sor Legyen f : IR IR 2π szerint periodikus függvény. (Ha p > 0 szerint periodikus az f függvény, akkor egy egyszerű transzformációval (x := 2π t) 2π szerint periodikus függvénnyé p lehet alakítani.) Az f függvényt szeretnénk a jól ismert cos nj (n = 0, 1, 2,...) és sin nj (n = 0, 1, 2,...) függvények összegeként előállítani, azaz megadni olyan a 0, a 1, a 2,..., a n,... és b 1, b 2,..., b n,... számsorozatot, amelyre minden x IR esetén f(x) = a 0 2 +a 1 cos x+b 1 sin x+a 2 cos 2x+b 2 sin 2x+...+a n cos nx+b n sin nx+... (8.1) Nem nyilvánvaló, hogy milyen f függvény esetén lehetséges ez, és ha el is jutunk egy (a n ) és (b n ) sorozathoz, akkor a jobb oldali összeg valóban visszaadja-e az f függvényt. Most csak formálisan okoskodva induljunk ki abból, hogy f C(IR), és előáll minden x IR esetén végtelen sor összegeként. a a n cos nx + b n sin nx n=1 1. Integráljuk az (8.1) egyenlőséget ( π)-től π-ig, feltéve, hogy az összeg tagonként integrálható: π π f(x)dx = π a 0 π 2 dx + π π a n cos nxdx + b n sin nxdx. n=1 π π

138 132 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Az π π a 0 2 dx = a π 0 2 2π, cos nxdx = π [ sin nx n ] π π π = 0, sin nxdx = π [ cos nx n ] π π = 0, ezért a 0 = 1 π π π f(x)dx. 2. Legyen k IN egy rögzített index. Szorozzuk meg az (8.1) egyenlőséget (cos kx)-szel, és integráljuk ( π)-től π-ig: π π π f(x) cos kxdx = a 0 cos kxdx + 2 π π π a n cos nx cos kxdx + b n sin nx cos kxdx. n=1 Trigonometrikus formulák szerint n k esetén π π π π 1 cos nx cos kxdx = (cos(n + k)x + cos(n k)x)dx = π 2 = 1 ([ ] π [ ] π sin(n + k)x sin(n k)x + 2 n + k n k az n = k esetén pedig π π Hasonló számolással cos 2 kxdx = π π π π π π ) = 0, [ ] π 1 + cos 2kx 1 sin 2kx dx = x + = π k π π sin nx cos kxdx = 0. Tehát a végtelen sor tagjai egyetlen kivétellel nullák, így a k = 1 π π π f(x) cos kxdx. Ha az (8.1) egyenlőséget (sin kx)-szel szorozzuk végig, és integrálunk ( π)-től π-ig, akkor ugyanilyen számolással adódik, hogy b k = 1 π π π f(x) sin kxdx.

139 8.2. B Az f folytonos függvény esetén nyert π π π a 0 = 1 f(x)dx, a k = 1 f(x) cos kxdx, b k = 1 π π π π π π f(x) sin kxdx, k = 1, 2,... számokat az f Fourier-együtthatóinak nevezzük. Igazolható, hogy (nagyon kivételes, a gyakorlatban elképzelhetetlen függvényektől eltekintve) f elő is áll az ezekkel az együtthatókkal képezett Fourier-sor összegeként: f(x) = a a k cos kx + b k sin kx k=1 (x IR). Ez a módszer rezgések, hullámok vizsgálatában gyakran használható. Az improprius integrál Eddig csak [a, b] zárt, korlátos intervallumon vizsgáltuk és számoltuk az integrálhatóságot és az integrált. Kiterjesztjük fogalmainkat Definíció Legyen f : [a, + ) IR olyan függvény, amelyre ω IR, ω > a esetén f R[a, ω]. Azt mondjuk, hogy f improprius integrálja konvergens az [a, + ) intervallumon, ha ω lim f IR ω a határérték. Ezt f R[a, + ) jelölje. Ha f R[a, + ), akkor + a ω f := lim f. ω a ω Ha nem létezik lim ω f, vagy létezik, de nem véges, akkor azt mondjuk, hogy divergens az f improprius a integrálja. Például ω [ 1 dx = lim dx = lim 1 ] ω = lim ( 1ω ) x2 ω 1 x2 ω x + 1 = 1, ω 1 tehát id 2 R[1, + ). A ω 1 lim dx = lim ω 1 x [ln ω x] 1 = lim ω ln ω = +, ezért id 1 / R[1, + ), vagy az id 1 improprius integrálja divergens. Másféle kiterjesztéssel is foglalkozunk.

140 134 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Definíció Legyen f : (a, b] IR olyan függvény, amelyre µ (a, b) esetén f R[µ, b]. Azt mondjuk, hogy f R[a, b], ha lim µ a b µ f IR. Ekkor b a f := lim µ a b µ f. b Ha nem létezik a lim µ a f, vagy létezik, de nem véges, akkor divergensnek nevezzük µ az f integrálját az [a, b] intervallumon. (Ez a helyzet még korlátos függvények esetén is előfordul, de leggyakrabban nem korlátos függvények az áldozatok.) Például 1 tehát id 1 2 R[0, 1] dx = lim dx = lim[2 x] 1 x µ 0 µ x µ = lim 2 2 µ = 2, µ 0 µ dx = lim dx = lim x µ 0 µ x [ln µ 0 x]1 µ = lim(ln 1 ln µ) = +, µ 0 tehát id 1 integrálja divergens a [0, 1] intervallumon is. Az egyik legfontosabb eredmény az improprius integrálok körében, hogy 0 e x2 dx = π 2. Ennek következménye (a fogalmak további bővítésével), hogy ha m IR és δ > 0, akkor + e (x m)2 2σ 2 dx = 2πσ, ami a valószínűségszámításban játszik fontos szerepet C 1. Ellenőrizzük a primitív függvény keresési eljárásokat! Megoldás: Ha α 1, akkor a) ( φα+1 α+1 ) = 1 α+1 (α + 1)φα φ, ezért φ α φ = φα+1 α+1.

141 8.3. C 135 b) (f g f g ) = f g + f g f g = f g, ezért f g = f g f g (parciális integrálás elve) c) ( f φ φ ) = f φ φ, másrészt (( f) φ) = f φ φ. Mivel mindkét függvény deriváltja egy intervallumon megegyezik, ezért a függvények legfeljebb egy konstansban térhetnek el, így ( f) φ = (f φ φ ) (helyettesítéses integrál) 2. Keressük meg: sin 3 x cos xdx =? x dx =? 1+x 2 cos(5x 1)dx =? tgx cos 5 xdx =? tgxdx =? 1 dx =? x x+3 (x 2 +3) 4 dx =? 2x+3 dx =? x 2 +3x+10 1 dx =? x 2 +3x Parciális integrálással keressük meg xe 2x dx =? x 2 e 2x dx =? e 2x sin 3xdx =? e ax cos bxdx =? ln xdx =? 1 x2 dx =? Megoldás: 1 x2 dx = 1 1 x 2 dx = x 1 x 2 x x dx = 1 x 2 = x 1 x 2 1 x dx = x 1 1 x 2 x2 dx = 1 x 2 1 x 2 = x 1 x 2 1 x2 dx + arcsinx. Ebből 2 1 x 2 dx = x 1 x 2 + arcsinx, így 1 x2 dx = 1 2 (x 1 x 2 + arcsinx). 4. Az f : [0, r] IR, f(x) := r 2 x 2 függvény grafikonja egy origó középpontú r sugarú negyedkör. Számoljuk ki a kör területét, kerületét, az r sugarú gömb térfogatát, felszínét. 5. Legyen a > 0. Számolja ki a ch [0,a] függvény görbe alatti területét és ívhosszát. 6. Hol van a súlypontja az r sugarú homogén félkörlapnak?

142 136 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ábra. 7. Legyen f : IR IR, f(x) := x 2, ha x [ π, π], és minden x IR esetén f(x+2π) = f(x 2π) =: f(x) (8.14. ábra). a) Állítsa elő az f Fourier-együtthatóit! b) Írja fel f Fourier-sorát! c) Mit ad ez a Fourier-sor x := 0, x := π esetén? 8. Számoljuk ki az 1 1 dx =? (α > 1) xα 0 e at dt =? (a > 0) improprius integrálokat! 9. A gamma-függvény. Legyen Γ : [0, ) IR, Γ(α) := 0 t α e t dt. Mutassuk meg, hogy Γ(0) = 1 Γ(1) = 1, és bármely α > 0 esetén Γ(α + 1) = (α + 1)Γ(α). Megoldás: Γ(0) = 0 e t dt = [e t ] 0 = 1 (Itt rövidítettünk: lim ω [e t ] ω 0 helyett [e t ] 0 áll.) Γ(α + 1) = 0 t α+1 e t dt = [ e t t α+1 ] 0 = 0 + (α + 1) 0 0 e t (α + 1)t α dt = t α e t dt = (α + 1)Γ(α).

143 8.4. D 137 Ezért Γ(1) = (0 + 1)Γ(0) = 1 Γ(2) = (1 + 1)Γ(1) = 2 1 = 2! Γ(3) = (2 + 1)Γ(2) = 3 2! = 3!. Γ(n) = n! (n IN) Kiszámítható közelítőleg a Γ(α), α / IN esetén is. 10. Számolja ki a sin 2 [0,2π] integrálközepét! Megoldás: 1 2π sin 2 xdx = 1 2π 2π 0 2π 0 A sin 2 [0,2π] integrálközepe cos 2x dx = 1 [ ] 2π 1 sin 2x x = π π 2 2π = D Az integrálhatóság fogalmának kiépítésében Darboux gondolatmenetét használjuk. Legyen f : [a, b] IR korlátos függvény. Legyen τ = {x 0,..., x n } [a, b] véges halmaz, melynek elemeire a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x i 1 < x i <... < x n = b. τ az [a, b] intervallum egy felosztása. F [a, b] := {τ τ felosztása az [a, b] intervallumnak}. Legyen τ F [a, b], és legyenek m i := inf{f(x) x i 1 x x i }, M i := sup{f(x) x i 1 x x i }, i = 1, 2,..., n. Legyen a τ felosztáshoz tartozó alsó- ill. felsőösszeg az s(τ) := n m i (x i x i 1 ) és S(τ) := i=1 n M i (x i x i 1 ). i= Tétel a) τ F [a, b] esetén s(τ) S(τ),

144 138 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS b) τ, σ F [a, b] esetén s(τ) S(σ). Biz.: a) m i M i, i = 1, 2,..., n, így s(τ) S(τ). b) Legyen τ F [a, b], és az [x k 1, x k ] intervallumban vegyünk fel egy osztópontot: x k 1 < x < x k. Ha m := inf{f(x) x k 1 x x k } és m := inf{f(x) x x x k }, akkor m, m m k. Ezért s(τ) = n m i (x i x i 1 ) m 1 (x 1 x 0 ) m (x x k 1 ) + i=1 +m (x k x) m n (x n x n 1 ) = s(τ {x}). Hasonló hatása van az x beiktatásának a felsőösszegre: S(τ) S(τ {x}). Lépésenként végiggondolva igaz, hogy s(τ) s(τ σ) S(τ σ) S(σ). Ennek a tételnek a következménye, hogy az {s(τ) IR τ F [a, b]} halmaz felülről korlátos (például az S({a, b}) egy felső korlátja), ezért sup{s(τ) τ F [a, b]} =: I és az {S(τ) IR τ F [a, b]} halmaz alulról korlátos (például az s({a, b})) egy alsó korlátja), ezért inf{s(τ) τ F [a, b]} =: I Definíció Azt mondjuk, hogy f (Darboux-)integrálható, ha I = I. Ha f integrálható, akkor b a f := I = I. Megmutatható, hogy a C) részben bemutatott Riemann-integrálhatóság ekvivalens a Darboux-integrálhatósággal, ezért jelölésben sem teszünk különbséget közöttük. Ha f

145 8.4. D ábra. (Darboux-)integrálható, akkor ezt f R[a, b] jelölje Tétel (Riemann-tétel) f R[a, b] ε > 0 τ F [a, b] : S(τ) s(τ) < ε. Biz.: ( ) Legyen ε > 0. Mivel I a felsőösszegek infimuma, ezért az ε 2 τ 1 F [a, b], hogy I + ε 2 > S(τ 1). > 0 számhoz Mivel I az alsóösszegek szuprémuma, ezért az ε 2 > 0 számhoz τ 2 F [a, b], hogy s(τ 2 ) > I ε 2. Mivel I = I, ezért a τ := τ 1 τ 2 F [a, b] felosztásra S(τ) s(τ) S(τ 1 ) s(τ 2 ) < ε. (8.15. ábra) ( ) Nyilván τ F [a, b] esetén I S(τ) és I s(τ), ezért a feltétel szerint ε > 0 esetén τ F [a, b], hogy 0 I I S(τ) s(τ)< ε I = I. (Az aláhúzottak szerint ha egy nemnegatív szám bármely pozitív számnál kisebb, akkor az csak 0 lehet.) Tétel Ha f : [a, b] IR monoton, akkor f R[a, b]. Biz.: Legyen f monoton növekedő (ne legyen konstans, mert ennek integrálhatóságát már megmutattuk). Így f(a) < f(b). Legyen ε > 0 tetszőleges. Legyen τ F [a, b] olyan felosztás, amelyben max{x i x i 1 i = 1, 2,..., n} < Ekkor M i f(x i ) és m i f(x i 1 ), i = 1, 2,..., n, így = ε f(b) f(a). n n ε S(τ) s(τ) = (M i m i )(x i x i 1 )< (f(x i ) f(x i 1 )) f(b) f(a) i=1 i=1 ε f(b) f(a) (f(x 1) f(x 0 ) + f(x 2 ) f(x 1 ) f(x n ) f(x n 1 )) = ε,

146 140 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS tehát a Riemann-tétel szerint f R[a, b] Tétel f C[a, b] f R[a, b]. Biz.: Legyen ε > 0 tetszőleges. A Heine-tétel szerint az [a, b] intervallumon folytonos f függvény egyenletesen folytonos az [a, b]-n, ezért az ε b a > 0 számhoz δ > 0 x, x [a, b], x x < δ esetén f(x ) f(x ) < ε/(b a). Legyen τ F [a, b] olyan, hogy max{x i x i 1 i = 1, 2,..., n} < δ. Ekkor i = 1, 2,..., n esetén x, x [x i, x i 1 ] miatt f(x ) f(x ) < ε b a, ezért Tekintsük a S(τ) s(τ) = n i=1 0 M i m i ε b a. (M i m i )(x i x i 1 ) ε b a (x i x i 1 ) = ε, így f R[a, b]. Megjegyezzük, hogy f R[a, b] f C[a, b]. Például az 1, ha 0 x < 1 f : [0, 2] IR, f(x) := 2, ha x = 1 3, ha 1 < x 2 monoton növekedő a [0, 2] intervallumon, ezért integrálható, de f / C[1]. Itt jegyezzük meg azt is, hogy van nem integrálható függvény is. Tekintsük a Dirichlet-függvény d [0,1] leszűkítését. A d [0,1] / R[0, 1], mert az ε := 1 > 0 számhoz τ F [0, 1] esetén m 2 i = 0 és M i = 1, így S(τ) s(τ) = n i=1 (1 0)(x i x i 1 ) = 1 > ε. Állapodjunk meg abban, hogy f R[a, b] esetén a b f := Néhány egyszerűen igazolható, de hosszadalmas számolást igénylő tételt csak kimondunk: Tétel Legyen I IR intervallum, és a, b, c I. Ha f R[a, b] és f R[b, c], akkor f R[a, c], és c a f = b a b a f + f. c b f.

147 8.4. D Tétel Ha f R[a, b] és λ IR, akkor λf R[a, b], és b λf = λ b a a Tétel Ha f, g R[a, b], akkor f + g R[a, b], és f. b a f + g = b Tétel Ha f, g R[a, b], akkor fg R[a, b]. a f + b (Ne keressük az b fg előállítását, általános képlet nincs!) a Tétel Ha g R[a, b], és c > 0, hogy x [a, b] esetén g(x) c, akkor 1 g R[a, b]. (Itt nem elég, hogy g(x) 0 x [a, b] esetén!) Tétel Ha f R[a, b], akkor f R[a, b] Tétel Ha φ R[a, b], φ(x) 0 (x [a, b]), akkor b a φ 0. Biz.: τ F [a, b] esetén m i, M i 0, ezért a g. s(τ) = m i (x i x i 1 ) 0, S(τ) = M i (x i x i 1 ) 0, és ezekkel együtt I = sup{s(τ) τ F [a, b]} 0, I = inf{s(τ) τ F [a, b]} 0. Mivel φ R[a, b], ezért b a φ = I = I Tétel Ha f, g R[a, b], és x [a, b] esetén f(x) g(x) akkor b a f b a g. Biz.: Legyen φ := f g. φ R[a, b], φ(x) 0 (x [a, b]), ezért amiből b a f b a g. 0 b a φ = b a f g = Tétel Ha f R[a, b], akkor b a f b a f. Biz.: x [a, b] esetén b a f f(x) f(x) f(x), b a g,

148 142 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ezért ( f R[a, b] miatt) de akkor b a f b a f b a b b f f Tétel Ha f C[a, b], akkor c [a, b], hogy b f = f(c) (b a). a Biz.: A Weierstrass-tétel miatt α, β [a, b], amelyre x [a, b] esetén a a f, m := f(α) f(x) f(β) =: M. Ezért azaz m(b a) = b a m b a m 1 b a f b a b a f M. M = M(b a), A Bolzano-tétel szerint az f C[a, b] függvény két függvényérték, így m és M között is minden értéket, így az 1 b f számot is valahol felveszi, azaz c [a, b], amelyre b a a f(c) = 1 b a Megjegyezzük, hogy a 1 b f az f C[a, b] függvény integrálközepe. b a a Definíció Legyen I IR nyílt intervallum, f : I IR. Azt mondjuk, hogy F : I IR, F D(I) primitív függvénye az f függvénynek, ha x I esetén F (x) = f(x) Tétel Ha F és G primitív függvénye f-nek, akkor c IR, hogy x I esetén F (x) = G(x) + c. Biz.: F = f és G = f, ezért (F G) = 0 az I intervallumon. Ha egy intervallumon egy függvény deriváltja 0, akkor ez a függvény konstans, azaz c IR, hogy x I esetén F (x) G(x) = c. b Az integrált és a primitív függvényt kapcsolja össze a Tétel (Newton Leibniz-formula) Legyen f R[a, b]. Tegyük fel, hogy f-nek van F primitív függvénye. Ekkor a f. b a f = F (b) F (a).

149 8.4. D 143 Biz.: Legyen τ F [a, b] tetszőleges. Ekkor F (b) F (a) = F (x 1 ) F (x 0 ) + F (x 2 ) F (x 1 ) F (x n ) F (x n 1 ). A Lagrange-középértéktétel szerint ξ i (x i 1, x i ), hogy F (x i ) F (x i 1 ) = F (ξ i )(x i x i 1 ) = f(ξ i )(x i x i 1 ), (i = 1, 2,..., n). Ezzel F (b) F (a) = f(ξ 1 )(x 1 x 0 ) + f(ξ 2 )(x 2 x 1 ) f(ξ n )(x n x n 1 ). Mivel m i f(ξ i ) M i (i = 1, 2,..., n), ezért m 1 (x 1 x 0 ) m n (x n x n 1 ) F (b) F (a) M 1 (x 1 x 0 ) M n (x n x n 1 ), azaz s(τ) F (b) F (a) S(τ) Mivel τ F [a, b] felosztásra igaz ez az egyenlőtlenség, azért I F (b) F (a) I is igaz. Az f R[a, b], így I = I, amiből következik, hogy F (b) F (a) = I = I = Megjegyezzük, hogy van olyan f R[a, b], amelynek nincs primitív függvénye (például az b 1, ha x x < 1 f : [0, 2] IR, f(x) := 2, ha x = 1 3, ha 1 < x 2 a deriváltról szóló Darboux-tétel miatt). Van olyan példa is, amikor van primitív függvény, de maga a függvény nem integrálható (Volterra példája néven ismert ilyen példa.) A Newton Leibniz-formula az integrál hatékony kiszámításának módszere. a f.

150 144 FEJEZET 8. INTEGRÁLHATÓSÁG, INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

151 9. fejezet Függvénysorozatok, függvénysorok 9.1. A Ez egy kiegészítő fejezet. A gyakorlatban felmerülő problémák (függvények közelítése, közönséges és parciális differenciálegyenletek megoldása közelítő módszerekkel) igényli a sorra kerülő fogalmakat, eredményeket B Legyen H IR, H halmaz, és a φ 1, φ 2,..., φ n,... függvények mindegyike φ n : H IR (n IN). Az ilyen (φ n ) függvénysorozatról mondjuk, hogy H halmazon értelmezett. Például 1. (id n ) [itt D(id n ) = IR, n IN] 0, ha x = 0 2. ha n IN, akkor φ n : [0, 1] IR, φ n (x) := 1, ha 0 < x < 1 n 0, ha 1 x 1 n 3. ha n IN, akkor lásd az 9.1. ábrát 4. ha n IN, akkor lásd az 9.2. ábrát 5. * ( n k=1 sin (k id)) [itt is IR az egyes függvények értelmezési tartománya] Érdekes lehet az a kérdés, hogy a (φ n ) függvénysorozat tagjai közelednek-e valamilyen függvényhez, ha n növekszik Definíció A (φ n ) függvénysorozat [D(φ n ) = H, n IN] konvergenciahalmaza KH(φ n ) := {x H (φ n (x)) számsorozat konvergens} 145

152 146 FEJEZET 9. FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK 9.1. ábra ábra. Az 1. példában KH(id n ) = ( 1, 1], mert ha 1 < x < 1, akkor id n (x) = x n 0; ha x := 1, akkor id n (1) = 1 1, de ha x > 1 vagy x 1, akkor (id n (x)) nem konvergens. A 2. példában KH(φ n ) = [0, 1], hiszen φ n (0) = 0 0. Ha 0 < x < 1, akkor van olyan N, hogy 1 N < x, és ekkor a (φ n(x)) sorozat 1, 1,..., 1, 0, 0, 0,..., 0,... alakú, amely 0-hoz tart (ha n N, akkor φ n (x) = 1, ha n > N, akkor φ n (x) = 0). Ugyanez mondható el a 3. és 4. példában is. Az 5.* példa kicsit nehezebb. Ha x = lπ (l Z), akkor ( n k=1 sin(klπ)) = (0) a számsorozat, amely 0-hoz tart. Tehát ( n ) KH sin (k id) {lπ l Z}. k=1 Ha volna még x IR, x lπ (l Z) a függvénysorozat konvergenciahalmazában, akkor a (sin kx) sorozatnak 0-hoz kellene tartania. Tegyük fel, hogy sin kx 0. Ekkor sin(k +

153 9.2. B 147 1)x 0 is igaz lenne, azaz sin(kx + x) = sin kx cos x + cos kx sin x 0. Mivel sin x 0, sin kx 0, ezért cos kx 0 is igaz. Így sin 2 kx + cos 2 kx 0 is igaz lenne, de ez nem lehet, hiszen sin 2 kx + cos 2 kx = 1. Tehát ( n ) KH k=1 sin (k id) = {lπ l Z}. Ez azért fontos példa, mert a Fourier-sorok problémaköre számos ehhez hasonló nehézséget vet fel Definíció Legyen (φ n ) egy H halmazon értelmezett függvénysorozat. Tegyük fel, hogy KH(φ n ). A (φ n ) függvénysorozat határfüggvénye az az f : KH(φ n ) IR függvény, amelyre minden x KH(φ n ) esetén f(x) := lim φ n (x). Gyakran f := lim φ n jelölést is használnak. Az 1. példában lim id n : ( 1, 1] IR, (lim id n )(x) := { 0, ha 1 < x < 1 1, ha x = 1 A 2., 3. és 4. példában lim φ n : [0, 1] IR, (lim φ n )(x) := 0. Az 5.* példában n lim sin (k id) = k=1 sin (k id) : {lπ k Z} IR, k=1 n (lim sin (k id))(x) = sin kx := 0. k=1 k=1 Amikor a példákban szereplő függvénysorozatok tagjainak és a határfüggvénynek a tulajdonságait összehasonlítjuk, érdekes különbségek mutatkoznak. Az 1. példában id n folytonos, differenciálható az IR-en, míg lim id n nem folytonos, így persze nem is diffe-

154 148 FEJEZET 9. FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK renciálható. A 2. példa φ n függvényeinek egyike sem folytonos, a lim φ n folytonos és differenciálható is. A 3. és 4. példában φ n és lim φ n is folytonos, a φ n nem differenciálható, a lim φ n pedig sima. Itt azonban még egy izgalmas különbségre figyelhetünk fel: A 3. példában míg a 4. példában φ n = n 1 = 1 2n 0, φ n = n n = , és de 1 lim φ n = lim φ n = = 0, 0 = 0, tehát a függvénysorozat tagjainak integráljaiból álló sorozat határértéke nem a határfüggvény integrálja. Az 5.* példában a függvénysorozat tagjai kellemes trigonometrikus, sima, periodikus függvények az egész IR-en, míg a határfüggvény igen szegényes, éppen csak a periodikusság maradt meg... A példák azt mutatják, hogy a pontonkénti konvergencia fogalma nem elég hatékony a függvénysorozat tagjai jó tulajdonságainak a határfüggvényre való átörökítésére. Ezen próbálunk segíteni: Definíció Legyen (φ n ) a H halmazon értelmezett függvénysorozat. Tegyük fel, hogy KH(φ n ), és legyen E KH(φ n ), E halmaz. Azt mondjuk, hogy a (φ n ) függvénysorozat egyenletesen konvergens az E halmazon, ha bármely ε > 0 hibakorláthoz van olyan N IN küszöbindex, hogy n > N esetén és bármely x E helyen φ n (x) (lim φ n )(x) < ε. Jelölje ezt a tényt φ n E lim φ n. Ez azt jelenti, hogy a küszöbindex független x-től, ezért nevezzük egyenletes konvergenciának. Az 1. példában a ( 1, 1] halmazon nem egyenletes az (id n ) konvergenciája. Még a ( 1, 1) halmazon sem! Ha δ > 0, akkor az E := [ 1 + δ, 1 δ] intervallumon már id n E 0. A 2., 3. és 4. példában is a [0, 1] intervallumon nem egyenletes a konvergencia, de δ > 0 esetén φ n [δ,1] 0

155 9.2. B 149 már igaz. Az 5.* példában ugyan az E := KH( n k=1 sin (k id)) halmazon egyenletes a konvergencia, de ezzel nem sokra megyünk... Milyen következményei vannak egy függvénysorozat egyenletes konvergenciájának? Rend lesz a példákban tapasztalható kuszaságban Tétel Legyen φ n C[a, b] (n IN). Tegyük fel, hogy φ n [a,b] f. Ekkor f C[a, b] Tétel Legyen I IR nyílt intervallum, φ n : I IR (n IN). Tegyük fel, hogy van olyan x 0 I, hogy (φ n (x 0 )) konvergens. Tegyük fel, hogy φ n folytonosan differenciálható az I intervallumon (φ n C 1 (I), n IN) és φ n I g. Ekkor a (φ n ) függvénysorozat is egyenletesen konvergál az I intervallumon egy f : I IR függvényhez (φ n I f D(I), sőt f (x) = g(x) = lim φ n(x) minden x I esetén. f), és A tétel állítása röviden: (lim φ n ) = lim φ n, azaz a lim és a deriválás sorrendje felcserélhető Tétel Legyen φ n R[a, b], (n IN). Tegyük fel, hogy φ n [a,b] f. Ekkor f R[a, b], és lim b φ a n = b f. a A tétel röviden azt állítja, hogy egyenletes konvergencia esetén lim b a φ n = b azaz a lim és az integrálás sorrendje felcserélhető. a lim φ n, A függvénysorozatra kiépített fogalmak értelemszerű módosítással függvénysorra is átvihetők Definíció Legyen (φ n ) a H halmazon értelmezett függvénysorozat. Legyen S n := φ 1 + φ φ n (n IN) az n-edik részletösszeg. A (φ n ) függvénysorozatból képezett függvénysoron az (S n ) függvénysorozatot értjük, azaz φ n := (S n ) Definíció KH φ n := KH(S n ). Látható, hogy KH φ n = {x H φ n (x) konvergens} Definíció Tegyük fel, hogy KH φ n. Legyen φ n : KH φ n IR, n=1 ( ) φ n (x) := n=1 n=1 φ n (x)

156 150 FEJEZET 9. FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK a függvénysor összegfüggvénye. Nyilván igaz, hogy ( n=1 φ n) (x) = lim S n (x) minden x KH(S n ) esetén. Például φ n := j n (n IN) esetén bármely x IR pontban S n (x) := x + x x n = { x xn 1 x 1 ha x 1 n, ha x = 1. Ezért lim S n (x) = x, ha x ( 1, 1); ha x IR\( 1, 1), akkor (S 1 x n(x)) divergens. Tehát KH id n = ( 1, 1), és ( n=1 idn )(x) = x. 1 x Definíció Legyen (φ n ) olyan függvénysorozat, amelyre KH φ n. Legyen E KH φ n. Azt mondjuk, hogy φ n egyenletesen konvergens az E halmazon, ha az (S n ) részletösszegek sorozata egyenletesen konvergens az E halmazon. Jelben: φ n E n=1 φ n. Egy hasznos elégséges feltétel függvénysor egyenletes konvergenciájára: Tétel (Weierstrass majoráns kritériuma) Legyen (φ n ) a H halmazon értelmezett olyan függvénysorozat, amelyhez van olyan (a n ) IR + pozitív számsorozat, hogy minden x H esetén φ n (x) a n, (n IN), és még a n is konvergens. Ekkor φn H n=1 φ n. A függvénysor részletösszeg-sorozatára tett egyenletes konvergensségi feltételek következtében igazak a vázlatosan megfogalmazott tételek: Ha φ n C[a, b], és φ n [a,b] n=1 φ n, akkor n=1 φ n C[a, b]. Ha φ n C 1 (I), és φ n I g akkor n=1 φ n C 1 (I), és ( ) φ n = n=1 (Az összegzés és a deriválás felcserélhető.) φ n = g. Ha φ n R[a, b], és φ n [a,b] n=1 φ n, akkor n=1 φ n R[a, b], és b a φ n = n=1 (A függvénysort tagonként lehet integrálni.) n=1 n=1 b a φ n.

157 9.2. B 151 A hatványsorok speciális függvénysorok Definíció Legyen c 0, c 1, c 2,..., c n,... számsorozat, a IR egy szám. A cn (j a) n függvénysort hatványsornak nevezzük, melynek együttható-sorozata a (c n ), és a hatványsor középpontja az a IR. Állapodjunk meg, hogy a továbbiakban a := 0 az egyszerűbb fogalmazás kedvéért Tétel (Cauchy Hadamard-tétel) Legyen c n id n hatványsor. 1 o Ha ( n c n ) korlátos, és lim sup n c n 0, akkor legyen R := 1 lim sup n c n (R a hatványsor konvergenciasugara). Ekkor ( R, R) KH c n id n [ R, R]. 2 o Ha ( n c n ) felülről nem korlátos, akkor KH c n id n = {0}. 3 o Ha lim sup n c n = 0, akkor KH c n id n = IR. Látható, hogy egy hatványsor konvergenciahalmaza mindig intervallum (a 2 o esetben elfajult intervallum), de ez az intervallum lehet az 1 o esetben ( R, R), ( R, R], [ R, R), [ R, R] valamelyike. A hatványsorok konvergenciahalmazát összevetve az 5.* példában szereplő sin (k id) függvénysor konvergenciahalmazával, szembeötlő a különbség Tétel Legyen c n id n hatványsor, amelyre ( n c n ) felülről korlátos. Ekkor az f : KH c n id n IR, f(x) := n=0 c nx n összegfüggvény az intkh c n id n nyílt intervallumon folytonos is és differenciálható is; sőt bármely x intkh c n id n esetén f (x) = nc n x n 1. n=0

158 152 FEJEZET 9. FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK A tétel következménye, hogy ( n c n ) felülről korlátosságából az ( n nc n ) = ( n n n c n ) felülről korlátossága is következik, sőt a nc n id n 1 hatványsor konvergenciahalmaza ugyanaz marad, mint a c n id n konvergenciahalmaza volt. Ezért ennek a hatványsornak az összegfüggvénye is differenciálható, sőt f (x) = minden x intkh c n id n esetén. Ez a gondolatmenet folytatható: f (k) (x) = n(n 1)c n x n 2 n=2 n(n 1)... (n k + 1)c n x n k, x intkh c n id n. n=k Látható az is, hogy f(0) = c 0, f (0) = c 1..., f (k) (0) = k!c k, Tétel (Abel) Legyen c n id n hatványsor, amelynek konvergenciasugara R > 0. Tegyük fel, hogy még cn R n is konvergens. Ekkor az f C[R], azaz lim x R f(x) = n=0 c nr n C 1. Vizsgáljuk meg a következő hatványsorok konvergenciahalmazát: id n, 1 n idn, ( 1) n n idn, 1 n 2 idn, 1 5 n n idn, 1 n! idn, n n id n Megoldás: lim sup n 1 = 1, lim sup n 1 = 1, lim sup n 1 = 0, lim sup n 1 = 1, n 2 n! n lim sup n 1 = 1, ( n n 5 n n 5 n ) = (n) felülről nem korlátos. KH id n = ( 1, 1) KH 1 n idn = [ 1, 1) KH ( 1) n n idn = ( 1, 1] KH 1 n 2 id n = [ 1, 1] KH 1 5 n n idn = [ 5, 5) KH 1 n! idn = IR KH n n id n = {0} (Leibniz-tétel)

159 9.3. C Igaz-e, hogy 1 + x + x 2 + x x n +... = 1, ha x < 1. 1 x Igaz-e, hogy 1 + 2x + 3x nx n = Mivel egyenlő az 1 + 2x 2 + 3x nx n +... = ( ) 1 = 1 x 1, ha x < 1? (1 x) 2 x, ha x < 1? (1 x) x x n 2 x n , ha x < 1? 3. Legyen x := t. Ekkor 1 + x + x x n +... = 1, ha x < 1. 1 x 1 t + t ( 1) n t n +... = 1, ha t < t Igaz-e, hogy t t2 2 + t3 3 tn ( 1)n +... = ln(1 + t), ha t < 1? n + 1 Igaz-e, hogy ( 1)n +... = ln 2? n Legyen x := t 2. Ekkor 1 + x + x x n +... = 1, ha x < 1. 1 x 1 t 2 + t ( 1) n t 2n +... = 1, ha t < t2 Igaz-e, hogy t t3 3 + t5 5 t2n ( 1)n +... = arctgt, ha t < 1? 2n + 1

160 154 FEJEZET 9. FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK Igaz-e, hogy ( 1)n 1 2n = π 4? 9.4. D Nem ismételjük meg a már pontosan bevezetett fogalmakat, csupán a fontos és egyszerűen igazolható állításokat vesszük sorra Tétel Legyen φ n C[a, b] (n IN). φ n [a,b] f f C[a, b]. Biz.: Legyen α [a, b] és ε > 0 tetszőleges. Mivel φ n [a,b] f, ezért az ε > 0 számhoz 3 N, hogy n > N és x [a, b] esetén φ n (x) f(x) < ε 3. Legyen n > N. A φ n C[α], ezért az ε > 0 számhoz δ > 0, hogy x [a, b], x α < δ 3 esetén φ n (x) φ n (α) < ε 3. Legyen x [a, b] tetszőleges, x α < δ. Ekkor f(x) f(α) = f(x) φ n (x) + φ n (x) φ n (α) + φ n (α) f(α) f(x) φ n (x) + φ n (x) φ n (α) + φ n (α) f(α) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε Tétel Legyen φ n R[a, b] (n IN) φ n [a,b] f f R[a, b] és b φ n b a a f. Biz.: A bizonyítást csak φ n C[a, b] (n IN) esetén végezzük el, mert ekkor φ n [a,b] f miatt f C[a, b], így f R[a, b]. Legyen ε > 0 tetszőleges. Mivel φ n [a,b] f, ezért az ε/(b a) > 0 számhoz N, hogy n > N és x [a, b] esetén Legyen n > N tetszőleges. Ekkor b a φ n b a b f = b (φ n f) a φ n (x) f(x) < ε b a. a b φ n f < a ε b a = ε (b a) = ε. b a

161 9.4. D 155 Az aláhúzottak szerint lim b a φ n = b a f. A deriváltakról szóló tételt körülményesen lehet bizonyítani, ezért eltekintünk tőle Tétel (Weierstrass majoráns kritérium) Legyen (φ n ) függvénysorozat és (a n ) IR + számsorozat, melyekre φ n (x) a n (n IN, x H) és a n konvergens. Ekkor φ n egyenletesen konvergens a H halmazon. Biz.: Legyen ε > 0 és x H tetszőleges. Mivel a n konvergens, ezért N, hogy n, m > N, n > m esetén φ m+1 (x) + φ m+2 (x) φ n (x) a m+1 + a m a n < ε. Ez azt jelenti, hogy φ k (x) konvergens, de akkor φ n (x) is konvergens. Legyen f : H IR, f(x) := n=1 φ n(x). Legyen m > N és x H tetszőleges. Ekkor m f(x) φ k (x) = k=1 hiszen n > m > N esetén k=m+1 φ k (x) k=m+1 φ k (x) k=m+1 a k ε, a m+1 + a m a n < ε igaz volt. Az aláhúzottak szerint φ k H f. A Cauchy Hadamard-tételnek is csak azt az esetét igazoljuk, amelyben: Tétel Legyen ( n c n ) korlátos, és lim sup n c n 0. Legyen R := 1 lim sup n c n > 0. Ekkor Biz.: 1 o x IR, x < R esetén a c n x n abszolút konvergens, 2 o x IR, x > R esetén a c n x n abszolút divergens. 1 o Legyen r > 0 olyan, hogy x < r < R. Ekkor 1 x > 1 r > 1 R = lim sup n c n.

162 156 FEJEZET 9. FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK A sorozat limesz szuperiorjánál nagyobb szám a sorozatban legfeljebb véges sok van, ezért N, hogy n > N esetén n cn < 1 r. Szorozzuk ezt az egyenlőséget x -kel, és emeljük n-edik hatványra. Ekkor Mivel x r =: q < 1 és pozitív, ezért c n x n < ( ) n x. r n=n+1 c n x n < Ez már elég a c n x n sor konvergenciájához. 2 o Most legyen p > 0 olyan, hogy Ekkor x > p > R. n=n+1 q n. 1 p < 1 R = lim sup n c n. A sorozat limesz szuperiorjánál kisebb számnál nagyobb tagja a sorozatnak végtelen sok van, ezért végtelen sok olyan n IN van, amelyre 1 p < n c n. Az x -kel beszorozva és n-edik hatványra emelve azt kapjuk, hogy végtelen sok n-re 1 < ( ) n x < c n x n. p Ha egy összeadandó sorozat végtelen sok tagja nagyobb 1-nél, akkor az a sorozat nem tarthat 0-hoz, így c n x n nem lehet konvergens.

163 10. fejezet Többváltozós függvények A Számos jelenség leírásához kevésnek bizonyul a valós-valós függvény. Ezért általánosítjuk a már megismert fogalmainkat is B A Lineáris Algebra tanulmányozása során megismerkedtünk az IR n vektortérrel. Ha az x IR n egy vektor, akkor az x = (x 1, x 2,..., x n ), ahol x i IR a vektor i-edik koordinátája. Az x vektor normája (hossza) x := x x x 2 n IR. A vektorok normájára igaz, hogy 1 o x 0, és x = 0 x = 0 IR n 2 o λ IR λx = λ x 3 o x + y x + y. Legyen e i := (0,..., 1 i),... 0) IR n az i-edik egységvektor ( e i = 1), i = 1, 2,..., n. Ekkor x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n. Az a, b IR n vektorok skaláris szorzatán az < a, b >:= a 1 b 1 + a 2 b a n b n IR számot értjük. A skaláris szorzat tulajdonságai: 157

164 158 FEJEZET 10. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK 1 o < a, b >=< b, a > 2 o < a + b, c >=< a, c > + < b, c > 3 o ha λ IR, < λa, b >=< a, λb >= λ < a, b > 4 o < a, a >= a o < a, b > a b (Cauchy Bunyakovszkij Schwarz-egyenlőtlenség) Az a és b vektor ortogonális (merőleges), ha < a, b >= 0. Megismerkedtünk a mátrixokkal is. Ha A egy m sorból és n oszlopból álló mátrix, akkor A IR m n, amelynek i-edik sorának j-edik eleme a ij. Legyen A, B IR m n és λ IR. Ekkor C := A + B IR m n, ahol c ij = a ij + b ij, és D := λa IR m n, ahol d ij = λa ij. Ha A IR m n és B IR n p, akkor az S := A B IR m p, ahol s ij = n k=1 a ikb kj. Állapodjunk meg abban, hogy az IR n vektorteret azonosítjuk az IR n 1 oszlopmátrixok terével, aminek legyen az a következménye, hogy az x IR n, x = (x 1 x 2,..., x n ) vektort azonosítjuk az x = x 1 x 2. x n IRn 1 oszlopmátrixszal. (Jelölésben sem teszünk különbséget közöttük, sőt vektort mondunk, de oszlopmátrixot írunk.) Például, ha a, b IR n, akkor skaláris szorzatuk felfogható a következő alakúnak is: < a, b >= a 1 b 1 + a 2 b a n b n = [a 1 a 2... a n ] b 1 b 2. b n, azaz egy IR 1 n -beli sormátrix és egy IR n 1 -beli oszlopmátrix szorzataként. Legyen f : IR n IR k n változós, k dimenziós vektor értékű függvény. Ha x D(f) és x = (x 1, x 2,..., x n ) vektor, akkor f(x) IR k, és f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f k (x)), ahol

165 10.2. B ábra. f i : IR n IR az i-edik koordináta-függvény (i = 1, 2,..., k). Az ilyen f függvényt f = f 1 f 2. f k alakban is megadhatjuk. Például legyen f : IR 2 IR 3, f(x 1, x 2 ) := sin(x 1 x 2 ) x 1 + x 2 Itt f 1 : IR 2 IR, f 1 (x 1, x 2 ) := sin(x 1 x 2 ) az első koordináta-függvény, f 2 : IR 2 IR, f 2 (x 1, x 2 ) := x 1 + x 2 és f 3 : IR 2 IR, f 3 (x 1, x 2 ) = x 2 a második illetve a harmadik koordináta-függvény. Nézzünk néhány speciális esetet. x 2. 1 o n = 1, k = 1, f IR IR az eddig tárgyalt valós-valós függvény. 2 o n > 1, k = 1, f IR n IR n változós, valós vagy skalár értékű függvény. Szemléltetése n = 2 esetén. Az (x 1, x 2 ) D(f) pontba állított merőlegesre felmérjük az f(x 1, x 2 ) IR számot. Az így kapott pontok egy felületet alkotnak (10.1. ábra). Másfajta szemléltetés n = 2 esetén. Legyen c IR és N c := {(x 1, x 2 ) D(f) f(x 1, x 2 ) = c}.

166 160 FEJEZET 10. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK ábra ábra. Az N c az f függvény c-hez tartozó szintvonala. Néhány c 1 < c 2 <... < c s számhoz tartozó szintvonal ábrázolása tartalmas képet ad az f függvényről. A térképészetben szintvonalas térképnek nevezik ezt (10.2. ábra). 3 o n := 1, k > 1, r IR IR k valós változós, k dimenziós vektor értékű függvény. Szemléltetése k = 3 esetén. Legyen D(r) := [α, β]. A t [α, β] paraméterértékhez hozzárendeljük az IR 3 egy r(t) := (x(t), y(t), z(t)) koordinátákkal megadott pontját. Az így kapott pontok egy térgörbét alkotnak (10.3. ábra). (A térgörbe az r függvény értékkészlete!) Például r : [0, 6π] IR 3, r(t) := 2 cos t 2 sin t 0.5t

167 10.2. B ábra. egy hárommenetes csavarvonal lesz, amely 3π magasságig jut és egy 2 sugarú hengerre tekeredik fel (10.4. ábra). 4 o n > 1, k > 1, f IR n IR k vektorváltozós vektorértékű (röviden vektor-vektor) függvény. Amikor a légtér minden pontjához hozzárendeljük a pontbeli szélsebességet (vektort!), akkor egy v IR 3 IR 3 sebességfüggvényről (néha sebességtérnek is nevezik) beszélünk. Amikor egy tömeg (például egy csillag) gravitációs teréről beszélünk, akkor az IR 3 minden pontjához hozzárendeljük az abban a pontban érvényes gravitációs erőt (vektort), így egy g IR 3 IR 3 függvény írja le a tömeg (csillag) gravitációs terét. Nézzük, hogy milyen tulajdonságok általánosíthatók ilyen függvényekre. 1 o Legyen a := (a 1, a 2,..., a m ) : IN IR m vektorsorozat. Az (a n ) vektorsorozat konvergens, ha valamilyen ponthoz tetszőlegesen közel kerül, pontosabban Definíció Azt mondjuk, hogy az (a n ) vektorsorozat konvergens, ha van olyan A IR m, A = (A 1, A 2,..., A m ) vektor, hogy bármely ε > 0 hibakorláthoz van olyan N küszöbindex, hogy minden n > N esetén a n A < ε.

168 162 FEJEZET 10. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK Ekkor is lim a n = A vagy a n A lesz ennek a jele. Könnyen látható, hogy a n A < ε a in A i < ε, i = 1, 2,..., m, m ezért egy vektorsorozat konvergens akkor és csak akkor, ha mindegyik koordinátasorozat (számsorozat) konvergens. Például az (( 1 n, n n+1 )) vektorsorozat konvergens, mert 1 0, n 1, így lim( 1, n ) = (0, 1). Az (( 1, n n+1 n n+1 n ( 1)n )) vektorsorozat nem konvergens (divergens), mert (( 1) n ) nem konvergens. 2 o Legyen f IR n IR k és a D(f). Az f függvényt folytonosnak nevezzük az a pontban, ha a-hoz közeli pontokban a függvényértékek közel vannak f(a)-hoz, pontosabban Definíció Azt mondjuk, hogy f folytonos az a pontban, ha minden ε > 0 hibakorláthoz van olyan δ > 0 ingadozási lehetőség, hogy minden x D(f), x a < δ esetén f(x) f(a) < ε. Ezt is f C[a] jelölje. Könnyen látható, hogy f = (f 1, f 2,..., f k ) esetén f(x) f(a) < ε f i (x) f i (a) < ε, i = 1, 2,..., k, k így f folytonos a-ban pontosan akkor, ha minden koordináta-függvénye folytonos az a-ban. Érvényes most is az Tétel (átviteli elv) f IR n IR k, a D(f). f C[a] minden(x n ) D(f), x n a sorozatra f(x n ) f(a). Például f : IR 2 IR 3, f(x 1, x 2 ) := x 1 x 2 x 2 1 folytonos az a := (1, 3) pontban, mert tetszőleges (x 1n, x 2n ) (1, 3) sorozatra x 1n x 2n 1 3, (x 1n ) és x 2n 3, ezért f(x 1n, x 2n ) f(1, 3). Tehát f C[(1, 3)]. Néha szükség lehet mátrixértékű függvényekre is. Ha f IR n IR k p, akkor f ij IR n IR az i,j-edik komponense. Az f legyen akkor folytonos az a D(f) pontban, ha minden f ij komponense folytonos az a-ban. (Elég, ha meggondoljuk, x 2

169 10.3. C 163 hogy IR k p azonosítható az IR kp vektortérrel.) Mátrixértékű függvény az [ f : IR 2 IR 2 2, f(x 1, x 2 ) := x 1 x 2 e x 1 0 x 1 + x 2 ]. Az f folytonos is minden (a 1, a 2 ) IR 2 pontban. 3 o Legyen a IR n és r > 0. Az a pont r sugarú környezete legyen K r (a) := {x IR n x a < r}. Legyen H IR n és a IR n. Az a pont torlódási pontja a H halmaznak, ha bármely K(a) környezetben végtelen sok H-beli pont van. Ezt a Ḣ jelölje. Legyen f IR n IR k és a (D(f)) Definíció Azt mondjuk, hogy az f függvénynek van határértéke az a pontban, ha van olyan A IR k, hogy bármely ε > 0 hibakorláthoz van olyan δ > 0, hogy minden x D(f), x a < δ, x a esetén f(x) A < ε. Ezt lim a f = A vagy lim x a f(x) = A vagy ha x a, akkor f(x) A jelölje. Könnyen látható, hogy az f IR n IR k függvénynek az a (D(f)) pontban pontosan akkor van határértéke, ha minden f i IR n IR koordináta-függvényének van határértéke az a-ban. Most is érvényes az Tétel (átviteli elv) lim a f = A minden (x n ) D(f), x n a, x n a esetén f(x n ) A C 1. Igazoljuk a Cauchy Bunyakovszkij Schwarz-egyenlőtlenséget: minden a, b IR n, a = (a 1, a 2,..., a n ) és b = (b 1, b 2,..., b n ) vektorra < a, b > a b, vagy a 1 b 1 + a 2 b a n b n a a a 2 n b b b 2 n.

170 164 FEJEZET 10. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK Megoldás: 1 o Ha b = (0, 0,..., 0) vektor, akkor nyilván igaz. 2 o Ha b 0, akkor bármely λ IR esetén 0 < a + λb, a + λb >=< a, a > +2 < a, b > λ+ < b, b > λ 2 = = b 2 λ < a, b > λ + a 2. A b 0 miatt ez egy olyan másodfokú polinom, amely minden λ IR esetén nemnegatív értékű. Ezért a diszkriminánsa D 0. Így 4 < a, b > 2 4 b 2 a 2 0 < a, b > 2 a 2 b 2 < a, b > a b. 2. Gondoljuk végig, hogy az f : IR 2 IR, f(x 1, x 2 ) := x x 2 2 szemléltetése egy forgásfelület. Hogyan nézhet ki a g : IR 2 IR, g(x 1, x 2 ) := x x 2 2 2x 1 + 4x felület? 3. Legyen F : IR 3 \ {0} IR 3, F (r) := Mr r 3, ahol r = (x 1, x 2, x 3 ), M > 0. Adjuk meg az F =: (P, Q, R) koordináta-függvényeit! 4. Legyen g : IR 2 IR 3, g(x, y) := xy x + y x y, Írja fel az f g függvényt! f : IR 3 IR, f(u, v, w) := u 2 v + w Legyen f : IR 2 IR, f(x, y) := { xy, x 2 +y 2 ha x 2 + y 2 0 0, ha x 2 + y 2 = 0 Van-e határértéke a (0, 0) IR 2 pontban az f függvénynek? Megoldás: Legyen először (x n, y n ) := ( 1 n, 0) (n IN). (x n, y n ) (0, 0), de (x n, y n ) (0, 0). f(x n, y n ) = 1 n 0 1 n = 0 0.

171 10.4. D 165 Ha viszont (x n, y n ) := ( 1, 1 ) (n IN), akkor ugyan (x n n n, y n ) (0, 0); (x n, y n ) (0, 0), de f(x n, y n ) = 1 1 n n 1 n n 2 = Mivel két megfelelő, (0, 0)-hoz tartó sorozaton különböző a függvényértékek sorozatának határértéke, ezért a függvénynek nincs határértéke (0, 0)-ban. 6. Legyen f : IR 2 IR, f(x, y) := { x 2 y 2, x 2 +y 2 ha x 2 + y 2 0 0, ha x 2 + y 2 = 0 Mutassa meg, hogy f C[(0, 0)] D Metrikus tér Legyen M és ρ : M M IR olyan függvény, amelyre 1 o ρ(x, y) 0, és ρ(x, y) = 0 x = y 2 o ρ(x, y) = ρ(y, x) 3 o ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) (háromszög-egyenlőtlenség) Az ilyen tulajdonságú ρ függvényt M-beli metrikának nevezzük, és az (M, ρ) legyen a metrikus tér. Példák 1. (IR, x y ) metrikus tér. 2. M tetszőleges halmaz és d : M M IR, d(x, y) := { 1, ha x y 0, ha x = y. (M, d) egy diszkrét metrikus tér. 3. a) (IR 2, ρ e ), ahol ha x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ), akkor ρ e (x, y) := (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 = x y (euklideszi metrika)

172 166 FEJEZET 10. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK b) (IR 2, ρ m ), ahol ρ m (x, y) := x 1 y 1 + x 2 y 2 (Minkowski metrika) c) (IR 2, ρ c ), ahol ρ c (x, y) := max{ x 1 y 1, x 2 y 2 } (Csebisev metrika) d) (IR 2, ρ p ), ahol p > 1 és ρ p (x, y) := ( x 1 y 1 p + x 2 y 2 p ) 1 p Látható, hogy ρ 2 = ρ e ; ρ 1 = ρ m, és belátható, hogy ρ = ρ c. 4. a) (C[a, b], ρ c ), ahol ρ c (f, g) := max{ f(x) g(x) x [a, b]} b) (C[a, b], ρ i ), ahol ρ i (f, g) := b f g a Számos további példa létezik metrikus térre. Legyen (M, ρ) metrikus tér, és (x n ) : IN M egy M-beli sorozat Definíció Azt mondjuk, hogy az (x n ) konvergens, ha a M, hogy ε > 0 N IN n > N esetén ρ(x n, a) < ε. Jele: lim x n = a vagy x n a. Könnyen látható, hogy az (IR, x y ) metrikus térben a valós konvergens sorozatok lesznek konvergensek. Az (M, d) diszkrét metrikus térben csak az olyan (x n ) sorozat lesz konvergens, amelyhez N, hogy i N esetén x i = x N. A 3/a), b), c), d) metrikus terekben pontosan azok a konvergens (x n ) IR 2 sorozatok, melyeknek az (x 1n ) IR és (x 2n ) IR koordináta-sorozatai konvergensek. A (C[a, b], ρ c ) metrikus térben ha (f n ) C[a, b] egy konvergens sorozat, akkor f C[a, b] ε > 0 N n > N ρ c (f n, f) = max{ f n (x) f(x) x [a, b]} < ε, ami ekvivalens azzal, hogy x [a, b] esetén f n (x) f(x) < ε. Láthatjuk, hogy ez éppen az (f n ) egyenletes konvergenciáját jelenti, és f n [a,b] f.

173 10.4. D Definíció Legyen (M, ρ) metrikus tér, és (x n ) M egy M-beli sorozat. Azt mondjuk, hogy (x n ) Cauchy-sorozat, ha ε > 0 N n, m > N esetén ρ(x n, x m ) < ε Tétel Ha (x n ) M konvergens, akkor (x n ) Cauchy-sorozat. Biz.: Bizonyítása szó szerint megegyezik a valós sorozatok Cauchy konvergenciakritériuma bizonyításának első részével (természetesen x y helyett ρ(x, y) értendő... ). Megfordítva általában nem igaz az állítás. Például a (IQ, x y ) metrikus térben az (( n+1 n )n ) IQ egy Cauchy-sorozat, viszont az e IR \ IQ irracionális számhoz kerül tetszőlegesen közel a sorozat, ezért nincs IQ-beli határértéke, így nem konvergens Definíció Az (M, ρ) metrikus teret teljes metrikus térnek nevezzük, ha (x n ) M Cauchy-sorozat konvergens. Az (IR, x y ), az (IR 2, ρ p ) minden p > 1 esetén teljes. A (C[a, b], max f g ) is teljes, de (C[a, b], b f g ) már nem. a Nyílt és zárt halmazok; kompakt halmaz Legyen (M, ρ) metrikus tér, a M és r > Definíció Az a pont r sugarú környezete a K r (a) := {x M ρ(x, a) < r}. A K(a) halmaz az a pont egy környezete, ha r > 0, hogy K(a) = K r (a). Legyen H M és a H Definíció Azt mondjuk, hogy a belső pontja H-nak, ha K(a), amelyre K(a) H Definíció Legyen G M. A G halmazt nyílt halmaznak nevezzük, ha minden pontja belső pont Definíció Legyen F M. Az F halmazt zárt halmaznak nevezzük, ha a komplementere F := M \ F nyílt halmaz.

174 168 FEJEZET 10. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK Tétel 1 o M és nyílt halmaz. 2 o Ha G γ (γ Γ) nyílt halmazok (G γ M, γ Γ), akkor γ Γ G γ is nyílt halmaz. 3 o Ha G 1, G 2,..., G n véges sok nyílt halmaz (G i M, i = 1,..., n), akkor n i=1g i is nyílt halmaz. Biz.: 1 o Nyilvánvalóan igaz. 2 o Legyen a γ Γ G γ tetszőleges. Ekkor ˆγ Γ, a Gˆγ. Mivel Gˆγ nyílt, ezért K(a) Gˆγ, de ekkor K(a) Gˆγ γ Γ G γ miatt K(a) γ Γ G γ. 3 o Legyen a n i=1g i tetszőleges. Ekkor i = 1, 2,..., n esetén a G i. Mivel G i nyílt, ezért K ri (a) G i, i = 1, 2,..., n. Legyen r := min{r 1, r 2,..., r n }, nyilván r > 0. K r (a) G i, i = 1, 2,..., n, így K r (a) n i=1g i, tehát a belső pontja a halmazok metszetének Tétel 1 o M és zárt halmaz. 2 o Ha F γ (γ Γ) zárt halmazok (F γ M, γ Γ), akkor γ Γ F γ is zárt halmaz. 3 o Ha F 1, F 2,..., F n véges sok zárt halmaz (F i M, i = 1,..., n), akkor n i=1f i is zárt halmaz. Biz.: 1 o M komplementere, ami nyílt. komplementere M, ami nyílt. 2 o A De Morgan-azonosság szerint γ Γ F γ = γ Γ F γ. Minden F γ nyílt, az egyesítésük is nyílt, így γ Γ F γ zárt. 3 o n i=1 F i = n i=1f i. F i nyílt, i = 1, 2,..., n, és véges sok nyílt metszete is nyílt, így n i=1f i zárt. Legyen K M Definíció A K halmazt kompaktnak nevezzük, ha bármilyen G γ (γ Γ) nyílt halmazok esetén, amelyre K γ Γ G γ [G γ (γ Γ) a K halmaz nyílt fedőrendszere ], van olyan γ 1, γ 2,..., γ n Γ, hogy K n i=1g γi [van véges fedőrendszere is a K halmaznak].

175 10.4. D 169 Az (IR, x y ) metrikus térben az [a, b] zárt intervallum, vagy az [a 1, b 1 ], [a 2, b 2 ],..., [a k, b k ] zárt intervallumok egyesítése kompakt. (Analízis könyvekben Borel-tétel néven megtalálható, hogy bármely I γ IR (γ Γ) nyílt intervallumrendszerből, amelyre [a, b] γ Γ I γ, kiválasztható véges sok: I γ1, I γ2,... I γn, amelyre [a, b] n i=1i γi.) A kompakt halmaz a véges sok pontból álló halmaz általánosítása. IR n -ben egy H IR n halmaz korlátos, ha R > 0, hogy x H esetén x R. Igazolható, hogy a ρ(x, y) := x y metrikával ellátott IR n -ben K IR n kompakt pontosan akkor, ha K korlátos és zárt. Folytonos függvények Legyen (M 1, ρ 1 ) és (M 2, ρ 2 ) metrikus tér, és legyen f : M 1 M Definíció Az f függvény az a D(f) pontban folytonos, ha ε > 0 δ > 0 x D(f), amelyre ρ 1 (x, a) < δ, teljesül, hogy ρ 2 (f(x), f(a)) < ε. Jele: f C[a]. Legyen A D(f) M Definíció Azt mondjuk, hogy f folytonos az A halmazon, ha a A esetén f C[a]. Jele: f C(A). Ha A = D(f), akkor f C Tétel Legyen (M 1, ρ 1 ), (M 2, ρ 2 ) metrikus tér, f : M 1 M 2. f C G M 2 nyílt halmaz esetén az f 1 (G) őskép is nyílt. Biz.: ( ) Legyen G M 2 nyílt és a f 1 (G) tetszőleges. (Ha f 1 (G) üres halmaz, akkor nyílt.) Ekkor f(a) G, és mivel G nyílt, ezért K(f(a)) M 2 környezet, amelyre K(f(a)) G. Mivel f C[a], ezért ehhez a K(f(a)) környezethez is K(a) M 1 környezete az a-nak, hogy x K(a) esetén f(x) K(f(a)), azaz f(k(a)) K(f(a)). Így f(k(a)) G is. Ebből K(a) f 1 (f(k(a))) f 1 (G), tehát a belső pontja f 1 (G) ősképnek, ezért f 1 (G) nyílt. ( ) Legyen a M 1 tetszőleges. Belátjuk, hogy f C[a]. Legyen K(f(a)) M 2 tetszőleges. Ez a környezet egy nyílt halmaz, ezért az őskép f 1 (K(f(a))) M 1 nyílt. Nyilván a f 1 (K(f(a))), ezért K(a), amelyre K(a) f 1 (K(f(a))). Ekkor x K(a) esetén f(x) K(f(a)), ami éppen azt jelenti, hogy f C[a]. A folytonos függvényeket és kompakt halmazokat kapcsolja össze a

176 170 FEJEZET 10. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK Tétel (Weierstrass-tétel) Legyen f : M 1 M 2 folytonos függvény és K M 1 kompakt halmaz. Ekkor f(k) M 2 is kompakt. Biz.: Legyen G γ (γ Γ) az f(k) egy tetszőleges, nyílt halmazokból álló fedőrendszere, f(k) γ Γ G γ. Mivel K f 1 (f(k)), ezért K f 1 ( γ Γ G γ ) = γ Γ f 1 (G γ ). Az f C, így f 1 (G γ ) M 1 nyílt (γ Γ). Tehát f 1 (G γ ) (γ Γ) a K nyílt fedőrendszere. Mivel K kompakt, ezért γ 1, γ 2,..., γ n Γ, hogy K n i=1f 1 (G γi ). Ekkor viszont f(k) f( n i=1f 1 (G γi )) = n i=1f(f 1 (G γi )) n i=1g γi. Megtaláltuk a G γ (γ Γ) fedőrendszernek azt a véges részhalmazát, amely az f(k) véges fedőrendszere, tehát f(k) kompakt. Ennek a tételnek a következménye, hogy ha (M, ρ) metrikus tér és f : M IR folytonos, akkor minden K M kompakt esetén az f K függvénynek van maximuma és minimuma. Fixponttétel Legyen A halmaz és f : A A függvény. Az olyan a A pontot, amelyre f(a) = a, az f függvény fixpontjának nevezzük. Legyen (M, ρ) metrikus tér és f : M M leképezés Definíció Azt mondjuk, hogy f kontrakció (összehúzó leképezés), ha q [0, 1), hogy x, y M esetén ρ(f(x), f(y)) qρ(x, y) Tétel (Banach Cacciopoli Tyihonov-fixponttétel) Legyen (M, ρ) teljes metrikus tér. Legyen f : M M kontrakció. Ekkor egyértelműen létezik olyan x M, amelyre f(x ) = x, azaz pontosan egy fixpontja van az f leképezésnek. Biz.: Legyen x 0 M tetszőleges. Tekintsük az x 1 := f(x 0 ), x 2 := f(x 1 ),... x n+1 := f(x n ),... sorozatot. Megmutatjuk, hogy (x n ) M Cauchy-sorozat. 1 o n IN esetén ρ(x n+1, x n ) = ρ(f(x n ), f(x n 1 )) qρ(x n, x n 1 ) = qρ(f(x n 1 ), f(x n 2 )) q 2 ρ(x n 1, x n 2 )... q n ρ(x 1, x 0 ). 2 o Legyen n, m IN, n > m. Ekkor a háromszög-egyenlőtlenség ismételt alkalma-

177 10.4. D 171 zásával, illetve az 1 o részben igazoltak szerint ρ(x n, x m ) ρ(x n, x n 1 ) + ρ(x n 1, x n 2 ) ρ(x m+1, x m ) q n 1 ρ(x 1, x 0 ) + q n 2 ρ(x 1, x 0 ) q m ρ(x 1, x 0 ) = = q m ρ(x 1, x 0 )[1 + q + q q n m 1 ] q m 1 ρ(x 1, x 0 ) 1 q. 3 o A q [0, 1) miatt q m 0, ezért ε > 0 N n > N q m 1 ρ(x 1, x 0 ) 1 q < ε. Legyen n, m > N, n > m tetszőleges. Ekkor ρ(x n, x m ) q m 1 ρ(x 1, x 0 ) 1 q < ε, tehát (x n ) Cauchy-sorozat. Az (M, ρ) teljessége miatt (x n ) konvergens. Legyen x := lim x n. Megmutatjuk, hogy x M a leképezés fixpontja. A folytonos függvényekre vonatkozó átviteli elv szerint x = lim x n = lim f(x n 1 ) = f(lim x n 1 ) = f(x ). Az x egyértelműségéhez tegyük fel, hogy y M is olyan, hogy f(y) = y. Ekkor ρ(x, y) = ρ(f(x ), f(y)) qρ(x, y), amiből 0 ρ(x, y) (q 1) következik. A ρ(x, y) 0, q 1 < 0, ezért szorzatuk csak úgy lehet nemnegatív, ha ρ(x, y) = 0, amelynek a metrika 1 o tulajdonsága szerint x = y a következménye. Tehát egyetlen fixpont van csak.

178 172 FEJEZET 10. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

179 11. fejezet Többváltozós függvény differenciálhatósága A Megismerkedünk a parciális deriválttal, a függvény differenciálhatóságával, az iránymenti deriválttal. Szélsőérték-számítás eszköze is lesz a derivált B Legyen f : IR 2 IR függvény. Tekintsük az értelmezési tartomány egy a = (x, y) intd(f) belső pontját. Fektessünk az a ponton át az x tengellyel párhuzamos egyenest, ennek egy pontja (x + t, y), t IR lesz, majd vegyük a függvény értékeit ezekben a pontokban: f(x + t, y). Ekkor egy φ : IR IR, φ(t) := f(x + t, y) valós-valós függvényt értelmeztünk, a képe egy, a felületen futó görbe (11.1. ábra) Definíció Azt mondjuk, hogy az f függvény az (x, y) pontban az első változó szerint parciálisan differenciálható, ha φ differenciálható a t = 0 pontban. Ha φ D[0], akkor az f első változó szerinti parciális deriváltja az (x, y) pontban legyen a φ (0), azaz 1 f(x, y) := φ (0). Emlékezve a valós-valós függvény differenciálhatóságára 1 f(x, y) = lim t 0 f(x + t, y) f(x, y) t 173

180 174 FEJEZET 11. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA ábra. lesz ez a parciális derivált. Látható, hogy az első változó szerinti parciális deriválhatóság csak a felületi görbe simaságát jelenti a t = 0 pontban, és a 1 f(x, y) ennek a felületi görbének a meredekségét adja. Az is leolvasható, hogy f(x + t, y) f(x, y) t 1 f(x, y), ha t 0, ami úgy is olvasható, hogy csupán az első tengely irányába kimozdulva az (x, y) pontból f(x + t, y) f(x, y) + 1 f(x, y) t, ha t 0. Az előzőeknek megfelelően, ha az (x, y) ponton át az y tengellyel párhuzamos egyenest veszünk fel, akkor is kapunk egy ψ : IR IR, ψ(t) := f(x, y + t) felületi görbét. Ha ψ D[0], akkor az f a második változója szerint parciálisan differenciálható az (x, y) pontban, és 2 f(x, y) := ψ (0) = lim t 0 f(x, y + t) f(x, y) t lesz az f második változó szerinti parciális deriváltja az (x, y) pontban. Az előzőekhez hasonló a 2 f(x, y) jelentése is. Gyakran használják még 1 f(x, y) helyett a f x (x, y), f x(x, y) és a D 1 f(x, y) jelöléseket is. Ennek megfelelőek a 2 f(x, y) helyett használt jelölések is. Megfigyelhető, hogy az f első változó szerinti parciális deriválhatóságánál a második koordináta, az y nem változik, állandó marad. Ez indokolja, hogy ha egy tetszőleges

181 11.2. B 175 (x, y) pontban akarjuk például az f(x, y) := x 2 y 3 + 2x + y ((x, y) IR 2 ) függvény első változó szerinti parciális deriváltját kiszámítani az (x, y) pontban, akkor a deriválás során az y konstansnak számít, tehát 1 f(x, y) = 2xy ((x, y) IR 2 ). Ugyanígy a második változó szerinti parciális deriválás során x számít konstansnak, tehát 2 f(x, y) = x 2 3y + 1 ((x, y) IR 2 ). Sajnos az f akár mindkét változó szerinti parciális differenciálhatóságából még a függvény folytonossága sem következik az adott pontban. Például az { f : IR 2 1, ha xy = 0 IR, f(x, y) := 0, ha xy 0 függvényre 1 f(0, 0) = 0 és 2 f(0, 0) = 0, de f / C[(0, 0)]. Most foglalkozzunk a differenciálhatóság fogalmának olyan kialakításával, amely valódi általánosítása a valós-valós függvény differenciálhatóságának. Legyen f : IR 2 IR, (x, y) intd(f) Definíció Azt mondjuk, hogy f differenciálható az (x, y) pontban, ha van olyan A 1, A 2 IR és olyan α : IR 2 IR függvény, hogy minden olyan h = (h 1, h 2 ) IR 2 vektorra, amelyre (x + h 1, y + h 2 ) D(f), teljesül, hogy f(x + h 1, y + h 2 ) f(x, y) = A 1 h 1 + A 2 h 2 + α(h 1, h 2 ) és α(h) lim h 0 h = 0. α(h) A lim h 0 = 0 az α(h) maradéktag kicsiségére utal. Nyilván lim h h 0 α(h) = 0 is igaz, de ha α(h) értékeit elosztjuk a h 0 kicsi számmal, akkor ezzel felnagyítjuk az α(h) értékeit, így ha még ez a hányados is 0-hoz tart, akkor α(h) igazán kicsi. Amikor a h := (h 1, 0) alakú, akkor átrendezés és határértékképzés után f(x + h 1, y) f(x, y) lim h 0 h 1 ( = lim A 1 + α(h ) 1, 0) = A 1, h1 0 h 1

182 176 FEJEZET 11. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA amely azt jelenti, hogy ha f differenciálható az (x, y) pontban, akkor A 1 csak 1 f(x, y) lehet. A h := (0, h 2 ) alakú vektorokra pedig az adódna, hogy A 2 csak 2 f(x, y) lehet. Így ha f differenciálható az (x, y) pontban, akkor a függvény f(x + h 1, y + h 2 ) f(x, y) megváltozása jól közelíthető a 1 f(x, y)h f(x, y)h 2 lineáris függvénnyel, sőt az elkövetett hiba, az α(h 1, h 2 ) elhanyagolhatóan kicsi: még a felnagyított α(h) hányados is 0-hoz közeli, ha h kicsi. h Mátrixokat használva az f differenciálhatósága azt jelenti, hogy van olyan α : IR 2 IR függvény, hogy és f(x + h 1, y + h 2 ) f(x, y) = [ 1 f(x, y) 2 f(x, y)] α(h) lim h 0 h = 0. [ h 1 h 2 ] + α(h 1, h 2 ) Az f függvény differenciálhatóságát az (x, y) intd(f) pontban jelölje f D[(x, y)], és az f deriváltja ebben a pontban f (x, y) := [ 1 f(x, y) 2 f(x, y)] IR 1 2. Ha f D[(x, y)], akkor f C[(x, y)] is, mert lim f(x + h 1, y + h 2 ) f(x, y) = lim 1f(x, y)h f(x, y)h 2 + α(h 1, h 2 ) = 0. h 1,h 2 0 h 1,h 2 0 A matematika alkalmazásai során gyakran használják a h 1 =: x, h 2 =: y jelölést; a függvény megváltozását f := f(x + h 1, y + h 2 ) f(x, y) jelöli. Ekkor a f f f x + x y y arra utal, hogy a függvény f megváltozását jól közelíti a parciális deriváltakkal készített lineáris függvény. Ennek még van egy alig magyarázható, végtelen kicsi mennyiségeket

183 11.2. B 177 használó változata is: df = f f dx + x y dy. A df az f függvény differenciálja nevet viseli. A kétváltozós függvényre kialakított fogalmakat minden nehézség nélkül általánosíthatjuk a sokváltozós függvényekre is. Legyen f : IR n IR, x = (x 1, x 2,..., x i,..., x n ) intd(f). i f(x) := lim t 0 f(x 1, x 2,..., x i + t,..., x n ) f(x 1, x 2,..., x i,..., x n ) t az f i-edik változó szerinti parciális deriváltja. Az f : IR n IR függvényt az x intd(f) pontban differenciálhatónak nevezzük, ha létezik olyan A := [A 1 A 2... A n ] IR 1 n, és létezik olyan α : IR n IR függvény, hogy minden h IR n vektorra f(x + h) f(x) = Ah + α(h), ahol lim h 0 α(h) h = 0. Itt is igaz, hogy A i = i f(x), i = 1, 2,..., n. Ha f D[x], akkor f (x) = [ 1 f(x) 2 f(x)... n f(x)]. Végül legyen f : IR n IR k, x intd(f). Az f függvény differenciálható az x pontban, ha létezik olyan A IR k n, és van olyan α : IR n IR k függvény, hogy minden h IR n esetén Most A ij = j f i (x), és így f(x + h) f(x) = Ah + α(h), ahol lim h 0 α(h) h = 0. 1 f 1 (x) 2 f 1 (x)... n f 1 (x) f (x) = 1 f 2 (x) 2 f 2 (x)... n f 2 (x). 1 f k (x) 2 f k (x)... n f k (x) az f deriváltja az x pontban. Jacobi-mátrixnak nevezik. Például 1. f(x, y, z) := xyz esetén f (x, y, z) = [yz xz xy] IRk n

184 178 FEJEZET 11. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA 2. r(t) := 3. F (x, y, z) = cos t sin t t Felület érintősíkja esetén r (t) := P (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z) sin t cos t 1 esetén F (x, y, z) = x P y P z P x Q y Q z Q x R y R z R Legyen f : IR 2 IR, (x 0, y 0 ) intd(f), és tegyük fel, hogy f D[(x 0, y 0 )]. Ez azt jelenti, hogy f(x, y) f(x 0, y 0 ) 1 f(x 0, y 0 )(x x 0 ) + 2 f(x 0, y 0 )(y y 0 ), ha (x, y) (x 0, y 0 ), és ez a közelítés elég jó. Legyen z 0 := f(x 0, y 0 ), akkor a z := 1 f(x 0, y 0 )(x x 0 ) + 2 f(x 0, y 0 )(y y 0 ) + z 0 esetén f(x, y) z, ha (x, y) (x 0, y 0 ). Vegyük észre, hogy ha n := ( 1 f(x 0, y 0 ), 2 f(x 0, y 0 ), 1), r 0 := (x 0, y 0, z 0 ), r := (x, y, z), akkor az n, r r 0 = 0 egyenletű síkról láttuk be, hogy elég jól közelíti az f függvénnyel leírt felületet. Az n, r r 0 = 0 egyenletű síkot az f felület (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) ponthoz tartozó érintősíkjának nevezzük. Térgörbe érintője Legyen r : IR IR 3, t 0 intd(r), és tegyük fel, hogy r D[t 0 ]. Ha r(t) = x(t) y(t) z(t),

185 11.2. B 179 akkor r(t) r(t 0 ) = x(t) x(t 0 ) y(t) y(t 0 ) z(t) z(t 0 ) ṙ(t 0 ) (t t 0 ) = ẋ(t 0 ) ẏ(t 0 ) ż(t 0 ) (t t 0 ), és ez a közelítés elég jó. Ez azt jelenti, hogy a egyenes r := v := x y z ẋ(t 0 ) ẏ(t 0 ) ż(t 0 ) irányvektorú és r 0 := futópontjára x(t 0 ) y(t 0 ) z(t 0 ) x = x(t 0 ) + ẋ(t 0 ) (t t 0 ) y = y(t 0 ) + ẏ(t 0 ) (t t 0 ) z = z(t 0 ) + ż(t 0 ) (t t 0 ) ponton átmenő és ez az egyenes közel halad a görbéhez, azaz r(t) r, ha t t 0. Az r = r 0 + v(t t 0 ) egyenest az r térgörbe t 0 paraméterértékhez tartozó érintőegyenesének nevezzük, amelynek irányvektora az ṙ(t 0 ) érintővektor. (Hagyományosan térgörbék esetén a deriváltat nem vessző, hanem pont jelöli.) Szélsőérték Legyen f : IR 2 IR, a = (a 1, a 2 ) D(f) Definíció Azt mondjuk, hogy az f függvénynek lokális minimuma van az a pontban, ha van olyan K(a) környezete az a pontnak, hogy minden x = (x 1, x 2 ) K(a) D(f) esetén f(x 1, x 2 ) f(a 1, a 2 ) vagy f(x) f(a). Hasonló a lokális maximum fogalma is Tétel (Lokális szélsőérték szükséges feltétele) Legyen f : IR 2 IR, a = (a 1, a 2 ) intd(f) és f D[a]. Ha f-nek a-ban lokális szélsőértéke (vagy minimuma vagy maximuma) van, akkor f (a) = 0. [f (a) = 0 1 f(a 1, a 2 ) = 0 és 2 f(a 1, a 2 ) = 0.]

186 180 FEJEZET 11. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA Bizonyításként elég arra gondolni, hogy ha f-nek az (a 1, a 2 ) pontban lokális minimuma van, akkor a φ : IR IR, φ(t) := f(t, a 2 ) függvénynek a t = a 1 pontban lesz lokális minimuma. Mivel f D[(a 1, a 2 )], ezért φ D[a 1 ], ezért φ (a 1 ) = 0, ami éppen azt jelenti, hogy 1 f(a 1, a 2 ) = 0. Ugyanez elmondható a ψ : IR IR, ψ(t) := f(a 1, t) függvényről is. Így ψ (a 2 ) = 0, ami 2 f(a 1, a 2 ) = 0. Ezzel a módszerrel kereshetjük meg egy differenciálható függvény lehetséges szélsőértékhelyeit. Eredményeinket szinte változtatás nélkül vihetjük át f : IR n IR függvényre is Tétel Legyen f : IR n IR, a = (a 1, a 2 ) intd(f) és f D[a]. Ha f-nek a-ban lokális szélsőértéke van, akkor f (a) = 0. [f (a) = 0 1 f(a) = 0, 2 f(a) = 0,..., n f(a) = 0.] Ha f : IR n IR és f D[a], akkor az f (a) IR 1 n sormátrix helyett a gradf(a) := (f (a)) T vektort használják. Tehát 1 f(a) gradf(a) = 2 f(a) (oszlopmátrix, amit azonosíthatunk egy vektorral).. n f(a) A gradf(a) szemléletes jelentését a 4. feladatban mutatjuk meg C 1. Képzelje el az f : IR 2 IR, f(x, y) := x 2 + y 2 ; f(x, y) := x 2 + y 2 + 4x 2y + 10; f(x, y) := 2x 2 + 5y 2 ; függvényekkel származtatott felületeket. Hogyan nézhet ki a h : {(x, y) x 2 + y 2 < 100} IR, h(x, y) := x 2 y

187 11.3. C 181 függvény felülete? 2. Írja fel az f : IR 2 IR, f(x, y) := x 2 y 3 függvény (x 0, y 0 ) := (1, 2) ponthoz tartozó érintősíkját. 3. Írja fel az r : [0, 4π] IR 3, r(t) := (2 cos t, 2 sin t, t) térgörbe bármely t 0 (0, 4π) ponthoz tartozó érintővektorát. Számolja ki az ṙ(t 0 ), e 3 skaláris szorzatot (e 3 := (0, 0, 1)). Értelmezze az eredményt! 4. Legyen f : IR 2 IR, a intd(f) és e IR 2, amelyre e = 1. Az f függvény a pontbeli e irány menti deriváltján a e f(a) := lim (f(a + te) f(a)) t t 0 1 határértéket értjük, ha ez a határérték létezik. Ha f D[a], akkor megmutatható, hogy e f(a) = gradf(a), e. Mutassuk meg, hogy a felület a gradf(a) vektorral párhuzamos irányban a legmeredekebb az a pontban. Megoldás: Azt az ê IR 2, ê = 1 irányt kellene megtalálni, amelyre e f(a) êf(a), ha e IR 2, e = 1. Síkbeli vektorok esetén láthattuk a Lineáris Algebrában, hogy gradf(a), e = gradf(a) e cos α, ahol α a két vektor hajlásszöge. Mivel a gradf(a) nem változik (az a intd(f) rögzített), az e = 1, ezért a szorzat akkor a legnagyobb, ha cos α = 1, azaz e párhuzamos a gradf(a) vektorral. Ennek a következménye, hogy egy hegyről lefutó patak, de a gleccserek is minden pontban az abban a pontban érvényes gradienssel párhuzamosan mozognak. 5. Legkisebb négyzetek módszere Tegyük fel, hogy valamilyen összefüggés kimutatásához méréseket végzünk. Az x i értékhez y i mérési eredmény tartozik. Az a sejtésünk, hogy az (x i, y i ), i = 1, 2,..., n pontoknak egy egyenesen kellene elhelyezkedniük. Keressük meg a mérési pontokhoz legjobban illeszkedő y = Ax + B alakú egyenest! Megoldás: A n i=1 (Ax i + B y i ) 2 a mérési pont és az egyenes közötti összes eltérés négyzetösszege. Szeretnénk, ha ez a legkisebb lenne. Legyen e(a, B) := n i=1 (Ax i + B y i ) 2. Ott lehet minimális az e függvény, ahol

188 182 FEJEZET 11. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA e (A, B) = 0, azaz A e(a, B) = 2(Ax i + B y i )x i = 0 B e(a, B) = 2(Ax i + B y i ) = 0 Részletesebben A x 2 i + B x i = x i y i A x i + Bn = y i Ez egy kétismeretlenes (A és B) lineáris egyenletrendszer, amelynek megoldása (mindig megoldható, ha az x i pontok különböznek) A = n x i y i x i yi n x 2 i ( x i ) 2, B = x 2 i yi x i xi y i n x 2 i ( x i ) 2. (Az összegzések mindenütt 1-től n-ig értendők.) Megmutatható, hogy az ilyen A és B esetén az y = Ax + B valóban a legközelebb megy a pontokhoz. 6. Legyen f : IR 2 IR, f(x, y) := e xy cos(x 2 y 3 ). Számítsa ki a x f(x, y), y f(x, y), y ( x f)(x, y) és x ( y f)(x, y) parciális deriváltakat. Mit tapasztal? 7. Legyen f : IR 2 IR, f(x, y) := { xy x 2 y 2, x 2 +y 2 ha x 2 + y 2 0 0, ha x 2 + y 2 = 0 Mutassa meg, hogy y ( x f)(0, 0) x ( y f)(0, 0). 8. Keresse meg az f : IR 2 IR, f(x, y) := x 4 + y 4 2x + 3y + 1 függvény lokális szélsőértékeit D Legyen f : IR n IR, x intd(f).

189 11.4. D Definíció Azt mondjuk, hogy az f az i-edik változó szerint (i = 1, 2,..., n) parciálisan differenciálható az x pontban, ha 1 lim t 0 t (f(x + te i) f(x)) IR. (Itt e i = (0,..., 1 i),..., 0) az i-edik egységvektor.) Ha létezik a határérték, akkor az f i-edik változó szerinti parciális deriváltja az x pontban 1 i f(x) := lim t 0 t (f(x + te i) f(x)) Definíció Legyen f : IR n IR k, x intd(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálható az x pontban (f D[x]), ha F x : D(f) IR k n mátrixértékű függvény, amelyre F x C[x] és z D(f) esetén f(z) f(x) = F x (z) (z x). Ha f D[x], akkor f (x) := F x (x) a deriváltmátrix Tétel f : IR n IR k, x intd(f) f D[x] f j D[x], j = 1, 2,..., k Biz.: Az f = ahol F j IR 1 n sormátrix. Ezért az f 1 f 2. f k, az F x = F 1 F 2. F k, f(z) f(x) = F x (z) (z x) f j (z) f j (x) = F j (z) (z x), j = 1,..., k Tétel Ha g : IR n IR m, g D[x] és f : IR m IR p, f D[g(x)], akkor f g D[x], és (f g) (x) = f (g(x)) g (x). Biz.: A bizonyítás szó szerint megegyezik a valós-valós közvetett függvény differenciálhatóságáról szóló tételével, csupán a G x : D(g) IR m n és F g(x) : D(f) IR p m függvényeket kell szerepeltetni Tétel Ha f : IR n IR k, f D[x], akkor f (x) = 1 f 1 (x)... n f 1 (x). 1 f k (x)... n f k (x) IRk n. Biz.: Ha f D[x], akkor F x : D(f) IR k n, F x C[x], amelyre z D(f) esetén

190 184 FEJEZET 11. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA f(z) f(x) = F x (z) (z x). Legyen j = 1, 2,..., k és i = 1, 2,..., n. Ekkor f j (z) f j (x) = (F x (z)) j (z x), ahol (F x (z)) j az F x (z) j-edik sora. Válasszuk a z := vektort. Ekkor x 1. t. x n D(f) Ha t x i, akkor f j (z) f j (x) = f j (x 1,..., t,..., x n ) f j (x 1,..., x i,..., x n ) = 0. = (F x (z)) j t x i = (F x (z)) ji (t x i ).. 0 i f j (x) = lim t xi f j (x 1,..., t,..., x n ) f j (x 1,..., x i,..., x n ) t x i = lim t xi (F x (z)) ji = (F x (x)) ji, hiszen ha F x C[x], akkor minden komponense is folytonos az x pontban. A parciális deriváltak létezéséből még nem következik a függvény differenciálhatósága Tétel Ha f : IR n IR k és K(x) D(f), hogy i = 1,..., n és j = 1,..., k esetén i f j C(K(x)), akkor f D[x]. Biz.: A bizonyítást f : IR 2 IR esetén végezzük el. Legyen z K(x), z x. Ha x = (x 1, x 2 ) és z = (z 1, z 2 ), akkor f(z) f(x) = f(z 1, z 2 ) f(x 1, z 2 ) + f(x 1, z 2 ) f(x 1, x 2 ). A valós-valós Lagrange-középértéktétel miatt ϑ 1, ϑ 2 (0, 1), hogy f(z 1, z 2 ) f(x 1, z 2 ) = 1 f(x 1 + ϑ 1 (z 1 x 1 ), z 2 ) (z 1 x 1 ) és f(x 1, z 2 ) f(x 1, x 2 ) = 2 f(x 1, x 2 + ϑ 2 (z 2 x 2 )) (z 2 x 2 ).

191 11.4. D 185 Így f(z) f(x) = [ 1 f(x 1 + ϑ 1 (z 1 x 1 ), z 2 ) 2 f(x 1, x 2 + ϑ 2 (z 2 x 2 ))] [ z 1 x 1 z 2 x 2 ]. A 1 f és 2 f folytonossága miatt az F x (z) := [ 1 f(x 1 + ϑ 1 (z 1 x 1 ), z 2 ) 2 f(x 1, x 2 + ϑ 2 (z 2 x 2 ))] választással az F x C[x]. Tehát F x : D(f) IR 1 2, F x C[x], amellyel z D(f) esetén f(z) f(x) = F x (z) (z x), azaz f D[x] Tétel Legyen f : IR n IR, f D[a]. Legyen e IR n, e = 1. Ekkor e f(a) = f (a)e = gradf(a), e. Biz.: Legyen φ : IR IR, φ(t) := f(a + te). A közvetett függvény differenciálhatósága miatt φ (t) = f (a + te) e. Így e f(a) = φ (0) = f (a)e Tétel (A lokális szélsőérték szükséges feltétele) Ha f D[a] és f-nek a-ban lokális szélsőértéke van, akkor f (a) = 0. Biz.: Legyen e IR n, e = 1. Mivel f-nek a-ban lokális szélsőértéke van, ezért a φ : IR supset IR, φ(t) := f(a + te) függvénynek a t = 0 pontban van lokális szélsőértéke, így φ (0) = 0. Mivel φ (t) = f (a + te) e, ezért t = 0 esetén f (a) e = 0. i = 1, 2,..., n esetén f (a)e i = i f(a) = 0, így f (a) = [0... 0] = 0 IR 1 n. A szélsőérték elégséges feltételének megfogalmazásához néhány további fogalomra és eredményre van szükségünk.

192 186 FEJEZET 11. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA ábra Definíció Legyen f : IR n IR. Tegyük fel, hogy a i f : IR n IR i-edik változó szerinti parciális derivált függvénynek létezik a j-edik változó szerinti parciális deriváltja. Ekkor j ( i f) =: ijf Tétel (Young tétele a vegyes parciális deriváltak felcserélhetőségéről) Ha f : IR n IR, i f C(K(a)), i = 1, 2,..., n és ijf 2 C(K(a)), i, j = 1, 2,..., n esetén, akkor ijf(a) 2 = jif(a), 2 i, j = 1, 2,..., n. Biz.: Ezt is csak f : IR 2 IR esetén igazoljuk. Legyen h, k IR, h, k 0 olyan, hogy (a 1 + h, a 2 + k) K(a). Legyen F : IR IR, F (x) := f(x, a 2 + k) f(x, a 2 ) és G : IR IR, G(y) := f(a 1 + h, y) f(a 1, y) (11.2. ábra). Helyettesítéssel ellenőrizhető, hogy F (a 1 + h) F (a 1 ) = G(a 2 + k) G(a 2 ). (11.1) A 1 f és 2 f folytonossága miatt (a Lagrange-középértéktétel szerint) ϑ 1 (0, 1) olyan, hogy F (a 1 + h) F (a 1 ) = F (a 1 + ϑ 1 h) h = ( 1 f(a 1 + ϑ 1 h, a 2 + k) 1 f(a 1 + ϑ 1 h, a 2 ))h. Mivel 1 f differenciálható a második változó szerint, ezért ismét alkalmazva a Lagrange-

193 11.4. D 187 középértéktételt, ϑ 2 (0, 1), hogy 1 f(a 1 + ϑ 1 h, a 2 + k) 1 f(a 1 + ϑ 1 h, a 2 ) = 2 ( 1 f)(a 1 + ϑ 1 h, a 2 + ϑ 2 k) k. Hasonló gondolatmenettel ϑ 3, ϑ 4 (0, 1) olyan, hogy G(a 2 + k) G(a 2 ) = G (a 2 + ϑ 3 k)k = = ( 2 f(a 1 + h, a 2 + ϑ 3 k) 2 f(a 1, a 2 + ϑ 3 k))k = = 1 ( 2 f)(a 1 + ϑ 4 h, a 2 + ϑ 3 k)hk. A (11.1) egyenlőség miatt 2 ( 1 f)(a 1 + ϑ 1 h, a 2 + ϑ 2 k)kh = 1 ( 2 f)(a 1 + ϑ 4 h, a 2 + ϑ 3 k)kh. Mivel h, k 0, ezért le is oszthatunk (hk)-val. Legyenek (h n ) és (k n ) tetszőleges olyan sorozatok, amelyekre h n 0, k n 0 és h n 0, k n 0. A 2 ( 1 f) és 1 ( 2 f) folytonossága és a n IN esetén fennálló egyenlőségek miatt 2 ( 1 f)(a 1 + ϑ n 1h n, a 2 + ϑ n 2k n ) 2 ( 1 f)(a 1, a 2 ) 1 ( 2 f)(a 1 + ϑ n 4h n, a 2 + ϑ n 3k n ) 1 ( 2 f)(a 1, a 2 ), ezért 2 ( 1 f)(a 1, a 2 ) = 1 ( 2 f)(a 1, a 2 ) Definíció Legyen f : IR n IR és i, j = 1, 2,..., n esetén 2 ijf C(K(a)). Ekkor f (a) := 2 11f(a) nf(a). 2 n1f(a)... 2 nnf(a) IRn n az f második deriváltja az a pontban. Hesse-mátrixnak nevezzük. A Young-tétel miatt f (a) szimmetrikus mátrix. Legyen f : IR n IR elég sima függvény, ami jelentse azt, hogy i f, ijf 2 C(K(a)), i, j = 1, 2,..., n. Legyen h IR n, h 0 és t IR olyan amelyekre a + th K(a).

194 188 FEJEZET 11. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA Legyen φ(t) := f(a + th). Ekkor n φ (t) = f (a + th) h = i f(a + th)h i, φ (t) = = i=1 ( n ) i f(a + th)h i = i=1 n {( i f) (a + th)h}h i = i=1 { n n } j ( i f)(a + th)h j h i = i=1 j=1 i=1 j=1 n n ijf(a 2 + th)h i h j. Ezekből φ(0) = f(a), φ (0) = f (a)h és φ (0) = f (a)h, h. (A legutolsót gondoljuk végig a mátrixszorzás és a skaláris szorzat definícióinak birtokában.) A Taylor-formula alapján t IR + esetén ϑ (0, t), hogy φ(t) = φ(0) + φ (0)t + 1 2! φ (ϑ)t 2. (A harmadik tag már a Lagrange-féle maradéktag.) Nyilván igaz, hogy 1 2! φ (ϑ)t 2 = 1 2! (φ (0) + φ (ϑ) φ (0))t 2 = 1 2! φ (0)t 2 + α(t), ahol α(t) := 1 2! (φ (ϑ) φ (0))t 2, és amelyre mert φ folytonos. Tehát α(t) lim t 0 t 2 1 = lim t 0 2! (φ (ϑ) φ (0)) = 0, φ(t) = φ(0) + φ (0)t + 1 2! φ (0)t 2 + α(t), ahol lim t 0 α(t) t 2 = 0. Egybefésülve a φ függvényre kapott eredményeket: φ(t) = f(a + th) = φ(0) + φ (0)t + 1 2! φ (0)t 2 + α(t) = = f(a) + f (a)ht + 1 2! f (a)h, h t 2 + β(th), ahol β(th) := α(t), és amelyre β(th) lim th 0 th = lim α(t) = 0. 2 t 0 t 2

195 11.4. D 189 β(th) Itt a lim th 0 = 0 úgy is igaz, hogy h 0 rögzített vektor és t 0, de úgy is, hogy th 2 t 0 rögzített és h 0. Legyen t := 1. Ekkor igaz a következő Taylor-formula : Tétel Ha f : IR n IR elég sima ( i f, 2 ijf C(K(a))), akkor β : IR n IR, hogy h IR n, h 0, a + h K(a) esetén f(a + h) = f(a) + f (a)h + 1 2! f (a)h, h + β(h), ahol lim h 0 β(h) h 2 = 0. Ezeket felhasználva elégséges feltételt adunk a szélsőérték létezésére Tétel (A szigorú lokális minimum elégséges feltétele) Legyen f : IR n IR. Tegyük fel, hogy i f, 2 ijf C(K(a)), f (a) = 0 és h IR n, h 0 esetén f (a)h, h > 0. Ekkor f-nek a-ban szigorú lokális minimuma van. Biz.: Legyen h IR n, h 0 tetszőleges. Ekkor f(a + h) = f(a) + f (a)h + 1 2! f (a)h, h + β(h) = = f(a) + 1 ( 2! h 2 f (a) h h, h h + 2β(h) h 2 Legyen S 1 := {x IR n x = 1} az egységgömb héja. Mivel h h ). egységhosszúságú vektor, így e := h S h 1. A k : S 1 IR, k(e) := f (a) h, h folytonos függvény h h S 1 -en. S 1 korlátos és zárt, ezért a Weierstrass-tétel mintájára végiggondolható, hogy van minimuma a k függvénynek, legyen ez m IR és az f (a)h, h > 0 (h 0) feltétel miatt m > 0. Ez azt jelenti, hogy h IR n, h 0 f (a) h h, h h m. Mivel lim h 0 β(h) h = 0, ezért az ε := m 4 > 0 hibakorláthoz δ > 0, hogy h IRn, h 0, h < δ esetén m 4 < β(h) h 2 < m 4. Legyen ezek után h IR n, h 0, h < δ tetszőleges. Feltételezve, hogy a + h K(a), tovább becsülhetjük f(a + h) előállítását f(a + h) = f(a) + 1 2! h 2 ( f (a) h h, h h + 2β(h) h > 2 > f(a) + 1 ( 2! h 2 m 2m ) = f(a) + 1 m 4 2! h 2 2,

196 190 FEJEZET 11. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA vagy f(a + h) f(a) > h 2 m 4 > 0, ha h < δ. Ez azt jelenti, hogy f-nek a-ban szigorú lokális minimuma van. Megjegyezzük, hogy az f (a)h, h > 0 h IR n, h 0 esetén nehezen ellenőrizhető feltétel. Ezt a nehézséget könnyíti a Tétel (Sylvester-tétel) Ha A IR n n szimmetrikus mátrix, akkor h IR n, h 0 esetén Ah, h > 0 az A mátrix sarokaldeterminánsai pozitív jeltartók. A bizonyítást csak érzékeltetjük olyan A mátrix esetén, amely diagonális, azaz λ λ A := λ n Az A sarokaldeterminánsai 1 := λ 1, 2 := λ λ 2 = λ 1λ 2, 3 := λ λ λ 3 = λ 1 λ 2 λ 3,... Ezek pontosan akkor pozitív jeltartók, ha Most legyen h IR n, h 0, h = λ 1 > 0, λ 2 > 0,..., λ n > 0. h 1 h 2. h n. Ah, h = λ 1 h 1 λ 2 h 2., h 1 h 2. = λ 1h λ 2 h λ n h 2 n. λ n h n h n Jól látszik, hogy Ah, h > 0 λ 1 > 0, λ 2 > 0,..., λ n > 0 1 > 0, 2 > 0,..., n > 0.

197 11.4. D 191 Nemdiagonális mátrixok esetén is könnyű ellenőrizni ezt a feltételt. A lokális maximum elégséges feltételét vázlatosan fogalmazzuk meg: Tétel Ha f (a) = 0 és f (a)h, h < 0, akkor f-nek a-ban szigorú lokális maximuma van Tétel (Sylvester-tétel) { < 0, ha n páratlan Ah, h < 0 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0,..., n > 0, ha n páros.

198 192 FEJEZET 11. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

199 12. fejezet Vonalintegrál A Az f : [a, b] IR függvény integrálját általánosítjuk. Az [a, b] intervallum szerepét egy görbe, az f függvény szerepét egy vektor-vektor függvény veszi át B Amikor egy szánkót az A pontból B pontba húzunk s elmozdulással az úttal párhuzamos F erővel, akkor a végzett munka W = F s (12.1. ábra). Amikor az F erő α szöget zár be az elmozdulással (12.2. ábra), akkor a végzett munka W = F cos α = F, s. Az r : [α, β] IR 3 térgörbe mentén pontról pontra változó F IR 3 IR 3 erőfüggvény (erőtér) munkája úgy közelíthető, hogy felosztva [α, β] intervallumot α = t 0 < t 1 <... < t i 1 < t i <... < t n = β osztópontokkal, és felvéve t i 1 ξ i t i (i = 1,..., n) ábra. 193

200 194 FEJEZET 12. VONALINTEGRÁL ábra ábra. további pontokat az elemi munka W i := F (r(ξ i )), r(t i ) r(t i 1 ), és az F erőtérnek a görbe mentén végzett munkája W W i = n F (r(ξ i )), r(t i ) r(t i 1 ) = F (r(ξ i )), r i. i=1 Ha r elég sima (differenciálható), akkor az r(t i ) r(t i 1 ) = x(t i ) x(t i 1 ) y(t i ) y(t i 1 ) z(t i ) z(t i 1 ) = ẋ(η i )(t i t i 1 ) ẏ(ϑ i )(t i t i 1 ) ż(ζ i )(t i t i 1 ) ṙ(ξ i )(t i t i 1 ), ha ṙ folytonos. Látható, hogy W n i=1 F (r(ξ i)), ṙ(ξ i ) (t i t i 1 ), amely hasonlít egy integrál-közelítőöszeghez. Ez a gondolatmenet szolgál alapul a következő fogalmakhoz. Legyen Ω IR n összefüggő (bármely két pontját egy Ω-ban haladó folytonos görbével össze lehet kötni), nyílt halmaz, röviden tartomány.

201 12.2. B 195 Legyen f IR n IR n, D(f) := Ω folytonos vektorfüggvény, f C(Ω). Legyen r : [α, β] Ω egy sima térgörbe, azaz r C[α, β], r D(α, β), ṙ(t) 0 (t (α, β)), és bármely t 1, t 2 (α, β), t 1 t 2 esetén r(t 1 ) r(t 2 ) Definíció Az f függvény r térgörbe menti integrálja legyen f := β r α f(r(t)), ṙ(t) dt. Például f : IR 3 IR 3, f(x, y, z) := x + y x y z (itt Ω = IR 3 ) és esetén ṙ(t) = 1 2 3, így r : [0, 1] IR 3, r(t) := t 2t 3t f = 1 r 0 t + 2t t 2t 3t, dt = 1 0 [(t+2t)+2(t 2t)+9t]dt = tdt = [ ] 1 10 t2 = A vonalintegrál tulajdonságai 1 o Ha r 1 : [α, β] Ω, r 2 : [β, γ] Ω és r 1 (β) = r 2 (β), akkor az r 1 r 2 : [α, γ] Ω, amelyre r 1 r 2 [α,β] = r 1 és r 1 r 2 [β,γ] = r 2 legyen az egyesített görbe. Ekkor f = r 1 r 2 f + r 1 f. r 2 2 o Ha r : [α, β] Ω, akkor az r : [α, β] Ω, r (t) := r(α + β t) legyen az ellentétesen irányított görbe. Ekkor f = r 3 o Ha f korlátos az Ω tartományon, azaz van olyan K > 0, hogy minden x Ω esetén r f.

202 196 FEJEZET 12. VONALINTEGRÁL f(x) K, és az r : [α, β] Ω görbe L hosszúságú, akkor r f K L. A vonalintegrálhoz alapvetően egy erőtér munkája kapcsolódik. A munkával (energiával) kapcsolatban pedig érdekelhet bennünket, hogy zárt görbe esetén van-e energiaveszteség vagy éppen nyereség. Érdekelhet az is minket, hogy két pont között a munkavégzés szempontjából milyen úton érdemes haladni. Ilyen kérdésekre ad választ a következő tétel Tétel Legyen Ω IR n tartomány, f : Ω IR n, f C(Ω). Az f függvény (erőtér) következő három tulajdonsága egyenértékű (ekvivalens): 1 o Bármely r : [α, β] Ω, r(α) = r(β) sima zárt görbe esetén f = 0 (a jel nyomatékosítja, hogy zárt görbén integrálunk). 2 o Bármely rögzített a, b Ω és tetszőleges (olyan r 1 : [α 1, β 1 ] Ω és r 2 : [α 2, β 2 ] Ω, r 1 (α 1 ) = r 2 (α 2 ) = a és r 1 (β 1 ) = r 2 (β 2 ) = b), az a és b pontot összekötő Ω-beli sima görbék esetén f = f. r 1 r 2 3 o Van olyan Φ : Ω IR, Φ D(Ω) ún. potenciálfüggvény, amelyre bármely x Ω és i = 1, 2,..., n esetén i Φ(x) = f i (x), vagy tömörebben gradφ = f. A tétel tehát arról szól, hogy ha az f erőtérnek van potenciálja, akkor bármely zárt görbe mentén végzett munka nulla, és arról is, hogy az erőtér bármely két pont között végzett munkája független az úttól. Nyilván érdekes lehet ezután, hogy milyen f erőtérnek van biztosan potenciálja Tétel Ha Ω IR n olyan tartomány, amelyhez van olyan a Ω, hogy bármely x Ω esetén az [a, x] := {a + t(x a) IR n t [0, 1]} Ω ([a, x] az a pontot x-szel összekötő szakasz, az ilyen Ω halmaz csillagtartomány az a pontra nézve), és f : Ω IR n, f C(Ω) és minden i, j = 1, 2,..., n esetén i f j C(Ω) (minden koordináta-függvény minden változó szerinti parciális deriváltja folytonos az Ω

203 12.2. B 197 minden pontjában), továbbá i f j (x) = j f i (x) minden x Ω, i = 1, 2,..., n esetén (ez éppen f (x) deriváltmátrix szimmetrikusságát jelenti), akkor van Φ : Ω IR potenciálja az f függvénynek. Amikor az Ω = IR 3, akkor ez csillagtartomány. Ha az erőtér f := P Q R : IR 3 IR 3 megfelelően sima P, Q, R : IR 3 IR koordináta-függvényekkel (az erőtér komponenseiként is szokták emlegetni), akkor a i f j = j f i feltétel azt jelenti, hogy az f (x) = 1 P (x) 2 P (x) 3 P (x) 1 Q(x) 2 Q(x) 3 Q(x) 1 R(x) 2 R(x) 3 R(x) (x Ω) deriváltmátrix szimmetrikus. Ha még bevezetjük a rotáció fogalmát is, akkor e 1 e 2 e 3 rotf = f = = ( 2 R 3 Q)e 1 ( 1 R 3 P )e 2 +( 1 Q 2 P )e 3 = 0 IR 3 P Q R az egész IR 3 téren. Fizikában így is emlegetik ezt a tételt: Rotációmentes erőtérnek van potenciálja. Végül nézzük meg, hogy ha egy f erőtérnek van potenciálja, akkor hogyan lehet ezt megtalálni, és milyen további haszon származik a potenciál ismeretéből. Az egyszerűség kedvéért legyen f : IR 2 IR 2, f(x, y) := [ x + y x y ]. Mivel y (x + y) = 1 és x (x y) = 1, ezért f (x, y) szimmetrikus, ezért van f-nek Φ potenciálja, és ez az egyelőre ismeretlen potenciál olyan Φ : IR 2 IR függvény,

204 198 FEJEZET 12. VONALINTEGRÁL amelyre x Φ(x, y) = x + y, y Φ(x, y) = x y. Ha x Φ(x, y) = x + y, akkor Φ(x, y) = x2 + xy + φ(y) alakú, ahol φ : IR IR, differenciálható, de egyébként egyelőre tetszőleges függvény lehet. Ekkor y Φ(x, y) = x + φ (y) 2 = x y, így φ (y) = y, amiből φ(y) = y2 2 Tehát csak a Φ : IR 2 IR, Φ(x, y) = x2 2 + c, ahol c IR tetszőleges. +xy y2 2 +c alakú függvény lehet az f potenciálja. Ha ezek után egy tetszőleges r : [α, β] IR 2 sima görbe mentén szeretnénk az f erőtér munkáját kiszámítani, akkor (a közvetett függvény deriválását szem előtt tartva) r f = β α f(r(t)), ṙ(t) dt = = β α β α gradφ(r(t)), ṙ(t) dt = β α Φ (r(t)) ṙ(t)dt = (Φ(r(t))) dt = [Φ(r(t))] β α = Φ(r(β)) Φ(r(α)), amely azt mutatja (amit a tétel is sugallt), hogy a vonalintegrál értéke csupán a görbe két végpontjától függ, és független attól, hogy milyen görbével kötöttük össze az r(α) és r(β) pontot. Speciálisan, ha r(α) = r(β), akkor zárt görbéről van szó, és ekkor Φ(r(β)) = Φ(r(α)), így f = 0, ahogyan ezt a tétel is állította. r C 1. Legyen f : IR 3 IR 3, f(x, y, z) := Számítsa ki az r f vonalintegrált! x + y + z y z x + z és r : [0, 6π] IR 3, r(t) := 2 cos t 2 sin t t. [ ] x 2. Legyen f : IR 2 \ {(0, 0)} IR 2 x, f(x, y) := 2 +y 2. y x 2 +y 2 Számítsa ki az f érintőtér vonalintegrálját egy origó középpontú, egységsugarú, pozitív irányítású (az óramutató járásával ellentétes irányítású) zárt körvonalon.

205 12.3. C Mutassa meg, hogy az F : IR 3 \ {(0, 0, 0)} IR 3, F (x 1, x 2, x 3 ) := x 1 (x 2 1 +x2 2 +x2 3 )3/2 x 2 (x 2 1 +x2 2 +x2 3 )3/2 x 3 (x 2 1 +x2 2 +x2 3 )3/2 erőtérnek van potenciálja. Számítsa ki a Φ potenciált! Megoldás: Legyen i, j = 1, 2, 3 és i j. Ekkor ) x j i ( = x (x x x 2 3) 3/2 j ( 3 2 (x2 1 + x x 2 3) 5/2 ) 2x i = = x i ( 3 ) 2 (x2 1 + x x 2 3) 5/2 x i ) 2x j = j (, (x x x 2 3) 3/2 ezért van potenciálja az F erőtérnek. Ha Φ : IR 3 \ {(0, 0, 0)} IR, akkor i Φ(x 1, x 2, x 3 ) = (x x x 2 3), 3/2 x i akkor mert Φ(x 1, x 2, x 3 ) = 1 + c, (x x x 2 1/2 3) i Φ(x 1, x 2, x 3 ) = 1 2 (x2 1 + x x 2 3) 3/2 (2x i ) =, i = 1, 2, 3. (x x x 2 3/2 3) Megjegyezzük, hogy F egy origóban elhelyezett M = 1 tömegpont gravitációs terének is tekinthető, hiszen az r helyvektorú pontban az m = 1 tömegre ható erő (az egységrendszer választása miatt fellépő szorzótényezőtől eltekintve) x i F (r) = 1 r r 2 r (r 0). Ennek az erőtérnek a potenciálja Φ(r) = 1 r (r 0). 4. Legyen f : IR 2 IR 2, f(x, y) := [ xy 2 x 2 y ],

206 200 FEJEZET 12. VONALINTEGRÁL és a görbe legyen egy lemniszkáta, például az L := {(x, y) IR 2 (x 2) 2 + y 2 (x + 2) 2 + y 2 = 8}. (Az L görbén a sík összes olyan pontja rajta van, amelynek a C 1 (2, 0) és C 2 ( 2, 0) pontoktól mért távolságainak szorzata 8.) Mennyi lesz az f vonalintegrálja a lemniszkátán? D Legyen Ω IR n tartomány, és f : Ω IR n, f C(Ω). Legyen r : [α, β] Ω, r C[α, β] és r C 1 (α, β), továbbá t 1, t 2 (α, β), t 1 t 2 esetén r(t 1 ) r(t 2 ) egy ún. sima görbe Definíció Az f függvény r görbe menti vonalintegrálján az valós integrált értjük. f := β r α f(r(t)), ṙ(t) dt Tétel Ha r 1 : [α, β] Ω és r 2 : [β, γ] Ω, r 1, r 2 sima görbe és r 1 (β) = r 2 (β) (csatlakoznak), akkor az r 1 r 2 : [α, γ] Ω, (r 1 r 2 ) [α,β] = r 1 és (r 1 r 2 ) [β,γ] = r 2 csatolt görbék esetén Biz.: r 1 r 2 f = = γ α β α f = r 1 r 2 f + r 1 f. r 2 f((r 1 r 2 )(t)), (r 1 r 2 ) (t) dt = f(r 1 (t)), r 1 (t) dt + γ β f(r 2 (t)), r 2 (t) dt = f + r 1 f. r 2 Megjegyezzük, hogy (r 1 r 2 ) esetleg β-ban nem differenciálható, de egy pont nem befolyásolja az integrál értékét Tétel Ha r : [α, β] Ω sima görbe, akkor az r : [α, β] Ω, r (t) := r(α+β t) ellentett irányítású görbére f = f. r r

207 12.4. D 201 Biz.: Vezessük be az u := α + β t helyettesítést, ekkor r f = = β α α β f(r(α + β t)), ṙ(α + β t) dt = f(r(u)), ṙ(u) du = β α f(r(u)), ṙ(u) du = f. r Tétel Tegyük fel, hogy f : Ω IR n korlátos, azaz M > 0, x Ω f(x) M. Ekkor az r : [α, β] Ω sima görbe esetén r f M L, ahol L a görbe ívhossza. Biz.: r f = β α β β f(r(t)), ṙ(t) dt f(r(t)), ṙ(t) dt f(r(t)) ṙ(t) dt α β α α M ṙ(t) dt = ML, hiszen β ṙ(t) dt a görbe ívhossza. (Közben a Cauchy Bunyakovszkij Schwarz-egyenlőtlenséget α használtuk.) Definíció Az f : Ω IR n legyen Z-tulajdonságú, ha r : [α, β] Ω, r(α) = r(β) sima zárt görbe esetén r f = Definíció Az f : Ω IR n legyen F-tulajdonságú, ha r 1 : [α 1, β 1 ] Ω és r 2 : [α 2, β 2 ] Ω olyan sima görbék esetén, melyekre még r 1 (α 1 ) = r 2 (α 2 ) és r 1 (β 1 ) = r 2 (β 2 ) is igaz, teljesül, hogy f = r 1 f. r Definíció Az f : Ω IR n legyen P-tulajdonságú, ha Φ : Ω IR, Φ D(Ω) és gradφ = f. A Φ az f egyik potenciálja Tétel Legyen f : Ω IR n. Ekkor Z F P. Biz.: 1 o Z F. Legyen r 1 : [α 1, β 1 ] Ω sima görbe, r 2 : [α 2, β 2 ] Ω sima görbe. Tegyük fel, hogy

208 202 FEJEZET 12. VONALINTEGRÁL ábra. α 2 = β 1, és r 1 (α 1 ) = r 2 (α 2 ), r 1 (β 1 ) = r 2 (β 2 ). Ekkor az r 2 : [α 2, β 2 ] Ω, r 2 (t) := r 2 (α 2 + β 2 t) ellentétesen irányított görbével az r 1 r 2 zárt görbe lesz. Így 0 = f = r 1 r 2 f + r 1 f = r2 f r 1 f, r 2 tehát f = f. r 1 r 2 2 o F P. Rögzítsünk egy a Ω pontot. Legyen Φ : Ω IR, Φ(x) := a,x f, ahol a, x jelöljön egy a-t x-szel összekötő sima görbét. Legyen e i (i = 1, 2,..., n) az i-edik egységvektor. Ekkor Φ(x + se i ) Φ(x) i Φ(x) = lim s 0 s 1 s = lim s 0 s 0 ( 1 = lim f s 0 s a,x+se i 1 f(x + te i ), e i dt = lim s 0 s s 0 a,x ) f = f i (x + te i )dt = 1 = lim s 0 s f i(x + ϑe i ) s = f i (x). (12.1) (Lásd a ábrát.) Közben felhasználtuk, hogy az [x, x + se i ] szakaszt a γ : [0, s] IR n, γ(t) := x + te i paraméterezéssel állíthatjuk elő, melyre γ(t) = e i. Felhasználtuk még a folytonos függvény integrálközepét is. Az utolsó lépés f i folytonosságának a következménye. 3 o P Z Legyen r : [α, β] Ω, r(α) = r(β) sima zárt görbe. Mivel Φ D(Ω) potenciál,

209 12.4. D 203 ezért f = r = β α β α f(r(t)), ṙ(t) dt = β gradφ(r(t)), ṙ(t) dt = β α α (Φ(r(t))) dt = [Φ(r(t))] β α = Φ(r(β)) Φ(r(α)) = 0, Φ (r(t)), ṙ(t) dt = hiszen r(α) = r(β) miatt Φ(r(α)) = Φ(r(β)). Mivel Z F, F P és P Z, ezért az f mindhárom tulajdonsága egyenértékű. Mielőtt a potenciál létezésének elégséges feltételével foglalkoznánk, egy önmagában is fontos, gyakran használt eredményt mutatunk be. Legyen g : [a, b] [c, d] IR, g C. A G : [c, d] IR, G(y) := b a g(x, y)dx függvényt paraméteres integrálnak nevezzük (y a paraméter ) Tétel Legyen g : [a, b] [c, d] IR, g C és 2 g C([a, b] [c, d]). Ekkor a G : [c, d] IR, G(y) := b g(x, y)dx függvényre G D(c, d), és y (c, d) a esetén G (y) = b a 2 g(x, y)dx. Biz.: Legyen y (c, d) tetszőleges. Ekkor s (c, d), s y esetén b G(s) G(y) 2 g(x, y)dx = s y a = 1 ( b b g(x, s)dx s y = 1 s y = 1 s y = b a a b a b a (g(x, s) g(x, y))dx 2 g(x, η)(s y)dx ( 2 g(x, η) 2 g(x, y))dx. a ) g(x, y)dx b a b a b a 2 g(x, y)dx = 2 g(x, y)dx = 2 g(x, y)dx = Mivel 2 g C, ezért ε > 0 δ > 0, hogy (x, s), (x, y) [a, b] [c, d], amelyre (x, s) (x, y) = s y < δ, teljesül, hogy 2 g(x, s) 2 g(x, y) < ε, és mivel η az y és s között van, így η y < δ

210 204 FEJEZET 12. VONALINTEGRÁL is fennáll, amiből 2 g(x, η) 2 g(x, y) < ε is következik. Legyen s (c, d), s y olyan, hogy s y < δ. Ekkor G(s) G(y) s y b a b 2 g(x, y)dx 2 g(x, η) 2 g(x, y) dx < a b a εdx = ε(b a). Ez éppen azt jelenti, hogy lim s y G(s) G(y) s y és G (y) = lim s y G(s) G(y) s y = b a 2 g(x, y)dx. Ezt a tételt a paraméteres integrál deriválása néven szokták emlegetni, és formálisan azt mondja, hogy d dy b a g(x, y)dx = b a g (x, y)dx, y azaz kellően sima függvény esetén az integrál paraméter szerinti deriválását az integrál alatt is el lehet végezni. Legyen Ω IR n. Az Ω tartomány csillagtartomány, ha a Ω, hogy x Ω esetén az [a, x] := {a + t(x a) IR n t [0, 1]} Ω (az a pontból az Ω minden pontjához el lehet látni... ) Tétel (a potenciál létezésének elégséges feltétele) Legyen Ω IR n csillagtartomány. Legyen f C 1 (Ω) ( i, j = 1, 2,..., n esetén i f j C(Ω)) és i, j = 1, 2,..., n esetén x Ω pontban i f j (x) = j f i (x), azaz f (x) IR n n szimmetrikus mátrix. Ekkor Φ : Ω IR, amelyre i, j = 1, 2,..., n esetén x Ω pontban i Φ(x) = f i (x), azaz van potenciálja az f függvénynek. Biz.: Legyen x Ω, x a tetszőleges. Legyen az a pontot x-szel összekötő szakasz a [0, 1] t a + t(x a) Ω sima görbe. Jelölje ezt a, x. Az a, x görbén vett vonalintegrál legyen a Φ függvény x-beli értéke, azaz Φ : Ω IR, Φ(x) := a,x f = 1 0 f(a + t(x a)), x a dt.

211 12.4. D 205 Megmutatjuk, hogy Φ potenciálja az f függvénynek. Legyen i {1, 2,..., n} tetszőleges index. Ekkor x Ω esetén 1 1 n i Φ(x) = i f(a + t(x a)), x a dt = i f j (a + t(x a))(x j a j )dt = 0 0 j=1 [Most alkalmazzuk a paraméteres integrál deriválásáról szóló tételt. A paraméter most x i lesz. Így folytatva a számolást:] = 1 ( n ) { i f j (a + t(x a))t} (x j a j ) + f i (a + t(x a)) 1 dt = 0 j=1 [hiszen ha j i, akkor i (x j a j ) = 0. Most használjuk ki, hogy i f j = j f i. Így kapjuk, hogy:] = 1 ( n ) { j f i (a + t(x a))t} (x j a j ) + f i (a + t(x a)) dt = 0 j=1 [Tekintsük a Φ : IR IR, Φ(t) := t f i (a + t(x a)) függvényt. A simasági feltevések miatt Φ D és Φ (t) = f i (a + t(x a)) + t f i(a + t(x a)) (x a) = n = f i (a + t(x a)) + t j f i (a + t(x a)) (x j a j ). Vegyük észre, hogy az integrál alatt éppen Φ (t) áll. Ezért:] j=1 1 0 Φ (t)dt = [Φ(t)] 1 0 = Φ(1) Φ(0) = f i (a + x a) = f i (x). [Közben többször deriváltunk közvetett függvényt... ] Tehát i Φ(x) = f i (x). Mivel f i C, ezért i Φ C, amiből már következik, hogy Φ D. Így valóban Φ az f potenciálja.

212 206 FEJEZET 12. VONALINTEGRÁL

213 13. fejezet Többváltozós függvény integrálja A A valós-valós függvény integrálját most más irányban általánosítjuk. Eljutunk egy felület alatti térrész térfogatához, amelynek kiszámítását valós függvények integráljának kiszámítására vezetjük vissza B Legyen T := [a, b] [c, d] IR 2 egy zárt téglalap. Legyen f : IR 2 IR kétváltozós folytonos függvény, amelyre T D(f). Készítsük el az [a, b] intervallum egy a = x 0 < x 1 <... < x i 1 < x i <... < x n = b és a [c, d] intervallum egy c = y 0 <... < y k 1 < y k <... < y m = b felosztását. Minden [x i 1, x i ] részintervallumban vegyünk fel egy ξ i [x i 1, x i ] és minden [y k 1, y k ] részintervallumban egy η k [y k 1, y k ] pontot (i = 1,..., n, k = 1,..., m). Készítsük el a σ n,m := f(ξ i, η k )(x i x i 1 )(y k y k 1 ) i=1,...,n, k=1,...,m közelítőösszeget. (A σ n,m szemléletesen [x i 1, x i ] [y k 1, y k ] téglalap alaplapú, f(ξ i, η k ) magasságú (ez lehet negatív szám is!) hasábok előjeles térfogatának az összege.) Az f függvény folytonossága miatt igazolható, hogy ezeknek a közelítőösszegeknek létezik határértéke abban az értelemben, hogy van olyan I IR szám, hogy bármely ε > 0 hibakorláthoz van olyan δ > 0 szám, hogy minden olyan felosztásra, amelyben max{x i x i 1 i = 1, 2,..., n} < δ 207

214 208 FEJEZET 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY INTEGRÁLJA és max{y k y k 1 k = 1, 2,..., m} < δ és ezekben tetszőlegesen felvett ξ i [x i 1, x i ] (i = 1,..., n) és η k [y k 1, y k ] (k = 1,..., m) esetén σ n,m I < ε. Az ilyen I IR számot az f függvény T téglalapon vett integráljának nevezzük és T f := I. Erre a fogalomra röviden úgy szoktak hivatkozni, hogy T f = lim f(ξ i, η k )(x i x i 1 )(y k y k 1 ) = x i x i 1 0, y k y k 1 0 i,k = lim f(ξ i, η k ) x i y k = f(x, y)dxdy. x i 0, y k 0 Az f IR számot az f felület alatti T i,k [a,b] [c,d] H := {(x, y, z) IR 3 (x, y) T, 0 z f(x, y), ha f(x, y) 0 térrész előjeles térfogatának nevezzük. vagy f(x, y) z 0, ha f(x, y) < 0} Nyilvánvaló, hogy a bemutatott eljárás végigvitele igen nehézkessé tenné az f függvény T téglalapon vett integráljának kiszámítását. Idézzük fel a valós-valós függvény integráljának térfogatszámításra való alkalmazását. Legyen most az [a, b] intervallum tetszőleges x [a, b] pontjában a H síkmetszetének területe S(x) (13.1. ábra). Ez a terület a [c, d] y f(x, y) függvény [c, d]-n vett integrálja: S(x) = d c f(x, y)dy. Ha ezt az [a, b] x S(x) függvényt (amely f folytonossága miatt folytonos) integráljuk az [a, b] intervallumon, akkor T f = [a,b] [c,d] f(x, y)dxdy = b a S(x)dx = b a ( d c ) f(x, y)dy dx.

215 13.2. B ábra. Hasonló gondolatmenettel adódna, hogy Tétel (Fubini-tétel) T f = d c ( b a ) f(x, y)dx dy. Legyen f : IR 2 IR, f folytonos és [a, b] [c, d] D(f). Ekkor [a,b] [c,d] f = b a ( d c ) f(x, y)dy dx = d c ( b Például legyen f : IR 2 IR, f(x, y) = xy. T := [0, 1] [2, 3]. Ekkor T f = 3 2 ( 1 0 ) xydx dy = 3 2 [ ] x y y dy = dy = a ) f(x, y)dx dy. [ y 2 4 ] 3 2 = = 5 4. Az f függvény T téglalapon vett integráljának definíciója nem igényelte, hogy az f folytonos függvény legyen. Ha f nem folytonos, akkor előfordulhat, hogy nem létezik az I IR szám. Ha azonban létezik a kívánt tulajdonságú I szám, akkor az f függvényt integrálhatónak mondjuk a T téglalapon, és ekkor T f := I. Ezzel a megjegyzéssel térünk át az f : IR 2 IR függvénynek nem téglalap alakú halmazokon vett integrálhatóságára és integráljára.

216 210 FEJEZET 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY INTEGRÁLJA Legyen α, β : [a, b] IR folytonos függvény olyan, hogy minden x [a, b] esetén α(x) β(x). Legyen N x := {(x, y) IR 2 x [a, b] és α(x) y β(x)} az x-tengelyre nézve normáltartomány. Legyen f : N x IR folytonos függvény. Mivel α, β C[a, b], ezért van olyan c, d IR, hogy minden x [a, b] esetén c α(x) β(x) d. Terjesszük ki az f függvényt a T := [a, b] [c, d] téglalapra a következő módon: ˆf : T IR, ˆf(x, y) := { f(x, y), ha (x, y) N x 0, ha (x, y) T \ N x. Ez az f függvény olyan, hogy ˆf Nx folytonos, míg a T \ N x halmazon azonosan 0. Igazolható, hogy az ilyen ˆf függvény integrálható, és az ˆf függvény T téglalapon vett integrálja segítségével értelmezzük az f függvény N x normáltartományon vett integrálját: f := N x T ˆf. A Fubini-tétel szerint f = N x T ˆf = = = b a b a b a ( d c ( α(x) c ) ˆf(x, y)dy dx = ˆf(x, y)dy + β(x) α(x) ( ) β(x) f(x, y)dy dx, α(x) ˆf(x, y)dy + d β(x) ˆf(x, y)dy ) dx = hiszen [c, α(x)] y ˆf(x, y) = 0, [α(x), β(x)] y ˆf(x, y) = f(x, y) és [β(x), d] y ˆf(x, y) = 0 bármely x [a, b] esetén. Például legyen f : IR 2 IR, f(x, y) = xy és N x := {(x, y) IR 2 x [ 1, 1] és x 2 1 y 1 x 2 }.

217 13.2. B 211 Ekkor N x f = = ( ) 1 x 2 xydy dx = x ] 1 x 2 [x y2 1 x 2 (1 x2 ) 2 x 2 (x2 1) 2 dx = 2 1 dx = x dx = 0. Értelemszerű módosítással kapjuk az N y y-tengelyre nézve normáltartományra vett integrált is. Az előzőek mintájára építhető fel az f : IR 3 IR függvény T := [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] téglára vett integrálja, az erre vonatkozó Fubini-tétel, majd az N xy xy-síkra nézve normáltartományon vett integrál is. Az N xy IR 3 az xy-síkra nézve normáltartomány, ha létezik az [a, b] IR zárt intervallum, léteznek α, β : [a, b] IR folytonos függvények, amelyekre α(x) β(x) (x [a, b]), és léteznek a λ, µ : IR 2 IR folytonos függvények, amelyekre λ(x, y) µ(x, y) (x [a, b], α(x) y β(x)) olyanok, hogy N xy = {(x, y, z) IR 3 x [a, b], α(x) y β(x), λ(x, y) y µ(x, y)}. Tegyük fel, hogy f : IR 3 IR, folytonos függvény, és N xy D(f). Ekkor f = N xy b { ( β(x) ) } µ(x,y) f(x, y, z)dz dy dx. a α(x) λ(x,y) Az egyváltozós helyettesítéssel történő integrálásnak is van megfelelője a többváltozós integrálásban. A valós változós helyettesítéses integrál szerint, ha φ : [α, β] [a, b] szigorúan monoton növő bijekció, és φ D, akkor b f(x)dx = β a α f(φ(t)) φ (t)dt. Tegyük fel, hogy az f : IR 2 IR függvényt a Q D(f) halmazon szeretnénk integrálni. Ha szerencsénk van, akkor találunk olyan Φ = (φ, ψ) : T Q bijekciót, ahol T = [α, β] [γ, δ] IR 2 egy téglalap, Φ folytonosan differenciálható, és bármely (u, v) T esetén det Φ u φ(u, v) v φ(u, v) (u, v) = u ψ(u, v) v ψ(u, v) 0.

218 212 FEJEZET 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY INTEGRÁLJA Bebizonyítható, hogy ekkor f = f(φ(u, v), ψ(u, v)) det Φ (u, v) dudv. Q T Például Q := {(x, y) IR 2 x 2 + y 2 4}, ami egy origó középpontú, 2 sugarú zárt körlemez. Az f : IR 2 IR, f(x, y) := x 2 + y 2. Mivel a (φ, ψ) := [0, 2] [0, 2π] Q, φ(u, v) := u cos v, ψ(u, v) := u sin v bijekció (polártranszformáció néven ismert), és det(φ, ψ) cos v u sin v (u, v) = sin v u cos v = u cos2 v + u sin 2 v = u, ezért x 2 + y 2 dxdy = Q = [0,2] [0,2π] 2 ( 2π 0 0 { (u cos v) 2 + (u sin v) 2} ududv = ) u 3 dv du = 2 0 [u 3 v] 2π 0 du = ] 2 [2π u4 = 8π. 4 0 Az f : IR 3 IR függvények integrálásánál gyakran könnyítést jelent, ha észrevesszük, hogy az X(r, φ, ϑ) := r sin ϑ cos φ Y (r, φ, ϑ) := r sin ϑ sin φ Z(r, φ, ϑ) := r cos φ transzformációval az [R 1, R 2 ] [φ 1, φ 2 ] [ϑ 1, ϑ 2 ] =: T téglát a Q IR 3 integrálási tartományra kölcsönösen egyértelműen képezi le a Φ := (X, Y, Z) : T Q függvény, és det Φ 0 a T téglán. Ekkor sin ϑ cos φ r sin ϑ sin φ r cos ϑ cos φ det Φ (r, φ, ϑ) = sin ϑ sin φ r sin ϑ cos φ r cos ϑ sin φ = r 2 sin ϑ. cos ϑ 0 r sin ϑ

219 13.2. B 213 Ekkor Q f(x, y, z)dxdydz = T f(x(r, φ, ϑ), Y (r, φ, ϑ), Z(r, φ, ϑ)) r 2 sin ϑ drdφdϑ. Az itt alkalmazott térbeli polártranszformáció olyan Q térrészekre alkalmas, amely egy gömb valamilyen része (félgömb, gömbréteg stb.).

220 214 FEJEZET 13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY INTEGRÁLJA

221 14. fejezet Vektoranalízis A Térgörbék jellemzőit értelmezzük és számítjuk ki (görbület, torzió, ívhossz). Felületeken is bevezetjük az integrál fogalmát. A Newton Leibniz-formula általánosításaként integrálátalakító tételeket (Gauss, Stokes) fogalmazunk meg B I. Térgörbék jellemzői Legyen r : [α, β] IR 3 egy megfelelően sima (ṙ, r,... r C és bármely t (α, β) esetén ṙ(t), r(t),... r (t) 0) térgörbe. Már láttuk, hogy ṙ(t 0 ) a görbe t 0 paraméterű pontjához húzott érintővektor. Jelöljük az ṙ(t 0 ) irányába mutató egységvektort t-vel: Ezt tangenciális vektornak nevezzük. t := ṙ(t 0) ṙ(t 0 ). Most legyen a görbe P 0 pontja az r(t 0 ) vektor végpontja. Vegyünk fel tetszőlegesen a görbén P 1 és P 2 (P 1, P 2 P 0 ) pontokat. Ha a P 1, P 0, P 2 nem esik egy egyenesbe, akkor egy síkot határoznak meg. Közeledjen P 1 és P 2 is P 0 -hoz. Tegyük fel, hogy az általuk meghatározott síkok is közelítenek egy határhelyzethez, ami szintén egy sík. Ezt a síkot a görbe P 0 ponthoz tartozó simuló síkjának nevezzük (lényegében ez a sík tartalmazza a görbe P 0 -hoz közeli kis darabját). Megmutatható, hogy a simuló síkot az ṙ(t 0 ) és az r(t 0 ) vektorok feszítik ki, ezért a sík egyik normálvektora az ṙ(t 0 ) r(t 0 ) lesz. Ebből a simuló sík bármely pontjához vezető r helyvektorra fennáll, hogy (ṙ(t 0 ) r(t 0 )), r r(t 0 ) = 0 (a simuló sík egyenlete). 215

222 216 FEJEZET 14. VEKTORANALÍZIS A simuló sík normálvektorából származtatott egységvektor a binormális: b := ṙ(t 0) r(t 0 ) ṙ(t 0 ) r(t 0 ). Nyilván b binormális merőleges a t tangenciális vektorra. A b és t síkját rektifikáló síknak nevezzük. Ennek a síknak az egyik normálvektora a t b, amelyből származtatott egységvektort az f főnormálisnak nevezzük: f := (ṙ(t 0) r(t 0 )) ṙ(t 0 ) (ṙ(t 0 ) r(t 0 )) ṙ(t 0 ). Az f és b síkja a normálsík (ennek egyik normálvektora az ṙ(t 0 ) érintővektor.) A t, f, b páronként egymásra merőleges egységvektorok, amelyek ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak. A görbe r(t 0 ) helyvektorú pontjához illesztett t, f, b vektorrendszert kísérő triédernek nevezzük (t 0 változásával a kísérő triéder is változik, de a görbe számára nagyon természetesnek tűnik ez a rendszer). A köznapi értelemben is fontos tudni egy út hosszát. Tisztázni fogjuk, hogy egy r : [α, β] IR 3 térgörbének mikor van ívhossza, és ha van, akkor azt hogyan definiáljuk. Legyen τ az [α, β] egy tetszőleges felosztás: τ : α = t 0 < t 1 <... < t i 1 < t i <... < t n = β. Az r(t i 1 ) és r(t i ) a görbe pontjaihoz vezető helyvektor, így r(t i ) r(t i 1 ) a két pontot összekötő szakasz hossza. Legyen L(τ) := n r(t i ) r(t i 1 ) i=1 az r(t 0 ), r(t 1 ),... r(t n ) pontokhoz tartozó töröttvonal hossza. Készítsük el az összes ilyen töröttvonal hosszát tartalmazó számhalmazt: {L(τ) τ felosztása az [α, β] intervallumnak}. Ha ez a halmaz felülről korlátos, akkor az r térgörbét rektifikálhatónak ( kiegyenesíthető ) nevezzük, és ekkor sup{l(τ) τ felosztása az [α, β] intervallumnak} =: L IR-beli számot nevezzük a térgörbe hosszának. Ha a halmaz felülről nem korlátos, akkor nincs hossza a térgörbének (vagy végtelen hosszú).

223 14.2. B 217 Már láttuk, hogy sima görbe esetén r(t i ) r(t i 1 ) ṙ(ξ i ) (t i t i 1 ) (ξ i [t i 1, t i ]), így L(τ) = n r(t i ) r(t i 1 ) i=1 n ṙ(ξ i ) (t i t i 1 ), ami egy integrálközelítő összeg. Megmutatható, hogy ez sima görbe esetén elvezet a görbe ívhosszához: sima görbe rektifikálható, és L = β α i=1 ṙ(t) dt. Ha r : [α, β] IR sima görbe, akkor bármely t [α, β] esetén legyen s(t) := t α ṙ(u) du a görbének a t paraméterű pontig terjedő ívhossza (nyilván ez is létezik). Az értelmezés alapján látható, hogy Ha t, t + t [α, β], akkor s (t) = d dt s := s(t + t) s(t) = t α t+ t t ṙ(u) du = ṙ(t). ṙ(u) du ṙ(t) t, ha t 0. Az r térgörbe mentén mozgó pont pályamenti (kerületi) sebessége ebből származtatható: s v(t) = lim t 0 t = ds dt = ṙ(t). Gyakran használjuk a szögsebesség fogalmát. Tegyük fel, hogy az r(t) és az r(t + t) vektorok hajlásszöge φ. Az r térgörbe t paraméterű pontjában a szögsebesség legyen φ ω(t) := lim t 0 t. Elég sima görbe esetén kiszámítjuk az ω(t) szögsebességet. Ismert, hogy r(t) r(t + t) = r(t) r(t + t) sin φ. Felhasználva, hogy r(t) r(t) = 0, sin φ = r(t) (r(t + t) r(t)). r(t) r(t + t)

224 218 FEJEZET 14. VEKTORANALÍZIS Emlékezve arra, hogy lim φ 0 sin φ φ = 1, és t 0 esetén φ 0, tovább számolunk: sin φ φ φ t r(t+ t) r(t) r(t) t = r(t) r(t + t), r(t + t) r(t) lim t 0 t φ ω(t) = lim t 0 t = ṙ(t), = r(t) ṙ(t) r(t) 2. Egy autóban útkanyarulathoz érve fontos tudni, hogy mennyire görbült az út, mennyire tér el az egyenestől. Az elég sima görbe t és t + t paraméterű pontjai közötti görbeív hossza legyen s. E két pontbeli érintővektor hajlásszöge legyen α. A t paraméterű ponthoz tartozó görbületen a határértéket értjük. α G(t) := lim s 0 s A görbület arról tájékoztat, hogy s út megtételekor mekkora a sebességvektor szögelfordulása. Ha G nagy, akkor éles a kanyar, ha G közel nulla, akkor lényegében egyenes az út. Kiszámítjuk a görbületet is elég sima görbe (ṙ, r C) esetén. t 0, így amiből α s = α t : s t, α G(t) = lim s 0 s = lim α t 0 t : lim s t 0 t = Ω(t) : ṙ(t), ahol Ω(t) az ṙ (ez is térgörbe!) szögsebessége a t paraméterű helyen. Tehát Ha s 0, akkor G(t) = ṙ(t) r(t) ṙ(t) 2 : ṙ(t) = ṙ(t) r(t) ṙ(t) 3. Legyen G(t) 0 esetén R(t) := 1 G(t) > 0. Igazolható, hogy a görbe t paraméterű pontjához illeszkedő R(t) sugarú kör, mely a simuló síkban fekszik, és amelynek a középpontja az f főnormális egyenesén van, a görbéhez jól simuló kört ad. Simuló körnek nevezik. Az r görbén való mozgás rövid szakaszon a simuló körön való mozgással helyettesíthető. A görbület azt mutatja meg, hogy egy görbe mennyire tér el az egyenestől. Egy másik jellemző adat, a torzió arról tájékoztat, hogy a görbe mennyire tér el egy síkgörbétől. A görbe simuló síkjának normálvektora a binormális. Ha a paraméterváltozással a

225 14.2. B 219 simuló sík változik, akkor erről a binormális elhajlása tanúskodik. A s ívhosszváltozással járó binormális szögelfordulás jellemzi a torziót (csavarodást), azaz a t paraméterű helyhez tartozó torzió legyen β T (t) := lim s 0 s. ahol β az r(t) és az r(t + t) görbepontoknál érvényes simuló síkok normálvektorának (b(t) és b(t + t)) hajlásszöge, s pedig a két pont közötti ívhossz. Az előzőekhez hasonlóan, elég sima görbe esetén (ṙ, r,... r C) β T (t) = lim s 0 s = lim β t 0 t : s t = lim β t 0 t : lim s t 0 t = b(t) ḃ(t) b(t) 2 : ṙ(t), ahol az osztandó a b binormális, mint térgörbe szögsebessége. Behelyettesítve a binormálisra megismert előállítást, egyszerűsítések után a torzióra azt kapjuk, hogy T (t) = ṙ(t) r(t),... r (t) ṙ(t) r(t) 2. Megjegyezzük, hogy ha a számlálóban a vegyesszorzatnak nem vesszük az abszolút értékét, akkor T (t) > 0 esetén jobbcsavarodású, T (t) < 0 esetén balcsavarodású görbéről beszélünk. Csavarmeneteknél, csigalépcsőnél jelentősége lehet ennek is... II. Felületek Legyen S egy sík a térben. Az S sík egy pontjához vezessen az r 0 vektor. Legyen továbbá az a és b két nem párhuzamos síkbeli vektor. Ismert, hogy az S sík tetszőleges pontjához vezető r vektor előáll alkalmas u, v IR számokkal r = r 0 + ua + vb alakban. Koordinátánként ez azt jelenti, hogy x = x 0 + ua 1 + vb 1 y = y 0 + ua 2 + vb 2 z = z 0 + ua 3 + vb 3. Tehát az S sík bármely pontját három kétváltozós függvénnyel meg tudtuk adni.

226 220 FEJEZET 14. VEKTORANALÍZIS ábra. Ez általánosan is igaz. Legyen Φ : IR 2 IR 3, Φ = ahol X, Y, Z : IR 2 IR. Ha Ω := D(Φ) IR 2, akkor bármely (u, v) Ω esetén az X(u, v) Y (u, v) Z(u, v) IR 3 a tér egy pontjához vezető helyvektort ad. Ezek a pontok egy felületet (kétparaméteres X Y Z, felület) határoznak meg. Például a Φ : [0, 2π] [0, π] IR 3, Φ(u, v) := 3 sin v cos u 3 sin v sin u 3 cos v egy (0, 0, 0) középpontú, R = 3 sugarú gömbfelület kétparaméteres előállítása (14.1. ábra). Legyen Φ : IR 2 IR 3, (u 0, v 0 ) D(Φ). A p : IR IR 3, p(u) := Φ(u, v 0 ), a felületen futó görbe legyen az u-paramétervonal, míg a q : IR IR 3, q(v) := Φ(u 0, v) a v-paramétervonal (14.2. ábra).

227 14.2. B ábra. Ha Φ sima függvény (X, Y, Z koordináta-függvények parciális derviáltjai folytonosak), akkor ṗ(u 0 ) és q(v 0 ) az u-paramétervonal ill. a v-paramétervonal érintővektorai, és ekkor az n := ṗ(u 0 ) q(v 0 ) a Φ felület Φ(u 0, v 0 ) pontjához tartozó érintősíkjának a normálvektora lesz. Mivel ṗ(u 0 ) = u X(u 0, v 0 ) u Y (u 0, v 0 ) u Z(u 0, v 0 ) és q(v 0 ) = v X(u 0, v 0 ) v Y (u 0, v 0 ) v Z(u 0, v 0 ), ezért az érintősík normálvektora az n = i j k u X u Y u Z v X v Y v Z determináns, ahol a parciális deriváltakat az (u 0, v 0 ) helyen kell venni. Legyen Φ sima felület, (u, v), (u + u, v), (u + u, v + v), (u, v + v) D(Φ) pontok által meghatározott téglalap. Ennek területe u v. A Φ(u + u, v) Φ(u, v) u X(u, v) u Y (u, v) u Z(u, v) u =: a,

228 222 FEJEZET 14. VEKTORANALÍZIS ábra. Φ(u, v + v) Φ(u, v) v X(u, v) v Y (u, v) v Z(u, v) v =: b, ezért a felületen futó u- és v-paramétervonalak által határolt Φ(u, v), Φ(u+ u, v), Φ(u+ u, v + v), Φ(u, v + v) csúcsokkal jellemezhető felületdarab felszíne közelítőleg a Φ(u, v) felületi ponthoz tartozó érintősíkon lévő olyan paralelogrammának a területe, amelynek oldalvektorai a és b. Ez a terület a vektoriális szorzattal kifejezhető: i j k a b = n u v = u X u Y u Z u v. v X v Y v Z A paramétertartományt az u és a v tengellyel párhuzamos egyenesekkel elég sűrűn felosztva u v területű cellák keletkeznek (14.3. ábra). A cella képe a felületen egy görbevonalú cella lesz, melynek felszínét számoltuk ki az előbbiekben. Ha ezeket összegezzük, akkor a Φ felület felszínének egy közelítőösszegét kapjuk: u X(u, v) u Y (u, v) u v u Z(u, v) v X(u, v) v Y (u, v) v Z(u, v) u v, amely a felosztás minden határon túli sűrítésével a Φ felület Ω értelmezési tartományára

229 14.2. B 223 vett integrálhoz tart. Tehát a Φ felület felszíne ahol u Φ = S := u X u Y u Z Ω u Φ v Φ dudv, és v Φ = v X v Y v Z Az integrálandó függvényt egyszerűsíthetjük. Mivel a, b vektor esetén. a b 2 = a 2 b 2 sin 2 α = a 2 b 2 (1 cos 2 α) = = a 2 b 2 a 2 b 2 cos 2 α = a 2 b 2 ( a, b ) 2, ezért S = ( u Φ 2 v Φ 2 ( u Φ, v Φ ) 2 ) 1/2 dudv. Ω Felszíni integrál Legyen Φ : IR 2 IR 3, Ω := D(Φ) egy sima felület. Tegyük fel, hogy a felület minden pontjához hozzárendeltünk egy valós számot, azaz legyen U : IR 3 IR, D(U) := Φ(Ω). Tegyük fel, hogy U folytonos. Az U skalárfüggvény Φ felületre vett integrálját a szokásos módon értelmezzük: 1 o Felosztjuk az Ω paramétertartományt u v területű cellákra. 2 o A cellákban felveszünk tetszőlegesen (u, v ) pontokat. 3 o Elkészítjük az U(Φ(u, v )) u Φ v Φ u v szorzatot (az U függvény egy felületi pontban vett értékének és a u v területű cella képének a közelítő területét szoroztuk össze). 4 o A u v U(Φ(u, v )) u Φ v Φ u v egy integrálközelítő összeg. 5 o Az U skalárfüggvény Φ felületre vett integrálján a közelítőösszegek határértékét értjük: Φ U := lim U(Φ(u, v )) u Φ v Φ u v = u 0, v 0 u v = U(Φ(u, v)) u Φ(u, v) v Φ(u, v) dudv. Ω

230 224 FEJEZET 14. VEKTORANALÍZIS Felületi integrál Legyen Φ : IR 2 IR 3, Ω := D(Φ) egy sima felület. Tegyük fel, hogy a felület minden pontjához egy vektort rendeltünk, azaz F : IR 3 IR 3, D(F ) = Φ(Ω). Tegyük fel, hogy F folytonos. Az F vektorértékű függvény Φ felületre vett integrálját az eddigiekhez hasonlóan értelmezzük: 1 o Felosztjuk az Ω paramétertartományt u v területű cellákra. 2 o A cellákban tetszőlegesen felveszünk (u, v ) pontokat. 3 o Elkészítjük az F (Φ(u, v )) vektort. 4 o A cella (u, v) sarokpontjához tartozó Φ(u, v) ponthoz tartozik egy érintősík, amelynek normálvektora u Φ(u, v) v Φ(u, v). Mivel a u v területű cellához tartozó felületelem területe S u Φ(u, v) u v Φ(u, v) v = u Φ(u, v) v Φ(u, v) u v, ezért a S := ( u Φ(u, v) v Φ(u, v)) u v vektort felszínvektornak nevezzük. (A S hossza éppen a felületelem területe, és iránya a felületre merőleges, ṗ(u), q(v) vektorokkal jobbsodrású rendszert alkot.) 5 o Elkészítjük a F (Φ(u, v )), S skaláris szorzatok összegét. Ez egy integrálközelítő összeg. u v 6 o Az F vektorértékű függvény Φ felületre vett integrálján a közelítőösszegek határértékét értjük: Φ III. A nabla F := lim F (Φ(u, v )), u Φ(u, v) v Φ(u, v) u v = u 0, v 0 u v = F (Φ(u, v)), u Φ(u, v) v Φ(u, v) dudv. (14.1) Ω A nabla egy jelképes vektor, amely az x szerinti, az y szerinti és a z szerinti parciális

231 14.2. B 225 deriválásra ad utasítást. Jele. Vektorként is használható, skaláris és vektoriális szorzatok egyik tényezője is lehet. Ha f : IR 3 IR sima függvény, akkor := x y z gradf = f = x f y f z f. (Itt az f úgy viselkedik, mint egy vektor számszorzója, csak a szokástól eltérően most a vektor mögött helyezkedik el.) Ha f : IR 3 IR 3 sima függvény, akkor az f (x, y, z) IR 3 3 deriváltmátrix főátlójában álló elemek összege legyen a divf(x, y, z) = x f 1 (x, y, z) + y f 2 (x, y, z) + z f 3 (x, y, z). Az f divergenciája a vektorral: divf =, f (a nabla és az f vektor skaláris szorzata). Ha f : IR 3 IR 3 sima függvény, akkor az f (x, y, z) IR 3 3 deriváltmátrix főátlóra szimmetrikusan elhelyezkedő elemei különbségeiből álló vektort az f rotációjának nevezzük, és rotf(x, y, z) := y f 3 (x, y, z) z f 2 (x, y, z) z f 1 (x, y, z) x f 3 (x, y, z) x f 2 (x, y, z) y f 1 (x, y, z). Az f rotációja a vektorral: rotf = f (a nabla és az f vektor vektoriális szorzata). A gradf jelentését az iránymenti derivált kapcsán derítettük fel, a rotf a vonalintegrál témakörében, a potenciál létezésének elégséges feltételénél került már elő. (A divf hamarosan megjelenik.) Látható, hogy a grad, div és rot egy-egy differenciálási utasítás, amely a segítségével áttekinthetővé válik. A valóban úgy viselkedik, mint egy vektor. Például f : IR 3 IR elég sima

232 226 FEJEZET 14. VEKTORANALÍZIS függvény esetén rot(gradf) = ( f) = 0, hiszen és f párhuzamosak. (A deriválások hosszadalmas elvégzése után is ezt kapnánk.) Megemlítjük, hogy a sajátmagával vett skaláris szorzata a Laplace-operátor: :=,, azaz ha f : IR 3 IR elég sima skalárfüggvény, akkor a f := div(gradf) = 2 xxf + 2 yyf + 2 zzf a Laplace f. Integrálátalakító tételek A valós-valós függvényekre vonatkozó Newton Leibniz-formulát fogjuk most általánosítani. Ennek a tételnek egyik következménye, hogy ha f : IR IR folytonosan differenciálható, akkor b a f = f(b) f(a), amit úgy értelmezhetünk, hogy az f függvény deriváltjának az [a, b] halmazon vett integrálja az f függvénynek a halmaz határán való megváltozásával egyenlő. Az egyik általánosítás a következő: Legyen Φ : IR 2 IR 3 sima felület, melyet egy r : IR IR 3 irányított görbe határol (a felszínvektorok irányából nézve az r görbe pozitív irányítású legyen) Tétel (Stokes-tétel) Ha F : IR 3 IR 3 sima vektorfüggvény, akkor rotf = F, Φ r azaz a rotf (az F függvényre alkalmaztunk egy differenciáloperátort) felületi integrálja egyenlő a felület határán az F vonalintegráljával. A másik általánosítás a következő: Legyen egy zárt, sima felület a Φ : IR 2 IR 3, amely egy V IR 3 térrészt vesz körül (a felszínvektorokat kifelé irányítjuk).

233 14.3. C Tétel (Gauss-tétel) Ha F : IR 3 IR 3 sima vektorfüggvény, akkor divf = F, V Φ azaz a V térbeli tartományra integrálva a divf függvényt (egy másik differenciáloperátort alkalmaztunk az F függvényre), ez az integrál a térrész határán vett felületi integrálba megy át C 1. Legyen r : [0, 6π] IR 3, r(t) := paraméterértékhez tartozó cos t sin t t egy csavarvonal. Számítsa ki a t 0 := π 2 a) kísérő triéder t, f, b vektorait, b) a G(t 0 ) görbületet és az R(t 0 ) simulókör sugarát, c) a T (t 0 ) torziót. Számítsa ki a csavarvonal hosszát! 2. Legyen Φ : [0, 2π] [0, π] IR 3, Φ(u, v) := 3 sin v cos u 3 sin v sin u 3 cos v egy gömbfelület. Írja fel az (u 0, v 0 ) := (0, π ) paraméterértékekhez tartozó p : 2 [0, 2π] IR 3, p(u) := Φ(u, π) és a q : [0, π] 2 IR3, q(v) := Φ(0, v) paramétervonalakat! (A Földgömbön mit jelentenének ezek?) Írja fel az (u 0, v 0 ) := ( π, π ) paraméterértékekhez tartozó érintősík egyenletét! (Mekkora szöget zár be ez a sík az Egyenlítő 3 3 síkjával?) 3. Az előbbi Φ(u, v) felületnek mekkora az Ω := paramétertartományhoz tartozó felszíne? { (u, v) 0 u π 4, π 3 v π } 2

234 228 FEJEZET 14. VEKTORANALÍZIS 4. Mutassuk meg, hogy az f : [a, b] [c, d] IR sima függvény mint felület felszínét a integrál adja! Megoldás: Legyen d c ( b a ) 1 + [ x f(x, y)] 2 + [ y f(x, y)] 2 dx dy Φ : [a, b] [c, d] IR 3, Φ(x, y) := a felület kétparaméteres előállítása. x Φ(x, y) = 1 0 x f(x, y), y Φ(x, y) = x y f(x, y) 0 1 y f(x, y) x Φ(x, y) 2 = 1 + [ x f(x, y)] 2, y Φ(x, y) 2 = 1 + [ y f(x, y)] 2, ( x Φ(x, y), y Φ(x, y) ) 2 = ( x f(x, y) y f(x, y)) 2, x Φ 2 y Φ 2 x Φ, y Φ 2 = 1 + ( x f) 2 + ( y f) 2. Ebből már következik az állítás. 5. Legyen Φ : [0, 1] [0, 1] IR 3, Φ(u, v) := u + v u v u x + y + z. Számítsa ki az U felszíni integrált! Φ, és U : IR 3 IR, U(x, y, z) := 6. Legyen és Φ : [0, 1] [0, 1] IR 3, Φ(u, v) := F : IR 3 IR 3, F (x, y, z) := y x z u + v u v u., Számítsa ki az F felületi integrált! Φ

235 14.3. C Legyen Φ : [0, 2π] [0, π/2] IR 3, Φ(u, v) := egy felső félgömb, és határoló görbéje r : [0, 2π] IR 3, r(t) := Legyen F : IR 3 IR 3, F (x, y, z) := Stokes-tételt! Megoldás: rotf (x, y, z) = F (x, y, z) = tehát rotf (x, y, z) = u Φ(u, v) = y 0 x 2 x 2 y yz z i j k x y z x 2 yz z, rotf (Φ(u, v)) = cos v sin u cos v cos u 0 cos t sin t 0 cos v cos u cos v sin u. sin v egy vektorfüggvény. Ellenőrizzük a = i(0 y) j(0 0) + k(0 x 2 ),, v Φ(u, v) = cos v sin u 0 (cos v cos u) 2. sin v cos u sin v sin u cos v i j k u Φ(u, v) v Φ(u, v) = cos v sin u cos v cos u 0 = sin v cos u sin v sin u cos v = i(cos 2 v cos u) j( cos 2 v sin u) + k(cos v sin v sin 2 u + cos v sin v cos 2 u) = cos 2 v cos u = cos 2 v sin u, cos v sin v és ezek kifelé néző vektorok.

236 230 FEJEZET 14. VEKTORANALÍZIS A Stokes-tétel bal oldala: rotf = Φ = = [0,2π] [0,π/2] 2π 0 2π 0 π/2 0 rotf (Φ(u, v)), u Φ(u, v) v Φ(u, v) dudv = cos v sin u 0 cos 2 v cos u, cos 2 v sin u dv du = cos 2 v cos 2 u cos v sin v ( ) π/2 ( cos 3 v sin u cos u cos 3 v sin v cos 2 u)dv du. 0 Mivel cos 3 vdv = cos v(1 sin 2 v)dv = cos vdv + sin 2 v cos vdv = ezért Másrészt Ezeket felhaszálva Φ = sin v + sin3 v, 3 π/2 0 π/2 0 rotf = cos 3 vdv = [ ] π/2 sin v + sin3 v = [ cos cos 3 4 v v( sin v)dv = 4 2π 0 sin u cos u = 2 [ ] sin 2 2π u = 0 1 [ 1 sin 2u u A Stokes-tétel jobb oldala egy vonalintegrál: r F = = = 2π 0 2π 0 F (r(t)), ṙ(t) dt = cos 2 t sin 2 tdt = [ 1 sin 4t t ] 2π 0 2π 0 2π 0 = π 4. ] π/2 0 = 1 4. ( 2 ) ( + cos 2 u 1 ) du 3 4 2π 0 ] 2π cos 2u du = 2 = π 4. cos 2 t sin t sin t 0, cos t dt = 0 sin2 2t dt = 4 2π cos 4t dt = 8

237 14.3. C 231 Tehát ebben a példában rotf = F = π 4. Φ r 8. Legyen F : IR 3 IR 3, F (x, y, z) := Legyen x 2 y yz z vektorfüggvény. V := {(x, y, z) IR 3 x 2 + y 2 + z 2 R 2 } egy origó középpontú, R sugarú gömb, melyet a Φ : [0, 2π] [ π/2, π/2] IR 3, Φ(u, v) := felület határol. Ellenőrizzük a Gauss-tételt! Megoldás: R cos v cos u R cos v sin u R sin v divf (x, y, z) =, F (x, y, z) = x (x 2 y) + y (yz) + z (z) = 2xy + z + 1. A Gauss-tétel bal oldala: V divf = (2xy + z + 1)dxdydz. V Az integrál kiszámításához célszerű egy polártranszformációt alkalmazni. Legyen Ψ : [0, 2π] [π/2, π/2] [0, R] IR 3, Ψ(u, v, r) := r cos v cos u r cos v sin u r sin v A Ψ bijekció a T := [0, 2π] [π/2, π/2] [0, R] és a V gömb között. Számítsuk ki a helyettesítő függvény deriváltjának determinánsát: det Ψ (u, v) = r cos v sin u r sin v cos u cos v cos u r cos v cos u r sin v sin u cos v sin u = 0 r cos v sin v = r cos v( r cos 2 v sin 2 u r cos 2 v cos 2 u) + + sin v(r 2 cos v sin v sin 2 u + r 2 cos v sin v cos 2 u) = = r 2 cos v..

238 232 FEJEZET 14. VEKTORANALÍZIS Mivel v [ π 2, π 2 ], ezért det Ψ (u, v) = r 2 cos v. Ezt felhasználva V (2xy + z + 1)dxdydz = ( 2π π/2 ( R ) ) (2(r cos v cos u)(r cos v sin u) + r sin v + 1)r 2 cos vdr dv du = 0 2π 0 2π 0 π/2 0 ( π/2 ( R π/2 π/2 0 ) ) (2r 4 cos 3 v cos u sin u + r 3 sin v cos v + r 2 cos v)dr dv du = ( π/2 ( 2 5 R5 cos 3 v cos u sin u R4 sin v cos v + 1 ) ) 3 R3 cos v dv du. A 7. feladatból π/2 π/2 cos 3 vdv = [ ] π/2 sin v sin3 v = 4 3 π/2 3. π/2 π/2 [ sin 2 v sin v cos vdv = 2 Így az integrálást folytatva: 2π 0 ] π/2 π/2 = 0, és π/2 π/2 cos vdv = 2. [ R5 cos u sin u R4 + 2 ] 3 R3 du = 8 [ ] sin 2 2π u 15 R5 + 4π R3 = 4π 3 R3. A Gauss-tétel jobb oldala egy felületi integrál: Φ F = F (Φ(u, v)), u Φ(u, v) v Φ(u, v) dudv. [0,2π] [ π 2, π 2 ] u Φ(u, v) = u Φ(u, v) v Φ(u, v) = R cos v sin u R cos v cos u 0, v Φ(u, v) = R sin v cos u R sin v sin u R cos v i j k R cos v sin u R cos v cos u 0 = R sin v cos u R sin v sin u R cos v = i(r 2 cos 2 v cos u) j( R 2 cos 2 v sin u) + = +k(r 2 cos v sin v sin 2 u + R 2 cos v sin v cos 2 u) = R 2 cos 2 v cos u R 2 cos 2 v sin u. R 2 cos v sin v

239 14.3. C 233 F (Φ(u, v)) = Ezekkel a függvényekkel Φ = F = 2π 0 [0,2π] [ π 2, π 2 ] (R cos v cos u) 2 (R cos v sin u) (R cos v sin u)(r sin v) R sin v. R 3 cos 3 v cos 2 u sin u R 2 cos 2 v cos u R 2 cos v sin v sin u, R 2 cos 2 v sin u dudv = R sin v R 2 cos v sin v ( ) π/2 (R 5 cos 5 v cos 3 u sin u + R 4 cos 3 v sin v sin 2 u + R 3 sin 2 v cos v)dv du. π/2 Kiszámítjuk az egyes tagok integrálját. cos 5 vdv = (1 sin 2 v) cos 3 vdv = cos 3 vdv cos 3 v sin 2 vdv. A 7. feladatból cos 3 vdv = sin v sin3 v 3. cos 3 v sin 2 vdv = (cos 3 v sin v) sin vdv = cos4 v sin v 4 = 1 4 cos4 v sin v + 1 cos 5 vdv. 4 cos4 v 4 cos vdv = A kapott eredményt beírva, rendezés után azt kapjuk, hogy π/2 cos 5 vdv = sin v sin3 v π/2 cos 5 vdv = 4 5 Ezzel az eredménnyel π/2 π/ cos4 v sin v 1 4 cos 5 vdv, cos 5 vdv = sin v sin3 v cos4 v sin v, [ sin v sin3 v + 1 ] π/2 3 4 cos4 v sin v = = π/2 (R 5 cos 5 v cos 3 u sin u + R 4 cos 3 v sin v sin 2 u + R 3 sin 2 v cos v)dv = = R5 cos 3 u sin u + R 4 sin 2 u = R5 cos 3 u sin u R3. [ ] π/2 [ ] cos4 v sin + R 3 3 π/2 v = 4 π/2 3 π/2

240 234 FEJEZET 14. VEKTORANALÍZIS Végül 2π 0 ( R5 cos 3 u sin u + 2 ) [ ( ) 16 3 R3 du = 15 R5 cos4 u + 2 ] 2π 4 3 R3 u = 4π 0 3 R3. Tehát V divf = F = 4π 3 R3. Φ