Inverz függvények Inverz függvények / 26

Átírás

1 Inverz függvének Inverz függvének / 26

2 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás Inverz függvének / 26

3 Az inverz függvén fogalma Deníció Az f valós függvén invertálható, ha injektív, azaz, D(f ), esetén f () f (). f grakonját tekintve ez azt jelenti, hog a grakon minden vízszintes egenest legfeljebb 1 pontban metsz. Deníció Invertálható f függvén esetén g az f inverze, ha g értelmezési tartomána (D(g)) megegezik f értékkészletével (R(f )), és f () = esetén g() =. g f A grakonok szempontjából ez azt jelenti, hog f és g grakonja egmás tükörképe az = egenesre nézve. g pontosan akkor inverze f -nek, ha f inverze g -nek. Inverz függvének / 26

4 Az inverz függvén fogalma Tétel Ha f és g valós függvének, akkor g pontosan akkor inverze f -nek, ha D(f ) g(f ()) = és D(g) f (g()) =. Példa f () = 3 inverze g() = 3, hisz R esetén ( 3 ) 3 = és 3 3 =. 3 3 Inverz függvének / 26

5 Az inverz függvén fogalma Példa f () = 2 -nek nem inverze g() =, mert bár D(g) = [0, ) esetén ( ) 2 =, de ha R akkor 2 =, és < 0-ra ez nem egezik meg -szel. f () = 2 igazából nem is invertálható, hiszen nem injektív ( 2 = ( ) 2 ). 2 Mi ilenkor a teend? = Szorítsuk meg a függvént eg olan halmazra, ahol invertálható! Inverz függvének / 26

6 Az inverz függvén fogalma Deníció Legen f eg valós függvén. H D(f ) esetén f megszorítása H-ra (jel.: f H ) az a h függvén, amelre D(h) = H és H h() = f (). Példa f () = 2 [0, ) invertálható, és inverze g() =. 2 [0, ) Inverz függvének / 26

7 Szig. monoton függvének inverze Szig. monoton függvének inverze Állítás Ha az f valós függvén szigorúan monoton növ vag szigorúan monoton csökken, akkor invertálható. Megjegzés Az állítás megfordítása nem igaz, pl. f () = 1 invertálható, és inverze önmaga, de mégsem szogorúan monoton az értelmezési tartománán. Inverz függvének / 26

8 Szig. monoton függvének inverze Tétel Ha az f valós függvén foltonos és invertálható az I intervallumon, akkor f szigorúan monoton növ vag szigorúan monoton csökken. Bizonítás (vázlat) Ha a, b I és a < c < b, akkor f (a) < f (c) < f (b) vag f (a) > f (c) > f (b), ellenkez esetben a Bolzano-Darbou-tétel miatt f nem lehetne invertálható. a c b Inverz függvének / 26

9 Szig. monoton függvének inverze Bizonítás (foltatás) Ha a, b I és a < c < d < b, akkor f (a) < f (b) esetén f (c) < f (d) (és f (a) > f (b) esetén f (c) > f (d)), ellenkez esetben az el z pontot alkalmazva a-ra és d-re ellentmondásra jutnánk, hisz pl. az els esetben f (a), f (d) f (c) lenne. Ez viszont azt jelenti, hog minden I -beli zárt intervallumon a végpontoknak megfelel en a függvén vag szigorúan monoton növ, vag szigorúan monoton csökken, és íg a teljes I intervallumon is szigorúan monoton. Következmén Ha eg foltonos függvént szeretnénk invertálni, akkor olan maimális intervallumra kell megszorítani, ahol szigorúan monoton. Inverz függvének / 26

10 Az inverz függvén tulajdonságai Az inverz függvén tulajdonságai Tétel Legen f eg invertálható valós függvén, melnek inverze g. Ekkor: 1 D(g) = R(f ), D(f ) = R(g) 2 Ha f szigorúan monoton növ (csökken ), akkor g is sszigorúan monoton növ (csökken ). 3 Ha f foltonos, akkor g is foltonos. Bizonítás 1. Volt korábban < 2 f ( 1 ) < f ( 2 ) g( 1 ) < g( 2 ) 1 < 2 Inverz függvének / 26

11 Az inverz függvén tulajdonságai Bizonítás (foltatás) 3. f invertálható és foltonos = szigorúan monoton. Legen pl. szig. monoton nov és vegünk eg tetsz leges ε > 0-t. f ( 0 + ε) f ( 0) + δ f ( 0) f ( 0) δ f ( 0 ε) 0 ε ε ε > 0 δ > 0 (f ( 0 ) δ, f ( 0 ) + δ) (f ( 0 ε), f ( 0 + ε)) Inverz függvének / 26

12 Elemi függvének inverzei Hatvánfüggvének inverzei - gökfüggvének f () = n, n pozitív páratlan egész = invertálható és inverze g() = n n n D(f ) = R(g) = R D(g) = R(f ) = R Inverz függvének / 26

13 Elemi függvének inverzei f () = n, n pozitív páros egész = f [0, ) invertálható és inverze g() = n n n D(f [0, )) = R(g) = [0, ) D(g) = R(f [0, )) = [0, ) Inverz függvének / 26

14 Elemi függvének inverzei Trigonometrikus függvének inverzei - arkusz függvének f () = sin = f [ π 2, π 2 ] invertálható és inverze g() = arcsin sin arcsin D(f [ π 2, π 2 ] ) = R(g) = [ π 2, π 2 ] D(g) = R(f [ π 2, π 2 ] ) = [ 1, 1] Inverz függvének / 26

15 Elemi függvének inverzei f () = cos = f [0,π] invertálható és inverze g() = arccos arccos cos D(f [0,π]) = R(g) = [0, π] D(g) = R(f [0,π]) = [ 1, 1] Inverz függvének / 26

16 Elemi függvének inverzei f () = tg = f [ π 2, π 2 ] invertálható és inverze g() = arctg tg arctg D(f [ π 2, π 2 ] ) = R(g) = [ π 2, π 2 ] D(g) = R(f [ π 2, π 2 ] ) = R lim arctg = π 2, lim arctg = π 2 Inverz függvének / 26

17 Elemi függvének inverzei f () = ctg = f [0,π] invertálható és inverze g() = arcctg ctg arcctg D(f [0,π]) = R(g) = [0, π] lim arctg = π, lim D(g) = R(f [0,π]) = R arctg = 0 Inverz függvének / 26

18 Elemi függvének inverzei Hiperbolikus függvének inverzei - area függvének f () = sh = f invertálható és inverze g() = arsh arsh sh D(f ) = R(g) = R D(g) = R(f ) = R Inverz függvének / 26

19 Elemi függvének inverzei f () = ch = f [0, ) invertálható és inverze g() = arch ch arch D(f [0, )) = R(g) = [0, ) D(g) = R(f [0, )) = [1, ) Inverz függvének / 26

20 Elemi függvének inverzei f () = th = f invertálható és inverze g() = arth arth th D(f ) = R(g) = R D(g) = R(f ) = ( 1, 1) Inverz függvének / 26

21 Elemi függvének inverzei f () = cth = f R\{0} invertálható és inverze g() = arcth arcth cth D(f ) = R(g) = R\{0} D(g) = R(f ) = R\[ 1, 1] Inverz függvének / 26

22 Elemi függvének inverzei Eponenciális függvének inverzei - logaritmusfüggvének f () = a, 1 < a = f invertálható és inverze g() = log a a log a D(f ) = R(g) = R D(g) = R(f ) = (0, ) Inverz függvének / 26

23 Elemi függvének inverzei f () = a, 0 < a < 1 = f invertálható és inverze g() = log a a log a D(f ) = R(g) = R D(g) = R(f ) = (0, ) Inverz függvének / 26

24 Elemi függvének inverzei A logaritmusfüggvének tulajdonságai Speciális eset a természetes alapú logaritmus: log e = ln Megjegzés a = e ln a Ezt az azonosságot jól lehet használni f () g() alakú függvének határértékének meghatározásakor: mivel az e lim f () g() = lim c c függvén foltonos. e g() ln f () lim = e c g() ln f (), Inverz függvének / 26

25 Elemi függvének inverzei Állítás (A logaritmusfüggvének azonosságai) Legen 1 a > 0, b R és, > 0. Ekkor: 1 log a = log a + log a 2 log a b = b log a 3 log a = ln ln a Bizonítás 1 a log a +log a = a log a a log a = 2 a b log a = (a log a ) b = b 3 a ln ln a ln ln a = e ln a = e ln = Inverz függvének / 26

26 Összefoglalás Összefoglalás Az inverz függvén fogalma Szig. monoton függvének inverze Elemi függvének inverzei (gök, arkusz és area függvének) A logaritmusfüggvén és tulajdonságai Inverz függvének / 26