15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

Átírás

1 5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, = arctg, o =(,) 5, f(,)= e, o =(,0), f(,)= arctg(/), o =(,) 6, f(,)= -/, o =(0,) 3, f(,)= cos( ), o =(,π) 7, = arcsin, o =(,) 4, f(,)= tg( -), o = (,) 8, f(,)= -6 3, o =(3,-) 5.. Határoa meg a alábbi háromváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, f (,,) =, o =(,,3) 4, f(,,) = ln(), o =(3,,-), f(,,) = (), o =(,,) 5, f(,,) =, o =(,-,) 3, f(,,) = sin(), o =(π,π,π) 6, f (,,) = arccos, o =(,,) 5.3. Mel pontokban nullvektor a alábbi függvének gradiense:, f(,)= 3-4 3, f(,)= -53, f(,,)= Sámítsa ki a parciális deriváltakat: = ( 3) f (4, 9) =? f (4, 9) =? 3 = f (, ) =? f (, ) =? 5.5. Sámítsa ki a parciális a f és a f derivált függvéneket a alábbi függvének esetén: f(, ) = sin cos f(, ) = cos cos f(, ) = sin cos f(, ) = sin sin 5.6. Sámítsa ki a f(,, ) = függvén gradiensét alábbi heleken 5.7. Sámítsa ki a, grad f(,, ), grad f(,, ) 3, grad f(,, ) 4, grad f(,, ) 5, grad f(,, 3) f(,,, w) = w függvén gradiensét alábbi heleken

2 grad f(,, 0, ) grad f(, 0,, ) grad f(,, 3, 4) grad f(0,,, 3) 5.8. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének teljes differenciálját a megadott pontban és sámítsa ki annak értékét a (, )= (0.0,0.05) és a (, )= (0.,-0.) eltérésekre:, = o = (4,), f(,) = ln () o = (,) 3, 4, = arccos o = (/π,/π) = o = (4,) 5, f(,) = ln( ) o = (0,) 6, f(,) = o = (,) 7, f(,) = sin cos o = (π/,π/) 8, f(,)= - o = (,-) 9, = o = (-,-) 0, f(,) = e ln o = (0,) 5.9. Határoa meg a alábbi háromváltoós függvének teljes differenciálját és sámítsa ki annak értékét a megadott pontban a (,, ) = (-0.0,0.0,0.0) és a (,, ) = (0.,0.05,-0.) eltérésekre:, f(,,)= - 3 o = (,,-), f(,,)= 3 o = (,-,) 3, f(,,)= e o = (,,) 4, f(,,)= sin o = (π,/,) 5, f(,,)= ln() o = (-,,) 5.0. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének iránmenti differenciálhánadosának értékét a megadott pontban és iránban:, π π = cos ( ) 0 =, v=(- 3,-) 4, f(,) = sin( π π ) 0 =, v=( 3,) 3 3, 3 = lg o =(0,) v =,

3 4, 5, 6, π = cos o =(,) v=(,) = arctg o =(,) v=(,- 3 ) = ln( ) ln o =(, ) v=(-,) 3 7, = o =(,3) v=(,) f(,) = e 0 = (, 4) v = (6, 8) 5.. Határoa meg a alábbi háromváltoós függvének iránmenti differenciálhánadosának értékét a megadott pontban és iránban:, f(,,) = sin() o =(π,/,/), v = (-/3,/3,/3), f(,,) = o =(,-,) v = (0,-) 3, f(,,) = e o =(,,0) v = (,-, ) 4, f(,, ) = 0 = (,, 3) v = (, 4, 4) 5, f(,, ) = 0 = (,, 3) v = (, 4, 4) 5.. Határoa meg a f függvén érintősíkjának egenletét a ( 0, 0 ) helen!, f(, ) =, f(, ) = ( 0, 0 ) = (, 3) ( 0, 0 ) = (3, ) 5.3. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének érintősíkjának és normális egenesének egenletét a megadott helen:, π π = cos ( ) 0 =, 4, f(,) = sin( π π ) 0 =, 3 3, 3 = lg o =(0,) 4, 5, 6, π = cos o = (,) = arctg o = (,) ln( ) ln = 0 = (, )

4 3 7, = o = (,3) π π 8, f(,) = cos(-) 0 =, Adja meg a alábbi kifejeések köelítő értékét eg megfelelően kiválastott két- vag háromváltoós függvént eg megfelelően kiválastott pontjában lineárisan köelítve:,,00,003 3,004 3, 03, 4 0,98, 05 3, 0, 97, 4, sin9 o tg46 o 5, 0,969, Lineáris köelítés alkalmaásával oldja meg a alábbi problémákat:, Eg körhenger sugara 5cm±0.5mm, magassága 30cm±0,6mm. Milen pontossággal sámítható eekből a adatokból a henger felsíne és térfogata?, Eg deréksögű háromsög két befogója 3m±cm és 4m±cm.. Milen pontossággal sámítható eekből a adatokból a háromsög területe és kerülete? 3, Eg téglatest alakú tartál három élének hossa,5m±3cm,,8m±cm, 4,m±4cm.. Milen pontossággal sámítható eekből a adatokból a tartál térfogata és felsíne? 5.6. Határoa meg a követkeő függvének lokális maimumainak helét és értékét, ha léteik!, f(, ) = , f(, ) = , f(, ) = 4, f(, ) = Határoa meg a követkeő függvének lokális minimumainak helét és értékét, ha léteik!, f(, ) = , f(, ) = , f(, ) = 4, f(, ) = Határoa meg a f függvén össes heli sélsőértékét! ( > 0, > 0, > 0), f(,, ) = 4, f(,, ) = Határoa meg a alábbi függvének heli sélsőértékeit:

5 , f (, ) = ( ), f (, ) = ( ) 3, f (, ) = ( ) 4, f, = 5, ( f, = 6, 6 ) f, = , f, = 4 4 8, 4 4 f, = 9, f 0,, = f, = 50 0 ( > 0, > 0 ), f e 3, = ( ), ( f, = e 5 ) f e 3, (, ) = ( 5 7 5) f e 4, (, ) = ( ) 5, f, = ln, 6, f (, ) sin cos cos( ) =, 7, f, sin sin sin, 4 0ln ( > 0, > 0) π 0 0 π ; = ( ) ( 0 π; 0 π) 8, f, = ln, 9, f, = 4 sinsin 0, 0 f,, = 4 6, f,, = 3 (, f,, = a, 3, f 4, f,, = 4 a,, = 3 ) ( a > 0 ) ( > 0, > 0, > 0) ( > 0, > 0, > 0, a> 0, b> 0 ) b 5, f (,, ) = sin sin sin sin( ) ( 0 π;0 π;0 π)

6 5.0. Oldja meg a alábbi geometriai sélsőérték-feladatokat:, Eg téglatest eg csúcsba össefutó élei hossának össege 4. Mekkora élhossak esetén les a téglatest térfogata maimális?, Eg r sugarú, m magasságú egenes körkúpba írható téglatestek köül meliknek a legnagobb a térfogata? (A téglatest egik lapja a kúp alaplapjára illeskedik) 3, Eg adott a poitív sámot bontsa fel n poitív téneő soratára úg, hog a téneők reciprokössege minimális legen. 4, Eg adott a poitív sámot bontsa fel n poitív tag össegére úg, hog a tagok négetössege minimális legen. 5, Eg adott a poitív sámot bontsa fel n téneő soratára úg, hog a téneők hatvánössege adott poitív kitevők mellett a lehető legkisebb legen. 6, Legen a síkon adva n tömegpont: (, ), (, ),..., n ( n, n ), amelek tömege rendre m,m,...,m n. A sík mel (,) pontjára vonatkoóan les a rendser tehetetlenségi nomatéka a lehető legkisebb? 7, Eg felül nitott, téglatest alakú kád térfogata adott V érték. Milen méretek mellett les a kád felülete a lehető legkisebb? 8, Eg félhenger alakú, felül nitott kád felsíne adott S érték. Milen méretek esetén les a térfogat maimális? 9, A = gömbfelületen határouk meg at a pontot, amelre a tér adott n pontjától, a Mi( i, i, i ) (i=,,...,n) pontoktól mért távolságok négetössege a lehető legkisebb. 0, Melik a a téglalap, amelnek kerülete p, és amelet valamelik oldala körül megforgatva, a lehető legnagobb térfogatú forgástestet kapjuk?, Határouk meg at a háromsöget, amelnek kerülete p, és amelet valamelik oldala körül megforgatva, maimális térfogatú forgástestet kapunk., A R sugarú félgömbbe írjunk maimális térfogatú téglatestet. 3, Adott egenes körkúpba írjunk lehető legnagobb térfogatú téglatestet. 4, A = egenletű ellipsoidba írjunk maimális térfogatú téglatestet. a b c 5, Eg egenes körkúp L hossúságú alkotója α söggel hajlik a alaplap síkjáho. Írjunk be a kúpba maimális felsínű téglatestet. 6, A =, = c egenletekkel megadott elliptikus paraboloidseletbe írjuk be a lehető c a b legnagobb térfogatú téglatestet. 7, Legen adva a síkon n darab pont: i =( i, i ), (i=,,...,n). Hogan helekedik el a a cosα sin α p = 0 egenletű egenes, amelre e pontok egenestől mért távolságainak négetössege a lehető legkisebb? 5.. Határoa meg a alábbi függvének legkisebb és legnagobb és értékét:, f ; =, 3 ( ; ) { ( ; ): ; [ 0, ], }, f ; =, 3, f ; =, 4,, f ;, = 5, f, 6 { 5 } ; ; : { } { 00 } { } ; ; : 3 ;, ;, : ( ;, ) = ;, ;, : 5.. Határoa meg a f függvén feltételes heli sélsőérték heleit a megadott feltételek mellett: függvén feltétel

7 , f, f 3,, = =, = a b, (a>0,b>0) = f, = 4, a =, ( a>0,b>0 ) b f, = 4 = 5 5, f, = cos cos = π 4 6, f,, = = m n p 7, f,, =, (,,,m,n,p>0) = a, (a>0) 8, f,, = 3 9, f,, =, (,,>0) 0, f( ) a b c =, ( a> b> c> 0) 3 = a, (a>0),, = = ; = 0 (,, ) = ( > 0 > 0 > 0), f, = ( > 0; > 0; > 0 ), f,, sin sin sin, ; ; = és = π =