2. Koordináta-transzformációk

Átírás

1 Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva, átalakítva aduk meg. Et koordnáta-, lletve pont-transformácónak neveük. Koordnáta-transformácóról akkor besélünk, ha a tárg eg ú koordnáta-rendserre vonatkoó koordnátát határouk meg a régek smeretében. Ilenkor a tárgat váltoatlannak tekntük, csak a né pont váltok. ont-transformácóról akkor besélünk, ha a koordnáta-rendsert nem váltotatuk, de a obektum pontaho ú koordnátákat rendelünk. Ilenkor a tárg váltok, a né pont váltoatlan. Matematkalag a kétféle transformácó aonos formában írható le. A koordnáta-rendsereket deréksög, obbsodrású, Descartes-féle koordnáta-rendsereknek tekntük. A transformácók egséges keelése érdekében a ún. homogén koordnátákat s beveetük. Eg -dmenós térbel pont (,, ) Descartes-koordnátát (nhomogén koordnáták) kegésítük eg negedk koordnátával, a -gel. Íg a pont homogén koordnátá (,,, ). Általában a (,,, 4 )-et s a homogén koordnátáának tekntük, ha 4 0, valamnt = 4, = 4 és = 4. éldául a (,, ) nhomogén koordnátákkal adott pont homogén koordnátá a (,,, ) és a (6,, 4, ) s. Eg (,,, 0) koordnátáú pontot végtelen távol (deáls) pontnak neveük. A transformácók során a pont (,, ), lletve a (,,, ) koordnátának smeretében a ú (,, ), lletve a (,,, ) koordnátákat keressük... Síkbel (D) transformácók... Egbevágóság transformácók Eltolás. Legen a eltolás vektora d = (d, d ) (. ábra). Ekkor = + d = + d. Mátros formában nhomogén alakban: ( ) = ( 0 0 Homogén alakban mátros formában: = ) ( 0 d 0 d 0 0 ) + ( d d )..

2 Sámítógép geometra Rövden ahol M = 0 d 0 d 0 0, = = M, és =. d. ábra. Eltolás. Forgatás. A orgó körül α söggel való potív elforgatás a követke képpen adható meg (. ábra): = cos α sn α = sn α + cos α. Homogén alakban mátros formában: = Homogén alakban, mátrokkal felírva: ahol M = cos α sn α 0 sn α cos α cos α sn α 0 sn α cos α 0 0 0, = = M, és = A síkbel transformácó általános homogén alakának mátros formáa a követke :.. ahol M = m m d m m d 0 0, = = M, () és =.

3 Koordnáta-transformácók. ábra. Orgó körül forgatás. Tükröés. A továbbakban csak a transformácó M mátrát íruk fel. A tengelre vonatkoó tükröés mátra : M = A tengelre vonatkoó tükröés mátra : M = A orgóra vonatkoó tükröés mátra : M = A = egenesre vonatkoó tükröés mátra : M = ábra. Tengelekre vonatkoó tükröés.... An transformácók Skáláás vag nútás. Orgóból történ tengelek ment nútás. A s > 0 a tengel ránú nútás aránsáma, a s > 0 a tengel ránúé (4. ábra). M = s s Ha mndkét tengel ránában megegek a nútás mértéke, aa 0 < s = s = s, akkor a transformácót orgó köéppontú nagításnak ( < s), vag kcsnítésnek (0 < s < ) neveük, amel már hasonlóság transformácó.

4 4 Sámítógép geometra s 4. ábra. Nútás, skáláás. Nírás. Ha a sík pontat eg egenessel párhuamosan elcsústatuk úg, hog a csústatás mértéke egenesen arános a egenest l való el eles távolsággal, akkor a íg kapott transformácót neveük nírásnak. (Eg specáls tengeles antás, ún. elácó.) Ha a egenes a tengel és a nírás mértéke λ (5. ábra), akkor a transformácó mátra: M = λ ábra. Nírás tengellel párhuamosan. A tengellel párhuamos µ mérték nírás mátra: M = s 0 0 µ A fent elem transformácók egmás után végrehatásával össetett transformácókat állíthatunk el. Eg tets leges mogás eltolásból és forgatásból; egbevágóság transformácó eltolásból, forgatásból és tükröésb l; eg általános hasonlóság transformácó eg egbevágóság transformácóból és eg orgó körül nagításból (kcsnítésb l); eg általános an transformácó pedg eg egbevágóság transformácóból és skáláásból, lletve nírásból állítható el. A fent transformácókho tartoó mátr determnánsa nem nulla, egbevágóság esetén ± mogás esetén pedg +... élda. A elem transformácók egmás után alkalmaásával állítsunk el eg össetett transformácót. El sör alkalmaunk -tengellel párhuamos, λ = mérték nírást, mad a orgó körül, α = 0 -os söggel való potív elforgatást és végül eg d(, ) vektorral való eltolást. Ekkor a eges transformácók mátra M = M = és M = ,

5 Koordnáta-transformácók 5 Íg adódk, hog = M (M (M )) = (M M M ) = M, ahol a össetett transformácó M mátrát a három transformácó mátrának a (fordított sorrendbel) sorata, a M M M ada. Aa M = M M M = Határouk meg a (, ) pont össetett transformácó után koordnátáát. A pont homogén koordnátáa (,, ), tehát = Tehát a pont ú nhomogén koordnátáa (, )..... d.. Feladat. 6. ábra. Össetett transformácó.... Íra fel a C(, ) pont körül 45 -os forgatás mátrát! (A C pont orgóba való eltolása, orgó körül forgatás, C vssatolása.)... Bontsa fel a = egenesre vonatkoó tükröést orgó körül forgatások és - tengelre való tükröés soratára!... Bontsa fel a orgóra való tükröést tengeles tükröések soratára!

6 6 Sámítógép geometra.. Térbel (D) transformácók A -dmenós térben eg általános an transformácó homogén alakának mátros formáa a követke : Rövden ahol M = = m m m m 4 m m m m 4 m m m m m m m m 4 m m m m 4 m m m m = M, (), = és =. A továbbakban a () elem transformácó M mátrat aduk meg.... Egbevágóság transformácók Eltolás. A d = (d, d, d ) vektorral való eltolás. M = Forgatás. A koordnáta-tengelek körül. A tengel körül α söggel való potív elforgatás. M = A tengel körül α söggel való potív elforgatás. M = A tengel körül α söggel való potív elforgatás. M = Tükröés. A koordnáta síkokra. A koordnátasíkra való tükröés. M = d 0 0 d 0 0 d cos α sn α 0 0 sn α cos α cos α 0 sn α sn α 0 cos α cos α sn α 0 0 sn α cos α

7 Koordnáta-transformácók 7 A koordnátasíkra való tükröés. M = A koordnátasíkra való tükröés. M =... An transformácók Skáláás. Orgóból történ tengelek ment nútás. A eges tengelek ment nútás potív aránsáma s, s, lletve s. Ha 0 < s = s = s, akkor a transformácó orgó köéppontú hasonlóság, amel hasonlóság transformácó. M = s s s Nírás. A síkkal párhuamos λ mérték tengel ránú és µ mérték tengel ránú nírás. M = 0 λ 0 0 µ A több koordnátasíkkal párhuamos nírás mátra hasonlóan megadható... Vetítések A -dmenós tér alakatat általában csak síkban tuduk megeleníten. Lehet e a sík a nomtató, plotter ralapa, vag akár a képern. Ehhe sükség van a tér pontanak eg képsíkra való egértelm vetítésére. A len vetítések dmenó vest, nem kölcsönösen egértelm, elfauló leképeések. A vetítésekhe tartoó () transformácó mátrának determnánsa nulla. Ilen leképeések a mer leges vetítés, párhuamos vetítés, a centráls vetítés. A egser ség matt a képsíknak a koordnáta síkot tekntük. A el ekhe hasonlóan a vetítéseket s a () homogén alakban íruk le.... Mer leges vetítés A síkra való mer leges vetítés esetén a alakatnak csak a koordnátá lesnek 0-k (7. ábra). Tehát a (,,, ) pont vetülete a (,, 0, ) pont les, a mer leges vetítés mátra pedg M =

8 } 8 Sámítógép geometra O (,, ) K (,,0)... Centráls vetítés 7. ábra. Mer leges vetítés. Legen a centráls képsík a koordnátasík és a vetítés centruma a tengel C(0, 0, s) ponta, ahol 0 < s. Továbbá legen a (,, ) pont ( s) centráls vetülete a c ( c, c, 0) pont. Ha a, és c pontokat vetítük a síkra, akkor a 8. ábra alapán a kapott hasonló háromsögekb l felírhatuk a c = aránt. Ebb l c -t kfeeve kapuk, hog a c másodk koordnátáa c = s. Hasonlóan megkaphatuk a s s s centráls vetület els koordnátáát. Tehát c koordnátá ( s, s, 0), ahol s. s s Ha gelembe vessük, hog s = c homogén koordnátát kaptuk. Aa (,, 0, s ) = ( s s, 0, ). Tehát a centráls vetítés mátra M = s. s, s 0 s, láthatuk, hog O C(0,0, s) s } s- C K c O } c 8. ábra. Centráls vetítés.

9 } Koordnáta-transformácók 9... árhuamos vetítés A koordnátasíkra történ v(v, v, v ) (v 0) vektorral párhuamos vetítés mátra a el ekhe hasonlóan meghatároható (a 9. ábra) M = 0 v v 0 0 v v O v K O v - v 9. ábra. árhuamos vetítés. Ha a párhuamos vetületre alkalmaunk eg síkbel hasonlóság transformácót, akkor a íg kapott kép eg aonometrkus vetület les. A CAD alkalmaások általában a párhuamos vetítést nem alkalmaák. A térbel pont-transformácókkal vag koordnáta-rendser transformácókkal a vetítend alakatot olan heletbe hoák, ahonnét a mer leges vetítés megfelel vetületet eredméne. E lehet akár felülnéet vag eg ortogonáls aonometrkus kép. Sok softver a centráls vetítést eg térbel transformácóval (proektív transformácó) és eg mer leges vetítéssel helettesít. El sör olan alakká transformála a obektumot, hog annak a mer leges vetülete eg centráls képet adon... Feladat.... Íra fel a orgóra való tükröést mátrát!... (Beadandó.) Ada meg a (,, ) térbel pont képének koordnátát eg tengel ment 5 egséggel való eltolás, eg orgóból való -seresére nagítás, -tengel körül 60 -os forgatás és eg síkra való tükröés után! (A megoldás menetét, alapmátrokat s kööle.) Eg tets leges alakattal végee el uganet ACADdal s! Ábráola a eredet és a tovább transformált alakatokat s! Mndegket elöle más sínnel!

10 0 Sámítógép geometra.4. AutoCAD 004 esköök A módosítás eskötár (a 0. ábra) els klenc konho tartoó parancsok a törlés (_erase), a obektum másolása (_erase), a tükröés (_mrror), a párhuamos húás (_oset), a kostás (_arra), a mogás (_move), a forgás (_rotate), a léptékeés (_scale) és a nútás (_stretch). E m veletek s alkalmahatók térbel obektumokra s, de a általános térbel transformácók a Módosítás menü D m velete köött találhatók. 0. ábra. ACAD 004 módosítás eskötára.