Mechanika II. Szilárdságtan

Átírás

1 echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05

2 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt bármel formában megváltoztatni és bármel formában értékesíteni. Lektor: Rákócz Katalin okl. építészmérnök v,

3 Tartalomjegzék Előszó. Bevezetés. Központos húzás 8. eszültségszámítás 8. z alakváltozás meghatározása 9. Gakorlati alkalmazás.. Központosan húzott rudak méretezése.. Gakorló feladat 5. Központos nomás 7. Zömök rudak 8. Karcsú rudak 9. Gakorlati alkalmazás.. Központosan nomott zömök és karcsú szerkezetek méretezése.. Gakorló feladatok 4 4. Tiszta nírás 8 4. eszültség és alakváltozás 8 4. Nírófeszültségek reciprocitási (dualitási) tétele Gakorlati alkalmazás Tisztán nírt rudak méretezése Eg speciális gakorlati alkalmazás: csavarkötés Gakorló feladatok 4 5. Síkbeli feszültségállapot őiránok és főfeszültségek feszültségi állapot ohr féle ábrázolása 5 5. Gakorlati alkalmazás 55. Egszerű, egenes hajlítás 57. Rugalmas anagú tartók egszerű, egenes hajlítása. feszültségek meghatározása 58. Keresztmetszeti ténezők. Rugalmas-képléken anagú tartók egszerű, egenes hajlítása.4 Gakorlati alkalmazás 5.4. ajlított tartók méretezése 5.4. Gakorló feladatok 7 7. erde hajlítás feszültségek meghatározása Gakorlati alkalmazás 77 - iii -

4 7.. éretezés ferde hajlítás esetén Gakorló feladatok Összetett hajlítás 8 8. nírófeszültségek meghatározása Nírófeszültségek egszerű keresztmetszeteknél 8 8. Gakorlati alkalmazás ajlított tartók rugalmas alakváltozása tartó meggörbült tengelvonalának differenciálegenlete z alakváltozások meghatározása Otto ohr módszerével z alakváltozások meghatározása munkatételek segítségével erevségi követelmének Gakorlati alkalmazás ajlított tartók méretezése 5 Külpontos húzás. húzóerő döféspontja az egik főtengelre esik 4.. feszültségképlet és a semleges tengel helzete 4.. aghatárpont 8.. Gakorlati alkalmazás 0. húzóerő döféspontja általános helzetű 4.. feszültségképlet és a semleges tengel helzete 5.. keresztmetszet magidoma.. Gakorlati alkalmazás 8. Külpontos nomás 4. Külpontosan nomott zömök rudak 4.. úzószilárdsággal rendelkező zömök rudak 4.. úzószilárdsággal nem rendelkező zömök rudak 4... Erő a magidomon belül 4... Erő a magidomon kívül, de a keresztmetszetet érintő egeneseken belül 4 : Rugalmas megoldás 44 B: Képléken megoldás 48.. Gakorlati alkalmazás 50. Külpontosan nomott karcsú rudak 0.. úzószilárdsággal rendelkező karcsú rudak.. úzószilárdsággal nem rendelkező karcsú rudak... Betonszerkezetek... alazott szerkezetek 4.. Gakorlati alkalmazás 5. keresztmetszet teherbírási vonala 7. Csavarás 7. Kör keresztmetszetű tömör rudak csavarása 7. Négszög keresztmetszetű rudak csavarása 74. Vékonfalú szelvének csavarása 7.4 Gakorlati alkalmazás 80 Irodalom 8 - iv -

5 Előszó Korábbi tanulmánaink során a echanika I (Statika) című tárg merev testek statikáját tárgalta. Ismertette a mechanika alapfogalmait és megismerkedtünk a határozott tartók viselkedésével és a terhek hatására keletkező igénbevételek meghatározásával. Jelen jegzet tárga a echanika II (Szilárdságtan). Ez a tantárg azt mutatja be, hog a szerkezetekben keletkező igénbevételek milen feszültségeket és alakváltozásokat okoznak. ire valaki sikeresen befejezi (építő-, építész-) mérnöki tanulmánait, számos tárgat kell teljesítenie a mechanika és tartószerkezetek témakörökben. Sokéves tapasztalatok azt mutatják, hog ezek közül talán a Szilárdságtan a legnehezebben elsajátítható tárg. Ennek valószínűleg az az oka, hog a félév során sokféle, meglehetősen különböző területtel és jelenséggel pl. húzás, nomás, nírás, hajlítás, csavarás kell foglalkozni. különböző viselkedési módok és jelenségek megértése már külön-külön is nehézségeket okozhat. Ezen túlmenően azonban az esetenként egmásra épülő anagrészek időnként megkövetelik a korábban elhangzottak naprakész ismeretét, illetve bizonos elvek azonnali alkalmazását. jegzet elkészítésével ehhez a nehéz feladathoz szeretnénk segítséget nújtani. Szilárdságtan kurzus elsődleges feladata jelenségek bemutatása és alapelvek ismertetése. végső cél azonban az, hog a megszerzett ismeretek gakorlati alkalmazáshoz vezethessenek. tárg íg a gakorlati alkalmazásokhoz is igekszik hátteret biztosítani és olan eljárásokat bemutatni, amelek felhasználhatók a gakorlati munka során is. gakorlati alkalmazást a jegzet 45 részletesen kidolgozott számpélda bemutatásával segíti. szilárdságtan alapelvei segítségével levezetett összefüggések legtöbbször közvetlenül alkalmazhatók gakorlati számítások elvégzésére. Néhán esetben azonban az elméleti összefüggések olan bonolult és esetleg hosszadalmas eljárásokhoz vezetnének, amelek módosítás nélküli alkalmazása kevéssé átlátható számításokhoz vezetne. gakorlati munka egszerűsítése és megkönnítése céljából ilen esetekben célszerű bizonos egszerűsítéseket bevezetni. Lehetséges például eges elméleti részproblémák általános megoldását táblázatos, illetve grafikus formában előre megadni, hog az adott gakorlati problémát megoldó szakembernek csak ki kelljen választani a saját adatai segítségével a ő problémájához tartozó részmegoldást, amivel utána viszonlag egszerűen jut problémája megoldásához. z ilen egszerűbb eljárások megalkotása általában a kutatók, közzététele pedig a szabvánkészítők feladatkörébe tartozik. míg a szilárdságtan alapösszefüggései nem függenek szabvánoktól, addig ezek az egszerűsített eljárások tartalmukban és formájukban is változhatnak a mindenkori érvénes szabvánelőírásoknak megfelelően. Esetünkben a karcsú nomott rudak méretezésével foglalkozó. és.. pontokban és a tiszta nírás eg speciális gakorlati esetét tárgaló 4.. pontban ismertetünk ilen eljárásokat. Bár a jegzetben bemutatott eljárások összhangban vannak a jegzet 05 januári megjelenésekor érvénben lévő szabvánokkal, minden gakorlati alkalmazás esetén a felhasználó kötelessége és felelőssége ellenőrizni, hog az alkalmazás idején is megfelelnek-e ezek az eljárások az éppen akkor érvénes szabvánelőírásoknak. - -

6 legújabb szabvánok részletes ismertetésével egébként későbbi félévek szaktantárgai, például a a- és acélszerkezetek, a Vasbeton szerkezetek és a Kő-, falazott és egéb szerkezetek foglalkoznak. jegzet -8 fejezeteit Rákócz Katalin lektorálta. szokásos lektori tevékenséget messze meghaladó, gondos és lelkiismeretes munkájáért ezúton is szeretném hálás köszönetemet kifejezni. Budapest, 05 január Zalka Károl

7 Bevezetés merev testek statikája tanulmánozása során azzal a feltételezéssel éltünk, hog a szerkezetek méret- és alakváltozásokat nem szenvednek. Ez a feltételezés lehetővé teszi a tartókon keletkező igénbevételek viszonlag egszerű és a pontossági igéneknek megfelelő meghatározását. Tartószerkezeteink azonban szilárd testek, amelek a rájuk ható külső erők hatására megváltoztatják a méretüket és alakjukat. z alakváltozás során a szilárd testekben feszültségek keletkeznek. külső erők hatására a szilárd testekben bekövetkező alakváltozások és a keletkező feszültségek meghatározásával a szilárdságtan foglalkozik. keresett szilárdságtani menniségek meghatározása rendszerint bonolult feladatokhoz vezet. Éppen ezért vizsgálataink során egszerűsítő feltételezésekkel élünk és felhasználunk kísérleti tapasztalatokat is. z egszerűsítő feltételek a következők: ) a terhelés statikus jellegű (amikor is a külső erők nagságát fokozatosan növeljük és végleges nagságukat csak a végleges alakváltozás létrejöttekor érik el) ) az alakváltozások kicsinek (ameleket az egensúli egenletek felírásánál nem kell figelembe venni) ) a szilárd testek anaga homogén (minden pontban azonos fizikai tulajdonságú) és izotróp (eg pontban minden iránban azonos tulajdonságú) 4) a szilárd testek anaga ideálisan rugalmas-képléken z. és. feltételt a jegzetben tárgalt összes jelenség esetén (minden fejezetben) maradéktalanul érvénesnek tekintjük; a. és 4. feltétel esetenként módosított formában, illetve bizonos kiegészítéssel vag megszorítással érvénes. Ezeket az esetleges módosításokat, illetve kiegészítéseket minden esetben az érintett fejezetben ismertetjük. feszültség feszültség núlás núlás a) b). ábra. Rugalmas-képléken anagú húzott acél próbapálca feszültség-núlás diagramja. a) ténleges, b) idealizált.

8 z ideálisan rugalmas-képléken anag jellemzőivel a. fejezetben még részletesebben foglalkozunk; itt most csak annit rögzítünk, hog az anag összetett görbevonallal jellemezhető feszültség-núlás diagramját (./a ábra) a szilárdságtani vizsgálatokhoz két egenes szakasszal helettesítjük (./b ábra). z első (ferde) szakasz a rugalmas, a második (vízszintes) szakasz pedig a képléken viselkedés tartománát jellemzi. szilárdságtan feladata tehát a terhek hatására a szerkezetekben keletkező feszültségek és alakváltozások meghatározása, abból a célból, hog biztonságos és gazdaságos szerkezeteket tervezhessünk. Ez az ún. erőtani tervezés. z erőtani tervezés gakorlati végrehajtását szabvánok szabálozzák. ielőtt rátérhetünk a különböző típusú feszültségek és alakváltozások tárgalására, néhán alapfogalmat kell bevezetni. Igénbevétel szerkezetre ható külső erőknek a keresztmetszetre gakorolt hatását a normálerő, níróerő és nomaték összességét igénbevételnek nevezzük. z igénbevételek két nag csoportra oszthatók: a) egszerű (egfajta) és b) összetett (többfajta) igénbevételek. a) Egszerű igénbevételek (. ábra): - központos húzás/nomás (± N) - tiszta nírás (T) - egszerű (vag tiszta) hajlítás () - csavarás ( z ) b) Összetett igénbevételek (. ábra): - külpontos húzás/nomás (± N, ) - összetett hajlítás (, T) - csavarás és összetett hajlítás ( z,, T) / / B z z a) központos húzás b) központos nomás c) tiszta nírás d) egszerű (vag tiszta) hajlítás (az B szakaszon) e) csavarás. ábra. Egszerű igénbevételek. gakorlatban az egszerű igénbevételek ameleket alapigénbevételeknek is nevezünk ritkábban fordulnak elő. értékadó teher vonatkozó szabvánok előírásainak megfelelően, teherkombinációk alapján meghatározott teher. értékadó igénbevétel mértékadó teher hatására keletkező igénbevétel. 4

9 B a) b) c) d). ábra. Összetett igénbevételek. a) külpontos húzás (a függőleges rúdon) és összetett hajlítás (a vízszintes rúdon), b) külpontos nomás (a függőleges rúdon) és összetett hajlítás (a vízszintes rúdon), c) összetett hajlítás, d) csavarás (az B szakaszon) és összetett hajlítás (a tartón végig). Törőigénbevétel törőigénbevétel az az igénbevétel, amel hatására a szerkezet tönkremeg. atárigénbevétel határigénbevétel az az igénbevétel, amelet a szerkezet léneges méretváltozás nélkül elbír. eszültség Tekintsük az.4/a ábrán vázolt, egensúlban lévő erőrendszerrel terhelt merev testet. n I. II. n- I. Δ n Δ I. d τ α n δ i i+ i a) egensúlban lévő merev test b) egensúlban lévő I. rész c) az n normálishoz tartozó feszültségek.4 ábra. feszültség származtatása. Eg tetszőleges felület mentén vágjuk a testet két részre. jobboldali rész eltávolítása után az I. jelű baloldali rész továbbra is egensúlban van. z egensúlt az átvágási felület mentén jelentkező a II. jelű rész hatását pótló belső erők biztosítják. Jellemezzük az átvágási felület felületelemét az n normálissal. Jelölje a felületelemen működő belső erők eredőjét (.4/b ábra). (z átvágási felületen nagszámú ilen belső erő van, de most csak eget, a felületelem n normálisához tartozót tüntettük fel az ábrán.) felületelemek számát növelve és a méretüket csökkentve bevezethetjük a 5

10 δ lim fajlagos belső erőt. továbbiakban az n normálishoz tartozó fajlagos belső erőt feszültségnek nevezzük. feszültség dimenziója erő/felület, pl. N/mm. δ feszültség vektormenniség, amel mindig eg átvágási felület adott pontjához tartozó normális függvéne. gakorlati számítások során gakran a δ feszültség összetevőivel dolgozunk (.4/c ábra). Ezek a normálfeszültség és a nírófeszültség. δ cosα τ δ sin α Törőfeszültség törőigénbevétel hatására fellépő feszültséget törőfeszültségnek nevezzük. atárfeszültség szabvánokban megadott feszültség, amit az anag káros alakváltozások nélkül képes elviselni. határfeszültség a törőfeszültségnél kisebb feszültség, amelet úg is származtathatunk, hog a törőfeszültséget eg egnél nagobb számmal elosztjuk. Ez az egnél nagobb szám a biztonság nagságát is jellemző ún. biztonsági ténező. biztonsági ténező nagságát szabvánok írják elő. z erőtani tervezés alapegenlete; a méretezés elvei z erőtani tervezés részletei különböző időkben, különböző országokban és különböző tervezés-filozófiát követve kismértékben különbözők lehetnek. z erőtani tervezés elve azonban mindig uganaz: a terhek hatására keletkező mértékadó feszültségek és alakváltozások (Y ) ne haladják meg a szabván által megadott, még károsodás nélkül elviselhető határfeszültségeket és alakváltozásokat (Y ). Ezt az alapelvet a méretezés alapegenlete (egenlőtlensége) fejezi ki matematikai formában: d d Y Y (.) méretezéskor tehát két dolgot kell vizsgálnunk: ) a tartó rendelkezik-e kellő szilárdsággal, hog biztonságosan, tönkremenetel nélkül el tudja viselni a terhekből származó igénbevételeket. Ez a szilárdsági vizsgálat. ) a tartó rendelkezik-e kellő merevséggel és nem szenved-e túlságosan nag alakváltozásokat, melek a használatot zavarják (és ellentétesek a kis alakváltozásokra vonatkozó feltétellel). Ez a merevségi vizsgálat. szilárdsági vizsgálatot a teherbírási határállapotban végezzük el, azaz az érvénes szabván szerinti, biztonsági ténezővel beszorzott terhekből számított igénbevételekre méretezünk. merevségi vizsgálat során a használhatósági határállapotra vonatkozó terhekből (a terhek biztonsági ténező nélküli alapértékéből) számított alakváltozást vizsgáljuk: nem haladja-e meg a szabván által megengedett határértéket. méretezés történhet feszültség-összehasonlítással és igénbevétel-összehasonlítással. méretezés során a feladat kétféleképpen jelentkezhet:

11 a) Ellenőrzés. Ez az egszerűbb feladat, amikor minden adott és a megfelelőséget kell igazolni, vagis ki kell mutatni, hog az (.) feltétel teljesül. b) Tervezés. z (.) feltétel ismeretlent tartalmaz, pl. a keresztmetszet méretét, vag a fesztávot, vag a határfeszültséget, stb. megoldást a feltétel átrendezésével állítjuk elő, úg hog az egik oldal csak az ismeretlent tartalmazza. z (.) alapegenlet általános alakú. Gakorlati esetekben vonatkozhat feszültségekre, illetve erőkre és nomatékokra, valamint alakváltozásokra, úg, hog teljesüljön a illetve és feltétel, valamint a feltétel. határfeszültség mértékadó feszültség határerő mértékadó erő határnomaték mértékadó nomaték megengedett alakváltozás mértékadó (maimális) alakváltozás 7

12 Központos húzás Bevezetésben tett egszerűsítő feltételezéseken túlmenően feltételezzük még azt is, hog a vizsgált szerkezetek egenestengelű, prizmatikus (a rúdtengel mentén állandó keresztmetszetű) rudak, amelek rugalmasan viselkednek. Központos húzás az az igénbevételi mód, melnek során a rudat a két végkeresztmetszetén két olan azonos nagságú, de ellentétes iránú húzóerő terheli, amelek közös hatásvonala a rúd súlponti tengele. áshog fogalmazva: központos húzásról akkor beszélünk, ha az igénbevételi ábrákon azt látjuk, hog a vizsgált keresztmetszetben csak normálerő működik (és T 0 és 0) és ez a normálerő húzóerő. központos húzás esetében két feladat jelentkezik: meg kell határozni a keresztmetszeten keletkező feszültségeket és ki kell számítani a rúd megnúlását.. eszültségszámítás Tekintsük a. ábrán vázolt egenestengelű, állandó keresztmetszetű rudat, amelre a két rúdvégen két közös hatásvonalú, azonos nagságú, de ellentétes iránú koncentrált húzóerő hat. közös hatásvonal a keresztmetszet S súlpontján átmenő súlponti tengel. Célunk a rúdban keletkező feszültségek meghatározása. k súlponti tengel z S d. ábra. Központosan húzott rúd. Bevezetésben részletezett és az.4 ábrán bemutatott eljárást követve a vizsgált rudat a k keresztmetszetnél két részre vágjuk (. ábra). jobboldali rész bal oldalán az átvágási felületen ébredő az egensúlt biztosító feszültségeket -val jelöljük. jobboldali rész egensúlát vizsgálva a i z, 0 8

13 vetületi egenlet a d + ( ) egenlethez vezet. eltételezve hog a feszültségek megoszlása egenletes, a konstansként kiemelhető az integráljel elé: 0 d + 0 ( ) ivel az integrálkifejezés a keresztmetszeti területet jelenti, a feszültség meghatározására szolgáló képletet a (.) igen egszerű formában kapjuk. feszültség ebben az esetben merőleges a keresztmetszetre, íg a fajlagos belső erő normálfeszültség. Dimenziója N/mm, illetve Pa.. z alakváltozás meghatározása. ábrán vázolt l hosszúságú rúd baloldali végét rögzítettnek tekintjük, a jobboldali végét pedig eg nagságú húzóerővel terheljük. rúd súlától eltekintünk. Célunk a húzott rúd alakváltozásának vizsgálata. rúd a húzóerő hatására megnúlik, miközben keresztiránú megrövidülést szenved. eladatunk a l megnúlás és a a keresztiránú megrövidülés meghatározása. a a l l. ábra. központosan húzott rúd megnúlása és keresztiránú megrövidülése. ielőtt a megnúlást meghatároznánk, vezessünk be néhán új fogalmat és vizsgáljuk meg részletesebben a húzott rúd viselkedését. hossziránú megnúlás és az eredeti rúdhossz hánadosát fajlagos megnúlásként definiáljuk: l ε (.) l asonlóképpen, a keresztiránú megrövidülés és az eredeti keresztiránú méret hánadosa a keresztiránú fajlagos megrövidülés: 9

14 a ε k a ind a fajlagos megnúlás, mind pedig a keresztiránú fajlagos megrövidülés dimenziótlan menniség. Poisson-féle szám ε m ε k az anagok fontos jellemzője. Szokásos értéke fémek esetében 4, kő, beton és tégla esetében pedig 8 között van anagtól függően, azaz a fajlagos hossziránú megnúlás -4-szerese, illetve -8-szorosa a fajlagos keresztiránú megrövidülésnek. Szokásos a Poisson ténezőt is használni, ami a Poisson-féle szám reciproka: ε ν k m ε Bevezetésben az. ábrán vázlatosan bemutattuk a feszültség és alakváltozás közötti kapcsolatot. ost eg kicsit részletesebben foglalkozunk ezzel a fontos kapcsolattal. húzófeszültség és a fajlagos núlás közötti kapcsolatot szemléletesen a húzódiagram segítségével ábrázolhatjuk. húzódiagram megszerkesztéséhez a vizsgálandó anagból próbapálcát készítenek, amelet szakítógépbe fognak, majd fokozatosan növekvő nagságú húzóerővel terhelik. z egmáshoz tartozó feszültség és fajlagos núlás értékeit koordinátarendszerben ábrázolják. B B képléken tartomán felkeménedési szakasz rugalmas tartomán O ε ε ε B l ε l. ábra. oltacél húzódiagramja. Eg ilen diagramot mutatunk be a. ábrán, ahol a foltacél jellegzetes viselkedése látható. diagram első O szakasza az acél rugalmas viselkedését mutatja. feszültség és az ε fajlagos megnúlás ezen a szakaszon aránosak egmással és íg ez a szakasz egenes vonallal ábrázolható. elírható tehát a ferde egenest jellemző Eε (.) 0

15 összefüggés, ahol az E állandó az aránossági ténező, a ferde egenes meredeksége. Ezt az állandót rugalmassági ténezőnek (vag rugalmassági modulusnak, vag Young modulusnak) hívják. ivel a fajlagos megnúlás dimenziótlan menniség, az E rugalmassági ténező dimenziója azonos a feszültség dimenziójával, vagis N/mm, illetve Pa. aránossági határig érvénes (.) összefüggést Robert ooke angol fizikus 0-ban állította fel és ooke törvénének nevezzük. Gakorlati szempontból is igen fontos rámutatni az anagnak arra a tulajdonságára, hog amíg az O rugalmas tartománban vagunk, addig a feszültség megszüntetése esetén a szerkezet most a próbapálca visszaneri az eredeti hosszát, vagis nem következik be maradó alakváltozás. Ez a viselkedés csak a rugalmas tartománra érvénes. aránossági határt túllépve a diagram eg rövid görbe szakasszal foltatódik, majd a folási határt (és az ε folási núlást) elérve igen nag núlások következnek be, miközben a feszültség nem csökken. Ez a képléken viselkedés. ( képléken viselkedés során keletkező képléken alakváltozások a terhelés megszűnése után nem nerhetők vissza.) képléken tartománt az ún. felkeménedési szakasz követi. Ekkor a feszültség a nag núlások mellett tovább növelhető. Végül elérjük a B szakítószilárdságot, ami után a próbapálca elszakad.. ábrán átlagos minőségű foltacél anag sematikus -ε diagramját láthatjuk. Különböző anagminőségű acélanagok diagramjai egmástól jelentősen eltérhetnek. foltacélhoz hasonló anagokat, ameleknél jelentősebb maradó alakváltozások keletkeznek és legtöbbször folási határral rendelkeznek, szívós anagoknak nevezzük. Ezekkel ellentétben, az olan anagokat amelek jelentős mértékben csak rugalmas alakváltozásra képesek, az alakváltozásuk viszonlag kicsin és folási határt nem mutatnak, rideg anagoknak nevezzük. Eg rideg anag jellegzetes -ε diagramját láthatjuk a.4 ábrán. Rideg anagok tartószerkezetek készítésére nem alkalmasak, mert a tartószerkezetektől elvárjuk, hog a tönkremenetelt megelőzően jelentős alakváltozást szenvedjenek (megfoljon az anag), íg lehetőség legen a menekülésre. B B O: rugalmas tartomán O l ε l.4 ábra. Rideg anag húzódiagramja. szilárdságtan fő feladata a szilárd test belsejében keletkező feszültségek és az alakváltozások vizsgálata. vizsgálatok során fontos szerepet játszik a kérdéses anag feszültség-alakváltozás diagramja. Jelentős nehézséget okozhat azonban a diagramok sokfélesége és az a tén hog alakjuk gakran nehezen írható le egszerű matematikai összefüggésekkel. Ezen a nehézségen úg lehet segíteni, hog a ténleges diagramot olan jól kezelhető egszerűbb diagrammal helettesítjük, amel a valóságot jól megközelíti. Ez tulajdonképpen azt jelenti, hog a szóban forgó anagot olan idealizált tulajdonságokkal

16 ruházzuk fel, amelek igen közel állnak a ténleges tulajdonságokhoz, de jóval egszerűbb vizsgálatokat tesznek lehetővé. Ilen idealizált modellre utaltunk a Bevezetésben, amikor a 4. egszerűsítő feltételben azt rögzítettük, hog a vizsgált szerkezetek anaga ideálisan rugalmas-képléken. z ilen elasztoplasztikusnak is nevezett anag feszültség-núlás diagramját mutatjuk be a.5 ábrán. z idealizált diagramot úg kapjuk, hog a szívós anag eredeti húzódiagramját (. ábra) egenes vonalakkal helettesítjük. z ideálisan rugalmas-képléken anag a folási határ eléréséig rugalmasan viselkedik és érvénes a ooke-törvén, majd azonnal eg vízszintes szakasz következik, amel a képléken viselkedést jellemzi. B képléken szakasz rugalmas tartomán O ε l ε l ε m ε ε r.5 ábra. Ideálisan rugalmas-képléken anag húzódiagramja. igelmet érdemel eg ideálisan rugalmas-képléken anag viselkedése a próbapálca tehermentesítése esetén. a a tehermentesítés az O rugalmas tartománban történik, vagis amíg érvénesek a és ε ε összefüggések, akkor a próbapálca visszaneri a teljes addig elszenvedett megnúlását. a viszont a tehermentesítés az B képléken szakaszon történik (szaggatott vonal a.5 ábrán), vagis amikor a fajlagos núlás meghaladta a folási núlást, akkor a próbapálca az addig elszenvedett teljes ε fajlagos megnúlásnak csak eg részét, az ε r rugalmas megnúlást neri vissza és az ε m képléken megnúlás megmarad. z ábrán érvénes hog ε ε r, és ε a teljes núlás. ooke-törvén ismeretében, az ideálisan rugalmas-képléken anagmodell bevezetésével és rugalmas viselkedés feltételezésével most már meghatározható a központosan húzott rúd megnúlása. (.) ooke-törvén, a feszültség meghatározására szolgáló (.) összefüggés és a fajlagos megnúlás (.) képletének kombinálásával felírható hog l Eε E l ahonnan megkapjuk az erővel terhelt, l hosszúságú, keresztmetszeti területtel és E rugalmassági ténezővel rendelkező központosan húzott rúd megnúlását: l l [mm] (.4) E

17 . Gakorlati alkalmazás Előbb összefoglaljuk a központosan húzott rudak méretezésével kapcsolatos tudnivalókat, majd a képletek alkalmazását eg gakorló feladat segítségével mutatjuk be. Bár a méretezéssel kapcsolatos alábbi összefoglalás központosan húzott rudakra vonatkozik, a méretezés itt ismertetett elvei a későbbi fejezetekben tárgalt igénbevételek esetében is érvénesek és felhasználhatók... Központosan húzott rudak méretezése méretezést a szilárdsági vizsgálattal kezdjük. feladat kétféleképpen jelentkezhet: vag (méreteivel és anagával) már adott eg központosan húzott szerkezet, vag pedig valamel adat már rendelkezésre áll, de nem mind, és nekünk kell megállapítani a hiánzó adatot. z első esetben ellenőrzésről, a második esetben pedig tervezésről beszélünk. indkét esetben a méretezés Y Y alapegenletét alkalmazzuk a központos húzás esetére, ami a feszültség-összehasonlítás esetében a az igénbevétel-összehasonlítás esetében pedig az (.5a) h (.5b) h összefüggéshez vezet. két vizsgálat egenértékű. (.5a) és (.5b) összefüggésekben h a rúd határereje a rúd hasznos keresztmetszete a rúd anagának (szabván szerinti) határfeszültsége a rúd mértékadó terhe, vagis a rúdban működő húzóerő (amit a vonatkozó szabvánelőírások szerint kell meghatározni) rúd h hasznos keresztmetszetével kapcsolatban megjegezzük, hog a hasznos jelző arra utal, hog ha a rúd keresztmetszete a hossz mentén valahol valamilen módon gengítve van, akkor itt a gengített, vagis a legkisebb keresztmetszettel kell számolni. Különböző módon gengített rudakat mutat a. ábra, ahol a hasznos keresztmetszeteket satírozás jelöli. a) b) c). ábra. úzott rudak szokásos gengítései: a) lukkal, b) beharapással, c) csavarmenettel.

18 Ellenőrzés z ellenőrzés során adottak a keresztmetszet méretei (), a rúd határfeszültsége ( ) és a szabvánelőírásoknak megfelelően meghatározott húzóerő nagsága ( ). eszültségösszehasonlítás esetén a (.5a) egenlőtlenség alkalmazásával a rúd megfelel, ha a rúd anagának határfeszültsége nem kisebb mint a mértékadó feszültség: h a az ellenőrzéshez az igénbevétel-összehasonlítást választjuk, akkor a (.5b) egenlőtlenség alkalmazásával a rúd megfelel, ha a rúd határereje nem kisebb mint a rúd mértékadó terhe: h Tervezés tervezési feladat kétféleképpen jelentkezhet. a adott a húzóerő nagsága ( ) és a rúd anaga ( ), akkor a feladat a keresztmetszet h méretének meghatározása. (.5b) összefüggés átrendezésével ekkor az h (.) képlethez jutunk. tervezés során előfordulhat olan eset is, amikor a rúd mérete kötött például a rendelkezésre álló hel miatt és ilenkor a húzóerő nagsága és a keresztmetszet méretének ismeretében keressük azt a anagminőséget, ami kielégíti a (.5b) feltételt. (.5b) összefüggés a (.7) h formában alkalmazható, vagis megmutatja, hog mekkora határfeszültségű anagot kell alkalmazni. gakorlati esetek többségében a (.) és (.7) képletekkel kapott eredmén nem ad azonnali végeredmént, vagis keresztmetszeti méretet, illetve határfeszültséget. z egenlőtlenségnek megfelelően kerekíteni kell, és ez minden esetben felfelé történő kerekítést jelent. szilárdsági vizsgálatot követi a merevségi vizsgálat, amel az alakváltozások meghatározásával foglalkozik. lakváltozás húzott rúd méretezése után szükség lehet a rúd megnúlásának meghatározására. Ezt a (.4) összefüggés felhasználásával tehetjük meg: al l (.8) E (.8) képletben a a húzott rúdban keletkező, a vonatkozó szabvánelőírások szerint a terhek alapértékéből meghatározandó rúderő és a rúd jellemző általában a teljes 4

19 keresztmetszete. z esetleges heli gengítést az alakváltozás vizsgálatánál az egszerűség kedvéért nem szokás figelembe venni. Gakorlati esetek gakorlatban központosan húzott rudakkal leggakrabban függesztő rudak, kábelek, rácsos tartó húzott rúdjai és különböző például háromcsuklós tartóknál alkalmazott vonórudak formájában találkozhatunk... Gakorló feladat atározzuk meg a.7/a ábrán vázolt szerkezet B jelű lehorgonzó rúdjának szükséges átmérőjét és a rúd megnúlását. kör keresztmetszetű lehorgonzó rúd betonacélból készül, amel mindkét végén csavaros kapcsolattal rendelkezik. z alkalmazott betonacél határfeszültsége legen 09 N/mm, a rugalmassági modulusának értéke pedig E N/mm. szabvánelőírások szerint meghatározott teher értéke legen 0 kn a szilárdsági tervezéshez és a 8. kn az alakváltozási számításhoz. számításokhoz szükség lesz a lehorgonzó rúdban keletkező erő értékére. Ez az érték a nomatéki egenlet segítségével.5 B B kn a szilárdsági tervezéshez ( 0 kn értékkel számolva) és Ba kn a rúd megnúlásának meghatározásához ( a 8. kn értékkel számolva)..5 B.0.5 m s a) b).7 ábra. Kéttámaszú gerenda lehorgonzó rúddal. a) a tartó vázlata, b) rúdvég csavaros kapcsolata. 5

20 Tervezés rúderő és a határfeszültség ismeretében a (.) összefüggés megadja a keresztmetszet minimálisan szükséges méretét: h B mm 09 ivel a rúd csavarmenettel gengített (.7/b ábra) és íg a gengített keresztmetszet a veszéles keresztmetszet, olan köracélt kell választani (például a Segédlet csavaradatokat tartalmazó táblázata segítségével), amelik esetében a gengített (ún. nettó) keresztmetszetet kielégíti a fenti feltételt. Ø átmérőjű betonacél ilen, mert a csavarmenet okozta gengítés után figelembe vehető hasznos keresztmetszet s 84. mm egnúlás lehorgonzó rúd megnúlását a (.8) összefüggés segítségével határozzuk meg. számításhoz a rúd teljes keresztmetszeti területét vesszük, mert az a.5 m hosszú rúd jellemző területe. Ø átmérőjű betonacél π.mm 4 bruttó keresztmetszeti területével számolva a rúd megnúlása Bal l.mm E

21 Központos nomás Bevezetésben tett egszerűsítő feltételezéseken túlmenően feltételezzük még azt is, hog a vizsgált szerkezetek egenestengelű, prizmatikus (a rúdtengel mentén állandó keresztmetszetű) rudak. Központos nomás az az igénbevételi mód, melnek során a rudat a két végkeresztmetszetén két olan azonos nagságú, de ellentétes iránú nomóerő terheli, amelek közös hatásvonala a rúd súlponti tengele. ásképp fogalmazva: központos nomásról akkor beszélünk, ha az igénbevételi ábrákon azt látjuk, hog a vizsgált rúd keresztmetszetében csak normálerő működik (és T 0 és 0) és ez a normálerő nomóerő. a az előző fejezetben tárgalt központos húzás és a most tárgalandó központos nomás fenti definícióját és a két jelenséget felületesen összehasonlítjuk, azt gondolhatnánk, hog elegendő az erő előjelét megváltoztatni és minden a központos húzásra levezetett összefüggés azonnal alkalmazható (ellenkező előjellel). Ez azonban nag tévedés lenne. nomás esetében uganis felléphet eg olan jelenség, amel alapvetően megkülönböztetheti a központos húzást (./a ábra) és a központos nomást (./b ábra). gakorlati esetek túlnomó részében ezt a jelenséget számításba kell vennünk a szerkezetek méretezésekor. l a) b) c) h. ábra. a) központos húzás, b) központos nomás, c) karcsú nomott rúd kihajlása. Ez a jelenség a kihajlás, melnek során a nomott rúd eredetileg egenes tengele (az összenomódáson kívül) meg is görbül (./c ábra). kihajlás a rúd teherbírására és alakváltozására nézve kedvezőtlen jelenség. ttól függően, hog a nomott rúd kihajlik-e, vag nem, a rudakat két csoportra osztjuk: a karcsú rudak és a zömök rudak csoportjára. Sajnos nem adható egzakt, egszerű és a gakorlatban is jól alkalmazható szabál arra nézve, hog eg rúd karcsú vag zömök, illetve hog kell-e a kihajlással számolni vag nem. Íg most gakorlati útmutatásként csak azt rögzítjük, hog ha a rúd karcsúságát jellemző 7

22 l 0 (.) h hánados nag (például 0-nél nagobb), akkor a rudat karcsú rúdnak tekintjük, ha pedig a hánados kicsi (például 5-nél kisebb), akkor a rúd általában zömök rúdnak tekinthető. fenti hánadosban h a keresztmetszet mérete és l 0 a rúd kihajlási hossza a vizsgált iránban. z l 0 kihajlási hossz függ a rúd l hosszától és a megtámasztási viszonaitól; a./c ábrán vázolt esetben l 0 l. kihajlási hosszal és a karcsúsággal a. pontban részletesen foglalkozunk, ahol azt is látni fogjuk, hog a karcsúságot szokás az l 0 /i hánadossal is jellemezni (ahol i az inerciasugár). gakorlatban nem szokott problémát okozni annak eldöntése, hog eg rúd karcsú vag zömök. a mégis, akkor a megoldás igen egszerű: a rudat karcsúnak kell tekinteni. oglalkozzunk először a jóval egszerűbb, bár a gakorlatban talán ritkábban előforduló esettel, amikor a vizsgált rúd zömök.. Zömök rudak zömök rudakat a gakorlatban úg szokás jellemezni, hog nincs nagságrendi különbség a keresztmetszet kisebbik mérete és a rúd hossza között. vizsgálat teljesen a. fejezetben bemutatott módon hajtható végre, annak figelembevételével, hog a) most nomófeszültségek lépnek fel (. ábra) és b) a rúd összenomódik. k súlponti tengel z S d. ábra. Központosan nomott zömök rúd. z tengelre vonatkoztatott vetületi egenletből most a központos húzásnál levezetett képlethez hasonlóan a összefüggést kapjuk, amit a határerő számításakor az (.) (.) formában alkalmazunk. többi képlet is átvehető a. fejezetből, vagis a rúd összenomódása a l l E 8

23 a fajlagos összenomódás pedig az l ε l összefüggésből határozható meg. egjegezzük, hog amíg eg húzott rúd megnúlásának értékére a tervezési folamat során gakran szükség lehet, addig eg zömök rúd összenomódása nem szokott érdekes lenni és a gakorlatban nem is szokás kiszámítani. További eltérést jelent a központosan húzott rudak esetétől az, hog itt a) a Bevezetőben rögzített feltételezésektől eltérve nemcsak homogén, hanem inhomogén anagú nomott szerkezeteket (például falazott szerkezeteket) is vizsgálhatunk b) a gengítések például téglafúgák nem okoznak nag problémát és a kisebb gengítéseket a tervezés során gakran el is szokták hanagolni, valamint c) olan anag is szóba jöhet, amelnek nincs számottevő húzószilárdsága (például beton és tégla). kísérletek azt mutatják, hog kis húzószilárdságra azért szükség van a keresztiránú húzás miatt. Karcsú rudak z olan rudat, amelnek a hossza a keresztmetszet méreteihez viszonítva nag, karcsú szerkezetnek nevezzük. karcsú rudak viselkedése jóval bonolultabb a zömök rudak viselkedésénél. Ez können belátható, például eg hosszú, a hosszához képest nagon vékon léccel végzett kísérlet segítségével. z eredetileg egenes tengelű rúd a nomóerő fokozatos növelése mellett hirtelen meggörbül, bekövetkezik a./c ábrán már vázolt kihajlás jelensége, melnek során az alakváltozások rohamosan nőnek és a rúd tönkremeg. Ez eg igen veszéles jelenség. tönkremenetel uganis stabilitásvesztés, ami kisebb, esetleg jóval kisebb nomóerőnél bekövetkezik, mint a zömök viselkedés feltételezésével meghatározott törőerő értéke. e T l EI z z T+dT a d +d dz e b h a) b) c) d). ábra. Karcsú rúd. a) kihajlás előtt, b) kihajlás után, c) az egensúli állapot, d) a rúd eg elemi szakasza. 9

24 z egenestengelű prizmatikus rudak kihajlásproblémáját Euler már 757-ben megoldotta. megoldást olan homogén, izotróp rudakra adta meg, amelek rugalmas viselkedésére érvénes a (.) ooke-törvén. kihajlás részletesebb vizsgálata és az Euler-féle kritikus erő levezetése céljából tekintsük a. ábrán vázolt, a tetőponton erővel terhelt karcsú rudat, amel alul mereven befogott és a felső vége szabad. konzoltartó hossza l és a keresztmetszet méretei b és h (< b). Jelölje E a rúd rugalmassági ténezőjét. keresztmetszet tengelre vonatkoztatott tehetetlenségi nomatéka I bh /. z -z tengelű koordinátarendszer kezdőpontját a rúd tetőpontjához rögzítjük (./a ábra). kezdeti pillanatokban, amíg a nomóerő kicsin, a rúd tengele egenes marad. tetőponti erő és a vele eg egenesen működő, a befogási keresztmetszetnél keletkező reakcióerő biztosítja a rúd egensúlát (./a ábra). rúd ekkor zömök rúdként viselkedik és érvénesek a. pontban (a húzott rúd analógiája segítségével) megadott összefüggések. tetőponti erő értékének növelésével azonban a tetőpont vízszintesen hirtelen elmozdul, például e távolságra, és a rúd csak ol módon maradhat egensúlban, ha a befogásnál keletkező reakcióerő mellett keletkezik eg e nomaték is (./b ábra). Ezen túlmenően, most már nem közös hatásvonalú a rúdra ható két erő. rúdra ható erők elrendezése és a rúd viselkedése tehát alapvetően megváltozott és íg nem érvénesek a zömök rúdra megadott összefüggések. megoldást a kihajlott állapotot jellemző egensúli állapot (./c ábra) vizsgálata adja. rúdban működő erő függőleges komponense a rúd mentén állandó (). rúdban működő erő vízszintes komponense és a rúdban működő nomaték viszont nem állandó a rúd mentén és ezeket a T(z) és az (z) függvének írják le. z alábbiakban felírt egensúli egenletekben T és függvénként szerepel. Tekintsük a rúd eg elemi szakaszát (./d ábra). z iránú vetületi egenletből dt 0, vagis nomatéki egenlet alapján i, T + T + dt 0 T 0 a + Tdz + d d 0 T ahonnan egszeri deriválás után azt kapjuk hog T Vegük figelembe a fenti T 0 összefüggést és az helére helettesítsük be a hajlított tartó meggörbült tengelvonalára vonatkozó EI'' összefüggést (amelnek levezetése korábbi matematikai tanulmánainkból már ismert, de e jegzet 9. pontjában is megtalálható): T EI 0 0

25 Innen: + 0 EI Ez a probléma negedrendű, homogén, lineáris differenciálegenlete, ami általános alakban az formában írható, ahol bevezettük az + α 0 (.4) α (.5) EI jelölést. differenciálegenlethez a következő nég peremfeltétel tartozik. ) a tartó tetőponti eltolódása zérus (a koordinátarendszerünkben, amelnek a kezdőpontja a tetőpontban van és amel egütt mozog a tetőponttal./c ábra): ( 0) ) az érintő (első derivált) a befogásnál függőleges (vag máshogan megfogalmazva: az érintő a befogásnál párhuzamos a z tengellel): ( l) ) a nomaték (amel az EI'' összefüggés tanúsága szerint az ''-vel arános) a tetőpontban zérus, íg: ( 0) 4) a níróerő (amel az EI'' és ' T összefüggések tanúsága szerint az '''-vel arános) a befogásnál zérus, íg: ( l) (.4) differenciálegenlet rendszáma csökkenthető. E célból integráljuk az egenletet egszer: C α második és negedik peremfeltétel felhasználásával a C konstans kiküszöbölhető és íg az 0 ( l ) ( l ) 0 C 0 + α 0 differenciálegenlethez jutunk. Ismételt integrálással

26 + + C α 0 és az első és harmadik peremfeltétel felhasználásával egenletünk tovább egszerűsödik: ( 0) (0) 0 C 0 + α 0 (.) Ehhez a másodrendű, homogén, lineáris differenciálegenlethez az első és második (eredeti) peremfeltétel tartozik. (.) differenciálegenlet szerkezetileg a matematika és fizika jól ismert egenlete. megoldás formában kereshető. z első és második derivált előállítása sin αz + B cosαz (.7) α cosαz Bα sin αz α sin αz Bα cosαz és visszahelettesítés után látható, hog a megoldás valóban kielégíti a (.) differenciálegenletet. megoldás ténleges előállításához meg kell határozni a (.7) összefüggésben szereplő és B állandókat. Ez a peremfeltételek segítségével történik. z első peremfeltétel megadja a B értékét második peremfeltétel az összefüggést eredménezi. ( 0) sin(0) + B cos(0) 0 B 0 ( l) α cosαl 0 cosαl 0 - π π π αl.4 ábra. koszinusz függvén 0 és π között. ivel sem az α sem az nem lehet zérus [a (.7) összefüggés tanúsága szerint ez a

27 triviális megoldás], innen a cos α l 0 egenletet kapjuk. z egenlet (első) megoldása (.4 ábra): π α l a ebből az α-t kifejezzük és felhasználjuk a (.5) képletet π l EI akkor innen előállítható a kihajlást végző, alul befogott és felül szabad végű rúd egensúlát definiáló erő. Ez az erő a rúd kritikus ereje: kr π EI (.8) 4l kritikus erő egenes aránban függ a rúd EI merevségétől, fordított és négzetes aránban a rúd l hosszától, és a rúd megtámasztási viszonaitól. Érdemes a (.8) képletet az kr π EI (.9) l 0 alakba átírni, ahol l 0 νl a rúd kihajlási hossza. lul befogott és felül szabad végű rúd esetében ν (.5/a ábra). zért érdemes a kritikus erő képletére bevezetni a (.9) szerkezetű képletet, mert ez a képlet több, más megtámasztási viszonokkal rendelkező központosan nomott rúd kritikus erejének meghatározására is alkalmas, ha a ν ténező megfelelő értékét alkalmazzuk. a például a rúd alul-felül csuklós megtámasztással rendelkezik, akkor az itt bemutatott levezetés mintájára (de a csuklós megtámasztásoknak megfelelő peremfeltételekkel) végrehajtott levezetés a kritikus erő értékére az kr π EI (.0) l képletet eredménezi. Ekkor is alkalmazható tehát a (.9) összefüggés, ha a rúd kihajlási hosszának meghatározására a ν értéket alkalmazzuk (.5/b ábra). Ezen túlmenően, a (.9) összefüggés alkalmazható például a mindkét végén befogott (de vízszintesen nem elmozduló) megtámasztású (.5/c ábra), a mindkét végén befogott (és vízszintesen elmozduló) megtámasztású (.5/d ábra) és az egik végén befogott és a másik végén csuklós megtámasztású rúd (.5/e ábra) esetében is. kritikus erő értékének meghatározásához szükséges ν értékeket a.5 ábrán adjuk meg. z ábrán a kihajlási hossz szemléletes jelentését is bemutatjuk (amel a fél szinusz hullámhossz, azaz a valós vag képzeletbeli kihajlott tartóalak két infleiós pontjának távolsága).

28 l l 0 l l 0 0.5l l 0 0.7l l 0 l l 0 l l a) ν b) ν c) ν 0.5 d) ν e) ν ábra. Különböző megtámasztási viszonokkal rendelkező rudak ν ténezői és l 0 kihajlási hosszai. angsúlozni kell, hog a fent megadott eredmének csak a rugalmas viselkedés tartománában érvénesek, amikor a nomófeszültség nem haladja meg az aránossági határt, vagis amíg (. ábra). bból a célból hog részletesebben megvizsgálhassuk hog mi történik amikor a nomófeszültség eléri, illetve túllépi az aránossági határt, vezessük be az Euler-féle kritikus nomófeszültséget és nézzük meg értékének alakulását annak függvénében, hog a rúd mennire érzéken a kihajlásra. z Euler-féle kritikus nomófeszültséget az Euler-féle kritikus erő és a rúd keresztmetszeti területének hánadosával definiáljuk: kr π EI kr l a felhasználjuk az inerciasugár négzetére vonatkozó i I/ összefüggést, akkor a fenti képlet a következőképpen rendezhető át: 0 kr π E l0 i a itt bevezetjük a karcsúsági ténező fogalmát a l λ 0 i formában, amel a rúdhosszal egenesen és az inerciasugárral fordítottan arános, akkor az Euler-féle kritikus nomófeszültség a kr π E λ 4

29 alakban adható meg. kr Engesser görbe Tetmajer egenes Euler hiperbola λ λ. ábra. Kritikus nomófeszültség a karcsúság függvénében. z Euler-féle kritikus nomófeszültség alakulása a karcsúság függvénében a. ábrán látható. z Euler hiperbola csak a rugalmas tartománban, vagis a pontig érvénes. Ezt a szakaszt foltonos vonal ábrázolja. z aránossági határt túllépve a nomott rúd képléken alakváltozást végez. Ennek a bonolult viselkedésnek a kísérleti és elméleti vizsgálatával többen is foglalkoztak, akik közül itt csak kettőt említünk: a képléken tartománban a magar Tetmajer (88) egenes alkalmazását javasolta, míg a német Engesser (898) változó rugalmassági ténezőt feltételezve görbe szakasszal fejezte be az Euler-féle hiperbolát (. ábra). központosan nomott rúd kr e 0 kezdeti külpontossággal nomott rúd e 0 e.7 ábra. Nomott rúd viselkedése kezdeti külpontosság nélkül, illetve kezdeti külpontossággal. kihajlás jelenségének veszélességével kapcsolatban még eg szempontot érdemes szem előtt tartani. karcsú rúd kritikus erejének fenti levezetése során feltételeztük, hog a vizsgált rúd egenestengelű és központosan nomott (./a ábra). rúd elméleti viselkedése ennek megfelelően olan, hog a nomóerő folamatos növelése során a kezdeti időszakban a rúdtengel egenes marad, majd eg bizonos ponton (a kritikus erő értékének elérésekor) hirtelen nag tetőponti elmozdulások jönnek létre és a rúd eltörik. Ezt az elméleti viselkedést mutatja a.7 ábrán a két egenes szakaszból álló (foltonos vonallal ábrázolt) függvén, amelnek első szakasza a függőleges tengelen fekszik majd a második szakasz az kr -nál jobbra vízszintesen elágazik. gakorlatban viszont a rudak tengele még a leggondosabb gártás esetén sem tökéletesen egenes és a teher központos elhelezése sem biztosítható maradéktalanul. gakorlati esetek nag részében vízszintes kitérítő erő is jelentkezhet 5

30 (például szélerő vag a nem tökéletesen függőleges rúd önsúlának következtében). Kezdeti külpontosság (e 0 ) jelentkezhet tehát, ami már a kritikus erő elérése előtt esetleg jóval korábban elfogadhatatlanul nag vízszintes elmozdulásokat eredménezhet. Ezt a viselkedést az e 0 -ból induló (szaggatott vonallal ábrázolt) görbe mutatja. Ebből az is következik, hog a gakorlatban a kihajlás jelensége mindig de különböző mértékben befolásolja a nomott rúd viselkedését. Lásd a. ábrát a.. pontban. Itt jegezzük meg, hog van olan méretezési filozófia, amel szerint központosan nomott rúd nem is létezik és minden rudat külpontosan nomott szerkezetként kell kezelni.. Gakorlati alkalmazás Előbb összefoglaljuk a központosan nomott zömök és karcsú szerkezetek méretezésével kapcsolatos tudnivalókat, majd a képletek alkalmazását két gakorló feladat segítségével mutatjuk be. elzetünk jóval bonolultabb, mint a központosan húzott rudaknál volt. Ennek nemcsak az az oka, hog itt most zömök és karcsú szerkezetekkel is foglalkozunk, amelek viselkedése alapvetően eltér egmástól, hanem az is, hog a szerkezetek viselkedése jelentősen függ attól is, hog milen anagból készültek. a, acél és vasbeton szerkezetekkel szaktantárgak külön kurzusok keretein belül foglalkoznak, íg ebben a pontban az alkalmazási területet beton- és falazott szerkezetekre korlátozzuk... Központosan nomott zömök és karcsú szerkezetek méretezése gakorlati alkalmazás során is élesen elkülönül a zömök és a karcsú rudak csoportja. zömök rudak esetében a kihajlás veszélével nem számolunk és a. pontban összefoglalt elméleti összefüggések közvetlenül alkalmazhatók. karcsú rudaknál a kihajlás jelenségének figelembe vétele a probléma vizsgálatát megnehezíti és valamiféle egszerűsítések bevezetése szükséges, ha a gakorlat számára könnebben kezelhető eljárásokat akarunk létrehozni. Ezek az egszerűsítések szabvánelőírások felhasználásával, egszerű képletek illetve diagramok formájában egészítik ki a. pontban tárgalt elméleti összefüggéseket... pontban a központosan húzott rudak méretezésével a tervezéssel és ellenőrzéssel kapcsolatban elmondott elvek most, a nomás esetében is, érvénesek. indig a méretezés alapegenletét (egenlőtlenségét) használjuk, ahol az a szabvánelőírások szerint meghatározott mértékadó teher (nomóerő) és a nomott szerkezet határereje, amelnek meghatározását az alábbiakban mutatjuk be különböző esetekre és anagokra. Ellenőrzéskor az egenlőtlenség teljesülését kell kimutatni, tervezéskor pedig az éppen hiánzó adatot határozzuk meg az egenlőtlenség segítségével. Zömök rudak gakorlatban központosan nomott zömök szerkezetekkel leggakrabban különböző típusú alapozásoknál találkozhatunk. Központosan nomott, zömök rúd lehet az alaptest és az alaptest alatti talaj is..8 ábra eg központosan nomott pillér központosan megépített alapozását mutatja. zömök rúdra érvénes (.) képlet alapján felírható (.) t összefüggés mind az ellenőrzéshez, mind pedig a tervezéshez alkalmazható. talaj határfeszültsége ( t ) általában adott szokott lenni. Értékét a talajmechanikai szakvéleménből vehetjük ki, ami szokásos talajok esetén általában 0. N/mm és 0. N/mm között mozog.

31 t b a.8 ábra. Központosan nomott alaptest. mértékadó központos teher meghatározásánál figelemmel kell lenni arra, hog az tartalmazza az alaptest önsúlát is. z alaptest területének megállapításakor a névleges (a, b) méreteket a számítások során csökkentett értékekkel kell figelembe venni, a talajban végzett munkák kisebb pontosságának ellensúlozása céljából. csökkentés szokásos mértéke - cm. eli nomás z építőipari gakorlatban előfordulnak olan esetek, amikor viszonlag nag erő adódik át viszonlag kis felületen, úg, hog közben lehetőség van a kialakuló feszültségek szétterjedésére az alátámasztó szerkezetben. beszorító feszültségek n (körben cm hámozással).9 ábra. eli nomás vizsgálata központos alátámasztás esetében. Ilen helzet alakul ki például, amikor eg nag fesztávú és teherbírású (pl. acél) tartó betontömbre támaszkodik. Nagobb terhelésű födémgerendák felfekvésénél hasonló helzettel találkozhatunk. jelenséget ami pecsétnomásként is ismeretes az jellemzi, hog a felső (támaszkodó) és alsó (alátámasztó) szerkezettel kapcsolatban érvénesek a, felső >>,alsó és felső alsó << (.) egenlőtlenségek. Ilen esetekben szükségessé válhat a felfekvés ellenőrzése. ivel itt a kihajlás jelenségével nem kell számolni, kis módosítással alkalmazható a 7

32 zömök rudakra megadott (.) összefüggés. Kísérleti tapasztalatok azt mutatják, hog az erőátadódás során úgnevezett beszorító feszültségek keletkeznek, miközben nő az a felület ahol nomófeszültségek ébrednek az alátámasztó szerkezetben (.9 ábra). Ez a teherbírás megnövekedéséhez vezet. megnövekedett teherbírás eg m növelő ténezővel vehető figelembe: m (.) ahol a ténleges megtámasztó felület (a.9 ábra szerint) és a megtámasztó szerkezet anagának határfeszültsége. z m növelő ténező az n m (.4) képlettel számítható, ahol n a megtámasztó szerkezeten kialakítható legnagobb központos felület. z n felületet körbe-körbe cm hámozással kell kialakítani. Ez a keresztmetszetcsökkentés azt hivatott figelembe venni, hog az alaptest szélei lerepedések formájában hajlamosak a különböző sérülésekre. szabvánelőírások az m ténező értékét maimálják; betonnál például m ma. heli nomás vizsgálata akkor is elvégezhető, ha az alátámasztó szerkezet (pl. alaptest) nem központosan helezkedik el. Ilen esetekben eljárhatunk úg, hog a felesleges részek eltávolításával az elrendezést központossá tesszük (.0 ábra). b/ n b/ b/ cm b/ b/ cm b/ cm n b b.0 ábra. eli nomás vizsgálata aszimmetrikus alátámasztás esetében. a) szélső helzet, b) sarokhelzet. Itt jegezzük meg, hog a.8 és.9 ábrák összehasonlítása után arra a (téves) következtetésre is juthatnánk, hog az alaptestek felső szintjén rutinszerűen mindig el kell végezni a heli nomás vizsgálatát. gakorlatban előforduló szerkezetek esetében azonban általában nem teljesül a (.) alatti első feltétel, uganis az alaptestre felülő fal/pillér határfeszültsége nem szokott sokkal nagobb lenni az alaptest határfeszültségénél és íg a pecsétnomás jelensége az esetek túlnomó részében nem szokott mértékadó lenni az alaptestek felső síkján. méretezési eljárás során természetesen a heli nomás vizsgálatakor is az összefüggés teljesülését kell kimutatni. a) b) 8

33 Karcsú rudak. és. pontokban bemutatott vizsgálatok azt mutatják, hog amíg a zömök rudak az egenes tengel megtartása mellett számítható törőerő elérésével mennek tönkre, addig a karcsú rudak szokásos tönkremenetele jellegében egészen más. karcsú rúd meggörbül és az egre növekvő oldaliránú elmozdulások a rúd tönkremeneteléhez vezethetnek, még akár jóval a zömök (kihajlás nélküli) viselkedés feltételezésével számítható törőerő értékének elérése előtt. Ez a felismerés egben a probléma gakorlati szempontból können kezelhető megoldásának előállítását is elősegíti. Ábrázoljuk e célból a kétfajta tönkremeneteli módot jellemző (határ-)erőket eg koordinátarendszerben (. ábra). kr zömök zömök rúd határereje: kihajlási határerő: kr π EI l 0 0 karcsú rúd határereje: φ k 0 karcsúság. ábra. Központosan nomott rúd határereje zömök és karcsú viselkedés feltételezése esetén. Külön-külön tételezzük fel, hog a vizsgált rúd zömök rúdként (kihajlás nélkül), illetve karcsú rúdként (de a nomási törőerő elérését nem vizsgálva) viselkedik. indkét esetben ábrázoljuk a határerőt a karcsúság függvénében. zömök rúd esetében természetesen vízszintes egenest kapunk, hiszen a karcsúság nem befolásolja a (kihajlást nem végző) rúd határerejét. karcsú rúd határerejét (kritikus erejét) a. ábrán vázolt görbéhez hasonló görbe jellemzi, amelnek a kezdeti szakaszát a képléken viselkedés határozza meg.. ábrán (foltonos vonallal) ábrázolt két határerő-függvénnel kapcsolatban három fontos következtetés vonható le: ) a rúd teherbírását kisebb karcsúság mellett (a 0-k 0 szakaszon) a zömök rúdként kiszámított határerő határozza meg, majd a karcsú rúdként kiszámított kritikus erő a meghatározó ) eg adott rúd teherbírása nem lehet nagobb sem a zömök, sem pedig a karcsú viselkedéshez tartozó teherbírásnál ) eg adott rúd teherbírása kifejezhető a zömök rúdként kiszámított teherbírás aránában Ez utóbbi megfigelés lehetővé teszi eg igen egszerű eljárás bevezetését. központosan nomott rúd határteherbírása meghatározható a zömök rúdra alkalmazott (.) összefüggés felhasználásával, ha azt eg megfelelő a kihajlást figelembe vevő csökkentő ténezővel egészítjük ki: ϕ (.5) Ez a ténező a φ kihajlási ténező, amel a kihajlás veszéles következménét hivatott érvénesíteni. Eg jellegzetes φ függvénalakot a. ábrán pontvonallal ábrázolunk. kihajlási ténező elméleti maimális értéke.0, ami a tökéletesen kihajlásmentes zömök rúdra vonatkozik (. ábra). φ kihajlási ténező értékét elsősorban a rúd karcsúsága, a megtámasztási viszonok, a rúd anaga, valamint a keresztmetszet alakja befolásolják. Kiterjedt kísérleti és kutatómunka eredméneire támaszkodva a kihajlási ténező értékei 9

34 táblázatosan és grafikonok segítségével előállíthatók és gakran függvénkapcsolattal is jellemezhetők. Ezek segítségével a gakorlati munka jelentősen egszerűsíthető. Erre mutatunk be két eljárást a következő két pontban, ahol beton- és falazott szerkezetek méretezésével foglalkozunk. méretezési eljárás során mindkét esetben azt kell kimutatni, hog teljesül az (.) feltétel. ind a beton-, mind pedig a falazott szerkezeteknél előírjuk, hog az l 0 /h-val definiált karcsúság maimális értéke 5. Karcsú betonszerkezetek Kisebb létesítmének eg-két szintes épületek függőleges teherhordó szerkezeteihez gakran alkalmaznak betonszerkezeteket, pillér, illetve fal formájában. Ezek központos terhelése esetén az előző pontban vázolt eljárás az alábbiak szerint alkalmazható. szerkezet határerejét az ϕ (.7) összefüggés szolgáltatja, ahol a φ kihajlási ténező a l0 l ϕ (.8) 00h 0h képletből számítható. (.7) képletben a függőleges teherviselő elem keresztmetszeti területe és a betonszerkezet nomási határfeszültsége. fenti képletben h a keresztmetszet mérete és l 0 a vizsgált szerkezet kihajlási hossza a vizsgált iránban. kihajlási hossz az kr kritikus erő ismeretében általános esetben az l 0 π EI kr összefüggésből határozható meg. Gakran előforduló gakorlati esetekben a kihajlási hosszat egszerűbben, az l 0 νm 0 összefüggés szerint is meghatározhatjuk, ahol m 0 a megtámasztások közötti távolság/emeletmagasság (. ábra). t m 0 t m 0 B>t a). ábra. z m 0 megtámasztások közötti távolság/emeletmagasság beton pillérek és falak esetében. ν ténező a megtámasztási viszonoktól függő állandó, amel elviekben a.5 ábrán bemutatott módon működik; konkrét értékeit a gakorlati esetek többségében a szerkezet jellegzetességének megfelelően és a merevítési viszonoktól függően a. táblázatból vehetjük ki. B t b) 0

35 . táblázat. ν ténező értékei különböző megtámasztási viszonok esetében. ν ténező értékei egtámasztás módja.0 két végén megtámasztott fal/pillér (pl. merevített épületben).5 fal/pillér többnílású merevítetlen épületben.5 fal/pillér egnílású merevítetlen épületben. szabadon álló, önsúlával terhelt elem.0 szabadon álló, fent koncentrált erővel terhelt elem φ kihajlási ténező értékeit az l 0 /h karcsúság függvénében a. táblázatban adjuk meg.. táblázat. φ kihajlási ténező értékei betonszerkezeteknél az l 0 /h karcsúság függvénében. l h φ vizsgált szerkezet kihajlási hosszát jelentősen befolásolja, hog merevített vag merevítetlen épületben található. merevítettség/merevítetlenség eldöntése során az alaprajzi két meghatározó ( és ) iránt mindig külön-külön meg kell vizsgálni. Nég jellegzetes esetet mutat a. ábra. a) b) c) d). ábra. a) mindkét iránban merevített épület, b) mindkét iránban merevítetlen épület, c) iránban merevített, iránban merevítetlen épület, d) iránban merevített, iránban merevítetlen kétnílású épület. Szokásosan alkalmazott betonszerkezetek nomási határfeszültségét a. táblázat tartalmazza. ( táblázat első két oszlopa nem szabvános betont tartalmaz.). táblázat. nomási határfeszültség értékei betonszerkezeteknél. Szilárdsági jel C 8 / 0 C 0 / C / 5 C / 0 C 0 / 5 C 0 / 7 C 40 / 50 [N/mm ] Betonszerkezetek kialakítása során szerkesztési szabálokat kell betartani. Ezeket minden esetben az éppen érvénes szabvánból kell kivenni. Itt most csak azt rögzítjük, hog a legkisebb hasznos keresztmetszet min 00 cm.

36 alak esetében a tervezői gakorlatban folóméterrel szokás dolgozni. Karcsú falazott szerkezetek Karcsú falazott szerkezetek méretezése során a betonszerkezeteknél bemutatottakhoz igen hasonlóan járhatunk el. határerőt az ϕ (.9) f összefüggés adja meg, ahol φ a kihajlási ténező, a hasznos keresztmetszeti terület és f a fal vag pillér nomási határfeszültsége. t m m 0 t m 0 t/ B>t B t a) b).4 ábra. z m 0 megtámasztások közötti távolság/emeletmagasság falazatoknál. φ kihajlási ténező értéke a l0 l ϕ (.0) 5h 0h összefüggésből számítható, ahol h a keresztmetszet mérete és l 0 a vizsgált szerkezet kihajlási hossza a vizsgált iránban. kihajlási hossz az l 0 νm 0 összefüggés szerint határozható meg, ahol m 0 a megtámasztások közötti távolság/emeletmagasság (.4 ábra). ν ténező a megtámasztási viszonoktól függő állandó, amelnek értékei a merevítési viszonoktól függően most is a. táblázatban megadottak szerint alakulnak. φ kihajlási ténező értékeit az l 0 /h karcsúság függvénében a.4 táblázatban foglaltuk össze..4 táblázat. φ kihajlási ténező értékei falazott szerkezeteknél az l 0 /h karcsúság függvénében. l h φ falazott szerkezetek azonosítása nég adat megadásával történik. z első adat a falazóelem anagára vonatkozik: K (kő), T (égetett agag termék), T (mészhomok tégla), B (beton) és BK (könnűbeton). második adat minden esetben a falazat jele,. harmadik adat a f nomási határfeszültsége tízszerese. negedik adat a falazóelem fajtája. T 4 s.t. jelentése íg: f.4 N/mm nomási határfeszültséggel rendelkező téglafal/pillér soklukú téglából. Általános rendeltetésű habarcsokkal falazott falazat nomási határfeszültségét néhán

37 téglafajtára a.5 táblázat vastag vonallal határolt része tartalmazza. táblázatban t a falazóelem nomási határfeszültsége és h a habarcs nomási határfeszültsége. falazott szerkezetek kialakítási szabálait is szerkesztési szabálok írják elő, ameleket minden esetben az érvénes szabvánból kell kivenni. Itt most csak annit rögzítünk, hog eg falazott szerkezeti elem (pillér) minimális keresztmetszeti mérete: min 5 cm. z hasznos keresztmetszet megállapításánál a vakolatot nem szabad figelembe venni. névleges kéménluk méreteket (körben) cm növeléssel kell levonni a hasznos keresztmetszetből. fugákat és téglalukakat a hasznos keresztmetszet megállapításánál nem kell levonni..5 táblázat. f nomási határfeszültség értékei falazott szerkezeteknél. t 5 N/mm t 0 N/mm t 0 N/mm h [N/mm ] tömör tégla tömör tégla üreges tégla üreges tégla gakorlati számítások során falak esetében folóméterrel szokás számolni. Végül a karcsú szerkezetek méretezésével kapcsolatban itt mutatunk rá eg fontos szempontra, amit a gakorlati feladatok során mindig szem előtt kell tartani. P.5 ábra. iránban kihajlás-érzéken pillér az iránban kihajlás-érzéken épületben. Szerkezeteink beleértve a karcsú rudakat is általában térbeli szerkezetek és térbeli módon viselkednek. Utalva az l 0 /h karcsúsággal kapcsolatos, a fejezet bevezető részében tett megjegzésre, karcsú rudak esetében ennek az a következméne, hog a kihajlás veszélét általában két síkban (rendszerint -z és -z) kell vizsgálni. ind a megtámasztási viszonoktól függő l 0 kihajlási hossz, mind a h keresztmetszeti oldalhossz (vag a keresztmetszet alakjától függő i inerciasugár) értéke iránfüggő, vagis előfordulhat, hog mindkét iránban más értékeket kell figelembe venni a ( legnagobb ) karcsúság meghatározásához. Jól illusztrálja

38 a térbeli viselkedés ezen jellegzetességét a.5 ábrán alaprajzával vázolt épület, ahol például a P jelű pillér méretezése esetén nem lehet ránézésre eldönteni, hog melik a veszéles irán. pillért nézve (önmagában), a vizsgálatot az iránban hajtanánk végre (mert a keresztmetszet kisebbik mérete ezt indokolja), míg ha az épületet nézzük, akkor a vizsgálatot az iránban hajtanánk végre (mert abban az iránban az épület merevítetlen, míg a másik iránban merevített). Ilen esetben mindkét iránt vizsgálni kell. teljes vizsgálatot nem kell mindkét iránban elvégezni. Elegendő a φ kihajlási ténező értékét kiszámolni a két iránban és amelik iránban a kisebb értéket kapjuk (φ min ), abban az iránban kell csak a teljes vizsgálatot végrehajtani... Gakorló feladatok méretezéssel kapcsolatos fent bemutatott eljárások gakorlati alkalmazását két számpélda segítségével illusztráljuk.. öldszintes gépszín Tervezzük meg a. ábrán alaprajz-részletével és metszetével megadott félig nitott gépszín P jelű téglapillérét (b?) és a pillér alatti alaptestet (a?). pillér tervezési nomószilárdsága f.8 N/mm. talaj határfeszültsége t 0. N/mm. mértékadó födémteher q 7.0 kn/m. pillérre támaszkodó gerenda önsúla G gerenda 8.0 kn/m. pillér feltételezett önsúla legen G pillér 5 kn. z alaptest feltételezett önsúla legen G alaptest 8 kn. Első lépésben a vizsgált pillér mértékadó terhét határozzuk meg. Ehhez szükség van a pillért terhelő terület nagságára. Keresztiránban a födém kéttámaszú tartó, íg a terület keresztiránú mérete a fesztáv fele m. másik iránban a pillérre támaszkodó gerenda többtámaszú tartó, ahol a közbenső mezőkről a fesztáv fele, a szélső mező esetében pedig a fesztáv 5/8-a adja a pillérre terhelő szakasz méretét. terhelő mező nagsága íg T m 8 pillér mértékadó terhe három tételből, a mértékadó födémteherből, a pillérre támaszkodó gerenda önsúlából és a pillér (feltételezett) önsúlából adódik össze: kn 8 következő lépésben a pillér határerejét határozzuk meg. gépszín az alaprajz tanúsága szerint hossziránban merevített, keresztiránban merevítetlen. b pillérméret ismeretének hiánában egelőre nem dönthető el egértelműen, hog a határerő megállapítása során melik a kedvezőtlenebb irán, de a keresztiránú merevítetlenség a keresztiránt valószínűsíti. Keresztiránban a gépszín egnílású, íg a ν ténező értéke a. táblázatból ν.5 és a kihajlási hossz értéke (a.4/a ábrán értelmezett m 0 segítségével): karcsúságot jellemző 0.8 l0.5m m l h 0.8 < 5 m 4

39 függvénében a kihajlási ténező értéke a.4 táblázatból kapható: határerő ezzel: ϕ m 5 ϕ b.8 4. b [N] f v.b. gerenda v.b. födém P pillér m 0.8 a? ± m T ⅝.75 b? P.75 m /.0.00 m.8. ábra. Gépszín. 5

40 z ismeretlen b pillérméret megállapítása céljából felhasználjuk a (.) összefüggést, amel szerint a határerő nem lehet kisebb a mértékadó erőnél: Innen azt kapjuk, hog 4.b b 55. mm 8740 z alkalmazott téglaméretnek megfelelően a pillér mérete b 40 mm. ost már azt is meg tudjuk állapítani, hog a pillér méretezése során a φ kihajlási ténező értékét keresztiránú vizsgálat segítségével kell megállapítani, vagis úg, ahogan eljártunk. pillér alatti alaptest méretének megállapítása céljából először megállapítjuk az alapozási síkon jelentkező a mértékadó erőt. Ez a pillér mértékadó terhéből és az alaptest (feltételezett) önsúlából tevődik össze:, pillér + Galaptest kN határerő 0. [N] t z alaptest egik szélességi mérete legen a, a másik.5a. z feltétel segítségével: és innen 740.5a 889mm a 5975 mm 0. a 770 mm a 80 cm z alaptest két szélességi méretét íg 80 cm-ben és 0 cm-ben állapítjuk meg.. Nagterhelésű tartó alátámasztásának vizsgálata Tervezzük meg a.7 ábrán vázolt tartó alapozását és ellenőrizzük az alátámasztást heli nomásra. z alaptest felső síkjában a mértékadó teher 000 kn. talaj határfeszültsége t 0.5 N/mm. z alaptest anagának határfeszültsége 5 N/mm. z alaptest méretének megállapítása céljából először megállapítjuk az alapozási síkon jelentkező a mértékadó erőt. Ez a tartó mértékadó terhéből és az alaptest (feltételezett) önsúlából tevődik össze. z alaptest súlát 0 kn-ra becsüljük. mértékadó teher íg:, tartóról + Galaptest kn határerő 0. [N] t 5 z alaptest mindkét szélességi mérete legen a. z feltétel segítségével:

41 00000 a 0000 mm 0.5 és innen a 45 mm z alaptest szélességi méretét íg a.5 m-ben állapítjuk meg. (z méretű alaptest súla nem nagobb, mint a feltételezett G alaptest 0 kn.) 000 kn m 00 n.7 ábra. eli nomás vizsgálata. z alaptest méreteinek ismeretében ellenőrizzük a megtámasztást heli nomásra. közvetlenül terhelt felület: mm megtámasztó szerkezeten kialakítható legnagobb központos felület (a - cm levonás figelembevételével): (.4) képlet szerinti növelő ténező mm n 0700 n m 4.8 ( > ) Ez az érték nagobb mint (a növelő ténező maimális értéke), íg m -al számolunk. határerő értékét a (.) képletből kapjuk: m N 50 kn a 00 a Ez az érték nagobb, mint az 000 kn mértékadó erő, íg az alátámasztás megfelel. 7

42 4 Tiszta nírás a a rúd eg keresztmetszetére a keresztmetszet síkjával párhuzamosan két egmással ellentétes iránú, azonos nagságú és egmáshoz végtelen kis távolságra lévő erő működik, tiszta nírásról beszélünk (4. ábra). ásképp fogalmazva: tiszta nírás az az igénbevétel, amikor a rúd vizsgált keresztmetszetében csak níróerő működik (és N 0 és 0). Rúdszerkezetekben ilet nem találunk, mert ha a níróerő nem zérus, akkor mindig működik nomaték is. Tiszta nírással leggakrabban (húzott) rudak kapcsolataiban találkozhatunk. 4. eszültség és alakváltozás atározzuk meg először a rúdban keletkező feszültséget. Bevezetésben részletezett és az.4 ábrán bemutatott eljárást követve a vizsgált rudat a k keresztmetszetnél két részre vágjuk (4./a ábra). I. k II. z d τ feszültségek megoszlása I. τ dz γ z a) tiszta nírásra igénbevett rúd b) szögváltozás 4. ábra. Tiszta nírás. baloldali rész jobb oldalán az átvágási felületen ébredő az egensúlt biztosító feszültségeket τ-val jelöljük. baloldali rész egensúlát vizsgálva a függőleges vetületi egenlet a i 0 8

43 τ d + ( ) 0 egenlethez vezet. eltételezve, hog a τ feszültségek megoszlása egenletes, a τ konstansként kiemelhető az integráljel elé τ d + 0 ( ) ivel az integrálkifejezés a keresztmetszeti területet jelenti, a feszültség meghatározására szolgáló képletet a τ (4.) igen egszerű formában kapjuk, ahol az elníródó keresztmetszet nagsága. feszültség párhuzamos a keresztmetszettel, íg a fajlagos belső erő nírófeszültség. Dimenziója N/mm, illetve Pa. nírás hatására a keresztmetszetek γ szögtorzulást szenvednek (4./b ábra). rugalmas tartománban a szögtorzulás arános a nírófeszültséggel (4. ábra). τ τ képléken szakasz rugalmas tartomán γ γ 4. ábra. Rugalmas-képléken anagú nírt rúd idealizált feszültség-alakváltozás diagramja. húzott szerkezeteknél bevezetett ooke-féle anagegenlet most a τ Gγ (4.) alakban írható fel, ahol τ a nírófeszültség, G a nírási rugalmassági modulus és γ a szögtorzulás. γ szögtorzulás dimenziótlan menniség, íg a G nírási rugalmassági modulus dimenziója N/mm, illetve Pa. (4.) és (4.) összefüggések segítségével a szögtorzulás kifejezhető a níróerő, a nírási rugalmassági ténező és a nírt keresztmetszet segítségével: γ (4.) G Végül megemlítjük, hog a nírási rugalmassági ténező és a rugalmassági ténező nem függetlenek egmástól. ennáll közöttük a 9

44 összefüggés, ahol ν a. pontban bevezetett Poisson ténező. 4. Nírófeszültségek reciprocitási (dualitási) tétele E G (4.4) ( + ν ) Későbbi tanulmánaink során alkalmazni fogjuk a reciprocitási tételt. következőkben ezt a tételt ismertetjük. Tekintsük a 4. ábrán vázolt, nírt rúdból kivágott elemi méretű hasábot. d dz τ d τ τ z τ dz τ z d 4. ábra. nírt rúdból kivágott elemi hasáb nírófeszültségekkel. tiszta nírásra igénbevett rúd eg keresztmetszetének vizsgálata során azt tapasztaltuk, hog a keresztmetszet mentén τ nírófeszültségek keletkeznek, amelek a külső níróerőt egensúlozzák (4./a ábra). Jelölje most ezeket a nírófeszültségeket τ a vizsgált elemi hasáb baloldali függőleges lapján (4. ábra). z elemi hasáb függőleges vetületi egensúla csak úg biztosítható, ha a jobboldali függőleges lap mentén uganekkora, de ellentétes iránú τ nírófeszültségek működnek. függőleges lapokon működő ddτ feszültségeredők íg eg erőpárt képeznek. nomatéki egensúl úg biztosítható, hog a vízszintes lapokon is működnek nírófeszültségek és ezeknek a τ z nírófeszültségeknek az eredője (ddzτ z ) eg uganekkora, de ellentétes forgatóértelmű erőpárt képez, vagis ha teljesül a feltétel. Innen azt kapjuk, hog ddτ dz ddzτ d 0 z τ τ τ Ez a reciprocitási tétel más néven a dualitási tétel amel tehát azt mondja ki, hog ha eg metszeten τ nírófeszültség működik, akkor a rá merőleges metszeten is τ nírófeszültség működik. a az egik nírófeszültség a közös metszésvonal felé mutat, akkor a másik is a közös metszésvonal felé iránul. a az egik nírófeszültség a közös metszésvonaltól elmutat, akkor a másik is elmutat a közös metszésvonaltól. 4. Gakorlati alkalmazás Előbb összefoglaljuk a tisztán nírt rudak méretezésével kapcsolatos tudnivalókat, majd bemutatunk eg speciális alkalmazást, végül a képletek alkalmazását három gakorló feladat segítségével mutatjuk be. z 40

45 4.. Tisztán nírt rudak méretezése.. pontban foglalkoztunk a központosan húzott rudak méretezésével. tisztán nírt rudak méretezése az ott leírtakhoz nagon hasonló lépésekben történik. méretezés során a feladat kétféleképpen jelentkezhet: vag (méreteivel és anagával) már adott eg tiszta nírásnak kitett szerkezet, vag pedig valamel adat már rendelkezésre áll, de nem mind, és nekünk kell megállapítani a hiánzó adatot. z első esetben ellenőrzésről, a második esetben pedig tervezésről beszélünk. indkét esetben a (4.) képletet, illetve az annak átrendezésével kapott τ összefüggést használjuk, amire alkalmazzuk a méretezés Y Y alapegenletét: τ (4.5) (4.5) összefüggésben τ a rúd határereje a rúd keresztmetszete a rúd anagának (szabván szerinti) nírási határfeszültsége a vizsgált keresztmetszetre ható mértékadó níróerő (amit a vonatkozó szabvánelőírások szerint kell meghatározni) Ellenőrzés z ellenőrzés során adottak a keresztmetszet méretei (), a rúd anagának minősége (τ ) és a szabvánelőírásoknak megfelelően meghatározott níróerő nagsága ( ). (4.5) képlet változtatás nélkül alkalmazható. rúd megfelel, ha a határereje nem kisebb mint a rúd mértékadó terhe: τ Tervezés tervezési feladat kétféleképpen jelentkezhet. a adott a níróerő nagsága ( ) és a rúd anaga (τ ), akkor a feladat a keresztmetszet méretének meghatározása. (4.5) összefüggés átrendezésével ekkor az (4.) τ képlethez jutunk. tervezés során előfordulhat olan eset is, amikor a keresztmetszet mérete kötött például a rendelkezésre álló hel miatt és ilenkor a níróerő nagsága és a keresztmetszet méretének ismeretében keressük azt a τ anagminőséget, amel kielégíti a (4.5) feltételt. (4.5) összefüggés ekkor a τ (4.7) formában alkalmazható, vagis megmutatja, hog milen anagot kell alkalmazni. gakorlati esetek többségében a (4.) és (4.7) képletekkel kapott eredmén nem ad azonnali végeredmént, vagis keresztmetszeti méretet, illetve határfeszültséget. Kerekíteni kell az egenlőtlenség iránának megfelelően, ami felfelé történő kerekítést jelent. 4

46 lakváltozás Tiszta nírásnak alávetett szerkezetek esetében a gakorlatban nem szokásos az alakváltozásszámítást elvégezni, mert nem szokott mértékadó lenni. 4.. Eg speciális gakorlati alkalmazás: csavarkötés Gakran előforduló feladat a húzott rudak toldása. z egik megoldás csavarok alkalmazása. (Régebben igen elterjedt volt a szegecsek alkalmazása. z alábbiakban ismertetett eljárások értelemszerűen a szegecskötésekre is alkalmazhatók.) csavarokkal kialakított kapcsolat méretezése során több tönkremeneteli módot is vizsgálni kell. Ezek egike a kapcsolóelem elníródása veszélének vizsgálata. nírásvizsgálat mellett kitérünk a palástnomás hatására bekövetkező tönkremenetel vizsgálatára is. angsúlozzuk viszont, hog csak e két jelenség bemutatására koncentrálunk és nem vizsgáljuk az esetlegesen jelentkező többi jelenséget (pl. kigombolódás). Nem foglalkozunk továbbá a szabvánok előírása szerint esetlegesen szükséges módosító, illetve egéb biztonsági ténezőkkel sem. csavarkötések komple és részletes, szabván szerinti vizsgálatával a a- és acélszerkezetek tantárg foglalkozik. Bár a csavarkapcsolatok kialakítása során aranszabál, hog eg csavar nem csavar, a viselkedés könnebb megértése céljából tekintsük először a 4.4/a ábrán vázolt kapcsolatot, amel egetlen csavar segítségével toldja a húzott lemezt. a) húzott rúd toldása b) lepattintó hatás 4.4 ábra. Egszer nírt, eg csavart tartalmazó kapcsolat. húzóerő felléptekor a két nem közös hatásvonalú erő nomatékot is ébreszt a kapcsolatban és a kapcsolat próbál kiegenesedni, vagis a két erő próbál közös hatásvonalra kerülni. kapcsolatnál ún. lepattintó hatás jön létre (4.4/b ábra), ami kedvezőtlenül befolásolja a kapcsolat viselkedését. keletkező nomatékot és a lepattintó hatást azonban most nem vizsgáljuk, mert a) a keletkező nomaték viszonlag kicsi és b) a gakorlatban általánosan előforduló több-csavaros kapcsolatok esetében a lepattintó hatás elhanagolhatóan lecsökken. zon túlmenően, hog a húzott rúd a csavarlukkal gengített keresztmetszetnél elszakadhat, azaz húzásra tönkremehet, még két tönkremeneteli módot vizsgálunk. úzás kapcsolat egik tönkremeneteli módja az, hog a húzott rúd a csavarlukkal gengített keresztmetszetnél elszakad, azaz húzásra tönkremeg. húzáshoz tartozó határerő a (.5b) összefüggés alapján h d ) v (4.8) h ( luk ahol v a v és v lemezvastagságok közül a kisebbik (4.5 ábra). 4

47 d v v v v h d luk a) b) 4.5 ábra. a) asznos keresztmetszet húzásnál, b) csavar elníródása. hasznos keresztmetszet számításához (4.5/a ábra) a d átmérőjű csavar részére a csavarátmérőhöz tartozó lukméretet a szabván adja meg. (Szegecseknél d + mm nagságú lukat szokás figelembe venni.) csavar elníródása csavar a 4.5/b ábrán pontvonallal jelölt helen, az keresztmetszet mentén níródhat el. 4.. pontban bevezetett (4.5) képletben szereplő keresztmetszet és a csavar τ nírási határfeszültsége ismeretében felírható a csavar elníródási határereje: d π τ τ (4.9) 4 Palástnomás húzóerő felléptével a csavar a lemezzel érintkezve beszorul és a palástja mentén is fellépnek feszültségek. keletkező nomófeszültségek a csavarpalást két oldalán zérusról indulva a maimális értéket ( ma ) a csavarpalástnak a húzóerő hatásvonalába eső részén érik el (4./a ábra). Ilen változó intenzitású feszültségábrával nehéz méretezési feladatokat megoldani, de kísérleti tapasztalatok azt mutatják, hog a félkör mentén változó megoszlású feszültségábra jó közelítéssel helettesíthető a csavar átmérője mentén egenletesen megoszló feszültségábrával (4./b ábra). p palástnomási határfeszültség értékeit a vonatkozó szabvánban találhatjuk meg. d d v v v v ma d p a) b) 4. ábra. Palástnomás. a) ténleges, b) helettesítő modell a számításhoz. hatás-ellenhatás törvénének megfelelően, amikor a csavar palástján nomófeszültségek keletkeznek, akkor uganakkora nomófeszültségek keletkeznek a lemezben is. Ebből az következik, hog a p palástnomási határfeszültség értékének kiválasztásakor mindig a csavar és a lemez palástnomási határfeszültsége közül a kisebbiket kell alkalmazni a 4

48 számításban. palástnomáshoz tartozó határerő íg az vd (4.0) p p képletből számítható, ahol d a csavar átmérője és v a v és v lemezvastagságok közül a kisebbik (4./b ábra). kapcsolat határerejét azt határozza meg, hog melik tönkremeneteli módhoz (esetünkben: húzás, nírás, palástnomás) tartozik a legkisebb határerő. fenti kapcsolatban úgnevezett egszernírt csavart alkalmaztunk, amelnél eg keresztmetszet mehet tönkre nírásra. gakorlatban sűrűn előfordul a kétszernírt csavarok alkalmazása (4.7 ábra). kétszernírt csavarok alkalmazásával növelhető a kapcsolat teherbírása, kiküszöbölhető a 4.4/b ábrán vázolt lepattintó hatás és csökkenthető a húzóerő mellett fellépő nomaték. d v v v / / 4.7 ábra. Kétszernírt csavar. ost is háromféle tönkremeneteli lehetőséget vizsgálunk: vag elszakad a csavarlukkal gengített keresztmetszet, vag a két keresztmetszet mentén a csavar elníródik, vag a kapcsolat palástnomás miatt meg tönkre. z egszernírt csavar esetében fent megadott képletek most a következőképpen alakulnak. nírási tönkremenetel határereje: d π τ τ (4.) 4 palástnomáshoz tartozó határerő: vd (4.) p p ahol v a v és a v közül a kisebb. fenti eg darab csavarra vonatkozó képletek segítségével most már megadhatjuk a gakorlati esetekben n darab csavart tartalmazó kapcsolatok nírási és palástnomási határerejét (4. táblázat). gakorlatban a csavarokat gakran több sorban és több oszlopban helezik el. ost hallgatólagosan feltételeztük, hog az erő a kapcsolatban egenletesen oszlik meg a csavarok között. csavarelrendezést szerkesztési szabálok szabálozzák, íg különböző előírások vonatkoznak a kapcsolat hosszára, szélességére, a csavarok közötti távolságra (mindkét iránban), a szélső csavar és az elem széle közötti távolságra, stb. Ezeket a szabálokat szabván írja elő. 44

49 4. táblázat. z n csavart tartalmazó húzott kapcsolat nírási és palástnomási határerői. n darab csavart tartalmazó kapcsolat határerői egszernírt kapcsolat (4.5/b ábra, de n csavarral) kétszernírt kapcsolat (4.7 ábra, de n csavarral) Nírási határerő d π 4 d π 4 n τ n τ Palástnomási határerő nvd p ahol v a v és v kisebbike nvd p ahol v a v és a v kisebbike határerők ismeretében most már összefoglalhatjuk a csavarkapcsolatok méretezésével kapcsolatos tudnivalókat. Ellenőrzés csavarokkal kialakított húzott kapcsolat megfelel, ha teljesül az feltétel, ahol a szabvánelőírások szerint meghatározott húzóerő és a tönkremeneteli módokhoz tartozó határerők közül a legkisebb. tönkremeneteli módokat szabvánelőírások szabálozzák, amelek közül a húzás, a csavarok elníródása és a palástnomás jelenségével foglalkoztunk (biztonsági és módosító ténezők figelembevétele nélkül). Tervezés tervezés során leggakrabban a csavarszám az ismeretlen. 4. táblázat adatainak felhasználásával a 4. táblázatban foglaljuk össze a szükséges csavarszám minimális értékét. táblázatban szereplő képletek nevezőiben eg csavar határerői szerepelnek. 4. táblázat. minimális csavarszám nírási és palástnomási tönkremenetel esetén. inimális csavarszám egszernírt kapcsolat kétszernírt kapcsolat Nírási tönkremenetel esetén Palástnomási tönkremenetel esetén n n n p d π τ 4 vd p ahol v a v és v kisebbike n n n d π τ 4 p vd p ahol v a v és a v kisebbike ténlegesen alkalmazott csavarok száma nagobb kell hog legen a mindkét tönkremenetel feltételezésével kiszámított csavarszámnál: n n ténleges n, n p felkerekítés során gakran a csavarkép-kialakítást is figelembe kell venni és íg 45

50 előfordulhat, hog nem a legközelebbi egész számot választjuk, hanem nagobbat, illetve esetleg azt is figelembe kell venni, hog például páros számú csavarra van szükség. tervezés során ismeretlen lehet a d csavarátmérő is, sőt (elméletileg), a lemezek v és v vastagsága és a p palástnomási és τ nírási határfeszültség. Ez utóbbiak azonban nem gakorlati esetek. Előfordulnak (kettőnél) többször nírt csavarokat alkalmazó kapcsolatok, de ezek ritkák. éretezésük a fentiek értelemszerű alkalmazásával történhet. 4.. Gakorló feladatok. Lemez-csapszeg kapcsolat Ellenőrizzük a 4.8 ábrán vázolt lemez-csapszeg kapcsolatot. lemez esetében a nírófeszültség határértéke τ 5 N/mm, a csapszeg pedig τ 0 N/mm és 75 N/mm határfeszültségekkel rendelkezik. D mm v 0 mm v mm v a) d 0 mm 85 kn d (D) b) vdπ ( vdπ) 4.8 ábra. Lemez-csapszeg kapcsolat. a) metszet, b) elníródni akaró felület. Vizsgáljuk meg először a lemez elníródását. határerő értéke: lemez τ v Dπτ π 5 909N a a csapszeg níródik el, akkor a határerő csapszeg τ v dπτ 0 0 π 0 005N Tönkremenetelt okozhat még az is, hog elszakad a csapszeg szára. z ehhez tartozó határerő: húzás 0 π N 4 kapcsolat határereje a három érték közül a legkisebbik, ami nagobb a mértékadó erőnél, vagis teljesül a 894 N N feltétel és íg a kapcsolat megfelel. ( két elem közötti nomást most nem vizsgáljuk.) 4

51 . erde beeresztés Ellenőrizzük nírásra a 4.9 ábrán vázolt kapcsolatot. ferde rúdban működő erő: 00 kn. faanag nírási határfeszültsége: τ.7 N/mm. kapcsolat határereje nírásra: T τ N kapcsolatra működő mértékadó níróerő: T cos α cos N α mm 0 mm 4.9 ábra. erde beeresztés. Teljesül a T T feltétel, tehát a kapcsolat nírásra megfelel. ( kapcsolat többi tönkremeneteli módját most nem vizsgáljuk.). Kétszernírt csavarkapcsolat Ellenőrizzük az 00 kn erővel terhelt húzott rúd 4.0 ábrán vázolt toldását. csavarok átmérője Ø. toldandó lemez (és a hevederek), valamint a csavarok esetében a figelembeveendő határfeszültségek: lemez: h 5 N/mm, p 0 N/mm csavar: τ 40 N/mm, p 400 N/mm húzás vizsgálatakor a lemez vastagságával kell számolni (mert az kevesebb, mint a két heveder egüttes vastagsága). csavarluk átmérőjét mm növeléssel 8 mm-rel vesszük figelembe az h hasznos keresztmetszet megállapításához. húzáshoz tartozó határerő íg: húzás 4(0 8)5 440 N h h 47

52 kn mm ábra. úzott rúd toldása kétszernírt csavarkapcsolattal. nírásvizsgálathoz a kapcsolat egik oldalán lévő csavarokkal, azaz n 4 darab csavar kétszeres elníródásával kell számolni: nírás τ nd π τ 4 4 π N 4 palástnomás esetében a lemezt vizsgáljuk (mert vastagsága kisebb mint a két heveder egüttes vastagsága és a határfeszültsége kisebb mint a csavar határfeszültsége). határerő íg: palástnom ás nvd N p kapcsolat határereje a három határerő legkisebbike, vagis 589 N. ivel teljesül az 589 N N feltétel, a kapcsolat megfelel. 48

53 5 Síkbeli feszültségállapot Eddig olan egszerű igénbevételekkel foglalkoztunk, melek esetében csak egfajta normál- vag níró- feszültségek keletkeztek. Bonolultabb és a gakorlatban sűrűn előforduló esetekben viszont ezek a feszültségek egszerre jelentkeznek és vizsgálnunk kell egüttes hatásukat. Ilen esetekben ide tartoznak különböző talajmechanikai problémák is előnös lehet a síkbeli feszültségállapot törvénszerűségeinek az ismerete. 5. őiránok és főfeszültségek Tekintsük a 5./a ábrán vázolt tetszőleges alakú testet, amelre egensúlban lévő síkbeli erőrendszer működik. ivel a külső erőrendszer síkbeli erőket tartalmaz, a belső feszültségek is ebben a síkban működnek és síkbeli feszültségállapotról beszélhetünk. n i i+ n- τ τ τ τ a) egensúlban lévő test b) tetszőlegesen kivágott elemi négzet c) speciális helzetű elemi négzet 5. ábra. Síkbeli feszültségállapot. Válasszuk a síkbeli erők síkját - síknak és eg tetszőleges pontban tetszőleges módon vágjunk ki eg elemi négzetet (5./b ábra). Általános esetben a négzetre iránú és iránú normálfeszültségek és τ nírófeszültségek hatnak. reciprocitási tétel értelmében a τ nírófeszültségek párosával jelentkeznek és azonos sarokpont felé mutatnak. a az elemi négzetet az - síkban elforgatjuk, akkor az oldalakra ható feszültségek nagsága változik. Létezik eg olan - tengelkereszt (5./c ábra), amelben a normálfeszültségek a legnagobb ( ), illetve a legkisebb ( ) értéket veszik fel és ezzel eg időben a nírófeszültségek értéke zérus. z ezt a helzetet jellemző iránokat főiránoknak, a 49

54 és feszültségeket pedig főfeszültségeknek nevezzük. entiek ismeretében tekintsük ismét a. fejezetben már megismert és vizsgált központosan húzott rudat (5./a ábra). Vizsgáljuk először a rúd baloldali részének egensúlát úg, hog a rudat a rúdtengelre merőlegesen vágjuk ketté (5./b ábra). z 0 vízszintes vetületi egenlet segítségével a már jól ismert összefüggéshez jutunk. k a) l S b) c) α α n δ n τ 5. ábra. a) úzott rúd, b) merőleges lemetszés, c) ferde lemetszés. Vizsgáljuk meg most általánosabban az egensúlt, úg, hog a k keresztmetszetnél a rudat ferdén vágjuk ketté (5./c ábra). z átvágás ferdeségét az α szög jellemzi. ferde átvágás miatt a keresztmetszet mérete megváltozik, mégpedig az összefüggés szerint. vízszintes vetületi egenlet tehát most cosα δ 0 δ 0 cosα alakú és innen az eredő feszültségvektor értéke: δ cosα cosα ivel a cosα értéke egnél soha nem lehet nagobb (5. ábra), a feszültség értékére érvénes a 50

55 δ összefüggés. sinα 0 π π π α - cosα 5. ábra. sinα és cosα függvének a 0 α π tartománban. a az α értéke zérus vagis a vizsgált metszet merőleges a rúdtengelre akkor δ vagis visszajutottunk az 5./b ábrán vázolt esetre. bban az esetben, amikor az α értéke π/, δ 0 vagis a hosszanti szálak között nem ébred normálfeszültség. ontos felismerés, hog a rúd húzóerővel párhuzamos metszetei feszültségmentesek. Bontsuk most fel a ferde metszethez tartozó δ feszültséget az n normális iránába eső és rá merőleges (a metszet síkjába eső) összetevőkre. normálfeszültség értéke a nírófeszültség értéke pedig δ cosα cos α (5.) n τ δ sin α sin α cosα sin α (5.) entiekből két tanulság vonható le, figelembe véve hog az α értéke mindig 0 fok és 90 fok között van. z első tanulság az, hog a n normálfeszültség értéke soha nem lehet nagobb mint a értéke, vagis: 0 α 90 n,ma n,min 0 másik tanulság az, hog a τ nírófeszültség értéke soha nem lehet nagobb mint /, vagis: 0 α 90 τ 0 τ 0 és τ ma τ (45 ) sin( 45) 5

56 feszültségekkel kapcsolatban az 5.4 ábrán vázolt előjelszabál érvénes. τ n + a) normálfeszültségek b) nírófeszültségek 5.4 ábra. Előjelszabál. főiránok és főfeszültségek meghatározására különböző számítási és szerkesztési eljárások állnak rendelkezésre. Ezek közül az Otto ohr német mérnök által 88-ben kidolgozott grafikus eljárást ismertetjük. 5. feszültségi állapot ohr féle ábrázolása Tekintsünk először eg speciális esetet és nézzük meg, hog hogan alakulnak a feszültségek eg húzott rúd esetében. a a vizsgált keresztmetszet merőleges a rúdtengelre, akkor az α 0 érvénes (5. ábra). τ P(,τ) sin α O α C α (,0) cos α 5.5 ábra. ohr kör húzott rúdhoz. jellemző feszültségek értékét az (5.) és (5.) összefüggések segítségével határozhatjuk meg: és cos α n 5

57 sin α 0 τ Ez a két érték eg τ koordinátarendszerben eg pontot határoz meg. Jelöljük ezt a pontot -val és ábrázoljuk a τ koordinátarendszerben (5.5 ábra). a a vizsgált keresztmetszet párhuzamos a rúdtengellel, akkor az α 90 érvénes (5. ábra). jellemző feszültségek értékét most is az (5.) és (5.) összefüggések segítségével határozhatjuk meg: n cos α 0 és sin α 0 τ Ez a két érték is eg pontot határoz meg a τ koordinátarendszerben. Jelöljük ezt a pontot O-val és ábrázoljuk a τ koordinátarendszerben. két pont által meghatározott távolságot átmérőnek és a C felezőpontot eg kör középpontjának tekintve, most már megrajzolhatjuk a húzott rúd feszültségállapotát jellemző kört, amit ohr körnek nevezünk. ohr körrel kapcsolatban azt állítjuk, hog a kör pontjainak koordinátái megadják az összes lehetséges metszősíkhoz tartozó és τ értékeket. bizonításhoz állítsuk elő a P pont két koordinátáját, vagis az O és P távolságokat. O OC + C + cosα ( + cosα ) cos α ( ) n P CPsinα sin α ( τ ) entiek ismeretében a ohr kör megszerkesztése és alkalmazása az alábbiak szerint történik: ) Elhelezzük az O és pontokat a vízszintes tengelen ) z O távolság megfelezésével megkapjuk a kör középpontját ) Bármel P pont a n és τ koordinátákkal megadja az α szöghöz tartozó feszültségeket Ez volt a tiszta húzás esete, amikor csak normálfeszültség ébred, de a szerkesztés általánosítható és feszültségekre. következőkben ezt mutatjuk be. Általános esetben 0, 0 és τ 0. ohr kör előállítása ekkor úg történik, hog először előállítjuk a kör két pontját [P (, τ) és P (,τ)] a, és τ értékek segítségével. két pont összekötésével megkapjuk a kör C középpontját, ami az összekötő egenes és a vízszintes tengel metszéspontja (5./a ábra). Ezzel a lépéssel egben a kör sugarát is megkapjuk és a kör megrajzolható. főfeszültségek nagsága az ábráról leolvasható ehhez léptékheles ábrát kell rajzolni vag pedig az alábbi az ábra segítségével előállított képletek segítségével kiszámítható: τ r 5

58 és τ r z. főirán tengellel bezárt szöge az 5./b ábra alapján a τ tan α képletből határozható meg. τ P (,τ) τ r τ r r + τ O α C α τ P (,τ) C r α τ a) b) 5. ábra. ohr kör általános esetben. a) szerkesztés, b) vázlat a főfeszültségek számításához. főirán szögének előjelét (vagis hog az α-t felfelé vag lefelé kell mérni) szemléletből szuperpozícióval állapíthatjuk meg. z 5.7 ábra vázlata szerint a csak normálfeszültségek (5.7/a ábra) és csak nírófeszültségek (5.7/b ábra) feltételezésével megállapított főiránok közé kell elhelezni az összetett feszültségállapotot jellemző főiránokat (5.7/c ábra). τ (+) () α a) főiránok esetén b) főiránok τ esetén c) a ténleges főiránok 5.7 ábra. főtengelek iránának megállapítása. 54

59 5. Gakorlati alkalmazás Vizsgáljuk meg az 5.8 ábrán vázolt húzott farúd ferdén toldott ragasztott kapcsolatát. húzóerő 00 kn, a határfeszültségek értéke,rag 0.8 N/mm és τ,rag.4 N/mm. keresztmetszet téglalap alakú, 0 mm és 50 mm méretekkel. egfelel-e a kapcsolat α 0, illetve α 70 esetén? húzóerő iránába eső feszültség értéke: N/mm 0 50 n α 50 α n α δ 0 τ 5.8 ábra. úzott rúd ragasztott toldása. α 0 ferdeségű kapcsolat: jellemző feszültségek értékét az (5.) és (5.) képletek szolgáltatják. normálfeszültség: a nírófeszültség értéke pedig n cos α 5.5 cos 0.9 N/mm 5.5 τ sin α sin 0.4N/mm indkét feszültség nagobb a megfelelő határfeszültségnél, íg a ragasztott kapcsolat nem felel meg. α 70 ferdeségű kapcsolat: jellemző feszültségek értéke: és n cos α 5.5 cos N/mm 5.5 τ sin α sin N/mm indkét feszültség kisebb a megfelelő határfeszültségnél, íg a ragasztott kapcsolat megfelel. Oldjuk meg a feladatot szerkesztéssel is. Első lépésben a τ koordinátarendszerben felmérjük a 5.5 értékét. Ezzel megkapjuk a ohr kör vízszintes átmérőjének jobboldali pontját (5.9 ábra). baloldali pont már ismert (hiszen 0), íg a ohr kör előállítható. 55

60 z átmérő megfelezésével a kör C középpontjához jutunk és megrajzoljuk a ohr kört. elmérve a α 40 értéket, megkapjuk a P pontot, amelnek két koordinátája szolgáltatja n és τ értékeit. Ezek az értékek a léptékheles ábráról leolvashatók. τ P(,τ) O 40 C 4 5 (,0) 5.9 ábra. úzott rúd ragasztott toldása: ohr kör. 5

61 Egszerű, egenes hajlítás ajlításról akkor beszélünk, ha a külső erők hatására a rúdtengel és a terhek által meghatározott síkban nomaték keletkezik. Ezt a nomatékot a keresztmetszet belső (húzónomó) erőinek erőpárja egensúlozza. hajlító igénbevétel következtében a rúdtengel meggörbül, de hosszváltozást nem szenved. hajlítás eg meglehetősen komple jelenség és az egszerűbb tárgalhatóság érdekében különböző nézőpontokból szokás speciális eseteket megkülönböztetni, illetve előfordulási módokat elkülöníteni. z alábbiakban röviden összefoglaljuk a hajlítás leggakrabban megkülönböztetett alapeseteit, de ebben a fejezetben a címnek megfelelően csak az egszerű, egenes hajlítással foglalkozunk. következő nég fejezet sorban tárgalja a hajlítás további fontos területeit. Térbeli oldalról megközelítve az osztálozást, a hajlítás alapesetei az egenes hajlítás és a ferde hajlítás. Egenes hajlításkor a hajlítás síkja (azaz a teher síkja) a rúd egik tehetetlenségi fősíkjával egbeesik (./a ábra), azaz a keresztmetszeti ábrán a hajlítás síkja az egik főtengelre illeszkedik. ferde hajlítás esetében a hajlítás síkja nem esik egbe egik tehetetlenségi fősíkkal sem (./b ábra). a hajlítás síkja a hajlítás síkja a) b). ábra. ajlítás. a) egenes, b) ferde. gakorlati előfordulási módok, illetve tervezési oldaláról megközelítve az osztálozás kérdését, beszélhetünk egszerű és összetett hajlításról. Egszerű hajlítás esetében a keresztmetszetre csak hajlítónomaték hat (és níróerő nem). Összetett hajlításról akkor beszélünk, ha a keresztmetszetre ható hajlítónomatékkal eg időben níróerő is fellép. z egszerű hajlítást tiszta hajlításnak is és az összetett hajlítást közönséges hajlításnak (vag hajlítással egidejű nírásnak) is nevezik. tartó anagától függően is különbséget tehetünk a hajlításnak kitett tartó viselkedését illetően. a a tartó anaga rugalmas (O szakasz a.5 ábrán), akkor rugalmas hajlításról 57

62 beszélünk, míg a rugalmas-képléken anagú tartók esetében (OB szakasz a.5 ábrán) a tartó rugalmas-képléken hajlítást végez. hajlítás síkja. ábra. Balkéz-szabál. hajlítónomaték ábrázolása a keresztmetszeten a nomatékvektorral történik (. ábra). nomatékvektort kettős nílheggel jelöljük és a nilat a hajlítás síkjára merőlegesen ábrázoljuk, úg, hog ha a nílheggel szemben állunk, akkor a nomaték az óramutató járásával egezően forgat. nomatékvektort felülvonással szokás ellátni. nomatékvektorhoz tartozó nomaték irána bal kézzel jól modellezhető (. ábra).. Rugalmas anagú tartók egszerű, egenes hajlítása. feszültségek meghatározása z első fejezetben (Bevezetésben) felsorolt feltételezésekkel összhangban homogén és izotróp anagú rudakkal foglalkozunk, amelek a hajlítás során rugalmasan viselkednek és íg érvénes rájuk a ooke-törvén. rudakra nem hat níróerő. eltételezzük továbbá, hog a vizsgált szerkezetek egenestengelű, prizmatikus rudak. keresztmetszet rendelkezik szimmetriatengellel és a hajlítónomaték a szimmetriasíkban működik (./a ábra). Ez a szimmetriasík a terhek síkja, azaz a hajlítás síkja. hajlítás síkja a b a rúdtengel T a) a b). ábra. a) egszerű hajlítás a b szakaszon, b) a geometriai tengelre merőleges, sík keresztmetszetek. hajlítás problémájával már Leonardo da Vinci és Galileo Galilei is foglalkozott, de az elmélet kiforrott formában 750 körül vált ismertté, amikor Daniel Bernoulli korábbi munkájára támaszkodva Leonhard Euler levezette és megoldotta a hajlított gerenda differenciálegenletét. Bernoulli megfigelései szerint (./b ábra) ) a hajlított rúd eredetileg sík keresztmetszetei az alakváltozás után is síkok maradnak ) a rúdtengelre merőleges síkok az alakváltozás után is merőlegesek lesznek a 58

63 meggörbült rúdtengelre (ez utóbbi megfigelés Navier-féle hipotézisként is ismert) megfigelésekből az alábbi következtetések vonhatók le: ) ha a keresztmetszetek síkok, akkor biztosan lesznek húzott és nomott szálak, illetve zérus megnúlású helek, ahol ε 0. Ez a semleges tengel (.4 ábra). ) ha a keresztmetszetek merőlegesek maradnak a rúdtengelre, akkor nincs szögtorzulás, és a (4.) összefüggésből az következik, hog nem keletkezik nírófeszültség sem: γ 0 τ G γ τ 0 hajlított rúd vizsgálata során két kérdés merül fel: ) ol zérus a megnúlás (és ezzel egütt a normálfeszültség), vagis hol van a semleges tengel? ) ekkorák a normálfeszültségek? E kérdések megválaszolása céljából tekintsük ismét a. ábrán vázolt hajlított rudat. rudat a vizsgált keresztmetszetben kettévágjuk. Vizsgáljuk a rúd baloldali részének egensúlát (.5/a ábra). nomott öv húzott öv semleges tengel.4 ábra. ajlított rúdszakasz. ivel a keresztmetszetek az alakváltozás után is síkok maradnak, a rúd hosszanti szálainak ε hosszváltozása arános az egelőre ismeretlen helen lévő semleges tengeltől való távolsággal (.5/c ábra), vagis felírható az összefüggés, ahol c eg konstans. ε c a z semleges tengel d ε ε + α szélső szélső a) b) c) d) e).5 ábra. a) hajlított rúd baloldali része, b) keresztmetszet, c) ε-ábra, d) -ábra, e) -ábra semleges tengel alatti része kinagítva. fenti összefüggés felhasználásával a ooke-törvén ( Eε) a Ec 59

64 alakra hozható. Innen átrendezés után az Ec összefüggéshez jutunk. ivel E és c is konstans, a / tört is konstans..5/e ábra tanúsága szerint tan α és ezzel bebizonítottuk, hog az ε-ábra mellett a -ábra (.5/d ábra) is lineáris. ost visszatérünk a fent feltett két kérdésre, nevezetesen, hog hol van a semleges tengel és mekkorák a feszültségek. rendelkezésünkre álló három egensúli egenlet segítségével vizsgáljuk az elmetszett rúdrész egensúlát (.5/a ábra). ( Σ,i 0 függőleges vetületi egenlet automatikusan teljesül.) z tengelre vonatkozó Σ z,i 0 vetületi egenlet szerint ( ) d Ecd Ec d 0 ( ) (ahol figelembe vettük, hog Ec, majd az integráljel elé kiemeltük az Ec konstanst). ivel az Ec szorzat nem lehet zérus, innen azt kapjuk, hog ( ) d 0 Ez a keresztmetszet statikai nomatéka a semleges tengelre (.5/b ábra). keresztmetszet statikai nomatéka akkor zérus, ha a súlponti tengelre írjuk fel. Ezek szerint a semleges tengel a keresztmetszet (jelen esetben ) súlponti tengelével azonos. semleges tengel helének ismeretében most már foglalkozhatunk a normálfeszültségek meghatározásával. rúd baloldali részének nomatéki egensúlát a semleges tengelre felírt Σ i 0 egenlet fejezi ki: ( ) ( ) d a 0 fenti egenletben a. a az integráljel mögött szorzunk és osztunk -nal, majd az integráljel elé kiemeljük a / törtet (amiről a fentiekben bebizonítottuk hog konstans), a d ( ) összefüggéshez jutunk. ivel az integrál-kifejezés a keresztmetszet tehetetlenségi nomatéka az tengelre I ( ) d 0

65 a normálfeszültség meghatározására szolgáló képlet a következő egszerű alakban adható meg: ± (.) I maimális feszültség meghatározásához a szélsőszál-távolsággal kell számolni (.5/e ábra): ± (.) ma szélső I. Keresztmetszeti ténezők gakorlati számítások során fontos szerepet játszhat a W I f összefüggéssel definiált keresztmetszeti ténező, ahol I a keresztmetszet súlponti tengelre vonatkoztatott tehetetlenségi nomatéka és f a súlponti tengelre merőleges szélsőszáltávolság. keresztmetszeti ténező alkalmazásával a maimális feszültség meghatározására levezetett (.) összefüggés a ma ± (.) W alakban írható, ahol W min a keresztmetszet kisebbik keresztmetszeti ténezője (amelet a nagobbik szélsőszál-távolsággal számolunk ki). Itt is kiemeljük annak fontosságát, hog a méretezés során a keresztmetszeti ténező kisebbik értékére (W min ) van szükség. éretezéssel részletesen a.4 pontban foglalkozunk. keresztmetszeti ténező alkalmazása különösen előtérbe kerül tervezéskor, ha a tehetetlenségi nomaték és a szélsőszál távolsága ismeretlen. Ilen esetben célszerű kettejük hánadosát, a keresztmetszeti ténezőt ismeretlennek tekinteni. Érdemes a keresztmetszeti ténezővel dolgozni akkor is, amikor a tehetetlenségi nomaték értéke nem áll rendelkezésre és/vag nehezen meghatározható, viszont a keresztmetszeti ténező (például táblázatos formában) a tervező rendelkezésére áll. Ilen gakorlati eset például az idomacélok esete, amelek keresztmetszeti ténezői táblázatokban (például a Segédletben) megtalálhatók. következőkben meghatározzuk néhán jellegzetes alakú keresztmetszet keresztmetszeti ténezőjét. min Téglalap a b ab I W I ab b ab

66 áromszög b Kör a b b/ ab I ab I ab W ( f b 4 W ab I ab W ( > W f b min ) ) R I I πr 4 4 W W I R πr 4 R 4 πr 4 Körgűrű R r I I πr 4 4 πr 4 4 W W I R 4 π ( R 4 r ) 4R. Rugalmas-képléken anagú tartók egszerű, egenes hajlítása Továbbra is egenestengelű, prizmatikus rudakkal foglalkozunk, melek anaga homogén és izotróp, de most azt tételezzük fel, hog a tartó anaga ideálisan rugalmas-képléken (.5 ábra). rúdra nem hat níróerő és a nomaték a szimmetriasíkban működik. Vizsgáljuk meg, hog növekvő külső hajlítónomaték esetében hogan alakul a belső hajlítónomaték (és a tartó teherbírása) és hogan változik a normálfeszültségek megoszlása a./a ábrán vázolt tartó B szakaszán. míg az idealizált ε diagram rugalmas szakaszán járunk (O szakasz a.5 ábrán), addig az ε ábrát és a ábrát lineáris egenes jellemzi (. ábra). Rugalmas viselkedés mellett a terhelés addig növelhető, amíg a feszültség a keresztmetszet távolabbi szélső szálában eléri a folási határt. Ez az első fázis. felső (húzott) és az alsó (nomott) keresztmetszet-részt a semleges tengel választja el egmástól. z ehhez a fázishoz tartozó nomatékot a rugalmas folási határnomatéknak tekintjük és -el jelöljük. Értéke a (.) képlet alkalmazásával: (.4) W

67 B a) egszerű hajlítás a tartó B szakaszán ma S b) keresztmetszet c) ε-ábra d) -ábra ε ε + semleges tengel. ábra. hajlítás I. fázisa. a) hajlított tartó, b) keresztmetszet, c) ε-ábra, d) -ábra. Itt jegezzük meg, hog a méretezés során (rugalmas viselkedés esetén) a határfeszültséggel kell számolni. Rugalmas-képléken viselkedés elméleti vizsgálatakor szokás viszont a folási határral dolgozni az esetleges későbbi összehasonlíthatóság érdekében. határfeszültség a folási határból a biztonsági ténezők figelembevételével származtatható, a mindenkori szabvánelőírások szerint. ivel a tartónk rugalmas-képléken módon viselkedik, a külső teher tovább növelhető. feszültség ugan a folási határon túl nem nő nem nőhet de a már megfolt szélső szál mellett egre több szál folik meg (.7/c ábra). Ezen szálak fajlagos hosszváltozása nő (.7/b ábra). Ez vizsgálatunk második fázisa, amikor a keresztmetszet eg része de nem az egész keresztmetszet képlékenen viselkedik. egváltozik a húzott és nomott részeket elválasztó vonal hele, de nem tudjuk, hog hol van (.7/a ábra). ε < ε? ε ε ε a) keresztmetszet b) ε-ábra c) -ábra d) növelt terheléshez tartozó ε- és -ábra.7 ábra. hajlítás II. fázisának két jellegzetes pillanata. ivel a keresztmetszetnek még van olan része amel rugalmasan viselkedik, a terhelés tovább növelhető. II. fázis jellegzetes pillanatához érkezünk, amikor a keresztmetszet másik szélső szála is megfolik. terhelés még ekkor is tovább növelhető és a másik szélső szál mellett is egre több szál folik meg (.7/d ábra). terhelés egészen addig növelhető, amíg a teljes keresztmetszet képléken állapotba kerül. Ezt a III. fázis (.8 ábra). felső húzott és alsó nomott övet ekkor elválasztó vonalat határvonalnak nevezzük. Először ennek helét határozzuk meg. húzó és nomófeszültségek és N eredője a húzott és nomott keresztmetszet-rész súlpontjában működik. hatásvonalukkal párhuzamos tengelre vonatkozó Σ i 0 vetületi egenlet szerint N 0 vagis

68 ahonnan azt kapjuk, hog? határvonal N z z z a) keresztmetszet b) -ábra.8 ábra. hajlítás III. fázisa: képléken hajlítás. határvonal tehát a keresztmetszetet két egenlő nagságú területre osztja. Ebből a feltételből a határvonal hele mindig meghatározható. -ábra alapján a határvonalra felírt nomaték a képléken határnomaték, más néven a törőnomaték: z + Nz z + z ( z ) + z zárójeles kifejezés az és területrészek statikai nomatéka a határvonalra. törőnomaték íg az ( ) S S (.5) T + alakban adható meg. törőnomaték meghatározása történhet a belső erők segítségével is (.8/b ábra). húzófeszültségek eredője, vag a nomófeszültségek N eredője hatásvonalára felírt nomatéki egenlet szintén a törőnomaték értékét adja: T z Nz z (.) belső erők segítségével természetesen a rugalmas viselkedés esetében is meghatározhatjuk a nomatékot, ami ekkor a keresztmetszet rugalmas határnomatéka. entiek alapján nilvánvaló, hog tartóink nagobb teherbírással rendelkeznek, ha képesek rugalmas-képléken viselkedésre. megnövekedett teherbírást szokás az T hánadossal, a törőnomaték és a rugalmas folási határnomaték hánadosával jellemezni. Szemléletesebb mutatót kapunk a 4

69 T 00 kifejezés segítségével, ami a teherbírás-növekedést százalékban adja meg..4 Gakorlati alkalmazás Először útmutatást adunk a nomatékvektor iránának megállapításával kapcsolatban, majd összefoglaljuk méretezéssel kapcsolatos tudnivalókat, végül a gakorlati számítások illusztrálása céljából hét számpéldát mutatunk be. nomatékvektor iránát hog a hajlítás síkjára merőlegesen jobbra vag balra mutat szemléletből állapítjuk meg, úg, hog szembenézve a nomatékvektor nilával, az óramutató járásával egező forgatással a keresztmetszet adott pontjában a nomatékábrának megfelelő (húzó-, nomó-) feszültség keletkezzen. úzás esetén ez azt jelenti, hog a forgatás hatására a keresztmetszet húzott szálai próbáljanak a rajz síkjából kiemelkedni..9 ábra a két lehetséges helzetet mutatja be, amikor a nomatékvektort a hajlítás síkjára merőlegesen jobbra, illetve balra kell berajzolni..9/a ábrán vázolt kéttámaszú tartó esetében a keresztmetszet alsó, semleges tengel alatti része húzott. jó iránban berajzolt nomatékvektor esetében a keresztmetszet semleges tengel alatti pontjai próbálnak a nomatékvektor körüli óramutató járásával egező forgatás hatására kiemelkedni a rajz síkjából. Ez jobbra mutató vektor esetén valósul meg. a hajlítás síkja a hajlítás síkja q s.t. húzás s.t. ma ma húzás a) húzás alul: -vektor jobbra mutat b) húzás felül: -vektor balra mutat.9 ábra. nomatékvektor irána..9/b ábrán vázolt konzoltartó esetében a keresztmetszet felső része húzott. helesen berajzolt, balra mutató nomatékvektorral szembe nézve és az óramutató járásával egezően forgatva a keresztmetszet felső részének pontjai próbálnak a rajz síkjából kiemelkedni..4. ajlított tartók méretezése hajlított tartók méretezése során általában rugalmas viselkedést tételezünk fel. Bizonos feltételek teljesülése esetén lehetőség van a keresztmetszetek képléken méretezésére is. Ezeket a feltételeket a vonatkozó szabvánok tartalmazzák. szabvánok előírásainak ismerete és figelembevétele azért is fontos, mert bizonos esetekben különböző (módosító) ténezők alkalmazását is megkövetelhetik, amelekkel itt nem foglalkozunk. 5

70 rugalmas anagú tartók ellenőrzése a gakorlatban kétféleképpen történhet. feszültség-összehasonlításhoz közvetlenül alkalmazhatjuk a (.) összefüggést. a a szélső (.7) I feltétel teljesül, akkor a tartó megfelel. képletben a tartó anagára jellemző határfeszültség, a tartó mértékadó (abszolút értelemben legnagobb) nomatéka és szélső a két szélsőszál-távolság közül a nagobb. határfeszültség dimenziója N/mm, illetve Pa. (.7) feltétel átírható a Wmin (.8) alakba, ahol W min I (.9) ma a keresztmetszeti ténező [mm ]. z ellenőrzés másik lehetséges formája az igénbevétel-összehasonlítás. z ehhez szükséges képletet a (.8) képlet átrendezésével kapjuk. tartó megfelel, ha az W min (.0) feltétel teljesül. a a tartó nem felel meg, több lehetőséget is figelembe vehetünk. Segíthet a keresztmetszet növelése, vag jobb anagminőség ( nagobb határfeszültség) alkalmazása. Esetenként az igénbevételek csökkentése is megoldható. tervezés során a (.7) és (.0) összefüggések is alkalmazhatók. Tervezéskor az egenlőtlenségben ismeretlen van, íg a (.0) képlet alkalmazásával egszerűbben jutunk a megoldáshoz. a a keresztmetszet az ismeretlen, akkor a ha az anagminőség az ismeretlen, akkor a Wmin (.) (.) W min egenlőtlenséget használjuk. Nem túl gakori eset, de előfordulhat az is, hog a tervezési folamat során a tartó által elviselhető legnagobb nomatékra vagunk kíváncsiak, hog azon keresztül megtervezzük a legnagobb terhet vag a tartó fesztávolságát. Ilen esetekben a (.0) összefüggés közvetlenül alkalmazható. Némileg eltérő a helzet képléken viselkedésű tartók méretezése során. Ekkor a feszültség-összehasonlítás módszere nem alkalmazható és csak a nomaték-összehasonlítás módszere áll rendelkezésre. ind az ellenőrzésnél, mind pedig a tervezésnél az

71 T (.) feltételnek kell teljesülni, ahol T a törőnomaték, a (.5) vag (.) képlet szerint..4. Gakorló feladatok z ebben a fejezetben tárgaltak gakorlati alkalmazását végül hét számpélda segítségével mutatjuk be.. Rugalmas viselkedésű konzoltartó atározzuk meg a.0 ábrán vázolt konzoltartó maimális normálfeszültségét rugalmas viselkedést feltételezve. nomatékábra és a tartó alakváltozása (szaggatott vonallal ábrázolva a.0/a ábrán) azt mutatja, hog a tartó tengele mentén végig a maimális nomaték helén is a keresztmetszet felső része húzott. nomatékvektort íg a hajlítás síkjára merőlegesen balra kell berajzolni. Ekkor a nomatékvektorral szembe nézve és az óramutató járásával egezően forgatva a keresztmetszet felső semleges tengel felett lévő szálai próbálnak a rajz síkjából kiemelkedni (.0/b ábra). maimális normálfeszültség értékét a (.) képlet segítségével határozzuk meg. 0 kn m kn hajlítás síkja ma ma s.t. ma + ma a) b) c).0 ábra. Konzoltartó rugalmas hajlítása. a) tartó az -ábrával, b) keresztmetszet, c) -ábra. nomaték maimális értéke ma knm (.0/a ábra), a tehetetlenségi nomaték I.09 0 mm 4 és a maimális szélsőszál-távolság ma 0 mm. maimális feszültség értéke íg 0 ma ± szélső ± 0 ±.0 N/mm I Rugalmas viselkedésű kéttámaszú tartó atározzuk meg a. ábrán vázolt konzolos kéttámaszú tartó maimális normálfeszültségét rugalmas viselkedést feltételezve. nomatékábra és a tartó alakváltozása (szaggatott vonallal ábrázolva a./a ábrán) azt mutatja, hog a tartó tengele mentén végig a maimális nomaték helén is a 7

72 keresztmetszet felső része húzott. nomatékvektort íg a hajlítás síkjára merőlegesen balra kell berajzolni. Ekkor a nomatékvektorral szembe nézve és az óramutató járásával egezően forgatva a keresztmetszet felső semleges tengel felett lévő szálai próbálnak a rajz síkjából kiemelkedni (./b ábra). maimális normálfeszültség értékét a (.) képlet segítségével határozzuk meg. nomaték maimális értéke ma 0 knm (./a ábra), a keresztmetszeti ténező: maimális feszültség értéke íg 0 00 W mm ma.8 0 ± N/mm W min 0 ma 0 kn 0 kn ma s.t m B hajlítás síkja ma ma a) b) c). ábra. Kéttámaszú tartó rugalmas hajlítása. a) tartó az -ábrával, b) keresztmetszet, c) -ábra.. Rugalmas viselkedésű I-tartó terhelhetősége ekkora erőkkel terhelhető a. ábrán vázolt kéttámaszú tartó rugalmas viselkedést feltételezve? z I-80-as gerenda határfeszültsége 5 N/mm, a keresztmetszeti ténező W 000 mm. I-80 ma m B ma s.t. 80 ma hajlítás síkja + ma a) b) c). ábra. Kéttámaszú tartó rugalmas hajlítása. a) tartó -ábrával, b) keresztmetszet, c) -ábra. 8

73 nomatékábra és a tartó alakváltozása (szaggatott vonallal ábrázolva a./a ábrán) azt mutatja, hog a tartó tengele mentén végig a maimális nomaték helén is a keresztmetszet alsó része húzott. nomatékvektort íg a hajlítás síkjára merőlegesen jobbra kell berajzolni. Ekkor a nomatékvektorral szembe nézve és az óramutató járásával egezően forgatva a keresztmetszet alsó semleges tengel alatt lévő szálai próbálnak a rajz síkjából kiemelkedni (./b ábra). feladat megoldásához a (.0) összefüggést használjuk. mértékadó nomaték (./a ábra): tartó hosszméretei méterben vannak megadva a./a ábrán és ebben a lépésben rögzítsük, hog a két (egelőre ismeretlen) koncentrált erő dimenziója kn. Ebből az következik, hog a fenti mértékadó nomaték dimenziója knm és ennek megfelelően a (.0) összefüggés alkalmazásánál a határnomaték értékét is knm dimenzióban kell behelettesíteni: végeredmén ( ) dimenziója íg kn lesz. z összefüggést átrendezve: 8.9 kn vagis a tartót terhelő két koncentrált erő értéke nem haladhatja meg a 8.9 kn értéket. 4. Rugalmas viselkedésű háromszög-keresztmetszetű tartó maimális feszültsége atározzuk meg a./a ábrán vázolt konzoltartó maimális normálfeszültségeit rugalmas viselkedést feltételezve. nomatékábra és a tartó alakváltozása (szaggatott vonallal ábrázolva a./a ábrán) azt mutatja, hog a tartó tengele mentén végig a maimális nomaték helén is a keresztmetszet felső része húzott. nomatékvektort íg a hajlítás síkjára merőlegesen balra kell berajzolni. Ekkor a nomatékvektorral szembe nézve és az óramutató járásával egezően forgatva a keresztmetszet felső semleges tengel felett lévő szálai próbálnak a rajz síkjából kiemelkedni (./b ábra). 50 mm knm hajlítás síkja ma a) b) c) s.t. +. ábra. Konzoltartó rugalmas hajlítása. a) tartó az -ábrával, b) keresztmetszet, c) -ábra. 9

74 keresztmetszeti ténezők kiszámításához szükség van a tehetetlenségi nomaték értékére: I 4. 0 mm 4 ab z. és. szélsőszálhoz tartozó keresztmetszeti ténezők értéke íg: I 4. 0 W, Wmin 0500 mm I 4. 0 és W, mm 0 0 szélsőszál-feszültségek értéke ezekkel már meghatározható: 0 ma 4.8N/mm 0 és W.05 0 W N/mm min 5. Téglalap keresztmetszet rugalmas folási határnomatéka és törőnomatéka atározzuk meg a.4 ábrán vázolt keresztmetszet rugalmas folási határnomatékát és törőnomatékát. z ilen egszerű keresztmetszet esetében azonnal rendelkezésre áll a belső erők nagsága és a belső erők karja, íg können alkalmazható a belső erőkre épülő számítás. rugalmas folási határnomaték számításakor abból indulunk ki, hog a keresztmetszet szélső szálában a feszültség eléri a folási határt..4/a ábra alapján a belső erők értéke, N h b hb 4 és a belső erők karja z h/, íg a rugalmas folási határnomaték Nz z hb h bh 4 fenti képletben szereplő bh / ténező azonos a W keresztmetszeti ténezővel. b b h N s.t. z h N h.v. + z + T hajlítás síkja hajlítás síkja a) b).4 ábra. Téglalap keresztmetszet. a) rugalmas állapot, b) képléken állapot. törőnomaték számításakor abból indulunk ki, hog a feszültség a keresztmetszet minden szálában eléri a folási határt..4/b ábra alapján a belső erők értéke 70

75 N h b hb és a belső erők karja z h/, íg a törőnomaték T Nz z hb h bh 4 Összehasonlítási célból szokás kiszámítani a törőnomaték és a rugalmas folási határnomaték hánadosát: T bh 4 bh.5. T-keresztmetszet rugalmas folási határnomatéka és törőnomatéka atározzuk meg a.5 ábrán vázolt T-keresztmetszet rugalmas folási határnomatékát és törőnomatékát. folási határfeszültség értékét adottnak tekintjük. 00 mm 00 mm s.7 S t semleges tengel határvonal ma 7. hajlítás síkja hajlítás síkja 50 a) b) 50.5 ábra. T-keresztmetszet. a) rugalmas állapot, b) képléken állapot. rugalmas viselkedés esetén a semleges tengel helét kell először meghatározni. ivel a semleges tengel azonos a súlponti tengellel, első lépésben a súlpont helét határozzuk meg: s S mm súlpont helének ismeretében kiszámíthatjuk a tehetetlenségi nomaték értékét: I I t mm 4 (kisebbik) keresztmetszeti ténező: 7

76 W mm ma 7. I rugalmas folási határnomatékot a (.4) képlet szolgáltatja: W törőnomaték meghatározásához szükség van a határvonal helére.. pontban megállapítottuk, hog a határvonal a keresztmetszetet két egenlő nagságú területre osztja. Ezt a feltételt használjuk most fel a határvonal helének meghatározására. határvonal helzetét rögzítő távolság (.5/b ábra) bevezetésével: Innen: mm 50 törőnomatékot a (.5) összefüggés szolgáltatja: T ( S + S ) ( ).40 0 törőnomaték és a rugalmas folási határnomaték hánadosa: T vagis a rugalmas folási határnomaték 80%-kal növelhető a teljes keresztmetszet képlékenné válásáig, vagis a képléken törés bekövetkeztéig. Végül eg érdekes példán azt mutatjuk be, hog a keresztmetszet növelése nem feltétlenül vezet nagobb teherbíráshoz. 7. egerősített tartó határnomatéka Nézzük meg, hog hogan változik eg adott keresztmetszetű tartó rugalmas nomatéki teherbírása, ha a keresztmetszetet a. ábrán vázolt módon megnöveljük. határfeszültség értéke 0 N/mm. z eredeti tartó (./a ábra) keresztmetszeti adatai: mm 80 80, I 4 mm , W 85mm tartó határnomatéka a (.0) összefüggés szerint: W Nmm min 7

77 80 mm hajlítás síkja 0 80 a) b). ábra. Rugalmas viselkedésű tartó. a) eredeti keresztmetszet, b) megnövelt keresztmetszet. Növeljük meg a keresztmetszetet a./b ábrán vázolt módon. keresztmetszeti adatok a következők szerint változnak: mm , I mm 4 I 447 W 7778 mm 0 megerősített keresztmetszet határnomatéka: W Nmm min zt tapasztaljuk, hog a.5%-os keresztmetszet-növelés.5%-os határnomatékcsökkenéshez vezetett! Ennek az az oka, hog bár a keresztmetszeti terület (és a tehetetlenségi nomaték is) nőtt, a keresztmetszet szélsőszál-távolsága nagobb aránban (50%-al) nőtt, ami kedvezőtlenül befolásolta a névleges teherbírást. megerősített tartónk azért nem lett gengébb, uganis ha az Nmm nomaték elérésekor tovább növeljük a terhet, akkor a két fülszerű megerősítés letörik és a terhelés tovább növelhető, egészen addig, amíg el nem érjük a 700 Nmm értéket... 7

78 7 erde hajlítás Továbbra is egenestengelű, prizmatikus rudakkal foglalkozunk, amelek anaga homogén és izotróp. eltételezzük, hog a ferde hajlítás során a rúd rugalmasan viselkedik, vagis érvénes a ooke-törvén. vizsgált rudak keresztmetszete legalább egszeresen szimmetrikus, amikor is a szimmetriatengel egben főtengel is. másik főtengel merőleges a szimmetriatengelre. erde hajlításról akkor beszélünk, ha a hajlítás síkja nem esik egbe a rúdtengel és az egik tehetetlenségi főtengel által meghatározott síkkal. z nomatékvektort ekkor felbontjuk a két főtengel iránába eső összetevőkre cosα és sin α (7.) és a jelenséget szuperpozícióval két egenes hajlításra vezetjük vissza (7. ábra). nomatékvektor nagságát a nomatékábráról állapítjuk meg ( ma ). vektor mindig merőleges a hajlítás síkjára. Iránát szemléletből állapítjuk meg, úg, hog szembenézve a nomatékvektor nilával, az óramutató járásával egező forgatással a keresztmetszet adott pontjában a nomatékábrának megfelelő (húzó-, nomó-) feszültség keletkezzen. ( nomatékvektor iránának megállapítására részletes útmutatást a.4 pontban a.9 ábra segítségével adtunk.) S α α 7. ábra. erde hajlítás. két talán leggakrabban előforduló gakorlati alkalmazás a szelemen és a faltartó. szelemenek esetében úg jelentkezik a ferde hajlítás, hog a rúd általában ferde alátámasztáson támaszkodik, íg a főtengelek ferdék. teher a függőleges síkban hat és a hajlítás síkja íg nem esik egbe egik tehetetlenségi főtengellel sem (7. ábra). z és főtengelekhez képest ferde nomatékvektor felbontása eredménezi az és 74

79 összetevőket. teher α hajlítás síkja 7. ábra. ferde hajlítás egik gakori esete: tetőszelemen. faltartók esetében a két főtengel általában vízszintes, illetve függőleges, de a hajlítás síkja ferde, mivel a vízszintes (szél)teherből származó nomaték és a függőleges (önsúl)teherből származó nomaték eredője ferde nomatékvektort eredménez (7. ábra). falsúl szél G gerenda G faltartó gerenda falsúl G G szél hajlítás síkja 7. ábra. ferde hajlítás másik gakori esete: faltartó gerenda. ferde hajlítás során esetlegesen keletkező níróerők figelembevételével ebben a fejezetben nem foglalkozunk. níróerőkből származó feszültségek meghatározása a következő fejezet tárga. 7. feszültségek meghatározása Tekintsük eg hajlított tartó a 7.4 ábrán vázolt egszeresen szimmetrikus keresztmetszetét. nomatékvektor nem esik egbe egik tehetetlenségi főtengellel sem, íg ferde hajlításról van szó. nomatékvektort a főtengelek iránába eső két komponensre bontjuk és a feszültségek meghatározását az íg keletkező két egenes hajlítás szuperpozíciójával hajtjuk végre. 75

80 az -ből 4 β α S 4 + az -ből + 4 semleges tengel az -ból ábra. Normálfeszültségek ferde hajlításból. z egenes hajlítás (.) képletét az -re majd az -ra alkalmazva megkapjuk a ferde hajlítás feszültségképletét: feszültségek értéke a nég sarokpontban: z ± ± (7.) I I I I ( + I I + + I I ) ma ( I I Esetünkben a legnagobb húzófeszültség a. pontban, a legnagobb nomófeszültség az. pontban keletkezik. -ábra megrajzolásához tudnunk kell, hog hol helezkedik el a semleges tengel. semleges tengel helét annak a feltételnek a segítségével határozzuk meg, hog a semleges tengel mentén a feszültség értéke zérus. semleges tengel eg pontja azonnal adott: a súlpontban ( 0, 0) a feszültség zérus. semleges tengel tehát áthalad a súlponton, a meredekségét pedig a feszültségek zérusértékét kifejező egenletből vezethetjük le. (7.) képlet csak úg adhat zérust, hog az egik tag előjele pozitív, a másik negatív: 0 I I + ) ma 7

81 Innen: I I I I ahol az / hánados egértelműen meghatározza a semleges tengel β meredekségét. elhasználva hog / tanα, a semleges tengel meredeksége, vagis az tengellel bezárt szögének tangense: I β tanα I tan (7.) ivel az I /I mindig pozitív szám, ezzel bebizonítottuk, hog a semleges tengel mindig a nomatékvektorral megegező síknegedben van (7.4 ábra). Ez a követelmén automatikusan teljesül, ha a β szöget az vektortól az eredő vektor felé mérjük fel. 7. Gakorlati alkalmazás Először ismertetjük a méretezéssel kapcsolatos tudnivalókat, majd a gakorlati számítások illusztrálása céljából számpéldákat mutatunk be. 7.. éretezés ferde hajlítás esetén méretezés során csak a feszültség-összehasonlítás módszere alkalmazható. (.) képlet általánosításával és a fent bemutatott módon meghatározzuk a legnagobb normálfeszültséget ( ma ) és a ± szélső ± szélső (7.4) I I feltétel teljesülése esetén a tartó megfelel. erde hajlítás esetén a tervezési feladatok meglehetősen bonolult számításokhoz vezethetnek és íg a gakorlati esetek túlnomó részében az ellenőrzés segítségével a (7.4) összefüggés közvetlen alkalmazásával oldjuk meg a feladatot. 7.. Gakorló feladatok következő feladatok segítségével nég gakorlati esetet mutatunk be a (7.4) összefüggés alkalmazására.. Kéttámaszú tetőszelemen: téglalap keresztmetszetű fa tartó Állítsuk elő a 7.5 ábrán vázolt kéttámaszú tetőszelemen -ábráját. hajlítás síkja függőleges, íg a ferde megtámasztáson nugvó kéttámaszú gerenda ferde hajlítást szenved. z nomatékvektort a hajlítás síkjára merőlegesen kell berajzolni. Iránát (hog jobbra vag balra mutat) szemléletből állapítjuk meg. nomatékábra tanúsága szerint a legnagobb nomaték a tartó közepén keletkezik, ahol a húzott szál a keresztmetszet alján van. nomatékvektort úg kell berajzolni, hog a nilával szembe nézve és az óramutató járásával egezően forgatva a keresztmetszet alján keletkezzen húzás (vagis a forgatás hatására a keresztmetszet alsó része pl. az. pont próbáljon a rajz síkjából kiemelkedni). Ez akkor történik meg, ha a nomatékvektor nila jobbra mutat. 77

82 q kn/m 4.5 m B 7.59 knm α0 q hajlítás síkja α β semleges tengel a) tartó és terhelése b) keresztmetszet -ábrával 7.5 ábra. Téglalap keresztmetszetű kéttámaszú tetőszelemen ferde hajlítása. nomatékvektor berajzolása után a főtengelek iránába eső két nomaték-komponens értékének megállapítása következik a (7.) összefüggések felhasználásával: cos α 7.59 cos0.58knm és sin α 7.59 sin knm főtengelekre vonatkozó tehetetlenségi nomatékok I 9.& 0 mm 4 és I 4.57& 0 mm 4 ismeretében a (7.) képlettel meghatározható a semleges tengel tengellel bezárt hajlásszöge: I 9.& tan β tanα tan0.78 β 49.8 I 4.57& -ábra íg alakhelesen megrajzolható. feszültségek értékeit a sarokpontokban a (7.) összefüggés segítségével határozzuk meg: & & 0 N/mm & & 0 N/mm & & 0 N/mm & & 0 N/mm -ábrát a 7.5/b ábrán ábrázoljuk. 78

83 . Kéttámaszú tetőszelemen: U-0-as acél gerenda Tekintsük ismét az előző feladatban szereplő kéttámaszú tetőszelement, de a rendelkezésre álló tartó most legen eg U-0-as acél gerenda (7. ábra). gerenda határfeszültsége 5 N/mm. Ellenőrizzük, hog megfelel-e a tartó a q kn/m egenletesen megoszló teherre. számításhoz szükség van a sarokpontok súlponttól mért távolságára. Ezek az U- 0-as szelvén adatai szerint (pl. a Segédletből): 4 0 mm és 4.4 mm, 58. mm. tehetetlenségi nomatékok: I.9 0 mm 4 és I.97 0 mm S α 0 β α0 hajlítás síkja semleges tengel 7. ábra. U-0-as kéttámaszú tetőszelemen ferde hajlítása. semleges tengel tengellel bezárt hajlásszögét a (7.) képlet szolgáltatja: I.9 tan β tanα tan β 8.77 I.97 feszültségek értékeit a sarokpontokban ismét a (7.) összefüggés segítségével határozzuk meg: N/mm N/mm N/mm N/mm legnagobb feszültség a. pontban keletkezik, íg Teljesül a (7.4) feltétel ma 9.8 N/mm

84 íg a tartó hajlításra megfelel. -ábrát a 7. ábrán ábrázoljuk.. Konzoltartó ferde hajlítása Ellenőrizzük a 7.7 ábrán vázolt konzoltartót. tartó anagának határfeszültsége 0 N/mm. keresztmetszet tehetetlenségi nomatékai: I mm 4 és I.77 0 mm 4. legnagobb nomaték a befogásnál keletkezik, értéke.5 knm és a keresztmetszet felső részén okoz húzást. Ennek megfelelően a nomatékvektor a hajlítás síkjára merőlegesen balra mutat. két komponense: cos α.5 cos40.0knm és sin α.5 sin knm 5 kn kn m semleges tengel β α 40 hajlítás síkja a) tartó és terhelése b) keresztmetszet -ábrával 7.7 ábra. Konzoltartó ferde hajlítása. semleges tengel tengellel bezárt hajlásszögét a (7.) képlet szolgáltatja: I tan β tanα tan β.85 I.77 feszültségek értékeit a sarokpontokban a (7.) összefüggés segítségével határozzuk meg: N/mm N/mm N/mm < 0 N/mm N/mm 4 legnagobb feszültség a. pontban keletkezik. z érték kisebb mint a határfeszültség, íg a tartó hajlításra megfelel. -ábrát a 7.7/b ábrán találjuk. 80

85 4. Tervezés Ritkábban előforduló, de annál tanulságosabb feladattal találkozunk, amikor eg már meglévő tartó terhelhetőségét kell megvizsgálni. Állapítsuk meg, hog mekkora erővel terhelhető a 7.8 ábrán vázolt kéttámaszú tartó. keresztmetszet L szögacél, amelnek határfeszültsége 5 N/mm. tartó hosszmérete méterben van megadva a 7.8/a ábrán és rögzítsük, hog az egelőre ismeretlen koncentrált erő dimenziója kn. Ez azért fontos, mert a (7.4) összefüggés alkalmazásakor majd oda kell arra figelni, hog a behelettesítéskor a megfelelő dimenziókat használjuk. 5.4 hajlítás síkja m.5 B 70.7 O 70.7 S α + β ma semleges tengel 7.8 ábra. Kéttámaszú tartó ferde hajlítása. (7.4) összefüggés alkalmazása során arra is oda kell figelni, hog az összefüggésben szereplő I, I, és menniségek a főtengelekre vonatkoznak. szögacél egik főtengele a szimmetriatengel ezt a 7.8/b ábrán -el jelöltük a másik pedig erre merőleges (). ( szögacél vízszintes és függőleges súlponti tengele nem főtengel.) keresztmetszet tehetetlenségi nomatékai szelvéntáblázatból (pl. a Segédletből): I.8 0 mm 4 és I mm 4. legnagobb nomaték a tartó közepén keletkezik, értéke.5 [knm] és a keresztmetszet alsó részén okoz húzást. Ennek megfelelően a nomatékvektor a hajlítás síkjára merőlegesen jobbra mutat. két összetevője: és cos α.5 cos [knm].5 a) tartó és terhelése b) keresztmetszet: L szögacél sin α.5 sin [knm] Első lépésben a semleges tengel helét határozzuk meg: I.8 tan β tanα tan 45.8 β 75. I 0.7 ost már megrajzolhatjuk az alakheles -ábrát (7.8/b ábra), amel azt is megmutatja, hog a legnagobb feszültség a tartó tetején, az. pontban keletkezik. z. pont és 8

86 koordinátáit a főtengelek alkotta koordinátarendszerben (5.4 mm és 70.7 mm) a szögacél adattáblázatából (pl. a Segédletből) vehetjük ki. z. pontban keletkező feszültséget amel az abszolút feszültségi maimum a (7.4) összefüggés felhasználásával határozhatjuk meg. Ennek a feszültségnek kisebbnek kell lenni a határfeszültségnél: ma Innen megkapjuk a teher értékének felső határát:. kn Bár a csavarás jelenségével a. fejezetben foglalkozunk, már itt megjegezzük, hog a most ferde hajlításra vizsgált tartó esetében a csavarás jelenségét is figelembe kell venni. z L-szelvén esetében uganis az S súlpont nem esik egbe az O csavarási középponttal (7.8/b ábra). Ennek az a következméne, hog az adott hajlítási sík esetében a súlponton átmenő függőleges síkban terhelt L-szelvén el is csavarodik (vö../b ábra), amiből további feszültségek keletkeznek. helzet hasonló a. feladat esetében tárgalt (és a 7. ábrán vázolt) U-tartó esetéhez, ahol a súlponton átmenő terhelés szintén a keresztmetszet elcsavarodását okozza a csavarási középpont körül. 8

87 8 Összetett hajlítás Szerkezeteink általában nem egszerű, hanem összetett hajlításnak vannak kitéve, amikor a hajlítónomatékon kívül níróerő is működik (8. ábra) és a níróerő hatását is figelembe kell venni. z összetett hajlítás (más néven: hajlítással egidejű nírás) során keletkező normálfeszültségek és nírófeszültségek egüttes vizsgálata meglehetősen bonolult szilárdságtani feladat, de az építőmérnöki gakorlati alkalmazások számára elegendően pontos megoldást kapunk a hajlítónomaték és níróerő hatásának egmástól elkülönített vizsgálatával. Ezt a feladatot Zsuravszkij 85-ban oldotta meg és ez a fejezet az ő megoldását ismerteti. q B T T ma ma 8. ábra. ajlítás és nírás. eltételezzük tehát, hog a hajlított tartóban keletkező normálfeszültségek csak a hajlítónomatéktól függenek és egenes hajlítás esetén a már megismert ± I képlettel határozhatók meg. níróerők hatására keletkező nírófeszültségek csak a keresztmetszeten fellépő níróerőtől függenek. Továbbra is egenestengelű, prizmatikus rudakkal foglalkozunk, amelek anaga homogén és izotróp. hajlítás során a rúd rugalmasan viselkedik, vagis érvénes a ooketörvén. vizsgált rudak keresztmetszete legalább egszeresen szimmetrikus, amikor is a szimmetriatengel egben főtengel is. 8

88 8. nírófeszültségek meghatározása Tekintsük a 8./a ábrán vázolt, q intenzitású egenletesen megoszló erőkkel terhelt kéttámaszú tartót. zt a 4. fejezetben tárgaltak alapján tudjuk, hog a függőleges erőkkel terhelt tartó belsejében a függőleges metszetek mentén függőleges nírófeszültségek keletkeznek. ost bebizonítjuk azt, hog a hajlított tartó hossztengelével párhuzamos hosszmetszetein is keletkeznek feszültségek, mégpedig vízszintes nírófeszültségek. Ezt eg gondolatkísérlettel tesszük meg. q hajlítás síkja a) z I. II. dz l d S b b) I. T (z) T(z) I. II. (z)+d I. dz d II. II. b d) I I τ τ d d I. II. dz II II c) 8. ábra. Kéttámaszú tartó összetett hajlítása. a) tartó lehajlás előtt, b) léckötegek lehajlás után, c) ténleges viselkedés, d) legalsó lécből kivágott elemi hasáb. Képzeljük el azt, hog a tömör tartót tengelével párhuzamos vízszintes síkok mentén fölszeleteljük és egmáson fekvő léckötegeket hozunk létre. a eltekintenénk a súrlódástól, akkor terhelés után ezek a léckötegek egmástól függetlenül hajolnának le és közben elcsúsznának egmáson (8./b ábra). z eredeti tömör tartó viszont nem ezt teszi, hanem egséges egészként egben hajlik le. Nem jön létre elcsúszás sem a tartó különböző magasságában (8./c ábra). Ez csak úg lehetséges, hog a vízszintes síkokban vízszintes nírófeszültségek, ún. csúsztató feszültségek lépnek fel. Uganerre az eredménre jutunk a 4. alfejezetben ismertetett dualitási tétel alkalmazásával: ha eg (esetünkben függőleges) metszeten τ nírófeszültség működik, akkor a rá merőleges (vízszintes) metszeten is τ nírófeszültség működik (8./d ábra). következőkben ennek a hajlításból keletkező nírófeszültségnek a meghatározásával foglalkozunk. Tekintsük a baloldali támasztól z távolságra lévő, a legalsó lécből kivágott dz szélességű, I. és II. jelű keresztmetszetekkel határolt b vastagságú elemi hasáb egensúlát. hasábra ható vízszintes erők (8./d ábra) egensúlát a 84

89 I + τ dzb II 0 vízszintes vetületi egenlet fejezi ki. a ide behelettesítjük a és értékeket, akkor az d I Id I ( ) ( ) II IId I ( ) ( ) I + d d S + I S d I S I S d + τ dzb S S I I 0 egenlet átrendezésével a τ d dzbi S összefüggéshez jutunk, ahonnan a nírófeszültség meghatározására szolgáló Zsuravszkij-féle képletet kapjuk: fenti képletben TS bi τ (8.) T a níróerő a vizsgált keresztmetszetben [N] S az elcsúszni akaró keresztmetszet-rész statikai nomatéka a súlponti tengelre [mm ] b a keresztmetszet szélessége a vizsgált helen [mm] I a teljes keresztmetszet tehetetlenségi nomatéka a súlponti tengelre [mm 4 ] (8.) képlet a T τ (8.) zb alakban is használható, ahol z a belső erők karja (rugalmas állapotban) a I z S összefüggés szerint. (8.) képlet használata akkor előnös, ha például hengerelt szelvéneknél a z értéke számítás nélkül (pl. táblázatból) rendelkezésre áll. 85

90 8. Nírófeszültségek egszerű keresztmetszeteknél Ebben a részben bemutatjuk a nírófeszültségek meghatározását néhán jellegzetes keresztmetszet esetében. Téglalap (8. ábra) (8.) képlet alkalmazásához szükség van az tengelre vonatkozó tehetetlenségi nomaték és az elcsúszni akaró keresztmetszet-rész (vonalkázott rész a 8./a ábrán) statikai nomatékának értékére: h bh h h I és b S b ( h 4 ) 8 b T h h h S T h - + ( ) τ( ) z h τ a) b) 8. ábra. Téglalap keresztmetszet. a) a normál- és nírófeszültség ábrája, b) z a belső erők karja. nírófeszültséget jellemző függvén íg: b T ( h 4 ) 8 T ( h 4 ) τ ( ) bh bh b Ez eg másodfokú parabola (8./a ábra). két zérushele ±h/-nél (vagis a tartó tetején és alján) van. szélsőérték helét az első derivált T 8 T τ ( ) bh bh segítségével határozzuk meg. τ () 0 feltétel az 0-nál teljesül, íg a nírófeszültség maimumát az 0-nál (a keresztmetszet súlpontjának magasságában) találjuk. Értéke: τ Th τ 0) bh T bh ma ( T.5 képlet kismértékű átalakításával megkapjuk a fent már ismertetett (8.) összefüggést 8

91 τ ma T bh T hb T zb ahol z h a belső erők karja rugalmas állapotban (8./b ábra). áromszög (8.4 ábra) (8.) képlet alkalmazásához szükség van az tengelre vonatkozó tehetetlenségi nomaték és az elcsúszni akaró keresztmetszet-rész [alsó vonalkázott háromszög a (8.4) ábrán] statikai nomatékának értékére: bh h h b I és S b + + h h 9 b h h h S T b h - + ( ) h 0 τ τ ma τ( ) h h 8.4 ábra. áromszög keresztmetszet normál- és nírófeszültség ábrája. nírófeszültséget jellemző függvén értéke íg: b T h + h 9 T τ ( ) h + h bh bh 9 b Ez eg másodfokú parabola (8.4 ábra). két zérushel az egenletből: h h 9 0 h és h szélsőérték helét az első derivált segítségével határozzuk meg: 87

92 T τ ( ) 0 0 h bh h 0 ivel h h h + ez azt jelenti, hog a nírófeszültség maimuma a magasság felénél van. Értéke: τ T h h h T T τ ( 0) h. 5 + bh 9 bh ma nírófeszültség értéke a súlpontban: T τ s τ (0) h bh 9 egjegezzük, hog a keresztmetszet szélein a nírófeszültség irána megegezik a határoló vonal iránával, a szimmetriatengel vonalában pedig függőleges. keresztmetszet széle és a szimmetriatengel között a nírófeszültség irána a kettő között változik. Zsuravszkij-féle képlet a nírófeszültségek függőleges komponensét adja meg. T alakú keresztmetszet téglalap alakú keresztmetszetnél nert tapasztalatok alapján können megszerkeszthetjük a nírófeszültségek ábráját T alakú keresztmetszetek esetében is. Két esetet különböztetünk meg, annak megfelelően, hog a keresztmetszet súlpontja a bordában (8.5/a ábra) vag a lemezben (8.5/b ábra) helezkedik el. 8T bh a a S b b τ ma a a S b b τ ma τ τ a) τ ma a súlpontban b) τ ma a vállnál 8.5 ábra. T alakú keresztmetszet. a) súlpont a bordában, b) súlpont a lemezben. indkét esetben úg járunk el, hog a T alakú keresztmetszetet két részben kezeljük. ind a bordát, mind pedig a lemezt olan téglalappá egészítjük ki (szaggatott vonal a 8.5 ábrán), amelek esetében a T-keresztmetszet súlpontja a kiegészített téglalap súlpontja is. Ezután szaggatott vonallal megrajzoljuk a kiegészített téglalap alakú keresztmetszetek nírófeszültség ábráját. Íg két görbét kapunk. két görbéből úg kapjuk meg a végleges nírófeszültség ábrát, hog a ténleges keresztmetszet-résznek megfelelő görberészeket vesszük figelembe (vastag vonal a 8.5 ábrán). 88

93 z első esetben a nírófeszültség maimuma a súlpontban van (itt maimális az elcsúszni akaró keresztmetszet-rész statikai nomatéka és minimális a bordaszélesség). második esetben a súlpont magasságában a nírófeszültség ábrának lokális maimuma van, de itt a b szélesség nag, ezért az abszolút maimum a borda és a lemez találkozásához esik, ahol a b szélesség lénegesen kisebb. 8. Gakorlati alkalmazás éretezéskor a szokásos módon járunk el, vagis a méretezés Y Y alapegenletének alkalmazásával megköveteljük a τ τ (8.) feltétel teljesülését. következő feladatokban összetett hajlításnak kitett tartókat vizsgálunk. eghatározzuk a normálfeszültségeket és a nírófeszültségeket is.. a anagú konzoltartó Ellenőrizzük, hog megfelel-e a 8. ábrán vázolt tartó hajlításra és nírásra. Vizsgáljuk meg azt is, hog megfelel-e az öv és gerinc ragasztott kapcsolata. Rajzoljuk meg a feszültségábrákat is. tartó anagának határfeszültségei: 4 N/mm és τ.0 N/mm. ragasztó határfeszültsége: τ,rag. N/mm. keresztmetszet tehetetlenségi nomatéka: I 4. 0 mm 4 Ellenőrzés hajlításra [a (.7) összefüggés segítségével]: 0 0 szélső N/mm < 4 N/mm I 4. 0 tartó tehát megfelel hajlításra. 0 0 m 0 kn T 4 S T τ a) tartó és terhelése b) keresztmetszet és τ ábrával 8. ábra. Konzoltartó összetett hajlítása. 89

94 nírófeszültségek ábrájának meghatározásához a feszültségeket a 8./b ábrán bejelölt nég jellemző pontban határozzuk meg.. pont a gerinc és az öv találkozásához végtelen közel a csatlakozás fölött, a. pont pedig a csatlakozás alatt, a 4. pont a súlpont magasságában van. nírófeszültség értéke az. pontban zérus, mert a statikai nomaték értéke [a (8.) képletben] zérus. nírófeszültség értéke a. pontban: TS 0 0 [ ] τ 0.5 N/mm bi fenti képletben és a következő képletekben is, a könnebb megkülönböztethetőség érdekében az S értéke szögletes zárójelek között szerepel. nírófeszültség értéke a. pontban: TS 0 0 [ ] τ.5 N/mm bi nírófeszültség legnagobb értékét a súlpontban a 4. pont magasságában várjuk: TS 0 0 [ ] τ ma τ 4.74 N/mm bi Ez az érték kisebb, mint a határfeszültség (τ.0 N/mm ), íg a tartó nírásra is megfelel. ragasztott kapcsolat is megfelel, mert τ rag τ.5 N/mm < τ,rag. N/mm. cél anagú kéttámaszú tartó feladat eg méter fesztávolságú kéttámaszú tartó kialakítása 47 kn/m egenletesen megoszló terhelésre (8.7/a ábra). Rendelkezésre áll eg megfelelő hosszméretű I-00-as acél tartó. Ellenőrizzük, hog megfelel-e ez a tartó. z I-00-as acéltartó anagának határfeszültségei: 5 N/mm, p 0 N/mm és τ 5 N/mm. z I-00-as tartó adattáblázata szerint a belső erők karja z 57 mm, a gerincvastagság b 0.8 mm, a keresztmetszeti ténező W 5000 mm és a tehetetlenségi nomaték I 98 0 mm 4. q 47 kn/m -.9 T m B a) tartó és terhelése b) keresztmetszet -ábrával 8.7 ábra. Kéttámaszú I-tartó összetett hajlítása. 90

95 Bár a tartó nírásra megfelel τ T zb N/mm < 5 N/mm τ hajlításra nem: W min N/mm > 5 N/mm Erősítsük meg a tartót. Erre a célra rendelkezésre áll 0 mm vastagságú lemez, amelet szegecsek segítségével az alsó és felső övhöz erősítünk. Legen a rátett lemez szélessége 50 mm (8.8 ábra). rátett lemez hosszát úg állapítjuk meg, hog az nomatékábra mellett ábrázoljuk az nomatékábrát is (8.8/a ábra) és a tartót csak azon a szakaszon erősítjük meg, ahol szükséges. z nomatékábra konstans, hiszen az I-tartó nomatéki határteherbírása állandó és értéke W Nmm 5.5 knm z feltétel segítségével meghatározhatjuk annak a két pontnak a helzetét (l 0 és l 0 ), amelek között szükség van a megerősítésre (8.8/a ábra): ql0 l 0 ahol 4 kn a baloldali reakcióerő és q 47 kn/m a tartó terhe. behelettesítés után innen az 4l 47l l 0 l másodfokú egenletet kapjuk, amelnek két megoldása: megerősítés szükséges hossza tehát l 0.4 m és l m l 0 l m megerősítés hosszát alternatív megoldásként úg is megkaphatjuk, hog léptékheles ábrát rajzolunk (mint a 8.8/a ábrán) és lemérjük az és nomatékábrák két metszéspontja közötti távolságot. lemezeket Ø0 átmérőjű szegecsekkel erősítjük az alsó és felső övekhez (8.8/b ábra). szegecsek határfeszültségei: τ 0 N/mm és p 40 N/mm. Közelítő számítást fogunk végrehajtani, amel során nem vesszük figelembe a gengítések hatásait és bár a níróerő-ábra lineárisan változik, a szegecseket egenletesen osztjuk ki. 9

96 50 0 m B l 0.5 b) keresztmetszet l m.4 b 5 T 4 T.00 m l mm b 5 τ l 570 mm a) a megerősített tartó c) a τ-ábra térfogata 8.8 ábra. lemezzel megerősített I-tartó. megerősített keresztmetszet tehetetlenségi nomatéka: 50 0 I mm 4 mértékadó normálfeszültség értéke íg:.5 0 szélső N/mm I Ez az érték már kisebb a 5 N/mm határfeszültségnél, íg a tartó megfelel. ost már csak azt kell biztosítanunk, hog a szegecskötés megfelelő és valóban képes legen arra, hog az I-tartót és a rátett lemezt egüttdolgoztassa. z ehhez szükséges szegecsszám meghatározásával fejezzük be ezt a tervezési feladatot. z első lépésben meghatározzuk a níróerő értékét a megerősítés kezdőpontjában (8.8/a ábra): T.57 4 T 7. 8 kn Szükségünk lesz az elcsúszni akaró keresztmetszet-rész (vagis a lemez-keresztmetszet) statikai nomatékára a súlponti tengelre: 9

97 5 S mm nírófeszültség értéke az I-tartó tetején: 5 T S τ N/mm I b teljes csúsztatóerőt a τ-ábra térfogata adja (8.8/c ábra): E τ b l N Ez az érték a fél tartóra vonatkozik. Ezt az erőt kell felvenni szegecsekkel. Eg szegecs teherbírását a nírás és a palástnomás vizsgálata során kapott erők kisebbike adja meg. nírási határerő: palástnomási határerő: π T, n τ N 4 T N, p p Eg szegecs határereje tehát (a két erő közül a kisebbik) T 505 N. szükséges szegecsszám: T 7987 n 5. darab T 505 z erősítő lemezek rögzítéséhez ezek szerint övenként darab szegecset kell alkalmazni a.4 m hosszú megerősített tartószakaszon. (Csavarok alkalmazása esetén a vizsgálatot a fenti számítás szerint kell végrehajtani.) megerősítés számítását a 4. fejezetben bemutatott szilárdságtani elvek alkalmazásával hajtottuk végre. ténleges gakorlati számítás ettől apróbb részleteiben eltérő lehet, amikor is az éppen érvénben lévő szabvánelőírásoknak megfelelően szükségessé válhat módosító ténezők alkalmazása. 9

98 9 ajlított tartók rugalmas alakváltozása z első fejezetben (a Bevezetésben) többek között feltételeztük, hog a vizsgált szerkezeteink alakváltozása kicsin és eddigi vizsgálatainkat ennek megfelelően végeztük el, vagis az egensúli egenletek felírása során az alakváltozásoktól eltekintettünk. ontos tehát hog az alakváltozások nagságáról információt szerezzünk és biztosítsuk, hog azok valóban kicsinek, ellenkező esetben a levezetett összefüggések és az ismertetett eljárások érvénessége megkérdőjelezhető. z alakváltozások nagságának ismerete és korlátozása más szempontból is fontos: a szerkezetek túlnomó részben emberi körnezetben találhatók és az emberek általában kénelmetlenül érzik magukat, ha a teherhordó szerkezetek szemmel látható alakváltozásokat végeznek. z alakváltozások ismeretére más területeken is szükség lehet. Eddig csak statikailag határozott tartókkal foglalkoztunk, de a későbbi tanulmánaink során határozatlan tartók vizsgálata is feladatunkat képezi. Ezek a vizsgálatok széleskörű ismereteket követelnek meg, amelek között szerepel a tartók alakváltozásainak meghatározása is. ontos szerepet játszanak az alakváltozások akkor is, amikor összetett szerkezetek vizsgálata során bevezetjük és használjuk a merevség fogalmát. merevséget gakran a vizsgált szerkezet alakváltozásának (eltolódásának) reciprokaként definiáljuk. Továbbra is egenestengelű prizmatikus rudakkal foglalkozunk, ameleknek anaga homogén és izotróp. Szerkezeteink rugalmasan viselkednek és a ooke-törvén érvénes. Eddigi tanulmánaink alapján már tudjuk, hog a szerkezetek a hajlítási alakváltozás mellett nírási alakváltozást is végeznek/végezhetnek, de a nírási alakváltozásokat elhanagoljuk. Ezek a hajlítási alakváltozásoknál általában nagságrenddel kisebbek szoktak lenni. φ q z S 9. ábra. ajlított tartó alakváltozása. z alakváltozásokat általában az elmozdulásokkal az eltolódással és a φ elfordulással jellemezzük (9. ábra). Eltolódás a tartó tengelvonalának eg pontja és uganannak a pontnak az alakváltozás utáni helzete közötti távolság. Vízszintes helzetű tartók esetében az eltolódásokat lehajlásnak is nevezzük. Elfordulás az a szög, amelet az elfordult keresztmetszet síkja zár be az alakváltozás előtti síkjával. z eltolódásokat milliméterben vag centiméterben szokás megadni, míg az elfordulás mérésére a radiánt és a százalékot [%00 radián] is használjuk. z elfordulás megadása talán fokokban a legszemléletesebb [fok57. radián]. 94

99 z alakváltozások meghatározására a következőkben három módszert ismertetünk. vizsgálatot elvégezhetjük a rugalmas vonal differenciálegenletének felírásával és megoldásával, a ohr-módszer segítségével, illetve munkatételek alkalmazásával. 9. tartó meggörbült tengelvonalának differenciálegenlete Ez a legbonolultabb módszer. Elméletileg igen fontos viszont a jelenség mélebb megértése céljából. Gakorlatilag igen hasznos, mert zárt képletek vezethetők le egszerűbb kialakítású tartók esetében, amelek a gakorlati munka során lehetővé teszik a tartó igen egszerű és azonnali vizsgálatát. Tekintsük ismét a 9. ábrán vázolt hajlított tartót. Célunk a tartó meggörbült tengelvonalának meghatározása. Legen a tartó keresztmetszetének tehetetlenségi nomatéka I és a húzott szélsőszál távolsága a súlponttól f (9./a ábra). meggörbült tengelvonal meghatározása céljából összefüggést keresünk a tartón működő nomaték (9./b ábra) és az általa létrehozott alakváltozás között (9./c ábra). tartón működő nomaték hatására kialakul a keresztmetszet húzott és nomott öve: a 9. ábrán vázolt elrendezés esetében a semleges tengel felett nomás, alatta húzás keletkezik. Ennek következtében a tartó meggörbül és függőleges eltolódások keletkeznek. r dφ f S +d f dz dz λ ma a) b) c) 9. ábra. ajlított tartó alakváltozása. a) keresztmetszet, b) dz elemi szakasz alakváltozás előtt, c) dz elemi szakasz alakváltozás után. eltételezéseink szerint tartónk rugalmasan viselkedik és érvénes a ooke-törvén: Eε z egenlet jobboldalán szereplő ε fajlagos núlás helére behelettesíthető a 9./c ábra alapján az ε összefüggés. Ezt a fajlagos núlást a súlponttól f távolságra lévő szélsőszálban a λ dz I f 95

100 normálfeszültség okozza, amit pedig az egenlet baloldalára helettesíthetünk be. két helettesítéssel az I f λ E dz összefüggéshez jutunk. rúd görbülete a mérnöki számítások területén megfelelő pontossággal r sugarú körrel közelíthető (9./c ábra). Ezt hívjuk simulókörnek (9. ábra). 9./c ábra két hasonló körcikkét felhasználva azt találjuk, hog λ dz f r és íg a fenti egenlet az EI r alakot ölti. r z 9. ábra. Simulókör az eltolódásnál. atematikai tanulmánainkból ismeretes a simulókör sugarát definiáló r ( + ) kifejezés, ahol az eltolódás. eltételezéseink szerint az alakváltozások kicsinek és íg az mellett az is kicsin és íg érvénes, hog <<. Ebből az következik, hog élhetünk a ± ( + ) ± közelítéssel. igelembe véve azt, hog a 9. ábrán vázolt alulról domború görbület (amelet a pozitív nomaték okoz) definíció szerint negatív, a meggörbült tengelvonal differenciálegenlete a következő végleges alakban írható: (9.) EI z egenletben f(z) a meggörbült tengelvonal függvéne, g(z) a nomaték függvéne, E a tartó anagának rugalmassági ténezője és I a keresztmetszet tehetetlenségi nomatéka a hajlítás síkjára merőleges súlponti tengelre. hiános másodrendű differenciálegenlet általános megoldása kétszeres integrálással viszonlag egszerűen előállítható. 9

101 következőkben ezt mutatjuk be a 9.4 ábrán vázolt konzoltartó esetében. koordinátarendszert úg helezzük el, hog a vízszintes z tengel a rúd tengelén meg keresztül, a függőleges tengel pedig a konzol végén lévő koncentrált erő hatásvonala. koordinátarendszer kezdőpontja íg az erő támadáspontjával azonos. nomaték értéke z-nél -z, íg az általános alakú (9.) differenciálegenlet esetünkben az EI z alakot ölti. megoldáshoz két peremfeltételre van szükség. Ezek a következők: ) tartó eltolódása a befogás helén (z l-nél) zérus: ( l) 0 0 ) meggörbült tengelvonal érintője a befogásnál vízszintes: ( l) 0 φ z ma φ ma z l -z φ 9.4 ábra. Koncentrált erővel terhelt konzoltartó elfordulásai és eltolódásai. Integráljuk a differenciálegenletet egszer: l 0 z ( EI ) z dz EI + c c integrációs állandót a második peremfeltétel '(l) 0 segítségével állapíthatjuk meg: 0 l + c 0 l c Ezt visszahelettesítjük a differenciálegenletbe 97

102 l z EI ahonnan megkapjuk az elfordulások függvénét (9.4 ábra): ) ( ) ( l z EI z z ϕ aimális elfordulás a tartó végén (z 0-nál) jön létre: EI l (0) ma ϕ ϕ (9.) ég egszer integráljuk a differenciálegenletet: c z l z EI dz l z EI l c integrációs állandót az első peremfeltétel (l) 0 segítségével állapítjuk meg: 0 + c l l l c Ezt visszahelettesítve a differenciálegenletbe 0 + l z l z EI a függőleges eltolódások függvéne (a lehajlásfüggvén) már előállítható (9.4 ábra): + ) ( l z l z EI z (9.) aimális eltolódás a tartó végén (z 0-nál) jön létre: EI l (0) ma (9.4) asonló módon vizsgálható a 9.5/a ábrán látható, egenletesen megoszló erőkkel terhelt kéttámaszú tartó. maimális (támaszponti) elfordulásra a B EI ql 4 ma ϕ ϕ ϕ (9.5) a maimális eltolódásra pedig (a támasz közepén) az

103 5ql 4 ma (9.) 84EI értéket kapjuk. tartó maimális elmozdulásainak részletes meghatározása (munkatételekkel) a 9.5 pont 5. feladatánál található. q l B / l/ l/ B / l/ φ + φ φ B φ φ φ B φ φ + ma ma ma a) b) c) 9.5 ábra. Kéttámaszú tartó alakváltozása. a) megoszló teher hatására, b) koncentrált erő hatására, c) tartómodell a koncentrált erővel terhelt kéttámaszú tartóhoz. Némileg bonolultabb a helzet a 9.5/b ábrán vázolt, középen koncentrált erővel terhelt kéttámaszú tartó esetében. feladat látszólag uganolan egszerű mint a megoszló erőkkel terhelt tartó esetében, de az a tén hog a nomatékábra a középen lévő töréspont miatt nem jellemezhető egetlen függvénnel, hosszadalmasabbá teszi a differenciálegenlet felírását és megoldását. Egszerűbben jutunk a megoldáshoz, ha észrevesszük, hog a kéttámaszú tartó fele eg konzoltartóval (9.5/c ábra) modellezhető az alakváltozásszámításhoz és ennek a konzoltartónak már megvan a megoldása a (9.) és (9.4) képletek formájában. Nem kell mást tenni, csak /-t és l/-t helettesíteni az erő és a fesztáv helére és ezzel elő is állítottuk a kéttámaszú, középen koncentrált erővel terhelt tartó legnagobb elfordulását és eltolódását: és l l ma ϕ ϕ B EI EI l ϕ (9.7) EI l l ma EI EI l (9.8) 48EI megoldás igen egszerűen állítható elő Otto ohr módszerével is, amit a következő pontban mutatunk be. 99

104 9. z alakváltozások meghatározása Otto ohr módszerével ohr I. tétel és ohr II. tétel néven Otto ohr 88-ban ismertette két eljárását, amelek segítségével meghatározhatjuk hajlított tartók elfordulását és eltolódását. Ebben a pontban ezek módosított változatát ismertetjük. Korábbi tanulmánaink a határozott tartók vizsgálata során azt láttuk, hog kapcsolat van a teher, a níróerő és a nomaték között. egállapítottuk, hog a 9. ábrán vázolt, tetszőleges megoszlású teherrel terhelt tartó esetében érvénesek a összefüggések. dt dz d q és T dz. q(z) z φ T T qdz qdzdz φ + + ϕ dz EI dzdz EI 9. ábra. Összefüggés a teher, a níróerő, a nomaték, az elfordulás és az eltolódás között. elírható tehát, hog a níróerő és a nomaték közvetlenül meghatározható a teher segítségével qdz T és Tdz qdzdz Integrálva a meggörbült tengelvonal (9.) differenciálegenletét egszer, majd még egszer, felírható az elfordulásra, majd az eltolódásra vonatkozó EI ϕ dz és dzdz EI (9.9) összefüggés. megfelelő összefüggések (T φ és ) összehasonlítása azt mutatja, hog ha az /EI menniséget tehernek tekintjük, akkor az elfordulások és eltolódások a tartón uganúg számíthatók ki, mint a níróerők és nomatékok. (z /EI menniséget redukált nomatéknak és helettesítő tehernek is szokás nevezni.) z analógia akkor teljes, ha a peremfeltételek azonosak. Ez az eset áll fenn a kéttámaszú 00

105 tartó esetében, ahol a nomatékok is és az eltolódások is a támaszoknál zérus értékűek. Íg a számítást ekkor az eredeti tartón hajtjuk végre. Konzoltartók esetében a peremfeltételek fordítottak : a nomaték értéke a tartó szabad végén, az eltolódás értéke a befogásnál zérus. számítást ekkor eg fordított tartón az ún. helettesítő tartón kell végrehajtani, amelnek a szabad vége ott van ahol az eredeti tartó befogása és a befogott vége az eredeti tartó szabad végénél van. Konzolos kéttámaszú tartó esetében a helettesítő tartót úg kapjuk, hog kombináljuk a kéttámaszú és a konzoltartó helettesítő tartóit: a konzolos végnél lesz a befogás és a konzol melletti támasznál Gerber-csuklót helezünk el. helettesítő tartókat a 9.7 ábrán vázoljuk. vizsgált tartó és terhelése: l/ l/ l l k l 4 l k l 4EI a) kéttámaszú tartó l EI elettesítő tartó és teher: k EI b) konzoltartó c) kéttámaszú konzolos tartó Gerber-tartó 9.7 ábra. elettesítő tartó és teher a ohr-módszer alkalmazásához. z eljárás tehát a következő: ) elettesítő tartót képezünk (9.7 ábra) ) z eredeti tartó EI-vel redukált nomatékábráját képzelt (helettesítő) terhelésként a helettesítő tartóra helezzük ) eghatározzuk a helettesítő tartó níróerőit és nomatékait, amelek megegeznek az eredeti tartó bármel pontjában az elfordulás és eltolódás értékeivel entiek illusztrálása céljából határozzuk meg a középen koncentrált erővel terhelt kéttámaszú tartó legnagobb elfordulását és eltolódását (9.8/a ábra). Legen a tartó anagának rugalmassági ténezője E és a keresztmetszet tehetetlenségi nomatéka I. tartó nomatékábráját (9.8/b ábra) az EI-vel történt redukálás után teherként rátesszük a helettesítő tartóra (9.8/c ábra), ami a kéttámaszú tartó esetében megegezik az eredeti tartóval. níróerő-ábra megegezik a tartó elfordulásábrájával (9.8/d ábra), a nomatékábra pedig az eltolódások ábráját adja (9.8/e ábra). z ábrák megszerkesztéséhez szükségünk van a reakcióerőkre (amelek azonosak a támaszponti elfordulásokkal). Ezek egben a tartó maimális elfordulásai. szimmetrikus elrendezés miatt a két reakció a külső teher fele: ϕ ϕ ϕ l l 4EI ma B l EI 0

106 z eltolódási ábra előállítása a nomatékszámítás lépéseit követi. Legnagobb eltolódás a tartó közepén jön létre, ezért itt számítjuk ki a középponttól balra lévő erők nomatékát : l l l l l l ϕ ϑ EI EI ma l 48EI a) l B b) c) l 4 l 4EI l l ϑ ϑ 4EI l EI φ ϑ ϑ φ B d) φ + φ φ B e) + ma 9.8 ábra. Kéttámaszú tartó maimális elmozdulásai a ohr-módszer alkalmazásával. Végül bemutatjuk a munkatételek alkalmazására épülő módszert, amel tetszőleges megtámasztású tartók esetében is jól használható az alakváltozások értékének meghatározására a tartó eg adott pontjában. 9. z alakváltozások meghatározása munkatételek segítségével gakorlati számítások során meglehetősen nag munkát jelentene a meggörbült tengelvonal differenciálegenletének felírása és megoldása és a gakorlati esetek többségében nincs is szükség a teljes eltolódás-, illetve elfordulás-függvénre. Rendszerint elegendő a maimális értékeket meghatározni, amelek hele általában ismert. Kéttámaszú tartók és konzoltartók esetében a ohr-módszer segítségével können meghatározhatjuk maimális alakváltozásokat, de összetettebb tartók esetében az eljárás nehézkessé válik. Általános érvénű módszerhez jutunk, ha a szilárdságtan munkatételeit használjuk fel az elfordulások és eltolódások meghatározására. z energia-megmaradás elvét felhasználó és a külső és belső munka egenlőségére épülő módszer elméleti háttere szerteágazó ismereteket követel, amelek tárgalása meghaladja e jegzet kereteit, íg csak a végeredméneket ismertetjük, amelek elegendően egszerűek a biztonságos gakorlati felhasználáshoz. Egenestengelű, prizmatikus rudakat vizsgálunk, ameleknél E a tartó anagának rugalmassági ténezője és I a keresztmetszet tehetetlenségi nomatéka. tartó elfordulását eg adott pontban a 0

107 l ϕ dz (9.0) P Q, ϕ EI 0 összefüggés segítségével határozhatjuk meg, ahol P Q,φ az adott külső teherből keletkező nomatékfüggvén és a vizsgált helre beiktatott egségni, virtuális (képzelt), dimenziótlan nomatékból keletkező nomatékfüggvén tartó eltolódását eg adott pontban az EI l 0 P Q, dz (9.) összefüggés segítségével határozhatjuk meg, ahol P Q, az adott külső teherből keletkező nomatékfüggvén (mint az elfordulás-számításnál) a vizsgált helre beiktatott egségni, virtuális (képzelt), dimenziótlan erőből keletkező nomatékfüggvén (9.0) és (9.) képletek jobboldalán szereplő szorzatintegrálok a gakorlati esetek túlnomó részében jelentősen egszerűsödnek és terület- és súlpontszámítást kell csak végrehajtani. z egszerűsödések mértéke az P és Q függvének jellegétől függ, az alábbi három lehetőség, illetve szabál szerint: ) indkét nomatékábra lineáris Ekkor vesszük az egik ábra területét mindeg, hog meliket és megszorozzuk a másik ábrának azzal az ordinátájával, amelik e terület súlponti abszcisszájához tartozik. ) z egik nomatékábra lineáris, a másik ábra nemlineáris Ekkor a nemlineáris ábra területét kell venni és megszorozni a másik (lineáris) ábrának azzal az ordinátájával, amelik e terület súlponti abszcisszájához tartozik. ) Egik nomatékábra sem lineáris, de legalább az egik lineáris szakaszokra osztható föl Ekkor a tartót a teljes hossza mentén szakaszokra bontjuk fel, úg, hog legalább az egik ábra lineáris szakaszokból álljon. Ezután szakaszonként a. pont vag az. pont szerint járunk el és az értékeket a tartó teljes hossza mentén összegezzük.. pont szerint kell eljárni akkor is, amikor az egik nomatékfüggvén a tartó hossza mentén előjelet vált. szakaszokra bontás célja ekkor az, hog ne maradjon olan szakasz amelen belül a nomatékfüggvén előjelet vált. mikor azt vizsgáljuk, hog a nomatékábra lineáris-e, akkor mindig a teljes nomatékábrát kell figelembe venni, vagis a tartó teljes hossza mentén kell a nomatéki értékeket tekinteni, beleértve az esetlegesen zérus értékeket tartalmazó szakaszokat is. Összetett terhelésű tartók esetében célszerű lehet a terheket egenként kezelni. tartó elmozdulását az eges alesetek elmozdulásainak összegzésével kapjuk meg. z elmozdulás előjele a legtöbb esetben nilvánvaló és íg célszerű előre eldönteni. vizsgált helre beiktatott virtuális erőt/nomatékot célszerű az elmozdulás várható iránával egezően beiktatni. a az előjelet nem tudjuk előre eldönteni például azért, mert az P nomatékábra előjelet vált akkor szigorúan figelemmel kell lenni a területek és ordináták előjelét illetően, és a következő előjelszabált alkalmazzuk: ha az elmozdulást pozitív előjellel kapjuk meg, akkor az illető elmozdulás irána megegezik a vizsgált helre beiktatott virtuális erő/nomaték iránával. a a számított elmozdulás előjele negatív, akkor a ténleges elmozdulás irána a beiktatott virtuális erő/nomaték iránával ellentétes. 0

108 számítás során a területeket és ordinátákat előjeles menniségként kell kezelni! Rácsos tartók esetében a tartó eltolódását az n S P, i S E Q, i i s i (9.) képlet felhasználásával számíthatjuk ki, ahol S P,i S Q,i i s i E az adott külső teherből keletkező rúderő az i-edik rácsrúdban a vizsgált helen működtetett egségni, virtuális (képzelt), dimenziótlan erőből keletkező rúderő az i-edik rácsrúdban az i-edik rácsrúd keresztmetszeti területe az i-edik rácsrúd hossza a tartó anagának rugalmassági ténezője vizsgált helen működtetett egségni, virtuális (képzelt), dimenziótlan erőt/nomatékot a megkülönböztetés céljából szaggatott vonallal szokás ábrázolni. 9.4 erevségi követelmének fejezet első bekezdésében összefoglaltuk az alakváltozások meghatározásának és korlátozásának fontosságát. korlátozásokat úg szokás érvénesíteni, hog a szabvánokban merevségi követelmének megnevezéssel határértékeket adnak meg. Bár ezeket a határértékeket minden esetben az éppen aktuális szabvánok alapján kell megkeresni és érvénesíteni, és ezek időről időre változhatnak, a mérnöki érzék fejlesztése érdekében az alábbi 9. táblázatban megadunk néhán jellegzetes esetre olan határértékeket, amelek ökölszabálok formájában hosszú idők alatt váltak ismertté és elfogadottá a tervezési gakorlatban. Szerkezet/épület jellege 9. táblázat. erevségi követelmének: elmozdulások javasolt határértékei. általában mérsékeltebb igénszint esetén Elfordulás (00 radián %).5%.5% Lehajlás l l l/00 l/50 l/00 l/75 Tetőponti vízszintes eltolódás (épületnél) /500 04

109 9.5 Gakorlati alkalmazás z alakváltozás-számítás fontosságát aláhúzva, ebben az alfejezetben azt mutatjuk be nolc feladat segítségével, hog a munkatételek alkalmazásával hogan határozhatjuk meg különböző geometriai elrendezésű, megtámasztású és terhelésű tartók adott pontban keletkező eltolódását és elfordulását. z EI értéke minden feladatnál adott. tartók feltételezett eltolódásábráját minden esetben megrajzoljuk (szaggatott vonallal). ) Konzoltartó maimális elmozdulásai atározzuk meg a 9.9/a ábrán vázolt konzoltartó legnagobb eltolódását és elfordulását. maimális eltolódás (lefelé) és a maimális elfordulás (az óramutató járásával ellentétes iránban) egaránt a konzoltartó végpontjánál keletkezik. z első lépés az adott külső teherből keletkező P nomatékábra megrajzolása (9.9/b ábra). tartóvég eltolódásának meghatározása céljából ezután működtessünk a tartó végén eg egségni virtuális erőt az eltolódás iránában (9.9/c ábra) és rajzoljuk meg az ehhez tartozó Q, nomatékábrát (9.9/d ábra). (9.) képlet tanúsága szerint erre a két nomatékábrára van szükségünk a tartóvég függőleges eltolódásának meghatározásához. ivel mindkét ábra lineáris, az. szabálnak megfelelően járunk el, amel szerint akármelik ábra területét vehetjük, amit a másik ábrán mért megfelelő ordinátával kell szorozni (és EI-vel elosztani). z P nomatékábra területét vesszük és megszorozzuk az ábra súlpontja alatti és az Q, nomatékábrán mért ordinátával: l l l l l P Q dz EI, [ ] EI EI 0 a) EI adott ma φ ma l b) l P c) d) l Q, e) f) Q,φ 9.9 ábra. Konzoltartó maimális elmozdulásai. tartóvég elfordulásának meghatározása céljából működtessünk a tartó végén eg 05

110 egségni virtuális nomatékot a keletkező elfordulás forgatóértelmével egezően (9.9/e ábra) és rajzoljuk meg az ehhez tartozó Q,φ nomatékábrát (9.9/f ábra). (9.0) képlet tanúsága szerint az P és Q,φ nomatékábrákra van szükségünk a tartóvég elfordulásának meghatározásához. ivel ismét mindkét ábra lineáris, ismét az. szabálnak megfelelően járunk el, amel szerint akármelik ábra területét vehetjük, amit a másik ábrán mért megfelelő ordinátával kell szorozni (és EI-vel elosztani). z P nomatékábra területét vesszük és megszorozzuk az ábra súlpontja alatti és az Q,φ nomatékábrán mért ordinátával: l l l l ϕ P Q dz EI, ϕ [ ] EI EI 0 ) Konzolos kéttámaszú tartó eltolódásai atározzuk meg a 9.0/a ábrán vázolt, koncentrált nomatékkal terhelt kéttámaszú konzolos tartó függőleges eltolódását a C és D pontban. a) l/ C C l/ B k D D EI adott b) c) + / P d) + l 4 Q, e) f) k Q, ábra. Koncentrált nomatékkal terhelt konzolos kéttámaszú tartó eltolódásai. Szemléletből megállapítható, hog az adott külső terhelés hatására a C pont felfelé, a D pont pedig lefelé tolódik el. indkét eltolódás meghatározásához szükségünk van az adott külső teher okozta P nomatékábrára (9.0/b ábra). C pontban bekövetkező függőleges eltolódás meghatározásához a C pontban működtetni kell eg egségni függőleges virtuális erőt (9.0/c ábra). z ennek hatására keletkező Q, nomatékábrát a 9.0/d ábrán találjuk. C pont eltolódásának meghatározásához az P és az Q, nomatékábrákra van szükség. indkét nomatékábra nemlineáris, tehát a. szabált kell alkalmazni. harmadik szabál szerint a nomatékábrákat szakaszokra bontjuk, úg, hog legalább az egik ábra lineáris szakaszokból álljon. Esetünkben a B támasz egenesében állapítunk meg szakaszhatárt. Ekkor az P nomatékábra két lineáris szakaszból áll, míg az Q, nomatékábra baloldali szakasza nemlineáris, a jobb oldali része pedig zérus nomatékértékeket tartalmaz. Ezek szerint a 0

111 területeket az Q, nomatékábra segítségével kell megállapítani, az ordinátákat pedig az P nomatékábráról vesszük. jobboldali zérus értékek miatt egetlen terület és egetlen ordináta kerül be a számításba: C l l l l P Q dz EI, [ ] EI 4 EI 0 negatív előjel arra figelmeztet, hog az eltolódás nem lefelé (a virtuális erővel azonos iránban) történik, hanem felfelé. (De ezt már a számítás elején eldöntöttük.) D pont függőleges eltolódásának meghatározásához a D pontban kell működtetni eg egségni függőleges virtuális erőt (9.0/e ábra). z ennek hatására keletkező Q, nomatékábrát a 9.0/f ábrán találjuk. D pont eltolódásának meghatározásához az P és erre az Q, nomatékábrákra van szükség. indkét nomatékábra nemlineáris, tehát a. szabált kell alkalmazni. harmadik szabál szerint a nomatékábrákat szakaszokra bontjuk, úg, hog legalább az egik ábra lineáris szakaszokból álljon. Esetünkben a B támasz egenesében állapítunk meg szakaszhatárt. Ekkor az P nomatékábra is és az Q, nomatékábra is két lineáris szakaszból áll. Ezek szerint bármelik ábrát felhasználhatjuk a területek kiszámításához. Válasszuk az Q, nomatékábrát (9.0/f ábra) a területszámításhoz, az ordinátákat pedig az P nomatékábráról vesszük: l lk k k lk k + + D P Q, dz EI EI EI [ ] 0 ) Konzolos kéttámaszú tartó konzolvégi elmozdulásai atározzuk meg a 9./a ábrán vázolt kéttámaszú konzolos tartó konzolos C jelű végének függőleges eltolódását és elfordulását. φ C a) l/ l/ l/ B k C C EI adott b) c) + l P d) + / Q,φ e) f) k/ k Q, + 9. ábra. Koncentrált erőkkel terhelt konzolos kéttámaszú tartó végponti elmozdulásai. 07

112 Szemléletből megállapítható, hog az adott külső terhelés hatására a C pont felfelé tolódik el, az elfordulása pedig az óramutató járásával ellentétes. indkét elmozdulás meghatározásához szükségünk van a külső teher okozta P nomatékábrára (9./b ábra). C pontban bekövetkező elfordulás meghatározásához a C pontban működtetni kell eg egségni virtuális nomatékot (9./c ábra). z ennek hatására keletkező Q,φ nomatékábrát a 9./d ábrán találjuk. C pont elfordulásának meghatározásához az P és az Q,φ nomatékábrákra van szükség. indkét nomatékábra nemlineáris, tehát a. szabált kell alkalmazni. harmadik szabál szerint a nomatékábrákat szakaszokra bontjuk, úg, hog legalább az egik ábra lineáris szakaszokból álljon. Esetünkben a B támasz egenesében állapítunk meg szakaszhatárt. Ekkor az Q,φ nomatékábra két lineáris szakaszból áll, míg az P nomatékábra baloldali szakasza nemlineáris, a jobb oldali része pedig zérus nomatékértékeket tartalmaz. Ezek szerint a területeket jelen esetben eg területet az P nomatékábra segítségével kell megállapítani, az ordinátákat jelen esetben eg ordinátát pedig az Q,φ nomatékábráról vesszük. jobboldali zérus értékek miatt íg egetlen terület és egetlen ordináta kerül be a számításba: l l l l ϕ P Q dz EI, ϕ [ ] EI 9EI 0 negatív előjel arra figelmeztet, hog az elfordulás nem az óramutató járásával egező iránban történik (ahogan a virtuális nomatékot működtettük), hanem az ellenkező iránban. (De ezt már a számítás elején eldöntöttük.) C pontban bekövetkező függőleges eltolódás meghatározásához a C pontban működtetni kell eg egségni függőleges virtuális erőt (9./e ábra). z ennek hatására keletkező Q, nomatékábrát a 9./f ábrán találjuk. C pont eltolódásának meghatározásához az P és az Q, nomatékábrákra van szükség. indkét nomatékábra nemlineáris, tehát a. szabált kell alkalmazni. harmadik szabál szerint a nomatékábrákat szakaszokra bontjuk, úg, hog legalább az egik ábra lineáris szakaszokból álljon. Esetünkben a B támasz egenesében állapítunk meg szakaszhatárt. Ekkor az P nomatékábra baloldali szakasza nemlineáris, a jobboldali része pedig zérus nomatékértékeket tartalmaz, míg az Q, nomatékábra két lineáris szakaszból áll. Ezek szerint a területeket az P nomatékábra segítségével kell megállapítani, az ordinátákat pedig az Q, nomatékábráról vesszük. jobboldali zérus értékek miatt egetlen terület és egetlen ordináta kerül be a számításba: C l l l k l k P Q dz EI, [ ] EI 9EI 0 negatív előjel arra figelmeztet, hog az eltolódás nem lefelé történik ahogan a virtuális erőt beiktattuk hanem az ellenkező iránban, felfelé. (De ezt már a számítás elején eldöntöttük.) 4) Koncentrált erővel terhelt konzolos kéttámaszú tartó konzolvégi eltolódása atározzuk meg a 9./a ábrán vázolt tartó C konzolvégének függőleges eltolódását. terhelő erő hatására keletkező P nomatékábra a 9./b ábrán látható. C pont eltolódásának meghatározása céljából a C ponton működtetnünk kell eg virtuális egségerőt (9./c ábra). z ehhez a terheléshez tartozó Q, nomatékábrát a 9./d ábra tartalmazza. C pont eltolódásának meghatározásához az P és az Q, nomatékábrákra van szükség. indkét nomatékábra nemlineáris, tehát a. szabált kell alkalmazni. harmadik 08

113 szabál szerint a nomatékábrákat szakaszokra bontjuk, úg, hog legalább az egik ábra lineáris szakaszokból álljon. Esetünkben az támasz egenesében állapítunk meg szakaszhatárt. Ekkor az P nomatékábra is és az Q, nomatékábra is két lineáris szakaszból áll. Ezek szerint bármelik ábrát felhasználhatjuk a területek kiszámításához. Válasszuk az P nomatékábrát (9./b ábra) a területszámításhoz, az ordinátákat pedig az Q, nomatékábráról vesszük: l k k k k l k k P Q dz + ( k l) EI, [ ] EI EI C + 0 a) C φ C C k l B EI adott b) + k P c) d) + k Q, 9. ábra. Koncentrált erővel terhelt konzolos kéttámaszú tartó konzolvégi eltolódása. 5) Egenletesen megoszló teherrel terhelt kéttámaszú tartó maimális elmozdulásai atározzuk meg a 9./a ábrán vázolt q intenzitású egenletesen megoszló teherrel terhelt kéttámaszú tartó legnagobb lehajlását és elfordulását. külső terhelés hatására keletkező P nomatékábra a 9./b ábrán látható. Erre a nomatékábrára mindkét számítás során szükség lesz. tartó legnagobb függőleges eltolódása a támaszköz közepén jön létre, íg ott eg függőleges virtuális egségerőt működtetünk (9./c ábra). z ehhez a terheléshez tartozó Q, nomatékábrát a 9./d ábra tartalmazza. függőleges eltolódást az P és Q, nomatékábrák segítségével határozzuk meg. indkét ábra nemlineáris, tehát a. szabált kell alkalmazni. harmadik szabál szerint a nomatékábrákat szakaszokra bontjuk, úg, hog legalább az egik ábra lineáris szakaszokból álljon. Esetünkben a tartó középpontjának egenesében állapítunk meg szakaszhatárt. Ekkor az P nomatékábra két része továbbra is nemlineáris, de az Q, nomatékábra két lineáris szakaszból áll. Ezek szerint a területeket az P nomatékábra segítségével kell megállapítani, az ordinátákat pedig az Q, nomatékábráról vesszük. maimális függőleges eltolódás íg: ma l 4 ql l l 5 5 ql P Q, dz EI [ ] EI EI 0 09

114 a) b) φ ma l ma l 8 ql 8 l 5 8 B q EI adott P c) d) e) l 4 l Q, f) Q,φ 9. ábra. Egenletesen megoszló teherrel terhelt kéttámaszú tartó maimális elmozdulásai. tartó legnagobb elfordulása a két támasznál jön létre. Tekintsük az támaszt és iktassunk be ide eg egségni virtuális nomatékot (9./e ábra). z ennek hatására keletkező Q,φ nomatékábrát a 9./f ábrán találjuk. legnagobb elfordulást az P és Q,φ nomatékábrák segítségével határozzuk meg. z P függvén nemlineáris, az Q,φ függvén pedig lineáris, tehát a. szabál szerint kell eljárni. Ezek szerint a területet az P, az ordinátát pedig az Q,φ nomatékábra felhasználásával számítjuk ki. z elfordulás íg: l ql l ql ϕ ma P Q dz EI, ϕ [ ] EI 8 4EI 0 ) Koncentrált nomatékokkal terhelt kéttámaszú tartó elmozdulásai atározzuk meg a 9.4/a ábrán vázolt koncentrált végnomatékokkal terhelt tartó k középpontjának függőleges eltolódását és az támasz elfordulását. két koncentrált nomaték hatására keletkező P nomatékábra a 9.4/b ábrán látható. Erre a nomatékábrára mindkét számítás során szükség lesz. k pont függőleges eltolódásának meghatározása céljából a k pontban a támaszköz közepén eg függőleges virtuális egségerőt működtetünk (9.4/c ábra). z ehhez a terheléshez tartozó Q, nomatékábrát a 9.4/d ábra tartalmazza. függőleges eltolódást az P és Q, nomatékábrák segítségével határozzuk meg. Bár csak az egik ábra ( Q, ) nemlineáris, mégis a. szabált kell alkalmazni, mert a másik függvén ( P ) előjelet vált. harmadik szabál szerint a nomatékábrákat szakaszokra bontjuk, úg, hog legalább az egik ábra lineáris szakaszokból álljon és ne legen olan szakasz ahol az ábra előjelet vált. Esetünkben a tartó középpontjának egenesében állapítunk meg szakaszhatárt. Ekkor mindkét ábra lineáris szakaszokból áll és egik szakasznál sincs előjelváltás. kármelik ábrát választhatjuk a területszámításra. Válasszuk az P nomatékábrát a területszámításra és 0

115 vegük az ordinátákat az Q, nomatékábráról. területek és ordináták előjelét is figelembe véve a függőleges eltolódás íg: k EI l 0 P l l l dz + EI Q, 0 Ezt az eredmént természetesen már az alakheles tartóalak megrajzolásakor is tudtuk. φ a) k EI adott b) + l l B P c) d) e) f) + + l 4 l 4 5 Q, Q,φ 9.4 ábra. Két koncentrált nomatékkal terhelt kéttámaszú tartó elmozdulásai. z támasznál keletkező elfordulás meghatározása céljából az támasznál kell eg egségni virtuális nomatékot működtetni (9.4/e ábra). z ennek hatására keletkező Q,φ nomatékábrát a 9.4/f ábrán találjuk. legnagobb elfordulást az P és Q,φ nomatékábrák segítségével határozzuk meg. Bár mindkét ábra lineáris, mégis a. szabált kell alkalmazni, mert az P függvén előjelet vált. Ismét a tartó középpontjának egenesében állapítjuk meg a szakaszhatárt. Ekkor mindkét ábra lineáris szakaszokból áll és egik szakasznál sincs előjelváltás. z P nomatékábrát választjuk a területszámításra és az ordinátákat az Q, nomatékábráról vesszük. területek és ordináták előjelét is figelembe véve az elfordulás íg: l l 5 l l ϕ P Q dz EI, ϕ EI + [ ] EI 0 7) Gerber-tartó elmozdulásai atározzuk meg a 9.5/a ábrán vázolt, középen egetlen koncentrált erővel terhelt Gerbertartó legnagobb felhajlását és a D támasz elfordulását. külső teher hatására keletkező P nomatékábra a 9.5/b ábrán látható. Erre a nomatékábrára mindkét számítás során szükség lesz. z alakheles eltolódásábra (9.5/a

116 ábra) tanúsága szerint a tartó függőleges eltolódásai az B és CD szakaszokon felfelé, míg a BC szakaszon lefelé jönnek létre. legnagobb felemelkedés pontos helét nem tudjuk, de jó közelítő értéket kapunk, ha a függőleges eltolódás értékét a két szomszédos megtámasztás között félúton számítjuk ki. E célból az B támaszköz közepén eg függőleges virtuális egségerőt működtetünk (9.5/c ábra). z ehhez a terheléshez tartozó Q, nomatékábrát a 9.5/d ábra tartalmazza. függőleges eltolódást az P és Q, nomatékábrák segítségével határozzuk meg. indkét nomatékábra nemlineáris.. szabált kell tehát alkalmazni. harmadik szabál szerint a nomatékábrákat szakaszokra bontjuk, úg, hog legalább az egik ábra lineáris szakaszokból álljon. Esetünkben a B támasz függőlegesében állapítunk meg szakaszhatárt. ivel az Q, nomatékábra a B támasztól jobbra csak zérus értékeket tartalmaz, csak az B szakasszal kell foglalkozni. Ekkor Q, nomatékábra az B szakaszon továbbra is nemlineáris, de az P nomatékábra ezen a szakaszon lineáris. Ezek szerint a területet az Q, nomatékábra segítségével kell megállapítani, az ordinátát pedig az P nomatékábráról vesszük. függőleges eltolódás az B szakasz közepén íg: l l l l l P Q dz EI, [ ] EI 4 9EI 0 negatív előjel azt jelzi, hog a függőleges eltolódás nem a virtuális erő iránában, lefelé jön létre, hanem az ellenkező iránban, vagis felfelé. De ezt már a számítás megkezdésekor megállapítottuk az alakheles eltolódásábra segítségével. a) B C φ D D EI adott b) + l 4 l l/ l l/ l/ l l l P c) d) e) + l 4 Q, f) + Q,φ 9.5 ábra. Gerber-tartó elmozdulásai. Gerber-tartó D támaszánál bekövetkező elfordulás meghatározása céljából iktassunk be ide eg egségni virtuális nomatékot (9.5/e ábra). z ennek hatására keletkező Q,φ nomatékábrát a 9.5/f ábrán találjuk. legnagobb elfordulást az P és Q,φ nomatékábrák segítségével határozzuk meg. indkét nomatékábra nemlineáris, íg a. szabált kell alkalmazni. harmadik szabál szerint a nomatékábrákat szakaszokra bontjuk, úg, hog legalább az egik ábra lineáris szakaszokból álljon. Esetünkben a C támasz függőlegesében állapítunk meg szakaszhatárt. ivel az Q,φ nomatékábra a C támasztól

117 balra csak zérus értékeket tartalmaz, csak a CD szakasszal kell foglalkozni. Ezen a szakaszon mindkét ábra lineáris, tehát a területet akármelik ábráról vehetjük. Vegük a területet az Q,φ ábráról és a hozzá a súlpontjához tartozó ordinátát az P ábráról. z elfordulás a D pontnál íg: l l l l ϕ D P Q dz EI, ϕ [ ] EI 7EI 0 8) Törttengelű tartó elmozdulásai atározzuk meg a 9./a ábrán vázolt, egetlen függőleges erővel terhelt, törttengelű tartó C pontjának elmozdulásait. tartó anagának E rugalmassági ténezője és a keresztmetszet I tehetetlenségi nomatéka adott. 9./a ábrán szaggatott vonallal megrajzolt feltételezett alakheles alakváltozási ábra tanúsága szerint a C pont függőlegesen lefelé és balra eltolódik és el is fordul. z elfordulás az óramutató járásával egező. z elmozdulások meghatározása céljából ilen iránú egségni virtuális erőket (és nomatékot) fogunk működtetni a C pontban és ha az elmozdulások iránát helesen állapítottuk meg, akkor a számítások végén az elmozdulásokat pozitív előjellel fogjuk megkapni. z koncentrált erő hatására keletkező P nomatékábrát a 9./b ábrán találjuk. Erre a nomatékábrára mindhárom számításhoz szükség lesz. l l B C φ C C B C B C B C C a) c) e) g) l l l l P l l Q, l Q, Q,φ b) d) f) h) 9. ábra. Törttengelű tartó elmozdulásai. C pont függőleges eltolódásának meghatározása céljából a C pontban eg függőleges virtuális egségerőt működtetünk (9./c ábra). z ehhez a terheléshez tartozó Q, nomatékábrát a 9./d ábra tartalmazza. függőleges eltolódást az P és Q, nomatékábrák segítségével határozzuk meg. indkét ábra nemlineáris, tehát a. szabált kell alkalmazni. (Törttengelű tartók esetében célszerű képzeletben kiteríteni a tartót, jelen esetben úg, hog a B pontnál a vízszintes BC tartórészt lehajlítjuk függőlegesre és íg egetlen BC függőleges tartót kell nézni. Ekkor talán feltűnőbb, hog mindkét

118 nomatékábra a B pontnál törésponttal rendelkezik, vagis nemlineáris.) harmadik szabál szerint a nomatékábrákat szakaszokra bontjuk, úg, hog legalább az egik ábra lineáris szakaszokból álljon. Esetünkben a B pontban állapítunk meg szakaszhatárt. Ekkor mindkét ábra eg-eg lineáris szakaszból áll. Ezek szerint bármelik ábrát felhasználhatjuk a területek kiszámításához. Válasszuk az P nomatékábrát (9./b ábra) a területszámításhoz, az ordinátákat pedig az Q, nomatékábráról (9./d ábra) vesszük. függőleges eltolódás íg: C l l l l 4l P Q dz l l l EI, + [ ] EI EI 0 C pont vízszintes eltolódásának meghatározása céljából a C pontban eg vízszintes virtuális egségerőt működtetünk (9./e ábra). z ehhez a terheléshez tartozó Q, nomatékábrát a 9./f ábra tartalmazza. vízszintes eltolódást az P és Q, nomatékábrák segítségével határozzuk meg. indkét ábra nemlineáris, tehát a. szabált kell alkalmazni. (a a törttengelű tartót függőleges helzetbe terítjük ki, akkor most is jobban látszik a nemlineáris jelleg a B pontnál mutatkozó törésponttal.) harmadik szabál szerint a nomatékábrákat szakaszokra bontjuk, úg, hog legalább az egik ábra lineáris szakaszokból álljon. Esetünkben a B töréspontban állapítunk meg szakaszhatárt. Ekkor az Q, nomatékábra BC szakaszán csak zérus értékek vannak, íg ez az ábraszakasz kiesik, az B szakasz pedig mindkét ábra esetében lineáris. Ezek szerint bármelik ábrát felhasználhatjuk a terület kiszámításához. Válasszuk az P nomatékábrát (9./b ábra) a területszámításhoz, az ordinátát pedig az Q, nomatékábráról (9./f ábra) vesszük. vízszintes eltolódás íg: C l l l P Q dz l l EI, [ ] EI EI 0 C pont elfordulásának meghatározása céljából a C pontban eg egségni virtuális nomatékot működtetünk (9./g ábra). z ehhez a terheléshez tartozó Q,φ nomatékábrát a 9./h ábra tartalmazza. z elfordulást az P és Q,φ nomatékábrák segítségével határozzuk meg. z P ábra nemlineáris, az Q,φ ábra pedig lineáris, íg az P ábra területével kell dolgozni. Kapásból nem tudjuk, hog ennek az ábrának hol van a súlpontja, de a súlpont helére nincs is szükség, mert az Q,φ ábra minden ordinátája, íg akárhol is van az P ábra súlpontja, -el kell szorozni. z elfordulás íg: l l l ϕ C P Q, dz l l l EI ϕ + [ ] EI EI 0 indhárom elmozdulást pozitív előjellel kaptuk és ez azt jelenti, hog az elmozdulások iránát a számítás elején (a 9./a ábrán) helesen állapítottuk meg. zokban a ritka esetekben amikor nem tudjuk előre megbecsülni a keresett elmozdulás iránát, a számítások végén az eredmének előjele segítségével tudjuk az előjeleket megállapítani: a pozitív eredmén azt jelenti, hog az eredménül kapott elmozdulás előjele megegezik a beiktatott virtuális erő/nomaték iránával, a negatív előjel pedig azt, hog az elmozdulás irána ellentétes a virtuális erő/nomaték előjelével. 4

119 0 ajlított tartók méretezése., 8. és 9. fejezetekben külön-külön foglalkoztunk a hajlított tartók normál- és nírófeszültségeinek meghatározásával, valamint az alakváltozások vizsgálatával. gakorlati munka során ezeket a vizsgálatokat eg-eg hajlított tartó esetében mind el kell végezni, hog eg szerkezeti elemről eldönthessük, hog megfelel-e. Ezt mutatjuk be ebben a fejezetben, amelet teljes egészében a gakorlati alkalmazásnak szentelünk. gakorlati szerkezettervezés során a méretezési feladat kétféleképpen jelentkezik: vag eg már méreteivel, anagával és körnezetével adott szerkezeti elemet ellenőrzünk, vag pedig valamelik adat hiánában tervezünk. z ellenőrzés az egszerűbb feladat, amelnek során a méretezés Y Y alapegenletét alkalmazzuk, mégpedig háromszor. a teljesül a normálfeszültségekkel kapcsolatos a nírófeszültségekre vonatkozó és az elmozdulásokra vonatkozó vag (0.) τ τ (0.) vag ϕ ϕ (0.) három feltétel mindegike, akkor a hajlított tartó megfelel. z ellenőrzés a gakorlati munka során a gakoribb feladat, mert a (rutinos) tervező tapasztalataira támaszkodva a terhelési adatok ismeretében általában kapásból fel tud venni olan tartóméreteket és ki tud alakítani olan szerkezeti elrendezést, amelek az esetek többségében megfelelőek. a tervezésre kerül sor, akkor a feladat többféleképpen jelentkezhet. Leggakrabban talán olan esettel találkozunk, amikor az adott terhelés mellett az a kérdés, hog milen tartókeresztmetszetet alkalmazzunk. ödémek esetében gakran adott a terhelés és a tartóméret és az a kérdés, hog a hajlított gerendákat milen távolságra helezzük el egmástól. Kérdés lehet még az is, hog mekkora terhet bír eg adott tartó, vag hog milen maimális fesztávra építhető be az adott terhelésű és keresztmetszetű tartó. Bár tervezésről beszélünk, a feladat megoldása során veges eszközöket használunk. z első lépés célszerűen a hajlítással kapcsolatos (0.) feltétel alkalmazásával történik, amikor megállapítjuk az ismeretlen adatot (tartókeresztmetszetet vag gerendatávolságot vag a terhelhetőséget vag a fesztávot). második lépésben a (0.) feltétel alkalmazásával ellenőrizzük, hog az előző lépésben kialakított szerkezet megfelel-e nírásra. Végül a (0.) feltétel alkalmazásával azt ellenőrizzük, hog a szerkezet kielégíti-e a merevségi 5

120 követelméneket. zért ebben a sorrendben járunk el, mert a tervezői gakorlat tapasztalatai szerint ez a sorrend általában egben veszélességi sorrend is, íg ha az első lépésben biztosítjuk, hog a hajlított tartó hajlításra megfelel, akkor nag valószínűséggel nírásra és alakváltozásra is meg fog felelni, és íg elkerülünk eg hosszadalmasabb (újra)számítást. Ebben a fejezetben a tervezésre mutatunk be két példát. ) ajlított tartó szükséges keresztmetszetének megállapítása Tekintsük a 0./a ábrán vázolt födémrészt, amel eg lakóépület konzolos része. eladatunk az. méterenként elhelezett, az ábrán G-vel jelzett, acél I-tartók szükséges keresztmetszeti méretének megállapítása. z acéltartók esetében a normálfeszültségek határértéke 5 N/mm, a nírófeszültségek határértéke pedig τ 5 N/mm. tartó anagának rugalmassági ténezője E. 0 5 N/mm. z egenletesen megoszló födémteher mértékadó értéke legen q. kn/m, a födémteher alapértéke (a merevségi követelmének vizsgálatához) pedig q 9. 0 kn/m. födém eg válaszfalat is hord, amel a. kn/m mértékadó terhet jelent; a teher alapértéke 5. kn/m. a G. a) G. m (terhelési sáv). G m q b) 0.95 l *.5 l. m 0. ábra. ajlított gerenda tervezése. a) födémalaprajz, b) a gerenda statikai modellje. z első lépés a G jelű gerenda statikai modelljének előállítása (0./b ábra). Ebből a célból a tartó névleges hosszát 5%-al megnöveljük (l m) és a terhelés megállapítása során figelembe vesszük a terhelési sávot, ami az egenletes kiosztású gerendáink esetében. méter. gerenda terhelése íg: q.q kn/m és kn a normálfeszültségek és nírófeszültségek ellenőrzéséhez és

121 q.q kn/m és kn a a a a a merevségi követelmének kielégülésének vizsgálatához. ásodik lépésben a gerenda szükséges keresztmetszetét a hajlítási vizsgálat elvégzésével, a (.8) összefüggés felhasználásával állapítjuk meg. mértékadó nomaték: q l + l knm z I-tartó keresztmetszeti ténezőjének minimális értéke: W min 5 455mm Szelvéntáblázatból (pl. a Segédlet táblázatából) I-0-as tartót választunk, amelnek keresztmetszeti ténezője W mm > W min. harmadik lépésben elvégezzük a nírásvizsgálatot. Ez most adott szelvén esetében ellenőrzést jelent. mértékadó níróerő értéke: T ql kn z I-0-as tartó esetében a szelvéntáblázatból kivehető a b és z értéke, íg a nírásvizsgálathoz az egszerűbb (8.) képletet használhatjuk: T τ 0.8N/mm zb tartó nírásra megfelel, mert teljesül a (8.) feltétel: τ 0.8 N/mm 5 N/mm τ z utolsó lépésben végrehajtjuk a merevségi vizsgálatot. Bár elegendő vag a lehajlást, vag az elfordulást vizsgálni, most gakorlásképpen mindkét számítást bemutatjuk. z I-0- as keresztmetszet tehetetlenségi nomatéka I mm 4. z elmozdulások meghatározására a munkatételeket alkalmazzuk és a számítás során szükség lesz a terhelés okozta nomatékábrával dolgozni. Ez a munka jelentősen megkönníthető, ha a két terhet (a megoszló terhet és a koncentrált erőt) külön tekintjük (0. ábra) és a hatásokat a szuperpozíció elve alapján összegezzük. terheknek a számításhoz szükséges alapértékeit fent már meghatároztuk. legnagobb nomaték a befogásnál keletkezik; a megoszló teherből P knm a koncentrált erőből pedig P knm két nomatékábrát a 0./b és 0./c ábra tartalmazza. 7

122 ind a legnagobb eltolódás, mind a legnagobb elfordulás a tartó végén keletkezik. legnagobb eltolódás meghatározása céljából a tartó végén eg egségni virtuális erőt működtetünk (0./d ábra). z ebből a (dimenziótlan) erőből keletkező Q, nomatékábrát a 0./e ábrán tüntetjük fel. a) a 8. q a 4.4 ma φ ma 0.95 l *.5 l. m.75 b) P l/4.575 l/4 c) P d) e) f) Q, z z. z z g) Q,φ 0. ábra. ajlított tartó alakváltozása. indkét P nomatékábra nemlineáris, míg az Q, nomatékábra lineáris, íg az P nomatékábrákról vesszük a területeket és az Q, nomatékábráról az ordinátákat (z és z ). tartó maimális függőleges eltolódása íg: ma l P Q, dz 5 7 EI (950 + ).89 4 mm [ ] Ez az érték kisebb, mint a 9. táblázat szerinti határérték 00 l mm

123 íg a tartó lehajlása megfelel. legnagobb elfordulás meghatározása céljából a tartó végén eg egségni virtuális nomatékot működtetünk (0./f ábra). z ebből a (dimenziótlan) nomatékból keletkező nomatékábrát a 0./g ábrán tüntetjük fel. ivel az P nomatékábrák nemlineáris ábrák és az Q,φ nomatékábra lineáris, az P nomatékábrákról vesszük a területeket és az Q,φ nomatékábráról az ordinátákat ( és ). tartóvég maimális elfordulása íg: ϕ ma l P Q, ϕdz 5 7 EI rad 0.4 % [ ] Ez az érték kisebb, mint a 9. táblázat szerinti határérték íg a tartó elfordulása is megfelel. ϕ.5% ) ajlított tartó kiosztásának meghatározása Tekintsük a 0./a ábrán vázolt födémrészt, amel eg lakóépület konzolos része. födém fő tartóelemei az ábrán G-vel jelzett I-80-as acél tartók. eladatunk a tartók távolságának meghatározása 40 centiméteres raszterméret feltételezésével. z acéltartók esetében a normálfeszültségek határértéke 5 N/mm, a nírófeszültségek határértéke pedig τ 5 N/mm. tartó anagának rugalmassági ténezője E. 0 5 N/mm. z I-80-as tartó tehetetlenségi nomatéka (pl. a Segédlet szelvéntáblázatából) I mm 4 és a keresztmetszeti ténező W. 0 5 mm. G a a) a [m]: terhelési sáv G a G m q b) l.05. m 0. ábra. ajlított gerenda tervezése. a) födémalaprajz, b) a gerenda statikai modellje. 9

124 z egenletesen megoszló födémteher mértékadó értéke legen q. 0 kn/m, a födémteher alapértéke (a merevségi követelmének vizsgálatához) pedig q a 0. 0 kn/m. G jelű gerenda statikai modelljét a 0./b ábrán találjuk. gerenda terhelési sávját a- val jelölve, és méter dimenziót feltételezve, a gerenda terhelése: q aq a [kn/m] a normálfeszültségek és nírófeszültségek ellenőrzéséhez és qa aqa 0a [kn/m] a merevségi követelmének vizsgálatához. gerendák távolságát a hajlítási vizsgálat elvégzésével állapítjuk meg. mértékadó nomaték: innen l. q a. 4a [knm] z I-80-as tartó keresztmetszetének határnomatéka: Nmm 7.85 knm 5 7 Wmin (.0) összefüggés felhasználásával: a a.4m ivel a megadott raszterméret 40 cm, a gerendákat a.0 m távolságra helezzük el egmástól. következő lépésben elvégezzük a nírásvizsgálatot. Ez most mivel minden adott ellenőrzést jelent. mértékadó níróerő értéke: T q l kn z I-80-as tartó esetében a szelvéntáblázatból kivehető a b és z értéke, íg a nírásvizsgálathoz az egszerűbb (8.) képletet használhatjuk. T 040 τ 8. N/mm zb 55.9 tartó nírásra megfelel, mert teljesül a (8.) feltétel: τ 8. N/mm 5 N/mm τ 0

125 Végül végrehajtjuk a merevségi vizsgálatot. teher fent már megállapított alapértékével és az a. méteres terhelési sávval dolgozva a befogásnál keletkező maimális nomaték értéke: ma.4knm z P nomatékábrát a 0.4/b ábra tartalmazza. ind a legnagobb eltolódás, mind a legnagobb elfordulás a tartó végén keletkezik. legnagobb eltolódás meghatározása céljából a tartó végén eg egségni virtuális erőt működtetünk (0.4/c ábra). z ebből a (dimenziótlan) erőből keletkező Q, nomatékábrát a 0.4/d ábrán tüntetjük fel. a) q a.0 φ ma ma l. m.4 b) l/4 l/4.575 P c) d)..575 Q, e) f) Q,φ 0.4 ábra. ajlított tartó alakváltozása. z P nomatékábra nemlineáris, az Q, nomatékábra pedig lineáris. Íg az P nomatékábráról kell a területet venni és az Q, nomatékábráról az ordinátát. tartó maimális függőleges eltolódása: l ma P Q, dz 5 7 EI Ez az érték kisebb, mint a 9. táblázat szerinti határérték 9.58 mm

126 00 l mm íg a tartó lehajlása megfelel. tartó ezek szerint alakváltozásra megfelel, de gakorlásképpen elvégezzük a maimális elfordulásra vonatkozó ellenőrzést is. legnagobb elfordulás meghatározása céljából a tartó végén eg egségni virtuális nomatékot működtetünk (0.4/e ábra). z ebből a (dimenziótlan) nomatékból keletkező nomatékábrát a 0.4/f ábrán tüntetjük fel. ivel az P nomatékábra nemlineáris és az Q,φ nomatékábra lineáris, az P nomatékábrákról vesszük a területet és az Q,φ nomatékábráról az ordinátát (). tartóvég maimális elfordulása íg: l ϕma P Q, ϕdz 0.00rad 0.% 5 7 EI Ez az érték kisebb, mint a 9. táblázat szerinti határérték íg a tartó elfordulása is megfelel. ϕ.5%

127 Külpontos húzás. és. fejezetben olan rudakkal foglalkoztunk, ameleket rúdtengel iránú erők terheltek. Ezeknek az erőknek a hatásvonala egbeesett a rúd tengelével. Talán még gakoribb az az eset, amikor a terhelő erő hatásvonala ugan párhuzamos a rúdtengellel, de azzal nem esik egbe. Ebbe a csoportba tartoznak a külpontosan húzott és külpontosan nomott rudak. ivel a húzott és nomott karcsú rudak viselkedése alapvetően eltérő ahogan ezt már láttuk a központosan nomott karcsú rudaknál a húzott és nomott rudakat most is külön tárgaljuk. Ebben a fejezetben külpontosan húzott rudakkal foglalkozunk, míg a külpontosan nomott rudakat a következő fejezet tárgalja. Továbbra is egenestengelű, prizmatikus rudakkal foglalkozunk, amelek anaga homogén és izotróp. rudak rugalmasan viselkednek, vagis érvénes a ooke-törvén. eltételezzük továbbá, hog a rudak húzó- és nomófeszültségek felvételére egaránt alkalmasak. Külpontos húzóigénbevételről akkor beszélünk, ha a rúd keresztmetszetére ható húzóerő párhuzamos a rúdtengellel, de hatásvonala nem esik a tengel vonalába, más szóval az erő hatásvonalának a keresztmetszet síkjával alkotott D döféspontja nem esik egbe a keresztmetszet S súlpontjával (./a ábra). S D S D S e e e a) külpontos húzóerő a keresztmetszeten b) egensúlban lévő erőrendszer hozzáadása c) két erő erőpárt alkot. ábra. dott hatásvonalú erő helettesítése másik hatásvonalon működő erővel és nomatékkal. külpontos húzást központos húzó igénbevételből és hajlításból állítjuk elő. Ezt a következő módon tesszük. Először a D ponton működő húzóerőhöz (./a ábra) hozzáadunk két olan egensúlban lévő erőt, amelek közös hatásvonala az S súlponton meg át (./b ábra). Ezután megtartva az S súlpontban működő húzóerőt, a másik két erőt eg e erőpárral helettesítjük (./c ábra). húzóerő döféspontja a keresztmetszeten általános helzetű lehet, de először azzal az

128 esettel foglalkozunk, amikor a döféspont ráesik az egik tehetetlenségi főtengelre.. húzóerő döféspontja az egik főtengelre esik külpontos húzást két alapigénbevételre vezetjük vissza. Tekintsük a./a ábrán vázolt téglalap alakú keresztmetszetet, amelre húzóerő hat. z erő D döféspontja a keresztmetszet egik főtengelére, az tengelre esik.. ábrán vázolt eljárást követve a külpontos húzóerőt eg központos húzóerővel és eg hajlítónomatékkal helettesítjük (./a ábra). ivel az központos húzóerő és az e hajlítónomaték is normálfeszültségeket okoz, ezeket szuperpozícióval összegezhetjük (./b ábra). a) D S e e b) + e semleges tengel + ± ± I I 0. ábra. Külpontosan húzott rúd. a) terhelés, b) feszültségek szuperpozíciója... feszültségképlet és a semleges tengel helzete lkalmazva a központos húzásra (a. fejezetben) levezetett és a tiszta hajlításra (a. fejezetben) levezetett ± I képleteket, egszerű összegzéssel (./b ábra) megkapjuk a külpontos húzásból az súlponti tengeltől távolságra keletkező normálfeszültségek kiszámítására alkalmas képletet: ± (.) I fenti képletben a keresztmetszet területe [mm ], I a keresztmetszet tengelre 4

129 vonatkozó tehetetlenségi nomatéka [mm 4 ] és e a húzóerő súlpontra vonatkoztatott nomatéka [Nmm]. feszültség dimenziója N/mm. semleges tengel helzetét abból a feltételből határozhatjuk meg, hog a feszültség értéke a semleges tengel mentén zérus. Továbbra is tengelen elhelezkedő erőt feltételezve, ez a feltétel a 0 0 I alakot ölti, ahol 0 a semleges tengel helét rögzíti az súlponti tengeltől (./b ábra). Innen a semleges tengel hele már meghatározható: e 0 0 I 0 I e Bevezetve az inerciasugár összefüggését, a semleges tengel helét definiáló távolság: I i (.) i 0 e (.) asonlóképpen eljárva, ha a külpontos húzóerő döféspontja az tengelre esik (. ábra), a normálfeszültséget a súlponttól távolságra a ± (.4) I képletből határozhatjuk meg, ahol e és I a keresztmetszet tengelre vonatkozó tehetetlenségi nomatéka. semleges tengel + 0 e S D semleges tengel helzetét ekkor az. ábra. Külpontosan húzás: erő az tengelen. 5

130 i 0 (.5) e összefüggés adja meg, ahol e a húzóerő döféspontjának távolsága a súlponttól és I i (.) az inerciasugár. Gakorlásképpen meghatározzuk az inerciasugár értékét derékszögű négszög és kör keresztmetszet esetében. szokásos módon jelölve a derékszögű négszög oldalhosszait (.4/a ábra), a két inerciasugár értéke: i I bh h h és bh.4 i I hb b b (.7) hb.4 Kör keresztmetszetnél (.4/b ábra): i I r π π 4 i 4r r b h S S r a) derékszögű négszög b) kör.4 ábra. Derékszögű négszög és kör keresztmetszet az inerciasugár számításához. (.) és (.4) feszültségképletek alkalmazása során igen fontos az előjelek figelembe vétele. z abszolút értékre legnagobb feszültség a keresztmetszet azon oldalán lévő szélső szálban keletkezik, amelik oldalon a döféspont fekszik. semleges tengel helét meghatározó (.) és (.5) képletek azt is mutatják, hog a semleges tengel hele szerkesztéssel is megállapítható. Ez abból következik, hog az i inerciasugár mértani középarános az e külpontosság és a semleges tengel helét meghatározó 0 (vag 0 ) távolság között. derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága és az átfogó két szelete között fennálló ismert c c m összefüggés (.5/a ábra) mintájára az tengelre eső döféspont esetében a szerkesztés két lépésben hajtható végre. súlponttól e távolságra lévő D döféspontot összekötjük az tengelre felmért i inerciasugarat jelölő ponttal, majd abból a pontból az összekötő egenesre merőlegest állítunk. Ez a merőleges egenes az tengelen kimetszi a súlponttól 0 távolságra lévő semleges tengel helét (.5/b ábra). z tengelre eső döféspont esetében uganíg járunk

131 el (.5/c ábra), csak az és indeeket kell felcserélni. i 0 e c c m c m c e 0 i e 0 i D S e 0 i S D a) mértani középarános b) döféspont az tengelen c) döféspont az tengelen.5 ábra. semleges tengel hele szerkesztéssel. szerkesztés fordított sorrendben is elvégezhető: ha a semleges tengel hele ismert, akkor az inerciasugár ismeretében a szerkesztés megadja a hozzá tartozó döfésponttávolságot. (.) és (.4) feszültségképletek vizsgálata azt mutatja, hog a normálfeszültségek alakulását nagmértékben befolásolja a húzóerő támadáspontjának távolsága a súlponttól. következőkben azt vizsgáljuk meg, hog a támadáspont helzetének változtatásával párhuzamosan hogan változik a feszültségdiagram (. ábra). Legen először a húzóerő támadáspontjának e távolsága a keresztmetszet súlpontjától zérus. Ezt a pontot D -el jelöljük (./a ábra). Ez a. fejezetben már tárgalt központos húzás esete. z ehhez az esethez tartozó egenletesen megoszló intenzitású feszültségábrát a./b ábrán találjuk. húzófeszültség értékét ekkor a / képlet szolgáltatja. D 5 (e ) 4 5 e D 4 D D D S ± ± I I 0 a) rúdkeresztmetszet a húzóerővel b) központos húzás c) külpontos húzás d) hajlítás. ábra. feszültségek alakulása a központos húzástól a külpontos húzáson keresztül a hajlításig. Toljuk el a húzóerő döféspontját az tengel mentén. Ezt az új döféspontot D -vel jelöljük. Ezzel az igénbevétel külpontos húzás lett. feszültség értékét a (.) képlettel számolhatjuk ki. a elegendően kicsin e távolságot választottunk, akkor a feszültségábrát ferde egenes jellemzi és a keresztmetszet minden pontjában húzás keletkezik. feszültség 7

132 az előző esethez képest az erő oldalán lévő szélső szálban megnőtt, a másik oldalon lévő szélső szálban csökkent, de a (.) képlet minden pontban húzófeszültséget szolgáltat (. jelű diagram a./c ábrán). Növeljük tovább az e távolságot. z igénbevétel továbbra is külpontos húzás. Biztosan van eg olan helzet, amel esetén a (.) képlet az erő másik oldalán lévő szélső szálban zérus feszültséget eredménez. többi feszültség húzófeszültség. Jelöljük ekkor a döféspontot D -mal. diagramot tehát most is ferde egenes jellemzi (. diagram a./c ábrán), de ez a ferde egenes a döféspont másik oldalán lévő szélső szálban zérus értékű feszültséget ad. Növeljük még tovább az e távolságot, de maradjunk még a keresztmetszeten belül. Ezt a döféspontot D 4 -el jelöljük. Ez az igénbevétel is külpontos húzás. (.) képlet most is ferde egenest ad a feszültségábrára, de a súlpont másik oldalán, a keresztmetszet alján lévő szálban, nomófeszültség keletkezik (4. diagram a./c ábrán). z összes eddigi esetben a feszültség értéke a súlpontban S /. Végül növeljük meg az e távolságot ol módon, hog a húzóerőt képzeletben a végtelenbe helezzük: D 5 döféspont a végtelenben (./a ábra). Ez a tiszta hajlítás esete. keresztmetszet erő oldali részén húzó-, a másik oldalon nomófeszültségek keletkeznek (./d ábra), amelek értékeit a tiszta hajlítás /I képlete szolgáltatja. súlpontban a feszültség értéke zérus. Érdekes megfigelni a semleges tengel helzetét az öt esetben. z első esetben, amikor a húzóerő a súlpontban hat (a tiszta húzásnál), a -ábra konstans, vagis a diagram sehol sem vált előjelet: ezt úg is értelmezhetjük, hog a semleges tengel a végtelenben van ( 0 a./b ábrán). Ezután, ahogan az erő döféspontja távolodik a súlponttól (az egik oldalon), úg közeledik a semleges tengel (a másik oldalon) a végtelen felől (./c ábra). Végül, a tiszta hajlításnál, amikor az erő döféspontja (képzeletben) a végtelenbe kerül, a semleges tengel a végtelenből feljön a súlpontba (./d ábra).. eset amikor a semleges tengel a döfésponttal szemben lévő oldalon a keresztmetszet szélső szálához kerül (./c ábra) megkülönböztetett fontosságú. z erő D döféspontját maghatárpontnak nevezzük és ezt az esetet a következő pontban részletesen tárgaljuk... aghatárpont z előző pontban azt tapasztaltuk, hog a súlponttól egre messzebb elhelezkedő döféspont esetében van a döféspontnak eg olan helzete, amikor a hozzá tartozó semleges tengel éppen érinti a keresztmetszetet (. eset a./c ábrán). Ezt a pontot maghatárpontnak nevezzük. ásképpen megfogalmazva: a maghatárpont az a pont, amelen állva az erő még éppen egnemű feszültségeket esetünkben húzófeszültségeket okoz. i i. k k k k. i i 4. k a) erő az tengelen b) erő az tengelen c) a két magszakasz k k k 4 k 4 k.7 ábra. maghatárpontok szerkesztése; magszakaszok. 8

133 Eg egenesen mozgó döféspont esetében (pl. az tengel a.7/a ábrán) tehát két maghatárpont van (. és. pont) és a közöttük lévő szakaszt magszakasznak nevezzük. magszakaszt általában k-val jelöljük és a súlponttól mért két rész-szakasz (k és k ) segítségével határozzuk meg..7/a ábrán az, a.7/b ábrán pedig az tengelen mozgó erőhöz tartozó két-két maghatárpont szerkesztését mutatjuk be. szerkesztés a.5 ábrán bemutatott szerkesztés mintájára hajtható végre, azzal a kiindulással, hog a semleges tengel érinti a keresztmetszetet. két magszakaszt a.7/c ábra mutatja. maghatárpontok helét számítással is meghatározhatjuk. Ekkor azt az előző pontban megfogalmazott törvénszerűséget (.5/a ábra) használjuk fel, hog az i inerciasugár mértani középarános a semleges tengel helét meghatározó távolság ( illetve, vag illetve 4 szélsőszál-távolságok) és a külpontosság (most k maghatárpont-távolság) között: i k és i k (.8) valamint k i és k i 4 (.9) 4 számítás téglalap keresztmetszet esetén (.8 ábra) igen egszerű eredménekre vezet. k b/ k 4 k k h/ k k 4 h/ h/ b/ b/.8 ábra. maghatárpontok és magszakaszok téglalap keresztmetszet esetén. elhasználva a korábban levezetett (.7) képleteket, és figelembe véve, hog h/, valamint 4 b/, a maghatárpontokra a k h i h k és h k b b k4 i b összefüggéseket, a magszakaszokra pedig a k h h h k + k + és k b b + k + k 4 b képleteket kapjuk. 9

134 .. Gakorlati alkalmazás gakorlati munka során külpontos húzás kétféleképpen jelentkezik. z első pillanatban nilvánvaló eset az, amikor a terhelést eg külpontosan elhelezkedő húzóerő jelenti. Ilen eset azonban ritkán fordul elő. z esetek többségében úg találkozunk a jelenséggel, hog a kérdéses rúd amel eg több rúdból álló szerkezet eg eleme is lehet a terhelés hatására húzó és hajlító igénbevételt is szenved. külpontos húzás ekkor úg jelentkezik, hog a rúd igénbevételét jellemző igénbevételi ábrák közül az N- és -ábra is zérustól különböző értékeket tartalmaz. (Níróerő is felléphet: a níróerő hatásával a 8. fejezetben foglalkoztunk.) Ez több szempontból is fontos: meg kell rajzolni az igénbevételi ábrákat és utána meg kell vizsgálni a rúd eges keresztmetszeteihez tartozó N és értékeket. ivel a normálerő és a nomaték is normálfeszültséget okoz, vizsgálni kell azt is, hog melik keresztmetszetben lesz a normálfeszültség értéke maimum. Ez gakran nem állapítható meg ránézésre és íg eg rúd esetében szükségessé válhat, hog a normálfeszültség értékét több (általában két) helen is kiszámítsuk. Ilen esetet vázolunk a.9 ábrán, ahol a normálerő a rúd egik végén, a nomaték pedig a másik végén maimális. Itt két számítást kell elvégezni: a normálfeszültséget ki kell számítani az N ma - és az ma -N értékpárokra is. N ma N ma N.9 ábra. vizsgált rúd normálerő-ábrája és nomatékábrája különböző helen rendelkezik maimális értékkel. külpontosan húzott szerkezetek esetében a méretezési feladat általában ellenőrzés formájában jelentkezik, amelnek során a méretezés Y Y alapegenletét alkalmazzuk és a (.) vag (.4) képlet felhasználásával feszültség-összehasonlítást hajtunk végre. Ezt mutatja be a következő két példa. ) Külpontosan húzott rúdszerkezet Ellenőrizzük, hog megfelel-e a.0/a ábrán vázolt rúdszerkezet. Szerkesszük meg a -ábrát is. rúdszerkezetre ható erő nagsága 4 kn. téglalap keresztmetszet méretei h 00 mm és b 00 mm. három rúdból álló szerkezet keresztmetszeteinek térbeli elhelezkedését a.0/a ábra beforgatott metszetei és a.0/b ábra mutatja. határfeszültségek értéke 4 N/mm és τ. N/mm. indhárom rúd esetében z a rúdtengelt, és a keresztmetszet súlponti tengeleit jelöli..0/b ábrán megadott koordinátarendszer alkalmazásával megállapítható, hog a hajlítás síkja az -z sík. Ennek megfelelően a keresztmetszet tehetetlenségi nomatéka a hajlítás síkjára merőleges tengelre: 0

135 I.& 0 mm 4 semleges tengel helének megállapításához szükség lesz az inerciasugár (.) értékére is: i I mm következő lépésben az igénbevételi ábrákat állítjuk elő (.0/c ábra). z ábrák tanúsága szerint a két vízszintes rúd igénbevétele összetett hajlítás, a függőleges rúd igénbevétele pedig külpontos húzás. ivel a normálerő és a nomaték értéke is állandó a rúd hossza mentén, az N ma és az ma uganabban a pontban található. maimális normálerő nagságát íg egetlen számítással meghatározhatjuk. Értéke a (.4) képlettel számolva: ( + ) ma N/mm I & 0 Ez az érték kisebb a 4 N/mm határfeszültségnél, íg a szerkezet a normálfeszültségek szempontjából megfelel. feszültség értéke a másik szélsőszálban: ( ) N/mm I & 0 h b z m + N T 4 m a) statikai váz beforgatott metszetekkel b) -D vázlat c) igénbevételi ábrák.0 ábra. Külpontosan húzott rúdszerkezet és az igénbevételi ábrái. semleges tengel helét a (.5) képlet adja: i e mm

136 ivel az erő döféspontja az tengelen helezkedik el (./a ábra), a feszültségábra a. ábra mintájára rajzolható meg (./b ábra) e 000 mm z e 000 h00 S a) a terhelés síkja az -z sík b) -ábra. ábra. függőleges rúd külpontosan húzása. Bár ennek a fejezetnek nem témája a nírásvizsgálat, eg tervezési feladat esetében a nírásvizsgálatot is el kell végezni. níróerő értéke a két vízszintes rúdon konstans: T 4 kn..0/b ábra vázlata szerint az elcsúszni akaró keresztmetszet-rész nagsága mm és a keresztmetszet szélessége b 00 mm. (8.) képlettel számolva de figelembe véve hog a keresztmetszet níróerőre merőleges tengelével kell dolgozni a legnagobb nírófeszültség értéke: TS 4000[ ] τ ma 0.N/mm bi 00.& 0 ahol a statikai nomaték számítását a könnebb megkülönböztethetőség céljából szögletes zárójelek közé tettük. Ez az érték kisebb mint a τ. N/mm határfeszültség, tehát a tartó nírásra is megfelel. ) Kéttámaszú tartó külpontos húzása Ellenőrizzük, hog megfelel-e a./a ábrán vázolt három rúdból álló, törttengelű, kéttámaszú tartó a normálfeszültségek szempontjából, ha a határfeszültség értéke 0 N/mm. atározzuk meg a maghatárpontok helét is. keresztmetszet két főtengele közül a keresztmetszet szimmetriatengele, a./a ábra beforgatott metszetei szerint. hajlítás síkja az -z sík (ahol z a rudak tengele). z igénbevételi ábrák előállításához szükségünk van a reakcióerőkre: B 0 B.4 kn ( ) kn ( ) i, kn ( ) i, z igénbevételi ábrák most már meghatározhatók (./b). z ábrák tanúsága szerint a vízszintes gerenda igénbevétele összetett hajlítás, a jobboldali oszlop igénbevétele

137 központos húzás, a baloldali oszlopé pedig külpontos húzás. 5 kn 5 kn 90.8 m m B + N T 7 m.8 5 a) statikai váz beforgatott metszetekkel b) igénbevételi ábrák. ábra. Kéttámaszú törttengelű tartó és igénbevételi ábrái. legnagobb normálfeszültség a baloldali oszlop mentén keletkezik. normálerő az oszlop teljes hosszán konstans, a nomaték maimális értéke pedig az oszlop tetejénél van; itt van tehát a normálfeszültség maimuma is. z összetartozó értékpár: ma 90 knm és N.8 kn S s i i i i k 4 k k k 4 4 a) b). ábra. Rúdkeresztmetszet. a) -ábrával, b) maghatárpontokkal. -ábra és a maghatárpontok meghatározásához szükség van a keresztmetszet néhán jellemzőjére. Ezek a következők. Súlpont (./a ábra): s S mm Tehetetlenségi nomatékok: és I I s mm 4

138 I.8 0 mm 4 Inerciasugarak: 8 8 I.08 0 I.8 0 i 87.8 mm és i mm maimális feszültség a távolabbi a. jelű szélsőszálban (./a ábra) ébred: ma N/mm 4 8 I Ez az érték kisebb mint a határfeszültség ( 0 N/mm ), tehát a tartó a normálfeszültségek szempontjából megfelel. feszültség értéke a másik szélsőszálban: N/mm 4 8 I ábrát a./a ábrán találjuk. normálerő külpontossága az e összefüggés alapján e mm amivel a semleges tengel hele a (.) képlet felhasználásával már meghatározható: i e.mm maghatárpontok helét a (.8) és (.9) képletek adják: és 87.8 i i 87.8 k.7 mm és k mm 5 75 k i 7.7 k mm maghatárpontok a./b ábrán láthatók, ahol a szerkesztés menetét is vázoltuk.. húzóerő döféspontja általános helzetű Térbeli szerkezeteink esetében a húzóerő döféspontja gakran nem esik egik főtengelre sem és az erő kétszeresen külpontos (e és e a.4 ábrán). feladatot az előző pontban bemutatott módon oldjuk meg és ismét a szuperpozíciót alkalmazzuk. különbség az, hog most a központos húzásból származó 4

139 normálfeszültségekhez a ferde hajlításból keletkező normálfeszültségeket adjuk hozzá és a semleges tengel helzetének meghatározása során figelembe vesszük az erő kétiránú külpontosságát. i e S D e i i.4 ábra. Külpontosan húzás általános helzetű erővel... feszültségképlet és a semleges tengel helzete ivel most a húzóerőnek mindkét főtengelre van nomatéka, a központosnak képzelt húzóerőből származó normálfeszültséget mindkét nomatékból keletkező normálfeszültséggel ki kell egészíteni. (.) képlet általánosításával íg a keresztmetszet eg tetszőleges i pontjában a normálfeszültség értékét a i ± i ± i (.0) I I képlet szolgáltatja. fenti képletben a keresztmetszet területe [mm ], I a keresztmetszet tengelre vonatkozó tehetetlenségi nomatéka [mm 4 ], I a keresztmetszet tengelre vonatkozó tehetetlenségi nomatéka [mm 4 ], e a húzóerő tengelre vonatkoztatott nomatéka és e a húzóerő tengelre vonatkoztatott nomatéka. z i és i a vizsgált pont helzetkoordinátái (.4 ábra). feszültség dimenziója N/mm. semleges tengel helzetét abból a feltételből határozhatjuk meg, hog a feszültség értéke a semleges tengel mentén zérus. húzóerő döféspontja helének ismeretében ismerjük a semleges tengel körülbelüli helét: a semleges tengel minden bizonnal a súlpont másik oldalán helezkedik el (.5 ábra). 0 e P ( 0 ; 0) S D e 0 P (0; 0 ) + semleges tengel.5 ábra. Külpontosan húzás általános helzetű erővel. semleges tengel és a feszültségábra. 5

140 zt is tudjuk, hog a semleges tengel általános helzetű húzóerő esetében mindkét súlponti tengelt metszi. Ez azért fontos, mert íg a semleges tengel két pontjának az összesen nég koordinátája közül eget-eget ismerünk: a.5 ábrán vázolt esetben ismerjük a P pont koordinátáját (zérus), valamint a P pont koordinátáját (szintén zérus). semleges tengel pontos helét az 0 és 0 koordináták kiszámításával két lépésben határozzuk meg. feszültség zérusértékét kifejező egenlet a P pont esetében (ahol 0) az e e ± ± 0 I I alakot ölti, ahonnan: 0 e 0 0 I I i e e asonlóképpen, a feszültség zérusértékét kifejező fenti egenlet a P pont esetében (ahol 0) az alakot ölti, ahonnan: 0 e 0 0 I I i e e Ezzel a semleges tengel helét egértelműen megadtuk és a feszültségábra megrajzolható (.5 ábra)... keresztmetszet magidoma.. pontban bevezettük a maghatárpont fogalmát. maghatárpont eg korlátozott helzetű húzóerőhöz tartozó jellegzetes pont volt, amikor a korlátozást az jelentette, hog a húzóerőről azt tételeztük föl, hog eg speciális helzetű egenes (az egik súlponti tengel) mentén helezkedik el. gakorlatban azonban az erő különböző helzetekben lehet. Általános helzetű erő esetében a fogalom általánosítható és a magidom fogalmához jutunk. magidom az a súlpont körüli terület, amelen belül lévő erő hatására a keresztmetszetben csak egnemű feszültségek ébrednek. magidom a maghatárpontok segítségével szerkeszthető meg. hán a keresztmetszetbe nem metsző egenessel határolható eg keresztmetszet, anni maghatárpont van. Ezek összekötésével megkapjuk a magidomot. Általános alakú (pl. görbevonallal határolt) keresztmetszet esetén (./a ábra) a magidom is görbevonallal határolt. z elméletileg végtelen számú érintő helett ekkor a pontossági igénnek megfelelő számú határoló egenest választunk ki, amelekhez egenként megszerkesztjük (vag kiszámítjuk) a maghatárpontot és ezek összekötésével megkapjuk a magidomot. gakorlati esetek túlnomó részében a keresztmetszet egenesekkel határolt és íg

141 kisszámú maghatárpont meghatározása vezet a magidomhoz../b ábrán vázolt keresztmetszet nolc egenessel határolt, de csak nég olan határoló egenes rendelhető hozzá, ameliknek egike sem metsz bele a keresztmetszetbe, íg a magidom nég maghatárpont meghatározásával állítható elő. nég pont kiszámítására szolgáló képlet a (.8) és (.9) összefüggések alapján: k i, k i és k k 4 i 4 k 4 i i S k 4 i i k k 4 a) b). ábra. agidom. a) általános alakú keresztmetszet, b) egenesekkel határolt keresztmetszet. ontos leszögezni, hog a magidomot a keresztmetszeti jellemzők határozzák meg és íg a magidom és a terhelés között semmiféle kapcsolat nincs. z eddig bemutatott esetekben amikor maghatárpontot szerkesztettünk, a megszerkesztendő maghatárponthoz tartozó határoló egenes csak eg súlponti tengelt metszett. zokban az esetekben, amikor a határoló egenes két súlponti tengelt metsz, a szerkesztést két lépésben hajtjuk végre és íg a maghatárpontot a két koordinátájával határozzuk meg. Ilen esetet mutat a.7 ábra, amikor a háromszög keresztmetszetet határoló három egenes közül kettő két súlponti tengelt metsz. i i 0 0 S k i k 0 k 0.7 ábra. aghatárpont mindkét súlponti tengelt metsző határoló egenes esetén. Tekintsük a baloldali. jelű határoló egenest és határozzuk meg a hozzá tartozó. maghatárpontot. maghatárpont koordinátáját úg kapjuk meg, hog először a határoló egenes és az tengel metszéspontját összekötjük azzal a ponttal amel i távolságra van a 7

142 súlponttól az tengelen, majd az összekötő egenesre állított merőleges az tengelen kijelöli a k pontot. Ez az. maghatárpont koordinátája. Számítással: k i 0 maghatárpont koordinátáját hasonló módon kapjuk meg. Először a határoló egenes és az tengel metszéspontját összekötjük azzal a ponttal amel i távolságra van a súlponttól az tengelen, majd az összekötő egenesre állított merőleges az tengelen kijelöli a k pontot. Számítással: k i 0 Teljesen uganíg kapjuk meg a. jelű határoló egeneshez tartozó maghatárpont két koordinátáját: k i és 0 k i 0. jelű határoló egeneshez tartozó maghatárpont számítása és szerkesztése a már ismert módon történik: k i.. Gakorlati alkalmazás helzet a.. pontban tárgalt esettel azonos: a méretezési feladat általában ellenőrzés formájában jelentkezik, amelnek során a méretezés Y Y alapegenletét most a (.0) képlet felhasználásával alkalmazzuk és feszültség-összehasonlítást hajtunk végre. következő példa ezt mutatja be. ) áromszög alakú keresztmetszet külpontos húzása Ellenőrizzük, hog megfelel-e a.8 ábrán vázolt, háromszög keresztmetszetű rúd külpontos húzásra. Rajzoljuk meg a -ábrát is. rúd anagának határfeszültsége 0 N/mm. z 00 kn nagságú húzóerő D döféspontjának külpontossága e 50 mm és e 0 mm. számításhoz szükséges alapadatok a következők: mm, és I.5 0 mm 4, I mm I.5 0 I i mm, i mm z első lépésben a semleges tengel helét határozzuk meg az és tengeleket metsző 8

143 két pontjával: i 750 i mm, 0 8. mm e 50 e 0 50 mm 50 mm 00 mm 00 mm 0 e D S e semleges tengel.8 ábra. áromszög keresztmetszetű rúd külpontos húzása. semleges tengel helének ismeretében a -ábra már alakhelesen megrajzolható (.8 ábra) és az alakheles ábra jelzi, hog a legnagobb húzófeszültség a. pontban, a legnagobb nomófeszültség pedig az. pontban várható. z értékeket a (.0) képlet segítségével számítjuk ki: I I N/mm N/mm Gakorlásképpen kiszámítjuk a. pontban ébredő feszültséget is: N/mm legnagobb feszültség a. pontban keletkezik és ez a feszültség kisebb mint a határfeszültség tehát a külpontosan húzott rúd megfelel. 9. N/mm < 0 N/mm 9

144 ) áromszög alakú keresztmetszet magidoma atározzuk meg az előző feladatban szereplő háromszög alakú keresztmetszet magidomát. z alapadatokat fent már kiszámítottuk. számítások során szükségünk lesz még az 0 távolságra (.9 ábra), amelet aránpár segítségével határozunk meg: mm három egenessel határolt keresztmetszet magidomát három maghatárpont határozza meg. szimmetria miatt ezek közül csak kettőnek kell a koordinátáit kiszámítani. z. jelű (baloldali ferde) határoló egenes mindkét súlponti tengelt metszi, ezért a maghatárpontot két koordinátájával tudjuk megadni: i 750 i 5000 k 7.5 mm és k 5mm szerkesztést a.9 ábrán látjuk.. jelű határoló egenes az. jelű egenes szimmetrikus párja, íg a koordinátákra a fenti két érték érvénes.. maghatárpont az. maghatárpont tengelre szimmetrikus párja és az ábrán szerkesztés nélkül bejelöltük.. jelű ( tengellel párhuzamos) határoló egenes csak az tengelt metszi. hozzá tartozó maghatárpont a súlpont másik oldalán, az tengelen található. Koordinátája: szerkesztést az ábrán találjuk. k i 50 mm 0 50 mm 50 mm i mm 0 00 mm k k i. 0 k.9 ábra. áromszög keresztmetszet magidoma. 40

145 Külpontos nomás külpontos nomóigénbevételt az jellemzi, hog a rúd keresztmetszetére ható nomóerő párhuzamos a rúdtengellel, de hatásvonala nem esik a tengel vonalába. áshogan megfogalmazva: a nomóerő hatásvonalának a keresztmetszet síkjával alkotott D döféspontja nem esik egbe a keresztmetszet S súlpontjával (. ábra). S D e. ábra. Külpontosan nomott rúd. a a külpontos nomás definícióját összehasonlítjuk az előző fejezet elején közölt definícióval amelet a külpontos húzás esetére fogalmaztunk meg, akkor azonnal nilvánvaló lesz, hog a két definíció csak abban különbözik egmástól, hog az előző fejezetben az erő húzóerő volt, most pedig nomóerő. rra gondolhatnánk, hog akkor az előző fejezetben levezetett képleteket automatikusan átvehetjük, azzal a módosítással, hog a húzás szót lecserélnénk nomásra és a képletekben szereplő előjeleket ennek megfelelően (az ellenkezőkre) cserélnénk. Ez azonban csak bizonos esetekben lehetséges. Ennek okát már a. fejezetben láttuk, amikor rámutattunk arra, hog a húzás és a nomás jelensége alapvetően különböző lehet, annak megfelelően, hog fellép-e a kihajlás jelensége. z pedig hog fellép-e a kihajlás jelensége, attól függ, hog a vizsgált szerkezet karcsú vag zömök. Ennek megfelelően külön fogjuk vizsgálni a zömök rudakat, ahol a kihajlás jelenségével nem számolunk és a karcsú rudakat, amelek esetében a kihajlás jelenségét is figelembe kell venni. eltételezzük, hog a vizsgált szerkezetek egenestengelű, prizmatikus rudak.. Külpontosan nomott zömök rudak Zömök rúdról akkor beszélünk, ha a keresztmetszet kisebbik mérete és a rúd hossza között nincs nagságrendi különbség. Ilen esetekben a kihajlás jelenségét nem vesszük figelembe, mert a hatása elhanagolhatóan kicsi. Ez viszonlag egszerű tárgalást tesz lehetővé. Nomott szerkezeteink különböző anagokból készülhetnek, amelek között vannak 4

146 amelek húzószilárdsággal rendelkeznek és vannak amelek húzószilárdsággal nem rendelkeznek. Ezek viselkedése és vizsgálata eltérő és ezért külön csoportban tárgaljuk őket... úzószilárdsággal rendelkező zömök rudak ivel a kihajlással nem kell foglalkozni és az esetleges húzófeszültségeket a húzószilárdsággal is rendelkező nomott rúd képes felvenni, ebben az esetben a külpontosan húzott rudakra levezetett összefüggések értelemszerűen alkalmazhatók, ha a húzóerőt nomóerőre cseréljük. (.0) képlet alapján íg azonnal felírhatjuk a keresztmetszet eg tetszőleges i pontjában (. ábra) keletkező normálfeszültség kiszámítására alkalmas képletet: i ± i ± i (.) I I fenti képletben a D döféspontban működő nomóerő [N], a keresztmetszet területe [mm ], I a keresztmetszet tengelre vonatkozó tehetetlenségi nomatéka [mm 4 ], I a keresztmetszet tengelre vonatkozó tehetetlenségi nomatéka [mm 4 ], e a nomóerő tengelre vonatkoztatott nomatéka és e a nomóerő tengelre vonatkoztatott nomatéka. z i és i a vizsgált pont helzetkoordinátái (. ábra). feszültség dimenziója N/mm. i e i e i S D 0 0 i + semleges tengel. ábra. Külpontosan nomott rúd általános helzetű nomóerővel. semleges tengel helét meghatározó két koordináta képlete szintén átvehető a.. pontból: i 0 és e i 0 e (.).. úzószilárdsággal nem rendelkező zömök rudak Nagon sok olan szerkezetet alkalmazunk amelek anaga nem, vag csak igen korlátozott mértékben rendelkezik húzószilárdsággal. Ilenek például az építőiparban előszeretettel használt beton és falazott szerkezetek, amelek kis húzófeszültségét a gakorlatban általában el szoktuk hanagolni. Ezek viselkedése alapvetően attól függ, hog a külpontos nomóerő hol helezkedik el. eltételezzük, hog a nomóerő döféspontjának hele ismert. a kizárjuk azt az esetet amikor a nomóerő döféspontja a keresztmetszetet metszés nélkül 4

147 érintő egenesek által határolt területen kívülre esik mert ez esetben az egensúl nem biztosítható és íg ilen szerkezetek a gakorlatban nem használhatók két esetet kell megkülönböztetnünk: amikor a nomóerő döféspontja a magidomon belül van, és amikor a döféspont ugan a magidomon kívül esik, de még a keresztmetszetet metszés nélkül érintő egenesek által határolt területen belül van. Ebből az következik, hog a húzószilárdsággal nem rendelkező zömök nomott rudak esetében mindig meg kell határozni a keresztmetszet magidomát (vag speciális esetben az egik maghatárpontot).... Erő a magidomon belül magidomon belül támadó nomóerő a keresztmetszeten egnemű feszültségeket ébreszt. Ezek nomófeszültségek, íg nincs jelentősége annak, hog a rúd anaga nem rendelkezik húzófeszültséggel. ivel a vizsgált rúd zömök, a kihajlással nem kell foglalkozni, íg ismét alkalmazhatók a külpontosan húzott rudakra levezetett összefüggések. Ezek közül most csak a feszültségek meghatározására szolgáló i ± I i ± I i összefüggésre van szükség. Ez a képlet azonos a (.) képlettel, de a magidomon belül lévő nomóerő miatt most csak nomófeszültségeket eredménez (. ábra). i e i e i D i 0 0 semleges tengel. ábra. Külpontosan nomott rúd a magidomon belül lévő nomóerővel. semleges tengel helét nem feltétlenül szükséges meghatározni, mert a semleges tengel a keresztmetszeten kívül esik (és íg nem választ el a húzó- és nomófeszültségeket). Segíthet viszont a feszültségábra alakheles megrajzolásában, illetve a kiszámított feszültségértékek ellenőrzésében. Ez esetben a semleges tengel jellemző két koordinátáját a (.) képletek segítségével számíthatjuk ki. képletek levezetése a.. pontban található.... Erő a magidomon kívül, de a keresztmetszetet érintő egeneseken belül a az erő a magidomon kívül, de a keresztmetszetet metszés nélkül érintő egenesek által határolt területen belül van, a külpontos nomóerő húzó- és nomófeszültségeket is ébresztene. ivel a rúd anaga húzófeszültségek felvételére nem alkalmas, az a keresztmetszetrész ahol húzófeszültségek keletkeznének bereped, íg ez a rész feszültségmentes lesz és nem vesz részt az erőjátékban. maradék keresztmetszetrész a nomott felület, amelet n -el jelölünk. nomott és a (figelmen kívül hagott) berepedt és 4

148 feszültségmentes felületrészt elválasztó egenest határvonalnak nevezzük. ( határvonal felel meg az eddig használt semleges tengelnek, amel a nomott és a húzott felületrészt választotta el.) Ebben a pontban bemutatjuk, hog húzófeszültségek híján hogan biztosítható az egensúl pusztán nomófeszültségekkel. Erre két eljárást ismertetünk, attól függően hog rugalmas vag képléken viselkedést tételezünk fel. : Rugalmas megoldás eltételezzük, hog a vizsgált szerkezet anaga rugalmasan viselkedik, a keresztmetszet egszeresen szimmetrikus és a nomóerő a szimmetriatengel mentén támad. z erő helét a keresztmetszet szélétől c-vel jelöljük (.4 ábra). ivel az erő döféspontja a magidomon kívül van, a keresztmetszetnek csak eg részén léphetnek fel feszültségek mégpedig nomófeszültségek a keresztmetszet többi része feszültségmentes. Itt uganis az anag húzószilárdság hiánában megreped. keresztmetszetnek azt a részét, amelen nomófeszültségek lépnek fel, nomott felületnek ( n ) nevezzük. Rugalmas viselkedés esetén az eredetileg sík keresztmetszetek síkok maradnak, ezért a -ábra lineáris egenessel jellemezhető. Íg a nomott felületet a keresztmetszet többi részétől egenes vonal választja el. ivel az elválasztó vonal egik részén vannak csak feszültségek, ezt a vonalat határvonalnak (h.v.) nevezzük. határvonal helét az erő döféspontjától az egelőre ismeretlen D távolság jelöli ki (.4 ábra). z repedések n ma c D D d h.v. feszültségmentes rész c D feszültségek eredője D S ma ma h.v. ma a) b).4 ábra. úzószilárdsággal nem rendelkező zömök rúd. a) rugalmas viselkedés, b) feszültségi éktest. z erő hatására tehát a rúdban a.4/a ábrán vázolt nomófeszültségek keletkeznek. z ábra tanúsága szerint egensúl csak akkor biztosítható, ha az erő és a feszültségek (az ábrán szaggatottal jelölt) eredője közös hatásvonalú, vagis az erő D döféspontja és a feszültségi éktest S súlpontja eg függőlegesre esik (.4/b ábra). Célunk a maimális feszültség megállapítása. Ennek érdekében először meg kell határozni, 44

149 hog mekkora keresztmetszet vesz részt a teherviselésben. Ezt az ma távolság adja meg, amihez az D távolságra van szükség. függőleges terhelő erő és a nomófeszültségek eredőjének egensúlát a függőleges vetületi egenlet fejezi ki: i, z d ( n ) z integráljel mögött /-el bővítve innen az d ( n ) összefüggést kapjuk, ahol a / konstanst az integráljel elé kiemelhettük és a megmaradt integrálkifejezésre bevezettük az S n jelölést, amel a nomott felület statikai nomatéka a határvonalra. feszültség kiszámítására szolgáló képlet íg az alábbi alakban állítható elő: S n 0 (.) S n Ez a képlet még nem használható, mert nem tudjuk hog hol van a határvonal. határvonal hele a határvonalra felírt nomatéki egensúli egenlet segítségével határozható meg: h.v. d D ( n ) Innen az integráljel mögött /-el bővítve az 0 D d d d I ( n ) ( n ) ( n ) n összefüggéseket kapjuk, ahol a / konstanst ismét kiemeltük az integráljel elé és a megmaradt integrálkifejezésre bevezettük az I n jelölést, amel a nomott felület tehetetlenségi nomatéka a határvonalra. a ide behelettesítjük a (.) kifejezését, akkor a határvonal meghatározására alkalmas formailag egszerű kifejezéshez jutunk. legnagobb feszültség a keresztmetszet szélén ébred: ahol In D (.4) S n (.5) ma ma Sn 45

150 c + ma a nomott felület teljes szélessége (.4 ábra). (.5) képlet segítségével a külpontosan nomott rúd határereje is előállítható: D S n (.) ma fenti képletek elég egszerű szerkezetűek és egszerű keresztmetszetek esetében igen egszerű végeredménekhez is vezetnek. következőkben a téglalap és a háromszög keresztmetszetekre mutatjuk be a gakorlati alkalmazásokra közvetlenül alkalmas képleteket. Téglalap keresztmetszet Tekintsük a.5 ábrán vázolt, külpontos nomóerővel terhelt, derékszögű négszög keresztmetszetű oszlopot. nomóerő D döféspontja c távolságra van a keresztmetszet bal szélétől. döféspont és az (egelőre ismeretlen helzetű) határvonal távolságát D jelöli. eladatunk a ma maimális nomófeszültség és az határerő meghatározása. z első lépésben a határvonal helét kell meghatározni. (.4) összefüggés alkalmazásához szükségünk van a nomott keresztmetszet határvonalra vonatkoztatott statikai és tehetetlenségi nomatékaira: S n b( c + D) és I n b( c + D ) z ma D b n c D h.v. ma.5 ábra. úzószilárdsággal nem rendelkező, külpontosan nomott, négszög keresztmetszetű oszlop. (.4) képletbe íg már behelettesíthetünk: 4

151 In b( c + D) D ( c + S b( c + ) n D D ) ahonnan D c (.7) (.5) képlet szolgáltatja a maimális nomófeszültség értékét: ma ma ( c + D) Sn b( c + D) b( c + D) (.) képlet alapján vag a fenti képlet átrendezésével a határerő képlete is megadható: n n (.8) áromszög keresztmetszet atározzuk meg a. ábrán vázolt, külpontos nomóerővel terhelt, egenlőszárú háromszög keresztmetszetű oszlopban keletkező ma maimális nomófeszültséget és az határerőt. nomóerő D döféspontja c távolságra van a háromszög csúcsától. döféspont és az (egelőre ismeretlen helzetű) határvonal távolságát D jelöli. z ma D b b n c D h.v. ma. ábra. úzószilárdsággal nem rendelkező, külpontosan nomott, egenlőszárú háromszög keresztmetszetű oszlop. 47

152 z első lépésben a határvonal helét határozzuk meg. (.4) összefüggés alkalmazásához szükségünk van a nomott keresztmetszet határvonalra vonatkoztatott statikai és tehetetlenségi nomatékaira: b ( c + D) S n és (.4) képletbe íg már behelettesíthetünk: I n b ( c + D ) D I S n n b ( c + D) b ( c + ) D c + D ahonnan D c (.9) (.5) képlet szolgáltatja a maimális nomófeszültség értékét: ma ma ( c + D) Sn b ( c + D) b ( c + D) (.) képlet alapján vag a fenti képlet átrendezésével a határerő képlete is megadható: n n (.0) fenti két esetben egszerű módon egszerű képleteket vezettünk le téglalap és háromszög keresztmetszetű zömök rudak maimális nomófeszültségének és határerejének meghatározására. Nem mindig jutunk azonban ilen egszerű képletekhez. Ennek az az oka, hog a (.4) képletben az S n és az I n is D függvéne S n f( D ) és I n f( D ) íg az D számítása során általános esetben harmadfokú egenletet kell megoldani. (Erre a.. pontban mutatunk be számpéldát.) B: Képléken megoldás Ebben a pontban azt tételezzük fel, hog a külpontosan nomott zömök rúd anaga rugalmasképléken. Tekintsük először a rugalmas viselkedés szakaszát (.7/a ábra). Ebben az esetben a külpontos erő eg bizonos határértékénél a szélső szálban éppen a folási feszültséggel megegező normálfeszültség keletkezik. Ez a rugalmas folási határerő, amit a (.) képlet alapján az S n ma összefüggés ad meg, ahol S n a nomott felület statikai nomatéka a határvonalra. 48

153 z z z ma h.v. h.v. h.v. D D D c D n ma a) rugalmas viselkedés b) rugalmas-képléken viselkedés c) képléken viselkedés.7 ábra. úzószilárdsággal nem rendelkező, külpontosan nomott, rugalmas-képléken anagú zömök rúd. gakorlati méretezés során a folási feszültség biztonsági ténezővel osztott értékével, a határfeszültséggel dolgozunk. Ezzel számolva, a (.) képlettel már megadott S n ma határerőt kapjuk. rugalmas-képléken viselkedés azonban azt jelenti, hog amikor a maimális feszültség a szélső szálban eléri a folási határt, a terhelés tovább növelhető. Ezzel átkerülünk a képléken viselkedés fázisába. keresztmetszet egre nagobb része kerül képléken állapotba és az erőhöz közelebbi szélső szál mellett egre több szálban éri el a feszültség a folási határt (.7/b ábra). Ezzel eg időben a keresztmetszet másik oldalán a repedések hossza nő és a határvonal közelebb kerül a döfésponthoz. Végül a törési határállapotban a feszültségmegoszlás végig egenletes (.7/c ábra). törőerő értéke: (.) T n ahol n a nomott felület. nomott felület nagságát csak akkor tudjuk kiszámítani, ha már tudjuk hog hol van a határvonal. z a tén, hog a nomófeszültségek megoszlása végig egenletes, jelentősen megkönníti a határvonal meghatározásának feladatát. z egenletes feszültségmegoszlásnak uganis az a következméne, hog a nomott felület súlpontja egbeesik az erő döféspontjával. Ez pedig a határvonal helének meghatározását eg súlpontszámítási feladatra vezeti vissza. ivel az n a döféspontra nézve központos nomott terület, 49

154 felírhatjuk, hog a nomott felület statikai nomatéka zérus a határvonallal párhuzamos és a döfésponton átmenő tengelre. Íg az S 0 (.) D egenletből a határvonal hele már meghatározható. Ez a számítás általában egszerű, de esetenként kétismeretlenes egenletrendszerhez is vezethet. Ilenkor érdemes megfontolni, hog a számítást közelítő módon hajtsuk végre. közelítő számítás során a döféspontra nézve központos területet eg olan négszög alakú terület kialakításával hozzuk létre, amelnek súlpontja a döfésponttal egbeesik. közelítő módszer előne az egszerűségen kívül az is, hog a pontos területhez viszonítva mindig kisebb (vag vele azonos méretű) területet kapunk és íg a közelítéssel nem csökkentjük a szerkezet biztonságát. négszög alakú terület kialakítása azzal a hallgatólagos feltételezéssel jár, hog a határvonal törtvonal alakú. valóságban a határvonal természetesen nem lehet törtvonal alakú, de ez az anomália nem befolásolja számottevően az amúg is közelítő eljárásunk megbízhatóságát... Gakorlati alkalmazás külpontosan nomott zömök szerkezetek esetében is a méretezés Y Y alapegenletének alkalmazásával hajtjuk végre a méretezési feladatokat. ind a rugalmas, mind pedig a képléken viselkedés esetén az igénbevétel-összehasonlítás módszerét alkalmazzuk. következő kilenc számpélda a gakorlati alkalmazás széles skáláját mutatja be. ) Téglalap keresztmetszetű oszlop rugalmas vizsgálata Ellenőrizzük, hog megfelel-e a.8/a ábrán vázolt, 50 kn erővel terhelt, zömök oszlop rugalmas viselkedés feltételezésével. külpontos nomóerő döféspontja a téglalap keresztmetszet szimmetriatengelén van, a keresztmetszet szélétől c 50 mm-re. z oszlop anagának határfeszültsége 4 N/mm. határvonal távolságát a döfésponttól a (.7) képlet adja: D c mm Ezzel meghatározható a nomott felület: b( c + ) 400( ) mm n D z oszlop határerejét a (.8) képlettel számíthatjuk ki: n N 0 kn z oszlop tehát megfelel, mert az 0 kn > 50 kn egenlőtlenség teljesül. -ábrát a.8/b ábrán találjuk. 50

155 50 kn 50 kn 00 mm 00 D c b 00 b b D c 50 D h.v. 00 b 00 b b ma a) b).8 ábra. Rugalmas vizsgálat. a) külpontosan nomott zömök oszlop, b) nomott felület és -ábra. ) L-alakú keresztmetszettel rendelkező oszlop rugalmas vizsgálata Ellenőrizzük, hog megfelel-e a.9/a ábrán alaprajzával megadott zömök oszlop rugalmas viselkedés feltételezésével. z oszlopot eg 0 kn nagságú nomóerő terheli a D pontban. nomóerő D döféspontja az L-alakú keresztmetszet függőleges szárának szimmetriatengelén van, a keresztmetszet szélétől c 00 mm-re. z oszlop anagának határfeszültsége 4 N/mm b D c 00 n 400 b D c 00 D h.v. 00 b 00 b 00 mm 00 a) b).9 ábra. Rugalmas vizsgálat. a) zömök oszlop L-alakú keresztmetszettel, b) nomott felület és -ábra. 5

156 eltételezést kell tennünk a határvonal helét illetően. nnit azonnal tudunk, hog a határvonal a keresztmetszet szélétől c 00 mm-re lévő D döféspont másik oldalán van, de azt nem tudjuk, hog milen messze. vizsgálati eljárásunk egészen máshog alakul, ha határvonal nem metsz bele az L-alakú keresztmetszet alsó szárába, mint amikor belemetsz. a nem metsz bele, akkor a teljes keresztmetszetből csak eg téglalap alakú részt kell figelembe vennünk, mert a keresztmetszet többi része megreped és ezért nem vesz részt az erőjátékban. Tételezzük fel, hog nem metsz bele. Ekkor az oszlop úg viselkedik, mintha téglalap keresztmetszettel rendelkezne. Ez esetben a határvonal távolságát a döfésponttól a (.7) képlet adja: D c mm elmérve az D 00 mm-t a döféspont másik oldalára, azt látjuk, hog a határvonal valóban nem metsz bele az L-alakú keresztmetszet alsó szárába (.9/b ábra). eltételezésünk tehát heles volt, és alkalmazhatjuk a derékszögű négszög keresztmetszetre levezetett összefüggéseket. nomott felület nagsága íg: b( c + ) 00( ) mm n D z oszlop határerejét a (.8) képlettel számíthatjuk ki: z oszlop tehát megfelel, mert az egenlőtlenség teljesül. n N 80 kn 80 kn > 0 kn ) áromszög alakú keresztmetszettel rendelkező oszlop rugalmas vizsgálata Ellenőrizzük, hog megfelel-e a.0/a ábrán vázolt, 50 kn erővel terhelt, zömök oszlop rugalmas viselkedés feltételezésével. külpontos nomóerő döféspontja az szimmetriatengelen van, a keresztmetszet baloldali szélétől c 00 mm-re. z oszlop anagának határfeszültsége.4 N/mm. határvonal távolságát a döfésponttól a (.9) képlet adja: D c 00 mm nomott felület (.0/b ábra) meghatározásához szükség van a b távolságra: b Ezzel meghatározható a nomott felület: mm 500 b ( c + D ) 0( ) n 4000 mm 5

157 50 kn 50 kn 500 mm 500 c 00 D 00 b 00 b b n c 00 D D h.v. b 00 b 00 b b.0 ábra. Rugalmas vizsgálat. a) háromszög keresztmetszetű zömök oszlop, b) nomott felület és -ábra. z oszlop határerejét a (.0) képlettel számíthatjuk ki: n N.5 kn z oszlop nem felel meg, mert a határerő kisebb a mértékadó erőnél:.5 kn < 50 kn 4) Általános helzetű nomóerővel terhelt oszlop rugalmas vizsgálata./a ábrán keresztmetszetével megadott méter magas zömök oszlopot eg 50 kn nagságú nomóerő terheli. z oszlop anagának határfeszültsége.4 N/mm. terhelő erő döféspontja nem esik egik súlponti tengelre sem. döféspont helzetét a két külpontosságával, az e 50 mm és e 00 mm távolságokkal adjuk meg. Ellenőrizzük, hog megfelel-e az oszlop rugalmas viselkedés feltételezésével. külpontosságok figelembevétele után az erőt a keresztmetszetre elhelezve azt látjuk, hog a döféspont az sarokponttól 00 mm-re van, mind az mind az iránban. külpontos nomás vizsgálata (.4 ábra) azt mutatta, hog a keresztmetszetnek eg a döféspont körüli része vesz részt az erőjátékban (nomófeszültségek kialakulása mellett), míg a keresztmetszet erőtől távolabbi részében repedések keletkeznek és ez a rész kiesik az erőjátékból. maimális nomófeszültség a keresztmetszetnek az erőhöz közelebbi szélén esetünkben az pontban ébred. határvonal valahol a döféspont másik oldalán helezkedik el. Kössük össze az pontot a döfésponttal és a meghosszabbított egenesre állítsunk merőlegest valahol a D pont másik oldalán (./b ábra). Ez az egelőre ismeretlen távolságban lévő határvonal. döféspont körül íg eg háromszög körvonalazódik, mint nomott felület. Tételezzük fel, hog ténleg ez a nomott felület. ma a) b) 5

158 áromszög alakú nomott felület esetében az D távolság (amel meghatározza a határvonal helét) azonos a c távolsággal (ami a döféspont hele a keresztmetszet szélétől).. ábra adataival ez D c mm 500 mm 500 e 00 b h.v. 00 b S e D 00 b e 00 C D S c B D E n ábra. Rugalmas vizsgálat. a) Általános helzetű nomóerővel terhelt oszlop, b) nomott felület és -ábra. Ezt a távolságot a döféspont másik oldalán felmérve a B pontot kapjuk. Ezen a ponton meg át az D egenesre merőleges határvonal. Itt véglegesítve a határvonalat, azt tapasztaljuk, hog a határvonal valóban eg háromszöget határol le a téglalap keresztmetszetből. z egenlőszárú háromszög két oldalának hossza az ábra adatai szerint: nomott felület: E távolság C távolság mm n mm határerő íg a háromszög alakú nomott felületre vonatkozó (.0) képlet segítségével határozható meg. n N 70.7 kn Ez az erő kisebb mint az oszlopot támadó erő íg az oszlop nem felel meg. a) b) 70.7 kn < 50 kn 5) T-keresztmetszetű oszlop rugalmas vizsgálata./a ábrán keresztmetszetével megadott méter magas zömök oszlopot az szimmetriatengelen lévő D pontban eg 50 kn nagságú nomóerő terheli. z oszlop anagának határfeszültsége 5.8 N/mm. terhelő erő döféspontja c 50 mm-re van a keresztmetszet bal oldali szélétől. Ellenőrizzük, hog megfelel-e az oszlop rugalmas 54

159 viselkedés feltételezésével. 00 b 00 b 00 b 00 b D 00 b 00 b 00 b n D h.v. c 50 c 50 D ma a) b). ábra. Rugalmas vizsgálat. a) T-keresztmetszetű nomott oszlop, b) nomott felület és -ábra. zt tudjuk, hog a nomott felületet a döféspont körnékén alakíthatjuk ki, és elsőnek téglalap keresztmetszetre gondolhatunk. Eg pillanat alatt beláthatjuk azonban, hog a téglalap keresztmetszetre levezetett összefüggések a./a ábrán vázolt keresztmetszet esetében nem alkalmazhatók. Téglalap keresztmetszet esetén uganis a határvonal D c 00 mm távolságra lenne a döfésponttól, de az ábrán látszik, hog D > 50 mm esetén a határvonaltól balra lévő felület már nem lenne téglalap. Ebből az következik, hog a határvonal megállapítására az általános alakú keresztmetszetre vonatkozó (.4) összefüggést kell alkalmaznunk. z ebben a képletben szereplő statikai nomaték és tehetetlenségi nomaték (a. ábra adataival): S n D D + 00( D 50) 50D D és I n ( D 50) D +.D D D + 08 Behelettesítve a (.4) képletbe az D I S n n. D D D D D összefüggést kapjuk, ahonnan az f ( ).7 D 5000D 08 0 harmadfokú egenlethez jutunk. harmadfokú egenlet legkisebb göke a keresett D távolságot adja. megoldást előállíthatjuk például a Newton-Raphson-féle érintő módszer segítségével, vag számítógépes programot, például a athcad-et használjuk, amikor is az 55

160 egütthatók beírása után kiadjuk a gök utasítást. következőkben a matematikai tanulmánainkból már ismert Newton-Raphson módszer (. ábra) alkalmazását mutatjuk be. tgαf ( 0 ) f ( 0 ) Δ Δ f ( 0 ) f ( 0 ) 0 Δ f() D f ( 0 ) Δ 0 f ( 0 ) Δ... n n- Δ n. ábra. Newton-Raphson-féle érintő módszer függvén zérushelének közelítő meghatározására. megoldáshoz szükség van az első deriváltra: f ( ) 50.0D 5000 Tekintsük a megoldás nulladik közelítésének az 0 50 értéket. Ezt az értéket a f (50) f (50) értékkel kell módosítani, hog megkapjuk az első közelítést: z első közelítés f (80.54) f (80.54).4 módosításával a második közelítéshez jutunk: második közelítés f (4.) f (4.) módosításával a harmadik közelítéshez jutunk:.5 5

161 harmadik közelítés f (.05) f (.05) 4 módosításával végül a negedik közelítéshez jutunk: Ez már olan kismértékben tér el az előző közelítéstől, hog végleges értéknek fogadjuk el: D 0. mm ( athcad program alkalmazásával az D 0. mm értéket kapjuk.) z D értékének ismeretében a nomott felület (./b ábra) statikai nomatéka a határvonalra: S mm n határerő most már a (.) képletből kiszámítható: Sn N 4. kn ma Ez az érték kisebb, mint az 50 kn, tehát az oszlop nem felel meg. ) Szimmetrikusan terhelt téglalap keresztmetszetű oszlop képléken vizsgálata atározzuk meg a.4/a ábrán keresztmetszetével megadott, méter magas zömök oszlop törőerejét képléken viselkedés feltételezésével. külpontosan elhelezkedő nomóerő döféspontja a téglalap keresztmetszet szimmetriatengelén van, a keresztmetszet szélétől c 50 mm-re. z oszlop anagának törőfeszültsége. N/mm. törőerő (.) képletének alkalmazásához szükségünk van a nomott felületre. nomott felület a döféspont körül kialakított olan felület, amelnek súlpontja egbeesik az erő döféspontjával. Esetünkben ez azt jelenti, hog a határvonalat a döfésponttól 50 mm-re jobbra, az tengelre merőlegesen kell behúzni (.4/b ábra). nomott felület ekkor nagságú, amivel a törőerő értéke 400 ( ) 0000 mm n T n N 4 kn 57

162 c mm h.v. D b 400 D n a) b).4 ábra. Képléken vizsgálat. a) téglalap keresztmetszet, b) nomott felület és -ábra. 7) Általános helzetű erővel terhelt téglalap keresztmetszetű oszlop képléken vizsgálata atározzuk meg a.5/a ábrán keresztmetszetével megadott méter magas zömök oszlop törőerejét képléken viselkedés feltételezésével. z oszlop anagának törőfeszültsége. N/mm. külpontosan elhelezkedő nomóerő döféspontja az sarokponttól 00 mm-re jobbra és 00 mm-re felfelé van. Ez a döféspont nem esik rá egik súlponti tengelre sem. Állítsuk először elő a közelítő megoldást. E célból a döféspont körül eg olan négszög alakú területet határolunk le, amelnek a döféspont a súlpontja (.5/b ábra). Ennek területével számolva, a törőerőt a (.) képlet adja: T n N 88 kn D 00 S h.v. D n h.v h.v. D n a) b) c).5 ábra. Képléken vizsgálat. a) nomott oszlop általános helzetű döfésponttal, b) nomott felület a közelítő megoldáshoz, c) nomott felület a pontos megoldáshoz. 58

163 pontos megoldáshoz az D egenesre merőleges egenes (a határvonal) segítségével olan háromszöget alakítunk ki, amelnek a D döféspont a súlpontja (.5/c ábra). Ennek területével számolva, a törőerő: T n N 99 kn 8) Általános keresztmetszetű oszlop képléken vizsgálata Ellenőrizzük, hog megfelel-e a./a ábrán keresztmetszetével megadott zömök oszlop képléken viselkedés feltételezésével. z 00 kn nagságú nomóerő D döféspontja a szimmetriatengelen van. z oszlop anagának törőfeszültsége.0 N/mm n D h.v. D a) b). ábra. Képléken vizsgálat. a) nomott oszlop keresztmetszete, b) nomott felület és -ábra. z első lépés a határvonal helének meghatározása. határvonalat a döfésponttól balra távolságra húzzuk be (./b ábra) és az távolságot abból a feltételből határozzuk meg, hog a nomott felület statikai nomatéka a döfésponton átmenő és a határvonallal párhuzamos tengelre zérus: S D Innen: mm törőerő értéke íg T n ( ) 990 N 9.9 kn Ez az erő nagobb az oszlopra ható 00 kn nagságú nomóerőnél, íg az oszlop megfelel. 9) T-keresztmetszetű oszlop képléken vizsgálata Ellenőrizzük, hog megfelel-e a.7/a ábrán keresztmetszetével megadott zömök oszlop képléken viselkedés feltételezésével. z 00 kn nagságú nomóerő D döféspontja a szimmetriatengelen van. z oszlop anagának törőfeszültsége 5.0 N/mm. 59

164 00 b D 00 b 00 b 00 b 00 b n 00 b D 00 b h.v. 00 b 00 b 00 b 80 0 a) b).7 ábra. Képléken vizsgálat. a) T-keresztmetszetű nomott oszlop, b) nomott felület és -ábra. z első lépés a határvonal helének meghatározása. határvonal a döféspont jobb oldalán kell hog legen. elét az sarokponttól távolságra tételezzük fel (.7/b ábra) és az távolságot abból a feltételből határozzuk meg, hog a nomott felület statikai nomatéka a döfésponton átmenő és a határvonallal párhuzamos tengelre zérus: S D Innen az másodfokú egenletet kapjuk, melnek pozitív göke nomott felület íg a törőerő pedig 5. mm mm n T n N 07.8 kn Ez nagobb mint az oszlopot terhelő 00 kn nagságú erő, íg az oszlop megfelel.. Külpontosan nomott karcsú rudak külpontosan nomott karcsú rudak és a külpontosan húzott rudak viselkedése alapvetően eltér egmástól. z eltérés oka a kihajlás jelensége, ami csak nomott rudaknál jelentkezik. kihajlás során a nomott karcsú rúd meggörbül és az erő eredeti külpontossága megváltozik, mégpedig megnő (.8/a ábra). külpontosan húzott rúd is meggörbül, de a külpontosan húzott rúd eredeti külpontossága csökken (.8/b ábra). 0

165 e* > e e* < e e e a) a külpontosság megnő b) a külpontosság csökken.8 ábra. külpontosan nomott, illetve húzott rúd meggörbülése. külpontosság csökkenése nem befolásolja hátránosan a szerkezet viselkedését és íg a külpontosan húzott szerkezeteknél az eredeti külpontossággal számoltunk. külpontosan nomott karcsú rudaknál jelentkező külpontosság-növekedés viszont kedvezőtlen jelenség és ezért figelembe kell venni... úzószilárdsággal rendelkező karcsú rudak z ide tartozó tartószerkezeteink közül talán a fa- és acélszerkezetek a legfontosabbak. Ezek erőjátéka és ennek megfelelően tárgalása meglehetősen bonolult és a szerkezettervező munkáját szerteágazó szabvánelőírások is szabálozzák. téma fontosságának megfelelően íg a fa- és acélszerkezetek vizsgálatával külön féléves tantárg foglalkozik... úzószilárdsággal nem rendelkező karcsú rudak z építőipari gakorlatban sűrűn alkalmazott beton- és falazott szerkezetek esetében elhanagoljuk a kis és egébként is bizontalan húzószilárdságot és képléken viselkedést vagis egenletes nomófeszültség-eloszlást tételezünk fel. vizsgálat alapját íg a külpontosan nomott zömök rudak esetében a... pontban bemutatott eljárás képezi, azzal az igen fontos kiegészítéssel, hog figelembe vesszük azt a tént, hog az erő (eredeti) külpontossága a kihajlás következtében megnő. Előírjuk továbbá, hog az l 0 /h-val definiált karcsúság maimális értéke Betonszerkezetek határerőt az 0.8 (.) e képlet segítségével határozzuk meg, ahol e a keresztmetszetnek a mértékadó külpontosságú erőhöz rendelhető legnagobb központos része és a beton nomási határfeszültsége (a. táblázat szerint). mértékadó külpontosság értékét az

166 e e + e (.4) összefüggéssel adhatjuk meg, ahol e az eredeti (vag ún. számított ) külpontosság és Δe a külpontosság növekméne. z e eredeti külpontosság értéke vag látható/lemérhető (az erő döféspontja és a súlpont közötti távolság) vag pedig a statikai számításból az e (.5) N képletből határozható meg, ahol a mértékadó nomaték és N a hozzá tartozó ( -el egidejű) normálerő. külpontosság kedvezőtlen hatású növekméne több ok miatt jöhet létre: l0 l e h + + h (.) 400 0h fenti összefüggésben az első tag a keresztmetszet inhomogenitásából származó kezdeti hibával, a második tag a rúd esetleges görbeségével, a harmadik tag pedig a terhelés hatására keletkező kedvezőtlen elmozdulással kapcsolatos; h a keresztmetszet teljes mérete a vizsgálat síkjában és l 0 a rúd kihajlási hossza a vizsgált síkban (a. fejezetben a központos nomásnál tárgaltak szerint). gakorlati munka megkönnítése céljából a Δe/h fajlagos külpontosság növekmén értékeit a. táblázatban adjuk meg.. táblázat. Δe/h fajlagos külpontosság növekmén betonszerkezetekhez az l 0 /h karcsúság függvénében. l h e h Δe/h fajlagos külpontosság növekmén ismeretében a mértékadó külpontosság az e e e + h (.7) h összefüggéssel már meghatározható. Általános esetben ezután két vizsgálatot kell elvégezni: eget a legnagobb karcsúság iránában (.9/a ábra) és eget a legnagobb karcsúság iránára merőlegesen (.9/b ábra). indkét esetben az e eredeti külpontosságú D döféspontot Δe-vel (az S súlponthoz viszonítva) távolabb tesszük a vizsgált iránban (D ), majd kialakítjuk a D körüli legnagobb e központos területet. Ezzel a központos területtel számolva, a (.) képlet megadja a vizsgált iránhoz tartozó határerőt:, 0. 8 e, és, 0. 8 e, rúd határereje a két határerő közül a kisebbik: (.8)

167 min (.9),,, e, e Δe e, D e, h D S D D S Δe e e, h a) b).9 ábra. Külpontosan nomott karcsú oszlop vizsgálata a) a legnagobb karcsúság iránában, b) a merőleges iránban. központos terület kialakítása során a zömök rudaknál elmondottak szerint eljárhatunk pontosan vag közelítő módon. a a D körül könnűszerrel kialakítható háromszög alakú terület (derékszögű négszög keresztmetszet esetén), akkor a pontos megoldást választjuk, ha pedig nem, akkor megfontolandó a közelítő megoldás alkalmazása, amikor is a D körül téglalap alakú területtel adjuk meg a nomott felületet. e h bh b D S h e e h e bh e b h h h/ e e h/.0 ábra. szimmetriatengelen elhelezkedő döféspontú külpontosan nomott karcsú oszlop. Derékszögű négszög alakú keresztmetszet esetében a számítás némileg egszerűbb formában hajtható végre, ha a döféspont szimmetriatengelen helezkedik el (.0 ábra). szimmetriasíkban végrehajtott vizsgálat esetében uganis a központos terület képlete közvetlenül felírható és beépíthető a (.) képletbe és az e h 0.8 (.0) egszerűbb képlethez jutunk. Itt a külpontosan nomott rúd teljes keresztmetszeti területe;

168 ezzel elkerüljük a központos terület kialakításával kapcsolatos munkát. a a nomóerő döféspontja a legnagobb karcsúság iránába esik, akkor a merőleges iránban nem kell a vizsgálatot elvégezni.... alazott szerkezetek alazott szerkezetek esetében a betonszerkezeteknél elmondottakhoz nagon hasonlóan járunk el. különbséget a számításban szereplő néhán állandó némileg eltérő értéke jelenti. határerőt az (.) e képlet segítségével határozzuk meg, ahol e a keresztmetszetnek a mértékadó külpontosságú erőhöz rendelhető legnagobb központos része és f a falazat nomási határfeszültsége (a.5 táblázat szerint). mértékadó külpontosság értékét az f e e + e (.) összefüggéssel adhatjuk meg, ahol e az eredeti (vag ún. számított ) külpontosság és Δe a külpontosság növekméne. z e eredeti külpontosság értéke vag látható/lemérhető (az erő döféspontja és a súlpont közötti távolság) vag pedig a statikai számításból az e (.) N képletből határozható meg, ahol a mértékadó nomaték és N a hozzá tartozó ( -el egidejű) normálerő. külpontosság kedvezőtlen hatású növekméne több ok miatt jöhet létre: l0 l0 0.05h h e (.4) 450 0h fenti összefüggésben az első tag a keresztmetszet inhomogenitásából származó kezdeti hibával, a második tag a rúd esetleges görbeségével, a harmadik tag pedig a terhelés hatására keletkező kedvezőtlen elmozdulással kapcsolatos; h a keresztmetszet teljes mérete a vizsgálat síkjában és l 0 a rúd kihajlási hossza a vizsgált síkban (a. fejezetben a központos nomásnál tárgaltak szerint). gakorlati munka megkönnítése céljából a Δe/h fajlagos külpontosság növekmén értékeit a. táblázatban adjuk meg.. táblázat. Δe/h fajlagos külpontosság növekmén falazott szerkezetekhez az l 0 /h karcsúság függvénében. l h e h Δe/h fajlagos külpontosság növekmén ismeretében a mértékadó külpontosság az 4

169 e e e + h (.5) h összefüggéssel már meghatározható. Általános esetben ezután két vizsgálatot kell elvégezni: eget a legnagobb karcsúság iránában (.9/a ábra) és eget a legnagobb karcsúság iránára merőlegesen (.9/b ábra). indkét esetben az e eredeti külpontosságú D döféspontot Δe-vel (az S súlponthoz viszonítva) távolabb tesszük a vizsgált iránban (D ), majd kialakítjuk a D körüli legnagobb e központos területet. Ezzel a központos területtel számolva a (.) képlet megadja a vizsgált iránhoz tartozó határerőt:, e, f és e, f rúd határereje a két határerő közül a kisebbik:,,,, (.) min (.7) központos terület kialakítása során a zömök rudaknál elmondottak szerint eljárhatunk pontosan vag közelítő módon. a a D körül könnűszerrel kialakítható háromszög alakú terület (derékszögű négszög keresztmetszet esetén), akkor a pontos megoldást választjuk, ha pedig nem, akkor megfontolandó a közelítő megoldás alkalmazása, amikor is a D körül téglalap alakú területtel adjuk meg a nomott felületet. Derékszögű négszög alakú keresztmetszet esetében a számítás némileg egszerűbb formában hajtható végre, ha a döféspont szimmetriatengelen helezkedik el (.0 ábra). szimmetriasíkban végrehajtott vizsgálat esetében uganis a központos terület képlete közvetlenül felírható és beépíthető a (.) képletbe és az e h f (.8) egszerűbb képlethez jutunk. Itt a külpontosan nomott rúd teljes keresztmetszeti területe; ezzel elkerüljük a központos terület kialakításával kapcsolatos munkát. a a nomóerő döféspontja a legnagobb karcsúság iránába esik, akkor a merőleges iránban nem kell a vizsgálatot elvégezni... Gakorlati alkalmazás külpontosan nomott karcsú rúd megfelel, ha teljesül az feltétel. gakorlatban az ellenőrzéssel találkozunk gakrabban és a következőkben erre mutatunk be eg példát. Tekintsük a./a ábrán alaprajzával megadott épületet. z emeletmagasság m 0. m. Ellenőrizzük, hog megfelel-e az alaprajzon P-vel jelölt jobboldali sarokpillér külpontos nomásra. pillér méretei h 400 mm és h 00 mm. pillérre 50 kn nagságú nomóerő hat, amelnek döféspontját az e 40 mm és e 0 mm külpontosságok adják meg (./b ábra). pillér anaga beton, amelnek nomási határfeszültsége 5 N/mm. z alaprajzi elrendezés azt a fontos információt is szolgáltatja, hog az épület merevítetlen, mégpedig mindkét iránban merevítetlen, többnílású épület.. táblázat 5

170 szerint a kihajlási hossz meghatározásához szükséges ténező értéke mindkét iránban ν.5. kihajlási hossz íg mindkét iránban. l0, l0, νm m a) alaprajz P h 00 e 40 D S h 400 e 0 e e, D 0.4 e, 9. b) P jelű pillér c) vizsgálat iránban d) vizsgálat iránban S 90 e, 70 0 e, D 0 S 40. ábra. a) alaprajz, b) P pillér, vizsgálat c) a legnagobb karcsúság iránában, d) a merőleges iránban. z általános helzetű döfésponttal rendelkező nomóerő esetében két vizsgálatot kell végrehajtani: eget a legnagobb karcsúság iránában és eget rá merőlegesen. Vizsgálat a legnagobb karcsúság iránában mindkét iránban azonos (merevítetlen) megtámasztási mód miatt a legnagobb karcsúság iránát a keresztmetszet szélességi adatai határozzák meg. Ezek szerint a legnagobb karcsúság irána az irán. karcsúság értéke: l 0, h ( < 5) z ehhez tartozó külpontosság növekmén a (.) képletből kapható: e 0.05h l0, l0, h 400 0h mm D döféspontot tehát 5.5 mm-rel kell iránban (balra) elmozdítani a keresztmetszet bal széle felé (./c ábra), vagis e, mm. z íg kapott D mértékadó döféspont köré kell kialakítani a nomott felületet. Válasszuk most a közelítő megoldást, amikor az e, nomott felületet téglalapként hozzuk létre, úg, hog a téglalap súlpontja a D pont legen: mm e, z e, nomott felülethez tartozó határerő: N 9.9 kn, e,

171 Vizsgálat a legnagobb karcsúság iránára merőlegesen karcsúság értéke most: l 0, h ( < 5) z ehhez tartozó fajlagos külpontosság növekmént a. táblázatból kapjuk, ahol: e h Innen a külpontosság növekmén: e 0.h mm D döféspontot tehát most 0.0 mm-rel kell iránban (lefelé) elmozdítani a keresztmetszet alsó széle felé (./d ábra), vagis e, mm. z íg kapott D mértékadó döféspont köré kell kialakítani a nomott felületet. Válasszuk most is a közelítő megoldást, amikor az e, nomott felületet téglalapként hozzuk létre, úg, hog a téglalap súlpontja a D pont legen: mm e, z e, nomott felülethez tartozó határerő: pillér határereje; ellenőrzés N 4.0 kn, e, P pillér határereje az, és az, közül a kisebb, vagis min 9.9 kn,,, Ez az erő nagobb mint a pillér mértékadó terhe 9.9 kn 50 kn a pillér tehát megfelel.. keresztmetszet teherbírási vonala Külpontosan nomott szerkezeti elemek méretezése során sokszor előfordul, hog uganazon keresztmetszetet különböző nagságú és külpontosságú erő terheli. Ilen esetekben a keresztmetszet többszöri gors ellenőrzését nagmértékben elősegíti, ha azt a teherbírási vonal segítségével végezzük el. teherbírási vonal a külpontos N normálerő és az általa létrehozott Ne hajlítónomaték között fennálló összefüggést szemlélteti abban a szélső esetben, amikor a keresztmetszeten keletkező legnagobb feszültség éppen a határfeszültséggel egenlő. Ebben a pontban a teherbírási vonal előállítását és alkalmazását mutatjuk be abban az 7

172 esetben, amikor a vizsgált szerkezeti elem anaga húzószilárdsággal rendelkezik. eltételezzük továbbá, hog a rúd négszög keresztmetszetű és az N külpontos nomóerő döféspontja az egik szimmetriatengelre esik. N N 0 N P : nem felel meg h D S e N P : megfelel b O a) b) α N 0. ábra. Teherbírási vonal. a) Négszögkeresztmetszet, b) a keresztmetszet teherbírási vonala. Legen ez a szimmetriatengel az tengel (./a ábra). keresztmetszeti ténező ebben az esetben W bh /. külpontos nomás (.) alapegenlete ekkor az N + W N bh + bh alakba írható át, ahonnan az N normálerőt können kifejezhetjük: N bh h Ez az egenlet eg ( -a + b alakú) egenes egenlete. z egenes a teherbírási vonal, amelnek jellemző értéke 0-nál: és N 0-nál: N 0 0 bh bh z N 0 az e 0 külpontossághoz, vagis az elméleti (kihajlás nélküli) központos nomáshoz tartozó határerő és az 0 az e külpontossághoz, vagis a hajlításhoz tartozó határnomaték. Eg -N koordinátarendszerben a teherbírási vonal az N 0 és 0 pontokkal egértelműen megadható (./b ábra). ontos szerepet játszik a koordinátarendszer O kezdőpontjából induló, α meredekségű 8

173 ferde egenes. ctg α N összefüggés segítségével adott külpontossághoz tartozó N és értékpárokat tudunk meghatározni. teherbírási vonal ismeretében eg külpontosan nomott szerkezeti elem ellenőrzése igen egszerűen hajtható végre (./b ábra): ábrázoljuk a keresztmetszetre ható N és által meghatározott pontot. menniben a pont a teherbírási vonal és a koordinátatengelek által meghatározott háromszög területén belül van, a vizsgált elem megfelel (például a P pont), ha pedig a pont a területen kívül esik, a vizsgált elem nem felel meg (például a P pont). teherbírási vonal alkalmazásának bemutatásához tekintsük a./a ábrán vázolt keresztmetszetet. keresztmetszet két mérete h 00 mm és b 00 mm. külpontosan nomott rúd anagának határfeszültsége N/mm. árom kérdésre szeretnénk választ kapni: ) egfelel-e a rúd, ha a terhelése N 500 kn és 0 knm? ) egfelel-e a rúd, ha a terhelése N 00 kn és 40 knm? ) ekkora N erő és nomaték terhelheti a rudat, ha az erő külpontossága e 50 mm? e N [kn] hajlítás síkja 000 h 00 D S b 00 e N N 400 P 00 P (0,500) P (40,00) /e [knm] a) b). ábra. Teherbírási vonal. a) Négszögkeresztmetszet, b) a keresztmetszet teherbírási vonala. Állítsuk elő először a keresztmetszet teherbírási vonalát (./b ábra). két jellemző érték a teherbírási vonal metszéspontja az N tengellel N bh N 90 kn 0 és a teherbírási vonal metszéspontja az tengellel: bh Nmm 48 knm teherbírási vonal birtokában a három kérdésre egszerűen válaszolhatunk. ) P (0,500) pont a teherbírási vonal és a koordinátatengelek által határolt háromszög területén kívül esik, a rúd tehát erre a terhelésre nem felel meg. 9

174 ) P (40,00) pont a teherbírási vonal és a koordinátatengelek által határolt háromszög területére esik, a rúd tehát erre a terhelésre megfelel. ) z e 50 mm külpontossághoz tartozó N erőt és nomatékot a külpontosságot jellemző ferde egenes és a teherbírási vonal metszéspontja adja. külpontosságot jellemző egenes egenlete az e 50 /N-ből: 50N teherbírási vonal egenlete a vizsgált rúd adataival (h 00, b 00 és ): N h 00 bh Ide behelettesítve az fenti összefüggését: ahonnan és N N N N N 480 kn Nmm 4 knm z e 50 mm külpontossághoz tehát az N 480 kn erő és az 4 knm nomaték tartozik. Ezt az eredmént szerkesztéssel is megkaphatjuk. koordinátarendszer kezdőpontjából 00 tgα 0 e meredekségű egenest indítunk. z egenes metszéspontja a teherbírási vonallal megadja a N és értékeit (./b ábra). 70

175 Csavarás Ebben a fejezetben egenestengelű prizmatikus rudak csavarásának legegszerűbb eseteivel foglalkozunk. rudak anagáról feltételezzük, hog homogén, izotróp, lineárisan rugalmas és a ooke törvént követi.. Kör keresztmetszetű tömör rudak csavarása Tekintsük a./a ábrán vázolt l hosszúságú, kör keresztmetszetű tömör rudat. z egenes tengelű rúd bal oldalát merev befogással rögzítjük. rúdra a jobboldali végkeresztmetszetének síkjában működő nomaték hat. Ezt a nomatékot a keresztmetszet síkjára merőleges cs jelű vektorral ábrázoljuk. z alakváltozások bekövetkezése után a rúd nugalomban marad. Ez csak úg lehetséges, ha a befogás kénszerét az cs ellentettjével helettesíthetjük. végkeresztmetszet síkjában működő cs nomaték a rudat csavarásra veszi igénbe és íg az cs nomatékot csavarónomatéknak hívjuk. eladatunk a keresztmetszetek síkjában keletkező feszültségek és a rúd alakváltozásának meghatározása. I. II. z dz l - z l cs z S γ dz B B r dφ z a) b). ábra. Körkeresztmetszetű rúd csavarása. a) befogott rúd cs csavarónomatékkal, b) elemi henger torzulása. rúdtengelre merőleges sík keresztmetszetek az alakváltozás után is síkok maradnak és ennélfogva a keresztmetszet bármel két pontja közötti távolság az alakváltozás során nem változik. rúd egenes tengele az alakváltozás után is egenes marad és a keresztmetszetek merőlegesek maradnak a rúd tengelére. ivel nincs rúdtengel iránú hosszváltozás, normálfeszültségek sem keletkeznek. z egensúlt íg csak τ nírófeszültségek biztosíthatják. keresztmetszetek a z tengel körül elfordulnak../b ábra a befogástól z távolságra lévő dz hosszúságú elemi henger alakváltozását mutatja. (z ábra a jobb láthatóság 7

176 érdekében az elemi hengert z iránban felnagítva ábrázolja.) henger baloldali (a befogástól z távolságra lévő) keresztmetszete a z tengel körül φ elfordulást szenved. Ez az elfordulás dz távolsággal jobbra, a henger jobb oldali keresztmetszeténél dφ-vel nő. z elemi hengernek az alakváltozás előtt a rúdtengellel párhuzamos B hosszanti szála az alakváltozás során γ torzulást szenved és a jobboldali keresztmetszeten lévő B pont a B helre kerül. a a B pont helzetét a jobboldali keresztmetszeten vizsgáljuk, akkor azt mondhatjuk, hog a B pont a keresztmetszet dφ-vel történő elfordulása következtében kerül a B helre. BB távolságot ezek szerint kétféleképpen is felírhatjuk: Innen a szögtorzulás BB γ dz dϕr d γ r ϕ dz rugalmas viselkedés következtében a szögtorzulás és a nírófeszültségek között fennáll a τ Gγ kapcsolat. Íg a nírófeszültségre felírható a d τ Gr ϕ dz összefüggés. befogástól z távolságban vágjuk ketté a./a ábrán vázolt rudat és vizsgáljuk meg a jobboldali l - z hosszúságú rész egensúlát (./a ábra). τ II. cs z S τ r d τ R l - z a) b) c). ábra. Kör keresztmetszetű rúd csavarása. a) az l - z hosszúságú rúdrész egensúla, b) τd erő nomatéka a súlpontra, c) a nírófeszültségek megoszlása a sugár mentén. jobboldalon cs csavarónomatékkal terhelt rész z tengel körüli nomatéki egensúla az elvágott keresztmetszeten ébredő τ nírófeszültségek segítségével biztosítható. τd erők r karjukkal fejtenek ki nomatékot a súlponti tengel körül (./b ábra). nomatéki egensúlt íg az rτ d 0 cs ( ) 7

177 egenlet fejezi ki. Ide beírva a τ fenti értékét: cs dϕ Gr d 0 dz ( ) z integráljel mögül a konstans nírási rugalmassági moduluson kívül a dφ/dz hánados is kiemelhető, hiszen értéke konstans a keresztmetszeti területre vonatkozó integrál szempontjából. mi megmaradó integrálkifejezés a keresztmetszet poláris tehetetlenségi nomatéka: I o r ( ) d z elfordulás első deriváltjára íg a d ϕ dz GI cs o összefüggést kapjuk, ahol πr I o z elfordulás első deriváltjának fenti kifejezése csak ismert állandó menniséget tartalmaz a jobboldalon, íg az elsőrendű közönséges differenciálegenlet közvetlenül megoldható. Egszeri integrálás után figelembe véve hog az elfordulás értéke zérus a befogásnál, vagis φ(z 0) 0 a differenciálegenlet megoldása: 4 cs ϕ z (.) GI o keresztmetszet maimális elfordulása a rúd szempontjából nézve maimális elcsavarodás a rúd végén jön létre: l cs ϕ ma (.) GIo z elfordulás első deriváltjának ismeretében a nírófeszültség is előállítható: dϕ cs τ Gr r (.) dz I képletből látható, hog a nírófeszültség értéke zérus az r 0-nál, vagis a kör középpontjában és a maimális értéket a keresztmetszet kerületi pontjaiban veszi fel: o cs τ ma R (.4) I kör sugara mentén a nírófeszültség lineárisan változik (./c ábra). o 7

178 fenti levezetés körgűrű esetében is érvénes és a képletek körgűrű keresztmetszetű rudakra is használhatók. Ekkor az I o a körgűrű poláris tehetetlenségi nomatékát jelenti. körgűrű keresztmetszetű rudak általában a vékonfalú szerkezetek kategóriájába tartoznak, amelekkel részletesebben a. pontban foglalkozunk. Végül felhívjuk a figelmet a hajlítási és csavarási probléma hasonlóságára, amit a (.) és (.) összefüggések összehasonlítása szemléltet.. Négszög keresztmetszetű rudak csavarása négszög keresztmetszetű rudak csavarási problémájának pontos vizsgálata meghaladja az elemi szilárdságtan és ezen jegzet kereteit és a megoldás is meglehetősen bonolult. Ebben a pontban íg csak a vizsgálat legfontosabb megállapításait ismertetjük és eg a gakorlatban jól használható, egszerű közelítő összefüggést ismertetünk a nírófeszültségek meghatározására. z elméleti és kísérleti vizsgálatok megállapításai az alábbiak szerint foglalhatók össze: ) a négszög keresztmetszetű rudak csavarása során csak elhanagolhatóan kicsin normálfeszültségek keletkeznek ) a rúd sík keresztmetszetei az alakváltozás után nem maradnak síkok és torzulás (ún. öblösödés) jön létre ) a négszög keresztmetszet sarokpontjaiban nem keletkezik nírófeszültség (. ábra) 4) a legnagobb torzulás és a legnagobb nírófeszültség az oldalegenesek közepén jön létre 5) a hosszabb oldal közepén nagobb a torzulás és a nírófeszültség értéke mint a rövidebb oldal közepén. z itt fellépő τ ma -nál a keresztmetszet belsejében sem keletkezik nagobb feszültség ) az oldalegenesek mentén a nírófeszültség intenzitását másodfokú parabola jellemzi τ < τ τ 0 h S τ ma τ ma τ ma τ τ 0 b 0 0. ábra. nírófeszültségek alakulása az oldalegenesek mentén cs csavarónomaték hatására. h > b oldalaránú keresztmetszetek (. ábra) esetében a nírófeszültség maimumát a összefüggés jó közelítéssel szolgáltatja. (.5) összefüggés a b τ cs + 8 ma τ. hb h (.5) 74

179 cs τ ma τ (.) hb α alakban is írható, ahol az α értékeit a.4 ábra diagramja tartalmazza a négszög oldalhosszainak aránában α h/b.4 ábra. α értékei a négszög keresztmetszet oldalhosszainak h/b aránában. a h >> b, akkor a négszög keresztmetszet ún. vékonfalú elemnek minősül, α.0 és a nírófeszültség képlete egszerűsíthető: ahol bevezettük cs cs cs τ ma v v (.7) hv hv J hv J [mm 4 ] (.8) Saint-Venant-féle csavarási tehetetlenségi nomatékot. fenti képletekben a b helett bevezettük a vékonfalú szelvéneknél szokásos v jelölést a keresztmetszet vastagságának jelölésére. ( vékonfalú elemekből összeépített keresztmetszetet vékonfalú szelvénnek nevezzük.) vékonfalú szelvének csavarási viselkedése eltér a tömör rudak viselkedésétől és ezekkel a következő pontban foglalkozunk. egjegezzük még, hog a Saint-Venant csavarási tehetetlenségi nomaték tiszta csavarási tehetetlenségi nomaték néven is ismert és jelölésére használatos az I t, illetve az I cs is. 75

180 .Vékonfalú szelvének csavarása tömör téglalap keresztmetszetű rudak tárgalásánál láttuk, hog ahog az oldalhosszak arána nő (h >> b), változik a csavarási viselkedés, illetve az α értékén keresztül (.4 ábra) a rúd fontos csavarási jellemzőjének (a tulajdonképpeni csavarási tehetetlenségi nomatéknak) az értéke. h/b > 0 aránnál már nem négszögkeresztmetszetről beszélünk, hanem vékonfalú elemről és a vastagság jelölésére a v (vag t) betűt használjuk. csavarási viselkedés tovább változik, és összetettebbé válik, amikor ilen vékonfalú elemeket összeépítünk és vékonfalú szelvéneket hozunk létre (.5 ábra). O S O a) S S S O O O b) S O S O S S O.5 ábra. Vékonfalú szelvének. a) csak J-vel rendelkeznek, b) J-vel és I ω -val is rendelkeznek. vékonfalú szelvének csavarási viselkedése során fontos szerepet játszik a csavarási középpont (v. nírásközéppont, v. merevségi középpont). csavarási középpont az a pont, amelen átmenő erő hatására a keresztmetszet eltolódik, de nem csavarodik el (. ábra). csavarási középpont jele O..5 ábrán a vékonfalú elemekből álló keresztmetszetek O csavarási középpontját és S súlpontját is bejelöltük. S S: súlpont O: csavarási középpont S O O a) a keresztmetszet csak eltolódik b) a keresztmetszet eltolódik és elfordul (O körül). ábra. keresztmetszet viselkedése a) a csavarási középponton átmenő erő hatására, b) ha az erő nem a csavarási középponton meg át. 7

181 vékonfalú szelvéneket osztálozhatjuk a keresztmetszet geometriai kialakítása szerint: a zárt szelvének csavarási viselkedése viszonlag egszerű, míg a nitott szelvének összetett módon állnak ellen a csavaró igénbevételnek. zárt szelvének legegszerűbb esetével tulajdonképpen már találkoztunk: a tömör kör keresztmetszetű rudakra levezetett (.), (.), (.) és (.4) képletek körgűrű keresztmetszet esetében is érvénesek, ha az I o poláris tehetetlenségi nomaték helére a körgűrű poláris tehetetlenségi nomatékát helettesítjük. Tekintsük most a.7/a ábrán vázolt, általános alakú zárt keresztmetszetével adott rudat. rúdra cs külső csavarónomaték hat. keresztmetszet v(s) falvastagsága a kerület mentén változó. τ(s) nírófeszültség megoszlása a falvastagság mentén egenletes (.7/b ábra) és nagsága a falvastagsággal fordítottan arános, tehát a τ(s)v(s) szorzat állandó. csavarási középpontot O jelöli. l o τ(s)v(s)ds ds O v(s) τ(s) s v(s) a) b).7 ábra. Vékonfalú zárt szelvén. a) általános alakú keresztmetszet, b) egenletes megoszlású τ feszültségek. v(s)ds elemi felületelemen a τ(s)v(s)ds belső erő működik. Ennek a csavarási középpontra vonatkoztatott nomatéka d lτ(s)v(s)ds. teljes belső csavarónomaték és az cs külső csavarónomaték egensúlát az cs τ ( s) v( s) lds egenlet fejezi ki, ahol a τ(s)v(s) szorzat állandóként kiemelhető az integrál elé. maradék integrálkifejezés a zárt keresztmetszet középvonala által határolt terület kétszerese íg a nírófeszültségre a lds o cs τ ( s) (.9) v( s) o összefüggést kapjuk. Ez a Bredt I. képlet, amelnek segítségével általános alakú zárt szelvén nírófeszültségeit tudjuk meghatározni. Bizonos esetekben (például amikor az alakváltozások nagságát is meg kell határozni) szükség lehet vékonfalú falelemekből összeépített zárt szelvének tiszta csavarási tehetetlenségi nomatékára. Általános alakú, falelemekből összeépített zárt keresztmetszet esetén a tiszta csavarási tehetetlenségi nomaték a 77

182 J m 4o hi v i [mm 4 ] (.0) összefüggésből határozható meg, ahol m a szelvént alkotó falelemek száma és h i és v i az i-edik falelem hossza és vastagsága (.8 ábra). (.0) összefüggés a Bredt II. képletként is ismert. Állandó v falvastagság esetén a képlet egszerűsödik: J 4o v [mm 4 ] (.) K Itt K a zárt keresztmetszet középvonala által határolt o terület kerülete. m o i v i h i K.8 ábra. Vékonfalú zárt szelvén a tiszta csavarási tehetetlenségi nomaték számításához. nitott szelvének csavarási viselkedése és vizsgálata jóval bonolultabb a zárt keresztmetszetekénél és itt csak a legfontosabb alapfogalmakat foglaljuk össze és ismertetünk eg egszerű speciális esetet. nitott szelvénű rúd kétféle módon állhat ellen a csavarásnak. z egik mód a tiszta csavarás. tiszta csavarás során a keresztmetszeten antimetrikus, ún. körbemenő nírófeszültségek keletkeznek (.9/a ábra), amelek a külső csavarónomatékot vag annak eg részét ellensúlozzák. v v τ v h v v v b b b a) b) c).9 ábra. Vékonfalú nitott szelvén. a) nírófeszültsége, b) I-keresztmetszet, c) Z-keresztmetszet. nitott szelvén tulajdonképpen kesken, tömör négszögkeresztmetszetek a falelemek összeépített rendszere (.9/b és.9/c ábra). Kesken, tömör keresztmetszettel már foglalkoztunk a. pont végén és most egszerűen átvesszük az ottani eredméneket (a.7 és.8 képleteket), azzal a kiegészítéssel, hog a keresztmetszetet most 78

183 több vékonfalú elem alkotja. nírófeszültséget az i-edik falelemben ezek szerint a J cs τ i vi (.) összefüggésből számíthatjuk ki, ahol J a Saint-Venant-féle csavarási tehetetlenségi nomaték: J m h i v i [mm 4 ] (.) fenti képletben i... m, és m a nitott szelvént alkotó falelemek száma. Saint- Venant-féle csavarási tehetetlenségi nomatékot tiszta csavarási tehetetlenségi nomatéknak is nevezik..9/b és.9/c ábrán vázolt I és Z keresztmetszet esetében a Saint-Venant-féle csavarási tehetetlenségi nomaték értéke: J m hi vi v ( h + b) z cs h t b cs /h.0 ábra. I-tartó öblösödési csavarása. nitott keresztmetszetek térbeli viselkedésüknek köszönhetően az eges falelemeik hajlítása révén is ellenállhatnak a csavarásnak, miközben a keresztmetszet öblösödik. 79

184 jelenség eg alul mereven befogott, felül cs csavarónomatékkal terhelt I-szelvén esetén szemléletesen is bemutatható (.0 ábra). csavarás során az I-szelvén övei a cs /h erő hatására hajlítást szenvednek és hajlítási merevségüket (tb /) a csavarás tengelétől mért karjukkal (h/) Steiner-tagszerűen aktivizálják. z íg meghatározott csavarási ellenállást az I-szelvén öblösödési tehetetlenségi nomatékának nevezik: tb h tb h I ω [m ] (.4) 4 z I-tartó gerincének szerepe ekkor az, hog a két övet egüttdolgoztatja. ivel az öblösödés az övek hajlításával kapcsolatos, I- és Z-tartó esetében az I ω -t a keresztmetszet övhajlítási csavarási tehetetlenségi nomatékának is nevezik. jelenség maga az öblösödési csavarás. z öblösödési csavarás vizsgálata és az öblösödési csavarási tehetetlenségi nomaték meghatározása általános esetben komple feladat, melnek tárgalása túlmutat e jegzet keretein. nitott szelvének (.5/b ábra) öblösödési tehetetlenségi nomatéka általában nag érték, a zárt szelvéneké és néhán speciális geometriával rendelkező nitott szelvéné (.5/a ábra) viszont nagon kicsi és íg elhanagolható. z öblösödési tehetetlenségi nomaték ismeretében az öblösödési csavarás hatására keletkező nírófeszültségek a τ cs I ω összefüggés segítségével számíthatók ki. képletben szereplő S ω [mm ] szektoriális statikai nomaték meghatározása csak eg meglehetősen bonolult és hosszadalmas eljárás segítségével lehetséges, ami messze túlmutat a jegzet keretein. z öblösödési csavarás hatására normálfeszültségek is keletkeznek a.0 ábrán jól látható az övek hossziránú alakváltozása de ezek meghatározásával a feladat bonolult volta miatt ebben a jegzetben nem foglalkozunk. Eg U-tartó csavarás hatására bekövetkező öblösödését a. ábrán láthatjuk..4 Gakorlati alkalmazás Tekintsük a. ábrán vázolt cső keresztmetszetű rudat, amel a baloldali végén befogott és amelet a jobboldali végén eg cs 0 knm nagságú csavarónomaték terhel. rúd hossza l m. külső átmérő R 5 mm és a falvastagság v 4 mm. eladatunk annak megállapítása, hog megfelel-e a rúd, ha anagának határfeszültsége τ 5 N/mm. atározzuk meg a tartó végkeresztmetszetének elcsavarodási szögét is. tartó anagának rugalmassági ténezője E 0000 N/mm. lkalmazzuk a. pontban levezetett, körkeresztmetszetű rudakra vonatkozó összefüggéseket. (.) képlet segítségével meghatározhatjuk a keletkező nírófeszültség értékét, ha a képletben szereplő I o poláris tehetetlenségi nomaték helére a körgűrű poláris tehetetlenségi nomaték értékét helettesítjük: π π I o ( R r ) (5 5 ).9 0 mm 4 S ω 80

185 cs 0 knm z r o 54 R5 r5 l m o v4 mm a) b). ábra. a) Cső keresztmetszetű konzoltartó csavaró nomatékkal, b) keresztmetszet. nírófeszültség értéke íg a falvastagság közepén: cs 0 0 τ ro 54. N/mm I.9 0 o kérdésünkre a választ most is a méretezés Y Y alapegenletének alkalmazásával kapjuk meg, úg, hog az alapegenletet most a nírófeszültségre vonatkoztatjuk: τ 5 N/mm < τ. N/mm rúd tehát nem felel meg. z elcsavarodás szögének meghatározásához szükség van a nírási rugalmassági ténező értékére, amelnek értéke a (4.4) képlet szerint (és ν 0. Poisson ténezővel számolva): E 0000 G 8079 N/mm ( + ν ) ( + 0.) z elcsavarodás szögét a (.) képlet szolgáltatja: csl ϕma 0.0rad.8 GI o ivel a rudunk vékonfalú keresztmetszettel rendelkezik, a nírófeszültség meghatározására alternatív megoldásként alkalmazhatjuk a vékonfalú rudakra levezetett (.9) képletet is. Ezt a megoldást is bemutatjuk. számításhoz szükség van a keresztmetszet középvonala által határolt o területre (./b ábra): nírófeszültség értéke íg: π 54 4 π 9mm o r o cs 0 0 τ.4 N/mm v 9 4 o 8

186 két eredmén között elhanagolhatóan kis mértékű eltérés van. z eltérés oka az, hog a (.) képlet levezetésekor változó (./c ábra), a (.9) képlet levezetésekor pedig egenletesen megoszló (.7/b ábra) nírófeszültség-eloszlást tételeztünk fel. Vékonfalú keresztmetszetek esetében ez az eltérés mindig elhanagolhatóan kicsi, íg mindkét bemutatott képlet alkalmazható. Végül megemlítjük a gakorlati alkalmazás eg érdekes és fontos területét. csavarás az igénbevételek eg jellegzetes esete. jellegzetessége abban is megnilvánul, hog az építőipari gakorlatban a teher a csavarónomaték általában nem közvetlenül, hanem valamel közvetítő szerkezeti elem (vag szerkezeti elemek) segítségével adódik át a vizsgált elemre. Ennek következtében a csavarás az építőipari gakorlatban általában összetett igénbevétel formájában szokott jelentkezni. csavarási igénbevétel eg fontos megnilvánulási formájával találkozunk például akkor, amikor épületek globális viselkedését vizsgáljuk. Ilenkor szükségessé válik eg-eg függőleges szerkezeti elem (ún. merevítőmag) vizsgálata csavarási igénbevételre (is). külső teher (például vízszintes szélteher) ilenkor a homlokzat, majd a födémek közvetítésével adódik át az épület szükséges merevségét biztosító merevítőmagokra és ilen módon csavarási igénbevételt is okoz. Ennek megnilvánulását láthatjuk a. ábrán, ahol eg tízszintes épület kisléptékű modelljének eg földszinti részét látjuk. vízszintes teherrel terhelt szerkezet elcsavarodik és ennek következtében azokban a merevítőmagokban amelek képesek csavarónomatékot felvenni, csavarási igénbevétel (is) keletkezik. Ilen merevítőmag az ábrán látható U-tartó, amel a földszinti befogás közelében a csavarás hatására öblösödik.. ábra. U-tartó öblösödése csavarónomaték hatására. Ilen iránú vizsgálatokkal részletesen későbbi tanulmánaink során foglalkozhatunk, például az Épületek komple statikai vizsgálata c. tárg keretein belül. z Épületek komple statikai vizsgálata c. jegzet a leggakrabban előforduló keresztmetszetek öblösödési tehetetlenségi nomatékait is tartalmazza (más keresztmetszeti jellemzőkkel egütt). 8

187 Irodalom Bárczi István alu Gula Zalka Károl: echanika II. Szilárdságtan. Tankönvkiadó, Budapest, 989 Cholnok Tibor: echanika II. Szilárdságtan. Tankönvkiadó, Budapest, 9 Dr. Dulácska Endre: Kisokos statikusoknak. Segédlet tartószerkezetek tervezéséhez.. javított kiadás. Készült az Sz EN (Eurocode) szabvánok figelembevételével. rtife Kiadó, Budapest, 0 reund Péter: Palotás László (szerk.): Dr. Szmodits Kázmér: SEGÉDLETEK a echanika és Tartószerkezetek tárgakhoz. Terc Kiadó, Budapest, 0 érnöki Kézikönv. II. kötet. űszaki Könvkiadó, Budapest, 984 Vékonfalú nílt keresztmetszetű rudak méretezése csavarásra fejezet az Útmutató panelépületek statikai tervezéséhez c. kiadvánban. Építéstudománi Intézet, Budapest, 975 Timoshenko, Stephen P Gere, James : Theor of elastic stabilit. nd Edition, New York, cgraw-ill, 9 Timoshenko, S Young, D : Elements of strength of materials. 5 th Edition, D Van Nostrand Compan, New York, 98 Zalka Károl: echanika II. Szilárdságtan. Előadásvázlatok. Kézirat, Budapest,