VII. Gyakorlat: Használhatósági határállapotok MSZ EN 1992 alapján Betonszerkezetek alakváltozása és repedéstágassága

Átírás

1 VII. Gyakorlat: Használhatósági határállapotok MSZ EN 199 alapján Betonszerkezetek alakváltozása és repedéstágassága Készítették: Kovács Tamás és Völgyi István -1-

2 Készítették: Kovács Tamás, Völgyi István A vasbeton szerkezetek használhatóságát a vonatkozó hatáskombinációk alapján, az alábbi követelmények kielégítésével kell igazolni: a normálfeszültségek korlátozása a repedezettség ellenőrzése az alakváltozások korlátozása. A használhatósági határállapotok ellenőrzése során a szerkezet feszültségeit és alakváltozásait akkor szabad repedésmentes állapot feltételezésével számítani, ha a figyelembe veendő hatáskombinációból számított igénybevétel hatására repedésmentes állapot feltételezésével meghatározott beton-húzófeszültség nem haladja meg az f ctm értéket. Használhatósági határállapotok vizsgálatához a következő igénybevétel-kombinációkat használjuk: Karakterisztikus (ritka) kombináció: E ser(a) =Σ G ki,j + Q k1 +Σ Ψ,i Q ki Gyakori kombináció: E ser(b) =Σ G ki,j + Ψ 1,1 Q k1 +Σ Ψ,i Q ki Kvázi állandó kombináció: E ser(c) =Σ G ki,j + Σ Ψ,i Q ki A normálfeszültségek korlátozása Általános esetben igazolni kell, hogy: a túlzott mértékű beton-nyomófeszültségek miatt hosszirányú repedések nem keletkeznek: σ c,6f ck az acélokban képlékeny alakváltozások nem alakulnak ki: σ s,6f yk és σ p,75f pk. ahol σ c ill. σ s és σ p a karakterisztikus kombináció alapján számított maimális beton- ill. acélfeszültségek. A repedezettség vizsgálata A vasbeton szerkezetek repedezettségének mértékét a funkció, a megfelelő tartósság és a kedvezőtlen megjelenés elkerülése érdekében kell korlátozni. Általános környezeti feltételeknek kitett épületek vasbetonszerkezetei esetén általában azt kell igazolni, hogy a hatások kvázi-állandó kombinációjára a maimális repedéstágasság értéke nem haladja meg a,3 mm-t. A repedéstágasságot a következő összefüggéssel lehet meghatározni: w k = s r,ma (ε sm - ε cm ) ahol: s r,ma - a legnagyobb repedéstávolság ε sm - az acélbetét átlagos nyúlása a vonatkozó kombinációból származó igénybevétel hatására, a húzott betonzóna merevítő hatásának figyelembevételével. Feszített szerkezetek esetén csak az acélbetétet körülvevő beton feszültségmentes állapotában meglévő acélbetét-feszültséghez képesti acélfeszültség-növekményt ( σ p ) kell figyelembe venni. ε cm - átlagos nyúlás a betonban a repedések közötti repedésmentes szakaszokon. Az (ε sm - ε cm ) nyúláskülönbség a következőképpen számítható: fct, eff σ s k t ( 1+ α eρ p, eff ) ρ ε sm - ε cm = p, eff,6 σs E E ahol: s σ s - a húzott acélbetétben lévő feszültség berepedt keresztmetszet feltételezésével a vonatkozó kombináció alapján számított igénybevételből. Feszített szerkezetek esetén σ s értékét az ε sm fenti értelmezésében szereplő σ p értékkel kell helyettesíteni. α e = E s /E c, - a rugalmassági modulusok σ s meghatározásánál alkalmazott aránya ρ p,eff = As + ξ 1 Ap A c, eff A s és A p - az A c,eff hatékony, húzott betonzónában elhelyezkedő lágyacélbetétek, ill. tapadásos feszítőbetétek keresztmetszeti területe k t - a teher tartósságától függő tényező, értéke: k t =,6 rövididejű terhelés esetén k t =,4 tartós terhelés esetén. A c,eff - hatékony, húzott betonzóna, azaz a húzott vasalás körüli, h c,ef magasságú betonterület ahol:,5( h d ) h c,ef = h min 3 h / ξ 1 = φ ξ, ahol ξ a tapadási szilárdság módosító tényezője. Értéke táblázat alapján határozható meg. s φ p φ s az alsó sorban alkalmazott legnagyobb betonacél átmérő φ p a feszítőbetét egyenértékű átmérője (Részletek: Betonszerkezetek méretezése az EC alapján 3. oldal) -- s

3 Ha a tapadásos acélbetétek egymáshoz közel helyezkednek el, azaz egymástól való távolságuk 5(c + φ/): φ s r,ma = 3,4 c +,45 k 1 k ρ p,eff ahol: φ - az acélbetét átmérője. Különböző átmérőjű acélbetétek esetén a φ eq egyenértékű átmérőt kell alkalmazni az alábbiak szerint: φ eq = n 1φ1 + nφ n1φ1 + nφ ahol: n 1 - a φ 1 átmérőjű acélbetétek (lágyacél vagy feszítőbetét) darabszáma n - a φ átmérőjű acélbetétek (lágyacél vagy feszítőbetét) darabszáma. c - betonfedés k 1 - az acélbetét és a beton közti tapadási tulajdonságokat figyelembe vevő tényező k 1 =,8 bordás acélbetét esetén k 1 = 1,6 sima felületű acélbetét esetén (pl. feszítőbetétnél) k - a keresztmetszeten belüli feszültség(nyúlás)eloszlást figyelembe vevő tényező k =,5 hajlítás esetén k = 1, tiszta húzás esetén Ha a tapadásos acélbetétek egymástól távol helyezkednek el, azaz egymástól való távolságuk > 5(c + φ/): s r,ma = 1,3 (h-) Az alakváltozások vizsgálata Az alakváltozások mértékét a) a vasbeton szerkezetek funkciója, a szerkezeti elemek megfelelő működése, a kedvezőtlen megjelenés elkerülése és b) a csatlakozó elemek károsodásának megelőzése érdekében kell korlátozni. A megengedett lehajlás értékei a terhek kvázi-állandó kombinációjának megfelelő teherre az a) esetben a támaszköz 1/5-ed része b) esetben a támaszköz 1/5-ed része. Az alakváltozások számítása során, a szerkezet repedésmentességének megítélésekor a bevezetőben leírtak szerint kell eljárni. A nem repedésmentes szerkezetek alakváltozásainak számításakor a szerkezet viselkedését a repedésmentes és a teljes hosszban berepedt állapotok közti átmenettel kell figyelembe venni, ahol az átmenet leírására az alábbi összefüggés alkalmazható: α = ζ α II + (1 - ζ) α I ahol: α - alakváltozási paraméter, mely lehet pl. nyúlás, görbület, elfordulás, lehajlás, stb. α I, α II - az α paraméter I. (repedésmentes), ill. II. (teljes hosszban berepedt) feszültségi állapot alapján számított értéke ζ - a húzott betonzóna merevítő hatását figyelembe vevő tényező, a következő összefüggés szerint: σ sr ζ = 1 - β σs ahol: β - a teher tartósságát és ciklikusságát figyelembe vevő tényező az alábbiak szerint: β = 1, egyszeri, rövididejű terhelés esetén β =,5 tartós, vagy ismétlődő terhelés esetén σ s - a húzott acélbetétben keletkező feszültség, berepedt keresztmetszet feltételezésével σ sr - számítva a húzott acélbetétben keletkező feszültség a repesztőnyomaték hatására, berepedt keresztmetszet feltételezésével számítva A σ sr /σ s hányados tiszta hajlítás esetén az M cr /M, tiszta húzás esetén az N cr /N hányadosokkal helyettesíthető, ahol M cr a repesztőnyomaték, és N cr a repesztő húzóerő. Pontosabb vizsgálat esetén az alakváltozásokat az α alakváltozási paraméter alkalmazása helyett numerikus integrálással kell meghatározni a görbületnek a szerkezeti elem szükséges számú pontjában való számítása után. E módszer közelítő változata lehet az, ha a görbületeket a tartó repedésmentes szakaszán repedésmentes keresztmetszet feltételezésével, a berepedt szakaszon a fenti α alakváltozási paraméter alkalmazásával számítjuk (ld. a gyakorlati anyag kiegészítő részét). -3-

4 7.1. példa Határozza meg a tartó középső keresztmetszetének görbületét és lehajlását! Az alakváltozás értékét a berepedetlen állapot (I. feszültségállapot) és a teljes hosszban berepedt (II.) állapot feltételezésével kapott érték közti interpoláció segítségével számíthatjuk. Az alakváltozás értékét általában kvázi állandó (quasi permanent, jele:qp) teherkombinációban kell meghatározni. h Határozza meg egy kéttámaszú tartó ábrán látható, egyoldali lágyvasalású, tisztán hajlított keresztmetszetének maimális görbületét, és a tartó maimális lehajlását MSZ EN 199 (EC) alapján. b Elméleti támaszköz: := 5m Betonfedés: c := mm φ k := 1mm A tartó kéttámaszú. A középsõ keresztmetszetet vizsgáljuk. A keresztmetszet geometriai méretei, vasalása: φ 1 π b := mm h := 4mm φ 1 := mm n 1 := 4db A s := n 1 A 4 s = 156.6mm Az acél rugalmassági modulusa: E s := kn B.6.5 (S5B) mm A beton rugalmassági modulusának várható értéke: E cm := 3 kn C/5 mm A beton húzószilárdságának várható értéke 8 napos korban: f ctm :=. N mm A beton rugalmassági modulusából számítható alakváltozási tényezõ értéke: φ t 1.5 E cm φ t := E c.eff := 1 + φ t a beton kúszását figyelembe vevő tényező. Függ a környezet páratartalmától, az alkalmazott cement fajtájától, a beton szilárdsági osztályától, az első terhelés időpontjától. Most a végtelen időponthoz tartozó, végértéket vesszük számításba. A beton húzószilárdságának számítási értéke: f ct.eff := f ctm A beton húzószilárdságának számítási értéke attól függ, hogy a szerkezeten várhatóan mikor jelenik meg az első repedés. Ez függhet attól, hogy hány napos korban zsaluzzák ki, hogy előregyártott, vagy monolit, esetleg, hogy lágyvasalású vagy feszített a tartó. Ha az első repedés várhatóan 8 napos kor után következik be, a beton húzószilárdságának várható értékével vehető azonosnak. Ha a repedés várhatóan korábban jelenik meg, akkor a várható értéket a a szilárdság aktuális szintjének megfelelően csökkenteni kell. Most feltételezzük, hogy az első repedés 8 napos kor után jön létre. E s α s.eff := α E s.eff = 19 c.eff A gerenda önsúlya és egyéb állandó jellegû terhek karakterisztikus értéke összesen: g k := 16 kn m A gerendát terhelő esetleges jellegű terhek karakterisztikus értéke: q k := 1 kn ψ m :=.6-4-

5 A kvázi állandó teherkombinációban számítható teher: p qp := g k + ψ q k M qp := p qp M 8 qp = 68.8kNm φ 1 d := h c φ k d = 36mm A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban: h b E c.eff = A s ( E s E c.eff ) ( d ) + b ( h ) E c.eff I := Find( ) I = 35.3mm ( ) 3 3 I h I I I := b + b + A 3 3 s ( α s.eff 1) ( d I) I I = mm 4 f ct.eff I I M cr := M h cr =.3kNm < M qp megreped! I M qp κ I := E c.eff I κ I I = 1 mm A keresztmetszet jellemzői második feszültségállapotban (berepedt keresztmetszet): b E c.eff = A s E s ( d ) II := Find() II = 197.3mm 3 II I II := b + A 3 s α s.eff ( d II) I II = mm 4 M qp κ II := E c.eff I κ II II = 1 mm A következõkben a ζ kiszámításához szükséges mennyiségeket határozzuk meg: σ s Az acélbetétben számítható feszültség berepedt állapotot feltételezve. Kiszámításának részletes szabályait lásd az elméleti összefoglalóban. ( ) M qp d II α s.eff σ s := σ I s = N II mm β a teher tartósságát és ciklikusságát veszi figyelembe. Értéke: 1,, ha egyszeri, rövididejû a terhelés.,5, ha tartós vagy ismétlõdõ a teher. A szabályzat azért ad több értéket, mert a repedéstágasság értékét elvileg bármilyen teherre meghatározhatjuk. A vb szerkezetek repedéstágasságát kvázi állandó teherszinten korlátozzuk. Így β értéke,5-re veendő fel. β :=.5 σsr Az acélbetét feszültsége a repesztõnyomaték hatására a berepedés után (második feszültségállapot) M cr σ sr := ( d I II ) α s.eff σ sr = 54.9 N II mm σ sr ζ 1 β := ζ = 1 σ s -5-

6 A km görbülete a maimális igénybvétel helyén EC szerint: ( ) κ I κ EC := ζκ II + 1 ζ κ EC = 1 mm A tartó maimális lehajlásának meghatározása (egyszerűsített módszer): Az előbb vázolt módszer a tartó minden alakváltozásának meghatározására alkalmas. Így nem csak a görbületet, hanem az adott km. elfordulását vagy lehajlását is számíthatjuk a megismert módszerrel. Az egyszerűsített módszer esetén azzal, a mechanikában gyakran alkalmazott, közelítéssel élünk, hogy a keresztmetszet merevsége a tartó teljes hossza mentén állandó. (Nyilvánvaló, hogy ez egy a középső tartományában berepedt, a támasz közelében berepedetlen vasbeton gerenda esetén nem így van.) A tartó teljes hossza mentén a maimális nyomaték helyén számított merevséggel számolunk. Az így kapott érték a valódinál nagyobb, tehát a módszer a biztonság javára közelít. Kéttámaszú tartó esetében egyenletesen megoszló teher esetén a lehajlást az ismert, zárt összefüggéssel számíthatjuk: 5 e I 384 p ( qp ) 4 := E c.eff I I 5 e II := 384 ( p qp ) 4 E c.eff I II e I = 11.mm e II = 14.9mm ( ) e I e EC := ζ e II + 1 ζ e EC = 14.7mm > A tartó a csatlakozó szerkezetek károsodását megelőző lehajláskorlátozást nem teljesíti. e EC = 14.7mm < 5 A tartó a szerkezetek megfelelő működését biztosító lehajláskorlátozást teljesíti. 5 = 1mm = mm Megjegyzés: A lehajlás általánosságban a görbületnek a tartó hossza mentén történő kétszeri integrálásával kapható. Az integráláson alapuló módszer megismerése azért is hasznos, mert összetettebb tartószerkezetek esetén a lehajlás zárt képlete általában nem ismert, annak levezetése körülményes. -6-

7 Kiegészítő anyag: A lehajlás értékének pontosított meghatározása. Most az előző fejezetben tett közelítés nélkül végezzük el a számítást. Ez esetben azonban, mivel a nyomaték értéke folyamatosan változik, ζ értéke nem konstans. Így a lehajlást csak tényleges integrálás segítségével határozhatjuk meg. ( ) My ( ) := ( p qp ) ( p qp) y My () d II α s.eff σ s ( y) := I II κ I ( y) := My ( ) My () κ E c.eff I II () y := I E c.eff I II Hol éri el a külső terhekből számítható nyomaték a repesztőnyomaték értékét? z := 1m Given Mz ( ) = M cr rep := Find() z rep =.4 m ζy ():= 1 β σ sr σ s () y otherwise 1 if My () > M cr ζ( y) y Jól látható, hogy z értéke a repesztőnyomatékkal megegyező nyomaték működése esetén (vagyis közvetlenül a repedést követően),5. A támasz felett számítható véglapelfordulás, és lehajlás értéke: α I := κ I ( y) dy α I = e I := α I κ y I ( y) y d e I = 11.mm α II := κ II ( y) dy α II = e II := α II κ y II () y y d e II = 14.9mm α EC := ζ( y) κ II () y + ( 1 ζy ( ))κ I () y dy α EC = κ EC () y := ζy ()κ II () y + ( 1 ζy ())κ I () y -7-

8 κ I ( y).4 κ EC ( y) κ II ( y) A kiselmozdulások gondolatmenetét felhasználva: u eu ( ) := α EC u κ EC () y ( u y) dy e y = 14.6mm A matematikai gondolatmenetet felhasználva is számíthatjuk a lehajlás értékét. A görbület integrálja a szögelfordulás. A tartóvégen számítható elfordulással módosítva teljesíthetjük a peremfeltételt. u φ() u := α EC κ EC () y dy.1 φ( u) u Az így kapott elfordulásfüggvényt integrálva kapjuk a lehajlás függvényét. A támasz felett a lehajlás zérus, így a peremfeltétel itt automatikusan teljesül. e ( v) v := φ() u du e = 14.6mm -8-

9 7.. példa: Határozza meg a tartó maimális repedéstágasságát! A repedéstágasság értékét a legnagyobb repedéstávolság és a repedések közötti tartományban az acélbetétben valamint a betonban számítható megnyúlás különbségének szorzataként kaphatjuk. A repedéstágasság megfelelőségét a tapadásos feszítőbetétet tartalmazó szerkezet esetén gyakori kombinációban, minden más betonszerkezet esetében kvázi állandó teherkombinációkban kell igazolni. A repedéstágasság értékét természetesen bármely más teherkombinációból származó igénybevételre meghatározhatjuk. h Határozza meg az ábrán látható egyoldali lágyvasalású tisztán hajlított keresztmetszet repedéstágasságát MSZ EN 199 (EC) alapján. (A keresztmetszet az előzővel azonos) A keresztmetszet geometriai méretei és vasalása: b b φ 1 := mm h := 4mm := mm n 1 := 4db A keresztmetszetben nincs feszítőbetét:. A p := mm φ 1 π A s := n 1 A 4 s = 156.6mm φ 1 Betonfedés: c := mm φ k := 1mm d := h c φ k d = 36mm A tartón számítható (mértékadó) hajlítónyomaték kvázi állandó teherkombinációban: M qp := 1kNm Az acél rugalmassági modulusa: E s := kn S5B mm A beton rugalmassági modulusának várható értéke: E cm := 3 kn C/5 mm 1.5 E cm A beton alakváltozási tényezõje: φ t := E c.eff := 1 + φ t Értéke az alakváltozás számításakor leírtak szerint határozható meg. f cteff. N E s := α s.eff := α mm E s.eff = 19 c.eff Használhatósági határállapotok esetén az anyagok szilárdságának és a geometriai adatoknak a várható értékét vesszük számításba. Ezért nincs szükség kedvezőtlen vaselmozdulás figyelembe vételére, amellyel a geometriai adatok szélső értékét lehet előállítani. Az 1. példában meghatároztuk a km. repesztőnyomatékát. Az km.-et terhelő nyomaték ezt meghaladja, így a tartó bereped. -9-

10 A keresztmetszet jellemzői második feszültségállapotban: b E c.eff = A s E s ( d ) II := Find() II = 197.3mm 3 II E s I II := b + A 3 s d E ( II) I II = mm 4 c.eff A következőkben a repedések között az acélban és a betonban fellépő átlagos nyúlás közti különbség ( e) meghatásrozásához szükséges mennyiségeket számítjuk ki. σ s Az acélbetétben számítható feszültség berepedt állapotot feltételezve. Kiszámításának részletes szabályait lásd az elméleti összefoglalóban. ( ) M qp d II α s.eff σ s := σ I s = 34.6 N II mm A ceff a hatékony húzott betonzóna területe h II h h cef := min.5 ( h d),, h 3 cef = 67.6mm A ceff := bh cef A ceff = mm A s + ξ 1 Ap ρ peff := ρ A peff =.1 A p = mm ceff ξ 1 definíciója a zh-ra felkészítő példák között. k t A teher tartósságától függõ tényezõ. Értéke,6, ha a teher rövididejû.,4, ha a teher tartós. f cteff σ s k t 1 + α s.eff ρ peff ρ peff σ s ε := ma,.6 E s E ε =.1% s ( ) k t :=.4 A repedések egymástól mért távolságát attól függõen kell meghatározni, hogy az acélbetétek tengelyei egymáshoz képest közel, vagy távol helyezkednek el. A két eset között az alábbi összefüggés alapján teszünk különbséget: φ 1 t h := 5 c + t h = 15mm φ b ( c + φ k ) 1 Az acélbetétek távolsága: t := t = 4mm t < t n 1 1 h Az acélbetétek tehát egymáshoz közel helyezkednek el. Különböző átmérők esetén egyenértékű átmérőt kell számítani. n 1 φ 1 + n φ Ahol n 1 és n a különböző átmérőjű φ eq := φ n acélbetétek darabszáma az alsó sorban. eq = mm 1 φ 1 + n φ A repedések maimális távolságának meghatározása: k 1 a beton és az acélbetét közti tapadás milyenségét figyelembe vevő tényező. Értéke,8 bordás acélbetét esetén. 1,6 sima acélbetét esetén. k a keresztmetszeten belüli nyúlás alakulását figyelembe vevő tényező.,5 hajlítás esetén 1, tiszta húzás esetén (alapeset) -1-

11 Külpontos húzás esetén közbensõ értéket kell alkalmazni. ε 1 + ε k := Ahol ε1 és ε a szélső szálakban számítható nyúlás berepedt km. ε 1 feltételezésével. A húzás pozitív. ε1>ε Külpontos nyomás esetén,5 érték alkalmazandó. k 1 :=.8 k :=.5 φ eq s rma := 3.4 c+.45 k 1 k s rma = 14.6mm ρ peff A repedéstágasság értéke: s rma ( ε) w k := w k =.mm <,3mm megfelel Megjegyzés: Ha az acélbetétek távolsága a határértéknél nagyobb, a repedések legnagyobb távolsága: s rma. := 1.3 h II ( ) 7.3. példa Határozza meg a tartó maimális repedéstágasságát! 1 cm h Határozza meg az ábrán látható egyirányban teherviselő lemez repedéstágasságát MSZ EN 199 (EC) alapján. m qp := 4 knm m A keresztmetszet geometriai méretei és vasalása: h := mm φ 1 := 1mm n 1 := 6 db m Az egyirányban teherviselõ lemezek számítása egy 1m széles gerenda számításával azonosan végezhetõ. E s := kn S5B E cm 3 kn 1.5 E cm := C/5 φ k := E c.eff := mm mm 1 + φ k f ctm :=. N f cteff := f ctm mm E s φ 1 π α s.eff := α E s.eff = 19 a s := n 1 c.eff 4 A betonfedés értéke: c := mm Vonal mentén megtámasztott födémek nem tartalmaznak kengyelt. A repesztőnyomaték számítása: h E c.eff = a s ( E s E c.eff ) ( d ) + ( h )E c.eff I := Find( ) I = 14.3mm φ 1 d := h c d = 174 mm ( ) 3 3 I h I I I := + + a 3 3 s ( α s.eff 1) ( d I) I I = m mm4 f ct.eff I I m cr := m h cr = I m knm < m qp megreped! -11-

12 A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban: E c.eff = a s E s ( d ) II := Find() II = 55.4mm 3 II E s I II := + a 3 s d E ( II) I II = c.eff m mm4 ε meghatározása: ( ) m qp d II α s.eff σ s := σ I s = 379 N II mm A ceff a hatékony húzott betonzóna területe h II h h cef := min.5 ( h d),, h 3 cef = 48.mm A ceff := h cef A ceff = m mm a s + ξ 1 ap ρ peff := ρ A peff = k t :=.4 ceff f cteff σ s k t 1 + α s.eff ρ peff ρ peff σ s ε := ma,.6 E s E ε =.1% s ( ) φ 1 t h := 5 c+ t h = 13mm 1 Az acélbetétek távolsága: t := t = 166.7mm t > t n h 1 Az acélbetétek tehát egymástól távol helyezkednek el. Ha az acélbetétek távolsága a határértéknél nagyobb, a repedések legnagyobb távolsága: s rma. := 1.3 h II s rma. =. m ( ) A repedéstágasság értéke: s rma. ( ε) w k := w k =.3mm <,3 mm megfelel -1-