Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra

Átírás

1 newton Dr. Szalai Kálmán "Vasbetonelmélet" c. tárgya keretében elhangzott előadások alapján k 1000 km k m meter m Ft Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra deg A következőkben egy négyszög keresztmetszetű, kéttámaszú, vegyes vasalású vasbeton gerenda tervezését végezzük el az Eurocode szerint. Az alábbi ábrán látható l támaszközű tartóra ható terhek: g 0 önsúly, g 1 állandó teher a gerenda súlyán felül, valamint a q esetleges teher. A négyszög alakú keresztmetszetben egyszerűsítésképpen a lágyvasalás és feszítőacélok azonos magasságban helyezkednek el. A példában a kezdeti feszítési feszültség a t 0 időpontban a szakítószilárdság 80%- ra, a feszítési veszteség t időben pedig 5%-ra van beállítva. Ezek az értékek természetesen tervezés során szükség szerint módosíthatók. A tervezés direkt módszere, azaz a szükséges lágyvas és feszítőacél mennyiség explicit számítása a szerkesztési szabályok illetve a használati határállapotokkal kapcsolatos követelmények miatt körülményes lenne. Ezért a költségoptimumra (anyagköltségek szempontjából) való tervezés indirekt módon valósul meg. A példában a felvett lágyvas és feszítőacél mennyiségre ellenőrizzük a teherbírási és használati követelmények feltétel teljesülését és párhuzamosan számítjuk felvett gerenda jellemzőkhöz tartózó bekerülési költséget. A geometriai adatok változtatásával lépésről lépésre közelíthető az optimális ár, miközben ellenőrizhetjük, hogy az MSZ E szerinti teherbírási és használhatósági követelmények teljesülnek-e. A teljes anyagköltség kimutatásához a gerenda számítása hajlítási méretezés mellett nyírási méretezést és tartóvég vizsgálatot is tartalmaz. A hajlítási méretezésben az kiinduló adatok felvételét egy előtervezési szegmens segíti. A példa tartalmazza a használhatósági határállapotok (repedezettségi állapot, feszültségek korlátozása, lehajlás) vizsgálatát is. 1. Adatok 1.1. Geomatriai adatok, statikai váz l 5900mm b 300mm h 500mm g 0k, g 1k, q k l d a a c b h A s A p 1.. Terhek Önsúly: ρ rc 5 k m 3 g 0k bh ρ rc g 0k 3.75 k m

2 Állandó teher (az önsúlyon kívül): g 1k 7 k m Összes állandó teher: g k g 0k + g 1k g k k m A parciális tényező: γ g' 1.35 vagy γ g'' 1.15 Hasznos teher: q k 0 k m A parciális tényező: γ q 1.5 A kombinációs tényező: ψ Mértékadó teher: p Ed max γ g'' g k γ g' g k + + γ q q k ψ 0 γ q q k p Ed 4.36 k m Teher a használati határállapot vizsgálatához a feszítés után: p ser.0 g 0k p ser k m A kombinációs tényezők: ψ ψ 0.3 Teher a repedéstágasság vizsgálatához végleges állapotban (gyakori teherkombináció): p ser.1 g k + ψ 1 q k p ser k m Teher a lehajlás vizsgálatához végleges állapotban (kvázi-állandó teherkombináció): p ser.3 g k + ψ q k p ser k m 1.3 Anyagok Beton szilárdsági jellemzői Beton "C50/60" f ck strnum( substr( Beton, 1, ) ) A nyomószilárdság karakterisztikus értéke: f ck 50 γ c 1.5 α cc 1.0 α cc f ck A nyomószilárdság tervezési értéke: f cd γ c f cd A húzószilárdság várható értéke: f ctm f ck f ctm f ctm f ctm 4.07 A húzószilárdság alsó karakterisztikus értéke: f ctk5 0.7 f ctm f ctk5.85 f ctk5 A húzószilárdság tervezési értéke: f ctd f ctd 1.9 γ c - -

3 0.3 f ck + 8 A rugalmassági modulus várható értéke: E cm 000 E cm E cm A rugalmassági modulus tervezési értéke: E cd E cd 485 γ c A beton határösszenyomódása: ε cu Betonacél szilárdsági jellemzői Betonacél "S500B" A rugalmassági modulus értéke: E s 00 k A folyáshatár karakterisztikus értéke: f yk 500 γ s 1.15 f yk A folyáshatár tervezési értéke: f yd f yd 435 γ s A relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a húzott acélbetétek szempontjából: ξ c0 0.8 E s ε cu E s ε cu + f yd ξ c A relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a nyomott acélbetétek szempontjából: ξ' c0 0.8 E s ε cu E s ε cu f yd ξ' c0.111 Betonacél és feszítőpászma térfogatsúly: ρ s 7850 kg m Feszítőpászmák szilárdsági jellemzői Feszítõpászma "Fp 55/1770-R" A szakítószilárdság karakterisztikus értéke: f pk 1770 Az 0,1%-os egyezményes folyáshatárhoz tartozó feszültség: f p0.1k f pk A szakítószilárdság tervezési értéke: f pd f pd 1385 γ s Rugalmassági modulus: E p 195 k 1.4 Anyagárak betonacél: ar s 60 Ft feszítőkábel: ar p 100 Ft kg kg beton: ar c Ft m 3-3 -

4 . Igénybevételek számítása Mértékadó nyomaték a mezőközépen: A nyomaték alapértéke mezőközépen feszítés után: A nyomaték alapértéke mezőközépen az önsúlyból: Mértékadó nyíróerő a támasznál: Az igénybevételi ábrák: p Ed l M Ed 8 p ser.0 l M g0 8 g k l M gk 8 V Ed.max p Ed l Maximális nyíróerõ ábra M Ed km M g km M gk km V Ed.max k 6.48 yíróerõ [k] yomaték [km] Maximális nyomaték ábra Előtervezés, a vasalás felvétele, költségbecslés 3.1. Lágyvasalás yomott vasak keresztmetszeti területe: A sc 0-4 -

5 Húzott vasak adatai: a 50mm a c 50mm - hasznos magasság: d h a d 450 mm - darabszám: n s 4 - átmérő: φ s 1mm - km.-i terület: π A s n s φ s A s Feszítőbetétek Hasznos magasság: d p d 50mm d p 400 mm 1 db. pászma km.-i területe: A P Szükséges acélkeresztmetszet lágyvasalás alkalmazása esetén m gazd M Ed ξ gazd bd ξ gazd 1 1 m gazd ζ gazd 1 ζ gazd 0.95 f cd A s.szüks M Ed A s.szüks 989 ζ gazd d f yd 3.4. A felvett vegyes vasalás közelítő ellenőrzése hajlításra A vegyes vasalásnak az előzőleg számított tiszta lágyvasas megoldással közel azonos húzóerőt kell felvennie, azaz: A s.szüks f yd A p.szüks f pd + A s f yd A szükséges feszítőpászma mennyiség: A p.szüks A p.szüks Az alkalmazott feszítőpászma darabszám: n p ceil n p 4 A P Az alkalmazott feszítőpászma mennyiség: A p n p A P A p 0 Ellenőrzés: A s.szüks f yd 430. k A p f pd + A s f yd k A feszítési hányad: 3.5. Költségbecslés az előtervezés alapján χ A p f pd A p f pd + A s f yd χ ,0 m tartószakasz ára (a nyírási vasalás nélkül): ( ) ρ s Áregység A s + A sc ar s + A p ρ s ar p + bh ar c Áregység 7496 Ft m 4. Részletes számítás 4.1. A nyomatéki teherbírás számítása - 5 -

6 Feszítési feszültség: σ p0 0.8 f pd σ p Hatásos feszítési feszültség: σ ph 0.85 σ p0 σ ph 94 Hatásos feszítő erő: P d σ ph A p P d 07.3 k A nyomott zóna magasságát és a tervezési szilárdságot meghatározó tényezők: λ 0.8 ha f ck < 50 / η 1.0 ha f ck < 50 / Feszítőpászma feszültség a keresztmetszet elfordulásából: d p x d p x σ p ( x) ε cu E p if ε cu x x f pd E p f pd otherwise Vetületi egyensúly (feltéve, hogy a nyomott vasak rugalmasan viselkednek): A s f yd ellenőrzés: x a c + P d + ( σ p ( x) σ ph ) A p A sc ε cu E s x b λ x η f cd A nyomott zóna magassága a vetületi egyensúlyi egyenletből számítható: λ x 50.1 mm + ξ c ξ' c λ x ξ c < ξ c a húzott vasak képlékeny állapotban d λ x ξ' c < ξ' c0.111 a nyomott vasak valóban rugalmasak a σ ph d p x + ε cu 3.67 > E p x f pd a feszítőpászmák képlékeny E p állapotban A nyomatéki teherbírás (a km. magasság felére felírva): x a σ sc ε cu E s σ sc x yomatéki teherbírás számítása a feszítést külső erőnek tekintve: - 6 -

7 M Rd h a h P d + ( σ p ( x) σ ph ) A p d p A sc σ sc + h λ x + b λ x η f cd + A s f yd d h... M Rd km A nyomatéki teherbírás ellenőrzése: M Rd km > M Ed km tehát a tartó nyomatékra megfelel! megf hajl M Rd > M Ed megf hajl 1 Szerkesztési szabályok ellenőrzése: Helyettesítő hasznos magasság: d' d p A p + A p + da s A s d' 434 mm A s.min 0.6 f ctm b f yk d' A s.min 75.4 < A s + A p

8 4.. yírási vasalás ellenőrzése Adatok s α k d h tam l tam b tam/+d (tam+d)/ V Ed.1 V Ed. V V Ed,max Feltámaszkodás hossza: tam 00mm A nyíróerő tervezési értéke: A hatékonysági tényező: tam V Ed. V Ed.max p Ed d' + f ck ν ν A nyírási teherbírás felső korlátja (a nyírásból származó nyomás értékének ellenőrzése) tam V Ed.1 V Ed.max p Ed 0.5d' + V Ed k V Ed k V Rd.max 0.5ν f cd b d V Rd.max 1080 k > V Ed.max k tehát a betonkeresztmetszet képes a nyíróerő felvételére yírási teherbírás ellenőrzése k max d'.0 k ρ l min A s + A p bd' 0.0 ρ l

9 A feszítésből keletkező normálfeszültség a keresztmetszetben: σ cp P d bh σ cp 1.38 A beton által felvehető nyíróerő: V Rdc k 100 ρ l γ 3 f ck c ( ) σ cp b d' V Rdc k > V Ed k V min k f ck σ cp V Rdc > V min tehát nincs szükség számított nyírási vasalásra. b d' V min k Lehorgonyzás ellenőrzése tartóvégen (főfeszültség ellenőrzése) I b h3 1 I mm 4 α l 1.0 S b d 8 Ib f ctd + V Rd.c S α l σ cp f ctd S mm 3 V Rd.c k V Rd.c > V Ed.1 tehát a tartóvég főfeszültségre megfelel Szerkesztési szabályok szerinti ellenőrzés A fentiek alapján a gerendába elegendő a szerkesztési szabályok szerint szükséges nyírási vasalást elhelyezni. Alkalmazott kengyeltávolság legyen: Alkalmazott kengyelátmérő: s 180mm φ w 1mm 1 kengyel km.-i területe: A sw φ w π 4 A sw 6 A kengyelek vízszintes tengellyel bezárt szöge: α k

10 yírási vashányad ellenőrzése: A sw 0.08 ρ w ρ sb sin( α k ) w > ρ w.min f ck ρ w.min f yk Tehát a tartó nyírási vashányad szempontjából megfelel. megf nyírás ρ w > ρ w.min megf nyírás 1 Kengyeltávolság ellenőrzése: s max 0.75 d 1 + cot α k min s 600mm max mm > s 180 mm ( ( )) Tehát a kengyelek elegendően sűrűn vannak elhelyezve a tartóban yírási teherbírás ellenőrzése az alkalmazott nyírási vasalás esetén A nyomott beton rácsrudak hajlásszögét az E által megengedett legkisebb értékre vesszük fel: θ atan( 0.4) θ θ ν mert f ck nem nagyobb 60 / tan( θ) 0.4 cot( θ).5 A sw 0.9 d f yd cot( θ) V Rds V Rds k s α c 1 if σ cp 0 σ cp 1 + if 0 < σ cp < 0.5 f cd f cd 1.5 if 0.5 f cd σ cp < 0.5 f cd α c σ cp.5 1 f cd if 0.5 f cd σ cp f cd 1 V Rdmaxθ α c b 0.9 d ν 1 f cd V Rdmaxθ k cot( θ) + tan( θ) V Rdmaxθ > V Ed.1 és V Rds > V Ed.1 tehát a tartó nyírásra megfelel. Megjegyzés: A fenti két számítási részletet csak a teljesség kedvéért közöljük. Ezekre a számításokra abban az esetben lett volna szükség ha a tartó nyírásra bereped, azaz: V Rdc < V min

11 4..7. Tartóvég vizsgálata rövidkonzol analógia alapján d 0.45 m z α V Ed.max d d A sl A sl 359 z f yd π d c V Ed.max + 1 c k 4 z A w.szüks c A w.szüks cos( α) f yd A tartóvégen alkalmazott kiegészítő vízszintes vasalás: Ø1 (hajtű alagzatú) A w.alk 1 π A w.alk 6 4 megf vég A w.szüks < A w.alk megf vég Az alakváltozás ellenőrzése Hatásos feszítőerő és az ebből származó negatív nyomaték, görbület és felemelkedés a t 0 időpontban a) Ideális keresztmetszet keresztmetszeti jellemzői rugalmas-repedésmentes állapotban E cd1 A i1 E cm ( ) A s A p α e ( ) E s E cd1 α e bh + α e A sc A i ( ) S i1 b h + ( α e 1) A s d + A p d p + A sc a S i mm 3 S i1 y I A i1 y I 53.5 mm bh 3 I i1 1 h + bh y I + α e 1 ( ) ( ) A s d y I ( ) ( ) + A p d p y I + A sc a y I I i mm 4 b) Igénybevételek és a szélsőszál-feszültségek ellenőrzése r s.i d y I r sc.i y I a r p.i d p y I A kezdeti feszítőerő és a belőle származó nyomaték: P 0.8 f pd A p P k Pr p.i km Az önsúlyból keletkező nyomaték: M g km

12 Ellenőrzés (a negatív előjel nyomást jelent): P Pr p.i M g0 σ f + y I y I σ f 0.07 < A i1 I i1 I i1 0.6 f ck 30 P Pr p.i M g0 σ a ( h y I ) + ( h y I ) σ a 3.08 < A i1 I i1 I i1 0.6 f ck 30 Tehát a keresztmetszet valóban rugalmas-repedésmentes állapotban van. c) Görbület számítása a középső keresztmetszetben σ a σ f ρ 1 ρ E cd1 h m d) A középső keresztmetszet eltolódása (a negatív előjel felemelkedést, a pozitív lehajlást jelent) y ρ 1 l y mm Lehajlás vizsgálata t időpontban a) Adatok A veszteségekkel (15%) csökkentett feszítőerő és nyomatéka: P f pd A p P k A teher használati értékéből származó nyomaték: p ser.3 l M 3 M km 8 b) Dekompressziós nyomaték (M 0 ) számítása: Kúszási tényező végértéke: ϕ E cd3 A i3 E cm E s 1 + ϕ α e E cd3 α e 16.1 ( ) ( ) A s A p bh + α e A sc A i S i3 y II ( ) b h + ( α e 1) A s d + A p d p + A sc a S i mm 3 S i3 A i3 y II 61.6 mm bh 3 I i3 1 h + bh y II + α e 1 ( ) ( ) A s d y II ( ) ( ) + A p d p y II + A sc a y II I i mm 4 r p.ii d p y II - 1 -

13 P 3 P 3 r p.ii I M 0 + ( h y II ) i3 M A i3 I i km h y II A repedések megnyílásának vizsgálata: M km < M km tehát a tartó megreped! c) Görbület és lehajlás számítása Mivel M 0 < M 3, fokozatos közelítéssel határozzuk meg a görbületet. ( ) M ps M 3 + P 3 d d p M ps k m

14 Iteráció az acélfeszültség számítására: σ s i 1 x' 0.5 h σ s0 f yd σ s1 0.5 f yd while σ si σ si > P 3 A' si A s + σ si 1 x rootb x' i M ps σ si + 1 i i + 1 x i d 3 α e A' si ( d x' ), x' A' s i σ si Az iteráció után a keresett acélfeszültség: σ s A semleges tengely: x 3 d M ps P 3 σ s A s + σ s x 77.5 mm Két repedés közötti húzott beton alakváltozást gátló hatását figyelembe vevő ζ tényező: A ζ számításában közelítésképpen σ sr /σ s helyett (M rep - M 0 ) / (M 3 - M 0 ) alkalmazunk. A repesztő nyomaték: P 3 M rep A i3 P 3 r p.ii I i3 + ( h y II ) + f ctd I i3 h y II M rep 74.9 km A teher jellegét figyelembe vevő tényező: M rep M 0 ζ max 1 β, 0.6 M 3 M 0 β 0.5 ζ 0.6 (tartós terhelés) α er E s E cd3 α er

15 P 3 P 3 r p.ii M 3 σ f + y II y II σ f 4.65 A i3 I i3 I i3 P 3 P 3 r p.ii M 3 σ a ( h y II ) + ( h y II ) σ a 1.76 A i3 I i3 I i3 A görbület értéke: σ a σ f ρ 3.I ρ 3.I E cd3 h m ρ 3.II σ s 1 ρ 3.II d x E s m A lehajlás számítása: y l ζ ρ 3.II + ( 1 ζ) ρ 3.I + y 1 y mm < Tehát a tartó lehajlásra megfelel. l megf lehajl y 3 < 50 megf lehajl 1 l mm 4.4. Repedéstágasság vizsgálata t időpontban Igénybevételek a terhek gyakori csoportosításából mezőközépen: P f pd A p P k p ser.1 l M 1 M km 8 ξ 0.5 (tapadási tényező különbség) k t 0.4 (a terhet tartós jellegűnek véve) φ p 9.6mm (pászmák névleges átmérője) ξ 1 φ s ξ ξ φ p A hatékony húzott betonfelület: A c.eff.5 b ( h d) A c.eff A hatékony vasszázalék: ρ p.eff A s + ξ 1 Ap 1 ρ p.eff A c.eff

16 Acélfeszültség számítása: Mivel M 0 < M 1, fokozatos közelítéssel határozzuk meg a görbületet. ( ) M ps M 1 + P 1 d d p Iteráció az acélfeszültség számítására: M ps k m σ s i 1 x' 0.5 h σ s0 f yd σ s1 0.5 f yd while σ si σ si > P 1 A' si A s + σ si 1 x rootb x' i M ps σ si + 1 i i + 1 x i d 3 α e A' si ( d x' ), x' A' s i σ si Az iteráció után a keresett acélfeszültség: A semleges tengely: f ct.eff f ctm ε scm max σ s x 3 d M ps P 3 σ s A s + σ s f ct.eff k t ρ p.eff 1 + α e ρ p.eff E s ( ) σ s, 0.6 E s σ s x.6 mm f ct.eff 4.07 ε scm

17 φ n s φ s + n p φ p n s φ s + n p φ p φ 10.9 mm A repedések átlagos távolsága: c 40mm k k 0.5 ( bordás betét) ( hajlítás esetén) φ s r.max 3.4 c k 1 k ρ p.eff s r.max 54. mm A mértékadó repedéstágasság értéke: w k s r.max ε scm w k 0.10 mm < w adm 0.mm Tehát a tartó repedéstágasságra megfelel. megf rep w k < 0. mm megf rep A költségek összegzése megfelel megf hajl megf nyírás megf lehajl megf rep megf vég Ellenõrzés "A tartó megfelel!" A gerenda anyagára (tartalmazza a beton, a hosszanti feszített és nem feszített betétek, valamint a kengyelezés árát 10% hulladék figyelembevételével a teljes gerendára vonatkoztatva): ( ) ρ s Ár A s + A sc Ár Ft ar s + A p ρ s h + b + φ w 10 ar p + bh ar c + A sw s ρ s ar s 1.1 l