Vasbetonszerkezetek II. STNA252

Átírás

1 Szilárdságtan és Tartószerkezet Tanszéke Vasbetonszerkezetek II. STNA5 Pécs, 007. november

2 STNA5 Szerző: Kiss Rita M. Műszaki rajzoló: Szabó Imre Gábor ISBN szám: Kézirat lezárva: 007. november 30.

3 STNA5 1. Bevezetés A jegzet a Vasbetonszerkezetek I-II tantárg második félévének előadásanagának összefoglalója. A gakorlati órák anaga a Példatár a Vasbetonszerkezetek II. tantárghoz elektronikus jegzet tartalmazza. E jegzet témakörei a lemezszerkezetek, keretszerkezetek, rövid konzol méretezése. A könv szerzője törekedett arra, hog eges fogalmakat, szerkezetek viselkedését, eges szerkezeti elemek méretezését a korábban Tartók Statikájában, Végeselem módszerek, továbbá a Vasbetonszerkezetek I. tárg körében tanultakhoz kösse. Ezekre eges hivatkozásokkal is utal. Jobb megértést több mint 80 ábra is segíti. A könv jelölései, az ismertetett módszerek az MSZ EN (EUROCODE ) szabvánon alapulnak. Köszönöm Dr. Pálfalvi Dóra gakorló mérnök megjegzéseit, korrekcióját, amel lehetővé teszi, hog a jegzetet gakorló mérnökök is támogassák. Külön köszönöm Szabó Imre Gábor munkáját a könv szerkesztésében és az ábrák rajzolásában november 4. Kiss Rita 3

4 STNA5. Lemezszerkezet általános ismeretek.1. Definíciók Lemez definíciója: A lemez sík tartószerkezet, vastagsága lénegesen kisebb, mint a másik két kiterjedése (szélessége és hossza), azaz h<l min /5, ahol h a vastagság, l min a legkisebb oldalszélesség. Emiatt a lemezt középsíkjával modellezhetjük. A lemezre ható terhek (pontszerű, vonal menti, felületen megoszló terhek) merőlegesek a lemez középsíkjára (1. ábra). (Megjegezzük, hog bizonos terhelések és statikai vázak esetén a lemez síkjával párhuzamos erők is felléphetnek, ezekkel a Magasépítési vasbetonszerkezetek című tantárgban fogunk részletesen foglalkozni). p [KN] p [KN/m ] p [KN/m] 1. ábra Lemez definíciója és az arra ható terhek Előnei: A lemez fajlagos teherbírása kétiránú teherviselés miatt nagobb, mint a gerendaszerkezetek vag a gerendarácsok fajlagos teherbírása; Keresztiránú merevsége miatt a kis felületen megoszló terhekből (pld. koncentrált terhek, kis felületen megoszló, pontszerű terhek) keletkező igénbevételei kedvezőbbek (jobb teherelosztás); Vastagsága kicsi (l ma /0-l ma /40 magasépítében; l ma /1-l ma /0 hídszerkezeteknél, ahol l ma a lemez nagobbik fesztávolsága); Lemezek zsaluzása könnű, gors, előregártható; Lemezek vasalása egszerű, hálós kialakítású, előregártható (betonacél hálók, hegesztett hálók). Az acélbetétek közötti távolság deciméter nagságrendű, azaz a betonozás könnű. Osztálozása: Alak szerint (. ábra): háromszög, négszög (négzet, téglalap, paralelogramma, rombusz stb), kör, körgűrű, 4

5 STNA5 tetszőleges.. ábra Lemez alakjai Egedi lemezek és lemezrendszerek. A lemezek lehetnek kéttámaszúak, ameleket egedi lemezeknek nevezünk. Több lemez összeépítésével jön létre a lemezrendszer, mel többtámaszú (3. ábra). 3. ábra Egedi lemez és lemezrendszer Keresztmetszeti kialakításuk szerint: A lemezeknek általában állandó vastagságú, izotróp, homogén lemezeket nevezzük. Sajnos ezek a feltételek vasbetonszerkezetek esetén csak megkötésekkel igazak. Izotrópia-anizotrópia: A vasbeton lemezek minden esetben anizotróp anagú lemezek, mert a kétiránú vasalás a keresztmetszet mentén folamatosan oszlik meg, az alkalmazott acélmenniség általában a két iránban nem azonos. Anizotrópiát okoz a bordarendszer alkalmazása is. Ha a bordák egmásra merőlegesek vag csak egiránú bordákat alkalmazunk, továbbá a vasalás is egmásra merőleges és a keresztmetszet mentén nem változik, akkor a lemez ortrotróp. Statikai számításoknál a vasalás és a bordák okozta anizotrópiától eltekintünk. Vastagság: A magasépítési lemezszerkezetek általában állandó vastagságúak. Ha a lemez változó vastagságú, azt külön ki kell emelni. 5

6 STNA5 Megtámasztási módjuk szerint: A lemezek/lemezmezők általában a széleik mentén vannak megtámasztva, de lehetnek szabadszélűek is. A megtámasztás a lemez pereme mentén is változhat. Típusai (4. ábra): Vonalmenti megtámasztás Pontonkénti megtámasztás Szabadszélű Szabadon elforduló (csuklós) Befogott Fi Sülledő (rugalmas) Fi Sülledő (rugalmas) Fi Sülledő m Vonalmenti megtámasztás: szabadon elforduló (csuklós): o fi o sülledő (rugalmas) befogott: o fi o sülledő (rugalmas) Pontonként megtámasztott: fi sülledő Szabadszélű 4. ábra Lemezek alátámasztásai Teherviselés szempontjából: Egiránban teherviselő szerkezetek Kétiránban teherviselő szerkezetek.. Lemezek építésének története Az első kő lemezek egiránban teherviselő előregártott lemezek voltak, ilenek az egiptomi templomok, a görög templomok, vag az indiai maharadzsa paloták födémpaneljei. Az első vasbeton lemezt a rómaiak építették, amel a fűtéscsövek csatornáinak 16 cm vastag, körülbelül 1 méter széles lemeze volt. A római cement 6

7 STNA5 anagú lemezben 50 milliméter vastag, 0-30 mm széles lapos vasak találhatók egmástól körülbelül 0 cm távolságban. Ez ma Klagenfurtban látható. 5. ábra Előregártott kőlemezek A modern vasbetonból készült első lemezek, akkor készültek, amikor a lemezelmélet még kidolgozatlan volt. A lemezek statikai számításához számtalan szabadalom és empirikus megoldás volt forgalomban. Valószínűleg az első lemezt, ami gombafödém volt, C.A.P. Turner 1906-ban Minneapolisban építette. Uganebben az évben Maillart Svájcban síklemez födémet épített. Az első lemezelméletet, - ami a tartókereszt eljárás H.T. Edd dolgozta ki az as évek legelején ben J.R. Nicholas a rugalmas lemezekre vonatkozó elméletet publikálta (ez nem a Kirchoff-féle lemezegenlet)..3. Lemezek osztálozása statikai szempontból.3.1. Egiránban teherviselő lemezek A 6. ábra egiránban teherviselő lemezt mutat. Geometriai adatait tekintve azt látjuk, hog az egik iránban a lemez hossza lénegesen nagobb, mint a másik iránban. 7

8 STNA5 D A B E C kétiránban egiránban kétiránban egiránban teherviselő lemez E D B A gerenda G C G gerenda 6. ábra Egiránban teherviselő lemez A teher útját követve megállapíthatjuk, hog a lemezre ható erőt (az ábrán P elemi felületen megoszló teher) a lemez elvezeti a lemezt alátámasztó gerendáig (B és C pont), innen a gerendát alátámasztó oszlopig (D, E és F, G pontok), és az oszlop ezt levezeti az alapokon keresztül talajra. A tervezésnek mindig a teher útját kell követni (ellentétes az építési ütemmel). Egiránban teherviselő lemezek számítása: Definíció: Egiránban teherviselőnek nevezzük a lemezt, ha a teher hatására a lemez alakja a megtámasztások okozta zavart résztől eltekintve egszeresen görbült, azaz viselkedése a gerendaszerkezetek viselkedéséhez hasonló (7. ábra). P 8

9 STNA5 7. ábra Egszeresen görbült egiránban teherviselő lemez Geometria adataira közelítőleg mondhatjuk, hog l l 1 < vag < l l arán áll fenn, ahol l iránban, l iránban a lemez hossza. Méretezés: A fentiek alapján az egiránban teherviselő lemez méretezése megegezik a gerendaszerkezetek tervezésével és ellenőrzésével. Feltételezzük, hog a lemez végtelen hosszú és 1 m széles független gerendából áll. A gerenda megtámasztása megegezik a lemez megtámasztásával, terhei az 1 m széles sávra eső teher (8. ábra). teherviselés irána [KN/m ] KN/m=[KN/m ] 1 m 8. ábra Egiránban teherviselő lemez statikai modellje és terhelése Megjegezzük, hog a lemezek sohasem végtelen hosszúak, a megtámasztások körnezetében kialakult zavart zónákat kétiránban teherviselő lemezként kell méretezni (6. ábra). 9

10 STNA5 Tervezési szabálok: A tervezési előírásokat, szerkesztési szabálokat különböző szabvánok (példaul Eurocode ) pontosan rögzítik, az ott összefoglalt előírásokat mindig ellenőrizni kell. Vastagság: A lemez minimális vastagságát a tűzvédelmi előírások határozzák meg, továbbá az, hog a lehajlás ne okozzon problémát. Betonfedés: A betonfedés minimális vastagságát a tűzvédelem, a korrózió védelem, továbbá a beton és az acél közötti megfelelő kapcsolat biztosítása határozza meg. Vasalás: Lemezszerkezetek esetén a vasalást eg méter széles sávra adjuk meg, mértékegsége [mm /m]. A betonacélokat egmástól adott távolságra helezzük el, amelnek jele például Φ8/00, Jelentése a 8 mm átmérőjű betonacélokat egmástól 00 milliméterre (9. ábra) kell tenni. Φ 9. ábra Lemezvasalás elhelezése A s A Φ d [ mm / m] A [ mm ] 1000 [ ] A s = Φ, ahol d mm 1 méterre (1000 milliméterre) eső vasalás keresztmetszeti területe, eg betonacél keresztmetszeti területe, a betonacélok közötti távolság. A minimális vasmenniséget az határozza meg, hog a lemezszerkezetben a zsugorodásból, a kúszásból és a külső belső hőmérsékletkülönbségből ne keletkezzenek repedések. A betonacél átmérő csökkentésével a repedések tágassága csökkenthető. A lemezben nem lehet olan rész, ahol nincs betonacél. A részletes szerkesztési szabálokat a Kétiránban teherviselő lemezeknél ismertetjük..3.. Kétiránban teherviselő lemezek Ha a lemez a terhet mindkét iránban viszi, akkor kétiránban teherviselő lemezről beszélünk. Kétiránban teherviselő lemezek lehetnek a bordás lemezek (alulbordás vag felülbordás), a síklemezek, gombafödémek vag könnített lemezek. A kétiránban teherviselő lemez esetén a rá ható teher hatására kétszeresen görbült felület alakul ki, a két görbület közel azonos (10. ábra). 10

11 STNA5 10. ábra Kétiránban teherviselő lemez görbületei Oszlopokkal alátámasztott síklemez födém esetén az a lemezre ható erő eg részét (az ábrán P elemi felületen megoszló teher) a lemez elvezeti az oszlopok által geometriailag meghatározott fiktív gerendáig (B és C pont), innen a fiktív gerenda a lemezt alátámasztó oszlopig (D, E és F, G pontok), és az oszlop ezt levezeti az alapokon keresztül talajra. Teljesen hasonló a teher másik részének az elvezetése is a másik iránban (11. ábra). kétiránú lemez D B A E G C F 11. ábra Kétiránban teherviselő lemez statikai modellje Kétiránban teherviselő lemezek számítása: Definíció: Kétiránban teherviselőnek nevezzük a lemezt, ha lemez alakja a teher hatására kétszeresen görbült. Geometria adataira közelítőleg mondhatjuk, hog l l 1 vag l l arán fenn áll, ahol l iránban, l iránban a lemez hossza. A kétiránban teherviselő lemezek statikai számítása a lemezelméleten alapul. Részletesen e problémával a. fejezetben foglalkozunk. P 11

12 STNA5.4. Hajlított lemez viselkedése törésig A hajlított lemez viselkedését legalább nég állapotra oszthatjuk (1. ábra). teher [N/mm ] B C D E A repedés mentes rugalmas berepedt acélbetétek folnak törés lehajlás [mm] b d c e 1. ábra A lemez terhelés története 1. Az első repedés megjelenéséig a vasbeton lemez úg viselkedik, mint eg izotróp, homogén, lineárisan rugalmas lemez. A lemez összes keresztmetszete I. feszültségállapotban van. Rövid idejű terhek esetén az alakváltozások, feszültségek, núlások a rugalmas lemezelmélet alapján számolhatók (a 1. ábra A pontjáig).. A terhek növekedésével a húzott betonrészben egmástól véges távolságra repedések alakulnak ki. A beton megrepedése után feltételezzük, hog a húzott beton húzófeszültséget nem képes felvenni, a berepedt keresztmetszetek merevsége jelentősen csökken. A rugalmas lemezelmélet használható, de csökkentett keresztmetszeti inerciával. A lemez merevsége nem konstans, mert a repedt szakaszok merevsége jóval kisebb, mint a repedésmentés szakaszé, 1

13 STNA5 emiatt a hajlítónomatékok átrendeződnek, a terhek növekedéséből származó nomatékok elsősorban a berepedetlen zónákban növekszik. A kísérletek azt mutatják, hog a lemez viselkedése jól követhető a rugalmas lemezelmélettel, ha a repedt keresztmetszet inerciáját használjuk. Ez az állapot a betonacél megfolásig vag a beton megfolásáig áll fenn, azaz a II. feszültségállapot végéig. Ezt a viselkedést láthatjuk a 1. ábra B pontjáig. 3. Általában a teher növelésével a leginkább igénbevett keresztmetszetekben a betonacélok képlékenedése indul meg a beton képlékenedését megelőzően. Ha az acélbetétben keletkező feszültség eléri a képlékenedést (folási határfeszültséget), akkor az a keresztmetszet további nomatékot nem képes felvenni, a keresztmetszet tovább alakváltozik, azaz csuklóként viselkedik. A teher növelésével a nomatékok átrendeződnek, egre több keresztmetszetben folik meg a betonacél, és csuklósorok alakulnak ki. A csuklósorokat törési (vag folási) vonalaknak is nevezzük. Ezt a viselkedést láthatjuk a a 1. ábra C és D pontjáig (a különbség, hog a D pontban a beton is el kezd képlékenedni). Nég oldaán befogott téglalap alakú lemez esetén a betonacél először a hosszabbik oldalon középen a negatív nomaték maimumánál (befogás keresztmetszete) éri el folási határfeszültségét, majd halad a másik két szél felé (1. b. ábra). A kialakuló törés (vag folási) vonalakat (csuklósorokat) negatív törésvonalnak nevezzük. A következő lépésben a csuklósorok (folási vonalak-törésvonalak) a rövidebb oldalon szintén a negatív nomatéknál, a befogásnál középen indul meg és halad a sarok felé. A kialakuló negatív törésvonalak a teher növekedésével összeérnek (1. c. ábra). A harmadik lépésben a pozitív nomaték maimumnál a lemez középső keresztmetszetében éri a betonacél folási határszilárdságát (1. d. ábra). A törési (folási) vonalak kialakulásával a lemez képléken állapotba kerül (1. e. ábra). A lehajlások rohamosan nőnek, de a nomatékok csak kismértékben. A lemezben eg nomott ív alakul ki. A nomott ív hatását a tervezésnél és az ellenőrzésnél nem vesszük figelembe. 4. A kialakuló képléken csukósorok (törési-folási vonalak) hálózata következtében a szerkezet labilissá válik, a lemez alakváltozásai további tehernövekedés nélkül is növekednek. A teljesen kialakult törési vag folási vonalak a lemezt háromszögekre, trapézokra osztja (1. e. ábra), amelek rugalmasan, merev testként viselkednek. Ebben az állapotban a lemez viselkedése közelítőleg a törésvonal elmélettel írható le. A lemez képléken teherbírásának határát akkor érjük el, ha a nomott oldalon a beton összemorzsolódik, ezt előidéző terhet törőtehernek nevezzük. A 1. ábra E pontja. 13

14 STNA5 3. Rugalmas lemezelmélet 3.1. Rugalmas lemez vizsgálata derékszögű koordináta-rendszerben A lemezek rugalmasságtan szerinti számításához a következő feltételezéseket kell tenni: A lemez anaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas, azaz követi a Hooketörvént; A terheletlen állapotban a lemez feszültségmentes A lemez vastagsága állandó és a másik két oldalához képest kicsin (h<l min /5, ahol t a vastagság, l min a legkisebb oldalhossz) (lásd Bevezetés fejezet); Érvénes a Kirchoff-Love hipotézis, azaz a középsík valamel pontjának normálisán lévő pontja alakváltozás után is uganazon a normálison marad; A lemez középsíkjának pontjai csak merőlegesen tolódnak el; A lemez középsíkjának alakváltozása (lehajlása) a vastagsághoz képest kicsin (w<h/5, ahol w a lemez középsíkjának merőleges eltolódása); A lemez középsíkja feszültségmentés, azaz megegezik a semleges síkkal; A középsíkra merőleges feszültségek elhanagolhatón kicsinek; A lemez síkjában az elmozdulások szabadon létrejöhetnek. Differenciálegenlet: A lemezegenlet levezetéséhez vizsgáljuk először is a - derékszögű koordináta rendszerben adott lemez alakváltozását q(,) általános teherre. A lemez középsíkjában lévő tetszőleges P pont a teher hatására az előbbiekben összefoglalt közelítő feltételezések alapján merőlegesen eltolódik w értékkel és a P 1 helzetbe kerül (13. ábra). q(,) w(,) w(p) P P 1 P w(,) P 1 w(p) 13. ábra A kétiránban teherviselő lemez alakváltozása 14

15 STNA5 Vizsgáljuk a P pont körüli h vastagságú d, d,elemi nagságú lemezdarabot. A lemezdarabra a külső terhelés hatására a rugalmasságtan alapján m, m fajlagos hajlítónomaték, v, v fajlagos níróerő és m =m (felcserélhetőségi tétel miatt azonos) csavarónomaték hat (14. ábra). m m m m v v τz τz τ σ σ τz 14. ábra A lemezdarab belső feszültségei és igénbevételei Az elemi darabra felírt egensúli egenlet alapján m m m + + = q(, ). Megjegezzük, hog a q(,) teherfüggvént akkor tekintjük pozitívnak, ha a pozitív w(,) lehajlás függvénnel azonos iránú (13. ábra). Feltételezésünk szerint a lemez lineárisan rugalmas (rugalmassági modulusa E c ), érvénes a Hooke-törvén, azaz az anagegenletek (fizikai egenletek) a következőképpen írhatók fel, a Poisson hatást µ c harántnúlási-ténezővel vesszük figelembe (µ c =1/ν c, ahol ν c a beton Poisson ténezője: Ec σ = ( ε ), + µ cε 1 µ τ c Ec σ = 1 µ E = 1 c c ( + µ ) ( ε + µ ε ), c γ. c 15

16 STNA5 A kompatibilitási egenletek (összeférhetőségi egenletek) w(, ) ε = z, w(, ) ε = z, γ = z (, ). w A fizikai és az összeférhetőségi egenleteket az egensúli egenletbe behelettesítve w (, ) w(, ) w(, ) q(, ) + + =, ahol 4 4 K 3 E c h K =, ahol 1( 1 µ c ) K a lemez hajlító merevsége, E c a lemez anagának (jelen esetben a beton) rugalmassági modulusa, h a lemez vastagsága, µ c a lemez anagának harántnúlási ténezője; w(,) lemez középsíkjának eltolódás függvéne; q(,) lemezre ható teher függvéne. Bevezetve a = + Laplace-operátort, a fenti egenlet a következőképpen módosul q ( ) (, ) w, =. K A kapott egenletet Kirchoff-féle lemezegenletnek nevezzük. A lemezegenlet Lagrange-féle, negedrendű, parciális (kétváltozós), inhomogén differenciálegenlet, amel elegendő számú peremfeltétel esetén egértelműen leírja a q(,) terhelés hatására kialakuló w(,) lehajlás függvénét. A differenciálegenlet megoldásának matematikai határozottságához minden perempontban két peremfeltételt kell megadni, amel a lemez megtámasztási viszonai alapján fogalmazhatók meg. A továbbiakban a peremfeltételek felírásakor a n alsó inde a megtámasztás vonalára merőleges, t alsó inde a megtámasztás vonalával párhuzamos irán. Peremfeltételek (15. ábra): Befogás: a perem lehajlása és normális iránú szögelfordulása zérus: w = 0, w ϕ n = = 0. n 16

17 STNA5 Rugalmas befogás: a perem lehajlása zérus és normális iránú szögelfordulása arános a nomatékkal. Az aránossági ténező a rugalmas befogás rugóállandója (c): w = 0, w 1 1 w ϕ n = = mn =. n c c n Csuklós megtámasztás (felfekvés): a perem lehajlása és normális iránú (támasz vonalára merőleges) nomaték zérus: w = 0, w m n = = 0. n Befogott Rugalmas I= I << c ϕn w=0 ϕn=0 w=0 Csuklós Szabad peremű w=0 mn=0 r=0 mn=0 15. ábra Peremfeltételek megfogalmazása különböző megtámasztások esetén 17

18 STNA5 Szabad peremű lemez (szabad lemezszél): normális iránú nomaték és a perem reakcióereje zérus: w m n = = 0 n r = 0. Két megjegzés a rugalmas lemez lmélet alkalmazásához vasbeton lemezek esetén: 1. A vasbeton lemezek anizotróp viselkedésétől eltekintünk (lásd Bevezetés fejezete).. Berepedetlen (repedésmentes), és berepedt (II. feszültségállapotban lévő) vasbeton lemez lineárisan homogén viselkedése biztosított. A berepedt állapotot csökkentett inerciával (hajlítási merevséggel) kell figelembe venni. Ez alapján kimondhatjuk, hog a rugalmas lemezelmélet használati határállapotban elegendően pontos. A Kirchoff-féle lemezegenlet (Lagrange-féle, negedrendű, parciális, inhomogén) megoldása: Az inhomogén differenciálegenletek pontos megoldása két részből tevődik össze. Az első rész a homogén egenlet ( w(,) = 0) megoldása, ami biztosítja a kompatibilitási feltételek kielégítését. A második rész a teljes inhomogén lemezegenlet eg partikuláris megoldása, ami a peremfeltételeket elégíti ki. Megjegezzük, hog a lemezegenlet matematikailag zárt formában való megoldása csak eges, különleges esetekben lehetséges (például teljes felületen terhelt végtelen lemezsáv, körszimmetrikusan terhelt körlemezek), gakorlatban előforduló feladatoknál ez általában nem lehetséges. A differenciálegenlet analítikus megoldásának egik legelterjedtebb módja az ismeretlen w(,) lehajlásfüggvén és az ismert q(,) teherfüggvén Fourier sorba fejtése. Az eges Fourier tagok egeztetése után mπ nπ w( ) = amn sin sin. a b m= 1 n= 1, A megoldás gorsan konvergál, ezért a Fourier sor első -3 tagjának felírása elegendő. A lehajlás függvénének ismeretében a kompatibilitási egenletek segítségével az alakváltozások, a fizikai egenletek segítségével a feszültségek, majd nomatékok és níróerők írhatók fel: 18

19 STNA5 19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,,,,,,, 1,,,,,, + = + = = = + = + = w w K v w w K v w K m m w w K m w w K m c c c µ µ µ A legtöbb gakorlati esetre az analitikus megoldások figelembevételével táblázatokat (Bareŝ vag Čzern táblázatok), grafikonokat (Pucher) állítottak össze, amel segítségével a mértékadó keresztmetszetek igénbevételei számíthatók. A lemezek igénbevételének meghatározására ma a legelterjedtebb a különböző véges elem módszerek használata. A kereskedelmi forgalomban kapható szerkezetszámító programok segítségével a napi tervezési gakorlatban előforduló lemezek igénbevételei rövid előkészítés után néhán percni futtatási idő után rendelkezésünkre állnak. A véges elem programok elméletét és gakorlati alkalmazásának kérdéseit különböző Mechanika tantárgak keretében ismertették. Sok esetben közelítő megoldásokat is használnak az igénbevételek meghatározására. A legelterjedtebb, amikor a lemezt két egmást keresztező gerendával helettesítik. Erre a célra két módszer a sávmódszer (tartókereszt-eljárás) és a Marcus-módszer terjedt el. Mindkétmódszer részletes leírása a F1 függelékben található. Az igénbevételek ismeretében a lemez vasalása meghatározható. A rugalmas lemezegenletből levezethető speciális esetek: Egiránban teherviselő lemez Az egiránban teherviselő lemez definíciójából (lásd Bevezetés) következik, hog ( ) ( ) 0, 0, = = w w Ennek megfelelően a Kirchoff-féle differenciálegenlet leegszerűsödik ( ) ( ) K q w,, 4 4 =.

20 STNA5 A nomatékok m = K (, ) w, (, ) w m = K µ c = µ. cm Ez azt jelenti, hog egiránban teherviselő lemezek esetén a főiránban elhelezett vasmenniség harántnúlási ténezővel szorzott értékét (általában 16-0% a fővasnak) a másik iránban elosztó vasként el kell helezni. A lemez peremein fellépő csavarónomatékok helettesítése Peremek mentén fellépő fajlagos csavarónomatékot statikailag egenértékű megoszló níróerővel helettesítjük, amihez a lemez szélét da hosszúságú elemekre osztottuk, és a m csavarónomaték da karú erőpárokkal helettesíthető (16. ábra). m m m- m da a m v m m m+ m da a m m+ mm da a m da a 16. ábra Csavarónomaték-níróerő kapcsolat szabadszél esetén [Bölcskei E- Orosz Á: Lemezek, falak, faltartók. Műszaki Könvkiadó] Emiatt a níróerő értékét módosítani kell: (, ) (, ) = m 3 3 w w v, red v = K + ( µ ) 3 c A fenti egesítés a Saint-Venant elv szerint megengedhető, és ezt Kirchoff-féle peremerőnek nevezzük. Szabadon felfekvő lemez esetén (csuklós megtámasztás) a lemez peremén átadódó reakcióerő megegezik a v,red értékével. A szabadon felfekvő lemezsarok találkozásánál a sarokhoz kacsolódó da elemei lemezszéleken m 1 és m nagságú csavarónomatékok működnek. Az előbb bemutatott erőpárokkal történő helettesítés után látható, hog a lemez sarkon R=m 1 +m felfelé mutató koncentrált reakcióerő lép 0

21 STNA5 fel. Ha a lemez derékszögű, akkor a koncentrált reakcióerő nagsága R=m. Ebből következik, ha a lemez sarka nincs leterhelve, vag lekötve, akkor a lemez sarka felemelkedik (17. ábra). R m m1 17. ábra Lemezélek találkozása, lemezsarkok igénbevétele Ha a lemez peremei befogottak, akkor a peremfeltételből w(, ) = 0 következik, hog a w(, ) = 0, azaz m =0. Befogott perem esetén a níróerőt nem kell módosítani, a reakció erő és a níróerő eloszlása azonos. Koncentrált erők esete Koncentrált teherrel terhelt lemez Kirchoff-féle differenciál egenletének Fouriersorbafejtéssel történő megoldása csak nagon lassan konvergál, és nem vezet megfelelően pontos eredménre. A gakorlatban a feladat Pucher-féle hatásfelületek segítségével oldható meg. A hatásfelületeket Pucher osztrák professzor dolgozta ki. A hatásfelületek a hatásábrákhoz hasonlóan a Mawell-felcserélhetőségi tételén alapulnak (eg ponton működő egségni erő hatására tetszőleges pontban keletkező lehajlás megegezik az utóbbi pontra állított egségni erőből az eredeti pontban számítható lehajlással). A tetszőleges K keresztmetszetben a q(,) teherfüggvén hatására keletkező igénbevétel (például hajlítónomaték) a hatásfelületből η(m k ) a következő összefüggéssel numerikus integrálással - számítható M K = A q ( ) η( M ), da. K A 18. ábrán szabadon felfekvő lemez középső keresztmetszet hatásfelületének szintvonalas ábráját és metszetét láthatjuk koncentrált teher esetére. 1

22 STNA Y 1 0,6 0, ηm(k) 18. ábra Pucher-féle hatásfelület és metszet [Bölcskei E-Orosz Á: Lemezek, falak, faltartók. Műszaki Könvkiadó] A 18. ábrából jól látszik, hog a keresztmetszet felett álló koncentrált erőből a keresztmetszetben keletkező nomaték elvileg végtelen nag. A gakorlatban ténleges koncentrált erő nem létezik, csak igen kis felületen megoszló. Ha a vizsgált hatás A felületen oszlik meg, az előbbi képlettel számolható a nomaték (az integrál véges értéket ad) (19. ábra). P A q(,)= P A 19. ábra Koncentrált erő transzformálása kis felületen megoszló erővé Végeselem módszerek alkalmazásakor koncentrált terhek esetén külön hangsúlt kell fektetni a hálózat felvételére, a hálózat sűrítésére.

23 STNA5 A lemez vasalásának számítása a rugalmas lemezegenletből számított igénbevételek esetén: A Kirchoff-féle lemezegenlet alapján a lemez tetszőleges pontjában meghatározhatók a pontban keletkező igénbevételek (m, m, m ). Ezekből a főnomatékok m + m m m m 1, = ± + m. A főnomatékok értéke és irána pontról pontra változik. Irána a trajektória vonalakkal jellemezhető (0. ábra). oszlop m' m" 0. ábra Oszlopokkal alátámasztott síklemez födém trajektória vonalai [Farkas: Magasépítési vasbetonszerkezetek. Műegetem Kiadó] A főnomatéki iránokhoz tartozó metszetekben a csavarónomaték zérus. A főnomatékokból származó húzóerőt trajektória iránú vasalással célszerű felvenni, de ennek kivitelezése nehézkes. Ha a lemezvasalást egmást merőlegesen keresztező (ortogonális) acélbetétekkel alakítjuk ki, akkor az iránú fajlagos határnomaték: m H, az iránú fajlagos határnomaték: m H. Az tengellel α szöget bezáró határnomaték Johansen szerint (1. ábra) m, = m, cos α + m, sin α. α H H H - iránú vasalás főnomatéki irán, egben potenciális törésvonal is α 1. ábra - iránú vasalás főnomatéki iránban vett vetületei [Farkas: Magasépítési vasbetonszerkezetek. Műegetem Kiadó] 3

24 STNA5 Ellenőrzéskor a fenti képlet úg használható, hog a α szög legen a trajektória vonalnak az tengellel bezárt szöge, és az íg kapott határnomatéknak a főnomaték értékénél nagobbnak kell lenni. A vasalás tervezésekor az iránban és az iránban szükséges vasalást a biztonság javára történő közelítéssel a m +m és m +m nomatékokból kell meghatározni. Egenletesen megoszló teherrel terhelt, peremein feltámaszkodó, derékszögű négszög alakú lemez vasalásának kialakítását a. ábra mutatja. Alsó vasalás Felső vasalás As - m ma alapján - As - As m + As - m ma alapján hagomános vasalás - - As = As m = m-ból toldás (50cm) + As + As A A A előreg. hálóvasalás - As - As. ábra Nég oldalon feltámaszkodó lemez vasalása. [Bódi-Farkas: Vasbetonlemezek. Oktatási segédanag. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke] A vasbeton lemezek méreteire és vasalására vonatkozóan a következő szerkesztési szabálokat kell figelembe venni [Huszár-Farkas-Kovács-Szalai: Betonszerkezetek tervezése az EUROCODE előírásai szerint. Terc Kiadó, oldal pont]. 1. A fő teherviselés iránában alkalmazott hossziránú acélbetétek minimális és maimális menniségére, a gerendára vonatkozó szabálok érvénesek: f ctm a. Minimális vasmenniség As, min = 0,6 bt d 0, 0013bt d ; f k b. Maimális vasmenniség As, ma = 0, 04bt h ; A fenti két képletekben f ctm a beton húzófeszültsége, 4

25 STNA5 f k a betonacél húzószilárdáságának karakterisztikus értéke, b t a keresztmetszet szélessége, jelen esetben 1000 mm, d a keresztmetszet hasznos magassága, h a keresztmetszet magassága, itt a lemez vastagsága.. Egiránban teherviselő lemezek esetén a mellékiránban szükséges vasalás mennisége nem lehet kevesebb, mint a főiránban alkalmazott vasalás menniségének 0%-a. 3. Megoszló teherrel terhelt lemezek hossziránú acélbetéteinek távolsága nem lehet nagobb, mint a. főiránban 3,0h és 400 mm közül a kisebbik; b. mellékiránban 3,5h és 450 mm közül a kisebbik; 4. Koncentrált teherrel lemezek esetén a koncentrált teher körnezetében hossziránú acélbetéteinek távolsága nem lehet nagobb, mint a. főiránban,0h és 50 mm közül a kisebbik; b. mellékiránban 3,0h és 400 mm közül a kisebbik. 5. A mezőben alkalmazott húzott hosszvasalás legalább felét a támaszig kell vezetni. A lemezek kialakításánál a következő javaslatokat célszerű betartani [Bódi-Farkas: Vasbetonlemezek. Oktatási Segédlet. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke]: 6. A lemez vastagsága minimálisan 60 mm, konzolos lemez befogási keresztmetszetében 100 mm. 7. A lemezben elhelezett acélbetétek minimális átmérője 5 mm, hegesztett hálós vasalás esetén 4, mm, a vasátmérő ne legen nagobb a lemez vastagság nolcadánál (φ ma < t/8). 8. A lemez szabad széleivel párhuzamosan szegél acélbetéteket (hajtűvasakat) kell elhelezni. Ezek távolsága 400 mm vag a lemezvastagság kétszerese. A hajtűvasak kialakíthatók egedileg vag a végig vitt (a lemez szélre merőlegesen) acélbetétek visszahajtásával (3. ábra). 3. ábra Hajtűvasak kialakítása 3.. Vasbeton lemezrendszerek vizsgálata Definíció: Több lemez egiránban, vag mindkét iránban való összekapcsolásával lemezrendszerek jönnek létre. Ennek megfelelően a lemezrendszerek eg vag mindkét iránban többtámaszúak (4. ábra). 5

26 STNA5 4. ábra Lemezrendszerek kialakítása Számítása: A lemezrendszerek pontos vizsgálata végeselem módszeren alapuló számítógépes programokkal történik. Közelítő számítása: A kétiránban teherviselő lemezrendszerek maimális nomatékainak közelítő számítása történhet a lemezrendszer vizsgált mezőjével azonos méretű, különálló lemezen. A közelítő vizsgálat elvégzéséhez feltételezni kell: A lemezrendszer vastagsága állandó; A lemezrendszert mezőnként egenletesen megoszló, konstans teher terheli; A lemezmezők kétiránban teherviselők; A lemezt alátámasztó peremek (általában gerendák) megtámasztása nem befolásolja a lemez igénbevételeit; A lemezmezők hajlításra mereven kapcsolódnak egmáshoz, de a megtámasztási vonalak mentén szabadon elforduló. A lemezrendszerek maimális nomatékait a mezőközépen (mezőnomaték) és az alátámasztások felett (támasz feletti nomaték/támasznomaték) kell meghatározni. A lemezrendszer maimális mezőnomatékát akkor kapjuk, ha az önsúl teherrel (g) a teljes lemezrendszert, az esetleges (hasznos teherrel) (p) a lemezrendszert sakktáblaszerűen terheljük le (5. ábra). 6

27 STNA5 Teljes leterhelés Sakktábla szerű leterhelés 5. ábra Lemezrendszerek leterhelésének típusai (teljes és sakktáblaszerű leterhelés) A teljes lemezrendszer leterhelésének hatására kialakuló alakváltozást elemezve megállapíthatjuk, hog a lemezrendszert alkotó belső lemezmezők mind a nég oldalon befogott lemezként viselkednek (6. ábra). 6. ábra Teljes felületen történő leterhelés hatására kialakuló alakváltozás Ha az egmás melletti lemezmezőket ellentétes iránú, de azonos nagságú teherrel terheljük, akkor a lemezrendszert alkotó belső lemez mezők, mind a nég oldalon csuklós (szabadon elforduló) lemezként modellezhetők (7. ábra). 7. ábra Váltakozó iránú leterhelés hatására kialakuló alakváltozás 7

28 STNA5 Ezt figelembe véve mindkét iránú mezőnomaték az összes mezőben meghatározható, ha a vizsgált lemezmezőt különálló lemezként modellezzük. Az első esetben a csatlakozó peremek mentén tökéletes befogást tételezünk fel és a lemezre ható terhelés q = g + (8.ábra)., p b b a a Terhelés: q'=g+ p Terhelés: q''= + - p b b a a 8. ábra Helettesítő lemezmezők statikai vázlatai mezőnomaték számításához [Bódi- Farkas: Vasbetonlemezek. Oktatási segédanag. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke] A második esetben a vizsgált lemezmezőt nég oldalon csuklós megtámasztásnak, tételezzük fel, és a lemezre ható terhelés q = ± (8.ábra). A legnagobb mezőnomaték a két esetből származó nomaték összege, a legkisebb mezőnomaték a két esetből származó nomaték különbsége., p A lemezrendszer maimális támasznomatékát akkor kapjuk, ha az önsúl teherrel (g) a teljes lemezrendszert, az esetleges (hasznos teherrel) (p) a lemezrendszert sakktáblaszerűen terheljük le, de a vizsgált támaszhoz csatlakozó mindkét lemezt leterheljük (9. ábra). Itt is két teheresetet kell figelembe venni. Az első tehereset a teljes leterhelés, amikor a csatlakozó mindkét lemezmező mind a nég oldalán tökéletes befogást tételezünk fel, a terhelés a q. A második eset a váltakozó leterhelés, amikor a csatlakozó lemezmezők csatlakozó oldalán tökéletes befogást, a többi oldalon csuklós (szabadon elforduló) megtámasztást tételezünk fel, a terhelés q. A támasznomaték minimális értéke a két esetből meghatározható nomatékok összege. A vasalás számításánál a csatlakozó lemezmezők alapján számított támasznomatékok átlagát kell figelembe venni. 8

29 STNA5 a b vizsgált rész b a Terhelés: q'=g+ p Terhelés: q''= + - p a b b a 9. ábra Helettesítő lemezmezők statikai vázlatai támasznomaték számításához [Bódi- Farkas: Vasbetonlemezek. Oktatási segédanag. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke] 9

30 STNA5 4. Oszlopokkal alátámasztott lemezek (födémek) Definíció: Oszlopokkal alátámasztott lemezek (födémek) esetén a lemezek (födémek) az oszlopokra közvetlenül (tartógerendák-bordák nélkül) támaszkodnak. Osztálozása: Az oszlopokkal közvetlenül alátámasztott lemezeket az oszlopfej kialakítása alapján osztálozhatjuk. Ha az oszlopfej kiszélesedik, akkor gombafödémről (30. ábra), ha az oszlop és a síklemez födém közvetlenül kiszélesedés nélkül csatlakozik egmáshoz, akkor síklemez födémekről beszélhetünk (30. ábra). 30. ábra Oszlopokkal alátámasztott lemezek típusai [Bódi-Farkas: Vasbetonlemezek. Oktatási segédanag. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke] Alkalmazásának előne és hátránai: Bódi és Farkas szerint [Bódi - Farkas: Vasbetonlemezek. Oktatási Segédlet. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke] a síklemez födémek alkalmazásának előnei: Egszerű, gors zsaluzás, állvánozás, vasszerelés; Jobb térkihasználás a gerendák és oszlopfejek elmaradása miatt; Kisebb kötöttségek az alaprajzi elrendezésben; Jobb természetes bevilágítás. Hátránai: Bonolultabb erőjáték, igénbevételek pontos számítása nehézkes; Közelítő módszerek túlméretezéshez vezetnek; Nagobb alakváltozások; A lemez és oszlop kapcsolatának modellezése bizontalan. Vasalás meghatározása: A gomba és síklemez födémek vasalásának ellenőrzésekor és tervezésekor legalább két feladatot kell elvégezni: a hajlítási méretezést, és az átszúródás vizsgálatot. Hajlítási méretezés: A gomba- vag síklemez födémek függőleges terhekből származó igénbevételei a rugalmas lemezegenlet (Kirchoff-féle lemezegenlet) megoldásával határozhatók meg. Feltételezzük, hog az oszlopra átadódó reakcióerő az oszlop felületén egenletesen oszlik meg (lásd Koncentrált teher esete). A lemezegenlet megoldása történhet numerikusan (általában véges elemes módszer) és analitikusan. Legelterjedtebb a végeselem módszereken alapuló számítógépes programok 30

31 STNA5 I használata, ahol a végeselemes hálózat felvételénél az oszlopok körnezetében a véges elemes hálózatot megfelelően sűríteni kell. A lemezegenlet analitikus megoldása zárt formában szinte sohasem történhet, a Fourier-sorok alkalmazása a lassú konvergencia miatt nehézkes. A gakorlatban az analitikus megoldásokon alapuló táblázatokat lehet használni. A táblázatok segítségével szabálos elrendezésben megtámasztott, négszög alaprajzú lemezrendszerek kritikus keresztmetszeteiben a mértékadó nomaték és a reakcióerők nagsága határozható meg. I I I A gomba- és síklemez födémek maimális igénbevételeinek meghatározására közelítő eljárás is alkalmazható, ha az alátámasztások arána mindkét iránban 0,8 és 1,5 közé esik. A gombafödém lemezének nomatékait eg olan vag iránú helettesítő többtámaszú gerendán határozzuk meg, melnek támaszköze az oszlopok tengeleinek távolsága a gerenda tengelével párhuzamosan, a gerenda terhelése az adott iránnak megfelelő teljes lemezszélesség terhelése (31. ábra). Fal q l vag 1 + l3+l1 q 0,75M + = 1,1M + 0,75M + 0,45M + = 0,9M + 55% 45% 55% 0,75M - - 0,5M = 0,5M - 0,375M - = 1,5M - 75% 5% 75% q l 31. ábra Gombafödémek nomaték és vasalás számítása közelítőleg [Bódi-Farkas: Vasbetonlemezek. Oktatási segédanag. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke tananagban lévő ábra bővítésével] 31

32 STNA5 A helettesítő gerendán számítható mezőnomaték 45%-t a 0,5l szélességű lemezsáv, a mezőnomaték 55%-t a 0,5l szélességű oszlopsáv veszi fel. A helettesítő gerenda támasznomatékának 5%-t a lemezsáv, 75%-t az oszlopsáv veszi fel. A lemez hajlítási vasalását e szerint kell kialakítani. A síklemez födémek esetén a maimális hajlítónomatékok hasonló módon határozhatók meg közelítőleg. A kisebb feltámaszkodási felület miatt a nomatéki átrendezés más (3. ábra). A lemez hajlítási vasalását e szerint kell kialakítani (33. ábra). b 1/ oszlopsáv a-a - M,1 l - M 1,4 l b-b 1,5 + M l lemezsáv 0,5 - M l 0,84 + M l 1/ oszlopsáv b a 3. ábra Síklemez födémek nomatékainak és vasalásának közelítő számítása [Bódi-Farkas: Vasbetonlemezek. Oktatási segédanag. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke] 3

33 STNA5 Alsó vasalás 5% 50% 5% + az As l vasalás elosztása iránban 5% 5% 50% + az As l vasalás elosztása iránban 15% 0% 30% 0% 15% + az As l vasalás elosztása iránban 15% 15% 0% 0% 15% 15% Felso vasalás - az As l vasalás elosztása iránban 33. ábra Síklemez födémek nomatékainak és vasalásának közelítő számítása [Bódi-Farkas: Vasbetonlemezek. Oktatási segédanag. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke] 33

34 STNA5 Átszúródás vizsgálata: A kis felületen átadódó reakció erő következtében az átszúródás vizsgálata kritikus. Ez különösen igaz síklemez födémek esetén. Átszúródás jelenség: Kísérletek alapján megállapítható, hog a központosan terhelt kör keresztmetszetű oszlop esetén csonka kúp alakú, négszög alakú oszlop esetén csonka gúlaalakú idom szakad ki a lemezből az oszlop körnékén. A kiszakadó kúp vag gúla hajlásszöge vasalatlan lemez esetén 45 fok, vasalt lemez esetén kb. 30 fok (34. ábra). Az átszúródás jelensége nírási jelenség. vasalatlan lemez vasalt lemez átszúródási felület ~30 R R 34. ábra Kiszakadó csonka kúp vag gúla szerkesztése, hajlásszögek Átszúródás ellenőrzésének elvi alapjai: A lemez átszúródásra megfelel, ha az átszúródási vonal mentén fellépő fajlagos mértékadó níróerő nem haladja meg a lemez nírási ellenállását, amel függ a lemez hasznos magasságától, a beton húzószilárdságától és az átszúródásra elhelezett vasalás határerejétől. Átszúródás számítása az EUROCODE előírása szerint [Huszár-Farkas-Kovács- Szalai: Betonszerkezetek tervezése az EUROCODE szerint pont 187. oldal]: Az átszúródási vonal meghatározásához szükséges paramétereket a 35. ábra tartalmazza. θ θ a θ=arc tan(1/)=6,6 a =kritikus átszúródási vonal 35. ábra Az átszúródás vizsgálat eges fogalmainak definíciója [Huszár-Farkas-Kovács- Szalai: Betonszerkezetek tervezése az EUROCODE szerint pont 187. oldal] 34

35 STNA5 A kritikus átszúródási vonal meghatározásakor a lemez hasznos magasságát az alábbi értékkel kell figelembe venni d + d d = d eff =, ahol d, d egmásra merőleges, iránú, kritikus átszúródási vonalon belül elhelezett hajlítási vasalás helzetéből számított hasznos magasságok. A kritikus átszúródási vonalat általános esetben az. 36. ábrán, speciális esetekben (lemez szélek esetében) a 37. ábrán adjuk meg. u1 u1 u1 36. ábra Az átszúródási vonal meghatározása általános esetben [Huszár-Farkas-Kovács- Szalai: Betonszerkezetek tervezése az EUROCODE szerint pont 187. oldal] u1 u1 u1 37. ábra Az átszúródási vonal meghatározása speciális esetben [Huszár-Farkas-Kovács- Szalai: Betonszerkezetek tervezése az EUROCODE szerint pont 187. oldal] Az átszúródási vasalást nem kell alkalmazni, ha v Ed v Rd, c, ahol v Ed az átszúródási fajlagos níróerő tervezési értéke, melet VEd ved = képlettel számolhatunk központos nomás esetén; u d v Ed i VEd = β képlettel számolhatunk külpontosan működő átszúródási erő uid esetén, ahol V Ed központosan működő átszúródási erő, u i átszúródási vonal kerülete, d hasznos magasság, β külpontosságot figelembe vehető ténező, ami akkor használható, ha a támaszközök hosszai 5%-nál nagobb értékben nem térnek el. Értékeit a 38. ábra tartalmazza. 35

36 STNA5 c β=1,5 b β=1,4 a β=1,5 a - belső oszlop c - sarokoszlop b - lemez szélen lévő oszlop 38. ábra β ténező meghatározása v Rd,c átszúródási teherbírás tervezési értéke átszúródási vasalás nélkül, melet 0,18 d d vrd c k( 100 l f ck ) 1 3, = ρ + 0,10σ cp ( ν min + 0,10σ cp ) γ képlettel c a a számolunk, ahol γ c a beton biztonsági ténezője (1,5), k 00 = 1+,0 d mm, [ ] ρ ρ ρ 0,0 kétiránú acélhánad, l = l l A sli ρ li = bd 0,0 oszlop körüli egüttdolgozó lemezszélességben (oszlop szélessége meg 3d lemezsáv mindkét oldalon) elhelezett tapadásos vasalás átlagos acélhánada, f ck a beton határszilárdságának karakterisztikus értéke, σ c + σ c σ cp = a lemez átlagos normálfeszültsége az átszúródási vonalon belül a kétiránból számolva, 3 0, k f ck 1 ν min = 0035, d a lemez hasznos magassága az oszlop széle és a figelembe vett átszúródási vonal távolsága Megjegezzük, hog a kritikus vonalon a d/a = 1 36

37 STNA5 Ha az előbbi feltétel nem teljesül (azaz az átszúródási fajlagos níróerő tervezési értéke nagobb, mint az átszúródási teherbírás tervezési értéke átszúródási vasalás nélkül), akkor az átszúródásra vasalást kell elhelezni, melnek kialakítását a 39. ábrán láthatjuk. fővasalás kígózó kengel lemez fővasalás merev váz I vasból lemez felső fővasalása átvezetve vag bekötve lemez alsó fővasalása átvezetve vag bekötve lemez felső vasalása 39. ábra Átszúródási elleni vasalás típusai, különböző kialakítási módjai [Bódi-Farkas: Vasbetonlemezek. Oktatási segédanag. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke] A kialakításnál figelni kell arra, hog a külső acélbetét-sor 1,5d távolságnál ne kerüljön távolabb az átszúródási vonaltól (40. ábra). Ebben az esetben két feltételt kell kielégíteni. Először ellenőrizni kell a meglévő átszúródási vasalást, ahol v v Ed v rd, cs d Asw f wd, eff = 0,75vRd, c 1,5 sinα, ahol sr uid d a lemez hasznos magassága, s R koncentrikus körök távolsága (egetlen sor felhajlított acélbetéttel kialakított átszúródási vasalás esetén d/s R = 0,67), Rd, cs + 37

38 STNA5 A sw f wd f wd α eg körön elhelezett átszúródási vasalás keresztmetszeti területe, N, eff = + d[ mm] f wd mm 50 0,5 átszúródási vasalás csökkentett értéke, átszúródási vasalás határszilárdságának tervezési értéke, átszúródási acélbetétek tengelének a lemez síkjával bezárt szöge. 40. ábra Átszúródási vasalás elhelezése [Huszár-Farkas-Kovács-Szalai: Betonszerkezetek tervezése az EUROCODE szerint pont 187. oldal] Másodszor ellenőrizni kell a ferde nomott betonrudak teherbírását, v, ahol Ed v rd,ma v, = 0,5ν, ahol Rd ma f cd f ck ν = 0, f ck a beton nomószilárdságának karakterisztikus értéke, a beton nomószilárdságának tervezési értéke. f cd 38

39 STNA5 5. Vasbeton lemezek képléken teherbírása 1. ábrán bemutattuk a vasbeton lemez jellegzetes viselkedését, terhelés-történetét a teher-lehajlás diagram segítségével. Az ábrán jól látszik, hog az I. és II. feszültségállapotban a tartó rugalmasan viselkedik, a megfelelő közelítések alkalmazásával a Kirchoff-féle lemezegenlet használható. A terhelések növelésével eges keresztmetszetekben a betonacél eléri folási határszilárdságát, képléken csuklók, csukló-(folási/törés-) vonalak alakulnak ki, a szerkezet labilissá válik. A biztonság kárára tévedhetünk, ha nem vesszük figelembe, hog a szerkezet alakváltozó képessége a berepedezetté válás, a lokális képlékenedés stb. miatt a teherszint növekedésével növekszik, a gazdaságosság kárára tévedhetünk, ha nem vesszük figelembe, hog a szerkezetnek az igénbevétel-átrendeződés lehetősége miatt jelentős teherbírási tartalékai lehetnek. Igénbevétel-átrendeződés csak statikailag határozatlan erőjátékú szerkezetekben lehetséges, mint a foltatólagos többtámaszú gerendák, és keretszerkezetek esetén. A felületszerkezetek is statikailag határozatlan erőjátékúak, mert igénbevételeloszlásuk a legritkább esetben vehető fel egértelműen az alakváltozások analízise nélkül. Az ideálisan rugalmas viselkedéstől való eltérés figelembevételére számtalan különböző részletességű elvi modellt dolgoztak ki. A lemezek tervezésére alkalmazott képlékenségtani módszerek elvi alapját a képlékenségtan főtételei alkotják. Ezek a tételek korlátlan képléken alakváltozó képességgel bíró szerkezetekre érvénesek feltételenül. Korlátozott képléken alakváltozású szerkezetek esetén akkor alkalmazható, ha a vizsgálat kiterjed az alakváltozásokra vonatkozó korlátozások ellenőrzésére is. Számítási módszerek: A képléken alakváltozások és feszültségek között nincs egértelmű összefüggés, a képléken alakváltozások nem reverzibilisek. A szerkezetek képléken teherbírásának vizsgálatánál a következő feltételeket kell kielégíteni: 1. Egensúli feltétel, amel szerint a szerkezetre működő összes erőnek egensúlban kell lennie;. Mechanizmusa a merev testek kinematikailag határozott láncolata. A láncolatban bármelik, a láncolat mozgásában résztvevő elem egetlen mozgáselemét megváltoztatva, a láncolat minden elemének a helzete e változás és a láncolat geometriája által egértelműen meghatározott módon változik meg. A mechanizmus kialakulásának feltétele, hog a törési mechanizmushoz elegendő képléken csuklónak kell létrejönni. Ez a rugalmasságtanban a kompatibilitási feltételnek felel meg; 3. Teherbírási feltétel, amel szerint a szerkezet összes keresztmetszetében a külső terhekből keletkező igénbevételek nem haladhatják meg az adott keresztmetszet teherbírását. Vasbeton keresztmetszet esetén ez bekövetkezhet, 39

40 STNA5 ha a keresztmetszet nomott szélső szálában elérjük a beton határösszenomódását, vag a keresztmetszetben lévő acélbetétek elszakadnak (vasbeton keresztmetszet teherbírási határállapotának III. feszültségállapot feltétele). A szerkezet képlékenségi teherbírása két számítási módszerrel határozható meg [Hegedűs István: Lemezek. Oktatási segédlet. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke 007]: 1. Statikai főtétel: Statikailag lehetséges feszültségeloszlásnak nevezünk eg feszültségeloszlást, ha az adott eloszlású teherrel terhelt szerkezet minden pontjában maradéktalanul kielégíti az egensúli feltételeket. Szilárdságilag elérhetőnek eg-eg feszültségeloszláshoz rendelt azon teherintenzitást nevezzük, amel nem növelhető anélkül, hog a szerkezet valamel pontjában a képlékenségi határt meghaladó feszültségek lépjenek fel. A statikai főtétel kimondja, hog a törőteher intenzitása a statikailag lehetséges feszültségeloszlások szilárdságilag elérhető teherintenzitásainak felső korlátja. A statikai főtétel alapján minden olan Q i terhelés, amelnek eg statikailag megengedett feszültségmező felel meg kisebb, vag legfeljebb azonos a szerkezet Q R törőterhénél Q i,stat Q R. A statikailag megengedett nomatékmező kielégíti az egensúli és a teherbírási feltételeket.. A képlékenségtani vizsgálatok általában felteszik, hog a képléken alakváltozások nagságát az anagtulajdonság nem korlátozza. A szerkezet alakváltozásai a képléken viselkedés kialakulása után jó közelítéssel olanok, mintha a belső alakváltozások eg-eg képlékenedési helre - rúdszerkezeteknél eg-eg képlékenedő pontra, felületszerkezeteknél vonalra, tömbszerű szerkezeteknél felületre - koncentrálódnának, a képlékenedési helek közt pedig merev testként mozdulnának el a szerkezet részei. A képlékenedési helek a megtámasztásai miatt merevtest-szerű elmozdulásra képtelen szerkezetet olan tartománokra bontják, amelnek elemei a merev testekből álló láncolatok mozgástörvénei szerint egmáshoz képest elmozdulhatnak. Ha a képlékenedési helek a szerkezetet mechanizmussá alakítják át, a szerkezet terhe nem növelhető tovább, újabb képlékenedési hel kialakulására már nincsen lehetőség. Eg szerkezet törési mechanizmusainak nevezzük azokat a kinematikailag határozott láncolatokat, amelekké a szerkezet feltételezett képlékenedési helekkel feldarabolható. Eg törési mechanizmus minden feltételezett képlékenedési heléhez kapcsolati teherbírásként hozzárendelhetjük a szerkezet ottani képléken ellenállását, amellel a képlékenedési helen feltételezett relatív elmozdulást akadálozni képes. Ezt megtéve, a szerkezet minden terhéhez hozzárendelhetünk eg teherintenzitást, amellel a teher képes "beindítani" a feltételezett törési mechanizmust, azaz olan teherintenzitást, amel a feltételezett képlékenedési helek közt abszolút merevnek feltételezett testekből álló, de a képlékenedési heleken csak a heli képléken ellenállás értékének eléréséig "blokkolt" kapcsolatú mechanizmust képléken alakváltozásra kénszeríti. Ezt a teherintenzitást a vizsgált teher eg kinematikailag elégséges teherintenzitásának nevezzük. 40

41 STNA5 A képlékenségtan kinematikai főtétele alapján a törőteher intenzitása a kinematikailag elégséges teherintenzitások alsó korlátja. A tétel szerint eg "találomra" kiválasztott törési mechanizmushoz kiszámolt kinematikailag elégséges teherintenzitás mindig felső korlátja a törőteher intenzitásának. A képlékenedések feltételezett helének a variálásával megkeressük azt a törési mechanizmust, amelhez a legkisebb kinematikailag elégséges teherintenzitás tartozik. Q i,kint Q R. A kinematikailag megengedett nomatékmező kielégíti az egensúli és a mechanizmus kialakulásának feltételeit. Ha eg kinematikailag lehetséges törési mechanizmushoz hozzárendelhető eg statikailag megengedett nomatékmező, akkor a hozzájuk tartozó Q i közös terhelés, a szerkezet ténleges teherbírása. Ezt az unicitás tételének hívjuk (41. ábra). Q a kinematikailag lehetséges terhek változása QR,ténleges a statikailag megengedett terhek változása nomaték mező mechanizmus 41. ábra Unicitás-tétele [Bódi-Farkas: Vasbetonlemezek képléken teherbírása. Oktatási Segédlet. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke] Vasbeton lemezek képléken teherbírásának meghatározása A vasbeton lemezek képléken teherbírásának meghatározásához a statikai és a kinematikai tétel egaránt használható. A következőkben kinematikai tételen alapuló Johansen-féle törésvonal elméletet mutatjuk be. A törésvonal elmélet lénege, hog a lemezen kinematikailag lehetséges törésvonal konfigurációinak felvételével olan törési mechanizmus alakul ki, amelhez a szerkezet törőterhének felső korlátja meghatározható. A törésvonal elmélet alkalmazásakor következő alapfeltételezéseket kell tenni [Bódi-Farkas: Vasbetonlemezek képléken teherbírása. Oktatási Segédlet. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke]: A törésvonalak mentén a nomaték állandó és megegezik az acélbetétek folásához tartozó határnomatékkal; A törésvonalak által határolt lemeztáblák merev test szerűen fordulnak el a csuklós (szabadon elforduló) vag a tökéletesen befogott peremek körül; Oszlopokkal megtámasztott lemez esetén az elfordulási tengel átmeg az oszlop tengelén. Ezekből az alapfeltevésekből az alábbiak következnek [Bódi-Farkas: Vasbetonlemezek képléken teherbírása. Oktatási Segédlet. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke]: A képléken viselkedés kialakulása során olan nagságú képléken alakváltozások jöhetnek létre, amelek mellett a rugalmas alakváltozások 41

42 STNA5 elhanagolhatóan kicsinek, azaz a vizsgált lemez viselkedése merevképléken (4. ábra), a törésvonalak egenesek; A befogott peremen mindig törésvonalat (negatív) kell feltételeznünk; Minden törésvonal átmeg azon két lemeztábla elfordulási tengelének metszéspontján, amelet elválaszt (43. ábra); [KNm/m] m mrd e 4. ábra Merev-képléken viselkedés 43. ábra Törésvonalak szerkesztése Ha a törésvonalak a lemez felületét n lemeztáblára osztják és minden elfordulási tengel ismert, akkor n-1 geometriai paraméterrel lehet leírni a törési mechanizmust; 4

43 STNA5 Általános esetben minden lemeztábla elfordulási tengele ismert. Ha k a nemismert elfodulási tengelek száma, akkor a törési mechanizmus i = n-1+k geometriai paramétere szükséges a törési mechanizmus leírásához. A fent összefoglaltak alapján néhán esetben bemutatjuk a kinematikailag lehetséges törésvonalakat (44. ábra). P l l l l l = l l l l = l 44. ábra Különböző alakú és megtámasztású lemezek lehetséges törésképei A törőteher felső korlátjának meghatározásához a virtuális munka tételét célszerű alkalmazni. A számítás legfontosabb lépéseit a következőkben foglaljuk össze [Bódi- Farkas: Vasbetonlemezek képléken teherbírása. Oktatási Segédlet. BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke]. A törési mechanizmus kialakulása után a törésvonalakra, vag a lemez széle által határolt lemeztáblára a következő terhek hatnak: A külső terhek (önsúl és hasznos terhelés) a felületen megoszló q, vag vonal mentén megoszló q, vag koncentrált Q erő; A törésvonalak mentén fellépő m hajlító- és m T csavarónomatékok; A törésvonalak mentén, a két csatlakozó lemeztábla között keletkező níróerők. 43

44 STNA5 Legen a lemez eg végtelenül kicsi eleme dd felülettel jellemezve, ha ennek a virtuális elmozdulása δ(,), akkor a teljes lemezre a külső erők virtuális munkája L = qδ, dd + qδ l dl Qδ. K ( ) ( ) + A Legen θ i a törési mechanizmus eg lemezelemének virtuális elfordulása, s i eg az elemet határoló törésvonal szakasz hossza, és m i az s i törésvonalon működő fajlagos nomaték. Ekkor a nomatékok belső virtuális munkája a teljes lemezre L = m s Θ = s m, ahol mi i B l ( ) ( ) i i i i i Θ i Θ skalárszorzat jelentése m Θ = m Θ cos( m, Θ). i A csavarónomatékok és a níróerők munkája teljes lemezre zérus (mivel a törésvonal két oldalán ezek azonos értékűek, de ellenkező előjelűek). A külső és belső munkák egenlősége alapján (L K =L B ), az m nomatékok meghatározhatók a q R törőteher és a törésképet jellemző λ i paraméterek függvénében: a) A feladat megoldása az m = m( λ 1, λ... λ n, q R ) függvén maimálásából áll és a következő egenletrendszer megoldására vezet m m m = 0 ; = 0 ;... = 0. λ1 λ λn Az egenletrendszert megoldva λ i értékei és az m nomaték, a q R függvénében meghatározhatók (i = 1,, n). b) Másik lehetséges megoldás: a q R törőterhet a lemez ismert vasalásából számítható törőnomatékok és a töréskép jellemző λ i paramétereinek függvénében határozzuk meg. Ekkor a q R ( λ 1, λ... λ n, m R ) függvén minimumát kell kiszámítani a következő egenletrendszerből q R q = 0 ; R q = 0 ;... R = 0. λ λ λ 1 Ez a megoldás az adott vasalású lemez törőterhének felső korlátját adja. i i n i i 44

45 STNA5 6. Keretszerkezet 6.1. Definíciók Az oszlop definíciója: Az oszlop vonalas tartószerkezet, két keresztmetszeti mérete (h, b) lénegesen kisebb, mint a harmadik, a tartószerkezet hossza (l). Az oszlopot számottevő normálerő terheli, a gravitációval párhuzamos erők az oszlop tengelével párhuzamosan hatnak (45. ábra). Önálló oszlopokkal ritkán találkozunk a gakorlatban, az oszlop általában keretszerkezet egik eleme. P 45. ábra Oszlop definíciója A keret definíciója: A keret tetszőleges iránú egenes vag görbe tengelű rudakból összekapcsolt szerkezet. Egenes tengelű rudakból, azaz függőleges oszlopokból és vízszintes gerendákból összekapcsolt szerkezeteket kereteknek (46. ábra) nevezzük. A görbetengelű rudakból álló szerkezetek az ívtartók (46. ábra). A gerenda és oszlop csatlakozása sarokmerev, azaz eg csomópontban találkozó rúdvégek valamel külső hatás következtében előálló szögelfordulása és eltolódása azonos. 46. ábra Keret definíciója, egenes rudakból álló keret és ívtartó Keretek osztálozása [Kurutzné Kovács Márta: Tartók statikája, Műegetem Kiadó 006.] felhasználásával: 45

46 STNA5 Elrendezés szerint: Síkbeli és térbeli keretek (47. ábra): A térbeli keretekett sok esetben síkbeli keretekkel közelítik, modellezik. Ebben az esetben külön figelmet kell fordítani a síkbeli keretek közötti teherelosztásra (Lásd Tehereloszlás). 47. ábra Síkbeli és térbeli keret Egszintes és többszintes keretek (48. ábra): A gakorlatban a többszintes keretek az elterjedtek. Az ipari csarnokok általában egszintes keretek. 48. ábra Egszintes (többhajós) és többszintes (többhajós) keret Eghajós és többhajós keretek (Eg- és többnílású keretek) (49. ábra): A gakorlatban legtöbbször többhajós keretekkel találkozunk, de többszintes keretek esetén az eghajós szerkezetek is elterjedtek. 46

47 STNA5 49. ábra Többhajós (egszintes) és eghajós (többszintes) keret Nitott vag zárt keretek (50. ábra): A vasbetonból készült keretek általában nitott keretek, zárt keretekkel ritkán találkozunk. 50. ábra Nitott keret és zárt keret Derékszögű és ferdeszögű keretek (51. ábra): Kapcsolódó rúdelemek egmással bezárt szöge derékszög vag attól eltérő. α β γ= ábra Derékszögű és ferdeszögű keret Statikai szempontból: Statikailag határozott és statikailag határozatlan keretek: Egszintes, eghajós csuklós-görgős megtámasztású szerkezeteket (5. ábra) kivéve a keretszerkezetek statikailag többszörösen határozatlan szerkezetek. 47

48 STNA5 5. ábra Statikailag határozott keret Megtámasztási mód (53. ábra): A keretek megtámasztása lehet csuklós-görgős, kétcsuklós szerkezet, befogott, rugalmas, veges megtámasztás. 53. ábra Megtámasztási módok Kilendülő és nem kilendülő keretek (54. ábra): Vízszintes teher hatására elmozduló kereteket kilendülő kereteknek nevezzük. A kilendülő kereteket vízszintes iránban nem támasztja meg szerkezet. A nem-elmozduló keretek, ameleket vízszintes iránban merevítő szerkezet támaszt meg, a nem kilendülő keretek. 48

49 STNA5 54. ábra Kilendülő és nem kilendülő keret Statikailag határozatlan keretszerkezetek előnei és hátránai: Előnök: A statikailag határozott szerkezetekhez képest merevebbek, alakváltozásuk és elmozdulásuk kisebb; Az erőjellegű terhekből származó igénbevételek szélső értékei kisebbek, eloszlásuk egenletesebb; Anag felhasználásuk (beton és betonacél) is kisebb. Hátránok: Számításuk nehezebb; Kinematikai terhek hatására (hőmérsékletváltozás, gártási mérethiba, támaszmozgás) igénbevételek keletkeznek a tartóban. 49

50 STNA5 6.. Keretek igénbevételének számítása A keretekre függőleges (önsúl, hasznos, hó stb.), vízszintes (szél, földrengés) és kinematikai teher (hőmérsékletváltozás, méretpontatlanság, stb.) hat Keretek pontos számítása A statikailag többszörösen határozatlan tartók megoldásánál is feltételezzük a következőket: A keret anaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas, azaz követi a Hooketörvént; A terheletlen állapotban a keret feszültségmentes; A keret rudak alkotják, ameleknek két keresztmetszeti mérete (b és h) a harmadik mérethez (rúd hossza l) képest elhanagolható; Érvénes a Bernoulli-Navier hipotézis, azaz a középsík valamel pontjának normálisán lévő pontja alakváltozás után is uganazon a normálison marad; A két rúd csatlakozása tökéletesen sarokmerev, nomatékbíró. A statikailag többszörösen határozatlan szerkezetek számítása történhet erőmódszerrel és elmozdulásmódszerrel. A két módszer alapelve, számításának lépései és mintapéldák a [Kurutzné Kovács Márta: Tartók statikája, Műegetem Kiadó 006] tankönv 5. és 6. fejezetben találhatók. Az ott bemutatott mintapéldák alapján is jól látható, hog statikailag sokszorosan határozatlan keretek kézi számítása nehézkes, időigénes. A számításoknál az egszerűség kedvéért feltételeztük, hog a keretek síkbeliek és rudak nújthatatlanok. A kereskedelmi forgalomban kapható keretszámító programok és végeselem programok segítségével a síkbeli és a térbeli keretek igénbevételei rövid előkészítés után gorsan megkaphatók. A gépi számításnál nem kell feltételezni, hog a rudak nújthatatlanok. A mátri-elmozdulásmódszeren alapuló gépi számítás matematikai alapjait és síkbeli keretekre történő alkalmazását a [Kurutzné Kovács Márta: Tartók statikája, Műegetem Kiadó 006] tankönv 7. fejezete foglalja össze. A végeselem módszeren alapuló gépi számítás alapjai és alkalmazásai a [Bojtár Imre-Gáspár Zsolt: Végeselem módszer építőmérnököknek, Terc Kiadó, 003] tankönv különböző fejezeteiben találhatók. A keretek méreteinek felvételéhez, a statikai váz kialakításához a gépi számítás előkészítéséhez és ellenőrzéséhez közelítő számítások szükségesek. A közelítő számításoknak gorsnak és megfelelően pontosnak kell lenniük. A közelítő számításokat minden esetben síkbeli kereteken célszerű végezni. 50

51 STNA Keretek közelítő számítása függőleges teherre Teherelosztás A térbeli kereteket a közelítő számítások elvégzéséhez síkbeli keretekre kell bontani. Ha a keretgerendákra támaszkodó lemezek egiránban teherviselők, akkor a (lemez hosszabbik iránával párhuzamos) keretekre átadódó terhek kéttámaszú átvitellel határozhatók meg (55. ábra). p[kn/m ] l l < l l l > l l p 55. ábra Kéttámaszú átvitel egiránban teherviselő lemez esetén Ha a keretgerendákra támaszkodó lemezek kétiránban teherviselők, akkor a keretekre átadódó terheket a lemezek törésvonala alapján célszerű számolni. Közelítő számítások esetén a sarokpontból szögfelezőként kiinduló törésvonalat feltételezhetünk (56. ábra). Közelítő méretfelvétel A keretek gerendáinak méretfelvételénél azzal a közelítéssel élhetünk, hog a szélső gerenda befogott-megtámasztott, míg a közbenső gerenda kétoldalon befogott (57. ábra). A képléken nomatékátrendezést figelembe véve a támasz feletti (M - ) és a mezőközépi (M + ) hajlítónomaték azonosnak tekinthető + ql M = M =, ahol 11,6 q q a nílásokra ható esetleges teher átlaga (57. ábra szerint 1 + q q = ), l l a nílások támaszközének átlaga (57 ábra szerint 1 + l l = ). A keret oszlopának méretfelvételénél csak a nomóerőt vesszük figelembe. Az oszlop keresztmetszeti területének szükséges feltétele 51

52 Vasbetonszerkezetek II. STNA5 N f cd, ahol Ac f cd a betonszilárdság tervezési értéke, N oszlopra ható normál erő, melet közelítőleg a 57. ábra jelöléseivel számolva q1l1 ql N = +, az oszlop befoglaló méretének területe. A c Célszerű, esztétikus és können zsaluzható, ha az oszlop egik (vag mindkét) oldalát az adott oldalhoz csatlakozó gerenda szélességével megegezően vesszük fel. p[kn/m ] l l < l l l l > l p / / l p 56. ábra Teherelosztás kétiránban teherviselő lemez esetén 5

53 STNA5 q q 1 q q q 1 q 1 q l 1 q l 8 q l 4 q l ábra Keretgerenda igénbevételeinek közelítő számítása a méretfelvételhez Közelítő számítás A keret gerendája többtámaszú gerendaként közelíthető (58. ábra) és a hajlítónomatékokat e szerint határozzuk meg. Háromtámaszú tartó esetén a hajlítónomatékok a 58. ábrán láthatók. A keret oszlopainak számításánál helettesítő keretet célszerű alkalmazni (59. ábra), melet a legkönnebben elmozdulás-módszerrel vag nomatékosztás módszerének alkalmazásával oldhatunk meg. A 59. ábrán merev (tökéletes) befogásokat jeleztem. E befogások a valóságban nem befogottak és nem is csuklósak, hanem rugalmasan befogottaknak tekinthetők, ami a csomópont merevségétől függ. A csomóponti merevség függ a csomóponthoz kapcsolódó rudak inerciájától, fesztávjától, a másik oldali befogás viszonaitól. A közelítő számításnál ezt elhanagoljuk, és merev befogást tekintünk, a gerendát csökkentett (általában felére csökkentett) inerciával vesszük figelembe. 53

54 STNA5 q 1 q 1 q q 1 M B M B q = 1 *l * 1 l 1+ l 1 q + *l 8 1 * l 1+ l ábra A keretgerenda igénbevételeinek közelítő számítása többtámaszú tartóval Keretek mértékadó leterhelése A keretek pontos számítása, mint a fejezet elején összefoglaltuk általában számítógépes programokkal történik. Az előkészítő munka fontos lépése a mértékadó leterhelések meghatározása. A mértékadó leterhelések meghatározásához a hatásábrák megszerkesztése nújt segítséget. Keretek esetén legcélszerűbbnek a kinematikai hatásábra szerkesztés tűnik. A módszer lénegét, számításának lépéseit [Kurutzné Kovács Márta: Tartók statikája, Műegetem Kiadó 006] tankönv is tartalmazza. A legfontosabbak: 1. A vizsgált keresztmetszetben a rúdszerkezetet elvágom;. A igénbevételnek megfelelő egségni alakváltozást iktatok be; 3. Felrajzolom az egségni alakváltozás után létrejövő alakot. A 60. ábrán néhán jellegzetes kinematikai hatásábrát mutatunk be. Felhívjuk a figelmet, hog a hatásábrák szerkesztésénél az oszlop és a gerenda egmáshoz viszonított merevségét figelembe kell venni. A 60. ábrán a hatásábrákon megadtuk a mértékadó leterheléseket is. 54

55 STNA5 col,3 col, col,1 q 1 q col, col,1 q q 1 I b I col,1 I col, I b b,1 b, b,1 b, M 59. ábra A keretoszlopok közelítő számítása 55

56 STNA5 col col col η (NB) col B b b b b col col col col K I η (TK) col l col >> Ib l b b b b b 60. ábra Keret hatásábrái I. 56

57 STNA5 col col col η (TC) I col l col >> Ib l b C col b b b b col col col col K η (MK) b b b b col col col η (MC) I col l col >> Ib l b C col b b b b 60. ábra Keret hatásábrái II. 57

58 STNA5 col col col col K η (TK) Ib l b I >> col l col b b b b col col col η (TC) Ib l b I >> col l col C col b b b b col col col η (MC) Ib l b I >> col l col C col b b b b 60. ábra Keret hatásábrái III. 58

59 STNA Keretek közelítő számítása vízszintes teherre A keretszerkezetre ható vízszintes terhek a szélteher, a földrengés teher és az épület globális ferdeségéből származó vízszintes erő. Terhek meghatározása, teherelosztás A szélteher felületen megoszló teher. Térbeli keretek esetén a síkbeli keretekre történő redukálás a kéttámaszú átvitellel történik. Kéttámaszú átvitelt alkalmazunk a csomópontra történő redukálás esetén is (61. ábra). col, col,1 p[kn/m ] b1 b p b col, col,1 b1 b p b lcol,1 col, col,1 p b l col,1 + l col, b1 b p b lcol, 61. ábra Vízszintes terhek esetén a kéttámaszú átvitel alkalmazása 59

60 STNA5 A földrengés hatására az épületek mozgásba jönnek, az épületszerkezetekre a tömegükkel és a gorsulásukkal arános tehetetlenségi erők hatnak. A földrengésre történő méretezés visszavezethető földrengésre történő teherre való vizsgálatra. A földrengési hatásokból keletkező erők meghatározása a Magasépítési vasbetonszerkezetek tantárg témája, megoszlása a 6. ábrán látható. m1 m1 >m >m3 m m3 6. ábra Földrengés teher modellezése Az épület globális ferdeségéből származó vízszintes erő oka, hog az építési pontatlanságok miatt a tartószerkezet geometriája eltér a tervezettől. Ezt a pontatlanságot az oszlopok méretezésénél és az igénbevételek számításánál is figelembe kell venni. Többszintes épületek esetén a ferdeségből származó vízszintes erő számítása az EUROCODE előírásai alapján történik [Deák-Draskócz-Dulácska- Kollár-Visnovitz: Vasbetonszerkezetek. Tervezés EUROCODE alapján, Springer Média Kiadó, 007.]. Biztonság javára történő közelítés (63 ábra): θ i H1 Ni - 1 Ni 63. ábra Globális ferdeséből származó vízszintes erő definíciója H i N i és N i-1 N i N i 1 H i =, ahol 00 a keret i. szintjén ható vízszintes erő, a keret i. szintjén a belső erők (normálerők). A képlet q 3 megoszló erővel terhelt keretszerkezet 3. szintjén a ferde külpontos erő (64. ábra) 60

61 STNA5 P3 H ábra Globális ferdeségből származó vízszintes eő számítása megeoszló teher esetén H 3 = p 3 j 00 L j Pontosabb számítás képlete H i = θ i ( N i N i 1 ), ahol θ i i. szint ferdesége θ i = α nα mθ 0, ahol θ 0 = 1/00 ferdeség alapértéke, α n = az épület teljes magasságától (l) függő ténező, és l /3 α n 1, 1 α + m = 0,5 1, eg szinten lévő oszlopok számától (m) m függő ténező. Méretfelvétel A vízszintes terheket az oszlop és a gerenda méretfelvételénél nem vesszük figelembe. Közelítő számítás A kinematikai hatásábrák előállításánál láttuk, hog a gerenda és az oszlop merevségének egmáshoz képesti arána lénegesen befolásolja a szerkezet alakváltozását. 61

62 STNA5 I b I col Az első eset, ha az oszlopok jóval merevebbek a gerendáknál, <<, ahol lb lcol I b és I col a gerenda és az oszlop inercianomatéka, a betonkeresztmetszet méreteivel számolva, l b és l col a gerenda és az oszlop hossza. Ez igen ritkán alakul ki, általában -4 szintes épületek esetén találunk ilen merevség eloszlást. Ebben az esetben a vízszintes erők hatására a keretet alkotó oszlopok tetőponti eltolódása azonos, és a gerendák közepén infleiós pont alakul ki (65. ábra). Ekkor keret konzolokkal helettesíthető (eg oszlop = eg konzol), a konzolokra ható erő I j P i, j = Pi, ahol I P i,j P i I j I k k az i. szinten a j. oszlopra ható erő, az i. szintre ható teher, az j. oszlop inercianomatéka (a beton keresztmetszetéből számolva), tetszőleges oszlop inercianomatéka (a beton keresztmetszetéből számolva). P k e = e = e = e P Iool1 Ib l b >> Icol l col Iool P1 Iool3 I1 I I3 4 b1 b b3 I P3 I1 I P3 I I P3 I3 I P3 I4 I P I1 I P I I P I3 I P I4 I P1 I1 P1 I I I P1 I3 I P1 I4 I 65. ábra Konzol módszer alkalmazása, ha I l b b I << l col col 6

63 STNA5 Az oszlopokban keletkező hajlítónomaték megegezik a fenti módon terhelt konzolok hajlítónomatékával. I I A második eset, ha gerenda jóval merevebb, mint az oszlop, l I b és I col a gerenda és az oszlop inercianomatéka, a betonkeresztmetszet méreteivel számolva, l b és l col a gerenda és az oszlop hossza. b col >>, ahol b lcol Ebben az esetben, az infleiós pontok az oszlopokban alakulnak ki. Feltételezzük, hog az infleiós, vag nomatéki nullpontok az oszlopok közepén jönnek létre, azaz az oszlop felső és alsó végén keletkező befogási nomatékok értéke azonos. Feltételezzük továbbá, hog a gerendák hossza (nílások szélessége) nílásonként közel azonos. E feltételek mellett a vízszintes erőknek a képzelt csuklókon felvett valamel átmetszésre ható eredője az oszlopmerevségek aránában számítható (66. ábra) I j l j R ij = Pi, ahol I k l R i,j P i I j l j I k k az i. szint alatt a j. oszlopra közepén felvett csuklón kialakuló eredője, az i. szintre ható teher, az i, oszlop inercianomatéka (a beton keresztmetszetéből számolva), az i. oszlop hossza (magassága), tetszőleges oszlop inercianomatéka (a beton keresztmetszetéből számolva), l k tetszőleges oszlop hossza (magassága). Ha az oszlopok magassága általában eg szinten azonos, a fenti képlet tovább egszerűsödik I j R ij = Pi. I A gerendák támaszponti hajlítónomatékainak meghatározásához feltesszük, hog a csomópontba befutó oszlopnomatékok összege a gerendák között a gerendák merevsége aránában oszlik meg. k k k 63

64 STNA5 P1 I g I g P P3 col col col I1 I I3 b b P1 P P 1 I 1 1 I l 3 col l col I I P 1 I 3 l col I P 1 I 3 l col I P 1 I 1 P 1 I P 1 I 3 I 1+I +I3 I 1+I +I3 I 1+I +I3 P 1 I 1 P 1 I P 1 I 3 I 1+I +I3 I 1+I +I3 I 1+I +I3 P (P 1 +P ) I 3 l col I (P 1 +P ) I 1 (P 1 +P ) I (P 1 +P ) I 3 I I I (P 1 +P ) I 1 (P 1 +P ) I (P 1 +P ) I 3 I I I P3 (P 1 +P +P) I 3 3 l col I (P 1 +P +P) 3 I 1 (P 1 +P +P) 3 I (P 1 +P +P) 3 I 3 I I I (P 1+P +P) 3 I 1 P I P I 3 I I I P I 1 l col P I l col P I 3 l col I I I 66. ábra Keretek alakváltozása, szintekre bontása és a vízszintes erők nagsága, ha I b I col >> l l b col Ha a gerendák hossza nílásonként lénegesen eltér és az oszlopok merevsége azonos, akkor a Portál-módszert célszerű használni. A Portál-módszer lénege, hog keretet nílásonként, az infleiós ponton csuklót feltételezve kapukra ossza (67. ábra). 64

65 STNA5 Eg kapura jutó teher P i,j P i l bj l bk P ij = P az i. szinten a j. nílásra (portálra) ható erő, az i. szintre ható teher, az j. gerenda hossza, tetszőleges gerenda hossza. A közbenső oszlopokon keletkező igénbevételeket összegezni kell. i A hajlítónomatéki ábrából a keret további igénbevétel ábrái (normálerő és níróerő) meghatározhatók. k l bj l bk P1 P col col b1 (l 1+l ) P 1 l b1 l b1+lb P 1 l b b P 1 l b l b1+lb l col P 1 l b1 l bi 1 P 1 l b1 l bi P 1 l b l bi P 1 l b l bi P l b1 l b1+lb P l b l b1+lb (P 1 +P ) l b1 (P 1 +P ) l b1 (P l bi 1+P ) l b (P 1+P ) l b l bi l bi l bi (P 1+P ) l b1 l col l bi (P 1+P ) l b1 l col l bi (P 1+P ) l b1 l col l bi 67. ábra Portál-módszer 65

66 STNA5 7. Keretek méretezése Az előző pontban meghatároztuk a keretek igénbevételeit függőleges és vízszintes teherre. A számítások következő lépése, a mértékadó keresztmetszetek igénbevételeinek figelembevételével a keretet alkotó gerendák és oszlopok méretezése. Külön figelmet kell fordítani a keretsarkok méretezésére Gerendák méretezése A gerendák méretezésével, vasalásának kialakításával a Vasbetonszerkezetek I. tantárgban részletesen foglalkoztunk. Ha a keret gerendája a lemezszerkezet alátámasztó gerendája, akkor a lemezzel egüttdolgozó részt is figelembe kell venni (T keresztmetszet). EUROCODE előírása alapjánt [Huszár-Farkas-Kovács-Szalai: Betonszerkezetek tervezése az EUROCODE szerint, Terc Kiadó 006] az egüttdolgozó szélesség (68. ábra) eff eff1 w eff w 1 w w b w 68. ábra Egüttdolgozó szélesség definíciója b = b + b + b, ahol eff w eff 1 eff a gerenda szélessége b eff i a kinúló rész hossza, i=1 vag i= bi / beffi = min 0.l0, ahol 0.1b i + 0.1l 0 b i két gerenda széle közötti távolság, l 0 a nomatéki zéruspontok közötti távolság. A nomatéki zéruspontok közötti távolság egszerűsítve számolható (69. ábra), ha teher a teher tartó hossza mentén közel egenletes, ha a támaszközök arána a /3 és 3/ között van. l0 = 0. 7l i belső támaszköz esetén, l0 = 0. 85l i szélső támaszköz esetén. 66

67 STNA ,85 1 0,85 3 0,15 (l 1+ l ) 0,15 (l + l 3 ) 69. ábra Nomatéki zéruspont definíciója 7.. Oszlopok méretezése Az oszlopokat a hajlítónomatékkal egidőben jelentős nagságú nomóerő is terheli, azaz az oszlopok külpontosan nomott szerkezetek. Vasbetonszerkezetek I. tantárg keretében foglalkoztunk a külpontos normálerővel terhelt keresztmetszetek teherbírásának vizsgálatával. Az oszlopok méretezése esetén a teherbírásvizsgálatot ki kell egészíteni stabilitásvizsgálattal, mert az oszlopok stabilitásvesztéssel is tönkremehet. Az oszlopok vizsgálatánál figelembe kell venni, hog a deformációk többletigénbevételeket okoznak (70. ábra). 70. ábra Nem kilendülő és kilendülő keret belső oszlopának deformációja vízszintes teherre A nomóerőből (N Ed ) a tervszerinti (elsőrendű) külpontosságból (e 0 ) származó nomaték (M 0 ) a tartó hossza mentén állandó 67

68 STNA5 M = N. 0 Ed e 0 Az oszlopok kezdeti külpontosságát az építési pontatlanságából (e a ) és az oszlopok terhek hatására bekövetkező a kúszást is figelembe vevő görbületét (e ) (másodrendű hatás) is tartalmazó külpontosságnövekménekkel meg kell növelni (71. ábra). A külpontosságnövekmént a legkedvezőtlenebb iránban kell figelembe venni. A legkedvezőtlenebb iránt számítással kell meghatározni. e Ed e 0 e a e Terv szerinti alak Véletlen eltérés Terhelt alak 71. ábra A külpontosság-növekmének értelmezése [Huszár-Farkas-Kovács-Szalai: Betonszerkezetek tervezése az EUROCODE szerint, Terc Kiadó 006] Oszlopok általában igen karcsú oszlopok esetén előfordulhat, hog a szilárdsági tönkrementel előtt a tartó elveszti stabilitását. Emiatt fontos a tartók kihajlási hosszának ismerete. Egedi oszlopok kihajlási hossza (l 0 ) a 7. ábrán látható. A kihajlási hossz ismeretében a kritikus erő (Euler, 1744) E c N π E c 0 krit =, ahol l0 I a beton rugalmassági modulusa, I c az oszlop inercianomatéka a betonkeresztmetszet méreteiből számítva, l 0 az oszlop kihajlási hossza (7. ábra). 68

69 STNA5 θ θ l Μ l 0 = l l 0 = l l 0 = 0,7 l l 0 = 0,5 l l 0 = l 0,5 l <l 0 < l l 0 > l 7. ábra Egedi oszlopok kihajlási hossza [Huszár-Farkas-Kovács-Szalai: Betonszerkezetek tervezése az EUROCODE szerint, Terc Kiadó 006] A vasbeton keretek oszlopai nem a 7. ábrán bemutatott módon vannak megtámasztva. Az oszlopok és gerendák alkotta csomópontok a keret részeként elfordulnak és ha a keret kilendülő, akkor el is tolódnak (70 ábra). A keret eg oszlopának kihajlási hossza meghatározható, ha valamilen szerkezetszámító számítógépes programmal meghatározzuk a kihajlást okozó kritikus erőt (N krit ). A kritikus erő ismeretében a kihajlási hossz (l 0 ) l0 = π Ec I 0, ahol N krit l 0 az oszlop kihajlási hossza, E c a beton rugalmassági modulusa, I c az oszlop inercianomatéka a betonkeresztmetszet méreteiből számítva, N krit a keret kihajlását okozó erő. A keret komple stabilitásvizsgálatától eltekinthetünk. A kihajlási hossz számításához feltételezzük, hog a keret oszlopainak vége rugalmasan befogott, a rugalmas befogás a csomóponthoz csatlakozó gerendák merevségétől függ. Ha a keret kilendülő, akkor az oszlop vége el is tolódik (70. ábra). A rugalmasan befogott oszlopok kihajlási hosszát az EURÓCODE előírása alapján a következőképpen lehet megfelelő pontosan közelíteni [Huszár-Farkas-Kovács-Szalai: Betonszerkezetek tervezése az EUROCODE szerint, Terc Kiadó 006] Fi csomópontú (nem kilendülő keret) oszlop kihajlási hossza k1 k + 0 = 0,5l ,45 + k1 0,45 + k l. 69

70 STNA5 Elmozduló csomópontú (kilendülő keret) oszlop kihajlási hossza k 1k k1 + k l 0 = l ma ; 1+ 1, ahol k1 + k 1+ k1 1+ k k 1, k - a rugalmas befogások relatív elfordulási képessége az oszlop végein k = E c I col / l col EcαI b / lb k= 0 végtelen merev befogás esetén k= szabad vég esetén A gakorlatban kialakított merev befogás esetén k min = 0,1 alkalmazható és E c a beton rugalmassági modulusa, I col a csomópontba befutó oszlop inercianomatéka a betonkeresztmetszet méretei alapján számítva, I b a csomópontba befutó gerenda inercianomatéka a betonkeresztmetszet alapján számítva, l col az oszlop elméleti hossza, l b a gerenda elméleti támaszköze, α a gerenda túlsó végének befogási viszonait figelembe vevő ténező: α = 1,0 ha a gerenda túlsó vége rugalmasan, vag mereven megfogott, α = 0,5 ha a túlsó vég szabadon elforduló, α = 0 ha konzolgerenda esetén. A kihajlási hossz ismeretében a külpontosság növekmének számíthatók. Feltételezzük, hog az oszlopra N Ed központos erő és az oszlop két végén M 01 és M 0 hajlítónomaték hat. Ha a hajlítónomaték az oszlop hossza mentén lineárisan változik, akkor a jelölések konzekvens használatához feltételezzük M 01 M 0. A teljes külpontosság (e Ed ) e0 + ea + e M 0 eed = ma, ahol N Ed emin Az összefüggésben szereplő külpontosságok számítását az alábbiakban adjuk meg. A deformálatlan oszlopon számított külpontosság (e 0 ) M 0 e0 =, ahol N Ed 70

71 STNA5 M o az oszlop hossza mentén állandó hajlítónomaték esetén, azaz M = M = M 0 Az oszlop két végén különböző hajlítónomaték esetén 0.4M 0 M 0 = ma. 0.6M M 01 Az építési pontatlanságból származó külpontosság növekmén (e a ) e a = θ l l 0 /, ahol θ l l hosszúságú oszlop ferdesége, θ i = α nα mθ 0, ahol θ 0 = 1/00 ferdeség alapértéke, α n = az épület teljes magasságától (l) függő ténező, és l /3 α n 1, 1 α + m = 0,5 1 eg szinten lévő oszlopok számától (m) m függő ténező. l 0 az oszlop kihajlási hossza. [Deák-Draskócz-Dulácska-Kollár-Visnovitz: Vasbetonszerkezetek. Tervezés EUROCODE alapján, Springer Média, 007] ajánlása e a =l 0 /400. A másodrendű nomatékból keletkező külpontosság növekmén (e ) számításánál feltételezzük a sinus kihajlási alakot, íg 1 l0 e =, ahol r π l 0 az oszlop kihajlási hossza, 1/r a görbület, amel egszeresen szimmetrikus, állandó keresztmetszet esetén 1 1 = K r Kϕ, ahol r r0 1 ε d = r0 0,45 d kezdeti görbület, ahol ε d = f d /E s,, ahol f d a betonacél tervezési szilárdsága, E s a betonacél rugalmassági modulusa, d a hasznos magasság, 1, K r = min N u N Ed a, N u N bal normálerő mértékétől függő módosító ténező, ahol 71

72 STNA5 K ϕ N = f bh + A, u cd f cd A minimális külpontosság (e min ) értéke e min = 00 mm, ha h 600 mm, e min =h/30, ha h>600 mm. s f d, ahol a beton tervezési szilárdsága, b a beton keresztmetszet szélessége, h a beton keresztmetszet magassága, A s a húzott és nomott betonacél keresztmetszeti területe, N Ed a keresztmetszetet terhelő normálerő tervezési értéke, N = f b, ahol b cd co c0 = ξ cod, 1 = ma a kúszás hatását figelembe vevő 1 + βϕ eff ténező, ahol f λ β = ck, ahol f ck a beton nomószilárdságának karakterisztikus értéke, λ a rúd karcsúsága, négszög l0 keresztmetszet esetén λ = 1, h ϕ eff effektív kúszási ténező, ami megegezik a kúszási ténező végértékével. Az e a és e külpontosság növekmének közelítő értékei táblázatosan is adottak a kihajlási hossz és a keresztmetszet hasznos magassága függvénében a [Deák- Draskócz-Dulácska-Kollár-Visnovitz: Vasbetonszerkezetek. Tervezés EUROCODE alapján, Springer Média, 007] tervezési segédletben. A teljes külpontosság (e Ed ) ismeretében a keresztmetszet tervezési hajlítónomatéka M = N e. Ed A keresztmetszetet a közelítő teherbírási görbe segítségével ellenőrizhető. A keresztmetszet tervezése esetén a szükséges vasmenniséget a normált teherbírási görbesorozatok alapján célszerű meghatározni [Deák-Draskócz-Dulácska-Kollár- Visnovitz: Vasbetonszerkezetek. Tervezés EUROCODE alapján, Springer Média, 007]. Ed Ed 7

73 STNA5 Az oszlop vasalásakor a következő szerkesztési szabálokat kell betartani [Huszár- Farkas-Kovács-Szalai: Betonszerkezetek tervezése az EUROCODE szerint, Terc Kiadó 006]: Álló helzetben betonozott oszlop legkisebb oldalmérete 00 mm, fekve betonozott oszlop legkisebb oldalmérete 300 mm; A derékszögű négszög keresztmetszet esetén minden sarokba kell vasat tenni, de a vasbetétek egmástól mért távolsága legfeljebb 300 mm; Köralakú oszlopokba legalább 6 darab vasat kell elhelezni; A hossziránú acélbetétek minimális átmérője 8 mm; A hossziránú acélmenniség minimális (A s,min ) értéke 0. A = N bh Ed s, min ma, ahol f d b, h a keresztmetszet szélessége és magassága, N Ed a normálerő tervezési értéke, f d a betonacél tervezési értéke. A hossziránú acélmenniség maimális értéke A s, ma = 0. 08bh ; A kengelek legkisebb átmérője nem lehet kisebb 6 mm-nél, és a hossziránú acélbetétek átmérőjének 0,5-szorosánál; A kengelek maimális távolsága az oszlop tengele mentén mérve nem lehet kisebb, mint - 0φ min, ahol φ min a hosszvasalás átmérője, - a keresztmetszet legkisebb oldalhossza, mm Keretsarok kialakítása A keretsarok erőjátékának jellegzetessége, hog a feszültségek nem lineárisan oszlanak meg, a keretsarokban térbeli feszültségállapot jön létre. A 73. ábrán látható a kétiránú feszültségeloszlás (σ és σ ), ha nomaték a keretsarkot nitja, azaz a belső oldalon alakul ki a húzás. Látható, hog a legnagobb húzófeszültségek nem a szélső szál közelében alakulnak ki, azaz a külső él menti húzott vasalások kevésbé hatékonak. A σ feszültségek felvételére esetenként méretezett kengeleket kell elhelezni. 73

74 STNA5 - + M + M σ σ Nb Nt Nb Nt M M 73. ábra Keretsarok feszültségeloszlása, ha a nomaték a keretsarkot nitja A kísérletek is azt mutatják, hog a sarok nomatéki teherbírása lénegesen kisebb, mint keretsarkhoz csatlakozó egenes rudak teherbírása. A keretsarok pontos vizsgálatára az EUROCODE a rácsostartó modellt (Vasbetonszerkezetek I nírás témakör) javasolja. Közelítőleg azt mondhatjuk, hog kiegészítő vasalás nélkül a keretsarok nomatéki teherbírása (74. ábra) a keretsarokhoz csatlakozó rúd nomatéki teherbírásának a fele. Kiegészítő vasalást helezhetünk el, a 45 fokos repedésre merőlegesen (75. ábra). Ha a kiegészítő vasalás a fővas 50%-ának megfelelő területű és megfelelően lehorgonzott, akkor a keretsarok nomatéki teherbírása megegezik a csatlakozó rudak vasalásával. A méretezett kengeleknek (76. ábra) [Dulácska: Vasbetonszerkezetek. Jegzet építészmérnök hallgatóknak, 005] az alábbi erőt kell felvenni A'S rúd M Rd AS sarok rúd M Rd = 0,5 M Rd A'S AS M 74. Keretsarok vasalása kiegészítő vasalás nélkül 74

75 STNA5 A'S M AS 1/ AS sarok rúd M Rd = M Rd A'S AS M A'S rúd M Rd AS 1/ AS sarok rúd M Rd = M Rd A'S AS M 75. ábra Keretsarok kiegészítő vasalására példák A kengel S 76. ábra Keretsarok méretezett kengeleinek elhelezése A s f d H = A f, ahol w a keretsarokhoz csatlakozó rudak húzott betonacél területe, a betonacél tervezési szilárdsága. s d 75

76 STNA5 8. Rövid konzol A vasbeton konzol rövid konzolként méretezendő, ha a c < z0, ahol a betűk magarázata a 77.ábrán található. c FEd Fs θ HEd o Nc c 77. ábra Rövid konzol A rövid konzolra ható terhek és belső erők a 34. ábrán láthatók. A méretezés alapja a [Deák-Draskócz-Dulácska-Kollár-Visnovitz: Vasbetonszerkezetek. Tervezés EUROCODE alapján, Springer Média, 007] a rácsostartó modell. A nomott rácsrúd (N c ) θ hajlásszöge 45 és 68 fok között szabadon felvehető, a nírásnál ismertetett 1,0 tgθ,5 feltétel betartásával. A θ hajlásszöge felvételénél figelni kell arra, hog FEd N c = Ac f cd. sinθ A modellben a húzóerő értéke a c F s = FEd + z0 Ha más vízszintes erő nincs, akkor H Ed =0.1F Ed az épület ferdesége miatt. A húzott fővasalás mennisége A = H s s, main, f d melnek elhelezése a 78. ábrán látható. A fővasak konzol felőli végét hurokként kell kialakítani, vag lehorgonzó elemet kell alkalmazni. A fővasak támaszba vezetett végénél a lehorgonzást igazolni kell. F Ed. 76

77 STNA5 hurkos kialakítású fővas A FEd FEd A S, main E HEd A S, main E HEd A A C D B A lehorgonzó hurok vag szerelvén B vízszintes zárt kenelek C szerelővas D függőleges kengelek E teherátadó elem B 78. ábra Rövid konzol vasalása [Deák-Draskócz-Dulácska-Kollár-Visnovitz: Vasbetonszerkezetek. Tervezés EUROCODE alapján, Springer Média, 007] A kengel mennisége és elrendezése függ a konzol méretétől. Ha az a c 0,5h c, akkor a kengel mennisége A = s, link 0, 5As, main, melet a magasság mentén közel egenletes eloszlásban zárt vízszintes kengelként kell elhelezni. Ha az a c >0,5h c, akkor a kengel mennisége A = s, link 0, 50As, main, melet az erő és a befogás közötti szakaszon közel egenletes eloszlásban zárt függőleges kengelként kell elhelezni. 77

78 STNA5 9. Koncentrált erő bevezetése Pecsétnomás Ha a felületre merőlegesen megoszló erő nem terjed ki a teljes betonfelületre, akkor a kialakuló térbeli feszültségeloszlás miatt a beton tervezési szilárdsága növelhető és a határerő FRd = Ac 0 αf cd, ahol A c0 a terhelt felület, f cd a beton tervezési szilárdsága, 3 α = min A A A cl c0 A c c0, ahol A cl a vizsgált szinten a tervezési felület, legfeljebb 45 fokos feszültség terjedést figelembe véve (79. ábra), A c a keresztmetszet területe a betonméretek figelembe véve. 79. ábra Feszültségterjedés modellje A tervezési felület a terhelési felülettel azonos alakú, az oldalszélessége a terhelési felület oldalszélességének a háromszorosát nem haladhatja meg, továbbá a tervezési felület a keresztmetszetből nem léphet ki. 78

79 STNA5 9.. Keresztiránú vasalás részleges terhelés alatt A közvetlenül terhelt felület alatt a feszültség állapot térbeli. A terhelt felület alatt közvetlenül keresztiránú nomófeszültségek alakulnak ki, mert a beton gátolja a keresztmetszet közepének deformációját, míg a terhelt felülettől távolabb keresztiránú húzófeszültségek alakulnak ki. A feszültség lefutása 80. ábrán látható, amelet 0.3h szakaszon lineárisan változó nomófeszültséggel és a 0.3h és 0.9h közötti szakaszon állandó húzófeszültséggel közelíthetünk (80. ábra). F T N T N=T + (b) (c) 80. ábra Keresztiránú feszültségek pontszerű terhelés esetén [Deák-Draskócz-Dulácska- Kollár-Visnovitz: Vasbetonszerkezetek. Tervezés EUROCODE alapján, Springer Média, 007] A keresztiránú feszültségek meghatározásához feltételezzük, hog a terhelt felülettől h=b távolságra, ahol b a keresztmetszet mérete, a feszültségállapot zavarmentes, azaz feszültségek egenletesen oszlanak meg. Központosan nomott négszög keresztmetszet esetén a keresztiránú feszültség eloszlás a teher alatti középső hosszmetszetre felírt nomatéki egenletből lehet meghatározni (81. ábra). A húzó- és nomó keresztiránú feszültségek összege a vetületi egensúl miatt azonos T=N, és a feszültségeloszlást figelembevéve (80. és 81. ábra) a távolságuk z = 0.5h = 0. 5b. 79

80 STNA5 F/a N=T - F/a T + F/b F/b 81. ábra Feszültség eloszlás központos teher esetén [Deák-Draskócz-Dulácska-Kollár- Visnovitz: Vasbetonszerkezetek. Tervezés EUROCODE alapján, Springer Média, 007] A nomatéki egensúl F b b F a a 0.5hT =, ahonnan h=b helettesítéssel b 4 a 4 1 a T = 1 F. 4 b A jelölések magarázata a 81. ábrán. A T húzóerőt zárt kengelekkel kell felvenni. A kengeleket a 0.3h és 0.9h közötti 0.6h hosszú szakaszon egenletesen kell elosztani. Ha az oszlop két oldalán terhel eg-eg F/ nagságú erő, akkor a feszültség eloszlás a 8. ábrán látható. A középső hosszmetszetre felírt nomatéki egenlet alapján 1 a T = 1 F. 4 b F/a F/a T + F/a - N=T F/b F/b 8. ábra Feszültség eloszlás szélső teher esetén [Deák-Draskócz-Dulácska-Kollár- Visnovitz: Vasbetonszerkezetek. Tervezés EUROCODE alapján, Springer Média, 007] 80

81 STNA5 A húzófeszültségek a felső szakaszon alakulnak ki, és a T erőből számított zárt kengeleket a felső (teher alatti) 0.3h szakaszon kell egenletesen elosztani. 81

82 STNA5 FÜGGELEK Közelítő eljárás bemutatása Sávmódszer (tartókereszt eljárás): Alapötlete: A teljes felületen egenletesen megoszló erővel terhelt lemez maimális lehajlásának a helén és iránban egmást keresztező, egségni széles lemezsávot vágunk ki (F1. ábra). q(,)=const q(,) q(,) 1 1 q q F1. ábra A lemez megoldása sávmódszerrel A lemezsávok saját iránukban gerendaként működnek. Ennek következtében a csavarási ellenállást figelembe vevő tag elhanagolható, és a Kirchoff-féle lemezegenlet az alábbi alakra egszerűsödik 4 4 w (, ) w(, ) q(, ) + =. 4 4 K Az első tag az egségni szélességű, iránú gerenda alakváltozás-teher összefüggése, és az ebben az iránba működő teher q. A második tag az egségni szélességű iránú gerenda alakváltozás-teher összefüggés,e és az ebben az iránba működő teher q. Az egenlet 8

83 STNA5 q + q = q. A két gerenda fenti egenletéből a feladat megoldható. Megoldás: Kiinduló feltételek: A két sáv egmást keresztezi és a keresztezési pontban a lehajlások azonosak (F. ábra) w = w 1 q 1 w w = w q w F. ábra Sávmódszer használata A kétiránú teher értékének összege megegezik a lemezt terhelő erővel (Alapötlet): q + q = q. A lemez vastagsága konstans, azaz inercianomatéka I = I. Megoldás: A lemezsávok a gerenda rugalmas vonalának differenciálegenlete alapján maimális lehajlása 4 ql w = a E I a és a l és l E c I =I w 4 q l = a, ahol E I c a lemez megtámasztási viszonaitól függő ténező (F3. ábra), a lemez oldalszélessége, a vasbeton lemez (beton) rugalmassági modulusa, a lemez inercianomatéka. c 83

84 STNA5 wma wma wma 384 F3. ábra Az a i ténező értéke a különböző megtámasztások esetén Bevezetve a következő összefüggéseket ε = és felhasználva a kiinduló feltételeket 4 ql a E I l l a m = a c a l q = q, a l m q = q, 4 m + ε 4 ε q = q. 4 m + ε A gerenda igénbevételei a statikából ismert módon számíthatók. Az igénbevételek ismeretében a vasalás meghatározható., = a Marcus módszer: Az alábbiakban ismertetett módszert Marcus a sávmódszer alapján dolgozta ki. Alapötlet: A lemezre ható, a felületen egenletesen megoszló teher felbontásakor a csavarási ellenállást is figelembe veszi q = q' + q' + q, ahol q a csavarási hatást figelembe vevő ténező, ami felbontható,,,,, q E 4 l 4 q = q + q alakra. Megoldás: A csavarási teherhánad (q és q ) meghatározására a következő képleteket dolgozta ki: c I, 84

85 STNA5 q q,,,, 5 l = 6 l 5 l = 6 l m m m m 0 0 q q,, ahol l és l m és m m 0 és m 0 q és q a lemez oldalszélessége, a sávmódszerrel meghatározható maimális hajlítónomaték, kéttámaszúnak tekintett lemezsávok maimális nomatéka a q teljes teherből, a sávmódszerrel meghatározható teherrészek. A hajlítási teherhánadok (q és q ) a csavarási teherhánadokat figelembe véve: `,, q = q q `,, q = q q. A hajlítási teherhánadok ismeretében a gerenda hajlítási igénbevételei a statikából ismert módon számíthatók. Az igénbevételek ismeretében a vasalás meghatározható. 85

86 STNA5 Tartalomjegzék 1. Bevezetés...3. Lemezszerkezet általános ismeretek Definíciók Lemezek építésének története Lemezek osztálozása statikai szempontból Egiránban teherviselő lemezek Kétiránban teherviselő lemezek Hajlított lemez viselkedése törésig Rugalmas lemezelmélet Rugalmas lemez vizsgálata derékszögű koordináta-rendszerben Vasbeton lemezrendszerek vizsgálata Oszlopokkal alátámasztott lemezek (födémek) Vasbeton lemezek képléken teherbírása Keretszerkezet Definíciók Keretek igénbevételének számítása Keretek pontos számítása Keretek közelítő számítása függőleges teherre Keretek közelítő számítása vízszintes teherre Keretek méretezése Gerendák méretezése Oszlopok méretezése Keretsarok kialakítása Rövid konzol Koncentrált erő bevezetése Pecsétnomás Keresztiránú vasalás részleges terhelés alatt...79 FÜGGELEK...8 Közelítő eljárás bemutatása...8 Tartalomjegzék