13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

Átírás

1 Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk léegese agobb mt a keresztmetszet méretek A felületszerkezetekre az a jellemzı hog a vastagságuk léegese ksebb mt a másk két ráú méretek Rúdszerkezetekél a voatkoztatás tegel a rúd szlárdság tegele felületszerkezetekél a voatkoztatás felület a vastagságot felezı középfelület Rúdszerkezetekél a rúdtegel eges potjaba határozzuk meg az gébevételeket és elmozdulásokat és a pothoz tartozó keresztmetszet meté vzsgáljuk a feszültségek és alakváltozások megoszlását míg felületszerkezetekél a középfelület eges potjaba határozzuk meg az erıket és elmozdulásokat és a pothoz tartozó vastagság meté határozzuk meg a feszültségek és alakváltozások megoszlását A rúdszerkezetek tegeléek eges potjat és az azokhoz tartozó állapotjellemzıket egváltozós függvé a felületszerkezetek középfelületéek eges potjat és az azokhoz tartozó állapotjellemzıket kétváltozós függvé írja le Rúdszerkezetek rúdjaak tegele lehet egees vag görbe a felületszerkezetek középfelülete s lehet sík vag görbült felület Sík felületszerkezetekél a középfelület összes potja eg síkba va Görbült felületszerkezetekél a középfelület legalább egráú görbülettel redelkezk A görbült felületszerkezeteket héjszerkezetekek evezzük ameleket az alakjuk és az erıjátékuk alapjá tovább osztálokba sorolhatuk A sík felületszerkezeteket a középfelület és a teher ráa szempotjából két típusba soroljuk Tárcsák eseté a szerkezetre ható összes külsı erı a középfelület síkjába lemezek eseté a szerkezetre ható összes külsı erı a középfelületre merılegese mőködk Következésképpe ugaaz a szerkezet lehet egszer tárcsa máskor lemez Például eg paelház oldalfala a födémekrıl átadódó teher szempotjából tárcsa a szélteher oldalomása szempotjából lemez A megkülöböztetést a lemezekbe és a tárcsákba ébredı gébevételek eltérı jellege következésképpe a voatkozó eltérı számítás eljárások dokolják Míg a tárcsák alapvetı gébevétele a omás addg a lemezek domás gébevétele a hajlítás és ez eltérı számítás módszereket géel Sıt általáos jellegő teher eseté a kétféle hatást az ú lemez- és tárcsahatást külö-külö számoljuk és ks elmozdulások eseté összegezzük ıket A továbbakba csak a sík felületszerkezetekkel a tárcsák és lemezek számításával foglalkozuk tárcsa lemez héj

2 A peremértékfeladat és aak megoldás módszere elületszerkezetek számításáak alapjául a rugalmasságta dfferecálegelete szolgálak zeket az általáos érvéő az általáos alakú és terheléső szlárd testre érvées parcáls dfferecálegeleteket a lemezre lletve a tárcsára mt specáls alakú és terheléső szerkezetre alkalmazuk az adott szerkezetre voatkozó egszerősítı feltevésekkel egészítük k és a dfferecálegelet-redszer átredezésével egetle parcáls dfferecálegeletre vezetük vssza Íg kapjuk meg a tárcsaegeletet és a lemezegeletet amelek a voatkozó peremfeltételekkel egütt alkotják az ú peremértékfeladatot A peremértékfeladatok megoldására egséges módszer em adható meg A problémát az jelet hog általába sem az adott teherfüggvé sem a dfferecálegelet megoldását jeletı smeretle függvé em tartozk az elem függvéek családjába A teherfüggvéek redszert törésekkel szakadásokkal redelkezek; a kocetrált erı például matematka értelembe a legehezebbe kezelhetı függvéek közé tartozk zért a peremértékfeladatok megoldására redszert közelítı megoldást alkalmazuk am azt jelet hog a megoldást a végtele dmezós függvétér helett véges dmezós függvétérbe keressük és a dmezószám fokozásával emelhetjük a megoldás potosságát A közelítı eljárások célja a parcáls dfferecálegeletet és a peremfeltételeket jó közelítéssel kelégítı függvé megkeresése kkor az smeretle függvét valamel alkalmas alakba vesszük fel legtöbbször elem függvéek leárs kombácójakét A cél a leárs kombácóba szereplı egütthatók meghatározása amel vag a dfferecálegelet és peremfeltétele vag valamel eerga-elv mmáls hbával törtéı kelégítése útjá törték Gakor hog a keresett függvét például hatvásor vag trgoometrkus sor formájába veszk fel A hatvásorok polom alakú függvéek a trgoometrkus sorok legsmertebbje a ourer-sorok Ilekor a megoldás elıállítása a polom egütthatóak vag a ourer-egütthatókak a meghatározását jelet A megoldás potossága a polom fokszámáak vag a ourer-sor tagja számáak övelésével emelhetı Más közelítı eljárásokál a geometra tartomát magát a lemezt vag a tárcsát osztják fel résztartomáokra és ezek találkozás potjahoz az ú csomópotokhoz redelk az ú bázsfüggvéeket amelek a leárs kombácóba szerepelek kkor az egütthatókat az smeretle függvé csomópotokhoz tartozó értéke vag derváltja alkotják Ile közelítı módszer a véges dfferecák módszere vag a végeselem-módszer ahol a csomópotok sőrítésével valamt a bázsfüggvéek fokszámáak a övelésével övelhetı a potosság Itt a feladat dmezószáma a csomópotok számától és az eges csomópotokhoz redelt függvéértékek és derváltak számától függ Bármel közelítı módszert alkalmazzuk mdg a leárs kombácóba szereplı egütthatókat kell meghatároz a megoldás sorá Az erre voatkozó feltételek pedg leárs egeletredszert alkotak amelek egüttható mátra általáos esetbe telemátr Ha a közelítı megoldást ortogoáls sorok formájába keressük az egüttható mátr dagoálmátr lesz Ha pedg ortoormált sorokat alkalmazuk akkor a megoldásra kész képleteket kaphatuk A megértés köítése érdekébe tektsük az alább egszerő példát Közelítsük a eheze kezelhetı f ( függvét az f ( a ( a ( a ( a ( a ( függvésorral zzel a megoldást a végtele dmezós függvétér helett az -dmezós függvétérbe keressük amelek koordátá az a egütthatók A feladat az darab a egüttható meghatározása hsze az ( függvéek - a bázsfüggvéek - smert függvé-

3 ek m választjuk meg ıket az egváltozós geometra térbe amelek koordátaredszerét az -tegel alkotja Az f ( függvét az f ( függvé -dmezós közelítéséek evezzük Lege a közelítedı f ( függvé például az alább ábrá látható [ ] zárt tervallumo értelmezett függvé amel f ( < < Vegük fel a közelítı f ( függvét az alább páratla sus ourer-sor alakjába f( a s a s a s am s m a s f( a Itt a bázsfüggvéek a m ( m / f ( a a ( leárs kombácóak megfelelıe redre: f ( s f ( s f ( s f m ( s m Vegük észre hog a közelítı függvé felvételével a geometra térbıl átléptük a függvétérbe mvel a közelítı függvé az -dmezós függvétér a koordátá függvéébe va felírva! A sus függvé a tartomá határá az és az hele kelégít az f ( feltételeket íg az darab a egüttható meghatározásához szükséges darab feltételt abból kapjuk hog a felvett f ( közelítı függvé mmáls hbával külöbözzö az eredet függvétıl a < < tartomáo ahol aak értéke f ( Képezzük a hbafüggvét amel ugacsak a függvétérbe va értelmezve h h( a f ( f ( a f ( a m ( amelek égzete hog az elıjelektıl eltekthessük a [ ] tartomáo lege mmum: m G( a h( a d [ ( ( ] s m! f f a d a d z az etrémum-feltétel az alább a függvétérbe értelmezett parcáls derváltakból álló - dmezós egeletredszerre vezet: G( a m ( m / a amelbıl a ourer-egütthatók meghatározhatók Tektsük például a ourer-sor elsı két tagját ekkor a közelítı függvé: f a a a s a s (

4 A hbafüggvé égzete [ ] ( G( a a f ( f ( a a d a s a s d m! Végezzük el az tegrálást: ( G( a a a s a s a s a s a a s s d a a a a a s s s s 6 a cos cos aa a a a a m! A mmumfeltételekbıl adódó egeletredszer: G( a a a a G( a a a a amelbıl az egütthatók: a és a Ha a ourer-sor tovább tagjat s fgelembe vesszük az egütthatókat hasolóa kapjuk: a a a m m A közelítı megoldás tehát: f ( (s s s s m m A közelítést az alább ábra mutatja amelrıl jól látszk az összeg alakulása vags hog a közelítı dagram a tagok számáak emelkedésével egre jobba hasolít a kostas függvéhez gébkét vegük észre hog a fet egeletredszer egüttható mátra dagoálmátr eek oka az hog a bázsfüggvéek ortogoáls redszert alkotak skalárszorzatuk a vzsgált tartomáo zérust ad: s s ( ( ( ( d s s d 8 oglalkozzuk ezek utá a tárcsák számításával

5 Tárcsák számítása A tárcsák vzsgálatáál a korább szlárdságta feltételezéseket tartjuk érvébe ameleket a tárcsára voatkozó specáls feltevésekkel egészítük k: - a tárcsa aaga homogé zotrop leársa rugalmas - a tárcsa vastagsága álladó - a tárcsa véko azaz vastagsága léegese ksebb a másk két ráú kterjedéséél - a tárcsa középsíkjáak mde potja síkbel mozgást végez tehát a középsík em térhet k a síkjából - a tárcsa ks elmozdulást végez és a középfelület ormálsá fekvı potok az alakváltozás utá s a ormálso maradak - a tárcsa középfelületére merıleges feszültségeket elhaagoljuk - a számítás sorá az elsıredő elméletet követjük vags az erıjáték vzsgálata sorá a terheletle állapot geometra adataval számoluk - a tárcsát pereme meté tetszıleges geometra alakzat határolhatja - a peremek megtámasztás vszoa olaok hog em keletkezek a tárcsa síkjára merıleges reakcóerık vags a tárcsa pereme csak a tárcsa síkjába vaak megtámasztva Az utolsó feltevés szert a keletkezı reakcóerık csak a tárcsa síkjába mőködhetek amel feltétel lehetıvé tesz a tárcsa középsíkjára merılegese keletkezı gébevételek a lemezhatás elhaagolását A tárcsaegelet Írjuk fel most a tárcsára a rugalmasságta dfferecálegeletet zek a tárcsa egetle potjáak körezetére az elem hasábra voatkozó egesúl geometra és aagegeletek zeket az általáos érvéő általáos alakú és terheléső szlárd testre érvées parcáls dfferecálegeleteket most a tárcsára mt specáls alakú és terheléső szerkezetre a fet egszerősítı feltevésekkel egészítjük k majd a dfferecálegelet-redszer átredezésével egetle parcáls dfferecálegeletre vezetjük vssza Íg kapjuk meg a tárcsaegeletet amel a voatkozó peremfeltételekkel egütt alkotja a tárcsára elıírt peremértékfeladatot Az egesúl egeletek Vegük fel az koordátaredszert a h vastagságú tárcsaszerkezet középsíkjába és a z tegelt erre merılegese az ábra szert

6 Tektsük elıször a tárcsa egesúl egeletet Ragadjuk k a tárcsa eg belsı potja körezetébıl a d d dz mérető elem hasábot és tütessük fel a hasáb egesúlát bztosító feszültségkompoeseket A tárcsaszerkezet defícójából következıe csak a középsíkjába mőködek terhek és a síkjára merılegese terheletle íg a hasáb z ormálsú síkja feszültségmetesek azaz ( τ ( és τ ( Tehát a tárcsa mde z z potja síkbel feszültségállapotba va szert a tárcsa középsíkjáak bármel ( potjába a feszültség állapotot három feszültségkompoes jellemz: ( ( és τ ( A feszültségteor mátra: ( τ( τ ( vag tömörebbe τ ( ( τ eltételezzük hog ezek a feszültségek a tárcsa vastagsága meté álladóak z Tektsük az ábrá az elem hasábra ható feszültségeket a síkbel feszültségállapotak megfelelıe Ha a tömegerıket elhagjuk az - és -ráú vetület egeletekbıl az egesúl dfferecálegeletek: τ τ A írófeszültségek recproctása mattτ τ Most ragadjuk k a tárcsából eg d d h tárcsaelemet amel tt ugaazt a szerepet játssza mt a rúdszerkezetekél az A dz mérető rúdelem Míg az elem hasábra a feszültségek addg a tárcsaelemre az gébevételek mőködek akárcsak a rúdelem eseté Ahoga a rúdelemre ható gébevételeket a feszültségek eredıjekét kaptuk úg most a

7 tárcsaelemre ható gébevételeket s a tárcsaelemre mőködı feszültségek eredıjekét kapjuk A tárcsa gébevételet hosszegségre voatkozó fajlagos értékkét defáljuk Az ábrá a tárcsaelemre mőködı fajlagos gébevételeket a ormál- és íróerıket tütettük fel amelek tehát a tárcsaelem d és d oldala meté mőködı voalmet megoszló erık Mvel feltételeztük hog a feszültségek a tárcsa vastagsága meté álladóak agságuk: N h N h és N τ h Az aagegeletek Most írjuk fel a síkbel feszültségállapotú rugalmas tárcsa aagegeletet amelek: ( ν ε ( ν ε ν ε z ( ( ν γ τ ahol a írásál a G / ( ν behelettesítést alkalmaztuk Mvel a harátkotrakcó matt a tárcsa középsíkjára merıleges ε z alakváltozások s létrejöek a tárcsa bármel potja térbel alakváltozás állapotba va A geometra egeletek Most írjuk fel a tárcsa geometra egeletet A tárcsa elmozdulás állapotát a középsíkjába fekvı potok elmozdulásaval jellemezzük Mvel a tárcsa stabltásvesztésbıl eredı khorpadásával tt em foglalkozuk a tárcsa ( középsíkja a terhek hatására em tér k a síkjából a középsík potja a z tegel ráába em végezek elmozdulást azaz w ( Megjegezzük azoba hog a középsíko kívül esı potok a harátkotrakcó matt a középsíkra merılegese s elmozdulak vszot a tárcsa középfelületéek bármel ( potja síkmozgást végez vags elmozdulás állapotát csak az és tegel ráába létrejövı u ( és v ( elmozdulások jellemzk Az eek megfelelı elmozdulásvektor: u( u u ( vag tömörebbe u v( v Következésképpe a geometra dfferecálegeletek: u ε

8 v ε u v γ A harátkotrakcóból származó ε z alakváltozást s fgelembe véve a tárcsa középsíkjáak bármel ( potjába az alakváltozás állapotot ég alakváltozás-kompoes jellemz: ε ( ε ( ε ( és γ ( Íg az alakváltozástezor mátra: ε( A ( γ ( / A feszültségfüggvé z γ ( / ε ( vag tömörebbe ε ( z ε γ/ A γ/ ε ε z z a 9 egeletbıl álló parcáls dfferecálegelet-redszer a tárcsaszerkezetek fet smertetett 9 smeretle állapotváltozó függvééek a meghatározására szolgál: ( ( τ ( ε ( ε ( ε ( γ ( u ( v ( Természetese az eges dfferecálegeletekhez peremfeltételek s tartozak amelek az smeretle függvéek adott potbel függvéértékere vag derváltjara voatkozóa elıre smert értékeket adak meg Például az egesúl dfferecálegeletek peremfeltétele a tárcsa peremé megadott terhek a geometra dfferecálegeletek peremfeltétele pedg a tárcsa pereméek megtámasztás körülméebıl adódó elıre smert elmozdulások lehetek otos szerepe va az ú homogé peremfeltételekek amelek valamel függvéérték vag dervált zérus voltát rögzítk például azt hog a terheletle pereme a feszültség zérus vag azt hog a mereve megtámasztott pereme az elmozdulás zérus A fet dfferecálegelet-redszert em ebbe a formájába oldjuk meg A tárcsafeladatok megoldására Ar bevezetett eg ola új függvét az ( feszültségfüggvét amelbıl a feszültségek közvetleül kfejezhetık: ( ( ( ( ( τ ( és amelek segítségével a fet parcáls dfferecálegelet-redszer egetle parcáls dfferecálegelet formájába írtható fel Ha behelettesítjük a feszültségfüggvét az egesúl egeletekbe a feszültségek helére meggızıdhetük róla hog a feszültségfüggvé az egesúl egeleteket automatkusa kelégít: Most helettesítsük be a feszültségfüggvét az aagegeletekbe: ε ν z

9 ν ε ( ν γ majd vojuk össze egetle egeletbe a három geometra egeletet zt úg tudjuk megte ha γ másodk veges derváltját képezzük: v u v u ε ε γ Ha most behelettesítjük ebbe az egeletbe az alakváltozások feszültségfüggvéel kfejezett alakját ( ν ν ν majd mde tagból elhagjuk az / szorzót akkor az ( ν ν ν egelet átredezésével egetle ola dfferecálegelethez jutuk amel a fet egesúl geometra és aagegeleteket magába hordozza tehát a fet dfferecálegeletredszer helébe lép: ( ( ( z a bharmokus dfferecálegelet a tárcsaegelet A harmokus Laplace-operátor segítségével tömörebbe íg írható: Az Ar-féle feszültségfüggvéel felírt tárcsaegelet peremfeltétele a feszültségfüggvére vag aak derváltjara a feszültségekre voatkozak A tárcsaegelet és a peremfeltétele egütt alkotják a tárcsára voatkozó peremérték-feladatot z a peremértékfeladat az erımódszerek felel meg mert a bee szereplı smeretle függvéek statka jellegő állapotváltozók A peremértékfeladat megoldása ola ( függvé elıállítását jelet amel a tárcsa belsejébe kelégít a dfferecálegeletet a peremé pedg a peremfeltételek által meghatározott értékeket vesz fel Az alább ábra a peremfeltételeket llusztrálja ola esetbe ahol a pereme megoszló teher mőködk Az elsı ábrá eg általáos helzető görbe perem eg potjáak körezetébe felrajzolt elem hasábra ható feszültségek és terhek egesúlát mutatja Ilekor a peremfeltétel feszültségkompoesek felírásához a külsı terhet fel kell bota ráú kompoesere

10 gszerőbb a helzet ha a peremek egeesek és valamelk koordáta-tegellel párhuzamosak Például ha a perem az tegellel párhuzamos és a q agságú kostas megoszló teher merıleges a peremre amt a másodk ábrá látható akkor a h vastagságú tárcsa b peremé a peremfeltételek: ( ( ( ( b b q h ( / τ ( b b b Hasolóképpe az a pereme a harmadk ábra szert: ( ( ( ( a q / h ( a τ ( a a Ha a perem-szakasz terheletle akkor a perem e szakaszáak bármel potjába mdhárom feszültség zérus Tektsük példakét az alább a ábrá felrajzolt tárcsát és írjuk fel a peremfeltételeket zt a tárcsát a tetejé egeletese megoszló teher terhel két támaszát pedg eg-eg alapfal szolgáltatja A támaszerık a teherrel egesúlba vaak megoszlásukat a megtámasztás szakaszo ugacsak egeletesek tektjük a b a A b lletve a c ábráko felrajzoltuk a teherbıl származó íróerı és omaték ábrát a tárcsa peremet ola öegesúl redszerrel terhelt keretszerkezetek képzelve amel a b ábra -potjá fel va vágva Mvel a pereme a megoszló teher feszültségkét mőködk amel az gébevétel ábrákál taultak értelmébe a omatékfüggvé másodk derváltja íg a pereme a omaték ábra magát a feszültségfüggvét jelet és a íróerı ábra pedg aak elsı derváltját szert a peremfeltételek az ± b pereme: M ( és Q ( és az ± a pereme: M ( ± a és Q ( ± a b pereme és természetese a perem terheek megfelelıe az és az b perem terhelt szakaszá q

11 q Tárcsák közelítı megoldása Hatvásoros megoldás Tektsük az ábrá felrajzolt tárcsát amelek felsı szélé p agságú egeletese megoszló teher hat amelet a függıleges oldala meté megoszló teherkét mőködı p a eredıjő erı egesúloz A tárcsa h vastagsága a a és b méreteél léegese ksebb Határozzuk meg a tárcsába mőködı feszültségeket Vegük fel a feszültségfüggvét az alább háos kétváltozós polom alakjába: ( α α α α α amel alak em más mt az ( bázsfüggvéek leárs kombácója hsze ( α f ( ahol f ( f ( f ( f ( f ( zek a bázsfüggvéek em képezek ortogoáls redszert íg az egeletredszer egüttható mátra em lesz dagoálmátr A cél az öt egüttható meghatározása ameleket azokból a feltételekbıl határozhatjuk meg hog az ( függvéek egrészt k kell elégítee a tárcsaegeletet másrészt a peremfeltételeket A peremfeltételek az ( derváltjara azaz a tárcsa peremeek külöbözı potjaba elıre smert feszültségértékekre voatkozak Mvel a szerkezet és a teher egarát szmmetrkus elegedı ha csak a bal oldal a tartomát vzsgáljuk Képezzük az ( függvé azo derváltjat amelekre a feltételek kelégítése sorá szükségük lesz: α 6α 6α továbbá: τ 6α α α α α

12 α α A mezıegelet kelégítése: azaz α α amel íg egszerősíthetı: α α A peremfeltételek redre az alábbak Az b perem terheletle íg ott tehát α b α b α amel egszerősítés utá: α b αb α Az b pereme mőködk a voalmet megoszló teher íg ott az elem hasábra p h omófeszültség hat z eg újabb peremfeltétel: / amel egszerősítés utá: Az α α α b b p / h α b α b α p h / b terheletle pereme a perem-met írófeszültség s zérus azaz τ és ez érvées a sarokpotokra s ahol a eszert τ α ab α a 6 amel egszerősítés utá α b α Végül a tárcsa a peremé a peremre merıleges vízsztes ormálfeszültség s zérus azaz amel ugacsak érvées az ± b sarokpotokra s íg például az b esetbe α b 6α b 6α a b amelet egszerősítve α b α α a Összefoglalva az öt smeretlees leárs egeletredszer tehát az alább alakú: α α b α bα α b α bα α p / h b α α b α α a α amel mt látjuk a teherek köszöhetıe em homogé zt mátr-alakba s felírhatjuk: α b b α b b α p / h b α b a α

13 ahol az egüttható mátr mt korábba utaltuk rá - em dagoálmátr Az egeletredszer megoldása a polom egütthatót adja: α p hb p b a p p p α α hb α α 8hb 8hb h íg behelettesítés és egszerősítés utá a keresett feszültségfüggvé: p b a b ( ( b hb zutá határozzuk meg a feszültségek függvéet és rajzoljuk fel azokat a tárcsa eges metszetebe A feszültségfüggvéek redre: p ( b a hb ( b b p hb p τ ( b hb Mvel valame feszültség függvée -ba magasabb fokú mt -be célszerő ha a külöbözı értékek mellett a feszültségek függıleges megoszlását vzsgáljuk Tektsük elıször a vízsztes feszültségek függıleges megoszlását a tárcsa középsı metszetébe Itt a feszültségek a p ( ( (b a hb Harmadfokú függvé szert változak és amt az ábrá látjuk -ál a feszültség értéke zérus ± b -él pedg a p a p ( b lletve ( b hb hb értéket vesz fel Most ézzük meg a feszültségek függıleges megoszlását a tárcsa szélsı a metszetébe s:

14 p ( (b a a ( b p ( a hb hb Amt az ábrá látjuk -ál a feszültség értéke zérus akárcsak ± b -él A függvéek az ± b / ± 77 b értékél va szélsıértéke ahol a feszültség agsága p p ( a b / lletve ( a b / h h Vzsgáljuk most a függıleges feszültségeket Látható hog ezek a feszültségek em függek -tıl íg a tárcsa mde függıleges metszetébe az ábrá látható alakot öltk: az alsó b pereme értékük zérus a felsı b pereme értékük a teherrel egezk A harmadfokú megoszlást az ábra mutatja A függvéek az b pereme va szélsıértéke Végül tektsük a τ írófeszültségek függıleges megoszlását A tárcsa középsı metszetébe em keletkezek írófeszültségek az ± a metszetbe aál kább: τ ( ± p ap a ± ( a ab ( b hb ± hb A írófeszültségek a tárcsa szélé tehát másodfokú megoszlást mutatak a sarkokál az ±b értékél egarát zérus értékkel és az hele mamum értékkel: ap ap τ ( a lletve τ ( a hb hb Az elem és az általáos szlárdságta megoldás összehasolítása kedvéért vzsgáljuk meg a tárcsát geredáak tektve az ábra szert A tárcsa függıleges pereme ható íróerıket a kéttámaszú tartó reakcóerıek tektve az ábrá felrajzoltuk a íróerı és a omaték ábrát A tárcsáál felvett koordátaredszert haszálva a szükséges keresztmetszet jellemzık: h(b hb b h I z S' z ( h( b ( ( b Továbbá az gébevétel függvéek: pa p p Q ( p M ( ( a A feszültségek függvée az elem szlárdságta szert a geredáak tektett tárcsa eg potjába fgelembevéve hog tt az tegel felfelé mutat: p ( a M ( p a p ( ( ( ( a I z hb hb hb ( h( b ' p Q( Sz ( p τ ( b I zh hb hb h A kétféle úto ert feszültségfüggvéek összehasolítását mutatja az alább táblázat lem szlárdságta p ( a hb Általáos szlárdságta p ( b a hb

15 τ p ( b hb p ( b b hb p ( b hb Látható hog a külöbségek akkor va ag jeletısége ha a geredáak ag a b magassága mert ekkor már em alkalmazhatók az elem szlárdságta feltevések például a sík és merev keresztmetszetek elve amelek köszöhetıe az elem megoldásba em keletkezhetek függıleges feszültségek A magas geredákat tehát faltartókét vags tárcsakét kell kezel Ugaez a helzet a rövd geredákál s ahol a gereda l hosszúsága kcs a keresztmetszet magasságához képest ourer-soros megoldás Perodkus terhelés eseté mt amt az alább ábrá láthatuk célszerőe ourersorok segítségével állíthatjuk elı a megoldást A tárcsa felsı és alsó síkjára ható terhek egesúlba vaak lıször a terheket kell ourer-sorba fejte mvel azok szakadásos függvéek: p( a a cos( α és p( a a cos( α ahol α a Amebe rába tetszılegese hosszúak tekthetı a tárcsa a megoldást vags a tárcsaegeletbe szereplı ( feszültségfüggvét az alább ourer-sor alakjába közelítjük: ( a ( cosα zt a függvét behelettesítve a tárcsaegeletbe a egedk parcáls derváltakat kell képez: α ( cosα A tárcsaegelet ekkor: α α ( cosα α ' ' ' ' ( cosα ' ' ( cosα ' ' ( cosα ' ' ' ' ( cosα

16 z akkor teljesül ha teljesül a ' ' ' ' ' ' α ( α ( ( feltétel z pedg eg közöséges egedredő homogé leárs dfferecálegelet amelek megoldás módja smert eladatuk eseté az általáos megoldás: ( ( c chα c α chα c shα c α shα α egütthatókat a peremfeltételekbıl határozzuk meg A ég pe- amelbe a remfeltétel c c c c b / -él p( és τ b / -él p( és τ amelekbıl a ég egüttható: sh( α b / ( α b / ch( αb / c ( a a sh( αb αb ch( α b / c ( a a sh( α b α b ch( αb / ( αb / sh( αb / c ( a a sh( α b α b sh( α b / c ( a a sh( α b α b Behelettesítve ezeket ( képletébe majd az íg kapott ( függvét a feszültségfüggvé ( a ( cosα képletébe a tárcsaegelet megoldását kapjuk ek külöbözı másodk derváltjaból az külöbözı értéke mellett összegzésbıl megkapjuk a feszültségek függvéeek -tıl függı közelítı képletet A feszültségek íg számolt megoszlását mutatja az ábra Hasoló úto kaphatuk megoldást egéb szmmetrkus esetekre s Ha a feladat (szerkezet és teher em szmmetrkus a feladat megoldása zárt formába em s állítható elı Látható tehát hog a tárcsák aaltkus közelítı számítása ago ehézkes ezért valamle umerkus közelítı módszert kell választa ek vzsgálatával tt em foglalkozuk