III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

Átírás

1 Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar ctg ; + cos + si ar csi bijektív függvé eseté létezik f : B A függvé úg, hog B f f és A f f Az előbbi tétel alapjá a π π tg:, és ar ctg: π, π függvéekre érvées a tg( arctg ), összefüggés B R Megjegzés π π arctg ( tg ),,, de ar ctg( tg ), eseté b) Bármel t valós szám eseté co s t cos( t + t) cos t cost si t si t cos t si t cost cost si t cos t cost cos( arccos ) ( cos( arccos ) ) ( cos( arccos ) ), Megjegzés Általába a T :[,], T cos arccos függvé eg -ed fokú poliom függvé, amelek főegütthatója, és amelek egütthatóit a következő táblázat segítségével geerálhatjuk T T ( T () 8 8 T ( 8 Az előbbi táblázatba az -edik sor elemeit úg kapjuk, hog az ( )-edik sor megfelelő eleméhez hozzáadjuk az ( )-edik sorba levő jobboldali szomszédjáak kétszeresét

2 7 Függvéek és tulajdoságaik si + cos cos si c) cos si cos + cos, ahoa cos tg + cos cos Ha ismét a tg függvé bijektív leszűkítésével dolgozuk, figelembe véve, hog a tg függvé páratla, kapjuk, hog π tg, ha, [, ) π tg, π tg, ha, ( π, ),ha ( π, ) tehát a megoldás a ( π, π) itervallumo arctg tg, ha, π) kπ,ha ( ( k ) π,kπ cos ) Ebből következik, hog arctg + cos kπ, ha kπ, ( k + ) π) cos + si d) eseté, ahoa si + cos + si és cos si si + si + si π si + cos, R, vagis si + π si π π +, ha +, π π π A, itervallumo si +, π π si π, ha +, π π π, ha, π ahoa arcsi si +, tehát π π π,ha, π π π, ha kπ,kπ + + si arcsi π π π kπ, ha kπ,kπ

3 Függvéek és tulajdoságaik 7 Bizoítsd be, hog: a) arccos + arccos arccos 7 ; b) ar ctg + arctg + arctg arctg ; 9 π π c) a rccos + arcsi ; d) ar ctg + arctg + arctg 8 8 Megoldás a) Mivel cos( + ) cos cos si si,, következik, hog cos(arccos a + arccos b) ab a b, ab,,, tehát 7 9 cos arccos arccos + 7 Másrészt arccos π,, és rccos π, a 7, tehát az a rccos + arccos 7 összeg a (, π) itervallumba va Az előbbi két tulajdoság alapjá állíthatjuk, hog arccos + ar ccos arccos 7 tg + tg + tg z tg( + ) + tg z tg tg b) tg( + + z) tg( + ) tgz tg + tg tgz tg tg tg + tg + tg z tg tg tg z π, ha,, z ( k+ ) és tg tg tg tgz tg tgz + + z ( k + ) π, k,,,z a + b + c abc Ebből következik, hog tg(arctga + arctgb + arctg c), ha ab ac bc + + ab ac bc, abc,, Viszot 9, és az 9 6 arctg + arctg + arct g összeg a (, π) itervallumba va, tehát b) igaz c) < π 9, tehát arcsi < Másrészt >, tehát 8 9 π 9 π arccos < Íg ar ccos + arcsi, 8 8, tehát elégséges igazoli,

4 7 Függvéek és tulajdoságaik 9 hog arccos arcsi cos + 8 Ez a következőképpe alakítható: A égzetgökök előjeléek meghatározásakor figelembe vettük, hog 9 π π arccos, és arcsi, 8 d) A b) pothoz hasolóa, igazoli kell, hog: π tg + 6 +, π π ami teljesül Az ekvivalecia felírásakor haszáltuk, hog arctg <, ar ctg < π és ar ctg < 8 Számítsd ki az a) S arcctg( + k + k ); b) S arctg k k k összegeket + Megoldás a) módszer -re S () arcctg arcctg re S () arcctg + arcctg 7 ar cctg arcctg arcctg (a + 7 ctg ctg ctg ( + ) egelőségből következik, hog a rcctga + arcctgb ctg + ctg cctg ab ar, ha arcctg a + arcctgb (, π) ) A továbbiakba a matematikai a + b idukció módszerét haszáljuk Feltételezzük, hog arcctg + S, eg + rögzített értékre, és bebizoítjuk, hog S arcctg + π arcctg < π és arcctg( + + ) <, tehát a következő átalakításokat végezhetjük: + S S( ) + arcctg( + + ) arcctg + arcctg( + + )

5 Függvéek és tulajdoságaik 7 ( ) ( ) arcctg + ( + + ) ( ) arcctg arcctg arcctg + A matematikai idukció elve alapjá arcctg + S, eseté módszer Az arcctg k + arcctg k arcctg + k +k vag arcctg arcctg arcctg( + k + k ) k k + egelőséget k, -re összegezve ugaahhoz az egelőséghez jutuk b) módszer Ismét matematikai idukcióval próbálkozuk -re S () arctg ; eseté + () arctg arctg arctg 8 S + arctg 8 ; 6 -ra S () arctg + arctg arctg 8 Feltételezzük, hog S ( ) rctg a, ha rögzített, és bizoítjuk, hog S arctg + + S S( ) + arctg arctg + arctg arctg + ( + ) arctg arctg arctg k k módszer Az ar ctg arctg arctg, vag k + k k arctg( k + ) arctg( k ) arctg k egelőségek összegezéséből ugaahhoz az egelőséghez jutuk

6 7 Függvéek és tulajdoságaik a b Megjegzés Az a rctga arctgb arctg összefüggés érvéességéhez + ab a b π π elleőrizi kell, hog arctgb + arctg, + ab Ez a felhaszált egelőségek esetébe midig megtehető Hasolóa kell eljári az arcctg esetébe is III Gakorlatok és feladatok ( oldal) III Függvéek és valós számok ( oldal) Dötsd el, hog az alábbi állítások közül melek igazak és melek hamisak (A hamis állításokál adj ellepéldát, az igaz állításokat bizoítsd is be) a) < < b), (,) (,) c) Ha és (,,, > ), akkor d) Ha az a + b + c valós egütthatójú egelet gökei és, az + < feltétel szükséges és elégséges ahhoz, hog, e) Ha f, g : bijektívek f g : f g f g is bijektív f) f, g : ijektív függvéek f g : f g f g is ijektív g) f g ijektív f ijektív h) f, g : i) f, g : szürjektív függvéek f g is szürjektív ijektív függvéek f + g is ijektív j) f : mooto ijektív k) f : ijektív mooto l) f, g : kove f g kove m) f kokáv f kokáv ) f : o) f, g : kove és övekvő f f kove kove f g kove p) f g : övekvő f vag g övekvő q) f, g : + kove g h :, h f is kove r) Ha f és g aszimptotikusa közeledik és f és h is aszimptotikusa közeledik egmáshoz, akkor g és h is aszimptotikusa közeledik s) f kove és ijektív f mooto

7 Függvéek és tulajdoságaik 7 Megoldás a) Az állítás igaz Ha, akkor < < Ha, akkor > Ebbe az esetbe < <, és < <, ahoa következik, hog < < Ha, akkor az állítás igaz Ha, akkor < > ( ) ( + ) > Most két eset lehetséges: > és < + > + < > Ha, akkor >, vagis < < < + > < < Ha, akkor >, vagis < <, tehát < + < < b) Az állítás igaz, ( ) Viszot, ( ), + > és + >, ahoa ( + )( + ) > > (), < és <, tehát ( )( ) > + > () ()+() > > (*) Hasolóa az előző godolatmeethez,,, ( + ) ( ) < + <, ( )( + ) < + <, összegezve a két egelőtleséget < < (**) (*) és (**) (, ) Megjegzés A feladat a következőképpe is megoldható: <, < < < < c) Az állítás em igaz, például és, eseté igaz és hamis igaz d) Ha és, akkor +, tehát az + < feltétel elégséges ahhoz, hog (mert valós egütthatók eseté a gökök azoos,

8 76 Függvéek és tulajdoságaik természetűek) Másrészt az + egelet gökeire > és 6 <, tehát a gökök em valósak és a égzetösszegük mégis pozitív Az előbbi példa mutatja, hog a feltétel em szükséges, tehát az állítás hamis e) Az állítás hamis Lege például f, g : f g, Nilvá f és g bijektívek, ( f g) : ( f g) (), és f g em ijektív, mert ( f g) ( ) ( f g) (), tehát f g em bijektív f) Az előbbi pot alapjá az állítás hamis, g) Hamis Eg ellepélda a következő: az f :, f, > függvé em ijektív, mivel f() f() Ha g :,, g (), g () g (), akkor ( f g) f ( g ) +, > g (),() g >, f ( g ), tehát ( f g), f g ijektív (g +, > jobboldali iverze f-ek, mivel f g R ), de f em ijektív h) Hamis Például az f, g : R R, f g függvéek szürjekívek, de az ( f g) f g függvé em szürjektív, mert az f egeletek icse megoldása R-be i) Hamis Lege f, g :, f a+ b, g a b, ahol a és ab, f és g elsőfokú és em kostas függvéek, tehát bijektívek, íg ijektívek is Viszot az ( f + g) f + g, ijektív függvé em j) Hamis Ellepélda: az f : f [ ] függvé mooto, mivel, R, [ ] [ ], viszot em ijektív: f() f Megjegzés Ha f szigorúa mooto, akkor következik, hog f ijektív k) Hamis Az f :, f, < <,

9 Függvéek és tulajdoságaik 77 függvé ijektív, de em mooto mert < <, de sem az sem az f() f f egelőtleség em teljesül f() f f, III ábra l) Hamis Az f, g : az ( f g) () függvé kokáv m) Hamis f ( ) ) Az állítás igaz, f és g() függvéek koveek, de kokáv függvé, f kove függvé Bizoítás f : kove, és t, eseté f (( t ) + t) ( tf ) ( ) + tf ( ) () Ha, és t, tetszőleges, az ( f f)( ( t) + t ) f f (( t) + t ) egelőség, f mootoitása és () alapjá f f (( t) + t ) f ( t) f( ) + tf( ) () Továbbá f, f, tehát felírhatjuk f koveitását az f és f potokra is f (( tf ) ( ) + tf ( ) ) ( tf ) ( f ( ) ) + tf( f ( ) ) () () és () alapjá f ( f (( t) + t )) ( t) f ( f( )) + tf ( f( )) Végül és, t, eseté ( f f)( ( t) + t ) ( t) ( f f) ( ) + t( f f) ( ), vagis f f kove o) Hamis Az f, g : ( f g) kokáv függvé f és g( ) függvéek koveek, de

10 78 Függvéek és tulajdoságaik, p) Hamis Az f, g : f és g( ) függvéekre si, < f g :, ( f g) övekvő, viszot sem f, sem g em övekvő q) Hamis állítás Például az f, g :, f () és g () kove és pozitív függvéekre a h () függvé em kove r) Igaz Bizoítás f és g aszimptotikusa közeledek, tehát ε > ε úg, hog ε f g <, ε f és h aszimptotikusa közeledek, tehát ε > ε ε R úg, hog f () h () <, ε Ebből következik, hog g h g f + f h g f + h f < ε, ma { ε, ε } Vagis ε > { ε ma ε, ε } úg, hog g () h () < ε, Ez azt jeleti, hog g és h aszimptotikusa közeledik ε egmáshoz s) Az állítás igaz A bizoítása meghaladja a X osztálos taaag kereteit f kove -e, tehát I itervallumo foltoos Viszot eg foltoos és ijektív függvé szigorúa mooto Bizoítsd be, hog ha f, g : + kove függvéek, akkor a következő két állítás igaz! a) Ha f és g azoos mootoitásúak, akkor f g kove b) Ha f és g elletétes mootoitásúak, akkor f g kokáv Megoldás a) f, g kove,, t, f ( t + ( t) ) tf + ( t) f( ) ( f g)( t + ( t) ) g( t + ( t) ) tg + ( t) g t ( fg) + t( t)( f g + f g ) + ( t) ( fg) Kimutatjuk, hog az egelőtleség jobb oldala kisebb vag egelő, mit a t ( fg) ( ) + ( t)( fg) ( ) kifejezés Ez ekvivales a következő egelőtleséggel: t ( fg) + t( t)( f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) ) + ( t) ( fg) ( t( fg) + ( t)( fg) ) t( t)( fg) + t( t)( fg) t( t)( f g + g f ) t ( t)

11 Függvéek és tulajdoságaik 79 f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) g ( ) f ( ) f ( )( g( ) g( )) + f( )( g( ) g( )) [ f f ] [ g g ],, R, t, f és g azoos mootoitásúak b) Az előbbiekhez hasolóa igazolható, hog ha f és g elletétes mootoitásúak, akkor f g kokáv Ha az ( f f f)( ) egeletek egetle megoldása va, akkor az f ( ) egeletek is potosa eg megoldása va Megoldás Lege az a valós szám, amelre ( f f f ) ( ) Kimutatjuk, hog f ( ) f ( ) ( f f f) ( f f f) ( f f f) f De az ( f f f) egeletek csak eg megoldása va, és ez, tehát Ebből következik, hog f ( ) Még igazoljuk, hog több megoldás ics Lege úg, hog f ( ) ( f f), és ( f f f) (Kaster tétele) Bizoítsd be, hog ha f :[ a, b] [ a, b] övekvő függvé, akkor az f ( ) egeletek va legalább eg göke Értelmezd grafikusa az eredmét! Igaz-e az állítás csökkeő függvéekre? Megoldás Lege A { a, b f } A, mivel a A (() fa a), tehát sup A s (A korlátos) A szuprémum értelmezése alapjá s, A Viszot f övekvő függvé, tehát fs () f, A fs () supa s, tehát azt kaptuk, hog fs () s () (a szuprémum bee va a halmazba) Ismét kihaszálva azt, hog f övekvő, következik, hog f(( f s)) f() s fs () A fs () supa fs () s () Az előbbi két összefüggés alapjá fs () s, tehát s fipot Az előbbi tulajdoság grafikusa azt jeleti, hog a függvé grafikoja metszi az első szögfelezőt Csökkeő függvére a tulajdoság em igaz Például az f :,,,, f függvé csökkeő és ics fipotja,,

12 8 Függvéek és tulajdoságaik Megjegzés Nago sok kövbe azt állítják, hog csökkeő függvéekre is b fs () igaz a tulajdoság Az előbbi példa mutatja, hog ez ics íg Bizoítsd be, hog ha az f : függvé szigorúa övekvő és szigorúa a kove, akkor az ( f f) ( ) egeletek legtöbb két megoldása va, és ezekre a s b f Megoldás Az Feladat ) alpotja III ábra szerit f f kove, sőt szigorúa kove Ha az f(() f ) egeletek létezik legalább három megoldása,, és úg, hog < <, akkor a következő összefüggésekhez juták: ff () f f( λ + ( λ) < λff () + ( λ)(( ff)) Mivel ez elletmodás, a vizsgált egeletek em lehet kettőél több megoldása Ha az f(()) f egeletek csak eg megoldása va, akkor az megoldása az f egeletek is (lásd a feladat megoldását), tehát csak azt kell megvizsgáli, amikor az f(()) f egeletek két megoldása va Ha ez a két megoldás és, és ezek em megoldásai az f egeletek, akkor f és f Ez viszot em lehetséges, mert f szigorúa övekvő 6 Bizoítsd be, hog az f : I függvé potosa akkor kove, ha az E {(, ) f( ) } halmaz kove f Megoldás Értelmezés szerit E kove,, ( ) E és f ( ), f λ, ( λ + ( λ), λ + ( λ) ) Ef Az E f halmaz értelmezése alapjá I eseté (, f()) Ef Feltételezzük, hog E f kove halmaz és bizoítjuk, hog f kove függvé Lege, I és λ [, ] tetszőleges A feltételből következik, hog ( λ ( λ), λ f ( ) + ( λ f ) + ) Ef (mivel (, f( )),(, f( )) E f és E f kove halmaz) λf ( ) + ( λ) f ( ) f( λ + ( λ) ), tehát f kove függvé Ha f kove függvé és ( ) ( ),,, Ef, akkor f ( ) és f ( ) Ha az első egelőtleséget λ -val, a másodikat ( λ) -val szorozzuk, és összeadjuk a két egelőtleséget, a λ + ( λ ) λ f + ( λ)f egelőtleséghez

13 Függvéek és tulajdoságaik 8 jutuk De f kove, tehát λf + ( λ ) f f ( λ + ( λ) ) Az előbbi két egelőtleségből következik, hog ( λ ( λ), λ ( λ) ) f + + E, tehát E f kove halmaz 7 Bizoítsd be, hog ha az f : I függvére teljesül az + f + f f ( ) egelőtleség bármel, I eseté, akkor f + f ( ) + + f ( ) f,,,, I és Megoldás A matematikai idukció módszerét haszáljuk A matematikai idukció módszerével köe igazolható, hog k és,, k I eseté + + k f ( ) + f ( ) + + f ( k) f k k (*) k k+ < Lege N, k úg, hog Ha,,, I tetszőlegesek, (*)-ból következik, hog k ( )( ) + + f f k + k+ + + f ( ) + + f ( ) + ( f ) ( ) k + k+ + + k+ + + f ( ) f f + f( ) + f ( ) + f ( ) f Megjegzés A feti bizoítás P( ) P P ( + ) alakú idukciókét is leírható Az általuk választott leírás az első ile jellegű idukciós bizoítás vázlatát követi, amel Cauch-tól származik J L W V Jese 9-be (jauár 7-é) mutatta be ezt az egelőtleséget a dá matematikai társaságak 8 Bizoítsd be, hog ha M eg véges halmaz és f : M M, akkor a következő állítások egeértékűek! a) f ijektív; b) f szürjektív; c) f bijektív Megoldás Elégséges igazoli, hog a) b), a többi ekvivalecia ebből következik a) b) Lege M f Feltételezzük, hog M úg, hog M M eseté f M\ { } az elemek az M-ből

14 8 Függvéek és tulajdoságaik megfeleltetük elemet az M-ből A skatulaelvből következik, hog, M, úg, hog f ( ) f ( ) Ez elletmodás, tehát f szürjektív b) a) f szürjektív f ( M ) Ha az M-ből úg, hog f ( ) f ( ) f ( M) Ebből következik, hog, és ez elletmodás, tehát f ijektív 9 Határozd meg azo f :{,,,, } {,,,, } bijektív függvéek számát, amelekre az f ( ) egeletek létezik legalább eg megoldása M Megoldás Ha a bijektivitást em vesszük figelembe, az A { f M f() i i} jelöléssel i A i -t kell meghatározuk A szitaformula szerit + Ai Ai Ai A i + + i i i i i i Ha az előbbi halmazokba csak bijektív függvéeket számoluk, akkor Ai A (! i k k), tehát i A M De { } k Ai A,, i A i f M f i k j ij j k k + i A C ( ) C ( ) + + ( ) C i i + i A C (! ) C (! ) + + ( ) C ( )! +! + +!!! Ha M eg véges halmaz és f : M M teljesíti az f f egelőtleséget, M eseté, akkor az f ( f ( )) egeletek létezik legalább eg megoldása Megoldás Lege M és {,,, } M, < < < Ha va f- f > ek fipotja, akkor késze vaguk Ha f-ek ics fipotja, akkor f < f ( k) > k k f ( ) > {,, } úg, hog f ( + ) < + f ( ) + < + f ( ) + () f ( ) f( + ) + > f ( + )

15 Függvéek és tulajdoságaik 8 f ( ) f( ) (*) + + A feltételből és (*)-ból következik, hog f ( ) f( + ) + és ()-ből f ( ) o + f (( f ) fipotja f f -ek f ( + ) Megjegzés Ha f-ek ics fipotja, akkor f f -ek kettő is va és o + III Függvéek taulmáozása (6 oldal) Taulmáozd az alábbi függvéek mootoitását: ) f :[ π, π], f si ) f :, f + ; f :, f, rögzített ) f :, f ; ) * + ) f :, f 6) f :, f + Megoldás ) Ugaaz, mit a g : ππ, R, g si taulmáozása π π, - szigorúa csökke π π g :, - szigorúa övekszik, π, π - szigorúa csökke tehát [ π, π] - szigorúa mooto csökke f : ( ππ, ]- szigorúa mooto övekszik ( π,π] - szigorúa mooto csökke ),, > > és + > +, tehát f szigorúa övekvő - e ) Ha páros:, (, ], < > > a (,] itervallumo szigorúa csökkeő, (, + ), < < a (, + ) itervallumo szigorúa övekvő Ha páratla:,, < < f szigorúa övekvő

16 8 Függvéek és tulajdoságaik ) Vegük észre, hog a függvé páratla, tehát elégséges csak a [, + ) itervallumo vizsgáli Lege, > Az f függvé mootoitási, + szakaszait az > egelőtleség megoldásai adják > ( ) + + > (mert ) + + > > Mivel + >, a + > egelőtleség megoldásai az előzőek is megoldásai leszek, + > >, ami teljesül, > eseté Ha <,, akkor + + < + + f a, itervallumo csökkeő a, - is csökkeő Hasoló godolatmeet alapjá f az, + itervallumo övekvő, tehát a, - is övekvő és a mootoitás mideütt szigorú * * ) Az f függvé viselkedése azoos a g :, g függvéével * Viszot, +, > g szigorúa csökkeő a (, ) és a (, ) < itervallumoko Eek elleére g em csökkeő az értelmezési tartomáá, mert g( ), g( ) és g () Hasolóa f sem mooto az értelmezési tartomáá, mert f ( ), f ( ) és f () 6) f páratla, tehát csak a [, + ) itervallumo vizsgáljuk, [, + ), < eseté < + > ( )( + ) > + + Viszot <, tehát ( + ) > < Tehát ha,, akkor f < f és ha, <, akkor ( )( + ) > A fetiek alapjá f a következő tulajdoságú (, ] itervallumo szigorúa csökke a (,) itervallumo szigorúa övekszik [, + ) itervallumo szigorúa csökke Vizsgáld meg az alábbi függvéek koveitását! ) f :[ ππ, ], f si ; ) f : π, π, f cos ;

17 Függvéek és tulajdoságaik 8 ) f :, f ; ) f :, f + ) f :, f ; ; 6) f : \{ }, f + Megoldás ) f a [ π, ] itervallumo kove és a (, π] itervallumo kokáv ) f kokáv III ábra III ábra -π π - ) f kove π π III ábra ) Lege f és f, ahol f, f : Az f függvé kove is és kokáv is, tehát az f függvé koveitását csak az f függvé határozza meg, tehát f kokáv a (, ] itervallumo, és kove a (, + ) itervallumo Ebből következik, hog f se em kove, se em kokáv az értelmezési tartomáá

18 86 Függvéek és tulajdoságaik ) f f + f, ahol f, kove is és kokáv is, tehát f kokáv a (,) itervallumo és f kove a (, + ) itervallumo Ebből következik, hog f se em kove, se em kokáv az értelmezési tartomáá (lásd a III 7 ábrát) III 6 ábra III 7 ábra 6) f, tehát az f függvé ugaola koveitású, mit a + g : \{ }, g + függvé Ebből következik, hog f kove a (, ) itervallumo és kokáv a (, ) itervallumo Grafikus meggodolások alapjá vizsgáld meg az alábbi függvéek mootoitását, koveitását, ijektivitását és szürjektivitását! Ha a vizsgált függvé bijektív, számítsd ki az iverzét!, < ) f :, f ; ) f :, f ;,, < ) f :, f +, ; ) f :, f ;,, > + 7, +, ) f :, f ; 6) f :, f ; 7, >, > + 7) f : f < ;

19 Függvéek és tulajdoságaik 87, [, ] 8) f :[,] [,], f +, (, ] ; +, páros 9) f :, f, páratla, teljes égzet ) f :, f +, em teljes égzet Megoldás ) f szigorúa csökkeő a (, ] itervallumo, szigorúa övekvő a (, + ) III 8 ábra - - itervallumo, kove, em ijektív és em szürjektív: ) f szigorúa övekvő és kove Továbbá f ijektív is és szürjektív is, tehát f, < bijektív függvé, és f, 6 III 9 ábra - -

20 88 Függvéek és tulajdoságaik ) f szigorúa mooto övekvő a valós számok halmazá és f kokáv a (,) itervallumo, valamit f kove is és kokáv is a [, + ) itervallumo Az értelmezési tartomáá f se em kove, se em kokáv, < A függvé ijektív és szürjektív, tehát bijektív is és f, III ábra ) f szigorúa mooto övekvő a (, ] itervallumo, és szigorúa övekvő az (, + ) itervallumo, de f em mooto -e Továbbá f em ijektív, mert az III ábra -

21 Függvéek és tulajdoságaik 89 -e, viszot a (, ] és (, ) itervallumoko midkét tulajdosággal redelkezik f értéket két valós -re is felveszi f szürjektív és se em kove, se em kokáv ) f szigorúa csökkeő a (,] itervallumo és szigorúa övekvő az (, + ) itervallumo f em kove és em kokáv (az potba szakadása va, viszot a részitervallumoko, akárcsak az előző alpotba, kove is és kokáv is), f em ijektív (az 7 értéket többször is felveszi) és em szürjektív, mert például az egeletek ics megoldása (lásd III ábrát) III ábra 7 III ábra - 6-6) f szigorúa mooto csökkeő és se em kove, se em kokáv (em tárgalhatuk koveitásról az pot körül, de a (,) itervallumo kove is és kokáv is, valamit az (, ) itervallumo kokáv) f ijektív, de em szürjektív (az és közti értékeket em veszi fel, ahog ez a III ábrá látszik) 7) f szigorúa csökkeő a (, ) itervallumo és szigorúa övekvő a [, + ) itervallumo f kove és kokáv a (, ) - - III ábra o III ábra

22 9 Függvéek és tulajdoságaik itervallumo, valamit kokáv a [, + ) itervallumo A valós számok halmazá az f függvé se em kove, se em kokáv f em ijektív, mert az értéket többször is felveszi, és em szürjektív, mert f, 8) f szigorúa mooto övekvő az [, ] itervallumo Kokáv az [, ] itervallumo, valamit kove a [, ] itervallumo f bijektív és +, [, ] f (a III ábrá az f iverzéek grafikus képe +, (,] látható) 9) f em mooto, és mivel a természetes számok halmaza em itervallum, koveitásról em tárgalhatuk A függvé ijektív, mert az f : f + és : f függvéek ijektívek és a képhalmazuk diszjukt f em szürjektív, mert az f ( ) egeletek ics megoldása III ábra III 6 ábra 8 8 ) f em mooto és em ijektív, mert f () f ( 6) 8 f szürjektív, mert az : { } f k k, f ( ) függvé szürjektív Koveitásról ismét em beszélhetük a) Az előbbi feladat -es alpotjába szereplő f függvére szerkesszél ola g : függvét, amelre f g R! Igaz-e, hog g f R? b) Az előbbi feladat 6-os alpotjába szereplő függvére szerkesszél ola g : függvét, amelre g f R! Igaz-e, hog f g R? c) Ugaaz a feladat a 9-es és -es alpotokba szereplő függvéekre Megoldás a)

23 Függvéek és tulajdoságaik 9 szürjektív, akkor létezik g B ijektív úg, hog f :, +, g +, g f ( f g),, > (), g g () > és ( f g)( ), ha eg ile g függvé a g, ha > - f szürjektív és em ijektív, g ijektív és em szürjektív; - több g függvé szerkeszthető; - ha f : A B : A f g B f, ha f +, ( g f) f ( g f),, ha f >, > +, b) f : R R, f Im f R\, ), > f, <, < g(), < g (), < f, +, - ismét f ijektív és em szürjektív, g szürjektív és em ijektív; - több g függvé létezik; - ha f : A B szürjektív, akkor g : B A ijektív úg, hog g f A () g +, g (), ( f g) ( f g) (), +, < g, g >, < vagis, (, ) [, + ) ( f g) () +, [, ) +, páros c) A 9-es alpotba szereplő f :, f, páratla függvé ijektív és em szürjektív, tehát baloldali iverz függvét keresük eki

24 9 Függvéek és tulajdoságaik, ha páratla g fb, ha páros és k vag k + alakú, g(()) f, +, ha páros és k alakú g +, g páros fg (()) g, g páratla +, páratla +, párosésk vagk + alakú +, páros és k alakú, teljes égzet A feladatba az f :, f függvé +, em teljes égzet szürjektív, de em ijektív jobboldali iverz függvét keresük eki g( ), eseté megfelelő: fg) ((),, teljes égzet gf (()) ( + ), em teljes égzet Megjegzés Nem létezik h :, h f N, mivel fg (()), hf (()), hfg ( ( )) g, h ( fg (())) g (), h g,, tehát f ivertálható, és iverze a h g függvé f ijektív, ami elletmodás Az f :[, ) + f + függvére létezik-e ola másodfokú függvé, amelhez f aszimptotikusa közeledik? + 6 Megoldás f Kimutatjuk, hog f aszimptotikusa közeledik a g + 7 függvéhez: Lege ε > 6 tetszőleges f () g() < ε + < ε 6 < ε (mert pozitív valós szám) + > > A feti ekvivaleciák alapjá belátjuk, hog ha ε ε

25 Függvéek és tulajdoságaik 9 6 > ε, akkor f () g() < ε Mivel ε > eseté létezik az > ma {, 6 ε ε } szám, és > ε -ra f () g() < ε, az f aszimptotikusa közeledik g-hez 6 Bizoítsd be, hog két külöböző másodfokú függvé em közeledhet aszimptotikusa egmáshoz Megoldás A reductio ad absurdum módszert alkalmazzuk Feltételezzük, hog ε > ε > úg, hog > -ra f () g() < ε, ahol ε f a + b + c, és g( ) a + b + c f g ( a ) a + ( b b) + c c a +b + c Mivel f és g em azoosak három esetet külöböztetük meg I eset a b c, f () g() c < ε ε >, em teljesül, mivel ε c -re c < c em igaz II eset a, b : f () g() b + c ε c Ha b >, akkor mide eseté b + c ε, tehát f () g() ε, ha b ε c, ami azt jeleti, hog f és g em közeledek egmáshoz b ε + c Ha b <, akkor mide eseté, b c ε, tehát b + c ε, vagis, b mivel ε pozitív, f () g() ε Ezzel kimutattuk, hog ebbe az esetbe sem közeledhet f és g egmáshoz aszimptotikusa III eset a, a + b + c < ε Mivel az a + b + c < ε egelőtleség megoldáshalmaza korlátos bármel ε > eseté, az f és a g em közeledhet aszimptotikusa egmáshoz 7 Bizoítsd be, hog: a) ha,,, >, akkor ; b) ha,,, [, π], akkor si + si + +si si ; c) ha,,, R, akkor π d) Ha,,,,, akkor ;

26 9 Függvéek és tulajdoságaik tg + tg + + tg tg Megoldás + a), > eseté, mivel ( ) (( ) + ( ) ) + + * * Matematikai idukcióval igazolható, hog,,, k R + és k eseté k k k k () * k k+ Ha tetszőleges, akkor k úg, hog < Az,,, tetszőleges pozitív számokat kipótoljuk k + számra az j {,, k + },, +, k számokra + j egelőségek szerit, majd alkalmazzuk az () eredmét az k k + + k + ( k+ ) ( k+ ) k k+ k+ ( ) ( ) k + k+ k+ ( + + ) ( ) + + b) A si függvé a, π itervallumo kokáv, tehát t -et helettesítve, + si, -re + si si A III fejezet 7 feladata alapjá + si + si si Megjegzés Általába, ha f kove (kokáv) függvé, és,,, az f értelmezési tartomáába (itervallum) va, akkor teljesül az + f ( ) + f f ( ) Jese-féle egelőtleség c) Az f : függvé kove, tehát a III fejezet 7 feladata alapjá az egelőtleség igaz Megjegzés A feti egelőtleség eg sajátos esete a Cauch-Bujakovszkij egelőtleségek ai, bi, i, eseté ai bi ab i i i i i

27 Függvéek és tulajdoságaik 9 Az ai i, i, és b i, i, helettesítésekkel az előbbi egelőtleséghez jutuk π d) Mivel az f, g :,, f és g tg függvéek övekvők π és koveek, az f g :, függvé is kove, és íg alkalmazható a Jese egelőtleség + + fg + + fg fg π, i,, i,, vagis tg + + tg tg, ahoa következik a bizoítadó egelőtleség * f f 8 Bizoítsd be, hog ha az f : + függvére f, f + f,, akkor f ( ),,, f ( ) f ( ) f ( ) Megoldás A III fejezet 7 feladatához hasolóa járuk el A feltételből követezik, hog f és f ( zt) f ( zt ) + f f f f( zt ) f f f( z) f( t) + + f f f( z) f( t) Ahog az egelőséget bizoítottuk -re, ugaúg bizoítható a matematikai idukció módszerével k -ra Ha tetszőleges (és em kettőhatvá), akkor k k létezik ola k természetes szám, hog > > Az,,, tetszőleges és { } + j,k j számokra alkalmazzuk az adott egelőséget k k ( ( ) ) f f ( ) k k ( ) f f f k k f f f ( ) ( ), ahoa

28 96 Függvéek és tulajdoságaik és f ( ) k k f ( ) f ( ) f ( ) * i >, i,, + + f ( ) f( ) 9 Bizoítsd be, hog ha az f, f,, f : I + függvéek kokávak, akkor az f f f f függvé is kokáv Megoldás Előbb igazoljuk a Huges-féle egelőtleséget Ha a és b pozitív valós számok k {,,, } -re, akkor ( a b)( a b) ( a ) ( b aa a bb b ) Az egelőtleséget ai bb b -el elosztva és az i jelölést haszálva az b i ( + )( + ) ( + ) ( + ) egelőtleséget kell igazoluk Az + egelőtleség alakba is írható Másrészt ( + )( + )( + ) k` k, és, tehát ( )( )( ) Megjegzések ) Az egelőtleség sajátos esete az általáos Cauch féle egelőtleségek m m m m a ij aij, ahol a ij >, ha i, és j, m i j j i ) Az f : f ( ) l( +e ) függvé koveitásából is ugaehhez az egelőtleséghez jutuk ) A baloldalo elvégezve a műveleteket és az azoos számú tagokat csoportosítva, majd az eges csoportokra a számtai-mértai közepek közti egelőtleséget alkalmazva ugaehhez az egelőtleséghez jutuk A feladat megoldása Az ai tfi() és bi ( t ) fi( ) i, számokra alkalmazzuk az egelőtleséget

29 Függvéek és tulajdoságaik 97 fi ( t + ( t) ) ( tfi + ( t) fi ) t fi + ( t) fi i i i i, tehát f ( t + ( t) ) tf + ( t) f Bizoítsd be, hog ha létezik ola ω >, hog az f : \ { } f függvére teljesüljö az f ( + ω) f,, akkor f periodikus (Titu Adreescu) Megoldás Kimutatjuk, hog f ( + ω) f, f () f ( + ω) f f + f f ( + ω), f ( + ω) f () f + f f () f ( f+ ω) f () f () f ( + ω) f( ), f ( + ω) () f f () ahoa következik, hog ω periódusa az f függvéek Bizoítsd be, hog ha az f : függvé teljesíti az f ( + a) + f f egelőséget, eseté (a + rögzített), akkor f periodikus Megoldás f ( + a) + f ( + a) f( + a) f f f f + f f + f + f + f De f ( + a),, tehát f (), Íg f ( + a) f,, tehát a periódusa f-ek Megjegzés Felhaszáltuk, hog a gök alatti kifejezés pozitív, vagis f f f,

30 98 Függvéek és tulajdoságaik III Epoeciális és logaritmikus kifejezések (8 oldal) Számítsd ki: a) log 9 log ; b) log log + log log ; c) 9 log log log + log ; d) log6 log8 Megoldás a) log 9 log és log log, tehát log log log 9 log log ( log )( log ) log log log log log log b) és Az előbbiek alapjá log log log log + c) log log log log 9 log és log log, tehát log 9 log + log log d) log6, log + log és log 6 log 9 + log log8, ahoa log7 + log log log ( + log )( + log ) log ( + log ) log6 log8 Melik agobb? a) log vag log 6 ; b) log 68 vag log7 9 ; log log c) vag ; d) 6lg 6 vag lg lg ; e) log π + log π vag ; f) log + log vag log 6 Megoldás a) log 6 és log > log, ahoa log log log > log > log6 log b) 68 > -ból következik, hog log 68 > + log, 9 < 7 alapjá lo g7 9 < + log7 és log7 < log, tehát log 68 > log7 9 c) Lege log log M és M log M log M M log, M log log d) 6 lg 6 6( lg + lg ) 6 lg + 6 lg + lg lg log M M Viszot

31 Függvéek és tulajdoságaik 99 6 lg 6 lg lg 6 lg lg lg lg lg lg 6lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg >, 8 mivel 9 > és 7 8 >, ahoa 6lg 6> lg lg e) + logπ + logπ logπ, > π logπ > log π log π log π + log π > f) log, log log > log log + > log log log log + > log Megjegzés Felhaszáltuk, hog log log, mivel az log ( + ) sorozat szigorúa csökkeő Bizoítsd be, hog: a) lg 9 + lg > lg 98 ; b) lg 9 < lg 8 ; c) lg 9 < lg 6 Megoldás a) A következő ekvivales átalakításokat végezzük: lg 9 + lg > lg 98 lg ( ) + lg ( + ) > lg( ) lg lg > + lg lg lg lg lg lg > () De lg lg lg lg lg >, tehát () is igaz b) Kimutatjuk, hog lg 9 <, 9 < lg 8 I lg 8 >, 9 9 lg 8 > 7 > 8 >, ami igaz > 8 > > 9 >,96 II, 96, 88, lg 9 <, 96 lg 9 <, 96 9 < 9< < < Viszot <, tehát elégséges kimutati, hog < < 8

32 Függvéek és tulajdoságaik < > (, 9) 9 Másrészt (, 9), 8, (, 8), 66 és (, 66), <, tehát lg 9 < lg 8 c) lg 9 < lg ( + lg ) és lg 6 ( lg ) 6 lg, tehát elégséges igazoli, hog 6 lg lg lg > Az f 6 függvé övekvő a, itervallumo és f >, valamit lg < < (mert > ) Ebből következik a kívát egelőtleség Határozzuk meg a következő kifejezések értelmezési tartomáát: a) log ( + ) ; b) log ( ) ; c) log ; + d) ( log ) ; e) log 9 ; f) log ; log g) log ( log log + ) ; h) log Megoldás a) log ( + ) értelmezett, ha + >, tehát (, + ) b) > ( ) ( + ) > (, ) (, + ) c), mert a tört értelmezett kell lege Másrészt az > egelőtleség is kell teljesüljö + X Tehát (, ) (, + ) d) > > >, tehát (, + ) e) 9 log 9 log log + Tehát (,) ( log, + )

33 Függvéek és tulajdoságaik f) Mivel log értelmezett kell lege, következik, hog > Másrészt log( log ) is értelmezett kell lege, tehát log > > Az előbbiek alapjá (, + ) g) log értelmezett > () Lege log log log, tehát az + > egelőtleség kell teljesüljö, ami ekvivales az ( ) > egelőtleséggel \{± } () () és () alapjá * + \{ ± } * h) log értelmezett > () log értelmezett R\ (,) () () és () alapjá \(,) log Az alábbiakba a tault összefüggéseket alkalmaztuk kifejezésekre Melek helesek az íg kapott egelőségek közül és melek em? (A hamis egelőségek esetébe adj meg eg-eg maimális itervallumot, amele érvéesek leszek) a) log log b) log log ; c) log log, ha ; ( ( ) + ( + ) ( ) d) log ab log a + log b ; e) log log + log + ) ; f) l og log log ; + g) log log( + ) log( + ) ; + h) log log ( ) log ( + ) ; i) log ( + ) ; log j) log a ; k) log ( ) loga Megoldás * a) Hamis, mivel log értelmezett eseté, míg log csak akkor, ha > Ebből következik, hog az állítás érvées, ha > * b) Csak akkor érvées, ha c) Az állítás heles d) Hamis, mert a < és b < eseté a jobb oldal em értelmezett, míg a bal ige Igaz a kijeletés, ha a > és b > e) Hamis Érvées, ha > és + >, vagis (, + ) f) Heles g) Heles h) Heles, mivel >, tehát értelmezett i) Hamis Mivel log ( + ) értelmezett >, és + > R * + \ {} () A jobb oldalo log értelmezett kell lege és em lehet, tehát, > és (, + ) \ {} () Mivel log ( + ) Midig az egelőség bal oldalá megjeleő kifejezést alakítjuk át

34 Függvéek és tulajdoságaik midig értelmezett, ha log értelmezett, () és () alapjá a maimális érvéességi tartomá (, + ) \ { } j) Hamis Teljesül, ha a (Mivel log a értelmezett kell lege ics több feltétel) k) Hamis Teljesül, ha >, vagis (, + ) 6 Határozd meg a következő kifejezések -es alapú logaritmusát: a) 7 ; b) ( ) ; c) d) a b c ; e) a a b g) b b a z Megoldás a) 7 b), tehát lg( ) lg + lg + lg z z 9 6 lg lg lg z lg + lg lg z, ha z 6 z z> z ; f) a b a b b a b a lg 7 lg + lg 7 7 c) 9, tehát lg lg + lg lg 9 lg lg d) lga bc lg a + lg b + l g c, ha b és c azoos előjelűek és a számok közül egik sem ulla e),, a b a b ab ab 6 6 f) l g lg lga b lga lgb, ha a, b > b a b a ba ba 9 9 a a b a a b g) 7 7 lg lg lg ab lga lgb b b a, ha a, b > bba ; ;

35 Függvéek és tulajdoságaik 7 Számítsátok ki ( és -t! Mi a külöbség a és ( kifejezések közt? ) ) 6 9 Megoldás 6;, mivel, R\{,} 8 a) Ha lg 7,, számítsd ki az első hét tizedes jegét! b) Bizoítsd be, hog ha, akkor [ lg ] + az szám számjegeiek számát jeleti (a tízes számredszerbe) Fogalmazz meg más számredszerbe is hasoló tulajdoságot! Megoldás a) lg 7, 7, 7 <, de 7,, tehát -ek az első 7 tizedes jege * b) Lege N úg, hog -ek számjege va Ez alapjá <, tehát lg < lg lg < [ lg], ahoa [ lg ] + Tehát az állítás igaz k alapú számredszerbe az számjegeiek száma [ log k ] + 9 Bizoítsd be, hog lg em racioális! Vizsgáld meg a log, log, log számokat is! Megoldás Feltételezzük, hog lg racioális, q, úg, p pq, pq, p hog lg q p q p q p Viszot p, q p q és p em teljesülhet, tehát elletmodáshoz jutottuk, vagis lg \ q p Hasolóa log, log (,, prímek) log log ( ) + log, log + l og (Kroecker tétele) Jelöljük H α -val az α irracioális szám természetes többszöröseiek törtrészéből álló halmazt: Hα {{ kα} k } Bizoítsd be, hog ha [,], akkor bármel N -re létezik ola θ H α, hog θ < Megoldás Kimutatjuk, hog a halmazak végtele sok eleme va H α { α} { mα} α mα m,, m N ( m) α m és ha m m, akkor α Q Ez elletmodás, tehát m Az előbbiek m alapjá, mivel végtele, következik, hog is végtele Viszot H korlátos is ) (mert { }, ) l H α torlódási pot, vagis -re km, úg, hog { kα }, { mα}, l + l H α α

36 Függvéek és tulajdoságaik Ebből következik, hog { kα} { mα} < Viszot { kα} { mα} {( k m) α } (mert [ ] [ ] [ ] ), tehát {( k m) α} <, vagis -re θ H, amelre α θ < Képezzük a ( k θ) sorozatot Az Arkhimédész aiómából következik, hog t, tθ < ( t + ) θ tθ < θ tθ < és t θ H α, mivel tθ, (ha, akkor úg, hog tθ < ) θ, stb) t ( t + Ebből következik, hog és, eseté θ úg, hog t H α θ t < Kezdődhet-e kettőek valamile hatváa -al? Hát 9-cel? Megoldás 8, tehát -al kezdődhet Ha 9A alakú, akkor v A 9 + A, ahol A < v Ebből következik, hog 9 + 9, v v ), tehát 9 < < Ez akkor teljesül, ha v + lg9 < lg < v + lg, azaz lg v törtrésze {lg9} és {lg } közt va Mivel lg, az előbbi feladat alapjá létezik ola, amelre {l g9} < { lg } < {lg }, tehát létezik ola hatváa - ek, amel 9-cel kezdődik 8 Megjegzés , és ez az első kettőhatvá, amel 9-cel kezdődik Bizoítsd be, hog ha em hatváa -ek, és m N tetszőleges szám, akkor létezik ola természetes kitevőjű hatváa -ek, amel első éhá számjege az m számjegeivel megegezik (Például, ha és m, akkor létezik ola természetes hatváa kettőek, amel -el kezdődik) * Megoldás Azt kell bizoítauk, hog m eseté kl, úg, hog k l k l m < ( m + ) m < m + lg m k lg l < lg( m + ) l p lg irracioális A Kroecker-tétel alapjá az ( { α lg } ) α sorozat sűrű N, -e ({ αlg }) + β sűrű αβ, -o, tehát úg, hog N + αβ, { αlg } + β ( lg m, lg( m + ) ) lg m < αlg [ αlg] + β < lg( m + ) lg m < α lg l < lg( m + ), ahol l β + [ αlg ], l Tehát a fetiek α alapjá első éhá számjege pot az m számot adja

37 Függvéek és tulajdoságaik III Epoeciális és logaritmikus egeletek, egelőtleségek és redszerek ( oldal) Oldd meg az alábbi egeleteket! a) 6 ; b) 8 ; c),; d),, ; e) ; h) 7 g) ; f) 7+ Megoldás Az epoeciális függvé ijektivitását haszáljuk a) 6 7 b) ; + c) + ( ) ( ) és d) (, ), e) 8, tehát az egeletek icse valós megoldása 7 6 f) ( 7) 7 és 6 lg(7 + ) g) ( + ) 7+ lg( + ) lg(7 + ) lg( + ) Viszot ( + ) ( 7+ ), tehát h), tehát az előző feladat alapjá + ( ) ( 7+ ), vagis Oldd meg az alábbi egeleteket! a) 7 9 ; b) + ; c) 6 ; d) + ; e) ; f) Megoldás Az epoeciális függvé ijektivitását haszáljuk a) b) + c) és 666

38 6 Függvéek és tulajdoságaik d) és + + e) + ( + ) f) + em teljesülhet egetle értékre sem, mivel + > és < Oldd meg az alábbi egeleteket: a) + + ; b) ; c) ; d) 7 Megoldás a) + ( ) lg + ( + ) lg lg lg+ lg lg ( lg + lg ) lg + lg lg lg+ lg + b) ( )lg ( + )lg (lg lg ) lg + lg lg + lg <, tehát ics valós megoldás lg lg c) ( )lg + ( + )lg ( + )lg 7 + lg (lg+ lg lg7 lg) lg7 lg+ lg lg 7 lg + lg lg+ lg lg7 lg + d) 7 lg + lg 7 ( + ) lg 7 lg ± lg + lg lg ( lg ) + (lg 7 lg ) lg 7, lg 9 Oldd meg az alábbi egeleteket! a) ; b) ; + c) 6, ; d) 8 Megoldás a) Az egelet (+ + ) alakba írható, tehát b) Az egelet alakba írható, 7 + 7, tehát 7 és íg c) Az első gökkifejezés értelmezett mide eseté, a második pedig csak akkor, ha, tehát a megoldásokat az, + ) itervallumba keressük 8+ + Az egelet a következő alakba is írható: , vagis és

39 Függvéek és tulajdoságaik 7 Mid a kettő em megoldás, mivel a + egelőség em teljesül ( idege gök) Tehát az egetle megoldás 9 d) 8 Oldd meg az alábbi egeleteket! + a) + 8; b) 6 ; c) 6 ; d) e) + ; ; f) + (,) ; g) + Megoldás a) A helettesítéssel az + 8 egelethez jutuk Eek a gökei 8 és em ad megoldást, mivel a egeletek ics valós göke A 8 egeletből az eredeti egelet egedüli megoldása b) Lege, íg az 6 egelethez jutuk Eek gökei és Visszahelettesítve -t -el, kapjuk, hog, és idege gök c) 6 +, ahoa és, log d) Az egelet a következő alakra hozható: Az helettesítéssel az egelethez jutuk, amelek gökei és idege gök, míg -ből kapjuk, hog 7 e), < ahoa és, tehát icse göke az f) + (,) +, < ics valós megoldás egeletek +, ahoa

40 8 Függvéek és tulajdoságaik 6 g) 6 a ( + 6 helettesítést + 6 alkalmazzuk, amellel az + egelethez jutuk Ebből következik, hog +, tehát + 6 és Visszahelettesítve az + 6 és értékeket, kapjuk, hog az egelet megoldásai és a) ; b) ( + ); c) + + ; d) 99 ( + 9 ) ( + ) Megoldás a) Az egelet ekvivales az egelettel Ebből ( 6 ) 6( 6 ) ( 6 )( 6) 6 log6 6 log 6 b), tehát az helettesítést alkalmazzuk Ebből + + és, valamit Az egeletek egetle göke a, míg az egeletek az, tehát M {, } c) Az egelet ekvivales az ( )( ) és és ( em megfelelő, mert értelmetle) A fetiek alapjá M {,, } ) egelettel d) és az egeletet osztjuk -mal t + t, és az egelet a következőképpe alakul: ( t ) t t t t és t I + és, ahoa és II + + +, <, tehát ezek a gökök em adak megoldást Összegezve, M {, }

41 Függvéek és tulajdoságaik 9 7 a) ; b) + + ; c) ; d) Megoldás a) Az egelet ekvivales a egelettel Ha ez utóbbi midkét oldalát elosztjuk 9 -el, a következő egeletet kapjuk: 9 lg lg 9 lg lg 9 b) Elosztjuk az egelet midkét oldalát -el + 8 c) Az egelet ekvivales a egelettel Ha midkét oldalt elosztjuk 9 -el, kapjuk, hog Lege 9 +, ahoa + és d) Midkét oldalt osztjuk -el és az helettesítést haszáljuk és < + + idege gök, megoldás, tehát M { } + 8 a) 7 ; b) c) ; d) ; + + ; e) ( a + a ) + ; f) ; g) + 6 ; h) + log Megoldás a) Az adott egelet ekvivales a egelettel Az f :, f () + 7 függvé szigorúa csökkeő, a g :, 7 g () függvé pedig kostas, tehát az f () g () egeletek csak eg megoldása lehet (a függvéek grafikus képei csak eg potba metszhetik egmást) Mivel megoldás, következik, hog M {}

42 Függvéek és tulajdoságaik + b) megoldása az egeletek Az egelet + alakba írható Az előző alpothoz hasolóa, a bal oldalo szereplő függvé szigorúa csökkeő (két szigorúa csökkeő függvé összege szigorúa csökkeő), míg a jobb oldalo levő kostas, tehát icse több megoldás 9 6 c) megoldás Az egelet + + alakba írható, ahol az egelőség bal oldalá eg szigorúa csökkeő függvé áll, a jobb oldalo pedig eg kostas függvé, tehát em lehet több megoldás d) Ha egatív, akkor , vagis < 8, tehát ics megoldás Ha pozitv, akkor Egelőség akkor és csakis akkor teljesül, ha (felhaszáltuk a számtai-mértai egelőtleséget és az +, > egelőtleséget) e) Az egelet ekvivales az a + ( ) a + egelettel Viszot a > a + Ezekívül +, tehát a + ( ) a a + Egelőség potosa akkor teljesül, ha f) megoldás Több megoldás em lehet, mert az egelet alakba írható és az f :, f + + függvé szigorúa csökkeő, míg a g :, g + függvé szigorúa övekvő h) Egelőség csak akkor állhat fe, ha, vagis ha, vag * i) log értelmezett, ha > Az f :, + f () csökkeő, a g : *, g + log függvé övekvő, tehát az egeletek csak eg + megoldás lehet megoldás, tehát M { } 9 Oldd meg az alábbi egeleteket!

43 Függvéek és tulajdoságaik a) c) ; b) ; + 7 ; d) Megoldás a) módszer Az f :, () 9 f + 9 függvé kove, tehát legtöbb két megoldása lehet az egeletek Észrevehető, hog és megoldások módszer Ha, akkor >, akkor az f :, szigorúa csökke, az lehet és < , tehát ics megoldás Ha f () függvé a (, itervallumo (, + ) itervallumo szigorúa ő, tehát csak két megoldás megoldások, tehát M {,/ } b) Az előbbi feladathoz hasolóa, most is két megoldás lehet, és c) Az f : +, f ( ) + 7 függvé szigorúa kove, tehát az egeletek legtöbb két megoldása lehet (a (,) itervallumba em lehet megoldás) és log megoldások, tehát M,log d), -re + + 6, és, [, ] -re + + 6,9 és [, ] A fetiek alapjá a, itervallumba ics megoldás De -re, és { } íg pozitív megoldás em létezik Az f :,, f függvé szigorúa övekvő, míg a g :,, g függvé szigorúa csökkeő, tehát legtöbb eg egatív megoldás létezhet Ez az, tehát M { } Oldd meg az alábbi egeleteket: + a) 8 ; b) + 6 9; ( c) + )( + ) + +

44 Függvéek és tulajdoságaik Megoldás a) megoldás Az egelet + +, akkor, tehát az egik megoldás Az egelet megoldása log + megoldás 8 lg + lg / ( + ) + alakba írható Ha + lg + lg + ( lg ) + ( lg ), lg± lg + lg+ 8lg lg ( lg ) tehát és log + b) eseté + 6 9<, mivel 6 < ics megoldás c) Elosztjuk az egelet midkét oldalát -el Íg a következő egelethez jutuk: /: + + ( + + ) Lege ( + ) ( + ) ( + ) /, ahoa + és idege gök, az értéket behelettesítve az ( + ) egeletbe kapjuk, hog + ) lg( + lg( + ) lg( ±, tehát lg( + ) A valós számok halmazába oldd meg az alábbi egeleteket! + + a) ( + 7) ( + 7) ; b) ( + ) ( + ) Megoldás a) eset Ha + 7, akkor megoldás, mivel ab, ± a b, tehát, gökei az egeletek eset Ha + 7 > és + 7, akkor + +, ahoa és

45 Függvéek és tulajdoságaik Megézzük, hog ezekre a megoldásokra az alap mile előjelű lesz + 7 < és + 7 <, tehát és az esethez tartozak eset Ha + 7, akkor a kitevők em lehetek -val egelők ± 9, 6 megoldások eset Ha + 7, akkor a kitevők egész számok és azoos paritásúak 7 8 és 8 7 Csak az 8 teljesíti az egeletet eset Ha + 7 < és + 7, akkor és +, valamit + Ebből kapjuk az megoldást Összegezve, az egeletek hat megoldása va és 9 M ± ±,,,7 b) eset + megoldás ± eset + > és + +, ahoa, megoldás, mert teljesítik az + > és + feltételeket eset + 9 eset + em megoldás, mert ( ) ( ) Midkettő eset + < és + +, és + Mivel az egelet gökei em egészek, ez az eset em ad újabb megoldást M ±,, Határozd meg az alábbi egeletek összes megoldását! + a) ; b) c os + ; si c) ; d) c os Megoldás a) Mivel a bal oldal pozitív, következik, hog + >, ahoa > Továbbá + +, mivel pozitív Kimutatjuk, hog, vagis, ha > + ( ) + ( )( + ) ( ) ( + ) ( )( ) ( + )( ),

46 Függvéek és tulajdoságaik ami igaz bármel > eseté, tehát + Egelőség potosa akkor teljesül, ha +, vagis ha os b) Az egelet ekvivales a c + egelettel De +, és c os, Tehát megoldás csak akkor lehet, ha +, vagis Ez valóba megoldás, tehát M { } A számtai-mértai közepek közti egelőtleséget haszáljuk egmás utá kétszer , mert Egelőség potosa akkor teljesül, ha midkét egelőtleségbe egelőség va, azaz ha Az előbbiek alapjá M { } c) si ha si si Viszot cos, tehát egelőség csak akkor lehet, { kπ } { } π k k Ugaekkor a cos egelőségek is teljesüli kell, Ebből pedig az { kπ k } eredméhez jutuk Ebből következik, hog { } { } k π k kπ k { }, mert k π lπ k π l, lk,, π \ k l, tehát M {} A természetes számok halmazába oldd meg a következő egeleteket! a) ; b)! +! +! + +! ; c) + ; d) ( + )( + 8) Megoldás a) Az em megoldás, tehát feltételezhetjük, hog Ebbe az esetbe + páros szám, tehát + + +, páros N Viszot 7 páratla, tehát ics megoldás b) Ha, akkor! k, k az S! +! + +! összeg utolsó számjegét em befolásolják az! utá következő tagok Viszot! (mod) (! -zel osztva -et ad maradékul) S (mod ) ;! (mod) S! +! (mod) ;! 6(mod) S 9(mod ) ;! (mod) S ( mod ) ; S k (mod ), k () Eg teljes égzet végződései a következők lehetek:,,,, 6, 9 () () és () alapjá csak vag lehet megoldás Ha!, tehát (,) megoldás Ha! +! +!, tehát (, ) is megoldás M {(, ), (, ) }

47 Függvéek és tulajdoságaik c) em megoldás és + * páratla, páratla szám 8l +, l alakú Továbbá sem megoldás, és > -re 8, tehát + 8-cal osztva ugaait ad maradékul, mit Megvizsgáljuk -ek a 8- cal való osztási maradékait k (mod8) + (mod8), k () k (mod8) (mod8) Mivel 8l + alakú és + (mod8), () alapjá k, tehát páros Ez azt jeleti, hog k, k és pithagorászi számhármast alkot, ebbe a sorredbe + m + k ( ) k l m k k m, N, ( m, ) és m (,), tehát az előző összefüggések alapjá k k, ahoa l, és, ahol l m l, ahoa következik, hog k m Mivel m és relatív prímek, következik, hog m vag páratla, és íg k m és k m > csak akkor teljesülhet, ha Ezek szerit k m, ahoa m k k k k Behelettesítve m-et a m összefüggésbe, kapjuk, hog, ahoa k Tehát egetle számpár elégíti ki az egeletet, és ez a (, ) számpár d) em megoldás Ha, akkor, tehát az (, ) pár megoldás Ha >, akkor, ( + ) és ( + 8) is osztható kell lege -mal, ami lehetetle, tehát ics több megoldás Tárgald a következő egeletek megoldását az a valós paraméter értékei szerit: a) ( a + ) + a ; b) ( a ) + a + Megoldás a) ( a + ) + a ( a)( ) a a ha a >, akkor loga, ha a, akkor ics megoldás ebbe az esetbe Összegezve, ha a >, akkor loga és, ha a, akkor b) ( a ) + a + (*) I eset Ha a, akkor + és log II eset Ha a a + <, akkor icse valós megoldás a a + < a + a 6> a (, ) (, + ) III eset Ha a, ± ( a + )( a) \ {} Ekkor és, a

48 6 Függvéek és tulajdoságaik Az és egeletekek csak akkor va valós megoldása, ha >, ± ( a + )( a) vag >, tehát kell vizsgáljuk a kifejezések előjelét, ha a a a, itervallumba va Ha a + ( a + )( a),), akkor <, tehát a em ad megoldást Ha a (, + a + a, akkor >, tehát a + ( a + )( a ) log Ezzel letárgaltuk az gököt a a + ( a + )( a ) Vizsgáljuk a > egelőtleséget Ha a a,, akkor a evező pozitív vag, a számláló egatív, tehát, vagis (, ) em megoldás Ha a, akkor >, tehát megoldás Ha a (, ], akkor >, tehát megoldás Ezzel mide esetet letárgaltuk Eredméeiket a következő táblázatba foglaltuk össze a A gökök (, ] Nics megoldás (,) (, ) log log log, (, ) Nics megoldás ( a + )( a) a ± ( a + )( a) a Megjegzés Ugaehhez az eredméhez jutuk, ha a (*) egelet gökeiek előjelét tárgaljuk a gökök kiszámítása élkül Oldd meg a következő egelőtleségeket! a) < 8 ; b) + ; + c) ; d) ( + ) ( ) + ; e) + ; f) < + ; g) ; h) ; + 6 > + i) + + ; j) ; + + <

49 Függvéek és tulajdoságaik 7 k) 7 > ; l) + ; m) ; ) + 7 < Megoldás a) < 8 < () < Az () (, ) átalakításál a függvé mootoitását haszáltuk b) Az egelőtleség ekvivales a következővel: (9 ) + (,) + c) + + ( ) d) ( + + ) ( + ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) A feti előjeltáblázat alapjá,, + e) + ( ) (mert >, R ), f) < + < + > ( + )( ) < ( + )( ) ( + )( ) Következik, hog (, ), ahoa (,log )

50 8 Függvéek és tulajdoságaik g) Lege Az előbbi egelőtleséget beszorozhatjuk -al, mert >, tehát + +,, + + >, tehát, log Az egelőtleség jobb oldalá álló kifejezés egatív, mert + < Ez alapjá + log, (, ) + + log h) Elosztjuk az egelőtleség midkét oldalát ( > ) -el, majd az jelölést haszáljuk A következik, hog ahoa 7 egelőtleséghez jutuk Mivel >, ,, tehát, + 6, lg 9 lg 6 lg 9 lg 6, tehát, + lg lg 7 lg lg i) + 6 > > > ( 6 ) 6( 6 ) > ( 6 )( 6) > log 6 log ( 6 6)

51 Függvéek és tulajdoságaik 9 A táblázat alapjá log 6, log 6 j) + + >, tehát az egelőtleség bal oldalá levő kifejezés midig értelmezett Ha + + < + < (, ) Ebbe az esetbe az ( ) + + < egelőtleség csak akkor teljesülhet, ha a kitevő pozitív, vagis >, tehát ics megoldás Ha + +, akkor ( + +, tehát az egelőtleség em teljesül Ha + + > (, ) (, + ), akkor ( ) + + < < Ez alapjá (, ) (, + ),), tehát (, ) k), em megoldás (, ) 7 (, ), Ebbe az esetbe > 7 7 < < 7 7,, tehát ics megoldás ebbe az esetbe Ha >, vagis, (,+ ), akkor 7 7,, + ) { } ( 7 > 7 >, tehát, 7 (,+ ) l) + + A bal oldalo szereplő függvé szigorúa csökkeő, tehát elégséges megkeresi azt az (, ) potot, ahol a grafikus képe metszi az függvé grafikus képét Ha >, akkor + <, míg ha, akkor + (,] 7 m) + 7 < 7 + < Az f :, f + függvé szigorúa kove, tehát az f egeletek csak két göke lehet: (,) és A koveitásból következik, hog ha, akkor f ( ) <, vagis (,) eseté teljesül az egelőtleség Másrészt < és > eseté f >, tehát a megoldáshalmaz M (,) ) f :, f + szigorúa övekvő, g :, g + szigorúa övekvő, tehát f + g : is szigorúa övekvő Íg az

52 Függvéek és tulajdoságaik f + g 6 egeletek csak eg göke lehet Ez a gök, és mide eseté f () + g () 6, tehát a megoldáshalmaz az [, ) itervallum 6 Oldd meg az alábbi egeletredszereket! + 8 a) ; b) ; c) ; 7 d) lg ; e) ; f) + ; 6 + g) ; h) >, ; i) ; j) ; k) ; z l),, z > ; m) + z >, z Megoldás a) Az egeletredszer a következőképpe alakítható: + 8 a + b 8, 7 a b 7 ahol a és b Ebből következik, hog a és b az a egelet gökei, tehát 7 vag a Íg vag, tehát b b 7 M { (, )},, b) Az egeletredszer a következő alakba is írható: lg + lg 9 lg 68 lg lg + lg + lg, lg + lg lg lg + lg lg + lg ez eg lieáris egeletredszer, amelek megoldásai 9 9 c) 9 8

53 Függvéek és tulajdoságaik d) 6 6 ± Ha, akkor 6 6, tehát ± em gök, mert ( ) em értelmezett Ha, akkor 6 ± em megoldás, mert em értelmezett Összegezve,, M,, Megjegzés < eseté, Z, tehát { ± } Mivel ez em megoldás feltételezhetjük, hog > Ebbe az esetbe az egelőségből következik az egelőség, tehát az előbbi megoldás heles Hasoló vizsgálat szükséges a c) pot teljes megoldásához is, mert az átalakításál a két oldal létezési tartomáa em azoos lg lg lg lg e) A létezési feltétel alapjá > és > lg ( lg lg ) lg lg lg lg + lg ( lg lg )( lg és, ) + ( + ) 6 f) ( + )( + ) 6 Ha, + + tehát megoldás Ha ±, em lehet, mert ( ), tehát ± eseté ( + ) 6 + ±6 6 Ha és ( 6 ) ( 6 ) ( + ) ( ), tehát A megoldások 9 és

54 Függvéek és tulajdoságaik 6 ( 6 ) + 6 eseté 6,, tehát és íg 6 ( 6 ) { } ics több megoldás, és M,,9,,,,, g) Ha, tehát (, ) megoldás Ha k, k és m, m Másrészt k em megoldás em megoldás mert értelmetle Ha { ±, }, akkor és íg ± A fetiek alapjá {(, ), } M,,, h) Az egeletredszerből következik, hog 9 Ha, akkor Ha 9, akkor 9 ( 9) lg( 9) 9lg Mivel >, oszthatuk -al, és íg az lg( 9 ) 9 lg egelethez jutuk Ebből következik, 9 9 hog 8l g lg9 és , tehát M (, ),, t t t t t t i) t t t t t ± t (az egeletek va eg egatív göke is de abból az eredeti egeletre em kapuk megoldást) + Ezt visszahelettesítve az első egeletbe, kapjuk, hog + + és 8 8, tehát M, j) A második egeletből log ( + ) Az f : R R, f () log( + ) ( függvé szigorúa övekvő g () f ) is szigorúa övekvő A h() függvé is szigorúa övekvő, tehát g + h szigorúa övekvő, és íg a g () + h (), tehát egeletek csak eg megoldása lehet megoldás, Ebből M {(,) } k) Ha, akkor 6 Ha, akkor Ha ±, akkor +6 {(, 6 ), (, ) } M,, 8,, 7 8,, tehát 7 8 7