3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)"

Átírás

1 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (

2 Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza

3 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát leképező projektív kamera A vetítési középpotjuk em esik egbe! Eg sztereo kamera-pár speciális em középpotos vetítést végez Az ile képpárokat sztereó képpárak evezzük. Az emberi látáshoz hasolóa3d rekostrukció állítható elő egszerű háromszögeléssel Stadard sztereó: azoos kamerák, a képsíkok eg síkba esek, és csak iráú eltolás va köztük Bal kép Jobb kép

4 4 Epipoláris geometria Geometriai kapcsolat a két kamera képe között A két kamera középpotot összekötő egees a bázis egees A bázis egees döféspotjai a képsíkoko az epipólusok C,C,, és X eg síkba esek: az X-hez tartozó epipoláris sík Képsíkok és az epipoláris sík metszetei az epipoláris egeesek

5 5 Epipoláris geometria Az epipoláris egeesek Az egik kamera vetítősugaráak képe a másik kamerába az és potokhoz tartozó epipoláris egeesek redre l és l. Az epipólusok A kamera középpotok képei az e és e epipólusok, ezek az epipoláris egeesek metszéspotjai

6 6 Epipoláris geometria Az epipoláris síkok és epipoláris egeesek helzete X- től függ Az epipoláris síkok közös metszete a bázis egees Az epipoláris egeesek képsíkbeli közös metszete az epipólus

7 7 Stadard sztereó kamerák esete Az epipólusok az tegel meté a végtelebe Epipoláris egeesek párhuzamosak és egbeesek a kép rasztersoraival

8 8 Epipoláris összefüggés C kamera középpot és képpot meghatároz eg vetítősugarat a 3D térbe, amiek a másik kamerába az l epipoláris egees lesz a képe (ugaazo az epipoláris síko vaak) Mivel az X 3D pot eze a vetítőegeese va X képe a másik kamerába ( ) az l epipoláris egeese lesz Vagis az epipoláris geometriai kapcsolat megad eg l leképezést, ami az egik kamera képpotjához a eki megfelelő l epipoláris egeest redeli

9 9 Fudametális mátri Az l leképezést algebrailag a fudametális mátri adja meg: l =F Az F fudametális mátri 33 méretű, de ragja (pot képe egees), tehát em ivertálható Szabadsági foka 7 (homogeitás és a kettes rag miatt: 9-=7) Ha C=C F=0! Csak két külöböző ézőpotra működik Mi az összefüggés eg (P,P ) sztereó kamerapár két egmásak megfelelő, potpárja között? Mivel az l egeese va: T l =0 másrészt l =F, tehát valamei potpárra teljesül: ' T F Fordított irába a (P,P) sztereó kamerapár fudametális mátria a traszpoált mátri lesz: F T 0

10 0 A Fudametális mátri kiszámítása Mide i i potmegfeleltetésre teljesül: Eg potpárra eg egeletet kapuk: ' T F 0 ' f ' f ' f3 ' f ' f ' f3 f 3 f 3 f33 0 Szétválasztva az ismeretlet az adattól: T ', ', ', ', ', ',,, f, f, f, f, f, f, f, f, f 0 adat (ismert pot koordiáták) ismeretle (F elemei) Az összes potpárra felírva lieáris egeletredszert kapuk: ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Af 0 f 0

11 Há pot megfeleltetés szükséges? Ha A ragja 8 f eg skálafaktor erejéig meghatározható ehhez 8 pot megfeleltetés szükséges Ha A ragja > 8 Túlhatározott egeletredszer LSE megoldása: Af miimalizálása f = feltétellel (A SVD felbotásával) Legalább 8 pot megfeleltetés szükséges Azoba F szabadsági foka 7 rak A = 7 elvileg még elegedő megoldható 7 pot megfeleltetésből is, de umerikusa ehézkes (emlieáris egeletet kapuk) F szigularitását is fel kell haszáli a megoldáshoz. Bárhoga is számoljuk ki F-t, a ragja kell lege Ellekező esetbe F em fudametális mátri Af 0

12 F ragja F szigularitása fotos Eélkül az epipoláris egeesek em fogják eg potba metszei egmást! Ha rak F Ha rak F=

13 3 F ragja F kettes ragból eredő tulajdoságai: e' T F 0 0 F az Af=0 egeletredszer algebrai megoldása, ragja lehet >. SVD felbotással kapjuk: F Fe detf 0 rak F σ σ Keressük azt az F kettes ragú mátriot, amire: 3 V T U σ Megkapjuk, ha F legkisebb sziguláris értékét ullázzuk: F' σ U σ U σ V 0 T U σ V T V T U σ U V σ T mi V T U σ 3 3 F- F' V T 3 F

14 Normalizált 8 potos algoritmus Lieáris túlhatározott egeletredszer LSE megoldás A SVD felbotásával 8 egeletük va, de általába rak A = 9 zajos (tehát valós) adato Pot koordiáták ormalizálása kritikus, külöbe LSE em ad stabil megoldást! f f f f f f f f f

15 5 Normalizálás/deormalizálása Traszformáljuk a potokat a [-,][-,] égzetbe (0,500) (700,500) (-,) (0,0) (,) (0,0) (700,0) Adott >=8 pot megfeleltetés (-,-) (,-). Normalizálás T és T mátriokkal: T ad T. Oldjuk meg F -re a) F = a legkisebb sziguláris értékhez tartozó sziguláris vektor A SVD felbotásába. b) SVD(F ) F a kettes rag készerítése 3. Deormalizálás: F=T T F T

16 6 Epipólusok meghatározása Mivel az epipólus valamei epipoláris egeese rajta va: ' F 0 Fe 0 T Iput: Fudametális mátri F F SVD felbotásával kapjuk: ' T Fe 0 T F UDV Az e epipólus a V ulla sziguláris értékek megfelelő oszlopvektora lesz Az e epipólus pedig az U ulla sziguláris értékek megfelelő oszlopvektora lesz

17 7 Fudametális mátri összefoglaló F egértelműe meghatározott 3X3 rag mátri, bármel -re teljesül: T F=0. Traszpoált: ha F a (P,P ) fudametális mátria, akkor F T a (P,P) fudametális mátria. Epipoláris egeesek: l =F & l=f T 3. Epipólusok: mide epipoláris egeese rajta va : e T F=0, e T F=0, hasolóa Fe=0 4. F szabadsági foka 7: 3X3 - (homogé) -(rag ) 5. F eg pot projektív leképezése eg l =F egeesre (em ivertálható) 6. F ivariás eg midkét kamerára ható projektív traszformációra (PH, P H) ak ugaaz az F mátria, mit (P, P )-ek bármel teljes ragú H projekcióra (homográfia) tehát F a P kamerát méri a P -höz képest, függetleül attól, hog hová tesszük őket.

18 8 Esszeciális mátri Ha a K kalibrációs mátri ismert: iverzével szorozva a képpotokat ormalizált koordiátákat kapuk =K - =[R t]x iverzével szorozva a kamera mátriot megkapjuk a ormalizált kamera mátriot K - P=[R t] Tekitsük most eg ormalizált kamera párt: P=[I 0] és P =[R t]. A kamera párak megfelelő fudametális mátriot Esszeciális mátriak evezzük: E=[t] R=R[R T t] Továbbra is teljesül: T E=0 E és F közötti kapcsolat: E K' T FK

19 9 Esszeciális mátri 5 szabadsági fok (3 forgatás: R és eltolás: t) SVD felbotás tulajdoságai: Első két sziguláris érték egelő A harmadik 0 Mivel E eg skálafaktor erejéig meghatározott, írhatjuk: E=Udiag(,,0)V T Meghatározhatjuk a P, P kamera mátriokat eg skálafaktor megoldás erejéig, ég lehetséges

20 0 4 lehetséges megoldás Csak eg esetbe leszek a potok midkét kamera látóterébe

21 Felhaszált aagok Davi Geiger: Computer Visio 00 course

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

Kétváltozós függvények

Kétváltozós függvények Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6

Részletesebben

Kétváltozós függvények

Kétváltozós függvények Kétváltozós üggvéek Tartalomjegzék Többváltozós üggvéek... Kétváltozós üggvéek... Nevezetes elületek... 3 Forgáselületek... 3 Kétváltozós üggvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós üggvéek... 6 A parciális

Részletesebben

2. Omnidirekcionális kamera

2. Omnidirekcionális kamera 2. Omnidirekcionális kamera Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 2 Omnidirekcionális kamerák típusai Omnidirekcionális, körbelátó,

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg

Részletesebben

Panorámakép készítése

Panorámakép készítése Panorámakép készítése Képregisztráció, 2009. Hantos Norbert Blaskovics Viktor Összefoglalás Panoráma (image stitching, planar mosaicing): átfedő képek összeillesztése Lépések: Előfeldolgozás (pl. intenzitáskorrekciók)

Részletesebben

1. Sajátérték és sajátvektor

1. Sajátérték és sajátvektor 1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

5. 3D rekonstrukció. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

5. 3D rekonstrukció. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 5. 3D rekonstrukció Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 2 PASSZÍV SZTEREÓ 3 Passzív sztereó 3D rekonstrukció egy sztereó kamera

Részletesebben

Máté: Számítógépes grafika alapjai

Máté: Számítógépes grafika alapjai VETÍTÉSEK Vetítések fajtái / Trasformációk amelek -imeiós objektumokat kisebb imeiós terekbe visek át. Pl. 3D 2D Vetítés köéotja ersektívikus A A B Vetítési B Vetítés köéotja a végtelebe árhuamos A A B

Részletesebben

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg.

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHNIK - STTIK LKLMZTT MECHNIK TNSZÉK Elmélet kérdések és válaszok egetem alapképzésbe (Sc képzésbe) résztvevő mérökhallgatók számára () Mle esetbe beszélük tartós ugalomról?

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

OPTIKA. Vastag lencsék képalkotása lencserendszerek. Dr. Seres István

OPTIKA. Vastag lencsék képalkotása lencserendszerek. Dr. Seres István OPTIKA Vastag lecsék képalkotása lecsereszerek Dr. Seres Istvá OPTIKA mechatroika szak. átrix optika Paraxiális sugármeet (

Részletesebben

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8. . feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk

Részletesebben

OPTIKA. Vastag lencsék képalkotása lencserendszerek. Dr. Seres István

OPTIKA. Vastag lencsék képalkotása lencserendszerek. Dr. Seres István OPTIKA Vastag lecsék képalkotása lecsereszerek Dr. Seres Istvá OPTIKA mechatroika szak. átrix optika Paraxiális sugármeet (

Részletesebben

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k. 8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Mechanika I. Statika

Mechanika I. Statika echaika I. Statika Zalka Károl 3 q 0 3 7 6 3 5 4 4 5 8 7 6 C 9 udapest, 06 Zalka Károl, 983-06, e-kiadás Szabad ezt a kiadvát sokszorosítai, terjesztei és elektroikus vag bármel formába tároli. Tilos viszot

Részletesebben

Számítógépes látás alapjai

Számítógépes látás alapjai Számítógépes látás alapjai Csetverikov Dmitrij, Hajder Levente Eötvös Lóránd Egyetem, Informatikai Kar Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 1 / 44 Többkamerás 3D-s rekonstrukció

Részletesebben

Számítógépes látás. Kató Zoltán, Czúni László. 2011. május 2. 0:15

Számítógépes látás. Kató Zoltán, Czúni László. 2011. május 2. 0:15 Számítógépes látás Kató Zoltán, Czúni László 2011. május 2. 0:15 2 Tartalomjegyzék I. Statikus látás 7 1. A projektív kamera 11 1.1. A lyukkamera.............................. 11 1.1.1. A kamera koordináta

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

Regresszió számítás. Mérnöki létesítmények ellenőrzése, terveknek megfelelése. Geodéziai mérések pontok helyzete, pontszerű információ

Regresszió számítás. Mérnöki létesítmények ellenőrzése, terveknek megfelelése. Geodéziai mérések pontok helyzete, pontszerű információ Regresszó számítás Mérök létesítméek elleőrzése, terekek megfelelése Deformácózsgálat Geodéza mérések potok helzete, potszerű formácó Leárs regresszó Regresszós sík Regresszós göre Legkse égzetek módszere

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

8. Pontmegfeleltetések

8. Pontmegfeleltetések 8. Pontmegfeleltetések Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 2 Példa: panoráma kép készítés 1. Jellemzőpontok detektálása mindkét

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció 3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció 15. Digitális Alakzatrekonstrukció Méréstechnológia, Ponthalmazok regisztrációja http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiima01

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET FIZIKA BSc, III. évolam /. élév, Optika tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8.) AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek hullámegelet: E( r, t) E ( r, t) µ µ rε ε

Részletesebben

Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1

Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1 Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.

Részletesebben

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854):  ' #$ * $ ( ' $*  ' #µ Emlékeztető: az -dimeziós sokaság görbültségét kifejező meyiség a Riema-tezor (Riema, 1854: ' ( ' $ ' #µ $ µ# ahol a ú. koexiós koefficiesek (vagy Christoffel-szimbólumok a metrikus tezor g # x $ kompoeseiből

Részletesebben

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ 16..8. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ (MÁTRIX) SAJÁTÉRTÉKE, SAJÁTVEKTORA BSc. Maemaika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ Egy A: R R függvéy lieáris raszformációak evezük, ha eljesülek az alábbi

Részletesebben

MA1143v A. csoport Név: december 4. Gyak.vez:. Gyak. kódja: Neptun kód:.

MA1143v A. csoport Név: december 4. Gyak.vez:. Gyak. kódja: Neptun kód:. MAv A. csoport Név:... Tekintsük az alábbi mátriot! A 7 a Invertálható-e az A mátri? Ha igen akkor bázistranszformációval határozza meg az inverzét! Ellenőrizze számításait! b Milyen egyéb mátritulajdonságokra

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

HÁROMDIMENZIÓS SZÁMÍTÓGÉPES LÁTÁS HAJDER LEVENTE

HÁROMDIMENZIÓS SZÁMÍTÓGÉPES LÁTÁS HAJDER LEVENTE HÁROMDIMENZIÓS SZÁMÍTÓGÉPES LÁTÁS HAJDER LEVENTE BEMUTATKOZÁS Hajder Levente (1975-?) Tanulmányok: BME első kísérlet 1993-1995 Kandó Kálmán Műszaki Főiskola (Ma: Óbudai Egyetem) 1995-1998 BME második,

Részletesebben

Bevezetés. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

Bevezetés. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) Bevezetés Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 2 Digitális képfeldolgozás digitális képfeldolgozás számítógépes grafika digitális

Részletesebben

Többnézetes geometria

Többnézetes geometria Vizuális helymeghatározás Többnézetes geometria Plósz Sándor 1 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Távközlési és Médiainformatikai Tanszék 2015 Plósz Sándor (BME TMIT) Navigációs szolgáltatások

Részletesebben

A hatványozás első inverz művelete, az n-edik gyökvonás.

A hatványozás első inverz művelete, az n-edik gyökvonás. Ismétlés: Htváozás egész kitevő eseté A htváozás iverz műveletei. (Htvá, gök, logritmus) De.: :... Ol téezős szorzt, melek mide téezője. : htvál : kitevő : htváérték A htváozás zoossági egész kitevő eseté:

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Rugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása II. rész

Rugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása II. rész Rugalas egtáasztású erev test táaszreakióiak eghatározása rész Bevezetés A ele részbe eg ola feladatot vetük fel és olduk eg, ael az részbe vizsgált feladat általáosításáak tekithető Aíg ott a táasztó

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot 5 modul: Silárdságtai Állapotok 53 lck: A fsültségi állapot A lck célja: A taaag flhasálója mgismrj a fsültségi állapot fogalmait valamit mg tudja határoi g lmi pot körték fsültségi állapotát Kövtlmék:

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Számítógépi geometria. Kovács Zoltán

Számítógépi geometria. Kovács Zoltán Számítógépi geometria Kovács Zoltá Lektorálta: Dr. Verhóczki László (ELTE) A taayagfejlesztés az Európai Uió támogatásával és az Európai Szociális Alap társfiaszírozásával a TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0046

Részletesebben

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik. Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Számítógépes Grafika SZIE YMÉK

Számítógépes Grafika SZIE YMÉK Számítógépes Grafika SZIE YMÉK Analóg - digitális Analóg: a jel értelmezési tartománya (idő), és az értékkészletes is folytonos (pl. hang, fény) Diszkrét idejű: az értelmezési tartomány diszkrét (pl. a

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..

Részletesebben

OPTIKA. Vastag lencsék képalkotása lencserendszerek. Dr. Seres István

OPTIKA. Vastag lencsék képalkotása lencserendszerek. Dr. Seres István OPTIKA Vastag lecsék képalkotása lecseeszeek D. Sees Istvá OPTIKA mechatoika szak. átix optika Paaxiális sugámeet (

Részletesebben

Minta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

Minta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe

Részletesebben

Előadó. Bevezetés az informatikába. Cél. Ajánlott irodalom. Előismeretek? Felmentés? Dudásné Nagy Marianna. csütörtök Bolyai terem

Előadó. Bevezetés az informatikába. Cél. Ajánlott irodalom. Előismeretek? Felmentés? Dudásné Nagy Marianna. csütörtök Bolyai terem Előadó Bevezetés az iformatikába csütörtök 16-18 Bolyai terem Dudásé Nagy Mariaa TTK Iformatikai Taszékcsoport (Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Taszék) Árpád tér 2. 216. szoba Fogadó óra: szerda

Részletesebben

8. Előadás. 1) Üveg félhenger

8. Előadás. 1) Üveg félhenger 8. Előadás Kompe kidolgozott problémák ) Üveg élheger P: Készítsük egy élheger alakú, törésmutatójú testet. Egyik alapja ézze elék! Sugara legye R 5 mm! A sík elületére bocsájtsuk 45 -os szögbe sugarakat

Részletesebben

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k

Részletesebben

7. Sarokpontok detektálása

7. Sarokpontok detektálása 7. Sarokpontok detektálása Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/ 2 Jellemzők és megfeleltetésük A képfeldolgozás számítógépes látás

Részletesebben

KOMPUTERGRAFIKAI ALAPOK

KOMPUTERGRAFIKAI ALAPOK Scharcz Tbor KOMPUTERGRAFIKAI ALAPOK Dgtáls Flmtechka szakráú toábbképzés szak részére Tartalom Beezetés... 3 2 Leképezések és etítő modellek... 4 2. Homogé koordáták... 4 2.2 Cetráls etítés.... 5 2.3

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 016.11.10 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február osztály -- I. forduló

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február osztály -- I. forduló Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

A 3D-2D leképezés alatt melyek maradnak robusztus képjellemzők?

A 3D-2D leképezés alatt melyek maradnak robusztus képjellemzők? A 3D-2D leképezés alatt melyek maradnak robusztus képjellemzők? Vagyis mely képjellemzőket érdemes a vetületképekből kihámozni? Az attól függ Térbeli viszonyok egyenes méret párh. / szög alak síkok helyzete

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika

Részletesebben

Lineáris kódok. sorvektor. W q az n dimenziós s altere. 3. tétel. t tel. Legyen K [n,k,d] kód k d (k 1). Ekkor d(k)=w(k)

Lineáris kódok. sorvektor. W q az n dimenziós s altere. 3. tétel. t tel. Legyen K [n,k,d] kód k d (k 1). Ekkor d(k)=w(k) Defiíci ció. Legye S=F q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. r. K lieáris kód, k ha K az S k-dimeziós s altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor. W

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus

Részletesebben

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!! 4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe

Részletesebben

Számítógépes látás alapjai

Számítógépes látás alapjai Számítógépes látás alapjai Csetverikov Dmitrij, Hajder Levente Eötvös Lóránd Egyetem, Informatikai Kar Csetverikov, Hajder (ELTE Informatikai Kar) Számítógépes látás 1 / 23 Rekonstrukció speciális hardverekkel

Részletesebben

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás 3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás 15. Digitális Alakzatrekonstrukció Méréstechnológia, Ponthalmazok regisztrációja http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiiav54

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben