Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Átírás

1 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások a Re, Im b Re, Im c Rez, Imz 0 d Rez 0, Imz 1 e Rez 5 0, Imz 5 f Rez 1, Imz 0 Ábrázoljuk a komplex számsíko az alábbi komplex számokat a b c z i d z i e z 5 + i f z i Ábrázoljuk a komplex számsíko az alábbi halmazokat a A {z C Rez 1} b B {z C Imz > 0} c C {z C z 1} d D {z C z 1} 1

2 A C halmaz elemei azo komplex számok, melyek abszolút értéke kisebb vagy egyel, mit 1, azaz azok a komplex számok, melyekek az origótól való távolsága em agyobb, mit 1 Ezek a potok az egység sugarú, origó középpotú körö és aak belsejébe helyezkedek el A D halmaz elemei pedig éppe a kör és a rajta kívül es potok: Tekitsük a + i és a i komplex számokat! Határozzuk meg a a + e z1 f z i Im 1 b g j c k z1 z1 d h Re l z komplex számokat! a Két algebrai alakú komplex számot úgy aduk össze, hogy a valós részt a valós résszel, a képzetes részt a képzetes résszel összegezzük: + + i + i 5 i

3 b Két algebrai alakú komplex számot úgy szorzuk össze, hogy mide tagot szorzuk mide taggal + i i 8i + 9i 1i + i i c Az a + bi komplex szám kojugáltja az a bi komplex szám: i A kojugálás geometriai jeletése a valós tegelyre való tükrözés d + i e Egy komplex szám hossza a valós részéek és képzetes részéek a égyzetösszege f Két algebrai alakú komplex számot úgy osztuk el egymással, hogy b vítjük a törtet a evez kojugáltjával Ezutá tört törttel való szorzását kapjuk, melyet úgy végzük el, hogy a számlálót szorozzuk a számlálóval, a evez t a evez vel: g h Re i Im z1 z1 + i i + i i + i + i + 8i + 9i + 1i 9 1i i + i i + i i i i 9i + 1i 9i + i + i i + i + 17i i 5 i i + i i 17i i i i j i i + + i i + + i k Felhaszálva, hogy a + b a + ab + b : 1 + i + 1i + 9i + 1i i l i 9 i + 1i 9 i 1 7 i 5 Meyi ha k egész szám? i 0 ; i 1 ; i ; i ; i ; i 100 ; i 101 ; i 10 ; i 10 ; i 10 i k ; i k+1 ; i k+ ; i k+, i 0 : 1; i 1 i; i 1; i i i i; i i

4 i 100 i ; i 101 i 100 i 1 i i i 10 i 100 i 1 1 1; i 10 i 100 i i; i 10 i 100 i 1 Tapasztalatuk a következ : Ha i hatváykitev je -gyel osztható, akkor a hatváy értéke 1; ha -gyel osztva 1 maradékot ad, akkor a hatváy értéke i; ha maradékot ad, akkor 1; ha maradékot ad, akkor i Tehát: i k 1; i k+1 i; i k+ 1; i k+ i Írjuk föl a z i komplex szám trigoometrikus alakját! megoldás A z a + bi komplex szám trigoometrikus alakja z rcos ϕ ϕ, ahol r a komplex szám hossza/abszolútértéke, ϕ a komplex szám argumetuma, azaz a valós tegellyel bezárt szöge Jele esetbe a komplex számuk valós része Rez, képzetes része Imz Így a komplex szám hossza r + 8, továbbá az argumetumra feáll a tgϕ b a 1 egyelet, amib l ϕ 1 π vagy ϕ π + π Az ábrázolás utá világos, hogy a megfelel szög ϕ Így a komplex szám trigoometrikus alakja z 8 cos

5 5 7 Számoljuk ki a z + i komplex szám harmadik gyökeit! Mide komplex számak darab -edik gyöke va Ezek w k ϕ + kπ ϕ + kπ r cos k 0,, 1 alakba állak el Jele esetbe harmadik gyököt szereték voi, azaz, így három megoldás lesz A komplex szám hossza r + 1, argumetuma ϕ π π Behelyettesítve a feti képletbe w 0 cos + 0π + 0π w 1 cos + 1π + 1π w cos + π + π cos cos 17π 17π cos 9π 9π 8 Oldjuk meg a komplex számok halmazá a z i 0 egyeletet! Kifejezzük z-t az egyeletb l z 1 i Így a 1 i komplex szám -adik gyökeit kell meghatározi Mide komplex számak darab -edik gyöke va, így darab harmadik gyök va Ezek w k r cos ϕ + kπ ϕ + kπ, k 0,, 1 alakba állak el Jele esetbe, r, ϕ, k 0, 1, Így az egyelet megoldásai w 0 cos + 0 π + 0 π cos 1 1 w 1 cos + 1 π + 1 π cos 1π 1π 1 1 w cos + π + π cos 1π 1π 1 1

6 9 Határozzuk meg és ábrázoljuk a egyedik egységgyököket! Az -edik egységgyökök a komplex szám -edik gyökei Így a egyedik egységgyökök az 1 komplex szám egyedik gyökei Ezek w k r cos ϕ + kπ ϕ + kπ k 0,, 1 alakba állak el Jele esetbe, r 1, ϕ 0, k 0, 1,, Így a egyedik egységgyökök w 0 1 cos π π cos w 1 1 cos π π cos π π i w 1 cos 0 + π 0 + π cos π π 1 w 1 cos 0 + π 0 + π cos π π i Ábrázolva a kapott komplex számokat a Gauss féle komplex számsíko azt vehetjük észre, hogy a egyedik egységgyökök égyoldalú szabályos sokszög csúcsaiba helyezkedek el Általáosa igaz, hogy az -edik egységgyökök oldalú szabályos sokszög csúcsaiba helyezkedek el 10 Oldjuk meg a komplex számok halmazá a + z + 0 másodfokú egyeletet! Felírva a másodfokú egyelet megoldóképletét, ± 8 ± ± i 1 ± i

7 7 11 Írjuk át a + i komplex számot Euler-féle alakba! A z 1 + i i komplex szám hossza z másrészt z argumetuma ϕ π/ Így az Euler-féle alak z e i π 1 Tekitsük a 1 + i és cos π π komplex számokat! Határozzuk meg a,, és z1 10 komplex számokat! Els lépésbe írjuk föl a komplex szám trigoometrikus alakját: cos π π Trigoometrikus alakú komplex számokat úgy szorzuk össze, hogy az abszolút értéküket összeszorozzuk, az argumetumokat összeadjuk: π cos + π π + π cos 7π 7π 1 1 Trigoometrikus alakú komplex számokat úgy osztuk el, hogy az abszolút értéküket elosztjuk, az argumetumokat kivojuk: π cos π π π cos π 1 π, 1 π cos π π π cos π 1 π 1 cos π π 1 1 Trigoometrikus alakú komplex számokat úgy hatváyozuk, hogy az abszolút értéküket hatváyozzuk, az argumetumokat szorozzuk a kitev vel: z cos 10π 10π cos π π i