Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
|
|
- Dániel Miklós Nemes
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 017. ősz
2 Komplex számok ábrázolása Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz. A komplex számok a komplex számsíkon: Im(z) z = a + bi= r(cos ϕ + i sin ϕ) r ϕ Re(z) Ha z = a + bi C, ahol a, b R, akkor Re(z) = a, Im(z) = b. A (Re(z), Im(z)) vektor hossza: r = a + b = z. A z nemnulla szám argumentuma ϕ = arg(z) [0, π) A koordináták trigonometrikus függvényekkel kifejezve: Re(z) = a = r cos ϕ, Im(z) = b = r sin ϕ
3 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 3. Komplex számok trigonometrikus alakja Definíció z C nemnulla szám trigonometrikus alakja a z = r(cos ϕ + i sin ϕ), ahol r > 0 a szám abszolút értéke. Figyelem! A 0-nak nem használjuk a trigonometrikus alakját. A trigonometrikus alak nem egyértelmű: r(cos ϕ + i sin ϕ) = r(cos(ϕ + π) + i sin(ϕ + π)). Definíció Egy nemnulla z C argumentuma az a ϕ = arg(z) [0, π), melyre z = z (cos ϕ + i sin ϕ). z = a + bi algebrai alak; z = r(cos ϕ + i sin ϕ) trigonometrikus alak. Itt a = r cos ϕ, b = r sin ϕ.
4 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 4. Áttérés algebrai alakról trigonometrikus alakra a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ) a = r cos ϕ b = r sin ϕ Ha a 0, akkor tgϕ = b a, és így arctg b a, ha a > 0; ϕ = arctg b a + π, ha a < 0. }
5 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 5. Számolás trigonometrikus alakkal Legyenek z, w C nemnulla komplex számok: z = z (cos ϕ + i sin ϕ), w = w (cos ψ + i sin ψ) A szorzatuk: zw = z (cos ϕ + i sin ϕ) w (cos ψ + i sin ψ) = = z w (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ + i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ)) = addíciós képletek: cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ sin(ϕ + ψ) = cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)) A szorzat abszolút értéke: zw = z w. A szorzat argumentuma: ha 0 arg(z) + arg(w) < π, akkor arg(zw) = arg(z) + arg(w); ha π arg(z) + arg(w) < 4π, akkor arg(zw) = arg(z) + arg(w) π. A sin, cos függvények π szerint periodikusak, az argumentum meghatározásánál redukálni kell az argumentumok összegét.
6 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 6. Moivre-azonosságok Tétel HF Legyenek z, w C nemnulla komplex számok: z = z (cos ϕ + i sin ϕ), w = w (cos ψ + i sin ψ), és legyen n N. Ekkor zw = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)); z w = z w (cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ)), ha w 0; z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ). A szögek összeadódnak, kivonódnak, szorzódnak. Az argumentumot ezek után redukcióval kapjuk! Geometriai jelentés Egy z C komplex számmal való szorzás a komplex számsíkon mint nyújtva-forgatás hat. z -vel nyújt, arg(z) szöggel forgat.
7 Komplex számok gyökei Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 7. Példa ( ) 8-t: 1+i Számoljuk ki ( ) 8 ( ) 8 ( 1+i = i = cos π 4 + i sin ) π 8 4 = = cos ( 8 π 4 ) + i sin ( 8 π 4 ) = cos π + i sin π = 1 További komplex számok, melyeknek a 8-adik hatványa 1: 1; 1; i : i 8 = (i ) 4 = ( 1) 4 = 1; i; 1+i ; 1+i ; sőt: ±i 1+i : ( i 1+i ) 8 = i 8 ( 1+i ) 8 = 1 1 = 1.
8 Gyökvonás Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 8. A z = z (cos ϕ + i sin ϕ) és w = w (cos ψ + i sin ψ) trigonometrikus alakban megadott komplex számok pontosan akkor egyenlőek: z (cos ϕ + i sin ϕ) = w (cos ψ + i sin ψ), ha z = w ϕ = ψ + k π valamely k Z szám esetén. n-edik gyökvonás: Legyen z n = w: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) = w (cos ψ + i sin ψ). Ekkor z n = w z = n w nϕ = ψ + k π valamely k Z esetén, vagyis: ϕ = ψ n + k π n valamely k Z esetén. Ha k {0, 1,..., n 1}, akkor ezek mind különböző komplex számot adnak.
9 Gyökvonás Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 9. Tétel Legyen z = z (cos ϕ + i sin ϕ), n N. Ekkor a z n-edik gyökei azok a w-k, amikre w n = z: w = n ( ( ϕ z cos n + kπ ) ( ϕ + i sin n n + kπ )) n k = 0, 1,..., n 1.
10 Gyökvonás Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 10. w = n ( ( ϕ z cos n + kπ ) ( ϕ + i sin n n + kπ )) : k = 0, 1,..., n 1. n Példa Számítsuk ki a 6 1 i 3+i értékét! 1 i = ( i ) = ( cos 7π 4 + i sin 7π 4 ( 3 ) 3 + i = + i 1 = ( cos π 6 + i sin ) π 6 Mivel 7π i π 6 = 19π 1, ezért: 3+i = 6 1 ( cos 19π 19π 1 + i sin 1 ( cos 19π+4kπ 7 + i sin 19π+4kπ 7 = 1 1 ) ) = ) : k = 0, 1,..., 5.
11 Komplex egységgyökök Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 11. Definíció Az ε n = 1 feltételnek eleget tevő komplex számok az n-edik egységgyökök: ( ε k = ε (n) k = cos kπ n + i sin kπ ) : k = 0, 1,..., n 1. n Nyolcadik komplex egységgyökök ε ε 3 ε 1 ε 4 ε 0 = 1 ε 5 ε 7 ε 6
12 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Gyökvonás Pozitív valós számok négyzetgyöke: legyen r > 0 valós szám, ekkor az x = r megoldásai: ± r. Tétel Legyen z C nemnulla komplex szám. n N és w C olyan, hogy w n = z. Ekkor z n-edik gyökei feĺırhatóak a következő alakban: wε k : k = 0, 1,... n 1. Bizonyítás A wε k számok mind n-edik gyökök: (wε k ) n = w n ε n k = z 1 = z. Ez n különböző szám, így az összes gyököt megkaptuk.
13 Rend Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 13. Bizonyos komplex számok hatványai periodikusan ismétlődnek: 1, 1, 1,... 1, 1, 1, 1,... i, 1, i, 1, i, 1,... 1+i, i, 1+i, 1, 1 i, i, 1 i, 1, 1+i, i,... Általában: cos( π n ) + i sin( π n )-nek n darab különböző hatványa van. Definíció Egy z komplex szám különböző (egész kitevős) hatványainak számát a z rendjének nevezzük és o(z)-vel jelöljük. Példa 1 rendje 1; rendje :, 4, 8, 16,... ; 1 rendje : 1, 1; i rendje 4: 1, i, 1, i.
14 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 14. Rend Tétel Egy z komplex számnak vagy bármely két egész kitevős hatványa különböző (ilyenkor a rendje végtelen), vagy pedig a hatványok a rend szerint periodikusan ismétlődnek. A rend a legkisebb olyan pozitív d szám, melyre z d = 1. Továbbá z k = z l o(z) k l. Speciálisan z k = 1 o(z) k. Bizonyítás NB. Talán később...
15 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 15. Primitív gyökök Az n-edik egységgyökök rendje nem feltétlenül n: 4-edik egységgyökök: 1, i, 1, i. 1 rendje 1; 1 rendje ; i rendje 4. Definíció Az n-ed rendű n-edik egységgyökök a primitív n-edik egységgyökök. A tétel következményei: Következmény Egy primitív n-edik egységgyök hatványai pontosan az n-edik egységgyökök. Egy primitív n-edik egységgyök pontosan akkor k-adik egységgyök, ha n k.
16 Primitív egységgyökök Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 16. Példa Primitív 1. egységgyök: 1; Primitív. egységgyök: 1; Primitív 3. egységgyökök: 1±i 3 ; Primitív 4. egységgyökök: ±i; Primitív 5. egységgyökök:... (HF) Primitív 6. egységgyökök: 1±i 3. Álĺıtás(NB.) Egy cos ( ) ( kπ n + i sin kπ ) n n-edik egységgyök pontosan akkor primitív n-edik egységgyök, ha (n, k) = 1.
17 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 17. Matematikai logika A logika a helyes következtetés tudománya. Alkalmazási területek: matematika; informatika; mesterséges intelligencia;... Példa Minden bogár rovar. tagadás: Van olyan bogár, ami nem rovar. Esik az eső, de meleg van, bár a nap is elbújt, és az idő is későre jár. tagadás:?
18 Axiomatikus módszer Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 18. A tudományok a valóság egy részének modellezésével foglalkoznak. Axiomatikus módszer: közismert, nem definiált fogalmakból (alapfogalmakból) és bizonyos feltevésekből (axiómákból) a logika szabályai szerint milyen következtetéseket vonunk le (milyen tételeket bizonyítunk). Példa Euklidészi geometria Alapfogalmak Axiómák pont, egyenes, párhuzamossági axióma, sík. Az axiomatikus módszer előnye: elég ellenőrizni az axiómák teljesülését....
19 Predikátumok Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 19. Definíció Predikátum: olyan változóktól függő definiálatlan alapfogalom, amelyhez a változóik értékétől függően valamilyen igazságérték tartozik: igaz (I, ), hamis (H, ), és a kettő egyidejűleg nem teljesül. Példa M(): Minden jogász hazudik. 0-változós, értéke: I. Sz(x): x egy szám. 1-változós, értéke: Sz(1)=I, SZ(h)=H. E(x): x egy egyenes. 1-változós. P(x): x egy pont. 1-változós. I (x, y): x illeszkedik y-ra. -változós. F (x, y): x az y férje. -változós. Gy(x, y, z): x az y és z gyermeke. 3-változós.
20 Logikai jelek Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 0. A predikátumokat logikai jelekkel tudjuk összekötni: Tagadás, jele: A. És, jele: A B. Vagy, (megengedő), jele: A B. Ha..., akkor... (implikáció), jele: A B. Ekvivalencia, jele: A B. Igazságtáblázat A B A A B A B A B A B I I H I I I I I H H H I H H H I I H I I H H H I H H I I
21 Logikai jelek Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. A köznyelvben a vagy háromféle értelemmel bírhat: Megengedő vagy Átok reá ki gyávaságból vagy lomhaságból elmarad,... A B I H I I I H I H Kizáró vagy: Vagy bolondok vagyunk és elveszünk egy szálig, vagy ez a mi hitünk valóságra válik. A B I H I H I H I H Összeférhetetlen vagy: Iszik vagy vezet! A B I H I H I H I I
22 Logikai jelek Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz. Az implikáció (A B) csak logikai összefüggést jelent és nem okozatit! A B I H I I H H I I Példa = 4 i = 1 = 4 kedd van Hamis álĺıtásból minden következik: Példa = 5 i = Adott logikai jel, más módon is kifejezhető: (A B) ( A B)
23 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 3. A logikai műveletek tulajdonságai, ítéletlogikai tételek Álĺıtás 1 (A (B C)) ((A B) C), (A (B C)) ((A B) C) (asszociativitás); (A B) (B A), (A B) (B A) (kommutativitás); 3 (A (B C)) ((A B) (A C)), (A (B C)) ((A B) (A C)) (disztributivitás); 4 ( (A B)) ( A B), ( (A B)) ( A B) (De Morgan); 5 (A B) ( B A) (a kontrapozíció tétele); 6 ((A B) A) B; 7 ((A B) (B C)) (A C) (szillogizmus); 8 ((A B) (B A)) (A B).
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Kombinatorika
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. középszint
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKalkulus. Komplex számok
Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az
RészletesebbenKomplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:
. Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten KOMPLEX SZÁMOK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Történeti bevezetés
Részletesebbenx = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2
Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Komplex számok StKis, EIC 2019-02-06 Wettl Ferenc
RészletesebbenKomplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
RészletesebbenBaran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 33
Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Komplex számok Baran Ágnes Matematika Mérnököknek 1. 2.-4. Gyakorlat 1 / 33 Feladatok 1. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán! Ábrázolja
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. A komplex számok definíciója
1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9
Komplex számok Wettl Ferenc 2010-09-10 Wettl Ferenc () Komplex számok 2010-09-10 1 / 9 Tartalom 1 Számok Egy kis történelem A megoldóképlet egy speciális esetre Lehet számolni negatív szám gyökével Műveletek
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenMatematikai logika és halmazelmélet
Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete
RészletesebbenBaran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 16
Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Komplex számok Baran Ágnes Matematika Mérnököknek 1. 1.-2. Gyakorlat 1 / 16 1. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán! Ábrázolja a megoldásokat
Részletesebben1. A komplex számok ábrázolása
1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23
Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14
Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális
Részletesebben1. A matematikai logika alapfogalmai. 2. A matematikai logika műveletei
1. A matematikai logika alapfogalmai Megjegyzések: a) A logikában az állítás (kijelentés), valamint annak igaz vagy hamis voltát alapfogalomnak tekintjük, nem definiáljuk. b) Minden állítással kapcsolatban
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)
2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenAnalízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenMATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2012
2012 2. Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), oszthatósággal kapcsolatos problémák, számrendszerek. 4. Hatványozás, hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok. Gyökvonás és azonosságai,
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenMikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom?
Definíciók, tételkimondások Mondjon legalább három példát predikátumra. Sorolja fel a logikai jeleket. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? Hogyan kapjuk a logikai formulákat? Mikor van egy változó egy
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
RészletesebbenWaldhauser Tamás szeptember 8.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. szeptember 8. Tematika Komplex számok, kanonikus és trigonometrikus alak. Moivre-képlet, gyökvonás, egységgyökök, egységgyök rendje, primitív egységgyökök.
RészletesebbenA matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
RészletesebbenMATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005
2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 11. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok, testek, komplex számok Kf81 2018-09-14
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKijelentéslogika, ítéletkalkulus
Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Kijelentés, ítélet: olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis Logikai értékek: igaz, hamis zürke I: 52-53, 61-62, 88, 95 Logikai műveletek
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenBruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné
Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK Példák és feladatok Szerkesztette Láng Csabáné Lektorálta Burcsi Péter c Bruder Györgyi és Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008-- javított kiadás Ez a példatár
RészletesebbenOsztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik
1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-
RészletesebbenKijelentéslogika, ítéletkalkulus
Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Arisztotelész (ie 4. sz) Leibniz (1646-1716) oole (1815-1864) Gödel (1906-1978) Neumann János (1903-1957) Kalmár László (1905-1976) Péter Rózsa (1905-1977) Kijelentés,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenLineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével
RészletesebbenBruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné
Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK Példák és feladatok Szerkesztette Láng Csabáné Lektorálta Burcsi Péter c Bruder Györgyi és Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008--6 javított kiadás Ez a példatár
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 9. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Halmazok Diszkrét
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMatematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)
Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény
RészletesebbenTrigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda
Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett
RészletesebbenWaldhauser Tamás szeptember 15.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. szeptember 15. Házi feladat a gyakorlatra 4. feladat. Ábrázolja a Gauss-féle számsíkon az alábbi számhalmazokat. { (a) z C: 0 arg (zi) < π } (b) {z
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenA matematika nyelvéről bevezetés
A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Diszkrét matematika I. gyakorlat 2. ZH 2014. november 28. A csoport 1. Feladat. (5 pont) Határozza meg a z 1 = 2 + 2i komplex szám trigonometrikus alakját, majd adja meg a z 1 z 2 és z 1 z 2 komplex számok
RészletesebbenAz osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom
Részletesebben