Diszkrét matematika 2. estis képzés

Átírás

1 Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék tavasz

2 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 2. Ciklikus csoportok Tétel Végtelen ciklikus csoport izomorf Z additív csoportjával, n elemű ciklikus csoport izomorf Z n additív csoportjával. Bizonyítás Legyen (G; ) ciklikus csoport e egységelemmel, G = g = {g n n Z}. Az f : Z G, f (n) = g n leképezés szürjektív (Miért?) és homomorfizmus is, hiszen: f (n + m) = g n+m = g n g m = f (n)f (m). Ha injektív is, akkor izomorfizmus, így (Z; +) = (G; ). Különben i, j Z, i > j : g i = g j, amiből g i j = e, vagyis van olyan m Z +, amire g m = e. Legyen d Z + a legkisebb ilyen. Ekkor e, g, g 2,..., g d 1 mind különbözőek (Miért?), és i j (d) esetén: g i = g j+kd = g j (g d ) k = g j e k = g j, így G-nek d eleme van. (Vagyis f injektív, ha G végtelen.) Tehát f szürjektív, művelettartó, és minden mod d maradékosztályon konstans.

3 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 3. Ciklikus csoportok Biz.folyt. Legyen f : Z d G a következőképp definiálva: f (a) := f (a). Ekkor f szürjektív, ebből kifolyólag injektív is, hiszen Z d -nek és G-nek ugyanannyi eleme van (Miért?), továbbá homomorfizmus: f (a + b) = f (a + b) = f (a + b) = f (a)f (b) = f (a) f (b). Következmény Ciklikus csoport kommutatív.

4 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 4. Rend A (G; ) csoport rendje végtelen, ha G végtelen, különben pedig az elemeinek a száma. A g G elem rendje az a legkisebb pozitív egész d, amire g d = e, ha van ilyen, különben végtelen. Példa (Q ; ) rendje végtelen, 1 rendje 2; (E 8 ; ) rendje 8, i rendje 4; (Z 6 ; +) rendje 6, 2 rendje 3. Észrevétel Véges rendű elem rendje megegyezik az általa generált részcsoport rendjével.

5 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 5. Ciklikus csoportok Tétel Ciklikus csoport részcsoportja ciklikus. Bizonyítás Legyen adott a (G; ) ciklikus csoport az e egységelemmel és a g generátorral, továbbá a H részcsoport. Ha H = {e}, akkor H = e. Ha H {e}, akkor létezik g-nek pozitív egész kitevős hatványa, ami eleme H-nak (Miért?). Legyen d a legkisebb pozitív egész, amire g d H. Mivel H részcsoport, ezért g d H. Megmutatjuk, hogy H tetszőleges g m eleme előáll g d hatványaként: osszuk el maradékosan m-et d-vel: m = qd + r (0 r < d), így: g r = g m qd = g m (g d ) q H. d minimalitása miatt r = 0, ezért g m = (g d ) q, vagyis H g d. Azt kaptuk, hogy H = g d.

6 Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 6. A G = (ϕ, E, V ) hármast (irányítatlan) gráfnak nevezzük, ha E, V halmazok, V, V E = és ϕ: E {{v, v } v, v V }. E-t az élek halmazának, V -t a csúcsok (pontok) halmazának és ϕ-t az illeszkedési leképezésnek nevezzük. A ϕ leképezés E minden egyes eleméhez egy V -beli rendezetlen párt rendel. Elnevezés v ϕ(e) esetén e illeszkedik v-re, illetve v végpontja e-nek. Megjegyzés Az illeszkedési leképezés meghatározza az I E V illeszkedési relációt: (e, v) I v ϕ(e).

7 Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 7. Ha E és V is véges halmazok, akkor a gráfot véges gráfnak nevezzük, egyébként végtelen gráfnak. E = esetén üres gráfról beszélünk. Megjegyzés Az informatikában elsősorban a véges gráfok játszanak szerepet, így a továbbiakban mi is véges gráfokkal foglalkozunk. Ha egy él egyetlen csúcsra illeszkedik, azt hurokélnek nevezzük. Ha e e esetén ϕ(e) = ϕ(e ), akkor e és e párhuzamos élek. Ha egy gráfban nincs sem hurokél, sem párhuzamos élek, akkor azt egyszerű gráfnak nevezzük.

8 Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 8. Az e e élek szomszédosak, ha van olyan v V, amelyre v ϕ(e) és v ϕ(e ) egyszerre teljesül. A v v csúcsok szomszédosak, ha van olyan e E, amelyre v ϕ(e) és v ϕ(e) egyszerre teljesül. A v csúcs fokszámán (vagy fokán) a rá illeszkedő élek számát értjük, a hurokéleket kétszer számolva. Jelölése: d(v) vagy deg(v). Ha d(v) = 0, akkor v-t izolált csúcsnak nevezzük. Ha egy gráf minden csúcsának a foka n, akkor azt n-reguláris gráfnak hívjuk. Egy gráfot regulárisnak nevezünk, ha valamely n-re n-reguláris.

9 Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 9. Példa V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } ϕ = {(e 1, {v 1, v 2 }), (e 2, {v 1, v 2 }), (e 3, {v 1, v 4 }), (e 4, {v 3, v 4 }), (e 5, {v 4 })}

10 Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 10. A fokszámösszeg Álĺıtás A G = (ϕ, E, V ) gráfra d(v) = 2 E. v V Bizonyítás Élszám szerinti teljes indukció: E = 0 esetén mindkét oldal 0. Tfh. E = n esetén igaz az álĺıtás. Ha adott egy gráf, amelynek n + 1 éle van, akkor annak egy élét elhagyva egy n élű gráfot kapunk. Erre teljesül az álĺıtás az indukciós feltevés miatt. Az elhagyott élt újra hozzávéve a gráfhoz az egyenlőség mindkét oldala 2-vel nő.

11 Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 11. A G = (ϕ, E, V ) és G = (ϕ, E, V ) gráfok izomorfak, ha léteznek f : E E és g : V V bijektív leképezések, hogy minden e E-re és v V -re e pontosan akkor illeszkedik v-re, ha f (e) illeszkedik g(v)-re. Példa v 1 w 1 e 1 e 5 c 1 c 5 v 2 v 5 w 2 c 2 c 4 w 5 e 2 e 3 e 4 v 3 v 4 w 3 w 4 c 3 Megfelelő f és g bijekciók: f = {(e 1, c 5 ), (e 2, c 2 ), (e 3, c 3 ), (e 4, c 4 ), (e 5, c 1 )} g = {(v 1, w 1 ), (v 2, w 4 ), (v 3, w 2 ), (v 4, w 5 ), (v 5, w 3 )}

12 Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 12. Példa Ha egy egyszerű gráfban bármely két különböző csúcs szomszédos, akkor teljes gráfról beszélünk. Teljes gráfok esetén, ha a csúcsok halmazai között létezik bijektív leképezés, akkor a két teljes gráf a csúcsok és élek elnevezésétől eltekintve megegyezik. Ebben az értelemben beszélünk bármely n Z + esetén az n csúcsú teljes gráfról. Megjegyzés Az n csúcsú teljes gráfnak ( n 2) = n(n 1)/2 éle van, és Kn -nel jelöljük.

13 Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 13. További példák A C n ciklus csúcsai egy szabályos n-szög csúcspontjai, és pontosan a szomszédos csúcspontoknak megfelelő csúcsok szomszédosak. A P n ösvény C n+1 -ből valamely él törlésével adódik. Az S n csillagban egy szabályos n-szög csúcspontjainak és középpontjának megfelelő csúcsok közül a középpontnak megfelelő csúcs szomszédos az összes többivel. Példák K 4 C 4 P 3 S 4

14 Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 14. A G = (ϕ, E, V ) gráfot páros gráfnak nevezzük, ha V -nek létezik V és V diszjunkt halmazokra való felbontása úgy, hogy minden él egyik végpontja V -nek, másik végpontja pedig V -nek eleme. Azt az egyszerű páros gráfot, amelyben V = m, V = n és minden V -beli csúcs minden V -beli csúccsal szomszédos, K m,n -nel jelöljük. Példa K 3,3

15 Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 15. A G = (ϕ, E, V ) gráfot a G = (ϕ, E, V ) gráf részgráfjának nevezzük, ha E E, V V és ϕ ϕ. Ekkor G-t a G szupergráfjának hívjuk. Ha E pontosan azokat az éleket tartalmazza, melyek végpontjai V -ben vannak, akkor G -t a V által meghatározott feszített (vagy teĺıtett) részgráfnak nevezzük. Példa v 1 v 1 v 1 e 1 e 5 e 5 e 1 e 5 v 2 v 5 e 3 e 2 e 4 v 3 G v 4 v 2 v 3 e3 G 1 v 5 v 2 v 3 e 2 e 3 G 2 v 5 G-nek G 1 részgráfja, de nem feszített részgráfja, míg G 2 feszített részgráfja.

16 Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 16. Ha G = (ϕ, E, V ) részgráfja a G = (ϕ, E, V ) gráfnak, akkor a G -nek a G-re vonatkozó komplementerén a (ϕ E\E, E \ E, V ) gráfot értjük. Példa e 1 v 1 e 5 v 1 e 1 v 1 v 2 v 5 e e 3 2 e4 v 3 G v 4 v 2 v 3 G 1 v 5 v 2 v 5 e 5 e 3 e 2 e 4 v 3 G2 v 4 G 2 a G 1 gráf G-re vonatkozó komplementere. Megjegyzés Ha G egyszerű gráf, és külön nem mondjuk, akkor a V -beli csúcspontokkal rendelkező teljes gráfra vonatkozó komplementert értjük G komplementere alatt.

17 Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 17. Ha G = (ϕ, E, V ) egy gráf, és E E, akkor a G-ből az E élhalmaz törlésével kapott gráfon a G = (ϕ E\E, E \ E, V ) részgráfot értjük. Ha G = (ϕ, E, V ) egy gráf, és V V, akkor legyen E az összes olyan élek halmaza, amelyek illeszkednek valamely V -beli csúcsra. A G-ből a V csúcshalmaz törlésével kapott gráfon a G = (ϕ E\E, E \ E, V \ V ) részgráfot értjük.

18 Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 18. Legyen G = (ϕ, E, V ) egy gráf. A v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., v n 1, e n, v n sorozatot sétának nevezzük v 0 -ból v n -be, ha v j V 0 j n, e k E 1 k n, ϕ(e m ) = {v m 1, v m } 1 m n. A séta hossza a benne szereplő élek száma (n). Ha v 0 = v n, akkor zárt sétáról beszélünk, különben nyílt sétáról.