Diszkrét matematika 2.

Átírás

1 Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik csúcsra, végpontja élnek) izolált csúcs, ha (Lásd az ábrán) üres gráf, ha élek párhuzamosak, ha végpontjaik halmaza megegyezik: (Lásd ) hurok él, ha összesen egy végpontja van. (Lásd ) gráf egyszerű, ha párhuzamos és hurok éleket nem tartalmaz. gráf véges, ha illetve véges. Legyen véges, egyszerű gráf: szomszédainak száma, a ( 2 csúcs szomszédos, ha van köztük él, 2 él szomszédos, ha van közös végpont) foka. Például: Megjegyzés: Nem egyszerű gráfok esetén a hurok él 2x számít. gráf -reguláris, ha minden pont foka.

2 teljes gráf, ha minden él be van húzva. reguláris Jelölése: -csúcsú teljes gráf. függvények úgy, hogy izomorf, ha bijektív -ből Jelölése: páros gráf, ha -be megy, azaz vagy teljes páros gráf, ahol él csak Például: 3 kút 3 ház probléma: (Lásd jobbra) részgráfja a, ha szupergráfja -nek. részgráfja, akkor a -re vonatkozó komplementere komplementere a csúcsú teljes gráfra vonatkozó komplemetere. Jelölés komplementere: Például:

3 a feszített részgráfja, ha minden olyan élet tartalmaz, ami -ben -beli csúcsok közt fut., gráfok egy indexelt családja, akkor a gráfok direktszorzata, ahol a csúcsok halmaza az eredeti gráfok csúcshalmazának direktszorzata és két csúcs össze van kötve, ha -edik koordinátát leszámítva az összes koordináta megegyezik és a -edik koordináták -ben össze vannak kötve. Példák: csúcsok: Legyen gráf, a sorozat egy hosszú séta, ha Például az ábrán: Egy séta vonal, ha egy él legfeljebb egyszer szerepel. Egy vonal út, ha minden csúcs legfeljebb egyszer szerepel. direkt szorzat. -dimenziós hiperkocka Séta/vonal/(út) nyílt, ha a kezdő illetve a végpont különbözik. Zárt, ha a kezdő és a végpont megegyezik. A zárt út a kör vagy körút. Ha egy gráfban két pont közt van séta, akkor van út is.

4 Egy gráfban egy legalább egy hosszú zárt vonal felbomlik páronként éldiszjunkt körök egyesítésére. Tekintsünk egy zárt vonalat. Ha minden csúcs különböző, kivéve az elsőt és az utolsót, akkor készen vagyunk (önmagában kör). Ha van ismétlődő csúcs, akkor tekintsük a következőt: az adott csúcsból elindulunk a legközelebbi előfordulásig. ezt kivéve a zárt vonalból kisebb vonalat kapunk. A gráfban a két csúcs közötti távolság a két csúcs közötti legrövidebb út hossza. A gráf összefüggő, ha bármely két csúcs között van séta. Önmagukban összefüggő részeket komponenseknek hívjuk. Két csúcs relációban áll egymással, ha van köztük séta. (ekvivalencia reláció) Ez meghatároz egy osztályozást. Egy ilyen osztály egy komponens. Megjegyzés: A gráf összefüggő, ha egy komponensből áll. A gráf egy fa, ha összefüggő és körmentes

5 A következő állítások ekvivalensek: 1. egy fa 2. összefüggő, de bármely él eltörlésével nem lesz összefüggő 3. összefüggő és minden csúcspár között egy út vezet 4. körmentes, de bármely él hozzávételével lesz kör Indirekten tegyük fel, hogy közt van él -ben, töröljük ezt el. Ez összefüggő marad között van séta, de ez a séta + az elvett él egy körséta van benne kör. Így ellentmondáshoz jutottunk. Tehát az eredeti állítás igaz Kell: fa. Adott: összefüggőség. Indirekten tegyük fel, hogy van kör. Ebből egy élet elhagyva összefüggő marad a gráf. Ellentmondáshoz jutottunk. Tehát az eredeti állítás az igaz Kell: minden csúcs közt egyetlen út van. Tegyük fel, hogy közt több út van. Tekintsük a következő kört: két különböző út első szétválásából az első találkozás. Ellentmondáshoz jutottunk. Tehát az eredeti állítás az igaz Adott: Összefüggőség. Kell: Nincs benne kör. Indirekt tegyük fel, hogy van benne kör és legyen Ekkor van két különböző út két különböző csúcs a körön Adott: körmentesség. Indirekt tegyük fel, hogy hozzávételével nem keletkezik kör. Tekintsük az él végpontjai közti utakat. Itt minden út -n keresztül megy. elhagyásával a két végpont közt nincs út nem összefüggő. Ellentmondáshoz jutottunk. Tehát az eredeti állítás az igaz Adott: körmentesség. Kell: összefüggőség. Indirekt tegyük fel, hogy nem összefüggő. Ekkor (van legalább) 2 különböző komponensben lévő csúcsot kössünk össze éllel. Ekkor nem kapunk kört ugyanis, ha lenne kör, akkor eredetileg is lett volna közöttük út. Ellentmondáshoz jutottunk. Tehát az eredeti állítás az igaz.

6 Állítás: Ha véges gráfban nincsen kör, de van él, akkor van benne első fokú csúcs. Tekintsük a gráfban a leghosszabb utat. A végpont nem első fokú, ha van belőle tovább él. Ha ez nem útbeli csúcshoz visz, akkor nem ez a leghosszabb út, ha útbeli csúcsba vezet, akkor van benne kör. Ellentmondáshoz jutottunk. Tehát az eredeti állítás az igaz. Legyen pontú gráf. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: 1. fa 2. -ben nincs kör és éle van 3. összefüggő és éle van Adott: nincs benne kör (fa definíciója miatt). éle van : indukcióval bizonyítjuk. -re teljesül. Tekintsük a fát körmentes, van benen él, akkor van első fokú csúcs. Ha ezt a csúcsot elhagyjuk, akkor fa marad a gráf éle van Kell: összefüggőség. Bizonyítás indukcióval. Van első fokú csúcs. Ezt elhagyva indukció alapján összefüggő. Az élet hozzátéve összefüggő lesz az eredeti gráf Kell: Körmentes. Tegyük fel, hogy van benne valamennyi kör. Ekkor darab élet elhagyva összefüggő körmentes gráfot kapunk Ez egy csúcsú élű fa. Alkalmazva t azt kapjuk, hogy, azaz nem volt kör.