Diszkrét matematika 2. estis képzés

Átírás

1 Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék tavasz

2 Grupoidok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 2. Emlékeztető Definíció Az egy binér műveletes struktúrát grupoidnak nevezzük. A (G; ) grupoid félcsoport, ha asszociatív G-n. Definíció Legyen (G; ) egy grupoid. Ha létezik s b G: g G : s b g = g, akkor az s b bal oldali semleges elem (bal oldali egységelem), ha létezik s j G: g G : g s j = g, akkor az s j jobb oldali semleges elem (jobb oldali egységelem). Ha s egyszerre bal oldali és jobb oldali semleges elem, akkor semleges elemnek (egységelemnek) nevezzük.

3 Grupoidok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 3. Semleges elem egyértelműsége Álĺıtás Ha a (G; ) grupoidban s b b.o.s.e., s j pedig j.o.s.e., akkor s b = s j. s j = s b s j = s b Következmény Semleges elem egyértelmű. Megjegyzés Tekintsük a (Z; ) grupoidot, ahol a b = b. Ekkor végtelen sok b.o.s.e. van, de nincs j.o.s.e.

4 Grupoidok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 4. Emlékeztető Definíció Legyen (G; ) egy grupoid az s semleges elemmel. Azt a g G elemet, amire: g g = s a g G elem bal oldali inverzének nevezzük, azt a g G elemet, amire: g g = s a g G elem jobb oldali inverzének nevezzük. Ha g egyszerre bal oldali és jobb oldali inverze g-nek, akkor g inverzének nevezzük.

5 Grupoidok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 5. Inverz egyértelműsége félcsoportban Álĺıtás Legyen (G; ) egy félcsoport az s semleges elemmel. Ha g b bal oldali inverze g-nek, g j pedig jobb oldali inverze, akkor g b = g j. g j = s g j = (g b g) g j = g b (g g j ) = g b s = g b Következmény Félcsoportban az inverz egyértelmű.

6 Grupoidok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 6. Művelettartó leképezések Definíció Legyenek (X ; ) és (Y ; ) grupoidok. Az f : X Y függvény művelettartó, ha a, b X esetén f (a b) = f (a) f (b). f (X )-et X homomorf képének nevezzük. Elnevezés A művelettartó leképezést homomorfizmusnak nevezzük, a bijektív homomorfizmust pedig izomorfizmusnak. Megjegyzés Grupoidoknál általában a -ot használjuk a művelet jelölésére, és általában elhagyjuk az operandusok közül.

7 Grupoidok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 7. Művelettartó leképezések Álĺıtás Legyenek f 1 : X Y és f 2 : Y Z homomorfizmusok. Ekkor f 2 f 1 is homomorfizmus. (f 2 f 1 )(ab) = f 2 (f 1 (ab)) = f 2 (f 1 (a)f 1 (b)) = f 2 (f 1 (a))f 2 (f 1 (b)) = = (f 2 f 1 )(a)(f 2 f 1 )(b) Álĺıtás Izomorfizmus inverze izomorfizmus. f 1 (f (a)f (b)) = f 1 (f (ab)) = ab = f 1 (f (a))f 1 (f (b))

8 Grupoidok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 8. Művelettartó leképezések Álĺıtás Legyen adott a (G; ) félcsoport és az f : G G homomorfizmus. Ekkor igazak a következők. 1 f (G) félcsoport. 2 Ha G-ben s b.o.s.e., j.o.s.e., illetve s.e., akkor f (G)-ben f (s) b.o.s.e., j.o.s.e., illetve s.e. 3 Ha G-ben g-nek g b.o.i.-e, j.o.i.-e, illetve inverze, akkor f (G)-ben f (g)-nek f (g ) b.o.i.-e, j.o.i.-e, illetve inverze. 4 Ha G-ben g és h felcserélhetőek, akkor f (G)-ben f (g) és f (h) felcserélhetőek.

9 Grupoidok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 9. Művelettartó leképezések Az egyszerűség kedvéért a G-beli elemek f szerinti képét jelölje a megfelelő -s verzió (pl. f (g) = g ). 1 (a b )c = (ab) c = ((ab)c) = (a(bc)) = a (bc) = a (b c ) 2 s g = (sg) = g g s = (gs) = g 3 g g = (g g) = s g g = (gg ) = s 4 g h = (gh) = (hg) = h g

10 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 10. Emlékeztető Definíció A (G; ) grupoidot csoportnak nevezzük, ha Példák a művelet asszociatív G-n ( g 1, g 2, g 3 : (g 1 g 2 )g 3 = g 1 (g 2 g 3 )), létezik egységelem ( e G : g G : eg = ge = g), minden elemnek van inverze ( g G : g 1 G : gg 1 = g 1 g = e). (Z; +), (Q; +), (R; +), (C; +); (Q \ {0}; ), (R \ {0}; ), (C \ {0}; ); ({M R k k : det M 0}; ),({M C k k : det M 0}; ); (Z m ; +); (Z p \ {0}; ), ahol p prím; (E n = {ε C : ε n = 1}; ).

11 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 11. Csoport ekvivalens jellemzése Tétel Egy (G; ) félcsoportra a következő feltételek ekvivalensek: (1) (G; ) csoport; (2) Minden a, b G esetén egyértelműen létezik az ax = b és az ya = b egyenletnek megoldása G-ben; (3) Minden a, b G esetén létezik az ax = b és az ya = b egyenletnek megoldása G-ben; (4) Létezik e b G bal oldali egységelem, és minden a G elemnek létezik e b -re vonatkozó a b G bal oldali inverze (a b a = e b ). A bizonyítás menete (1) (2) (3) (4) (1)

12 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 12. Csoport ekvivalens jellemzése (1) (2) Ha x megoldása az ax = b egyenletnek, akkor a 1 (ax) = a 1 b, és így a 1 (ax) = (a 1 a)x = ex = x miatt x = a 1 b (G egységelemét e jelöli). Ráadásul x = a 1 b valóban megoldás, hiszen a(a 1 b) = (aa 1 )b = eb = b. Az ya = b egyenlet esete hasonló módon bizonyítható. (2) (3) Nyilvánvaló. (3) (4) Tekintsünk egy tetszőleges a G elemet, és legyen e b az ya = a egyenlet egy megoldása. Belátjuk, hogy e b bal oldali egységelem, vagyis minden b G esetén e b b = b. Legyen x 0 egy megoldása az ax = b egyenletnek. Ekkor e b b = e b (ax 0 ) = (e b a)x 0 = ax 0 = b. Tetszőleges c G esetén az yc = e b egyenlet egy megoldása jó lesz c-nek az e b -re vonatkozó bal oldali inverzének.

13 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 13. Csoport ekvivalens jellemzése Biz.folyt. (4) (1) Legyen e b a bal oldali egységelem, továbbá egy tetszőleges a G esetén a b az e b -re vonatkozó bal oldali inverze, valamint a b az a b-nek az e b -re vonatkozó bal oldali inverze. Ekkor aa b = (e b a)a b = e b (aa b ) = (a ba b )(aa b ) = a b(a b a)a b = a b(e b a b ) = a ba b = e b. Tehát a b egyben jobb oldali inverze is a-nak, vagyis inverze, így tetszőleges elemnek van az e b -re vonatkozó inverze. Belátjuk még, hogy e b jobb oldali egységelem is, így egységelem: ae b = a(a b a) = (aa b )a = e b a = a.

14 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 14. Egyszerűsítési szabály Következmény (egyszerűsítési szabály) Csoportban a művelet reguláris, vagyis ac = bc esetén a = b, illetve ca = cb esetén a = b. ac = bc = d esetén a és b is megoldása az yc = d egyenletnek, aminek a csoport definíciójával ekvivalens (2) megfogalmazás alapján egyértelmű a megoldása. A ca = cb eset hasonlóan bizonyítható. Megjegyzés (N; +) egységelemes félcsoport, teljesül az egyszerűsítési szabály, mégsem csoport.

15 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 15. Fontos feltétel Példa Legyen (H; ) az a struktúra, amelyre H = {a, b, c}, a műveleti táblája pedig a következő: a b c a b a c b a c b c c b a Ekkor tetszőleges h 1, h 2 H esetén megoldható a h 1 x = h 2, illetve az yh 1 = h 2 egyenlet H-ban, (H; ) mégsem csoport, hiszen nincs egységelem, így inverze sincs minden elemnek. Ez azért lehetséges, mert a nem asszociatív H-n: (ab)c = ac = c a = ab = a(bc).

16 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 16. Számolás csoportban Álĺıtás (szorzat inverze) (ab) 1 = b 1 a 1 (b 1 a 1 )(ab) = b 1 (a 1 a)b = b 1 eb = b 1 (eb) = b 1 b = e Megjegyzés (hatványozás csoportban) A (G; ) csoportban g G és n Z + esetén g n = g g... g. }{{} n db Példa (Z, +) esetén 2 3 = = 6.

17 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 17. Komplexusok Definíció Legyen (G; ) csoport, ekkor K G esetén K-t komplexusnak nevezzük. A komplexusok halmazán értelmezzük a komplexusszorzást: K, M G esetén KM = {km k K m M}. Álĺıtás Legyen (G; ) csoport e egységelemmel, P = {K K G}. Ekkor (P; ) egységelemes félcsoport E = {e} egységelemmel. A komplexusszorzás definíciója alapján (P; ) grupoid. K(MN) = {k(mn) k K m M n N} = = {(km)n k K m M n N} = (KM)N EK = {ek k K} = {k k K} = {ke k K} = KE

18 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 18. Részcsoportok Definíció Legyen (G; ) csoport, továbbá H G. Ha (H; H H ) csoport, akkor a (H; H H ) részcsoportja a (G; ) csoportnak. Jelölés: (H; H H ) (G; ) Megjegyzés Egy adott (G; ) csoport és H G esetén, ha azt mondjuk, hogy H részcsoportja G-nek, vagy azt írjuk, hogy H G, akkor ez alatt azt értjük, hogy (H; H H ) részcsoportja a (G; ) csoportnak. Példák (2Z; +) (Z; +) (Q \ {0}; ) (R \ {0}; ) (E 2 ; ) (E 4 ; )

19 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 19. Részcsoport ekvivalens jellemzése Jelölés Ha (G; ) csoport, akkor K G esetén K 1 = {k 1 k K}. Tétel Legyen (G; ) csoport, továbbá H G. Az alábbi feltételek ekvivalensek: (1) H részcsoportja G-nek; (2) a leszűkítése H H-ra egy H H-t H-ba képező leképzés, H tartalmazza (G; ) egységelemét, és H 1 H; (3) H, HH H és H 1 H; (4) H és H 1 H H. A bizonyítás menete (1) (2) (3) (4) (1)

20 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 20. Részcsoport ekvivalens jellemzése (1) (2): - Mivel H részcsoport, ezért algebrai struktúra is. - Legyen e H H egységeleme, e G pedig G-é. Ekkor tetszőleges h H esetén he H = h és he G = h, így az egyszerűsítési szabály miatt e H = e G. - Legyen h H-nak a H-beli inverze h 1, a G-beli pedig h 1. Ekkor H h 1 G h = e H és h 1 H h = e H, így az egyszerűsítési szabály miatt h 1 G (2) (3): Nyilvánvaló. (3) (4): H 1 H H 1 H HH H (4) (1): - h H e G = h 1 h H 1 H H - h 1 = h 1 e G H 1 H H - h 1 h 2 = (h 1 1 ) 1 h 2 H 1 H H G = h 1 H.

21 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 21. Részcsoport ekvivalens jellemzése Megjegyzés A tételben szereplő tartalmazások nem valódiak. h H h 1 H 1 h 1 H h = (h 1 ) 1 H 1 h H h = eh HH h H h = eh H 1 H

22 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 22. Részcsoportok metszete Következmény Legyen (G; ) csoport, továbbá H γ G, ahol γ Γ. Ekkor H = γ Γ H γ esetén H G. Legyen e az egységeleme G-nek. Minden γ Γ esetén: - e H γ, illetve - H 1 H Hγ 1 H γ H γ, így H, illetve H 1 H H.

23 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 23. Részcsoportok uniója Megjegyzés Részcsoportok uniója viszont nem feltétlenül részcsoport. Példa (Klein-csoport) Legyen K = {e, a, b, c}, a K-n értelmezett művelet pedig a következő műveleti táblával definiált: e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Ekkor H a = {e, a} és H b = {e, b} részcsoportok, de H a H b = {e, a, b} nem az.

24 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 24. Generátum Definíció Legyen (G, ) csoport és K G egy komplexusa. K generátuma K = L. L G K L Megjegyzés K generátuma G-nek a K halmazt tartalmazó legszűkebb részcsoportja. Definíció Ha K = G, akkor K-t a G generátorrendszerének nevezzük. Az egyelemű generátorrendszert generátornak hívjuk, g = G esetén a g által generált ciklikus csoportról beszélünk.

25 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 25. Generátum Tétel (generátum elemei) Következmény Elem generátuma...

26 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 26. Ciklikus csoportok Álĺıtás Legyen (G; ) csoport, továbbá ϕ: G G homomorfizmus. Ekkor n Z-re ϕ(g n ) = (ϕ(g)) n. n N esetén TI.: n = 0-ra nyilvánvalóan teljesül. Tfh. n = k-ra igaz az összefüggés. Ekkor n = k + 1 esetén: ϕ(g k+1 ) = ϕ(g k g) = ϕ(g k )ϕ(g) = (ϕ(g)) k ϕ(g) = (ϕ(g)) k+1. Ha n < 0, akkor n N, így: ϕ(g n ) = ϕ((g 1 ) n ) = (ϕ(g 1 )) n = ((ϕ(g)) 1 ) n = (ϕ(g)) n. Következmény Ciklikus csoport homomorf képe ciklikus.

27 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 27. Rend Definíció Rend...

28 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 28. Ciklikus csoportok Tétel Végtelen ciklikus csoport izomorf Z additív csoportjával, n elemű ciklikus csoport izomorf Z n additív csoportjával. Legyen (G; ) ciklikus csoport e egységelemmel, G = g = {g n n Z}. Az f : Z G leképezés szürjektív (Miért?) és homomorfizmus is, hiszen: f (n + m) = g n+m = g n g m = f (n)f (m). Ha injektív is, akkor izomorfizmus, így (Z; +) = (G; ). Különben i, j Z, i > j : g i = g j, amiből g i j = e, vagyis van olyan m Z +, amire g m = e. Legyen n Z + a legkisebb ilyen. Ekkor e, g, g 2,..., g n 1 mind különbözőek (Miért?), és i j (n) esetén: g i = g j+kn = g j (g n ) k = g j e k = g j, így G-nek n eleme van. (Vagyis f injektív, ha G végtelen.) Tehát f szürjektív, művelettartó, és minden mod n maradékosztályon konstans.

29 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 29. Ciklikus csoportok Biz.folyt. Legyen f : Z n G a következőképp definiálva: f (a) := f (a). Ekkor f szürjektív, ebből kifolyólag injektív is, hiszen Z n -nek és G-nek ugyanannyi eleme van (Miért?), továbbá homomorfizmus: f (a + b) = f (a + b) = f (a + b) = f (a)f (b) = f (a) f (b). Következmény Ciklikus csoport kommutatív. Észrevétel Véges rendű elem rendje megegyezik az általa generált részcsoport rendjével.

30 Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 30. Ciklikus csoportok Tétel Ciklikus csoport részcsoportja ciklikus....