Csoportelmélet ( ) ϕ ψ adatokra ( ) ( ) ( ) ( )

Átírás

1 Csoportelmélet ( A csoportaxiómák nem tartalmaznak ellentmondást mert az { } csoportot alkot. Fizika felépítése: fizikai valóság fizikai modellek matematikai modellek (átjárhatók reprezentációk (áttranszformálhatók egymásba eredmény Transzformációk (reprezentációelmélet: aktív transzformációk: nézőpontváltás passzív transzformációk: a rendszert változtatom meg minden aktív transzformációhoz tartozik passzív de ez fordítva nem igaz Szimmetria: a test a változtatás után ugyanúgy néz ki a valóságban nem tökéletes az ekvivalencia kísérleti kérdés egy objektum szimmetrikus állapotainak halmaza: X az X halmaz elemei áttranszformálhatók egymásba: szimmetria-transzformációk legyen Τ egy adott objektum szimmetria-transzformációinak halmaza Τ a folytasd (kompozíció műveletre csoportot alkot (az adott objektum szimmetriacsoportja: T T Τ: T Τ : T = TT 4 4 T T T3 Τ :( TT 3 T = T3( TT ( TT T = TT = T = TT = T ( TT I Τ: T Τ : TI = IT =T ( Ix= x T Τ: T Τ : TT = TT = I Transzformációk fajtái: transzformáció: belső struktúra nem változik külvilághoz való viszony változhat szimmetria transzformáció: külvilághoz való viszony is megmarad ϕ x = ϕ Tx akkor ϕ invariáns a T ha egy mérés során nyert ϕ adatra ( ( transzformációra egybevágósági transzformáció: skaláris szorzat invariáns hasonlósági transzformáció: vektorok szöge invariáns affin transzformáció: egyenesek invariánsak perspektív transzformáció: csúcsok számát változatlanul hagyja gyúrás: folytonosságot változatlanul hagyja ezzel foglalkozik a topológia c e+ l-et változatlanul hagyja ( c : csúcsok száma e : élek száma l : lapok száma értéke gömbnél tórusznál 0 Möbius-szalagnál ha egy mérés során nyert ϕ x = aψ x ϕ Tx = aψ Tx akkor ϕ ψ kovariánsak a T transzformációra Elemi szimmetria-transzformációk: minden objektumra szimmetria-transzformációk ϕ ψ adatokra ( ( ( (

2 végtelen darab van I térbeli eltolás a tér homogén érvényes a lendületmegmaradás térbeli elforgatás a tér izotróp érvényes a perdületmegmaradás csoportot alkotnak Érdekességek ezzel kapcsolatban: a fenti kettőből következik a fizikai kísérletek egyértelműsége (Galilei-féle relativitási elv ami minden pontjában izotróp az homogén is az idő nem homogén mivel volt kezdete az energia-megmaradás elve nem érvényes az idő nyilvánvalóan nem izotróp mert van benne kitüntetett irány Alapfogalmak: ( G : csoport Véges csoportok e : egységelem a : a inverze G : G elemeinek száma (rendje ( G A csoportok csoportosítása véges végtelen megszámlálhatóan folytonosan kompakt nem kompakt Absztrakt és konkrét csoportok: G G képet vegyük ( ősképet és ( ha ab G: ϕ: ϕ( a ϕ( b = ϕ( a b akkorϕ homomorfizmus ha a homomorfizmus invertálható akkor az izomorfizmus izomorfizmus elv: izomorf struktúrák ugyanazon absztrakt struktúra reprezentációi kivéve ha egy nagy struktúrának két közös résszel rendelkező részstruktúrája izomorf egymással az algebra olyan tulajdonságokkal foglalkozik amik egymással izomorf struktúráknál megegyeznek Ciklus csoportok ( C n : n -edrendű komplex egységgyökök szorzással alkotott csoportjai szabályos n -oldalú sokszögek olyan elforgatásainak csoportjaihoz tartozó absztrakt csoportok melyek szimmetria transzformációk ha n 3 minden n -re léteznek kommutatívak

3 C : a kör (folyamatosan végtelen vagy az egyenes (megszámlálhatóan végtelen pld.: ( szimmetriacsoportja (kétféle van Z + Részcsoport: ha ( G ( H csoportok és H G akkor H részcsoportja G -nek ( H < G önmagának és a triviális csoportnak (lásd alább minden csoport részcsoportja ezek a triviális részcsoportok a többi a valódi részcsoport H < G H < G H H < G triviálisan belátható Lagrans tétel: H G prímrendű csoportnak nincs valódi részcsoportja csak a két triviális részcsoport egy csoport struktúráját az adja meg hogy hogyan helyezkednek benne el a részcsoportok A Lagrans-tétel bizonyítása ha G < : komplexusok: K L G G hatványhalmaza: G komplexusszorzás: KL M M = mm= kl k K l L ( M G = { } triviálisan asszociatív ( félcsoport G ha a G értelmes az { a} K = M (egyszerűbben: ak = M : M = K = ak állítás: H < G ah = H AH H = ha a H akkor az első triviális ha nem akkor lehetetlen indirekt feltevés: b: b H b ah ( a H bh = a : ellentmondás ha H ah G c: c H c ah állítás: ah ch = indirekt feltevés: d : d ch c ah d = ah = ch ah h = ah = c : ellentmondás 3 következmény: G csoport felosztható H elemű diszkjunt részhalmazokra mellékosztályok (uniójuk lefedi a csoportot baloldali mellékosztályok: ah ch fh... jobboldali mellékosztályok: Ha Hc Hf... kommutatív csoportnál megegyeznek ez ekvivalens a bizonytandó tétellel Elsőrendű absztrakt csoport: C e e e triviális csoport Másodrendű absztrakt csoport: C e a e e a a a e

4 konkrét csoport: tükrözés és identitás lineáris transzformációk a folytasd művelettel Harmadrendű absztrakt csoport: C 3 e a b e e a b a a b e b b e a Negyedrendű absztrakt csoportok: C 4 e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b K e a b c e e a b c a a e c b b b c a e c c b e a Klein-csoport C csoportok alkotják n generátoros szabad csoport: elemei: abc... nabc... N és a belőlük konplantációval (egymás mellé írás képzett szavak egységelem: üres szó inverz: Kk = kk = _ egy konkrét generátoros szabad csoport: egyenlő oldalú háromszög forgatása és tükrözése ( ert definiáló relációk: rrr = e tt = e rtrt = e ekvivalens azzal hogy: rt = trr Hány eleme van a csoportnak? szóprobléma: általánosan megoldhatatlan a harmadik szabály segítségével tt... trr... r alakba tudok írni minden szót (buborékoltató eljárás ekkor az elemek: e r rr t tr trr szorzástáblázat e r rr t tr trr e e r rr t tr trr r r rr e trr t tr rr rr e r tr trr t t t tr trr e r rr tr tr trr t rr e r trr trr t tr r rr e tükrözések involatikus elemek xx= e részcsoportjai:

5 háromelemű: H0 = { e r rr} kételeműek: H = { e t} H = { e tr} H = { e trr} 3 mellékosztályok (lehet őket egy elemükkel reprezentálni: H bal: eh = th = H rh = trrh = { r trr} rrh = trh = { rr tr} H jobb: He = Ht = H Hr= Htr= rtr { } Hrr= Htrr= { rrtrr} H bal: eh = trh = H rh = th = r t { } rrh = trrh = { rr trr} H jobb: He = Htr = H Hr= Htrr= rtrr { } Hrr= Ht= { rrt} H 3 bal: eh3 = trrh3 = H 3 rh = trh = r tr 3 3 { } rrh = th = { rr t} 3 3 H 3 jobb: He 3 = Htrr 3 = H 3 Hr= Ht= rt 3 3 { } H rr = H tr = { rr tr} 3 3 H 0 bal: eh0 = rh0 = rrh0 = H 0 th0 = trh0 = trrh0 = { t tr trr} H 0 jobb: He 0 = rhr 0 = Hrr 0 = H 0 H0t = H0tr = H0 trr = { t tr trr} normálosztó normális részcsoport invariáns részcsoport: N < G a G: an = Na jele: N G kommutatív csoportban minden részcsoport normálosztó a G: n N : n N : an= na

6 a G: n N : ana N n a -val vett konjugáltja: ana komplexusokra: K a -val vett konjugáltja: aka a G: ana = N a normálosztóhoz tartozó mellékosztályok (G N szerinti faktorcsoportja jelölése: GN a komplexusszorzásra nézve csoportot alkotnak: asszociativitás öröklődik an bn = a n b n = a bn n = ab n an bn = ab N zártság: ( ( ( ( 3 ( 4 ( ( ( egységelem: N = en mert ( an ( en = an ( en ( an = an inverz: ( an G GN= = G: N N = a N mert ( an ( a N = en példák: síkon vagy térben egy egyenes ( Z + csoportban egy adott számmal osztható számok kongluencia csoportok (osztási maradékok szerint: mod 5 + : ( (mod C konkrét csoportja n + ( mod 5 : n első sort és oszlopot elhagyva csoport mod 6 : ( nem csoport ( + -al nullosztós gyűrű prím alapú maradékosztályok 0 -t elhagyva csoportot alkotnak homomorfizmus: G ( csoportok (

7 : G G = β c= a b χ = α β ϕ legyen ϕ ( a = α ϕ ( b ϕ homomorfizmus ha ab G: ϕ( a b = ϕ( a ϕ( b fajtái: triviális homomorfizmus: mindent az egységelembe képez izomorfizmus p p V V egységelembe képződő ele E 0 0 f x = xx fxy f xz Ex mek nem E 0 0 f y yx fyy fyz Ey E 0 0 f z zx fzy f zz E z triviális részhalmazt alkotnak ez a részhalmaz a homomorfizmus magja jelölése: kerϕ tétel: kerϕ G kerϕ < G ( h h ker ϕ : h h kerϕ ( h ( h ϕ = ϕ =e h h = e = e h = e ϕ( ϕ( ϕ( ϕ( ϕ( ϕ( h h = h h = e e = e kerϕ G ( a G : a h a h kerϕ = a h a = a h a = a a = a a = e = e ϕ( ϕ( ϕ( ϕ( ϕ( ϕ( ϕ( ϕ( következmény: G G N n ker ϕ a G : ϕ( a n ϕ( a ϕ( n ϕ( a = = = α példák: térvektorok síkvektorok n szerinti mellékosztályok a definiáló relációk homomorfizmusként is felfoghatók vegyük az generátoros szabad csoportot (C 5 legyen a definiáló reláció: a = e ekkor: C ϕ C5 ha több definiáló reláció van több normálosztó is van ekkor: N N G N N = N3 G A B { ab a A b B} Cn = ahol ( A és ( B csoportot alkot (direkt szorzat N N = N4 G ha a csoportban a művelet kommutatív akkor a direkt szorzást direkt összeadásnak hívjuk és -al jelöljük Minden véges csoport megadható n generátoros szabad csoporttal és k darab relációval de ugyanazt a csoportot többféleképpen is meg lehet adni. Csoportok ábrázolása gráfokkal: D 3 :

8 D 5 : minden reláció egy független hurok a csoport gráfjában A direkt szorzatról: A B= {( a b a A b B} legyenek ( G és ( G csoportok a G és G legyen ( ( ( α ekkor ( a α G G a α b β = a b α β ( G G csoportot alkot (pongyola jelölés G G hogy miért lehet azt lásd később (pld.: lineáris terek direkt összeadása (direkt szorzásuk más az a tenzorszorzás: zártság triviális asszociativitás öröklődik e ε egységelem ( inverz ( a α a = α ( α ( ε ( ε( α ( ezért ( α α ( e a = a e = a α { } N = e G G G ( { } N = a a G G G és ε N N = G G ekkor G G / N N G (pongyola jelölés G G / G G ugyanígy G G / N N G (pongyola jelölés G G / G G g G G! n N! n N : g = nn = nn megfordítás: ha N G N G G/ N N G/ N N és g N g N : gg = g g akkor G = N N Forgáscsoport ( O ( 3 : F O(3 F = F det F =± kétkomponensű folytonos csoport: a + és - determinánsú komponensek között C O nincs folytonos átmenet ( ( 3 valódi forgatások: SO ( 3 O( 3 mivel O( 3/ S O( 3 C és ( 3/ SO( 3 kommutálnak O( 3 S O( 3 kvaterniócsoport: = C O C valamint C és SO 3 elemei (

9 { i j k i j k} a definiáló relációkat felhasználva: { e ii i j ij. iii jjj ji } generátoros csoport szorzástáblázat: e i ii iii j jjj ij ji e e i ii iii j jjj ij ji i i ii iii e ij ji jjj j ii ii iii e i jjj j ji ij iii iii e i ii ji ij j jjj j j ji jjj ij ii e i iii jjj jjj ij j ji e ii iii i ij ij j ji jjj iii i ii e ji ji jjj ij j i iii e ii részcsoportok: eii C { } { e i ii iii} C4 { e j jj jjj} C4 { e jiiiij } C4 olyan nem kommutatív csoport aminek részcsoportjai mind normálosztók ábra: példa egy másik konkrét csoportra: E a Pauli-mátrixok és inverzeik