Diszkrét matematika 2.

Átírás

1 Diszkrét matematika március Diszkrét matematika előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq Komputeralgebra Tanszék március 9.

2 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Síkgráfok Definíció (Síkgráf; Síkgráf síkbeli reprezentációja) Egy G = (ϕ, E, V ) gráfot síkgráfnak nevezünk, ha az felrajzolható a síkra anélkül, hogy az élei metszenék egymást (geometriai értelemben). Egy ilyen felrajzolását a G gráf síkbeli reprezentációjának is nevezzük. (Ebbe azt is beleérjtük, hogy ha v csúcs nem végpontja az e élnek, akkor az e élet jelentő görbe nem mehet át a v csúcsot jelentő geometriai ponton sem.) Tétel (Fáry) (N.B.) Egyszerű véges síkgráfoknak olyan síkbeli reprezentációjuk is van, amiben az élek egyenes szakaszok. Tétel Egy véges gráf pontosan akkor rajzolható síkba, ha gömbre rajzolható. Bizonyítás: Sztereografikus projekcióval bijekciót tudunk létrehozni a sík pontjai és az egy pontjában kilyukasztott gömbfelület potjai között...

3 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Síkgráfok Definíció (Tartomány) A G gráf egy síkbeli reprezentációja esetén tartománynak nevezzük az élek által határolt síkidomot. Ez nem feltétlenül korlátos, ilyenkor külső tartományról beszélünk, egyébként pedig belső tartományról. Megjegyzés Egy belső tartomány valamely másik reprezentációban lehet külső tartomány is, de a tartományok száma nem függ a reprezentációtól. Megjegyzés Síkgráf (élkeresztezés nélküli) gömbre rajzolásait is tekinthetjük ( gömbfelületen való ) reprezentációknak, és ezek esetén az élek, mint a gömbfelületen haladó görbék által határolt gömbfelület-darabokat tekinthetjük a reprezentáció által meghatározott tartományoknak.

4 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Síkgráfok Példa (ugyanaz a síkgráf rosszul és jól lerajzolva) v 1 v 2 v 1 v 4 e 2 e 1 e 2 e 3 e 4 e 1 e 4 v 3 v 4 e 3 v 3 v 2 Példa (A tartományok függenek a konkrét reprezentációtól)

5 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Síkgráfok Tétel (Euler-formula avagy poliédertétel ) Egy G = (ϕ, E, V ) összefüggő síkgráf tetszőleges síkbeli reprezentációját tekintve, melyre t jelöli a tartományok számát, teljesül, hogy: E + 2 = V + t Ha a G síkgráf nem feltétlenül összefüggő, és c jelöli a komponenseinek a számát, akkor az teljesül, hogy: E + c + 1 = V + t Bizonyítás (vázlat) Ha a gráfban van kör, annak egy élét törölve az általa elválasztott két tartomány egyesül (ennek a meggondolását itt elsumákoljuk), így a tartományok és élek száma is (vagyis az egyenlet mindkét oldala) 1-gyel csökken. Az eljárás ismétlésével feszítőfát (nem összefüggő gráf esetén feszítőerdőt) kapunk, aminek 1 tartománya van, így teljesül rá az összefüggés (Miért?).

6 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Síkgráfok Álĺıtás (Élszámbecslés egyszerű síkgráfokra) Ha a G = (ϕ, E, V ) egyszerű, összefüggő síkgráfra V 3, akkor Bizonyítás E 3 V 6. V = 3 esetén 2 ilyen gráf van: P 2 és C 3, amelyekre teljesül az álĺıtás. V > 3 esetén legalább 3 éle van a gráfnak (Miért?). Mivel G egyszerű, ezért minden tartományát legalább 3 él határolja, ezért a tartományok határán végigszámolva az éleket az így kapott érték legalább 3t. Mivel minden él legfeljebb két tartományt választ el, ezért 3t 2 E. Az Euler-formulát használva 3( E + 2 V ) 2 E, amiből kapjuk az álĺıtást. Megjegyzés A becslés nem összefüggő (de egyszerű) síkgráfok esetén is teljesül, hiszen élek hozzávételével egyszerű összefüggő síkgráfot kaphatunk. (Miért?)

7 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Síkgráfok Álĺıtás Ha G = (ϕ, E, V ) egyszerű síkgráf, akkor δ = min d(v) 5. v V Bizonyítás Feltehető, hogy V 3 (Miért?). Indirekt tfh. δ 6. Ekkor 6 V 2 E (Miért?), továbbá az előző álĺıtást használva 2 E 6 V 12, vagyis 6 V 6 V 12, ami ellentmondás. Megjegyzés Létezik 5-reguláris egyszerű síkgráf. (Például az ikozaéder élhálózatát le lehet rajzolni a síkba, és az pont ilyen lesz.)

8 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Síkgráfok Álĺıtás (Élszámbecslés egyszerű páros síkgráfokra) Ha a G = (ϕ, E, V = A B) egyszerű, összefüggő síkgráf páros gráf, és V = A + B 4, akkor Bizonyítás E 2 V 4. V = 4 esetén 3 ilyen gráf van: S 3, P 3 és C 4, amelyekre teljesül az álĺıtás. V > 4 esetén legalább 4 éle van a gráfnak (Miért?). Mivel G egyszerű, ezért minden tartományát legalább 3 él határolja, és mivel G páros, azaz minden köre páros hosszú, ezért minden tartományát legalább 4 él határolja. (A külső tartományt is! Miért?) A tartományok határán végigszámolva az éleket az így kapott érték legalább 4t. Mivel minden él legfeljebb két tartományt választ el, ezért 4t 2 E. Az Euler-formulát használva 4( E + 2 V ) 2 E, amiből kapjuk az álĺıtást.

9 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Síkgráfok Megjegyzés A becslés nem összefüggő (de egyszerű) páros síkgráfok esetén is teljesül, hiszen élek hozzávételével összefüggő páros síkgráfot kaphatunk. (Miért?) Megjegyzés A becslés 3 csúcsú páros síkgráfokra is teljesül, mert ezeknek legfeljebb két élük van.

10 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Síkgráfok Álĺıtás K 3,3 nem síkgráf. Bizonyítás Indirekt tfh. K 3,3 síkgráf. E = 3 3 = 9 és V = = 6, így az egyszerű páros síkgráfok élszámára vonatkozó becslés alapján = 8, ami ellentmondás. Álĺıtás K 5 nem síkgráf. Bizonyítás Indirekt tfh. K 5 síkgráf. E = 10 és V = 5, így az egyszerű síkgráfok élszámára vonatkozó becslés alapján = 9, ami ellentmondás.

11 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Síkgráfok Definíció (Topologikus izomorfia) A G és G gráfokat topologikusan izomorfnak nevezzük, ha az alábbi lépést, illetve a fordítottját alkalmazva, véges sok lépésben az egyikből a másikkal izomorf gráfot kaphatunk: egy másodfokú csúcsot törlünk, és a szomszédjait összekötjük egy éllel. Példa (az első lépése még NEM!) Az első lépésben harmadfokú csúcsot törlünk, így kapjuk a Petersen gráf egy 9 csúcsú részgráfját (ezt a részgráfot ábrázolja a második ábra). A második és a harmadik ábrán ábrázolt gráfok topologikusan izomorfak.

12 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Síkgráfok Tétel (Kuratowski) (NB) Egy egyszerű gráf pontosan akkor síkgráf, ha nincs olyan részgráfja, ami topologikusan izomorf K 5 -tel vagy K 3,3 -mal. Kuratowski tételének az egyik iránya triviálisan igaz (Melyik?), a másik irány Kuratowski tényleges tétele, és itt nem bizonyítjuk.

13 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Gráfok színezése Szeretnénk egy térképet kiszínezni úgy, hogy a szomszédos régiók különböző színűek legyenek. A probléma megközeĺıtése gráfokkal: a régióknak felelnek meg a csúcsok. Két csúcs szomszédos, ha a megfelelő régióknak van közös határvonala. A térképnek megfelelő gráf síkgráf lesz. Tétel (Négyszíntétel) (NB) Minden síkgráf 4 színnel színezhető. Megjegyzés 1976-ban bizonyította Appel és Haken. Ez volt az első nevezetes sejtés, aminek a bizonyításához számítógépet is használtak lehetséges ellenpéldát ellenőriztek, 1200 órán keresztül futott a program.

14 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Gráfok színezése Definíció Egy gráf egy csúcsszínezését jólszínezésnek nevezzük, ha a szomszédos csúcsok színe különböző. Definíció Egy gráf kromatikus száma az a legkisebb n természetes szám, amelyre jólszínezhető n színnel. Megjegyzés A kromatikus szám pontosan akkor 1, ha nincs éle a gráfnak, és ha 2 a kromatikus szám, akkor a gráf páros. A síkgráfok kromatikus száma legfeljebb 4.

15 Gráfelmélet Diszkrét matematika március Síkgráfok, Gráfok jólszínezése és kromatikus száma Eddig tartott az ötödik kis témakör. A jólszínezés ugyan nemcsak a síkgráfokra értelmezhető, ezért a negyedik témakörben lenne természetes helye, de az már eleve jó nagy volt, és jólszínezéses tételt most csak síkgráfokra vettünk, így inkább ide suvasztottam be kistémakörileg. Ebből a témakörből március :15-10:30 között lesz két villámkérdés, és egyúttal az első nagy témakörből (gráfokból) egy bizonyítást is fogok kérdezni.

16 Algebrai struktúrák Diszkrét matematika március Műveletek Definíció (Művelet) Egy X halmazon értelmezett (r-változós, r-ér ) művelet alatt egy : X r X függvényt értünk. Egy X halmazon értelmezett binér (kétváltozós) művelet egy : X X X függvény. Gyakran (x, y) helyett x y-t írunk. Egy X halmazon értelmezett unér (egyváltozós) művelet egy : X X függvény. Példa C halmazon az + is, és is binér műveletek. C halmazon az (osztás) nem művelet, mert dmn( ) C C. C = C \ {0} halmazon az binér művelet. C halmazon a 0 illetve 1 konstans kijelölése nullér művelet. R n (n > 1) vektortéren a vektorok skaláris szorzása nem művelet, mert rng(, ) = R R n (a szorzás eredménye nem vektor) R n vektortéren egy adott λ R skalárral való szorzás unér művelet

17 Algebrai struktúrák Diszkrét matematika március Műveleti tulajdonságok Definíció A : X X X művelet: - asszociatív, ha a, b, c X : (a b) c = a (b c); - kommutatív, ha a, b X : a b = b a. Példa C-n az + ill. a műveletek asszociatívak, kommutatívak. A függvények halmazán a kompozíció művelete asszociatív: (f g) h = f (g h). A függvények halmazán a kompozíció művelete nem kommutatív: f (x) = x + 1, g(x) = x 2 : x = (f g)(x) (g f )(x) = (x + 1) 2. A kivonás az egész számok halmazán nem asszociatív: 1 = (1 1) 1 1 (1 1) = 1.

18 Algebrai struktúrák Diszkrét matematika március Művelettartó leképezések Definíció Legyen X halmaz a művelettel, Y a művelettel. Az f : X Y függvény művelettartó, ha x, y X esetén Példa f (x y) = f (x) f (y). Legyen X = R az + művelettel, Y = R + a művelettel. Ekkor az x a x művelettartó: a x+y = a x a y. Legyen X = Y = C az + művelettel. Ekkor a z z művelettartó: z + w = z + w. Legyen X = Z a + művelettel, Y = Z m a + m (összeadás modulo m) művelettel. Ekkor a n n mod m művelettartó: (k + n) mod m = (k mod m) + m (n mod m). Legyen X = {I, H} a XOR/ művelettel, Z 2 a +/ művelettel. Ekkor a H 0, I 1 hozzárendelés művelettartó (XOR-nak +).

19 Algebrai struktúrák Diszkrét matematika március Algebrai struktúrák Definíció (Algebrai struktúra; Grupoid) A (H; M) pár algebrai struktúra, ha H egy halmaz, M pedig H-n értelmezett műveletek halmaza. Ha az M művelethalmaz egyetlen műveletet tartalmaz, és az egy binér művelet, akkor a (H; M) struktúrát grupoidnak nevezzük. A (H; { }) jelölés helyett a (H; ) jelölést is használhatjuk. Példa (N; +) algebrai struktúra, mert természetes számok összege természetes szám (ld. Diszkrét matematika 1.), és grupoid is. (N; ) nem algebrai struktúra, mert például 0 1 = 1 N. (Z; +, ) algebrai struktúra, mert egész számok összege és szorzata egész szám (ld. Diszkrét matematika 1.), de nem grupoid. (Z m ; +, ) algebrai struktúra (ld. Diszkrét matematika 1.), de nem grupoid, mert két művelet van.

20 Algebrai struktúrák Diszkrét matematika március Félcsoportok Definíció (Félcsoport) A (G; ) grupoid félcsoport, ha asszociatív G-n. Definíció (egységelem, semleges elem) Ha létezik olyan s G elem, amire g G : s g = g s = g, akkor az s elemet semleges elemnek (más néven egységelemnek) nevezzük. Definíció (Monoid) Ha (G; ) félcsoportban létezik s semleges elem, akkor G-t semleges elemes félcsoportnak, egységelemes félcsoportnak, más néven monoidnak nevezzük. N az + művelettel egységelemes félcsoport n = 0 egységelemmel. Q a művelettel egységelemes félcsoport n = 1 egységelemmel. C k k a mátrixszorzással egységelemes félcsoport az egységmátrixszal mint egységelemmel.

21 Algebrai struktúrák Diszkrét matematika március Csoportok Definíció (elem inverze) Legyen (G; ) egy egységelemes félcsoport e egységelemmel. A g G elem inverze az a g 1 G elem, melyre g g 1 = g 1 g = e. Egy elemnek nem feltétlenül létezik inverze, de ha létezik, akkor egyértelmű. (Miért?) Definíció (Csoport) Ha a (G; ) egy egységelemes félcsoportban minden g G elemnek létezik inverze, akkor (G; ) csoport. Definíció (Abel-csoport) Ha a (G; ) csoportban a csoportművelet kommutatív, akkor (G; ) Abel-csoport. Z a legszűkebb olyan (Abel-) csoport, mely tartalmazza N-et.

22 Algebrai struktúrák Diszkrét matematika március Csoportok Z megkonstruálható N-ből: az (r, s) (p, q), ha r + q = p + s ekvivalenciareláció osztályai az egész számok. Példák csoportokra: (Q; +) a 0 egységelemmel Abel-csoport. (Q ; ) az 1 egységelemmel Abel-csoport, ahol Q = Q \ {0}. (Z m ; +) a 0 egységelemmel Abel-csoport. (Z p; ) az 1 egységelemmel Abel-csoport. {M C k k : det M 0} a mátrixszorzással, és az egységmátrixszal mint egységelemmel, csoport (de k > 1 esetén nem Abel). X X bijektív függvények a kompozícióval, és az id X : x x identikus leképzéssel mint egységelemmel.