Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Átírás

1 Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs I. Félév

2 2

3 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei: A természetes számok halmazába tartoznak a pozitív egész számok és a 0, azaz N := {0, 1, 2, 3,... } c) műveletek Az összeadás és a szorzás nem vezet ki a számhalmazból. A kivonás, az osztás és a gyökvonás elvégzése viszont nem mindig lehetséges. ➁ a) jelölése: Z b) elemei: Az egész számok halmazába tartoznak a pozitív és negatív egész számok és a 0, azaz Z := {0, ±1, ±2, ±3,... } c) műveletek Az összeadás, a kivonás és a szorzás nem vezet ki a számhalmazból. Az osztás és a gyökvonás elvégzése viszont nem mindig lehetséges. ➂ a) jelölése: Q b) elemei: A racionális számok halmazába azon számok tartoznak, melyek felírhatók két egész szám hányadosaként. Ahhoz, hogy ez a felírás egyértelmű legyen a következő kikötéseket szokás tenni: { } p Q :=, p Z, q Z, q > 0, (p, q) = 1 q c) műveletek Az összeadás, a kivonás, a szorzás és az osztás (0-ra figyelni kell) nem vezet ki a számhalmazból. A racionális számok halmaza a rajta értelmezett összeadás és szorzás műveletekkel testet alkot (részletesebb magyarázat Bevezetés a matematikába című tárgy keretein belül). A határátmenet (magyarázat később) és a gyökvonás elvégzése továbbra is problémát jelent. 3

4 4 1. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK ➃ a) jelölése: R b) elemei: A számegyenes pontjaival kölcsönösen egyértelmű módon megfeleltethető számhalmazt nevezzük valós számhalmaznak. c) műveletek Az összeadás, a kivonás, a szorzás, az osztás (0-ra figyelni kell) és a határátmenet nem vezet ki a számhalmazból. A valós számok halmaza is testet alkot a rajta értelmezett összeadás és szorzás műveletekkel. A gyökvonás elvégzése (negatív számok esetén) továbbra is probléma. Ezt fogja megoldani a komplex számok (C) bevezetése (részletesebb magyarázat Bevezetés a matematikába című tárgy keretein belül). További jelölések Több állítás esetén is ki kell zárnunk a természetes számok közül a nullát. Szokás a nullától megfosztott természetes számok halmazára új jelölést bevezetni: N := N\{0} Legyen n N, ekkor a N n := {k, N k < n} halmazt a természetes számok n-edik szeletének nevezzük. A valós számhalmaz azon elemeit, melyek nem tartoznak a racionális számok közé (a racionális számok halmazának a valós számokra vonatkozó komplementer halmaza) irracionális számoknak nevezzük és Q -gal jelöljük, azaz Q := R\Q 1.2. Az abszolútérték és tulajdonságai 1.1. Definíció. Az a R szám abszolútértékén az { a, ha a 0 a := a, ha a < 0. számot értjük Tétel. (Az abszolútérték tulajdonságai) i) a 0 minden a R esetén és a = 0 pontosan akkor teljesül, ha a = 0. ii) Bármely a R esetén a a a. iii) Legyen a, b R, ekkor a+b a + b. (háromszög egyenlőtlenség) iv) Legyen a, b R, ekkor a b a b. v) Legyen a, b R, ekkor a b = a b Megjegyzés. Az abszolútérték geometriai jelentése a számegyenes a 0-tól mért távolság Definíció. Legyen a, b R, a<b. Intervallumnak nevezzük és az alábbi módon jelöljük a valós számhalmaz alábbi részhalmazait:

5 1.3. SZÁMHALMAZ ALSÓ ÉS FELSŐ HATÁRA 5 zárt intervallum: [a, b] := {x R a x b} nyílt intervallum: (a, b) := {x R a < x < b} balról zárt, jobbról nyílt intervallum: [a, b) := {x R a x < b} balról nyílt, jobbról zárt intervallum: (a, b] := {x R a < x b} 1.5. Definíció. Az a szám R sugarú környezetén az (a R, a+r) nyílt intervallumot értjük és K R (a)-val jelöljük Következmény. K R (a) környezet pontosan azon x valós számokat tartalmazza, melyekre x a < R Számhalmaz alsó és felső határa 1.7. Definíció. Legyen A R. Ha létezik α A elem, melyre igaz, hogy α a minden a A esetén, akkor a α számot az A halmaz maximumának nevezzük és a max A := α jelölést használjuk Definíció. Legyen A R. Ha létezik β A elem, melyre igaz, hogy β a minden a A esetén, akkor a β számot az A halmaz minimumának nevezzük és a min A := β jelölést használjuk Tétel. Véges halmaznak mindig van legnagyobb és legkisebb eleme (maximuma és minimuma) Következmény. Az hogy valamely A R halmaznak nincs minimuma, megfogalmazható pozitív állítás formájában is: m A esetén a A elem, hogy a < m Következmény. Hasonlóan, ha az = A R halmaznak nincs maximuma, akkor M A esetén a A elem, hogy a > M Definíció. Legyen = A R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz felülről korlátos, ha létezik K R szám, melyre a K, minden a A esetén. Ekkor a K R valós számot a halmaz egy felső korlátjának nevezzük Definíció. Legyen A R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz alulról korlátos, ha létezik k R szám, melyre a k, minden a A esetén. Ekkor a k R valós számot a halmaz egy alsó korlátjának nevezzük Definíció. Legyen A R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz korlátos, ha létezik M R + szám, melyre a M, minden a A esetén. Ekkor a M R nemnegatív valós számot a halmaz egy korlátjának nevezzük Következmény. Az = A R halmaz pontosan akkor korlátos, ha felülről is és alulról is korlátos.

6 6 1. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK Következmény. Legyen A R felülről korlátos halmaz és K R a halmaz egy felső korlátja. Ekkor minden K > K valós szám jó felső korlátja a halmaznak. Azaz, ha a halmaznak létezik felső korlátja, akkor végtelen sok van Következmény. Legyen A R alulról korlátos halmaz és k R a halmaz egy alsó korlátja. Ekkor minden k < k valós szám jó alsó korlátja a halmaznak. Azaz, ha a halmaznak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok van Tétel. Felülről korlátos halmaz felső korlátjai között mindig van legkisebb és alulról korlátos halmaz alsó korlátjai között mindig van legnagyobb Definíció. A ξ R számot az =A R halmaz szuprémumának (felső határának) nevezzük, ha i) ξ egy felső korlát, azaz ξ a minden a A esetén. ii) ξ a legkisebb felső korlát, azaz bármely K < ξ esetén létezik a A elem, melyre a > K teljesül Definíció. A ξ R számot az = A R halmaz infimumának (alsó határának) nevezzük, ha i) ξ egy alsó korlát, azaz ξ a minden a A esetén. ii) ξ a legnagyobb alsó korlát, azaz bármely k > ξ esetén létezik a A elem, melyre a < k teljesül Következmény. Ha az = A R halmaznak van maximuma, akkor van szuprémuma is és sup A = max A és hasonlóan ha az A R halmaznak van minimuma, akkor van infimuma is és inf A = min A Következmény. Ha az A R halmaz tartalmazza egy K felső korlátját, akkor a halmaznak van maximuma és max A = K és hasonlóan ha az = A R halmaz tartalmazza egy k alsó korlátját, akkor a halmaznak van minimuma és min A = k Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az A R felülről nem korlátos. K R, a A, a > K Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az =A R alulról nem korlátos. k R, a A, a < k Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az = A R nem korlátos. M R, a A, a > M.

7 1.3. SZÁMHALMAZ ALSÓ ÉS FELSŐ HATÁRA Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmaz alsó- és felső határát. { } 1 A = n : n N, n > 0 Sejtés: sup A = 1. Bizonyítás:. i) Az 1 egy jó felső korlát, hiszen a A a 1, mivel n 1 1 n 1 1 = 1 ii) Az 1 a legkisebb felső korlát, vagyis a = 1 = 1 A minden K-ra ilyen. 1 K < 1 esetén a A : a > K. Azaz K = 1 valóban a legkisebb felső korlát. (Az állítás indokolható lett volna azzal is, hogy 1 A így a halmaz maximuma és szuprémuma is egyben.) Sejtés: inf A = 0. Bizonyítás:. i) A 0 egy jó alsó korlát, mivel a A a 0. nyilvánvaló, hiszen 1, n 0 a = 1 n 0. ii) A 0 a legnagyobb alsó korlát, vagyis k > 0 esetén a A : a < k. Legyen b = 1 k R+. Az archimédeszi axióma alapján 1, b R + számokhoz n N b < n 1. Ekkor Azaz k = 1 valóban a legnagyobb alsó korlát. a := 1 n < 1 b = k Feladat. Bizonyítsuk be, hogy inf { x : x X} = sup X. Legyen α := sup X és legyen Y := { x : x X}. Ekkor i) Az α az Y egy jó alsó korlátja, mivel α = sup X x X α x α x x X α y y Y.

8 8 1. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK ii) Az α az Y infimuma, azaz k > α esetén y 0 Y : y 0 < k. Mivel α az X szuprémuma ezért bármely K < α esetén létezik x X elem, hogy x > K. Legyen K 0 = k < α és legyen x 0 a fentiek alapján K 0 -hoz talált X-beli elem, azaz x 0 > K 0 k = K > α y 0 = x 0 Y y 0 = x 0 < K = k. Azaz α valóban az Y halmaz infimuma Feladat. Bizonyítsuk be, hogy sup {x+y : x X, y Y } = sup X + sup Y. }{{}}{{}}{{} =:A α β i) α+β egy jó felső korlát, hiszen x α ( x X) és y β ( y Y ). A két egyenlőtlenséget összeadva: x+y α+β x X, y Y. ii) α+β a legkisebb felső korlát, azaz K < α+β esetén a A, amelyre a > K. Mivel K < α+β ezért létezik k 1 < α és létezik k 2 < β, hogy K = k 1 +k 2. (Megjegyeznénk, hogy K felbontásai közül nem mind teljesít egyszerre mindkét feltételt, de garantálható, hogy létezik olyan felbontás, amely igen.) Ekkor k 1 < α = sup X x 0 X, x 0 > k 1, k 2 < β = sup Y y 0 Y, y 0 > k 2. Így a := x 0 +y 0 A esetén a > K = k 1 +k 2 teljesül Nevezetes összefüggések Tétel. (Számtani és mértani közép közötti összefüggés) Legyen a 1, a 2,..., a n n darab nemnegatív szám (n N ). Ekkor a számok számtani közepe nem kisebb ugyanezen számok mértani közepénél, azaz n a1 a 2... a n a 1 +a 2 + +a n n és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a 1 = a 2 = = a n Tétel. (Általánosított háromszögegyenlőtlenség) Bármely x 1, x 2,... x n R, n N számokra x 1 +x 2 + +x n x 1 + x x n Tétel. (Bernoulli egyenlőtlenség) Minden n N és h R esetén a) 1+nh (1+h) n, ha h > 1, b) (1+h) n 1+2nh, ha 0 < h < 1 2n.

9 2. fejezet Számsorozatok alaptulajdonságai 2.1. Definíció. I. A természetes számok halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. II. Azokat a hozzárendeléseket, melyek a természetes számok minden eleméhez egy X halmaz egy és csakis egy elemét rendelik, sorozatoknak nevezzük. Jelölések, elnevezések: x : N X (X ): sorozat x(n) := x n (n N): sorozat n. tagja, n: elem indexe. További jelölések sorozatra: x = (x 0, x 1,... ) x = (x n, n N) x n (n N) Megkülönböztetünk néhány sorozatot: Ha X = R, akkor x valós számsorozat, Ha X = C, akkor x komplex számsorozat, vektorsorozat, intervallumsorozat, függvénysorozat. Sorozatok megadása Felsorolással: Pl. (1,3,5,7,9,11,... ), Képlettel: Pl. x n = 2n+1,(n N), Rekurzióval: Pl. 1. x 0 = 1, x n = x n 1 +2, (n N ), 2. x 0 = x 1 = 1, x n+1 = x n 1 +x n, (n N, n 2): Fibonacci sorozat, 9