Sorozatok és Sorozatok és / 18

Átírás

1 Sorozatok és Sorozatok és / 18

2 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle konvergenciakritérium Sorozatok és / 18

3 Sorozatok alapfogalmai Sorozatok alapfogalmai Deníció Egy valós sorozat egy N-b l R-be képez függvény. Értelmezési tartománya többnyire N vagy N +. Jelölés: a(n) helyett általában a n, pl. a 1, a 2, a 3,... vagy a 0, a 1, a 2,... megadja mindegyik elem képét. Sorozat megadása Az els néhány tag felsorolásával (ha abból ki lehet találni, mire gondolunk), pl. 1, 3, 5, 7, 9,... a pozitív páratlan számok. n-t l függ képlettel, pl. a n = n + n 2 2, n 2 Rekurzióval, pl.: a Fibonacci-sorozat: a 1 = a 2 = 1, a n+1 = a n + a n 1, ha n 2 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Jelölés: a n (n = 1, 2,...) vagy [a n ] vagy [a n ] n N. Sorozatok és / 18

4 Sorozatok jellemz i Sorozatok jellemz i Deníció Egy [a n ] sorozat monoton növ, ha a n a n+1 n szigorúan monoton növ, ha a n < a n+1 n monoton fogyó (csökken ), ha a n a n+1 n szigorúan monoton fogyó (csökken ), ha a n > a n+1 n korlátos, ha K R: a n K n Sorozatok és / 18

5 Sorozatok jellemz i Példa A ( 1) n sorozat korlátos, de nem monoton. y Az a n = n 2 sorozat szigorúan monoton növ, nem korlátos. y x Az sorozat szigorúan monoton fogyó, és korlátos. n y x x Sorozatok és / 18

6 Sorozatok határértéke Sorozatok határértéke Deníció Egy [a n ] sorozat határértéke (limesze): lim n a n = A R, ha ε n 0 : (n n 0 a n A < ε), azaz a n tetsz legesen közel kerül A-hoz, ha n elég nagy. Deníció { ( lim a n = n, ha K n 0: n n 0 a n > K a n < K azaz a n tetsz legesen nagy (kicsi), ha n elég nagy. ), Deníció Az [a n ] sorozat konvergens, ha véges határértéke van, és divergens, ha nem konvergens. Sorozatok és / 18

7 Sorozatok határértéke Tétel lim a n = n A (A ε, A + ε) minden (K, ) (, K) a sorozatnak csak véges sok (index ) eleme van. intervallumon kívül Bizonyítás Nyilvánvalóan ekvivalens, hogy valamely n 0 -tól benne vannak a sorozat tagjai egy I intervallumban, illetve, hogy csak véges sok (index ) tag van rajta kívül. Pl. Az 1, 2, 1, 2, 1, 2,... sorozatnak nem limesze az 1, mert az ( 1 2, 3 2 ) intervallumon kívül végtelen sok (2 érték ) eleme van a sorozatnak. Könnyen látható, hogy ez a sorozat korlátos, de divergens. Sorozatok és / 18

8 Sorozatok határértéke Sorozatok limeszére ugyanúgy érvényesek a m veleti tulajdonságok (a kiterjesztett R {± } aritmetikával), és a rend relv, mint a függvények határértékére. Tétel (Átviteli elv) Legyen f valós függvény, α, β R {± }. lim f (x) = β minden x n valós sorozatra x α lim x n = α esetén lim f (x n) = β. n n Példa ln n ln x lim = 0, mert lim n n x x függvény limeszére. L H( = ) 1/x lim x 1 = 0 igaz a megfelel Sorozatok és / 18

9 Sorozatok határértéke Az integrál deníciója sorozatokkal: Az [a, b] intervallumon korlátos f (x) függvény akkor és csak akkor integrálható [a, b]-n, és integrálja I, ha minden [P n ] felosztássorozatra a reprezentánsrendszerek tetsz leges választása mellett lim P n 0 lim I P n n n,c n = I Sorozatok és / 18

10 Konvergencia és korlátosság Konvergencia és korlátosság Tétel Minden konvergens sorozat korlátos. Bizonyítás Legyen lim n a n = A R. Ekkor pl. az (A 1, A + 1)-en kívül csak véges sok tagja van a sorozatnak. Ha K a kimaradó tagok abszolút értékének, A + 1 -nek és A 1 -nek a maximuma, akkor a n K minden n-re. Megjegyzés Az állítás megfordítása nyilván nem igaz, pl. az 1, 2, 1, 2, 1, 2,... sorozat korlátos, de nem korvergens: bármely c R-re 1 vagy 2 nincs benne a (c 1, 2 c + 1 ) intervallumban, és ez végtelen sok index kimaradó tagot 2 jelent. Sorozatok és / 18

11 Konvergencia és korlátosság Tétel Minden monoton és korlátos sorozat konvergens R-ben. Bizonyítás Tegyük fel, hogy az [a n ] sorozat monoton, és legyen a n K n. Felezgessük a [ K, K] intervallumot mindig az intervallum els vagy második zárt felét választva, úgy, hogy a kiválasztott fél intervallumban mindig végtelen sok (index ) tagja legyen a sorozatnak: I 0 = [ K, K] I 1 I 2. Ugyanúgy, mint a Bolzano-tétel bizonyításában, I i = {c} a Cantor-axióma és az intervallumok 0-hoz i=0 tartó hossza miatt. Ekkor lim a n = c, n ugyanis ε > 0 i: I i (c ε, c + ε) =: I. Így I tartalmaz végtelen sok tagot: a n0, a n1,... valamely n 0 < n 1 < -ra. n n 0 -ra n j : n 0 n n j, és a monotonitás miatt a n0, a nj I a n I. Tehát c valóban limesze a sorozatnak. Sorozatok és / 18

12 Konvergencia és korlátosság Megjegyzés Az el bbi tétel nyilván akkor is igaz, ha a korlátos sorozat csak az N-edik tagjától kezdve monoton valamely N N-re. Példa c > 0-ra deniáljuk rekurzívan ) a következ sorozatot: a 0 > 0 tetsz leges, (a n + can és a n+1 = 1 2. Ekkor lim n a n = c. Bizonyítás a n > 0 n, és belátjuk, hogy a sorozat a 1 -t l kezdve monoton fogyóan tart c-hez. Sorozatok és / 18

13 Konvergencia és korlátosság Bizonyítás (folytatás) a n+1 c n 0 a n a n+1 n 1 ) ) 1 2( an + c a n c an 2( 1 an + c a n a 2 n 2 ca n + c 0 a n c a n (a n c) 2 0 a n c Tehát a sorozat n = 1-t l kezdve monoton, és korlátos is (0 < a n a 1 n 1), így konvergens. Legyen lim a n = A. n a n c (n 1) A c > 0, és A = lim a n+1 = lim n n 2 A 2 c = 0 A = c. ) 1 (a n + can = 1 2 ( A + c ) A 3 Pl. c = 2, a 0 = 1-re a sorozat eleje 1, 2 = , 17, , és Sorozatok és / 18

14 Konvergencia és korlátosság Deníció Egy [a n ] sorozat részsorozata egy a n1, a n2, a n3 n 1 < n 2 <. végtelen sorozat, ahol A deníciókból közvetlenül adódik: Állítás Ha lim n a n = α R {± }, és [a nk ] egy részsorozata [a n ]-nek, akkor lim k a n k = α. Példa Az [a n ] n N + : 1, 2, 1, 2, 1, 2,... divergens sorozatnak részsorozata az [a 2k ] : 2, 2, 2,... konvergens sorozat. Sorozatok és / 18

15 Konvergencia és korlátosság Tétel Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Bizonyítás Ha nincs monoton fogyó részsorozat, akkor véges monoton fogyó részsorozat véget ér (azaz a n1... a nk -hoz nincs n k+1 > n k, hogy a nk a nk+1. De akkor a végtelen sok ilyen utolsó tag szigorúan monoton növ részsorozatot alkot. y x Sorozatok és / 18

16 Konvergencia és korlátosság Tétel (BolzanoWeierstrass) Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. Bizonyítás Az el bbi tétel szerint van monoton részsorozata, ami nyilván korlátos, így konvergens is. A BolzanoWeierstrass-tétel segítségével be lehet bizonyítani a korábban tanult, folytonos függvények széls értékér l szóló Weierstrass-tételt. Sorozatok és / 18

17 Konvergencia és korlátosság Tétel (Weierstrass-tétel) Ha az f függvény folytonos az [a, b] intervallumon, akkor ott felveszi a maximumát és a minimumát. Bizonyítás (vázlat) f korlátos, különben [x n ] sorozat [a, b]-ben, hogy f (x n ) > n n, vagy [y n ], hogy f (y n ) < n n. Pl. az els esetben [x n ]-nek van konvergens [x nk ] c [a, b] részsorozata, és erre lim k f (x n k ) = f (c). Intervallumfelezéssel beláthatjuk, hogy f -nek van egy M legkisebb fels és egy m legnagyobb alsó korlátja. Van olyan [x n ] sorozat, amire lim n f (x n) = M, és x n -nek egy konvergens [x nk ] c részsorozatára f folytonossága miatt f (c) = lim k f (x n k ) = M. Mivel M fels korlátja f -nek [a, b]-n, M az f maximuma. Ugyanígy m a minimuma. Sorozatok és / 18

18 Cauchy-féle konvergenciakritérium Cauchy-féle konvergenciakritérium Tétel Egy [a n ] valós sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha minden ε > 0-hoz n 0, hogy n, m n 0 esetén a n a m < ε. Sorozatok és / 18