Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Átírás

1 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42

2 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik, azonosságok az el adáson elhangzott kétváltozós logikai azonosságok bizonyítása igazságtáblával (implikáció ekvivalens alakja, implikáció tagadása, kontrapozíció, de Morgan azonosságok) szükségesség és elégségesség fogalma univerzális és egzisztenciális kvantor halmazm veletek és tulajdonságaik, azonosságok halmazok számossága, végtelen számhalmazok Vizsgatematika 2 / 42

3 Példa (Az implikáció ekvivalens alakja) A B A B Megoldás A B A B Vizsgatematika 3 / 42

4 Példa (Az implikáció tagadása) (A B) A B Megoldás (A B) A B Vizsgatematika 4 / 42

5 Példa (Kontrapozíció) A B B A Megoldás A B B A Vizsgatematika 5 / 42

6 Példa (de Morgan azonosságok) (A B) A B (A B) A B Megoldás (A B) A B (A B) A B Vizsgatematika 6 / 42

7 Vektorok: vektorok összeadása, skalárral szorzása és ezek m veleti tulajdonságai lineáris kombináció fogalma, a sík, illetve tér vektorainak el állítása lineáris kombinációként skaláris szorzás és tulajdonságai, hosszúság, szög, háromszög-egyenl tlenség vektor felbontása mer leges összetev kre vektoriális szorzás és tulajdonságai vegyesszorzat és tulajdonságai, parelelepipedon térfogata vektorm veletek (összeadás, skalárral szorzás, skaláris szorzás, vektoriális szorzás) koordinátás alakban skaláris szorzat koordinátás alakja két dimenzióban az n dimenziós tér, lineáris függetlenség fogalma és ekvivalens alakja skaláris szorzás, távolság, szög az n dimenziós térben, Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenl tlenség Vizsgatematika 7 / 42

8 M veletek koordinátás alakban Tétel A síkbeli u = (u, u 2 ) és v = (v, v 2 ), illetve a térbeli a = (a, a 2, a 3 ) és b = (b, b 2, b 3 ) vektorok skaláris szorzata u v = u v + u 2 v 2, illetve a b = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3. Bizonyítás Síkbeli esetre: i i = j j = és i j = 0, ezért u v = (u i + u 2 j) (v i + v 2 j) = u v i i + (u v 2 + u 2 v )i j + u 2 v 2 j j = u v + u 2 v 2 Vizsgatematika 8 / 42

9 Analitikus térgeometria: egyenes és sík paraméteres és paramétermentes egyenlete térelemek kölcsönös helyzete, két egyenes, sík és egyenes, valamint két sík metszetének meghatározása térelemek távolsága, pont és egyenes, pont és sík, valamint nem párhuzamos egyenesek távolsága Vizsgatematika 9 / 42

10 Komplex számok: komplex szám algebrai alakja, m veletek algebrai alakban komplex szám konjugáltjának és abszolút értékének tulajdonságai komplex szám trigonometrikus alakja, m veletek trigonometrikus alakban, hatványozás, gyökvonás, komplex egységgyökök algebra alaptétele Vizsgatematika 0 / 42

11 Függvények határértéke: függvény fogalma, függvény grakonja véges határérték a végtelenben és véges pontban végtelen határérték a végtelenben és véges pontban határértékek és algebrai m veletek, kib vített aritmetika rend relv sin x határértéke a 0-ban jobb- és baloldali határérték fogalma sin /x határértéke a 0-ban aszimptoták (vízszintes, függ leges, ferde) Vizsgatematika / 42

12 Példa (A rend relv további alkalmazásai) sin ϕ ϕ ϕ cos ϕ Radiánban írva: sin ϕ ϕ Vizsgatematika 2 / 42

13 ϕ sin ϕ ϕ, és lim ϕ 0 ( ϕ ) = lim ϕ 0 ( ϕ ) = 0, ezért lim sin ϕ = 0. ϕ 0 y x sin x x x Vizsgatematika 3 / 42

14 Folytonosság: pontbeli folytonosság fogalma, m veletek folytonos függvényekkel folytonos függvények kompozíciója folytonos szakadási helyek osztályozása egyoldali folytonosság fogalma és kapcsolata a pontbeli folytonossággal Bolzano-tétel Bolzano-Darboux-tétel, Weierstrass-tétel Vizsgatematika 4 / 42

15 Állítás Ha g folytonos a c pontban, és f folytonos az g(c) pontban, akkor f g folytonos a c pontban. (Jelölés: (f g)(x) := f (g(x)).) Bizonyítás Legyen ε > 0 tetsz leges. f folyt. g(c)-ben = δ > 0 [ u g(c) < δ = f (u) f (g(c)) < ε] g folyt. c-ben = δ 2 > 0 [ x c < δ 2 = g(x) g(c) < δ ] Ekkor δ 2 megfelel δ-érték ε-hoz az f g függvény esetében, ugyanis: x c < δ 2 = g(x) g(c) < δ = f (g(x)) f (g(c)) < ε Vizsgatematika 5 / 42

16 Tétel (Bolzano-tétel) Ha f folytonos az [a, b] zárt intervallumon és f (a) és f (b) ellentétes el jel ek (f (a) f (b) < 0), akkor f -nek van zérushelye az intervallum belsejében, vagyis c (a, b) : f (c) = 0. Bizonyítás [a, b] = I 0 I I 2 zárt intervallumok: y f (x) 0 2 x I n+ az I n -nek az a fele, amelyiknek a két végpontján f különböz el jel (ha f valamelyik osztópontban 0, akkor leállunk) Vizsgatematika 6 / 42

17 Bizonyítás (folytatás) Cantor-axióma: Egymásba skatulyázott nem üres zárt intervallumok metszete nem üres R-ben. Legyen c J = I 0 I I I n hossza b a, ez akármilyen kis ε > 0-nál kisebb, ha n elég nagy. = 2 n J = {c}. f (c) = 0, mert ha pl. f (c) = K > 0 lenne, akkor f folytonossága miatt valamely ε > 0-ra x (c ε, c + ε) [a, b]-re f (x) K > 0. De 2 valamelyik I n intervallum beleesik a c-nek ebbe a környezetébe, és annak a végpontjain f pozitív és negatív értéket is felvesz. Vizsgatematika 7 / 42

18 Elemi függvények és inverzeik: trigonometrikus függvények tulajdonságai polinomok tulajdonságai, polinomok maradékos osztása, gyöktényez k, Horner-módszer racionális gyökteszt exponenciális és hiperbolikus függvények tulajdonságai ch 2 x sh 2 x = invertálhatóság és inverz függvény fogalma invertálhatóság és monotonitás kapcsolata inverz függvény tulajdonságai elemi függvények inverze: gyökfüggvények, arkusz függvények, area függvények, logaritmus függvények és tulajdonságaik Vizsgatematika 8 / 42

19 Állítás (Racionális gyökteszt) Legyen f (x) = a n x n + a n x n +... a x + a 0 egy egész együtthatós polinom (vagyis a i Z minden i-re), és tegyük fel, hogy a p Q tovább q már nem egyszer síthet racionális szám gyöke f -nek. Ekkor p osztója a 0 -nak és q osztója a n -nek. Bizonyítás (p, q) = (relatív prímek, nincs közös osztójuk) ( p ) p n 0 = f = a n q q + a p n n n q + + n a p q + a 0 / q n 0 = a n p n + a n p n q + + a pq n + a 0 q n Vizsgatematika 9 / 42

20 Bizonyítás (folytatás) 0 = a n p n + a n p n q + + a pq n + a 0 q n p 0 és p a n p n + a n p n q + + a pq n = p a 0 q n q 0 és q a n p n q + + a pq n + a 0 q n = q a n p n Mivel (p, q) =, ezért szükségképpen p a 0 és q a n. Állítás (Hiperbolikus azonosságok) ch 2 x sh 2 x = 2 ch 2x = ch 2 x + sh 2 x 3 sh 2x = 2 sh x ch x Bizonyítás (Csak ()-et) ch 2 x sh 2 x = ( e x +e x ) 2 ( e x e x ) 2 = e2x +e 2x +2 e2x +e 2x 2 = 4 = Vizsgatematika 20 / 42

21 Dierenciálhatóság dierenciálhatóság fogalma, deriváltfüggvény, érint egyenlete folytonosság és dierenciálhatóság kapcsolata sin x függvény deriváltja dierenciálási szabályok szorzatfüggvény deriválja láncszabály inverz függvény deriváltja arcsin x függvény deriváltja Darboux-tétel elemi függvények és inverzeik deriváltja Vizsgatematika 2 / 42

22 Tétel (Dierenciálható függvény folytonos) Ha f dierenciálható c-ben, akkor ott folytonos is. Bizonyítás f (x) f (c) lim f (x) f (c) = lim (x c) = m 0 = 0, x c x c x c ha m az f dierenciálhányadosa c-ben.így lim f (x) = f (c). x c Vizsgatematika 22 / 42

23 Példa sin x = cos x, ugyanis c R esetén sin(c + h) sin(c) sin c cos h + cos c sin h sin(c) lim = lim = h 0 h h 0 h cos c sin h sin c( cos h) = lim = h 0 h = lim (cos c) sin h cos h (sin c) = (cos c) (sin c) 0 = cos c, h 0 h h ugyanis cos h ( cos h)( + cos h) cos 2 h lim = lim = lim h 0 h h 0 h( + cos h) h 0 h( + cos h) = lim h 0 sin 2 h h( + cos h) = lim sin h h 0 h (sin h) + cos h = 0 2 = 0 Vizsgatematika 23 / 42

24 Tétel Legyenek f és g c-ben dierenciálható függvények, a R konstans. Ekkor (fg) (c) = f (c)g(c) + f (c)g (c) Bizonyítás (fg) f (x)g(x) f (c)g(c) (c) = lim x c x c f (x)g(x) f (c)g(x) + f (c)g(x) f (c)g(c) = lim x c x c ( ) f (x) f (c) g(x) g(c) = lim g(x) + f (c) x c x c x c = f (c)g(c) + f (c)g (c) Vizsgatematika 24 / 42

25 Példa (arcsin x) =, x (, ) x 2 g(x) = arcsin x az f (x) = sin x [ π 2, π 2 ] függvény inverze, és f (x) = cos x, így (arcsin x) = g (x) = = sin 2 (arcsin x) f (g(x)) = cos(arcsin x) = x 2, mert cos(arcsin x) > 0 a ( π 2, π 2 )-n. Vizsgatematika 25 / 42

26 A derivált alkalmazásai: lokális és abszolút széls érték fogalma, kritikus pontok lokális széls érték szükséges feltétele Rolle-tétel Lagrange-tétel, Cauchy-tétel l'hospital-szabály logaritmus, hatvány és exponenciális függvények nagyságrendje Vizsgatematika 26 / 42

27 Tétel Ha f -nek c-ben lokális széls értéke van, és f diható c-ben = f (c) = 0. Bizonyítás Tegyük fel, hogy f -nek lokális maximuma van c-ben. Ekkor f (c) = f (c) = f (x) f (c) lim 0, x c+ x c f (x) f (c) lim x c x c 0. = f (c) csak 0 lehet. Minimumhelyre a bizonyítás ugyanígy m ködik. Vizsgatematika 27 / 42

28 Tétel (Rolle-tétel) Ha f folytonos [a, b]-n, diható (a, b)-n és f (a) = f (b), akkor van olyan c (a, b), hogy f (c) = 0. Bizonyítás f folytonos [a, b]-n, ezért van abszolút maximuma és minimuma. Mivel f diható (a, b)-n, ezért ezeket értékként vagy a végpontokban vagy olyan c bels pontban veszi fel, ahol f (c) = 0. Ha f a minimum és a maximum legalább egyikét (a, b)-ben veszi fel, akkor ott f (c) = 0. Ha a maximumot és a minimumot is a végpontokban veszi fel, akkor f (a) = f (b) miatt a függvény konstans, így mindenütt 0 a derivált. Vizsgatematika 28 / 42

29 Függvényvizsgálat: els derivált és monotonitás kapcsolata ha f 0, akkor f monoton növ els derivált és lokális széls értékek kapcsolata második derivált és konvexitás kapcsolata második derivált és inexiós pontok kapcsolata második derivált és lokális széls értékek kapcsolata Vizsgatematika 29 / 42

30 Tétel Legyen f egy valós függvény, mely folytonos [a, b]-n és diható (a, b)-n. f 0 az (a, b)-n pontosan akkor, ha f monoton növekv [a, b]-n. f 0 az (a, b)-n pontosan akkor, ha f monoton csökken [a, b]-n. Bizonyítás (az els állítás iránya) Tegyük fel, hogy f 0 az (a, b)-n és legyen a x < x 2 b. Alkalmazzuk a Lagrange-féle középértéktételt az [x, x 2 ] intervallumra. = Van olyan c (x, x 2 ), hogy f (x 2 ) f (x ) = f (c)(x 2 x ). x 2 x > 0 és f (c) 0 = f (x 2 ) f (x ), azaz f monoton növekv [a, b]-n. Vizsgatematika 30 / 42

31 Határozatlan integrál: primitív függvény és határozatlan integrál alapintegrálok általános integrálási szabályok, fordított láncszabály és speciális esetei, helyettesítéses itegrálás, parciális integrálás Vizsgatematika 3 / 42

32 Határozott integrál: felosztás, felosztás nomsága, reprezentáns rendszer, integrálközelít összeg, integrálhatóság véges sok pont kivételével folytonos függvény integrálhatósága, véges sok pontban megváltoztatott függvény integrálja határozott integrál m veleti tulajdonségai integrálegyenl tlenségek integrál-középértéktétel inetgrálfüggvény fogalma és tulajdonságai Newton-Leibniz-tétel helyettesítéses integrálás határozott integrálra Vizsgatematika 32 / 42

33 Tétel (Integrál-középértéktétel) Ha f folytonos [a, b]-n = c [a, b]: b a b azaz f átlaga el áll függvényértékként. a f (x) dx = f (c), y a c b x Vizsgatematika 33 / 42

34 Bizonyítás f folytonos = a Weierstrass-tétel szerint felveszi minimumát (m) és maximumát (M) az [a, b]-n. Az. integrálegyenl tlenség miatt: m(b a) b a f (x) dx M(b a) m b f (x) dx M. b a a m és M is függvényértékek [a, b]-n = a BolzanoDarboux-tétel szerint f b közöttük minden értéket fölvesz, így az f (x) dx értéket is. b a a Vizsgatematika 34 / 42

35 Integrálási technikák: racionális törtfüggvény integrálása - polinom + valódi törtfüggvény alakra hozás, nevez faktorizálása valós polinom felbontása els és másodfokú tényez k szorzatára, parciális törtekre bontás, elemi törtfüggvények integrálja fordított helyettesítés határozott és határozatlan integrál esetén, speciális helyettesítések: R(e x ), R( n x), R(sin x, cos x), R(x, ax 2 + bx + c) Vizsgatematika 35 / 42

36 Tétel Minden legalább els fokú valós polinom felbontható els és másodfokú valós polinomok szorzatára. Bizonyítás Legyen f (x) = c n x n c x + c 0 (c i R i) valós polinom. Az algebra alaptétele szerint f -nek van gyöke C-ben: α C, hogy f (α) = 0. Ekkor x α kiemelhet : f (x) = (x α)g(x). Ha α R, g(x) is valós polinom, és tovább faktorizálhatjuk. Vizsgatematika 36 / 42

37 Bizonyítás (folytatás) Ha α = a + bi nem valós, akkor 0 = f (α) = c n α n c α + c 0 = f (α) = c n α n +...+c α+c 0 = c n α n +...+c α+c 0 = f (α) = 0 = 0, tehát α is gyöke f -nek. De α α g(α) = 0 f (x) = (x α)(x α)h(x). Viszont (x α)(x α) = (x a bi)(x a + b i ) = x 2 2ax + a 2 + b 2 valós együtthatós, így h(x) is valós. Ekkor egy másodfokú (valós gyök nélküli) valós polinomot emeltünk ki, és h(x)-et tovább faktorizálhatjuk. Vizsgatematika 37 / 42

38 Improprius integrál és a határozott integrál alkalmazásai: improprius integrál fogalma: integrálás végtelen intervallumon és függ leges aszimptotájú függvény integrálása az /x p függvény integrálja az [, ) és (0, ] intervallumokon összehasonlító (minoráns és majoráns) konvergenciakritériumok, általános majoráns kritérium területszámítás, függvény grakonjának ívhossza, forgástest térfogata és felszíne Vizsgatematika 38 / 42

39 Az x p dx integrál Ha p =, akkor: dx = lim x b b integrál nem konvergens. Ha p, akkor: x p dx = lim b x b dx = lim b [ln x]b x p dx = lim b = lim ln b =, vagyis ekkor az b [ x p+ p + ] b b p = lim b p. p Ha p <, akkor a fenti határérték, így az integrál nem konvergens. Ha p >, akkor a fenti határérék, így az integrál konvergens, és p értéke a határérték, vagyis p. Vizsgatematika 39 / 42

40 Az 0 x p dx integrál Ha p =, akkor: x dx = 0 lim c 0 + integrál nem konvergens. Ha p, akkor: 0 x x dx = lim [ln x] = lim c 0 + c c 0 c p dx = lim c 0 + c x p dx = lim c 0 + [ ] x p+ p + + ln c =, vagyis ekkor az c = lim c 0 + c p p ( p). Ha p >, akkor a fenti határérték, így az integrál nem konvergens. Ha p <, akkor a fenti határérék, így az integrál konvergens, és p értéke a határérték, vagyis p. Vizsgatematika 40 / 42

41 Sorozatok: sorozat fogalma, sorozat jellemz i sorozat határértéke és a deníció ekvivalens alakja Átviteli elv Konvergencia és korlátosság kapcsolata, monoton korlátos sorozatok részsorozat fogalma, részsorozat határértéke minden sorozatnak van monoton részsorozata Bolzano-Weierstrass-tétel Cauchy-féle konvergenciakritérium Vizsgatematika 4 / 42

42 Tétel Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Bizonyítás Ha nincs monoton fogyó részsorozat, akkor véges monoton fogyó részsorozat véget ér (azaz a n... a nk -hoz nincs n k+ > n k, hogy a nk a nk+. De akkor a végtelen sok ilyen utolsó tag szigorúan monoton növ részsorozatot alkot. y x Vizsgatematika 42 / 42