Függvény határérték összefoglalás

Átírás

1 Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis y függvény esetén -hez pontosan egy y tartozhat.) Jelölés: értelmezési tartomány (ÉT): D f ; értékkészlet (ÉK): R f ; f: D f R f Def: Az f felülről korlátos, ha létezik egy K R valós szám, hogy f() K minden D f esetén. Def: Az f alulról korlátos, ha létezik egy K R valós szám, hogy f K minden D f esetén. Def: Az f korlátos, ha alulról és felülről is korlátos,vagyis ha létezik egy K R valós szám, hogy K f K minden D f esetén. Def: Az f monoton nő, ha bármilyen < esetén f( ) f( ). Szigorúan monoton nő, ha az egyenlőség sehol nem teljesül, vagyis f( ) < f( ). (, D f ) Def: Az f monoton csökken, ha bármilyen < esetén f( ) f( ). Szigorúan monoton csökken, ha az egyenlőség sehol nem teljesül, vagyis f( ) > f( ). (, D f ) Def: Az f periodikus (p periódussal), ha van egy olyan p, melyre f() = f( + p) bármely D f esetén. Def: Az f páros, ha bármely D f esetén f() = f( ). (Koordináta rendszerben ábrázolva tehát a függvény tükrös az y tengelyre.) Def: Az f páratlan, ha bármely D f esetén f() = f( ). (Koordináta rendszerben ábrázolva tehát a függvény tükrös az origóra.) Def: Az 0 R pont a H R halmaz torlódási pontja, ha 0 bármely környezete a H végtelen sok elemét tartalmazza. Def: Azt mondjuk, hogy a f() = A, ha. a torlódási pontja a D f -nek. (vagyis az a nem izolált pont). Bármilyen (kicsi) ε > 0 esetén van egy olyan δ(ε) > 0, hogy f() A < ε, ha 0 < a < δ(ε) minden D f esetén Vagyis ha az az a egy kicsi (δ) sugarú (pontozott) környezetében van, akkor az f() a határérték egy kicsi (ε) sugarú környezetében van. Def: Jobb és bal oldali határértéket úgy értelmezhetünk, ha a határérték definíciójában nem minden D f esetén nézzük a feltétel teljesülését, csak az a-nál nagyobb illetve kisebb értékekre. Megjegyzés: Az értelmezési tartomány egy belső pontjában tehát csak akkor lehet a függvénynek határértéke, ha a bal és jobb oldali határértéke megegyezik. Tétel (Cauchy-kritérium): A függvény határértéke az a pontban A, vagyis f() = A, akkor és csak akkor, ha bármely ε > 0 esetén létezik egy olyan δ(ε) > 0, hogy ha, az a δ sugarú (pontozott) környezetében van akkor f( ) f( ) < ε. Tétel (Átviteli elv): A függvény határértéke az a pontban A, akkor és csak akkor, ha minden a-hoz tartó n sorozat esetén f( n ) > A. Végtelenben vett határérték: f() = A f() = A ha ε > 0 esetén van P(ε) > 0, hogy f() A < ε, ha > P(ε) ha ε > 0 esetén van P(ε) > 0, hogy f() A < ε, ha < P(ε) f() = ha Ω > 0 esetén van P(Ω) > 0, hogy f() > Ω, ha > P(Ω)

2 f() = ha Ω > 0 esetén van P(Ω) > 0, hogy f() < Ω, ha > P(Ω) f() = ha Ω > 0 esetén van P(Ω) > 0, hogy f() > Ω, ha < P(Ω) f() = ha Ω > 0 esetén van P(Ω) > 0, hogy f() < Ω, ha < P(Ω) Tétel: Ha f() = A R és f() = B R, akkor cf() = ca f() ± g() = A ± B f() g() = A B f() = A f() g() = A ha B 0 B f() = A f() = A Ha f() =, akkor f() = 0 Ha f() = 0, akkor f() = Tétel: Ha f(), g() olyanok, hogy minden esetén f() g(), akkor f() g(). Tétel: (rendőrelv/szendvics szabály, stb ) Ha f(), g()és h() olyanok, hogy minden esetén f() g() h(), továbbá tudjuk, hogy f() = h(), akkor g() is ugyanannyi. Tétel (nevezetes határértékek): 0, ha a <, ha a = a = {, ha a > divergens egyébként k =, ha k = 0, = 0, ha k k k a = 0, ha a < és k N p =, ha p > 0 =! =! = = k k l k = k, l k log = ( + ) = e ( + α ) = e α sin 0 = Folytonosság: Def: Az f az a pontban folytonos, ha f(a) létezik, és minden ε > 0 esetén van egy olyan δ(ε), hogy f() f(a) < ε, ha a < δ. Vagyis f folytonos az a pontban, ha a függvényérték létezik, továbbá létezik az f() és ez a kettő megegyezik. Szakadási helyek osztályozása: Ha az f az értelmezési tartomány egy belső a pontjában nem folytonos, akkor a szakadási hely lehet:. Elsőfajú szakadás: Megszüntethető: ha a bal és jobb oldali határérték az a pontban véges és megegyezik, azonban ez nem egyenlő a függvényértékkel, vagy pedig a függvényérték nem létezik.

3 Véges ugrás: a bal és jobb oldali határérték is létezik és véges, de ezek nem egyeznek meg.. Másodfajú szakadás (lényeges szakadás): Minden más. Folytonos függvények tulajdonságai: Tétel: Bármely valós együtthatós polinom miden pontban folytonos. Tétel: Racionális törtfüggvény (polinom/polinom típusú függvény) mindenütt folytonos, kivéve a nevezőben levő polinom gyökhelyeit, ahol a függvény nincs értelmezve. Tétel: sin és cos mindenütt folytonosak. Def: Egy f folytonos (a, b)-n, ha minden (a, b) pontban folytonos, és f folytonos [a, b]-n, ha folytonos (a, b) n és az a-ban jobbról, b-ben balról folytonos. Tétel (Bolzano): Ha f folytonos [a, b]-ben, akkor minden f(a) és f(b) közé eső c értéket felvesz az [a, b] intervallumon. Következmény: Ha f folytonos [a, b] intervallumon és f(a) és f(b) különböző előjelű, akkor az f() = 0 egyenletnek legalább egy gyöke van az (a, b) intervallumon. Vagyis páratlan fokszámú polinomnak legalább egy valós gyöke van. Tétel (Weierstrass I.): Ha f folytonos [a, b]-ben, akkor ott f korlátos. Tétel (Weierstrass II.): Ha f folytonos [a, b]-ben, akkor ott f felveszi az infimumát és szuprémumát, tehát van minimuma és maimuma. Mintapéldák:. A definíció segítségével bizonyítsuk az alábbi határértéket! a. + 4 = 7 Tehát keressük, hogy -nek milyen sugarú környezetét kell vennünk, hogy az alábbi egyenlőtlenség fennálljon: f() A = < ε Ezt átalakítani: f() A = = = < ε < ε Mivel az -hez tart, ezért ε = δ pont jó lesz. 8 b. + Újfent keressük, hogy - milyen környezetét kell vennünk ahhoz, hogy = = = = ( ) ( + ) = = ( + ) = ( + ) < ε + + Tehát + < ε. Vagyis ε = δ épp jó lesz.

4 c. + = + f() A = = = = < ε Vagyis + > 7. Mivel, így a bal oldal pozitív, tehát az abszolút érték elhagyható. ε Tehát > 7. Ez pont megfelel a definícióban szereplő P(ε) nak. ε d. 5 = 4 Adjuk meg az ε = 0 -hez tartozó δ-t! 5 4 = ( 5 4) 5+4 = 5+4 ( 5 4)( 5+4) = ( 5) 6 = (+) 5 + < ε (+) 5+6 = 5+6 = Vagyis + < 4ε. Ez pont jó lesz δ-nak. Mivel ε = 5 0, ezért δ = 40,0 = 4. Tehát az sugarú kört kell választani a - körül, hogy a függvényérték a 6 0,0 sugarú környezetében legyen.. Számítsuk ki a határértéket! (± -ben vett határérték) a = ( ) 9 + 4( ) 6 + = () 9 + 4() 6 + = Ha, akkor értelemszerűen. Tehát egy végtelenben vett határértéket számolhatunk. b. + = + A függvényeknél is működő speciális rendőrelvet használtuk fel. 6+ c = = = d = 4 + = 4 ( ) + ( ) ( ) = = Először írjuk át végtelenbe tartó határértékre. A becslés után természetesen az összeg mindkét tagja végtelenhez tart. Így az eredeti függvényhatárérték is végtelen. e = = = = = 4 + = 4

5 f. ( +4 )5 ( ) = ( + 4 ) ( + 4/ 5 ) = ( ( / ) ). Számítsd ki a határértéket! (Végesben vett határérték) 5 = ( + 4/ / ) ( + 4/ / ) = e4 5 e ( + 4/ / ) = e 5 a Racionális törtfüggvény mindenütt folytonos, kivéve a nevező gyökeiben. Az + = 0 gyöke a -. Tehát a -ban folytonos a függvényünk. Szintén tudjuk, hogy egy függvény folytonos pontjában a függvényérték megegyezik a pontbeli határértékkel = 5 45 = b Racionális törtfüggvény mindenütt folytonos, kivéve a nevező gyökeiben. Az + = 0 gyöke a -. Ha az előző módszert alkalmazzuk, akkor 0/0 jön ki, mellyel nem tudunk mit kezdeni. Azonban ha a --at behelyettesítve a számlálóban és a nevezőben is 0-t kapunk, az azt jelenti, hogy mindkettőnek gyöke, így ( + )-mal lehet egyszerűsíteni = 5( 9) 5( )( + ) = = 5( ) + + Ez viszont már egy folytonos függvény, így a pontbeli határértékét kiszámolhatjuk behelyettesítéssel = 5( ) = 5( ) = 0 c A gyökfüggvény folytonos. Folytonos függvények hányadosa is folytonos, kivéve ott, ahol a nevező értéke 0. A nevező épp a 0-ban = = ( ) ( ) (9 + )(4 + ) = = = 0 0 Tudjuk, hogy ez vagy végtelen, vagy mínusz végtelen. Ha helyére egy 0-nál nagyobb számot helyettesítünk, akkor a határérték pozitív, ellenkező esetben negatív. Eszerint: = =

6 d. + 5{} A törtrész függvény nem folytonos! Ezért ha a -hoz alulról illetve felülről tartunk más eredményt fogunk kapni. + 5{} = = {} = + 5 = 7 + e. [ + ] Az egészrész függvény sem folytonos! Ha -höz balról illetve jobbról tartunk különböző értéket kapunk. [ ] = = + [ ] = 0 = + 4. Hol és milyen szakadási helyei vannak az alábbi függvények? a. f() = + 5+ (+) Racionális törtfüggvénynek a nevező gyökeiben van szakadási helye. (itt nincs értelmezve a függvény. A nevező gyökei az = 0 és =. Ezek alapján ebben a két pontban kell a függvény határértékét vizsgálnunk = ( + ) 0 Ha a nevezőbe egy nullához közeli, nullánál nagyobb számot helyettesítünk, akkor pozitív lesz. A számláló szintén. Ha azonban egy nullához közeli, negatív számot helyettesítünk, akkor a számláló és a nevező is pozitív. Így = + ( + ) Tehát a szakadási helyen az legalább az egyik oldali határérték végtelen, így a szakadási hely másodfajú = = 0 ( + ) 9 ( + ) 0 A 0/0 típusú határértékkel így nem tudnunk mit kezdeni. Azonban az, hogy a számláló és a nevező is nulla, ha =, az azt jelenti, hogy a gyöke mind a számlálónak, mind a nevezőnek. Tehát mindekét polinomból kiemelhető az ( + ). (polinomosztás!-részletesen lásd külön) ( ) ( + ) 5 ( 6) : ( + ) = (+) = (+)( +) (+) ( ) ( )+ = 9+6+ = 6 ( ) 9 9 = + = A határérték (bal és jobboldali is) megegyezik, tehát megszűntethető (elsőfajú) szakadása van a függvények. A könnyebbség kedvéért a függvény így néz ki. Látható, hogy a - ban a függvény nincs értelmezve, de balról és jobbról is ugyanoda tart. Míg a 0-ban balról és jobbról is végtelenhez tart.

7 b. f() = 4 6 Két folytonos függvény hányadosa mindenütt folytonos, kivéve a nevező gyökhelyein. 6 = ( ) = 0. Nyilván a gyökök a 0 és. Tehát ezeken a helyeken kell vizsgálni a függvény (bal és jobboldali) határértékét. Az egyértelműen látszik, hogy a 0 helyen 0/0 típusú határértéket kapunk, így először egyszerűsítenünk kell = ( ) 0 ( ) = ( ) 0 Innentől vizsgáljuk a bal és jobb oldali határértéket: = ( ) 0 + = 0 + = 0 ( ) = = ( ) 0 + = 0 + = 0 ( ) = 0 Tehát = 0-ban a bal és jobboldali határérték megegyezik, tehát megszüntethető (elsőfajú) szakadása van. Vizsgáljuk az =-ban. Ha behelyettesítjük a -at, akkor szintén 0/0 típusú határértéket kapunk, ezért egyszerűsítenünk kell. 4 6 = ( ) Innentől vizsgáljuk a baloldali és jobboldali határértéket: = ( ) + ( ) = + = 7 = = ( ) + [ ( )] = + ( ) = 7 ( ) = 9 Tehát a függvénynek az = pontban véges ugrása (elsőfajú szakadása) van. A könnyebbség kedvéért figyeljük meg, hogyan is néz ki a függvény. Láthatóan a 0-ban és -ban tényleg nincs értelmezve. A nullában jól látszik, hogy a szakadás megszüntethető, a -nál pedig véges ugrás van. 5. Számoljuk ki a határértéket! ( sin típusú határérték) a. 0 tg 7 sin 9 A határérték 0/0 típusú, azonban az egyszerűsítés nem tűnik teljesen célravezetőnek. Ezért sin érdemes az ismert 0 = határértéket. tg 7 0 sin 9 = sin 7 0 cos 7 sin 9 = sin 7 0 cos sin 9 = cos = = 7 9 b. 0 5 sin 8 7+sin tg α = sin α cos α

8 5 sin sin = 0 + c. 0 cos 6 6 = sin 8 5 sin = 0 + Láthatóan a határérték 0/0 típusú. A sin α = fogjuk használni. cos cos = 0 5 cos d. 0 0 sin 5 cos 6 = 0 = 0 sin 6 = = 0 sin = sin cos 5 0 sin = 0 = 0 sin sin ( 5 ) 5 sin ( 5 ) 6. Folytonosak-e az alábbi függvények? a. f() = { e ha 0 ha < sin 8 cos sin 7 cos α 6 0 sin = = azonosságot sin 4 = = = cos 5 sin ( 5 ) 5 sin = sin = 0 = = sin ( 5 0 sin = 5 7 = 9 = ) sin = Az e függvény minden pontjában folytonos, és az értéke a 0-ban 0. Tehát a függvény 0 részen minden pontban folytonos. Ahhoz, hogy a függvény folytonos legyen (vagyis minden pontjában folytonos), az kell, hogy a függvény többi részében is, (vagyis az < 0 részen is) folytonos legyen, illetve, hogy a két darab bal illetve jobb oldali határértéke megegyezzen. Az + cos α + sin α = cos α sin α = cos α sin α = cos α sin α = cos α + sin α = cos α sin α = cos α cos α = + cos α cos α = függvény mindenhol folytonos, kivéve a tört nevezőjének gyökhelyein. cos α + cos α + = ( + ) = ( ) Tehát a gyökök, a 0, és az. Ezek közül egyik sem az < 0 részen van. Tehát a függvény minden pontját vizsgáltuk már, csak a 0 helyet nem. f() = e = e 0 =

9 f() = = ( ) 0 ( )( ) = ( ) 0 ( )( ) = ( ) ( ) = Tehát a függvény bal és jobb oldali határértéke nem egyezik meg. Így a függvény nem folytonos. (elsőfajú szakadása van, véges ugrás) b. f() = { + ha ha > A függvény mindkét külön darabja folytonos. Tehát csak azt kell vizsgálnunk, hogy az pontban a bal és a jobboldali határérték egyenlő-e. f() = = = + + f() = + = + = Tehát a függvény kétoldali határértéke megegyezik, és ez megegyezik a függvényértékkel is. Tehát a függvény folytonos mindenhol. ha < 0 c. f() = { + ha = 0 sin ha > 0 A sin függvény mindenütt folytonos, így a függvényünk mindenütt folytonos, ha > 0. A racionális törtfüggvények mindenütt folytonos, kivéve a nevező gyökhelyein. A nevező + = ( ). Tehát a gyökhelyek a 0 és. Ezek nincsenek az < 0 részen. Tehát az összes < 0 helyen folytonos. Azt kell még vizsgálnunk, hogy mi a helyzet a 0 helyen. sin = sin 0 = = 0 ( ) = 0 ( ) = 0 (0 ) = 0 A függvény jobb és baloldali határértéke megegyezik azonban ez nem egyezik meg a függvényértékkel. (Tehát a függvénynek megszűntethető szakadása van az = 0 pontban.) 7. Milyen a és b esetén folytonosak az alábbi függvények? ( ) ha 0 a. f() = { a + b ha 0 < < 4 ha 4 Mivel a polinom függvények mindenütt folytonos, így a három külön darab az intervallumok belsejében folytonosak. Így tehát a továbbiakban csak az intervallumok határán ( = 0, és = 4) kell vizsgálnunk a folytonosságot. Folytonosság az = 0-ban: f() = 0 0 ( ) = (0 ) = 9 f() = a + b = a 0 + b = b f(0) = (0 ) = 9 Ahhoz, hogy a függvény folytonos legyen a fenti három értéknek meg kell egyeznie. Eszerint 9 = b. Folytonosság az = 4 pontban: 4 4 f() = a + b = 4 a + b = 4a + b 4 f() = = 4 = = f(4) = 4 = = 4

10 Ahhoz, hogy a függvény folytonos legyen a fenti három értéknek meg kell egyeznie. Eszerint 4 = 4a + b. Felhasználva, hogy az előző feltétel szerint b = 9 kapjuk, hogy 4 = 4a + 9. Vagyis 5 4 = a. Ezek szerint a függvényünk minden pontban folytonos (tehát maga a függvény folytonos), ha 5 = a és 9 = b. 4 ha b. f() = { + a + b ha < Első körben írjuk át a függvényt kicsit, hogy jobban látszódjanak a határpontok. + a + b ha < f() = { ha + a + b ha < Mivel a polinom függvények mindenütt folytonosak, így a három külön darab az intervallumok belsejében folytonos. Így tehát a továbbiakban csak az intervallumok határán ( =, és = ) kell vizsgálnunk a folytonosságot. Folytonosság az = pontban: f() = + a + b = ( ) + a ( ) + b = a + b f() = = + + f( ) = Ahhoz, hogy a függvény folytonos legyen a fenti három értéknek meg kell egyeznie. Eszerint a + b =. Tehát a b = Folytonosság az = pontban: f() = = f() = a + b = + a + b = + a + b f() = Ahhoz, hogy a függvény folytonos legyen a fenti három értéknek meg kell egyeznie. Eszerint = + a + b. Tehát 0 = a + b. Ezek szerint a függvényünk minden pontban folytonos, ha a két feltétel (egyszerre) teljesül. a b = Vagyis { egyenletrendszert kell megoldanunk. Vagyis a =, b = esetben lesz a a + b = 0 függvény folytonos.