Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései
|
|
- Alajos Lukács
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n x + 0 hozzárendelést polinomnk nevezzük ( 1, 2,..., n R). Az n főegyütthtó, 0 konstnstg. Polinom gyöke Egy p(x) polinom gyöke x 0 R, h p(x 0 ) = 0. (Kis-)Bézout-tétel H x 0 gyöke egy p(x) polinomnk, kkor z kiemelhető, zz létezik olyn q(x) polinom, hogy p(x) = (x x 0 )q(x). Egészegyütthtós polinom rcionális gyökei Az n x n + n 1 x n x + 0 egészegyütthtós polinomnk ( 1, 2,..., n Z) csk olyn p q rcionális gyöke vn (hol p és q reltív prím), melyre p osztj 0 -t és q osztj n -et. Függvény értelmezési trtomány Az f : A R függvény (A R) értelmezési trtomány z A hlmz, melyet D f -fel szoktunk jelölni. Függvény értékkészlete Az f : D f R függvény (D f R) értékkészlete zon vlós számok hlmz, melyet függvény felvesz. Jelölés: R f. Azz R f = {f(x) x D f }. Monoton növő függvény Egy f : D f R függvény (D f R) monoton nő, h x 1 < x 2 (x 1, x 2 D f ) esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Szigorún monoton növő függvény Egy f : D f R függvény (D f R) szigorún monoton nő, h x 1 < x 2 (x 1, x 2 D f ) esetén f(x 1 ) < f(x 2 ). Monoton csökkenő függvény Egy f : D f R függvény (D f R) monoton csökken, h x 1 < x 2 (x 1, x 2 D f ) esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Szigorún monoton csökkenő függvény Egy f : D f R függvény (D f R) szigorún monoton csökken, h x 1 < x 2 (x 1, x 2 D f ) esetén f(x 1 ) > f(x 2 ). Alulról korlátos függvény Egy f : D f R függvény (D f R) lulról korlátos, h létezik k R vlós szám, hogy f(x) k minden x D f esetén. Felülről korlátos függvény Egy f : D f R függvény (D f R) felülről korlátos, h létezik K R vlós szám, hogy f(x) K minden x D f esetén. Korlátos függvény Egy f : D f R függvény (D f R) korlátos, h lulról és felülről is korlátos, zz léteznek k, K R vlós számok, hogy k f(x) K minden x D f esetén. Ezt úgy is mondhtjuk, hogy létezik K R vlós szám, hogy f(x) K minden x D f esetén. Periodikus függvény Egy f : D f R függvény (D f R) periodikus, h vn olyn d R nemnull szám, hogy x D f esetén x ± d D f és f(x) = f(x ± d). Páros függvény Egy f : D f R függvény (D f R) páros, h x D f esetén x D f és f( x) = f(x). 1
2 Pártln függvény Egy f : D f R függvény (D f R) pártln, h x D f esetén x D f és f( x) = f(x). Invertálhtó függvény Egy f : D f R függvény (D f R) invertálhtó, h z értékkészletének minden elemét egyszer veszi fel, zz f(x 1 ) = f(x 2 ) esetén x 1 = x 2. Inverz függvény Egy f : D f R invertálhtó függvény (D f R) inverze z z f 1 : R f D f függvény, melyre f 1 (f(x)) = x minden x D f -re. Vlós függvény véges htárértéke véges pontbn Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke z x 0 pontbn A R, h minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy 0 < x x 0 < δ esetén x D f és f(x) A < ε. Jelölése: f(x) = A. Vlós függvény végtelen htárértéke véges pontbn Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke z x 0 pontbn +, h minden K R-hez létezik δ > 0, hogy 0 < x x 0 < δ esetén x D f és K < f(x). Jelölése: f(x) = +. Vlós függvény végtelen htárértéke véges pontbn Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke z x 0 pontbn, h minden K R-hez létezik δ > 0, hogy 0 < x x 0 < δ esetén x D f és f(x) < K. Jelölése: f(x) =. Vlós függvény véges htárértéke + -ben Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke + -ben A R, h minden ε > 0-hoz létezik L R, hogy L < x esetén x D f és f(x) A < ε. Jelölése: f(x) = A. Vlós függvény végtelen htárértéke + -ben Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke + -ben +, h minden K R-hez létezik L R, hogy L < x esetén x D f és K < f(x). Jelölése: f(x) = +. Vlós függvény végtelen htárértéke + -ben Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke + -ben, h minden K R-hez létezik L R, hogy L < x esetén x D f és f(x) < K. Jelölése: f(x) =. Vlós függvény véges htárértéke -ben Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke -ben A R, h minden ε > 0-hoz létezik L R, hogy x < L esetén x D f és f(x) A < ε. Jelölése: f(x) = A. Vlós függvény végtelen htárértéke -ben Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke -ben +, h minden K R-hez létezik L R, hogy x < L esetén x D f és K < f(x). Jelölése: f(x) = +. Vlós függvény végtelen htárértéke -ben Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke -ben, h minden K R-hez létezik L R, hogy x < L esetén x D f és f(x) < K. Jelölése: f(x) =. Vlós függvény véges jobb oldli htárértéke Az f : D f R függvény (D f R) jobb oldli htárértéke z x 0 pontbn A R, h minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy 0 < x x 0 < δ esetén x D f és f(x) A < ε. Jelölése: f(x) = A. + Vlós függvény végtelen jobb oldli htárértéke Az f : D f R függvény (D f R) jobb oldli htárértéke z x 0 pontbn +, h minden K R-hez létezik δ > 0, hogy 0 < x x 0 < δ esetén x D f és K < f(x). Jelölése: f(x) = +. + Vlós függvény végtelen jobb oldli htárértéke Az f : D f R függvény (D f R) jobb oldli htárértéke z x 0 pontbn, h minden K R-hez létezik δ > 0, hogy 0 < x x 0 < δ esetén x D f és f(x) < K. Jelölése: f(x) =. + 2
3 Vlós függvény véges bl oldli htárértéke Az f : D f R függvény (D f R) bl oldli htárértéke z x 0 pontbn A R, h minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy 0 < x 0 x < δ esetén x D f és f(x) A < ε. Jelölése: f(x) = A. Vlós függvény végtelen bl oldli htárértéke Az f : D f R függvény (D f R) bl oldli htárértéke z x 0 pontbn +, h minden K R-hez létezik δ > 0, hogy 0 < x 0 x < δ esetén x D f és K < f(x). Jelölése: f(x) = +. Vlós függvény végtelen bl oldli htárértéke Az f : D f R függvény (D f R) bl oldli htárértéke z x 0 pontbn, h minden K R-hez létezik δ > 0, hogy 0 < x 0 x < δ esetén x D f és f(x) < K. Jelölése: f(x) =. Vlós függvény folytonosság egy pontbn Az f : D f R függvény (D f R) folytonos z x 0 D f pontbn, h f(x) = f(x 0 ). Azz minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy x x 0 < δ esetén f(x) f(x 0 ) < ε. Vlós függvény folytonosság Az f : D f R függvény (D f R) folytonos, h minden x 0 D f pontbn folytonos. Szkdási hely Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pont szkdási helye, h függvény x 0 -bn nem folytonos. Megszüntethető szkdási hely Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f szkdási helye megszüntethető, h vn olyn A szám, hogy függvény értékét x 0 -bn A-r változttv, z így kpott függvény folytonos x 0 -bn. Ugrás/elsőfjú szkdási hely Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f szkdási helye ugráshely, h létezik és véges z x 0 -beli jobb és bl oldli htárérték, de nem egyenlőek. Szinguláris/másodfjú szkdási hely Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f szkdási helye szinguláris, h z x 0 -beli jobb vgy bl oldli htárértéknek leglább egyike nem létezik vgy végtelen. Weierstrss-tétel H f : [, b] R folytonos függvény, kkor vn olyn α, β [, b], melyekre f(α) f(x) f(β) minden x [, b]-re. Bolzno-tétel H f : [, b] R folytonos függvény, kkor f felvesz minden f() és f(b) közötti értéket. Vlós függvény differenciálhtóság egy pontbn Egy f : D f R függvény (D f R) z x 0 D f pontbn differenciálhtó, h létezik és véges htárérték. f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) = h 0 h x x 0 Vlós függvény differenciálhtóság Egy f : D f R függvény (D f R) differenciálhtó, h minden x 0 R pontbn differenciálhtó. Derivált függvény Egy f : D f R differenciálhtó függvény (D f R) derivált függvénye z függvény, mely minden x 0 D f ponthoz hozzárendeli z htárértéket. f (x 0 ) = f(x) f(x 0 ) x x 0 3
4 Inverz függvény differenciálási szbály H z f : D f R függvény (D f R) szigorún monoton nő és folytonos x 0 D f egy környezetében, továbbá x 0 -bn differenciálhtó és f (x 0 ) 0, kkor z f 1 inverz függvény differenciálhtó f(x 0 )-bn, és f 1 (f(x0 )) = 1 f (x 0 ). Összetett függvény differenciálási szbály H z f, g : R R függvények, g differenciálhtó z x 0 pontbn, f differenciálhtó g(x 0 ) pontbn, kkor z f g függvény differenciálhtó z x 0 pontbn, és (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ). Lokális minimum Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pontbn lokális minimum vn, h vn olyn δ > 0, hogy x x 0 < δ esetén f(x) f(x 0 ). Lokális mximum Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pontbn lokális mximum vn, h vn olyn δ > 0, hogy x x 0 < δ esetén f(x) f(x 0 ). Abszolút minimum Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pontbn bszolút minimum vn, h minden x D f esetén f(x) f(x 0 ). Abszolút mximum Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pontbn bszolút mximum vn, h minden x D f esetén f(x) f(x 0 ). Lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele H z f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pontbn lokális szélsőértéke (minimum vgy mximum) vn és ebben pontbn differenciálhtó, kkor f (x 0 ) = 0. Lokális szélsőérték létezésének elsőrendű elégséges feltétele H z f : D f R differenciálhtó függvényre (D f R) f (x 0 ) = 0, és x 0 -bn előjelet vált derivált függvény, kkor függvénynek x 0 -bn lokális szélsőértéke vn. Lokális mximum létezésének másodrendű elégséges feltétele H z f : D f R kétszer differenciálhtó függvényre (D f R) f (x 0 ) = 0 és f (x 0 ) < 0, kkor függvénynek x 0 -bn lokális mximum vn. Lokális minimum létezésének másodrendű elégséges feltétele H z f : D f R kétszer differenciálhtó függvényre (D f R) f (x 0 ) = 0 és f (x 0 ) > 0, kkor függvénynek x 0 -bn lokális minimum vn. Rolle-tétel H z f : [, b] R függvény z [, b]-n folytonos, (, b)-n differenciálhtó és f() = f(b), kkor vn olyn x (, b) belső pont, mire f (x) = 0. Lgrnge-féle középértéktétel H z f : [, b] R függvény z [, b]-n folytonos, (, b)-n differenciálhtó, kkor vn olyn x (, b) belső pont, mire f f(b) f() (x) =. b Cuchy-féle középértéktétel H f, g : [, b] R függvények z [, b]-n folytonosk, (, b)-n differenciálhtók, g deriváltj z (, b)-n sehol sem 0, kkor vn olyn x (, b) belső pont, mire f (x) g (x) = f(b) f() g(b) g(). Vlós függvény konvexitás Az f : D f R függvény (D f R) z I D f intervllumon konvex, h z I intervllumon függvény 4
5 grfikonj feletti trtomány konvex. H függvény differenciálhtó, kkor ez ekvivlens zzl, hogy grfikon z érintőegyenes felett hld, zz f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) minden x, x 0 I esetén. Vlós függvény konkávitás Az f : D f R függvény (D f R) z I D f intervllumon konkáv, h z I intervllumon függvény grfikonj ltti trtomány konvex. H függvény differenciálhtó, kkor ez ekvivlens zzl, hogy grfikon z érintőegyenes ltt hld, zz f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) minden x, x 0 I esetén. Inflexiós pont Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pontbn inflexiós pontj vn, h x 0 -bn differenciálhtó, és itt függvény konvexitást vált, zz függvény előtte konvex és után konkáv vgy fordítv. Bernoulli L Hospitl-szbály Tegyük fel, hogy z f(x), g(x) differenciálhtó függvények értelmezettek z x 0 pont egy környezetében, esetleg z x 0 -bn nem. Ekkor h f(x) = g(x) = 0 vgy f(x) = g(x) = ±, és h f (x) g (x) létezik, kkor f(x) g(x) = f (x) g (x). Hsonló állítás igz, h x 0 = ±, illetve bl és jobb oldli htárértékekre is. Primitív függvény Az f : I R függvény (I R nyílt intervllum) primitív függvénye F : I R, h F differenciálhtó I-n, és F (x) = f(x) minden x I esetén. Htároztln integrál Az f : I R függvény (I R nyílt intervllum) htároztln integrálj z összes primitív függvényének hlmz. Jelölés: f(x) dx. Prciális integrálás elve H f és g differenciálhtó függvények z I intervllumon, itt f g primitív függvénye létezik, kkor fg primitív függvénye is létezik, és f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx. Newton Leibniz-szbály H f : [, b] R függvény integrálhtó [, b]-n, és F : [, b] R primitív függvénye f-nek z (, b)-n (zz F differenciálhtó (, b)-n, és itt F (x) = f(x)), továbbá F folytonos [, b]-n, kkor Görbe ívhossz f(x) dx = F (b) F (). Az f : [, b] R differenciálhtó függvény grfikonjánk z ívhossz 1 + (f (x)) 2 dx. Forgástest térfogt Az f : [, b] R + függvény grfikonját z x tengely körül megforgtv kpott forgástest térfogt π f 2 (x) dx. Forgástest plást felszíne Az f : [, b] R differenciálhtó függvény grfikonját z x tengely körül megforgtv kpott forgástest plástjánk felszíne 2π f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. 5
Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0
Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum
ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így
Gazdasági matematika I. tanmenet
Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó
Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál
Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett
ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így dd tovább! 3.0
Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.
Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,
A Riemann-integrál intervallumon I.
A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
f (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)
Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt
Többváltozós analízis gyakorlat
Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete
Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
BSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév
BSc Anlízis II. elődásjegyzet 2009/200. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 20. jnuár 7. ii Trtlomjegyzék Előszó v. Differenciálhtóság.. A derivált foglm és
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
Analízis II. harmadik, javított kiadás
Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések
Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó
Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I.
Írt: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Egyetemi tnnyg 20 COPYRIGHT: 20 206, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Kr Mtemtik Tnszék LEKTORÁLTA: Dr. Molnárk
VI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
FELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
f(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
Matematika BSc tanárszak Analízis IV. előadásjegyzet 2010/2011. tavaszi félév
Mtemtik BSc tnárszk Anlízis IV. elődásjegyzet 2010/2011. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 2011. október 11. ii Trtlomjegyzék Előszó v 1. Differenciálegyenletek
Debreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológii Kr Klkulus II. Gselmnn Eszter Debrecen, 22 Azoknk, kik nem ismerik mtemtikát, nehézséget okoz keresztüljutni szépség vlódi érzéséhez, legmélyebb szépséghez,
Matematika A1 vizsga elméleti kérdések
Mtemtik A1 vizsg elméleti kérdések Deiíciók Forrás: Szirmi Jeő elődásvázltok, Szász Gáor: Mtemtik 1. tköyv Gépre vitte: Atli Máté 1. Peo-xiómák A természetes számok hlmzát N Peo-xiómák segítségével deiiáljuk.
Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke
Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)
Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (
9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R
MATEMATIKA 1. előadás jegyzet Földtudomány és Környezettan alapszakos hallgatók számára. Csomós Petra
MATEMATIKA. elődás jegyzet Földtudomány és Környezettn lpszkos hllgtók számár Csomós Petr Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr, Mtemtiki Intézet Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék
KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ
KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
A Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26
Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő
Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2
Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Függvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
Függvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Az integrálszámítás néhány alkalmazása
Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8
A gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
Improprius integrálás
Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték
sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval
4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7. efiníió és lpintegrálok efiníió. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differeniálhtó I-n,
Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar
Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Tárgykódok: BMETE93BG01, BMETE94BG01, BMETE90AX00 Kurzuskódok: G00, G01, G02, H0, H1, HV Követelmény: 4/2/0/V/6;
Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar
Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Kód: BMETE90AX00; Követelmény: 4/2/0/V/6; Félév: 2016/17/2; Nyelv: magyar; Előadó: Dr. Fülöp Ottilia Gyakorlatvezető: Dr. Fülöp
Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1
Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn
Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
A derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I. LOSONCZI LÁSZLÓ ANYAGAINAK FELHASZNÁLÁSÁVAL. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek,
2. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS
numerikus nlízis ii. 39 B - SPLINEOK DERIVÁLTJÁRA ÉRVÉNYES : B mi x =m Bm,i x B m,ix. t i+m t i t i+m+ t i+. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS Htározott integrálok numerikus kiszámítás mtemtik egyik legrégebbi problémáj.
Analízis jegyzet. Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék augusztus 31.
Anlízis jegyzet Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 207. ugusztus 3. Trtlomjegyzék. Bevezetés.. Logiki állítások, műveletek, tgdás.....................2. Bizonyítási módszerek............................
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Improprius integrálás
Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
Gyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106
Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
Matematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
Losonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
Analízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis
= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1
Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n
4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
Numerikus módszerek 2.
Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák
Exponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z
ELŐADÁS. 1. Az egyváltozós differenciálszámítás alkalmazásai I. Két nevezetes tétel típusú" limesz kiszámí-
ELŐADÁS 2. félév 1. Az egyváltozós differenciálszámítás lklmzási I. Két nevezetes tétel típusú" limesz kiszámí- 1. A L Hospitl-szbály. (Htárértékszámítási problém: " 0 0 tás.) Legyenek f, g : I R dott
Az előadás anyagának törzsrésze
Az elődás nygánk törzsrésze 2. félév 1. Az egyváltozós differenciálszámítás lklmzási 1. Szélsőértékek. Foglmk. Def. Egy R pont környezete olyn J nyílt intervllum, melyre J. Def. Egy f : R R függvénynek
Metrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
Analízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
1. Halmazelméleti alapok
1. Hlmzelméleti lpok A Mtemtiki kislexikonbn hlmz foglmár következ deníciót tláljuk: A hlmz tetsz leges természet dolgoknk vlmilyen módon összegy jtött összessége. Ez deníció zonbn nem hsználhtó, ugynis
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.